A MATEMÁTICA NO ENEM PROF. KELLER LOPES A MOTIVAÇÃO

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2 A MATEMÁTICA NO ENEM PROF. KELLER LOPES A MOTIVAÇÃO

3 TRIÂNGULO RETÂNGULO

4 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO SOH CAH TOA

5 A figura a seguir representa a planta de uma empresa revendedora de carros. O pátio dessa revendedora é utilizada para acomodar os veículos que serão revendidos e uma pequena oficina. Depois de um período chuvoso, parte do muro do pátio ficou danificada e deverá ser reconstruída. O segmento AB representa a parte que deverá ser refeita. A parte do muro, em metros, que deverá ser refeita é: a) 1 b) 17 c) 18 d) 3 e) 5 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Aˆ Mˆ Ĉ é comum Δ ABC Δ MNC 3 x 16 4 x = AB = 1

6 Em um terreno triangular ABC de dimensões AB = 0 m, BC = AC = 30 m, deseja-se construir uma casa retangular, de forma que um lado da casa esteja sobre o lado AB do terreno, conforme a figura abaixo. a) b) c) 0 100( 1) 10 30² = h² + 10² h = 800 h = 0 m d) e) Dica: Todo retângulo inscrito num triângulo, tal que um dos seus lados está sobre o lado do triângulo, tem como medida da base a metade desse lado e a altura do retângulo mede a metade da altura do triângulo. A=10.10 =100 m

7 CÍRCULO COMPRIMENTO DO CÍRCULO C.. R ÁREA DO CÍRCULO A. R

8 A figura a seguir representa uma praça circular onde um robô percorre o caminho indicado pelas setas, iniciando no ponto O, centro das circunferências, e terminando no ponto F. A distância, em metros, percorrida pelo robô foi a) 3 b) 3 1 c) 3 d) 3 3 e) (4 3 )

9 Nos grandes centros urbanos, é comum encontrarmos árvores plantadas nas calçadas e nos canteiros centrais, nas quais, geralmente, é colocada uma proteção metálica que as acompanha por vários anos. A figura a seguir ilustra uma árvore com sua respectiva proteção: Certa árvore está protegida por uma estrutura em forma de triângulo equilátero cujo lado mede 8 3 cm. Sabe-se que, a cada ano, seu tronco aumenta a medida do raio da secção circular em aproximadamente 1 centímetro. O centro da secção que representa o tronco coincide com o centro do triângulo. Para garantir que o tronco não seja danificado, o tempo máximo, em anos, necessário para a retirada da proteção deve ser de aproximadamente a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 r 3 r tg30 r raio aumenta: = 4 cm, ou seja, 4 anos.

10 A cada ano cresce o número de pessoas que soltam balões, embora seja um ato criminoso que traz inúmeros riscos. Essa prática, que antes se concentrava durante os festejos dos meses de junho e julho, atualmente ameaça vidas durante todo o ano. Considere um balão que tem sua altitude, em metros, descrita pela fórmula a seguir: A fórmula fornece a altitude h desse balão t minutos após seu lançamento durante o processo de subida. Sabe-se que, após atingir determinada altura, o balão começa a perder altitude e, algum tempo depois, atinge o solo. Analisando a fórmula, a altura máxima, em metros, atingida por esse balão é igual a a) 465 Dica: Maior valor que SENO e COSSENO b) 550 c) 615 assumem: valor que ele d) 650 e) 695 A altura máxima, neste caso, dá-se quando o seno assume o seu valor mínimo ( 1) Menor s assumem: -1

11 Uma empresa fabricava latas cilíndricas com uma determinada área lateral. Por uma exigência dos consumidores, passou a fabricar latas cilíndricas com o dobro da área lateral, mantendo a altura anterior. Dessa maneira, a razão entre os volumes das latas inicial e final é: a) 1 1 b) c) d) e) 3 4 C 6 8 C 1 V V A A L L1 Rh. rh R 1 r rh ² 1 4 r² h 4 A V1 A rh L Rh L1 r h V r h r h ( ) 4 ²

12 Um chapéu cônico de aniversário foi deformado de maneira que seu vértice tocasse o centro da base do chapéu. Os triângulos são semelhantes V V. V Se o sólido já deformado ficou com 8cm de altura e a base do chapéu possui 1 cm de diâmetro, o volume do sólido final, em cm³, equivale a: a) b) c) d) e) r r 3 cone1 cone V 3 3 V V = 144π cm 3

13 V V ci e 4 R³ 3 R 3 h V ci V R 4 R³ h 3 3 R 4 R³ e h 9 3 R h 1 R³ h 1R

14 (ENEM 016/ª) Uma caixa-d água em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 4 m de comprimento, 3 m de largura e m de altura, necessita de higienização. Nessa operação, a caixa precisará ser esvaziada em 0 min, no máximo. A retirada da água será feita com o auxílio de uma bomba de vazão constante, em que vazão é o volume do líquido que passa pela bomba por unidade de tempo. A vazão mínima, em litro por segundo, que essa bomba deverá ter para que a caixa seja esvaziada no tempo estipulado é a). b) 3. c) 5. d) 1. e) 0. V m 3 4m 4000 tempo = 0 min = 0 x 60s = 100s L 3 V 4000L Vazão = 0 L/ s tempo 100s

15 (016 ª aplicação) Uma empresa europeia construiu um avião solar, como na figura, objetivando dar uma volta ao mundo utilizando somente energia solar. O avião solar tem comprimento AB igual a 0 m e uma envergadura de asas CD igual a 60 m. Para uma feira de ciências, uma equipe de alunos fez uma maquete desse avião. A escala utilizada pelos alunos foi de 3 : 400. A envergadura CD na referida maquete, em centímetro, é igual a a) 5. medida no desenho b) 0. ESCALA= medida real c) 45. d) 55. km hm dam m dm cm mm e) x x

16 Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M. HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: S = k.m 1 S = k.m 3 1 S = k.m a) b) c) d) 3 3 S = k.m e) Grandezas proporcionais ou inversamante proporcionais DICA: Grandezas DIRETAMENTE proporcionais estão DIVIDIDAS uma pela outra INVERSAMENTE proporcionais estão MULTIPLICADAS uma pela outra. PROPRIEDADE: m n m n a a e grandezas S S 1 3 S = k.m 3 k M 3 S k. M k. M S k. M S k. M

17 Doenças relacionadas ao saneamento ambiental inadequado (DRSAI) podem estar associadas ao abastecimento deficiente de água, tratamento inadequado de esgoto sanitário, contaminação por resíduos sólidos ou condições precárias de moradia. O gráfico apresenta o número de casos de duas DRSAI de uma cidade: O mês em que se tem a maior diferença entre o número de casos das doenças do tipo A e B é a) janeiro. b) abril. c) julho. d) setembro. e) novembro

18 Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no plano K, o cliente paga R$9,90 por 00 minutos mensais e R$0,0 para cada minuto excedente; no plano Z, paga R$49,90 por 300 minutos mensais e R$0,10 por cada minuto excedente. O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é: K: 9,90 para x 00 a) b) c) Z: 49,90 para x 300 d) e)

19 Num determinado parque, uma criança senta em um balanço individual, cuja estrutura é uma pirâmide quadrangular regular, e, quando está em repouso, a projeção ortogonal da gangorra coincide com o centro da base (figura 1). Em seguida, a criança começa a brincar e balança para frente e para trás (figura ). A projeção ortogonal do movimento da criança no plano da base dessa pirâmide pode ser representada pela figura: a) b) c) d) e)

20 Um campeonato de futebol é composto por 4 times que são divididos em 6 grupos com 4 times em cada um. De quantas maneiras distintas é possível compor estes grupos, de tal forma que os times A e B façam parte do mesmo grupo? a) 4 x 4 x 3. b) 6 x 4 x 3 x! c) 4 x 3 x! d) Há 4 possibilidades de escolha em um grupo para o time A e) 4! 6!18! 4!! 6!18! 4!18! Então são 3 possibilidades de escolha em um grupo para o time B 4 x 3 O restante dos times possuem! possibilidades 4 x 3 x! Como há 6 grupos, então: 6 x 4 x 3 x!

21 A Mega-Sena paga milhões para o acertador dos 6 números sorteados. Ainda é possível ganhar prêmios ao acertar 4 ou 5 números dentre os 60 disponíveis no volante de apostas. Para realizar o sonho de ser o próximo milionário, você deve marcar de 6 a 15 números no volante. A aposta mínima, de 6 números, custa R$3,50. Quanto mais números marcar, o preço da aposta aumenta proporcionalmente e maiores as chances de faturar o prêmio mais cobiçado do país. Dessa maneira, o preço da aposta em 10 números é: a) R$35,00 b) R$98,00 c) R$94,00 d) R$735,00 e) R$1 617,00 C n,p n! p!(n p)! 10! 10! ! C10,6 6!(10 6)! 6!4! 6! x 3,50 = 735

22 A poluição do ar é consequência da liberação de gases poluentes na atmosfera. Nos grandes centros urbanos, a poluição atmosférica é a principal causadora de diversas doenças respiratórias (asma,bronquite,rinite alérgica e alergia). 180 P(A)= nº de casos favoráveis P(A)= nº de casos possíveis 180 P(A)= 0, 7 7% 50 Analisando um paciente aleatoriamente internado por problemas respiratórios causados pela poluição, a probabilidade de esse paciente ser uma criança é de: a) 8% b) 31% c) 38% d) 66% e) 7%

23 (ENEM016/ª) Uma caixa contém uma cédula de R$ 5,00, uma de R$ 0,00 e duas de R$ 50,00 de modelos diferentes. Retira-se aleatoriamente uma cédula dessa caixa, anota-se o seu valor e devolve-se a cédula à caixa. Em seguida, repete-se o procedimento anterior. A probabilidade de que a soma dos valores anotados seja pelo menos igual a R$ 55,00 é a) 1 b) 1 c) 3 d) e) Caixa há 4 notas P(A): prob da 1ª nota ser de 5 P(B): prob da 1ª nota ser de 0 P(C): prob da 1ª nota ser de x 4 ou 1 4 x 4 ou = x 4 4

24 (ENEM 016) Um paciente necessita de reidratação endovenosa feita por meio de cinco frascos de soro durante 4 h. Cada frasco tem um volume de 800 ml de soro. Nas primeiras quatro horas, deverá receber 40% do total a ser aplicado. Cada mililitro de soro corresponde a 1 gotas. O número de gotas por minuto que o paciente deverá receber após as quatro primeiras horas será a) 16. b) 0. c) 4. d) 34. e) 40 TOTAL DE ml DE SORO 5 x 800 = ml NAS PRIMEIRAS 4H, TOMOU: 40% DE APÓS AS 4H RESTAM = 400 ml TOTAL DE GOTAS: 400 x 1 = x 4000 = ml 100 QUE SERÃO TOMADAS EM: 0H = 0 x 60 = 1 00 min GOTAS 8800 MIN 100 4

25 Uma loja anuncia o preço de uma calça por 90 reais, caso o pagamento seja à vista. O cliente também tem a opção de comprar esta mesma calça, à prazo, pagando 100 reais, com uma entrada de 50 reais e trinta dias depois, os outros 50 reais. Qual a porcentagem de juros que a loja cobra do cliente, caso ele opte por comprar esta calça à prazo? a) 10% b) 5% c) 30% d) 35% e) 40% diferença pelo o que tinha antes Pagamento à vista: 90 Pagamento à prazo: Na verdade, a loja empresta 40 e um mês depois cobra 50 Quantos por cento de aumento há de 40 para 50? x x x 100 = 5% 4

26 Um time de vôlei recebeu a oportunidade de enviar uma de suas atletas para um treino de aprimoramento com técnicos da seleção brasileira. Para fazer a escolha, o técnico analisou a pontuação das cinco melhores atletas dos últimos cinco jogos do time. As pontuações são apresentadas na tabela a seguir. Atleta 4: 1 jogo Atleta 5: jogos Visando indicar a que possui maior necessidade, o técnico decidiu escolher a atleta que, dentre as que apresentam menor média nas pontuações, possui o maior número de jogos com pontos abaixo de sua própria média nesses jogos. Pra o treino de aprimoramento deve ser envia da a atleta: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5

27 A tabela, a seguir, informa o número total de medalhas que o Brasil ganhou em olimpíadas, no período entre 1964 e MÉDIA: 8,36 14 MODA:, 3 E 15 (TRIMODAL) 14 7º 8º 6 8 MEDIANA: 7 7 ROL: 1,,,3,3,4,6,8,10,1,15,15,17,19 A soma da média com a moda e a mediana referente ao número de medalhas no período de 1964 a 016 é: a) 30,5 b) 31,75 c) 3,46 d) 34,75 e) 35,36 SOMA : 8, ,36

28 Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto, às 10 horas da manhã de um sábado, e, andado, contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa em 1 minutos. A outra, andando mais devagar, leva 0 minutos para completar a volta. Que horas essas duas pessoas voltarão a se encontrar no mesmo ponto de partida? a) Às 10h e 30min. b)às 10h e 45 min. c) Às 11h. d) Às 11h e 15 min. e) Às 11h e 35 min. 10h + 1h = 11h

29 Definição de logarítmo log b a x x a b Propriedades log a log c log a. c b b b log alog clog log b b b b n a n.log a log b b 1 b a c log b a b a Mudança de base b para a base c log b a log log c c a b

30 Chile: 8, = log 3 E E 1,3 log E log E log E log E 1,3 E Japão: 8,8 = log 3 E 0 13, log E log E 0 log E0 log E 13, log E 13, log E 1,3 1 log E log E 13, 1,3 1 E E 0,9 10 log 0,9 1 E E 1

31 (ENEM 016/ª) Um clube tem um campo de futebol com área total de m², correspondente ao gramado. Usualmente, a poda da grama desse campo é feita por duas máquinas do clube próprias para o serviço. Trabalhando no mesmo ritmo, as duas máquinas podam juntas 00 m² por hora. Por motivo de urgência na realização de uma partida de futebol, o administrador do campo precisará solicitar ao clube vizinho máquinas iguais às suas para fazer o serviço de poda em um tempo máximo de 5 h. Utilizando as duas máquinas que o clube já possui, qual o número mínimo de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar ao clube vizinho? a) m²... 1 máquina Se as duas máquinas, trabalhando juntas, b) m²... x podam 00 m² em uma hora, cada máquina c) x =1600 sozinha poda 100 m² por hora. d)14 x = 16 máquinas. e)16 Para podar m² em 5h, cada máquina deverá podar : 5 = m² por h. Como já tem máquinas, serão necessárias: 16 - = 14

32 A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. V ( x, y ) V b xv a yv 4a b 4. a. c A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei, 3 onde c é a medida da altura do líquido f ( x) x 6x c V yv contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. b) c) 4. d) 5 e) c c 6 0 ( 6) 4..c

33 BOA SORTE! prof. Keller Lopes

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