Um Algoritmo Evolutivo com Reconexão de Caminhos para o Problema de Clusterização Automática

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1 Artgo apresentado e publcado nos Proc. of the XII LAIO 2004 XII Latn-Ibero-Amercan ongress on Operatons Research Um Algortmo Evolutvo com Reconexão de amnhos para o Problema de lusterzação Automátca Stêno Sã Rosáro Furtado Soares, Luz Satoru Och* Insttuto de omputação Unversdade Federal Flumnense, Nteró, Ro de Janero, Brasl. e-mal: {(*) satoru,ssoares}@c.uff.br Abstract lusterng s the process by whch dscrete obects can be assgned to groups or clusters whch have smlar characterstcs. In clusterng algorthms, t s usually assumed that the number of clusters s nown or gven. In the absence of such an nformaton, a procedure s needed to fnd the optmal number of clusters. Ths problem s nown as Automatc lusterng Problem (AP). In ths wor we present an Evolutonary Algorthm wth Path-Relnng for ths class of the problem. The hgh potencal of our algorthm s shown through the comparson wth a Genetc Algorthm that has presented the best results for ths problem so far. eywords: metaheurstcs, automatc clusterng methods, evolutonary algorthms. Introdução O Problema de lusterzação (P) conste em agrupar os elementos de uma base de dados em subconuntos dsuntos denomnados clusters, de forma que os pontos pertencentes a um mesmo cluster seam smlares entre s e, ao mesmo tempo, os pontos pertencentes a clusters dferentes apresentem alta dssmlardade. Exste uma gama de aplcações do P, como em Reconhecmento de Padrões, Formação de élulas de Manufatura, Roteamento de Tráfego em Redes etc. Os métodos de clusterzação podem ser classfcados como herárqucos ou de partconamento. O P pode ser descrto da segunte forma: dado uma base de dados X {x,x 2,...,x N }, encontrar a partção de X em clusters dsuntos cua smlardade entre os pontos de um mesmo cluster sea maxmzada e a smlardade entre pontos de clusters dferentes sea mnmzada, sueto às seguntes condções: φ... φ... X A maora das abordagens tratam o P consderando o número de clusters pré fxado. No entanto, na maora das aplcações reas não se tem nenhum conhecmento prévo quanto ao número de clusters deal; devendo o algortmo resolver tanto o problema de agrupar os pontos, como também encontrar o número ótmo de clusters para um dado conunto de entrada. Neste caso, o problema é conhecdo como Problema de lusterzação Automátca (PA). Para um conunto de entrada X contendo n pontos, o número N(x) de soluções váves, quando é conhecdo, é dado por: n N ( x ) ( ) ( ) ( )!. 0 No caso do valor de não ser conhecdo, o espaço de busca formado pelo número de soluções possíves aumentara drastcamente, o que nos é dado pela equação 2, defnda por: n n N ( x ) ( ) ( ) ( 2 ).! 0 O PA é classfcado como NP-Hard e o P com fxado é NP-completo para > 3. Neste trabalho apresentamos um algortmo evolutvo construtvo utlzando o módulo Path Relnng (reconexão por camnhos) denomnado AE-R, que obtém o número de clusters deal através do uso de um crtéro semelhante ao Average Slhouette Wdth apresentado em Kaufman (989), além de uma solução aproxmada de boa qualdade. O AE-R é dvddo em três fases: uma fase de construção, através da qual se faz uma avalação dos dados de entrada de uma nstânca buscando reduzr o tamanho do grafo assocado,,... - Parcalmente fnancado pelo NPq.

2 Artgo apresentado e publcado nos Proc. of the XII LAIO 2004 XII Latn-Ibero-Amercan ongress on Operatons Research e com sso, reduzr parâmetros do AE como o tamanho do strng para representar um ndvíduo, reduzr o espaço de busca e fnalmente obter soluções ncas sem otmzados para as próxmas etapas do AE. A segunda etapa, é a fase evolutva, que executa os operadores genétcos tradconas e um operador de mutação proposto baseado na sobreposção de anelas no strng solução; e, por últmo, uma fase de busca local através da técnca de reconexão por camnhos (path-relnng). Os resultados obtdos são comparados com um algortmo genétco da lteratura que até então apresentava as melhores soluções aproxmadas para um conunto de nstâncas da lteratura. 2. Algortmo Evolutvo onstrutvo com Reconexão por amnhos (AE-R) O AE-R, como á menconamos, é composto de três módulos: o módulo de construção, o módulo evolutvo e o módulo de busca local através de reconexão de camnhos. Em termos de aplcação de algortmos de clusterzação, o AE-R dfere da maora dos AG s, uma vez que o mesmo é capaz de resolver o problema de agrupamento e também resolver o problema de encontrar o número deal de clusters. Uma vez que, em geral, as bases de dados das aplcações de PA apresentam um número consderavelmente elevado de elementos, buscamos desenvolver uma heurístca de construção efcaz para tratar de bases de dados de grande porte e com característcas tas como: regões densas e esparsas, ruídos, característcas estas, usualmente presentes na maora das aplcações reas. 2. A fase de construção do AE-R A fase de construção do AE-R aqu proposta tem como meta, tentar reduzr o espaço de busca das soluções váves do PA buscando com sso, tanto melhorar a qualdade das soluções geradas pelo algortmo como também reduzr consderavelmente os tempos computaconas exgdos. De fato, sabe-se que o tamanho da strng que codfca um ndvíduo em um AG pode nflur no tempo de processamento do mesmo. Assm, dependendo da codfcação utlzada pelo AG para o P, pode ser nteressante substtur grupos de pontos cua smlardade é consderada alta, por um únco ponto. Podemos tomar cada obeto x de um conunto de entrada como uma tupla (x, x 2,., x p ), onde cada coordenada x está relaconada com um atrbuto do obeto. Podemos, então, consderar um obeto como um ponto no espaço R p. Desta forma, a substtução de um grupo de pontos smlares por um únco ponto que os represente pode ser feta tomandose o ponto médo calculado segundo as coordenadas de todos os pontos deste grupo. Nossa proposta é apresentarmos uma abordagem herárquca baseada em grafos para reduzr o tamanho da strng que codfca o ndvíduo no AE e ao mesmo tempo trar proveto desta representação na ocasão da geração da população do AE-R. onsdere os pontos de uma base de dados X como vértces de um grafo construído conforme o conceto de grafo de vznhança relatva (GVR) (Toussant (980)). O GVR do conunto X, denotado GVR(X), é o grafo assocado à matrz de adacênca M dada por: se d (, ) max [ d ( x, x ), d ( x, x )], x X,, M [, ] 0, caso contráro ( 3 ) onde d(,) denota a dstânca eucldana entre os pontos x e x. A equação (3) dz que dos pontos x e x são dtos vznhos relatvos se não exstr nenhum outro ponto x cua dstânca em relação x e x sea nferor a d(,). O GVR(X) é o grafo G(V,E) onde o conunto de vértces V é formado por todos os pontos do conunto X e o conunto de arestas E é formado por todos os arcos e cuo valor de M[,] é gual a. omo podemos observar, os componentes conexos de GV R(X) são agrupamentos que refletem uma vsão de vznhança mínma, ou sea, consderando m como sendo o número de componentes conexos obtdos de GVR(X), podemos esperar, como número máxmo de clusters o valor m (m < n) e como número mínmo 2. Para conclur a fase de construção do AE-R, tomamos os componentes conexos de GVR(X) e obtemos o conunto G {G,G 2,...,G m }, onde cada G é um componente conexo canddato a se tornar um cluster raz, e V, para,..., m é o centróde do componente conexo G. Devemos, então, efetuar agrupamentos entre G s de forma a termos a clusterzação fnal. Isto é feto no sentdo de otmzar uma função obetvo, tarefa realzada pelo módulo evolutvo do AGS. Antes de explcarmos como se constró a população ncal do AGS, é mportante entendermos a modelagem utlzada para a codfcação do ndvíduo. Para tanto, consdere uma strng bnára r (r, r 2,..., r m ), representando uma solução (semente). Se r, o cluster G G fará parte da solução como cluster pa (cluster raz). aso contráro (r 0), G é consderado um cluster flho e será posterormente assocado a um dos clusters pas ndcados pelos r s que constam na strng como sendo guas a. omo exemplo, da strng r [ ] de uma entrada que gerou um conunto G

3 Artgo apresentado e publcado nos Proc. of the XII LAIO 2004 XII Latn-Ibero-Amercan ongress on Operatons Research {G,G 2,G 3,G 4,G 5,G 6,G 7,G 8 }, onde cada G é um componente conexo de GVR(X), podemos dzer que a solução apresentará três clusters, ncalmente G 2, G 4 e G 8 (clusters pas). Os demas clusters (G,G 3,G 5,G 6 e G 7 ) são os clusters flhos, cuos pontos serão anexados a um dos clusters pas para formar com este um novo cluster conforme o crtéro de smlardade adotado. Na geração do strng que codfca uma solução, procuramos prorzar os componentes conexos com maor cardnaldade. Assm, a geração da população ncal do AE-R se dá de tal forma que a probabldade de ocorrer o valor em cada elemento r da strng r é proporconal à cardnaldade do componente conexo G G. Apresentamos agora o processo de formação de um cluster, ou sea, a transformação de uma semente em solução propramente dta. Após a geração da semente, consdere Y {G,G 2,..., G t } o conunto formado pelos componentes conexos G s assocados aos elementos cuo valor é no strng ndvíduo. O conunto solução {,..., t } é ncalmente formado pelos t clusters ncas G s Y e os centródes ncas H s dos clusters da solução são, ncalmente, os centródes V s destes clusters ncas, onde G para, 2,.., t e G denota o número de pontos pertencentes a G. No processo de clusterzação, os componentes G s em \Y {G,G 2,..., G m } - Y são analsados um de cada vez de tal forma que o cluster rá anexar os pontos do componente conexo G se V - H V - H q para q t e q. Quando algum componente conexo G é assocado a um cluster, a nova cardnaldade de, denotado por, e o novo centróde de, denotado por H são atualzados pelas equações (4) e (5). H * * ' + V G H ( 4 ) + G ' + G ( 5 ) Após todos os componentes conexos cuos índces na strng apresentam valor zero tverem sdo assocados aos clusters pas ndcados pelos índces cuo valor é gual a, a clusterzação está concluída e podemos então avalar a qualdade da mesma. 2.2 O Módulo Evolutvo do AE-R O módulo evolutvo do AE-R compõe-se de um AG cua população ncal é gerada segundo as densdades dos componentes conexos obtdos na fase de construção. omo podemos ver, o número de uns (s) no ndvíduo fornecerá o número de clusters do mesmo. Assm, podemos ver faclmente que dentro do ntervalo [,m], com m dado pelo número de componentes conexos, o número deal de clusters a ser encontrado pelo algortmo é bem menor quando comparado ao número de combnações possíves dentro do ntervalo orgnal [, n] dado pela cardnaldade da base de dados X. Para avalar um ndvíduo, utlzamos o crtéro Average Slhouette Wdth apresentado em Kaufman (989). Antes de explcarmos os mecansmos dos operadores do AE-R, defnmos a função de avalação que resulta no ftness de cada ndvíduo. Para tanto, sea um ponto pertencente ao cluster w construído na clusterzação, onde w M >. onsdere a dssmlardade méda de em relação a todos os pontos w dada pela equação (6), onde d é a dstânca eucldana descrta pela equação entre os pontos e. Nos casos em que w possur um únco elemento, defnmos a() 0. M a ( ) d ( 6 ) M onsdere, anda, cada um dos clusters com w. A dssmlardade méda do ponto em relação a todos os pontos de é mostrada na equação (7), onde M é o número de pontos do cluster. M d (, ) d ( 7 ) M Denota-se b() o menor valor dentre todos os d(, ), o que é obtdo pela equação (8). Note que b() é obtdo pelo cluster que sea o vznho mas próxmo do ponto b( ) mn d(, ) (8) c w Defnmos o valor da slhueta do ponto pela equação (2), dada por: b ( ) a ( ) s ( ) ( 9 ) max ( a ( ), b ( ) ) Para avalarmos a qualdade da solução, calculamos a méda artmétca de todos os s() s obtdos. Desta forma, a função de aptdão do ndvíduo é dada por:

4 Artgo apresentado e publcado nos Proc. of the XII LAIO 2004 XII Latn-Ibero-Amercan ongress on Operatons Research f sueto N N a s ( ) Para efetuar a seleção dos ndvíduos reprodutores, o operador utlzado é o Método da Roleta. Entretanto, como a equação que defne a aptdão do ndvíduo admte valores dentro do ntervalo [-, ], portanto podendo assumr valores negatvos, aumentamos uma undade no valor de f para cada ndvíduo. Ao fnal do processamento, subtraímos uma undade do valor de f do ndvíduo campeão. O operador de crossover utlzado no AE é o crossover de dos pontos. Foram desenvolvdos dos operadores de mutação para o AE cuo emprego é alternado a cada cruzamento. O prmero é o operador tradconal, no qual cada elemento da strng pode sofrer mutação com probabldade gual a p(m), passando do valor zero para um, ou vce-versa. O segundo operador de mutação funcona através de sobreposção de anelas. Para exemplfcar, consdere o ndvíduo F gerado do crossover. Dentro do ntervalo [, F ], onde F é o tamanho da strng do ndvíduo, são escolhdos aleatoramente dos pontos de corte p e q, com p < q, e um ponto de nserção t escolhdo aleatoramente no ntervalo (p, q). Os dos pontos de corte defnem uma anela w p,q, como no operador crossover. Defnda a anela, um outro ndvíduo é gerado a partr de F da segunte forma: consderando a strng de F como uma lsta crcular, a partr do ponto de nserção t, a anela w pq será nserda na cadea orgnal de F, gerando um novo ndvíduo F (mut). Após a aplcação dos operadores de crossover e mutação, cada descendente será nserdo na população caso o valor do seu ftness sea superor ao por ndvíduo da população atual. Além dsso, a cada geração, a taxa de reposção é de 95%, ou sea, apenas 5% da população é mantda para a geração segunte. 2.3 O Módulo de Reconexão de camnhos (R) A busca local aplcada em AEs tem encontrado bastante acetação por parte dos pesqusadores desta área (Och et al. (200)), fazendo crescer o nteresse no desenvolvmento de trabalhos na área de Algortmos Evolutvos. Neste contexto, a Reconexãp por amnhos (R) (Path-Relnng) apresenta-se como uma técnca de busca alternatva efcente em relação às buscas tradconas. O R consste em gerar todas as soluções ntermedáras entre uma solução base (SB) e uma solução alvo (AS). Normalmente ambas as soluções são escolhdas dentre as melhores geradas até o momento pela heurístca. Pode-se pesqusar no sentdo SB para AS ou vce versa, ou em ambas as dreções se sso for convenente. O prncípo básco do R é o de que entre duas soluções de qualdade pode exstr uma tercera melhor que os extremos. S ( 0 ) 3. RESULTADOS OMPUTAIONAIS E ANÁLISE QUALITATIVA Incalmente para avalar o AE-R, mplementamos este e também um AG da lteratura que segundo os autores apresentavam os melhores resultados para o PA até então. Para sso, antes de comentarmos detalhes das nossas smulações, vamos resumdamente descrever o AG da lteratura LUSTERING. O algortmo LUSTERING de Ln and Shueng (200) consste de um Algortmo Genétco (AG) que, a exemplo do AE-R, também se propõe resolver o PA. Este algortmo faz uso de uma heurístca baseada em busca bnára para a obtenção da melhor solução através de váras chamadas do própro AG com varações de um peso w que, presente na função de aptdão, prorza uma clusterzação com mutos ou poucos clusters conforme w cresça ou dmnua. Antes de ncar a execução do LUSTERING, vamos explcar a etapa de construção que utlza também concetos de componentes conexos como no AE-R, mas utlzando fórmulas e crtéros dferentes da nossa proposta. Salenta-se que nossa proposta surgu da necessdade de melhorar o desempenho desta construção de Ln e Shueng (200) que como veremos apesar da déa ser muto boa, a forma de defnr os seus passos é extremamente nstável. No LUSTERING calcula-se, para cada ponto, dstânca eucldana entre este ponto e seu vznho mas próxmo, denotada d v () e em seguda toma-se a méda destas dstâncas, dada por d ( ) para... N, onde N é o tamanho do conunto de entrada. A vsão de vznhança do algortmo é dependente de um parâmetro de entradaα, que será usado para a construção da matrz de adacênca M do conunto de entrada. A matrz M é gerada de acordo com a equação (4). se d v (, ) α. M [, ] ( ) o caso contráro N v

5 Artgo apresentado e publcado nos Proc. of the XII LAIO 2004 XII Latn-Ibero-Amercan ongress on Operatons Research Da matrz de adacênca M, é construído o conunto X {,... m }, onde cada é um componente conexo obtdo do grafo assocado a M, tal qual fo feto no AE-R. O algortmo construrá sua população como strngs bnáras de tamanho m, nas quas a ocorrênca de numa dada posção da cadea ndca que o -ésmo componente conexo ncará um clusters na solução fnal. O LUSTERING tem a função de aptdão f dada segundo a relação entre o somatóro das dstancas entre cada ponto e o centróde do cluster ao qual pertence e a dstânca entre cada ponto e o centróde dos demas clusters, conforme a equação (2), onde podemos ver a exstênca de um parâmetro de entrada w. f ( s ) D nt ( ) * w D nt ( ) (2 ) er O LUSTERING recebe como parâmetros de entrada dos valores reas w s e w l que defnem o ntervalo [w s,w l ] em que o parâmetro w da equação (2) assumrá na busca da melhor clusterzação, ou sea, aquela com o número deal de clusters. Na heurístca de busca do melhor valor para o parâmetro w da equação (2), o módulo genétco é chamado ncalmente para w w s, depos para w w l e posterormente para w w m (w s + w l ) / 2. Podemos ver que o LUSTERING não tem uma vsão de vznhança apurada. O que o algortmo faz é calbrar seus parâmetros numa tentatva de achar a calbragem deal, o que para algumas nstâncas acaba sendo uma tarefa árdua e mutas vezes nefcaz. Os parâmetros usados do LUSTERING foram os mesmos sugerdos pelos autores, ou sea, tamanho da população gual a 50 ndvíduos, número de gerações gual a 00, taxa de crossover gual a 85% e taxa de mutação gual a 5%. No caso do AE e do AE-R, apenas o número de ndvíduos fo dferente do LUSTERING, tendo sdo fxado em 0 ndvíduos. Utlzamos como medda de qualdade da solução o valor apresentado pela solução de cada algortmo expresso pela função de aptdão utlzada pelo AGS, á que a solução expressa por esta função está tão próxma da solução deal quanto seu valor se aproxmar de. Desta forma, uma vez que a função de aptdão usada pelo algortmo da lteratura (LUSTERING) na mesma função usada pelo AGS, após o mesmo ter encontrado a solução, esta é avalada para que seu valor sea expresso com base na equação (0). Os resultados apresentados na tabela () apresentam a méda dos valores das 00 soluções obtdas por cada algortmo. Foram utlzadas 7 nstâncas para verfcar a efcênca do AGS, deste total, quatro nstâncas são da lteratura e 3 foram geradas artfcalmente de forma a gerar clusters com formatos varados e com densdades varadas. Das quatro nstâncas da lteratura, lstadas em negrto na tabela, duas são artfcas no espaço R 2 a saber: Ruspn e 200p Kaufman (989). A base Ruspn é composta de 75 pontos dstrbuídos em quatro clusters. Já a base de dados 200p consste de uma dstrbução normal onde cada ponto p é um vetor (µ x, µ y ) com desvo padrão ρ para x e y. A dstrbução gera três grupos conforme segue. Grupo : 20 pontos µ x, 0 µ y 0 ρ.7 Grupo 2: 60 pontos µ x, 20 µ y 2 ρ 0.7 Grupo 3: 20 pontos µ x, 0 µ y 20 ρ.0 As outras duas nstâncas da lteratura são bases reas. A nstânca Wnconsn Breast ancer Database (Mangasaran (990)) é uma base de dados composta de 699 pontos formados por 9 atrbutos que caracterzam tumores no tratamento de câncer. Dos 699 pontos, 6 foram excluídos da base por apresentarem atrbutos ausentes. Desta forma, o conunto de pontos efetvamente avalado é composto de 683 elementos. A últma nstânca da lteratura é a Irs Plants Database (R. A. Fsher (936)), composta de 50 pontos no espaço R 4 dvddos em três grupos de 50 pontos. ada grupo refere-se a uma classfcação de tpo de rs de planta: írs Setosa, írs Verscolor e írs Vrgnca. Os atrbutos dos pontos referem-se às meddas de largura e comprmento da pétala e da sépala da planta. As demas nstâncas da tabela, foram geradas aleatoramente. Para efeto de comparação dos resultados, a tabela apresenta desempenho médo do AE e do AE-R além do desempenho do LUSTERING. Nesta análse, cada algortmo executou 00 vezes e a méda fo calculada para gerar a tabela. Os valores em negrto ndcam o melhor desempenho, á que a função obetvo é de maxmzação. Instânca AE-R AE LUSTERING 200p ancerdata IrsData RuspnData p6c p pc face ra

6 Artgo apresentado e publcado nos Proc. of the XII LAIO 2004 XII Latn-Ibero-Amercan ongress on Operatons Research 350p5c dens p onvdensty ovexo Face Moreshapes Numbers Numbers Tabela : Desempenho médo dos algortmos avalados. Na análse dos resultados obtdos, observamos a efcênca do AE e prncpalmente do AE-R em termos de encontrar o número deal de clusters, a sua robustez e a qualdade da solução gerada. Podemos ver que tanto o AE como o AE-R apresentaram desempenho bem superor ao algortmo da lteratura. Além dsso, podemos ver que a R ncorporado pelo AE-R mplcou em melhora do desempenho em 8 das 7 nstâncas testadas. Para efeto de verfcação da robustez do algortmo proposto, efetuamos também uma análse probablístca sugerda em Aex et al. (2003). Esta análse se ustfca por uma das lmtações clásscas de heurístcas e algumas metaheurístcas que é a sua grande sensbldade com os parâmetros de entrada do problema. Ou sea, o desempenho destes algortmos pode varar muto de uma nstanca a outra. Para verfcarmos a robustez dos métodos aqu propostos, colocamos como crtéro de parada para todos os algortmos, um valor alvo (valor de MQ), obtdo de smulações prelmnares destes métodos para cada nstânca. O alvo pode ser uma méda dos valores obtdos, ou um dos melhores valores, se queremos alvos mas dfíces. Defndo o alvo, cada algortmo é executado m vezes para cada nstânca seleconada. A cada execução, armazena-se o tempo de cpu t, e uma probabldade p ( ½).m ( no nosso caso m 00). om sso geramos pontos no R 2 da forma z (t,p). omo forma de avalar a efcênca do algortmo proposto, a fgura mostra a análse probablístca do AE, do AE-R e do LUSTERING, além das versões AE-S e AE-RS, que são o AE e AE-R sem a heurístca de construção. Fgura : Análse probablístco para nstânca 200p. Podemos ver pela fgura que o AE e o AE-R apresentam 00% de chance de chegar ao alvo antes dos prmeros 00 segundos de processamento (as duas curvas mas a esquerda). Já as versões sem a heurístca de construção AE-S e AE-RS para esta probabldade precsam de mas de 500 segundos de processamento (duas curvas ntermedáras). Anda assm, as versões sem construção são melhores que o algortmo da lteratura, que para esta probabldade precsa de mas de segundos (curva mas a dreta). Isto reflete a robustez dos algortmos propostos. 4. onclusões Neste trabalho apresentamos um algortmo de clusterzação herárquca para o PA que, para todas as nstâncas submetdas, apresentou resultados de boa qualdade em termos de otmzação da função obetvo, do número deal de clusters e tempo de processamento. Além dsso, nossa abordagem enquanto reduz a

7 Artgo apresentado e publcado nos Proc. of the XII LAIO 2004 XII Latn-Ibero-Amercan ongress on Operatons Research cardnaldade do conunto de entrada, tra proveto desta redução para abrevar o processo de busca, fato este comprovado pela capacdade do algortmo de encontrar a solução nas prmeras gerações mesmo numa população pequena de ndvíduos. 5. Bblografa. Aex, R., Bnato, S., e Resende (2003), M. Parallel GRASP wth path-relnng for ob shop schedulng. Parallel omputng 29, R. A. Fsher (936), The use of multple measurements n taxonomc problems, Annual Eugencs, 7, Part II, L. Kaufman and P. J. Rousseeuw (989), Fndng Groups n Data - An Introducton to luster Analyses, Wley Seres n Probablty and Mathematcal Statstcs, John Wley and Sons. O. L. Mangasaran and W. H. Wolberg (990), ancer dagnoss va lnear programmng, SIAM News, 23, Number 5, September, - 8. Y. T. Ln, Y. B. Shueng (200), A genetc approach to the automatc clusterng problem, Pattern Recognton, 34, Och, L. S., Drummond, L. M. A., Vanna, D. S.(200), An asynchronous parallel metaheurstc for the perod vehcle routng problem, Future Generatons on omp. Systems, Elsever, pp , vol 7(4). G.Toussant (980), The relatve neghborhood graph of a fnte planar set, Patt. Recognton, 2,