Mecânica Geral Aula 02. Prof. Ettore Baldini-Neto

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Branca Flor Pedroso Barbosa
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2 Centro de Massa Lançamento de uma bola Lançamento de um taco

3 Embora o movimento do taco seja mais complicado devido a cada parte descrever uma trajetória distinta, o taco possui um ponto chamado Centro de Massa, que descreve a trajetória parabólica mais simples. As outras partes do taco movem-se ao redor do seu centro de massa Formalmente, o centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como: se toda massa do sistema estivesse concentrada nele se todas as forças externas estivessem aplicada nele

4 Centro de massa de um sistema de duas partículas x CM = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

5 x CM = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Se m 1 =0 x CM = x 2 Se m 2 =0 x CM = x 1 Se m 1 = m 2 x CM = x 1 + x 2 2

6 Este resultado pode ser generalizado para um sistema de N partículas x CM = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x m N x N m 1 + m 2 + m m N ou em notação mais compacta, x CM = 1 M NX i=1 m i x i M = NX i=1 m i

7 Exemplo 1: Uma massa de 4.0kg encontra-se na origem do eixo x, enquanto uma massa de 2.0kg está em x=6.0cm. Encontre a posição do centro de massa. Exemplo 2: Três partículas de massas 1.2kg, 2.5kg e 3.4kg formam um triângulo equilátero de lado a=140cm. Onde fica o centro de massa deste sistema?

8 Caso as partículas estejam distribuídas em três dimensões podemos escrever NX NX NX x CM = 1 M m i x i y CM = 1 M m i y i z CM = 1 M m i z i i=1 i=1 i=1 Usando a linguagem vetorial. ~r CM = x CM î + y CMˆ + z CMˆk NX ~r CM = 1 M m i ~r i i=1

9 Exemplo 3. Uma molécula de água consiste de um átomo de O e dois átomos de H. A massa do O é de 16u e cada hidrogênio tem massa de 1u. A distância média entre os átomos de H e o átomo de O é de 96pm. Os H s são separados por um ângulo de 104,5 o. Encontre o CM da molécula de água. +y 1 m H = 1.00 u m O = 16.0 u x 96.0 pm 2 m H = 1.00 u

10 Objetos extensos I Para objetos extensos como bolas, tacos, etc, podemos imaginálos como se fossem constituídos por um número muito grande de partículas. Do ponto de vista de cálculo, este fato dá origem a uma distribuição contínua de massa Para objetos altamente simétricos, a localização do CM coincide com o centro de simetria do objeto. Os CMs de um cilindro ou de uma esfera uniformes coincidem com o centro geométrico da figura. Para objetos com um eixo ou plano de simetria, o centro de massa encontra-se em algum lugar sobre este eixo ou plano.

11 Centro de massa de uma área O CM de uma área define o centro geométrico dela, através do ponto P(x,y). Caso esta área tenha uma forma arbitrária com na figura abaixo, temos que x e y são definidos como: y y A C da _ y y _ x x x x (a) (b)

12 Centro de Massa de uma área Em alguns casos, a localização do CM pode ser feita a partir de propriedades de simetria da figura plana. Quando a área tiver um eixo de simetria, o CM necessariamente estará localizado sobre este eixo. Quando houverem dois eixos de simetria, o CM localiza-se na interesecção dos dois. y da C da x C x x

13 Centro de Massa de uma área composta Muitas vezes, uma área pode ser dividida em várias partes. Conhecendo a posição do CM de cada uma das partes podemos determinar o CM da área total através de: x = P xa P A ; ȳ = P ȳa P A ; Os termos dentro da somatória representam as posições dos CMs de cada área composta e o denominador representa a soma das áreas de cada parte, ou a área total. Atenção, se houver um furo ou uma região geométrica onde não exista material, estes devem ser incluídos como uma parte composta adicional mas com área negativa.

14 Exemplo 4: Determine o CM da placa de madeira abaixo. (a) +y 0.60 m 0.20 m 0.60 m 0.20 m m 0.40 m 0.40 m m (a) 0.80 m +x

15 Objetos extensos - II y Z r dm ~r CM = 1 M ~rdm x z o símbolo representa a integral ( ou uma soma ) sobre os elementos de massa infinitesimais dm

16 Exemplo 5: Calcule o CM de um bastão fino localizado sobre o eixo x. +y dm = λ dx r +x +z x dx x = L

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