Instituto de Matemática e Estatística, UFF Outubro de 2013

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1 Instituto de Matemática e Estatística, UFF Outubro de 2013

2 Sumário..

3 Lógico-Matemático britânico (País de Gales). Logicismo. Prêmio Nobel da Literatura (1950). Bertrand ( )

4 Definição Seja A um conjunto. O conjunto das de A é o conjunto cujos elementos são os objetos do universo que são subconjuntos de A. Em símbolos: P(A) = {x U : x A}.

5 Problema 1 (1) Calcule o conjunto das dos seguintes conjuntos: A = {1} B = {1, 2} C = {1, 2, 3} D = {1, 2, 3, 4} E = (2) Se F é um conjunto com n elementos, quantos elementos tem P(F )?

6 Problema 2 Considere A = {1, {1, 2}, }. (1) Quantos elementos tem A? (2) Quantos elementos tem P(A)? (3) Calcule P(A).

7 Propriedades básicas de P(A) Para todos os conjuntos A, B, C: (1) A P(A) (2) P(A) (3) P(A B)??? (4) P(A B)??? (5) P(A)??? Desafio: encontrar propriedades verdadeiras para todos os conjuntos A e B para os itens marcados com???.

8 Considere o universo U = {i, o}. (1) Quantos elementos tem U? Problema 3 (2) Quantos elementos tem P(U)? (3) P(U) U? (4) Encontre um conjunto universo W tal que P(U) W.

9 Por que é preciso considerar um universo de discurso? Princípio da Abstração (Cantor, Frege) Dada uma propriedade P, existe o conjunto A = {x : P(x)}. mostrou que o Princípio da Abstração é falso.

10 Definição Seja A um conjunto. Dizemos que A é normal se A A. Dizemos que A é anormal se A não é normal, isto é, se A A. Exemplos: São conjuntos normais: (a) O conjunto dos números naturais. (b) O conjunto dos alunos desta turma. (c) O conjunto dos exercícios da Lista 7. (d) O conjunto dos livros indicados para estudo nesta disciplina.

11 São conjuntos anormais: (a) O conjunto de todos os conjuntos. (b) O conjunto de tudo o que você pode pensar. (c) O conjunto de todos os conjuntos infinitos. (d) O conjunto de todos os objetos abstratos.

12 Considere o seguinte conjunto: N = {x : x é um conjunto normal}, isto é, N = {x : x x}. Temos que N é normal ou anormal.

13 Caso 1 Se N fosse normal, teríamos que N N, pela definição de conjuntos nomais. Daí, como N = {x : x x}, teríamos que N N, uma contradição.

14 Caso 2 Se N fosse anormal, teríamos que N N, pela definição de conjuntos nomais. Daí, como N = {x : x x}, teríamos que N N, uma contradição.

15 Em qualquer caso, temos uma contradição. Logo, N não é um conjunto, ou seja, a propriedade x x não define um conjunto. Portanto, o Princípio da Abstração é falso.

16 Princípio da Separação Princípio da Separação Dado um conjunto universo U e uma propriedade P, existe o conjunto A = {x U : P(x)}.

17 O universo conjuntista

18 Exercícios 1. Exercícios do Menezes (Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006). 2. Exercícios do Scheinerman (E.R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2006). 3. Exercícios da Lista 7.

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