Guias de Onda e Cavidades Ressonantes

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1 Capítulo 6 Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 6.1 Introdução Assim como as linhas de transmissão, os guias de onda são dispositivos utilizados para o transporte de energia e informação de um ponto a outro no espaço. Os guias são estruturas metálicas cilíndricas ocas que, na prática, têm seção transversal retangular, circular ou elíptica, como mostra a Figura 6.1. A vantagem dos guias está no fato das perdas ao longo de seu comprimento serem menores que aquelas oferecidas por linhas de transmissão, uma vez que eles não são preenchidos por dielétricos. Por outro lado, os guias de onda só podem ser empregados em freqüências altas (a partir da faixa de microondas, pois as suas dimensões dependem da freqüência mínima de propagação das ondas no interior destes. Diferentemente do que foi visto no estudo de linhas de transmissão, a análise de propagação de ondas eletromagnéticas em guias de ondas só pode ser feita através da teoria eletromagnética, partindo-se das equações de onda envolvendo os campos elétrico e magnético. Não é possivel fazer uma análise em termos de circuitos elétricos, pois não se sabe como está distribuída a corrente noúnico condutor externo que compõe o guia. Para auxiliar a determinação dos campos eletromagnéticos que se propagam num guia, são apresentados na Seção 6.2 os potenciais vetores de Hertz [7]. Porém, vale a pena salientar que é possível se obter estes campos diretamente das equações de Maxwell. 103

2 l l l CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 104 2a (a a (c b b (b a Figura 6.1: Tipos de guias: (a cilíndrico circular; (b retangular; (c elíptico. 6.2 Potenciais Vetores de Hertz Assim como os potenciais de retardo A e F [2], os potenciais vetores de Hertz elétrico Π e e magnético Π h são grandezas matemáticas que auxiliam na resolução das equações de onda [7]. Sabe-se da análise vetorial que campos vetoriais obedecem a seguinte condição assim como uma função potencial φ qualquer satisfaz F 0 (6.1 φ =0 (6.2 Num espaço livre de cargas elétricas, os campos elétrico e magnético satisfazem as equações de Maxwell e E =0 (6.3 H =0 (6.4 Portanto, pode-se escrever os vetores campo elétrico e campo magnético em função de potenciais que obdeçam a identidade (6.1, isto é,

3 Potenciais Vetores de Hertz e E = jωµ Π h (6.5 H = jω ɛ Π e (6.6 Substituindo-se (6.5 na equação de Maxwell tem-se Logo, ou de uma forma geral H = jω ɛe (6.7 H = k 2 Π h (6.8 H = k 2 Π h (6.9 H = k 2 Π h + φ h (6.10 Substituindo-se (6.5 e (6.10 na equação de Maxwell tem-se ou E = jωµh (6.11 Π h = k 2 Π h + φ h (6.12 ( Π h 2 Π h = k 2 Π h + φ h (6.13 Impondo-se a condição de Lorentz obtém-se φ h = Π h ( Π h + k 2 Π h = 0 (6.15 A solução da equação diferencial (6.15 fornece a expressão do potencial vetor de Hertz magnético que, por sua vez, possibilita a determinação de E através de (6.5 e H a partir de

4 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 106 H = k 2 Π h + ( Π h = Π h (6.16 De forma semelhante, pode-se obter a equação diferencial que fornece a expressão do potencial vetor de Hertz Π e a partir da substituição de (6.6 em (6.11, ou seja, ou, de uma forma geral, E = k 2 Π e (6.17 Substituindo-se (6.6 e (6.18 em (6.7, tem-se E = k 2 Π e + φ e (6.18 ou Π e = k 2 Π e + φ e (6.19 Impondo-se a condição de Lorentz ( Π e 2 Π e = k 2 Π e + φ e (6.20 obtém-se φ e = Π e ( Π e + k 2 Π e = 0 (6.22 A partir da solução de (6.22 pode-se determinar a expressão do campo magnético através de (6.6 e a do elétrico a partir de E = k 2 Π e + ( Π e = Π e ( Modos de Propagação num Guia Foi visto nos capítulos anteriores que uma onda propagando-se no espaço-livre tem campo elétrico e magnético transversais ou ortogonais à direção de propagação, isto é, a onda é dita TEM (transversal elétrica e magnética. Numa linha de transmissão constituída de condutores perfeitos, a propagação é também do tipo TEM. Entretanto, nos guias de onda, o modo de propagação TEM não é suportado, ou melhor, não tem condições de existir isoladamente. A onda que se propaga num guia pode ser considerada como uma combinação linear de frentes de ondas TEM

5 Modos de Propagação num Guia k 2 E 1 H 1 E 2 H 2 + = k 1 TEM 1 TEM 2 E TE H k caminho da fente de onda 2 sonda frente de onda TEM 2 frente de onda TEM 1 caminho da fente de onda 1 Figura 6.2: Ondas Transversal Elétrica (TE, resultado da combinação de duas frentes de onda TEM. que sofrem múltiplas reflexões ao longo das paredes deste. O resultado desta combinação de frentes TEM são ondas que possuem componentes de campo na direção de propagação, como mostrado nas Figuras 6.2 e 6.3. Quando todas as componentes do campo elétrico são transversais à direção de propagação, diz-se que a onda se propaga no modo TE (transversal elétrico. Enquanto aquelas com componentes de campo magnético transversal são denominadas de onda TM (transversal magnético. O modo de propagação num guia de onda depende do tipo de excitação, ou melhor, de como a onda é injetada neste. A excitação de guias pode ser feita através de sondas ou acoplamento eletromagnético. A Figura 6.4 mostra um guia retangular sendo excitado por um cabo coaxial terminado numa sonda. Observa-se nas Figuras 6.4a e 6.4b que a sonda é reta e está colocada numa das paredes laterais do guia. Nesta posição, a sonda radia ondas eletromagnéticas que se propagam no modo TE. O vetor campo elétrico tem a mesma direção da sonda reta, enquanto o campo magnético próximo circula a mesma. Já as Figuras 6.4c e 6.4d mostram uma excitação que favorece a propagação do modo TM, pois o campo magnético circulante está totalmente transversal àdireção de propagação.

6 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 108 E 1 E 2 H 1 H 2 k 1 k 2 + = TEM 1 TEM 2 H TM E k caminho da fente de onda 2 frente de onda TEM 2 frente de onda TEM 1 sonda caminho da fente de onda 1 Figura 6.3: Ondas Transversal Elétrica (TM, resultado da combinação de duas frentes de onda TEM. 6.4 Campos num Guia de Onda Para se obter as expressões dos campos elétrico e magnético dentro de um guia de onda é necessário se utilizar as equações de Maxwell, que levam, inevitavelmente, à resolução das equações de onda. Se a variação dos campos no tempo é harmônica, então, resolve-se apenas as equações de Helmholtz para se obter as expressões dos campos em qualquer ponto do espaço interno do guia. Como foi dito anteriormente, estas expressões podem ser obtidas através dos potenciais vetores de Hertz Modo Transversal Elétrico Sabe-se que, no modo de propagação TE, uma das componentes do campo magnético está alinhada com a direção de propagação. Portanto, pode-se associar essa componente com o potencial vetor de Hertz do tipo magnético. No caso de um guia cujo comprimento coincide com a direção z, o potencial vetor magnético é escrito como Π h =Π h a z (6.24

7 Campos num Guia de Onda Linha Coaxial b Sonda a l (a H t (b b Sonda a l (c (d Figura 6.4: Guia retangular com excitação para operar no: modo TE, (a corte transversal e (b corte longitudinal; modo TM, (c corte transversal e (d corte longitudinal. Portanto, os campos elétrico e magnético no interior do guia podem ser obtidos respectivamente de (6.5 e (6.16. Observe que as expressões obtidas de (6.5 são ortogonais àdireção de propagação, confirmando que o modo de propagação édo tipo TE. Já aequação (6.16 fornece as componentes transversais e na direção de propagação. Entretanto, é necessário primeiro determinar a expressão do potencial vetor Π h a partir de (6.15. Considerando que a propagação da onda se dá no sentido z +,asolução de (6.15 tem que ser do tipo Π h =Π h a z = ψ h (x, y e γz a z (6.25 sendo ψ h (x, y uma função que representa a variação transversal do potencial vetor e γ = α + jβ a constante de propagação da onda no guia. Lembrando-se que o Laplaciano em coordenadas retangulares é 2 Π h = 2 Π h x 2 ecomoπ h é dado por (6.25, então, + 2 Π h y Π h z 2 ( Π h = 2 Π h x Π h y 2 + γ 2 Π h = 2 t Π h + γ 2 Π h = 0 (6.27

8 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 110 Dessa maneira, a equação (6.15 pode ser reescrita como ou simplesmente onde 2 t Π h + k 2 cπ h = 0 ( t ψ h + k 2 cψ h = 0 (6.29 k 2 c = γ 2 + k 2 (6.30 Apesar da dedução da equação (6.29 ter sido feita utilizando coordenadas retangulares, este resultado pode ser aplicado em qualquer sistema de coordenadas. Como foi dito anteriormente, o campo elétrico pode ser obtido de (6.5, isto é, ( Πh E = jωµ Π h = jωµ y a x Π h x a y (6.31 ou E = jωµa z t Π h = jωµe γz a z t ψ h (6.32 Enquanto o campo magnético é dado por ou H = k 2 Π h + ( Π h =k 2 ψ h e γz a z γ ( ψ h e γz (6.33 H = k 2 cψ h e γz a z γe γz t ψ h (6.34 Sendo assim, as componentes dos campos para modo TE são obtidas de: E t = jωµe γz a z t ψ h (6.35 H t = γe γz t ψ h (6.36 e H z = kcψ 2 h e γz a z (6.37 onde a expressão de ψ h (x, y vai depender da geometria da seção transversal do guia.

9 Campos num Guia de Onda Modo Transversal Magnético De maneira semelhante, pode-se obter os campos eletromagnéticos para o modo de propagação TM. Sendo que, neste caso, uma das componentes do campo elétrico está alinhada com a direção de propagação. Portanto, pode-se associar essa componente com o potencial vetor de Hertz do tipo elétrico Π e =Π e a z (6.38 considerando-se que o guia tem comprimento ao longo de z. Desta forma, os campos elétrico e magnético no interior do guia podem ser obtidos respectivamente de (6.23 e (6.6. A expressão do potencial vetor Π e é fornecida por (6.22, que tem como solução, para uma onda propagando-se no sentido z +, Π e =Π e a z = ψ e (x, y e γz a z (6.39 Dessa maneira, a equação (6.22 pode ser reescrita como ou onde kc 2 (6.6 é ou 2 t Π e + k 2 cπ e = 0 ( t ψ e + k 2 cψ e = 0 (6.41 continua sendo dado por (6.30. Portanto, o campo magnético obtido de H = jωɛ Π e = jωɛ ( Πe y a x Π e x a y (6.42 H = jωɛa z t Π e = jωɛe γz a z t ψ e (6.43 enquanto o campo elétrico é dado por E = k 2 Π e + ( Π e =kcψ 2 e e γz a z γe γz t ψ e (6.44 Sendo assim, as componentes dos campos para modo TM são fornecidas por: H t = jωɛe γz a z t ψ e (6.45 e E t = γe γz t ψ e (6.46

10 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 112 E z = kcψ 2 e e γz a z (6.47 onde a expressão de ψ e (x, y vai depender da geometria da seção transversal do guia. 6.5 Características de Ondas Guiadas Com exceção das impedâncias modais, todas as expressões apresentadas a seguir são válidas para os modos TE e TM Constante de Propagação Nota-se nas equações (6.29 e (6.41 que a propagação da onda num guia qualquer depende do parâmetro k c, denominado número de onda de corte. Portanto, pode-se obter da equação (6.30 γ = kc 2 k 2 (6.48 Se o número de onda k for igual a k c, γ é zero e, conseqüentemente, não existe propagação de onda no guia. Para um guia sem perda onde k<k c, γ éreal(iguala α, a onda não se propaga e a intensidade dos campos diminui exponencialmente ao longo do comprimento. Quando neste mesmo guia k>k c,tem-seγ = jβ e a onda propaga-se com constante de fase β = k 2 k 2 c ( Comprimento de Onda Guiada e de Corte O comprimento de onda de corte está relacionado com o número de onda de corte k c através de λ c = 2π k c (6.50 Para que haja propagação de onda no guia, o comprimento desta onda tem que ser menor que o comprimento fornecido pela equação (6.50, pois k>k c implica em λ<λ c. O comprimento da onda guiada é fornecido por λ g = 2π β = λ ( ( λ 1 λ c

11 Características de Ondas Guiadas Freqüência de Corte É simplesmente a razão entre a velocidade da luz no meio dielétrico que constitui o interior do guia e o comprimento de onda de corte. Isto é, Velocidade de Fase f c = A velocidade de fase da onda guiada éobtidade v f = ω β = λ g f = c λ c ɛr (6.52 c [ ( ] ( λ ɛ r 1 λ c Velocidade de Grupo Sabe-se que a velocidade de grupo é definida como v g = ω β = logo, para uma onda propagando-se num guia, tem-se ( 1 β (6.54 ω v g = c ( 2 λ 1 (6.55 ɛr λ c Observa-se que, para λ c λ, a velocidade de grupo é igual a de fase que, por sua vez, é igual a velocidade de uma onda TEM num meio não dispersivo Impedâncias Modais As impedâncias modais são definidas como a razão entre o módulo do vetor campo elétrico e o módulo do vetor campo magnético, ambos transversais à direção de propagação. Para o caso TE, estes campos são fornecidos respectivamente por (6.35 e (6.36, de forma que Z TE = E x = E y = jωµ H y H x γ Quando não existem perdas, γ = jβ e (6.56

12 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 114 ou Z TE = ωµ β = kη β Z TE = (6.57 η ( ( λ 1 λ c Já paraocasotm,aimpedância éobtidadarazão dos campos fornecidos por (6.46 e (6.45, isto é ou para o caso sem perdas Z TM = E x H y = E y H x = γ jωɛ (6.59 ( 2 λ Z TM = η 1 (6.60 Pode-se verificar que as impedâncias modais variam de acordo com a freqüência de excitação e a freqüência de corte. 6.6 Guia Retangular Até agora, foram deduzidas expressões para guias com seção transversal qualquer. Quando a geometria da seção transversal do guia é definida, pode-se então resolver as equações diferenciais (6.29 e (6.41 e, assim, determinar as expressões dos campos, comprimento de onda de corte e outros parâmetros. Os guias de seção retangular são muito utilizados na prática. Na notação adotada neste livro, a maior dimensão transversal tem comprimento a e está alinhada ao longo da direção x, enquanto a menor dimensão, b, coincide com o eixo y. A Figura 6.4b mostra a geometria deste tipo de guia Modo H (TE Para se obter os campos eletromagnéticos que se propagam, no modo TE, dentro de um guia retangular, resolve-se a equação diferencial (6.29, cuja solução fornece o comportamento dos campos no plano transversal àdireção de propagação. A solução depende das condições de contorno que, neste caso, estão associadas às componentes tangenciais do campo elétrico nas paredes do guia. Sabe-se que estas componentes λ c

13 Guia Retangular tangenciais do campo elétrico na interface dielétrico-condutor são sempre iguais a zero, portanto, de (6.35 conclui-se que ψ h x = 0 (6.61 nas paredes localizadas em x =0ex = a. Da mesma forma que ψ h y = 0 (6.62 em y =0ey = b. Utilizando-se o método da separação das variáveis, onde se considera obtém-se de (6.29 duas equações diferenciais ordinárias: ψ h (x, y =f(x g(y (6.63 e sendo d 2 f(x dx 2 + k 2 x f(x = 0 (6.64 d 2 g(y dy 2 + k 2 y g(y = 0 (6.65 kc 2 = kx 2 + ky 2 (6.66 Aequação (6.64 tem solução do tipo f(x =C 1 e jkxx + C 2 e jkxx (6.67 ou f(x =A sen k x x + B cos k x x (6.68 enquanto (6.65 fornece g(y =C sen k y y + D cos k y y (6.69 Sendo assim, ψ h (x, y =(Asen k x x + B cos k x x(c sen k y y + D cos k y y (6.70 Aplicando-se as condições de contorno (6.61 em (6.70, tem-se

14 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 116 [Ak x cos k x x Bk x sen k x x] x=0x= a = 0 (6.71 Observe que, para x =0,aA =0e,parax = a, portanto, ou Bk x sen k x a = 0 (6.72 k x a = mπ (6.73 k x = mπ (6.74 a De maneira semelhante, aplicando-se as condições de contorno (6.62 em (6.70, obtém-se C =0e k y = nπ b (6.75 onde n e m são inteiros positivos. Substituindo (6.74 e (6.75 em (6.66, tem-se (mπ 2 ( nπ 2 k c = + (6.76 a b Portanto, o comprimento de onda de corte para o modo TE é dado por λ c = 2π k c = 2ab (mb 2 +(na 2 (6.77 Aequação (6.77 fornece os comprimentos de onda de corte possíveis para guias de onda retangulares. Sendo que o comprimento de onda de corte mais longo é obtido para m =1en = 0, ou seja, λ c =2a, oquelevaàfreqüência de corte mais baixa num dado guia de dimensões a b. Quando a freqüência da onda injetada no guia tem valores próximos (e acima desta freqüência de corte, diz-se que o guia está operando no modo dominante ou, neste caso, TE 10. Élógico que outros modos do tipo TE podem ser excitados, isto vai depender da freqüência de operação e da forma de excitação (posicionamento da(s sonda(s. Modos acima do dominante são denominados modos superiores, ou TE mn, sendo m e n diferentes de um e zero, respectivamente. As equações dos campos dentro do guia são obtidas substituindo

15 Guia Retangular ψ h (x, y =BD cos k x x cos k y y = H o k 2 c ( nπ cos a x cos b y (6.78 em (6.35, (6.36 e (6.37. Observe que, para a componente de campo magnético em (6.37 ser expressa em A/m, é necessário que BD seja igual a H o /k 2 c, onde H o é a intensidade máxima de campo magnético. Portanto, e E x = jωµe γz ψ h y = nπγ ( nπ E bkc 2 o cos a x sen b y e γz (6.79 E y = jωµe γz ψ h x Não havendo perdas, têm-se = mπγ ak 2 c ( nπ E o sen a x cos b y e γz (6.80 H x = γe γz ψ h x = E y Z TE (6.81 H y = γe γz ψ h y = E x Z TE (6.82 H z = H o cos E x = jnπβ bk 2 c E y = jmπβ ak 2 c a x ( nπ cos b y e γz (6.83 ( nπ E o cos a x sen b y e jβ z (6.84 ( nπ E o sen a x cos b y e jβ z (6.85 H x = E y Z TE (6.86 e sendo H y = E x Z TE (6.87 ( nπ H z = H o cos a x cos b y e jβ z (6.88 E o = ωµ β H o (6.89

16 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes Modo E (TM Para se obter os campos eletromagnéticos que se propagam, nos modos TM mn, dentro de um guia retangular, resolve-se a equação diferencial (6.41, cuja solução fornece o comportamento dos campos no plano transversal à direção de propagação. Como foi visto para o modo TE mn, a solução depende das condiçõesdecontorno que, neste caso, estão associadas à componente tangencial do campo elétrico nas paredes do guia. Portanto, de (6.47 conclui-se que e ψ e x=0,x=a = 0 (6.90 ψ e y=0,y=a = 0 (6.91 Utilizando-se mais uma vez o métododaseparação das variáveis em (6.41 e aplicando-se as condições de contorno, obtém-se a solução do tipo ψe(x, y = E o sen k kc 2 x x sen k y y (6.92 onde k x e k y são fornecidos por (6.74 e (6.75 respectivamente. O comprimento de onda de corte continua sendo dado por (6.76. Enquanto as componentes dos campos são obtidas de: H x = jωɛ e γz ψ e y = nπγ ( nπ H bkc 2 o sen a x cos b y e γz (6.93 H y = jωɛ e γz ψ e x = mπγ ak 2 c ( nπ H o cos a x sen b y e γz (6.94 e Não havendo perdas, têm-se E x = γe γz ψ e x = Z TM H y (6.95 E y = γe γz ψ e y = Z TM H x (6.96 E z = E o sen H x = jnπβ bk 2 c a x ( nπ sen b y e γz (6.97 ( nπ H o sen a x cos b y e jβ z (6.98

17 Guia Retangular H y = jmπβ ak 2 c ( nπ H o cos a x sen b y e jβ z (6.99 e sendo E x = Z TM H y (6.100 E y = Z TM H x (6.101 ( nπ E z = E o sen a x sen b y e jβ z (6.102 E o = β ωɛ H o (6.103 Observe nas equações acima que os modos TM m0 etm 0n não existem, pois basta m ou n ser igual a zero para que todas as componentes dos campos sejam nulas. Sendo assim, o menor modo TM possível de se propagar num guia de seção transversal retangular éomodotm 11. Exemplo 6.1 Determine as dimensões de um guia retangular oco para transmitir um conjunto de canais com freqüência central igual a 7,75GHz e banda total igual a 500MHz. Qual o comprimento de onda guiado para a freqüência central? O guia deve trabalhar no modo dominante. Solução: Paraomododominante,TE 10,tem-se f c = c = c λ c 2a Afreqüência de corte, neste caso, deve ser 7,5 GHz para possibilitar a transmissão dos canais compreendidos na faixa de 500MHz. Portanto, a largura do guia éentão a = c = =0, 02 m 2f c 1, Nestecaso,aalturadoguiapodeassumirqualquervalorquenão seja muito pequeno. Em geral utiliza-se b = a/2. O comprimento de onda guiado, para a freqüência central, é λ o 0, 0387 λ g = 1 ( λ o = 2 ( 0, 154 m 2 2a 1 0,0387 0,04

18 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 120 Linha Coaxial λ 1 /2 b λ 1 /4 Sonda a l (a (b λ 2 /4 λ 2 /4 b Sonda (c (d Figura 6.5: Guias retangulares com a = 20mm e b = 10mm. Exemplo 6.2 Determine as freqüências de corte dos guias apresentados na Figura 6.5. Por que a distância entre as sondas e a parede transversal éigualaλ/4? Solução: As Figuras 6.5a e 6.5b mostram um guia operando no modo TE, pois ocampoelétrico gerado, que tem a mesma direção das sondas, é perpendicular à direção de propagação. A partir da posição e diferença defaseentresassondasno plano transversal (Figura 6.5a, pode-se determinar que modo TE mn o guia está operando. Observe que, neste caso, a diferença de fase introduzida pelo trecho de cabo entre as sondas éde180 (l = λ/2. Portanto, quando a tensão émáxima numa sonda, na outra ela émínima. Sabe-se que as ondas geradas pelas sondas são refletidas pelas paredes laterais do guia, produzindo, em determinadas freqüências, padrões estacionários na direção transversal. A posição e a diferença de fase das sondas na Figura 6.5a indicam que o menor modo possível de propagação ocorre quandoopadrão estacionário é igual a um comprimento de onda. Sendo assim, λ c = a = 20mm e f c = c λ c = c a =15GHz

19 Guia Cilíndrico produzindo-se o modo de operação TE 20. Já o guia apresentado nas figuras 6.5c e 6.5d opera no modo TE 10, pois a sonda está posicionada a uma distância a/2 das paredes laterais do guia, gerando um padrão igual a meio comprimento de onda. Logo, λ c =2a = 40mm e f c = c = c =7, 5GHz λ c 2a As sondas são posicionadas a λ g /4 da parede transversal para evitar interferência destrutiva. Sabe-se que a reflexão da onda na parede condutora produz uma defasagem de π e que a defasagem da onda para ir até a parede e voltar é igual a φ = βl = 2π λ g ( λg 4 + λ g 4 = π Portanto, a defasagem total é 2π, não havendo interferência destrutiva. 6.7 Guia Cilíndrico A Figura 6.1a mostra um guia cilíndrico de raio a ecomprimentol. Como foi visto no caso retangular, para se obter as características das ondas eletromagnéticas nos dois modos de propagação, torna-se necessário a resolução das equações diferenciais (6.29 e (6.41. Neste caso, por se tratar de uma geometria cilíndrica circular, tem-se como uma das equações diferenciais ordinárias, resultado do método da separação de variáveis, a equação de Bessel. As equações (6.29 e (6.41 podem ser escritas, em coordenadas cilíndricas, como 2 ψ r + 1 ψ 2 r r ψ r 2 ϕ + 2 k2 cψ = 0 (6.104 onde ψ(r, ϕ podeserψ e (r, ϕ ouψ h (r, ϕ. Considerando-se que obtém-se e ψ(r, ϕ =f(r g(ϕ (6.105 d 2 f dr + 1 df 2 r dr + (k 2c ν2 r 2 f = 0 ( g ϕ 2 + ν2 g = 0 (6.107

20 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 122 Aequação (6.106 é chamada de equação diferencial de Bessel e sua solução é da forma f(r =AJ v (k c r+bn v (k c r (6.108 onde J v (x é conhecida como funçãodebesseldoprimeirotipoen v (x função de Bessel do segundo tipo ou função de Neuman. Enquanto a (6.107 tem como solução g(ϕ =C sen νϕ + D cos νϕ (6.109 Como a função de Neuman tende a infinito quando r 0, então, para que haja uma solução que represente o fenômeno físico, B tem que ser igual a zero. Para que algum padrão estacionário exista na direção ϕ, é necessário que ν seja inteiro, pois avariação do campo tem que ser periódica com período igual a múltiplos de 2π. Sendo assim, tem-se ou simplesmente, ψ(r, ϕ =J m (k c r[c 1 sen mϕ + C 2 cos mϕ] (6.110 ψ(r, ϕ =AJ m (k c rcosmϕ (6.111 onde m éumnúmero inteiro positivo. A determinação das constantes C 1 e C 2 dependem das condições de contorno que, por sua vez, estão relacionadas com o campo tangencial elétrico na superfície interna do condutor cilíndrico Modo H (TE ParaocasoTE mn, a condição de contorno, obtida fazendo (6.35 igual a zero, é dada por ou ψ h r J m (k c r r = 0 (6.112 r=a = 0 (6.113 r=a o que corresponde às raízes da derivada da função de Bessel de ordem m (vide Figura 6.6, denominada aqui de p mn, sendo n aenésima raiz. Portanto, o número de onda de corte pode ser determinado utilizando-se

21 Guia Cilíndrico J' 1 (x J' 2 (x p' 11 p' p' J' 0 (x Figura 6.6: Gráficos das funções derivadas de Bessel J m(x, onde são indicadas as raízes p 11 =1, 84, p 12 =5, 33 e p 13 =8, 55. k c = p mn (6.114 a donde se pode obter o comprimento de onda de corte e outros parâmetros através das equações (6.48 a (6.60. Os campos, fornecidos por (6.37, (6.35 e (6.36, têm as seguintes expressões: H z = H o J m (k c rcosmϕ e γz (6.115 E r = jωµe γz1 ψ h r ϕ = E mγ o kcr J m(k 2 c rsenmϕ e γz (6.116 E ϕ = jωµe γz ψ h r = E γ J m (k c r o k c r cos mϕ e γz (6.117 H r = γe γz ψ h r = E ϕ Z TE (6.118 e, no caso sem perdas, H ϕ = γe γz1 r ψ h ϕ = E r Z TE (6.119

22 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes Modo E (TM H z = H o J m (k c rcosmϕ e jβ z (6.120 E r = E o jmβ k 2 cr J m(k c rsenmϕ e jβ z (6.121 jβ J m (k c r E ϕ = E o k c r cos mϕ e jβ z (6.122 H r = E ϕ Z TE (6.123 H ϕ = E r Z TE (6.124 Para o caso TM mn, a condição de contorno, obtida fazendo (6.47 igual a zero, é dada por ou ψ e r=a = 0 (6.125 J m (k c r r=a = 0 (6.126 o que corresponde às raizes da função de Bessel de ordem m (vide Figura 6.7, denominada aqui de p mn, sendo n aenésima raiz. Portanto, o número de onda de corte pode ser determinado utilizando-se k c = p mn (6.127 a donde, mais uma vez, se pode obter o comprimento de onda de corte e outros parâmetros através das equações (6.48 a (6.60. A Tabela (6.1 contém as raízes das funções de Bessel e derivadas para alguns modos de propagação. Os campos, fornecidos por (6.47, (6.45 e (6.46, têm as seguintes expressões: E z = E o J m (k c rcosmϕ e γz (6.128 H r = jωɛ e γz1 ψ e r ϕ = H mγ o kcr J m(k 2 c rsenmϕ e γz (6.129

23 Guia Cilíndrico 1 J 0 (x J 1 (x 0.5 J 2 (x p 02 0 p 01 p Figura 6.7: Gráficos das funções de Bessel J m (x, onde são indicadas as raízes p 01 =2, 4, p 02 =5, 52 e p 03 =8, 64. H ϕ = jωɛ e γz ψ e r = H γ J m (k c r o k c r cos mϕ e γz (6.130 E r = γe γz ψ e r = Z TM H ϕ (6.131 e, no caso sem perdas, E ϕ = γe γz1 r ψ e ϕ = Z TM H r (6.132 E z = E o J m (k c rcosmϕ e jβ z (6.133 H r = H o jmβ k 2 cr J m(k c rsenmϕ e jβ z (6.134 jβ J m (k c r H ϕ = H o k c r cos mϕ e jβ z (6.135 E r = Z TM H ϕ (6.136 E ϕ = Z TM H r (6.137

24 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 126 Tabela 6.1: Raízes das funçõoes de Bessel para diferentes modos de propagação. Modo mn TE p 3,832 7,016 10,173 1,841 5,332 8,537 3,054 6,706 9,969 TM p 2,405 5,52 8,654 3,832 7,016 10,173 5,136 8,417 11,62 Exemplo 6.3 Um guia cilíndrico oco é excitado através de uma sonda reta posicionada no centro da parede transversal. Determine o raio deste guia para a freqüência de corte de 5GHz. Solução: O modo de operação, neste caso, é do tipo TM, uma vez que as componentes de campo magnético são transversais à direção de propagação (campo magnético circulando em torno da sonda. O campo elétrico é máximo no centro do guia, onde está posicionada a sonda, portanto, a função de Bessel adequada ao problema é J 0 (k c a. Escolhendo-se o modo de propagação mais baixo, tem-se a = p mn k c = p 01c 2πf c = onde o modo de opereção éotm Atenuação em Guias 2, π , 023 m A atenuação nos guias de onda está associada com as perdas nas paredes condutoras do guia e no dielétrico que preenche o espaço interno deste. Sabe-se que as ondas se propagam dentro de um guia de acordo com e ±γz, quando este se encontra alinhado com o eixo z. A intensidade dos campos, neste caso, decai exponencialmente ao longo do comprimento, ou seja, para uma onda propagando-se no sentido z +,o campo elétrico diminui conforme a equação E(z =E o e αz (6.138 lembrando-se que α é o fator de atenuação e E o é a intensidade inicial do campo no plano z = Atenuação abaixo da Freqüência de Corte Para as freqüências abaixo da freqüência de corte não existe propagação de onda e sim campos evanescentes. A redução de intensidade dos campos ao longo do comprimento pode ser medida através de um fator de atenuação dado por

25 Atenuação em Guias ou α = k 2 c k 2 (6.139 ( λ α = 2π λ λ c lembrando-se que k c >k.nocasodeλ λ c,tem-se 2 1 (6.140 α 2π (6.141 λ c Em geral, o fator de atenuação é expresso em db/m, ou seja, α db =20loge α 8, 686α (6.142 Exemplo 6.4 Determine a atenuação do guia cilíndrico do Exemplo 6.3 considerando que a freqüência de excitação é 4,95GHz. Solução: A atenuação pode ser obtida diretamente da equação (6.140, ou seja, α = 2π λ o (λo λ c 2 1= 2πf c (fc , 77 uma vez que f c /f =5/4, 95 = 1, O valor da atenuação em decibéis é α db =8, , , 29 db Atenuação acima da Freqüência de Corte As perdas no dielétrico que preenche o interior do guia, para freqüências acima da freqüência de corte, estão relacionadas com o fator de atenuação f α d =Re{γ} (6.143 Sabe-se que a permissividade de um dielétrico que oferece perdas é complexa, portanto, Se a tangente de perdas α d =Re k 2 c ω 2 µ(ɛ jɛ (6.144

26 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 128 tg δ = ɛ ɛ então, pode-se demonstrar que ( 2 λ 1 (6.145 λ c α d π tg δ ( ( λ λ 1 λ c Para um guia oco tem-se ɛ 0eα d =0. A potência transmitida ao longo do comprimento do guia é proporcional ao quadrado do campo elétrico, portanto, P (z =P o e 2αz (6.147 sendo P o apotência inicial. O fator de atenuação devido a perdas nas paredes condutoras pode ser obtido a partir de ou seja, dp dz = 2αP (6.148 α = 1 dp ( P dz Aequação (6.149 indica que o fator de atenuação éarazão entre a taxa de redução da potência dp e duas vezes a potência transmitida 2 P.Apotência média transmitida éobtidadaintegração do vetor de Poynting na direção de propagação, dz P = W z ds (6.150 ou S P = Re{Z mn} 2 S H t 2 ds (6.151 onde S éaárea da seção transversal do guia, H t é o campo magnético transversal e Z mn aimpedância modal, fornecida por (6.58 no caso TE ou por (6.60 no caso TM. Enquanto que a potência perdida nas paredes do guia está associada à componente de onda que incide normalmente no condutor, ou seja,

27 Atenuação em Guias ou dp dz = W t dl (6.152 C dp dz = Re{η [ c} H z 2 + H 2 t 2] dl (6.153 C onde H t representa as componentes transversais que são paralelas às paredes do guia, C operímetro da seção transversal e η c aimpedância intrínseca do material condutor. O fator de atenuação devido às paredes condutoras do guia é portanto dado por α c = Re{η c} [ Hz 2 + H C t 2] dl 2Re{Z mn } H S t 2 (6.154 ds Aatenuação total no guia é obtida através do produto entre o comprimento e o fator de atenuação total, isto é, Quando o guia é oco, tem-se A db =8, 69(α d + α c l ( Atenuação num Guia Retangular A db =8, 69α c l (6.156 Substituindo-se as equações dos campos eletromagnéticos de um guia retangular na equação (6.154, demonstra-se que [29], para os modos TE, α c = R [( ] c b λ 2 δ n + δ m + (1 λ2 δn m 2 b 2 + δ m n 2 ab (6.157 bz d a λ 2 c λ 2 c m 2 b 2 + n 2 a 2 e, para os modos TM, α c = 2R c m 2 b 3 + n 2 a 3 (6.158 bz d m 2 b 2 a + n 2 a 3 sendo Z d fornecida por (6.58, no caso TE, e por (6.60, no caso TM. A resistência das paredes condutoras éobtidade ωµo R c = ( σ Oparâmetro δ m éiguala1param =0eiguala2quandom 0. Idemparaδ n.

28 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes Atenuação num Guia Cilíndrico Substituindo-se as equações dos campos eletromagnéticos de um guia cilíndrico na equação (6.154, pode-se demonstrar que [27], para os modos TE, [ ( α c = R ] 2 c λ m 2 + az d λ c (p mn 2 (6.160 m 2 e, para os modos TM, α c = R c (6.161 az d Exemplo 6.5 Continuando com o guia cilíndrico do Exemplo 6.3, determine a atenuação para uma freqüência de operação 10% acima da freqüência de corte. Considere 10m de um guia feito de latão, cuja condutividade relativa ao cobre é 28%. Solução: Comoomododeoperação éotm 01,então, deve-se utilizar a equação (6.161 para se determinar o fator de atenuação devido às paredes condutoras. Sendo oguiaoco,aatenuação total éentão dada por onde a =0, 023m e Portanto, A =8, 686α c l = 8, 686lR c aη R c = [ ( λ 1 λ c 2 ] 1/2 = 0, 553R c a ωµ 2σ = π 4, π , 035Ω 0, 28 5, A = 0, 553 0, 035 0, 023 0, 842 db 6.9 Cavidade Ressonante Cavidades ressonantes são dispositivos que armazenam energia na forma de campos eletromagnéticos. Elas são compartimentos metálicos fechados, comumente de forma cúbica ou cilíndrica, onde a energia eletromagnética é armazenada ou retirada através de sondas ou fendas devidamente posicionadas em suas paredes. A Figura 6.8 mostra dois exemplos de cavidade ressonante e seu circuito equivalente. Uma cavidade ressonante se comporta como um circuito tanque, sendo assim, pode ser

29 Cavidade Ressonante d y b x z a z (a d L C a y x (b (c Figura 6.8: Tipos de cavidades: (a de paredes retangular; (b cilíndrica. (c circuito equivalente. utilizada como filtro ou em circuitos osciladores. A diferença entre as cavidades e os circuitos ressonantes de alta freqüência, que utilizam componentes como capacitores e indutores, está na capacidade de trabalhar com potências relativamente altas. As principais características de uma cavidade ressonante são a freqüência de ressonância e o fator de qualidade. A primeira é fornecida por sendo f r = c λ r ɛr (6.162 λ r = 2π (6.163 k r onde k r é denominado número de onda de ressonância, cuja a expressão depende da geometria da cavidade e do modo de excitação. Enquanto que o fator de qualidade é definido como sendo o produto da energia máxima armazenada pela freqüência angular de ressonância, dividido pela potência dissipada, ou seja,

30 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 132 Q = ω re max (6.164 P d sendo E max a energia máxima, obtida de (1.111 ou (1.112, e P d apotência dissipada, dada por P d = Re {η c} 2 S H t 2 ds (6.165 Portanto, pode-se escrever o fator de qualidade como Q = 2ω r U V max dv Re {η c } H S t 2 (6.166 ds lembrando-se que H t representa as componentes de campo magnético tangenciais à superfície interna das paredes condutoras, S éaárea interna total, V ovolumeda cavidade e U max é a densidade volumétrica máxima de energia. O fator de qualidade étambém relacionado com a largura da faixa de passagem (ou rejeição através de Q = f r f onde f é a faixa de freqüências cuja atenuação é menor ou igual a 3dB. ( Cavidade com Paredes Retangulares Uma cavidade ressonante constituída de paredes retangulares pode ser considerada, para efeito de análise, como um guia de onda de seção transversal retangular encerrado por uma parede condutora (vide Figura 6.8a. Um padrão estacionário se estabelece ao longo da direção de propagação, se a distância entre as paredes transversais for igual a múltiplos de meio comprimento de onda de excitação, ou seja, d = l λ 2 (6.168 onde, neste caso, l é um número inteiro positivo. Portanto, a função que descreve avariação dos campos na direção de propagação, para um guia sem perdas, não é mais do tipo e jβ z ou e jβ z, mas a superposição das duas. Por exemplo, o campo elétrico transversal pode ser escrito como E t = E t1 (x, y e jβ z + E t2 (x, y e jβ z (6.169

31 Cavidade Ressonante Ocoeficientedereflexão no plano z =0é logo ou, para z = d, e ρ(0 = E t2 E t1 = 1 (6.170 E t =2jE t1 (x, ysenβz (6.171 ρ(d = E t1 E t2 e 2 jβ z = 1 (6.172 E t = 2jE t2 (x, ysenβz (6.173 Sabe-se que este campo é nulo nas paredes transversais, logo, se então donde se conclui que E t z=d = 0 (6.174 sen βd = 0 (6.175 k z = β = lπ d (6.176 Assim, o número de onda de ressonância pode ser calculado a partir de ( 2 lπ (mπ 2 ( nπ ( 2 2 lπ k r = kc 2 + = + + (6.177 d a b d conseqüentemente, tem-se f r = c (m 2 ( n ( 2 2 l (6.178 ɛ r a b d Como foi visto, o modo de ressonância de uma cavidade depende das dimensões a, b e d da mesma, além dos inteiros positivos m, n e l, que representam os múltiplos de λ/2 possíveis de existir em cada uma das dimensões. Nos guias, os modos foram denominados TE mn ou TM mn. No caso das cavidades, esta denominação só faz

32 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 134 sentido se uma das direções for definida como direção de propagação. Por exemplo, para uma cavidade oca onde a sonda de excitação é introduzida exatamente no centro da parede de área ad, pode-se obter o modo de ressonância TE 110 se a direção z for considerada como direção de propagação. Entretanto, se a direção y for definida como direção de propagação, o modo de ressonância éentão TM 011. Sendo assim, estabelecendo-se z como referência de propagação, os campos do modo de ressonância TE lmn são fornecidos por: e sendo E x =2 E o k 2 c E y = 2 E o k 2 c H x =2j H o k 2 c H y =2j H o k 2 c nπ b mπ a mπ a nπ b lπ ( nπ d cos a x sen b y sen lπ ( nπ d sen a x cos b y sen lπ ( nπ d sen a x cos b y cos lπ d ( nπ cos a x sen b y ( nπ H z = 2jH o cos a x cos b y sen ( lπ ( lπ ( lπ ( lπ cos ( lπ (6.179 (6.180 (6.181 (6.182 (6.183 E z = 0 (6.184 E o = ωµ β H o (6.185 Enquantoque,paraomodoTM lmn,têm-se H x =2j H o k 2 c H y = 2j H o k 2 c E x = 2 E o k 2 c mπ a mπ a E y = 2 E o k 2 c nπ b lπ ( nπ d sen a x cos b y cos lπ ( nπ d cos a x sen b y cos lπ ( nπ d cos a x sen b y sen nπ b lπ ( nπ d sen a x cos b y ( lπ ( lπ ( lπ ( lπ sen (6.186 (6.187 (6.188 (6.189

33 Cavidade Ressonante e ( nπ ( lπ E z =2E o sen a x sen b y cos (6.190 H z = 0 (6.191 sendo H o = ωɛ β E o (6.192 Observe que as componentes de campo elétrico estão defasadas de 90 em relação às componentes de campo magnético, isto significa que, quando um campo émáximo, o outro é nulo. Portanto, existem instantes em que a energia é puramente elétrica e instantes em que a energia é puramente magnética. Comportamento semelhante a de um circuito tanque LC, onde ora a energia está armazenada na forma de campo elétrico no capacitor e ora na forma de campo magnético no indutor Cavidade Cilíndrica Para cavidade cilíndrica, do tipo mostrado na Figura 6.8b, onde o comprimento d está alinhado na direção z, tem-se para modos TM lmn,e k r = k 2 c + k r = ( 2 lπ = d (p mn a (pmn 2 + a 2 + ( lπ d 2 (6.193 ( 2 lπ (6.194 d para os modos TE lmn. Portanto, a freqüência de ressonância é dada por para os modos TM lmn,e f r = f r = c 2 ɛ r c 2 ɛ r (pmn (p πa mn πa 2 + ( l d (6.195 ( 2 l (6.196 d

34 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 136 para os modos TE lmn. Utiliza-se o mesmo procedimento aplicado às cavidades com paredes retangulares para obter os campos eletromagnéticos. Suas expressões para omodote lmn são: ( lπ H z = 2jH o J m (k c rcosmϕ sen (6.197 E r =2 me ( o lπ lπ kcr 2 d J m(k c rsenmϕ sen E ϕ =2 E ( o lπ J m (k c r lπ cos mϕ sen k c d r H r = 2j H ( o lπ J m (k c r lπ cos mϕ cos k c d r H ϕ =2j mh o k 2 cr lπ d J m(k c rsenmϕ cos ( lπ (6.198 (6.199 (6.200 (6.201 eparaomodotm lmn E z =2E o J m (k c rcosmϕ cos H r = 2j mh o k 2 cr H ϕ = 2j H o lπ k c d E r =2 E o lπ k c d E ϕ = 2 me o k 2 cr ( lπ ( lπ lπ d J m(k c rsenmϕ cos J m (k c r r J m (k c r r cos mϕ cos ( lπ ( lπ cos mϕ sen lπ d J m(k c rsenmϕ sen ( lπ (6.202 (6.203 (6.204 (6.205 ( Fator de Qualidade para Cavidades Cúbicas O fator de qualidade para uma cavidade de paredes retangulares, operando no modo TE lmn, é obtido substituindo as expressões dos campos na equação ( A densidade volumétrica máxima de energia, que ora é magnética ora éelétrica, pode ser obtida de

35 Cavidade Ressonante No modo TE lm0,têm-se e logo U max = 1 2 ɛe2 = 1 2 µh2 (6.207 E x = E z = 0 (6.208 la ( lπ E y = 2E o md sen a x sen U max = 1 ( 2 la ( lπ 2 ɛe2 y =2ɛEo 2 sen 2 md a x sen 2 Sendo assim, a energia máximaarmazenadanacavidadeéobtidade (6.209 (6.210 ou E max =2ɛE 2 o ( 2 a b d la ( lπ sen 2 md a x sen 2 dx dy dz ( ou ainda E max = ɛe 2 o ( 2 la abd md 2 = ɛ abd 2 E max = µh2 o abd 2 ( 2 ωµho a (6.212 mπ [ ( 2 la +1] md (6.213 Apotência dissipada nas paredes condutoras é dada por P d = Re {η c} H t 2 = P x + P y + P z ( sendo b P x =Re{η c } d S H y 2 dydz =2Re{η c } H 2 o bd (

36 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 138 a P y =Re{η c } 0 d 0 H z 2 dxdz =Re{η c } H 2 o ad [ ( 2 la +1] md (6.216 a P z =Re{η c } Portanto, o fator de qualidade é fornecido por Q = ω re max P d 0 b 0 ( 2 la H x 2 dxdy =2Re{η c } Ho 2 ab (6.217 md = V δ p 2bd + ad ( la 2 md +1 [ ( la md 2 +1 ] +2ab ( la md 2 (6.218 onde V é o volume da cavidade e δ p a profundidade de penetração no condutor. Finalmente, para uma cavidade cúbica operando no modo TE 110,tem-se Q = 2V δ p S sendo S aárea total da superfície interna das paredes condutoras. (6.219 Exemplo 6.6 Projete uma cavidade cúbica, feita de cobre, para operar a 10GHz no modo TE 110 com uma banda de 1MHz. Solução: Considerando que a aresta da cavidade é fornecida pela variável a, pode-se reescrever a equação (6.219 como Portanto, Q = 2a3 6δ p a 2 = a 3δ p a = 3δ p Q = 3δ p f f 0, 198 f f 3/2 =0, 198 m Fator de Qualidade para Cavidades Cilíndricas Pode-se mostrar que o fator de qualidade para cavidades cilíndricas, operando no modo TE lmn,é fornecido por [8] [4]

37 Cavidade Ressonante Q = ( λ r [1 m p mn 2πδ p [(p mn 2 + ( 2a d 2 ] [ (p ( lπa d mn 2 + ( lπa d 2 + ( 1 2a d 2 ] 3/2 ( ] 2 (6.220 mlπa p mnd eparaomodotm lmn quando l>0e Q = λ r (p mn 2 + ( lπa 2 d ( ( πδ p 1+ 2a d quando l =0. Q = λ r p ( mn ( πδ p 1+ a d

38 CAPíTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 140