Instituto de Matemática, UFF Outubro de 2010

Transcrição

1 Instituto de Matemática, UFF Outubro de 2010

2 Sumário...

3 De Roever Semântica relacional de programas. De Roover (1943 ****)

4 Motivação Objetos podem ser especificados de acordo com a maneira como eles se relacionam com outros objetos. Exemplo: Renata é a melhor professora que eu já tive.

5 Vários conceitos matemáticos importantes podem ser vistos como relações. Exemplos: =,,, a, b Relação sim/não

6 Programas, determinísticos ou não-determinísticos, podem ser vistos como relações. Exemplos: 12, 8 12, 8 MDC 4 Divisor comum 2

7 estão em toda parte!

8 Definição Definição Sejam A e B conjuntos. Dizemos que R é uma relação de A em B se R A B. Observe que relações são conjuntos de pares ordenados. é uma relação. Se A e B são conjuntos, então A B é uma relação.

9 (a) = (b), <, e > Exemplos importantes Em N, as relações e < são definidas a partir de +. Definição Sejam a, b N. Dizemos que a b se, e somente se, existe c N tal que a + c = b. Definição Sejam a, b N. Dizemos que a < b se, e somente se, existe c N tal que a + c = b.

10 Exemplos importantes Em R, a relação é definida a partir de + e 2. Definição Sejam a, b R. Dizemos que a b se, e somente se, existe c R tal que a + c 2 = b. Exercício Definir em Z e em Q.

11 Exemplos importantes (c) Divisibilidade. Em N, a relação de divisibilidade é definida a partir da operação de multiplicação. Definição Sejam a, b N. Dizemos que a b se, e somente se, existe c N tal que a c = b. Exercício Definir em Z, em Q e em R.

12 Exemplos importantes (d) Primos entre si. Definição Sejam a, b N. Dizemos que a e b são primos entre si se, e somente se, para todo c N, se c a e c b, então c = 1. Definição Sejam a, b Z. Dizemos que a e b são primos entre si se, e somente se, para todo c Z, se c a e c b, então c = 1 ou c = 1.

13 Exemplos importantes (e) Congruência módulo n. Questão Como jogar par ou ímpar com 3 pessoas? E com 4 pessoas? E com 5? E com n, n N?

14 Noções e operações usuais sobre conjuntos adequam-se às relações, pois relações são conjuntos.,, =,,, Observações: Os objetos que pertencem a uma relação são pares ordenados. Para a aplicação da operação de complementação, deve-se considerar um universo adequado.

15 Existem operações especiais que se aplicam a relações, que levam em conta que os elementos das relações são pares ordenados.

16 Reversão Definição Seja R uma relação de A em B. O reverso de R é a relação: R 1 = {(b, a) B A : (a, b) R}.

17 de 1 (1) (R 1 ) 1 = R (2) R 1 = R 1 (3) (R S) 1 = R 1 S 1 (4) (R S) 1 = R 1 S 1

18 Composição Definição Sejam R A B e S C D. A composição de R com S é a relação: R S = { (x, z) A D : existe y B C tal que (x, y) R e (y, z) S }.

19 (1) (R S) T = R (S T ) (2) R R =??? de (3) R S =??? (4) R S =??? (5) R (S T ) =??? (6) R (S T ) =???

20 Definição Sejam A e B conjuntos. especiais (a) é uma relação de A em B. (b) A B é uma relação de A em B. (b) Id A = {(a, a) : a A} é uma relação de A em A, chamada identidade em A. (b) Df A = {(a, b) A A : a b} é uma relação de A em A, chamada diversidade em A.

21 das relações especiais Para toda relação R A B: (1) R Id B = R (2) Id A R = R (3)???

22 Princípio básico da investigação científica Se está complicado, simplifique.

23 Endorrelações Definição Seja A um conjunto. Dizemos que R é uma endorrelação em A se R A A.

24 Para todas as relações R, S, T em A: Álgebra das endorrelações (1) (R S) T = R (S T ) (2) R Id A = Id A R = R (3) R = R = (4) R (S T ) = (R S) (R T )

25 (5) (R S) 1 = R 1 S 1 (6) (R S) 1 = R 1 S 1 Álgebra das endorrelações (7) (R 1 ) 1 = R (8) R 1 = R 1 (9) (R S) 1 = S 1 R 1

26 Exercícios 1. Exercícios do Menezes (Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006). 2. Exercícios do Scheinerman (E.R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2006). 3. Exercícios da Lista 8.