Um livro texto para Álgebra Aplicada à Computação

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1 Um livro texto para Álgebra Aplicada à Computação Jaime Evaristo Departamento de Tecnologia da Informação Universidade Federal de Alagoas Resumo O ensino de matemática discreta (ou álgebra abstrata) para os cursos da área de computação e informática é recomendado por todas as versões do Currículo de Referência da Sociedade Brasileira de Computação e fortemente sugerido pelas Diretrizes Curriculares para os Cursos da Área de Computação e Informática, da Comissão de Especialistas de Ensino de Computação e Informática-CCEInf. O artigo a seguir apresenta o livro de nossa autoria Introdução à Álgebra (com aplicações à Ciência da Computação), livro texto para uma disciplina que contemple a recomendação do Currículo de Referência e das Diretrizes Curriculares a respeito da matemática discreta. Abstract The teaching of discrete mathematics (or abstract algebra) for the courses of the computing and informatic area is recommended by all the versions of the Reference s Curriculum of the Brazilian Computer Society and strongly suggested by the Curriculum s Guidelines for the Computing and Informatic Courses of the Specialist Teaching Comission on Computing and Informatics-CCEInf. The following article presents the book, written by us: Introdução à Álgebra (com aplicações à Ciência da Computação), class book for a discipline that observes the recommendation of the Reference s Curriculum and of the Curriculum s Guidelines regarding the discrete mathematics. Palavras-chave: matemática discreta, álgebra abstrata, aplicações à Ciência da Computação, números inteiros. 1. Introdução Segundo as Diretrizes Curriculares para os Cursos da Área de Computação e Informática apresentadas pela Comissão de Especialistas de Ensino de Computação e Informática-CCEInf ao Conselho Nacional de Educação,... a matemática, para a área de computação, deve ser vista como uma ferramenta a ser usada na definição formal de conceitos computacionais (linguagens, autômatos, métodos etc.). Os modelos formais permitem definir suas propriedades e dimensionar suas instâncias, dadas suas condições de contorno. Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertencem ao domínio do discreto, a matemática discreta (ou também chamada álgebra abstrata) é fortemente empregada.

2 No nosso entendimento, a necessidade de que um curso de graduação contemple o estudo da álgebra abstrata não se restringe apenas ao fato de que a maioria dos conceitos computacionais pertencem ao domínio do discreto e sim, sobretudo, pelo fato de que o desenvolvimento desta parte da matemática contempla o exercício da linguagem matemática que é, sem sombra de dúvidas, a linguagem mais apropriada para a ciência, em particular a Ciência da Computação. Ou seja, ao se estudar álgebra abstrata aprende-se a ler matemática (e, portanto, aprende-se a ler ciência); aprende-se a escrever matemática (e, portanto, aprende-se a escrever ciência). Além disto, o estudo da álgebra abstrata permite o desenvolvimento de várias técnicas de demonstrações de fatos científicos, técnicas estas que são utilizadas fortemente nas disciplinas que estudam os aspectos formais da Ciência da Computação. Além disto, ainda, o estudo da álgebra abstrata propicia, de forma bastante natural, que se apresentem formas de estabelecimento de novas teorias científicas, o que, sem nenhuma dúvida, irá facilitar os egressos dos cursos da área de Computação e Informática que ingressarem no campo da pesquisa. 2. A ementa O Currículo de Referência 99 (CR99), aprovado no Congresso da Sociedade Brasileira de Computação realizado na Cidade do Rio de Janeiro em 1999, sugere a seguinte ementa para a disciplina Álgebra Abstrata, como parte da matéria Matemática. Conjuntos. Funções. Relações sobre conjuntos: relações de equivalência e de ordem. Indução matemática. Recursão. Sistemas algébricos. Lógica e circuitos lógicos: linguagens simbólicas, tabelas-verdade, equivalência lógica, funções booleanas, diagramas de Karnaugh. Reticulados. Monóides. Grupos. Anéis. Teoria dos códigos: canal binário simétrico, código de blocos, matrizes geradoras e checadoras, códigos de grupo, códigos de Hamming. Teoria dos domínios: ordens parciais completas, continuidade, ponto fixo, domínios, espaço das funções. No nosso entendimento, e enfatizando o que foi dito na seção anterior, uma primeira disciplina para o estudo da matemática discreta para alunos da área de computação e informática deveria contemplar o mínimo de conceitos algébricos para que a maior parte do seu desenvolvimento seja destinado: à ênfase da necessidade da conceituação formal dos elementos básicos de uma ciência e de que todo conceito formal só pode conter elementos conceituados anteriormente; à ênfase da necessidade de que as assertivas científicas sejam devidamente provadas (ou fixadas axiomaticamente); ao estudo de técnicas de demonstração; à leitura de textos matemáticos; ao estudo de técnicas de resolução de problemas com a possibilidade consequente do desenvolvimento de raciocínios abstratos; ao realce de aspectos históricos da ciência; às aplicações dos conceitos matemáticos à Ciência da Computação. Nesta perspectiva, propomos uma primeira disciplina (sessenta horas, no máximo no terceiro semestre do curso) que contemple apenas cinco entes algébricos: conjuntos, relações binárias, funções, anéis (restrito aos anéis dos inteiros e aos anéis inteiros módulo n) e

3 corpos (restrito ao corpo de frações de um domínio de integridade, em particular o corpo dos números racionais). Conjuntos pelo fato de que sua linguagem é a base da linguagem da álgebra, além do que permite o estabelecimento da necessidade de fixação de entes e conceitos primitivos de uma ciência; relações binárias para que se possa, entre outras coisas, se definir os inteiros módulo n e o corpo de frações de um domínio de integridade; funções para que se possa, por exemplo estabelecer igualdade entre estruturas algébricas; anéis para que se possa construir axiomaticamente o anel dos inteiros, apresentando o método da construção axiomática de uma teoria científica e, a partir do anel dos inteiros, se estude teoria dos números, discutindo divisibilidade, máximo divisor comum, números primos, etc., conceitos que permitem aplicações importantes para a Ciência da Computação; e corpos para que se apresente os números racionais a partir de definições, em contraposição à apresentação dos números inteiros que seria feita de forma axiomática. Em relação aos outros importantes conceitos algébricos listados na ementa proposta pelo CR99, propomos que eles sejam apresentados quando da necessidade de sua aplicação (por exemplo, reticulados em computação gráfica). Tendo nos semestres iniciais visto a necessidade de conceituasses formais e apreendido diversas definições abstratas, o aluno, diante da aplicação imediata, terá mais condições de absorver os novos conceitos. 3. O livro Focando os pontos discutidos acima, o livro Introdução à Álgebra (com aplicações à Ciência da Computação) contém nove capítulos. O primeiro deles trata de Conjunto e Funções que trás a preocupação de que nada seja utilizado sem que houvesse sido definido ou concebido como conceito primitivo anteriormente. Por exemplo, função é definida antes que sejam definidas as operações com conjuntos (isto para que se possa definir operações em conjuntos); para que se possa definir operações com conjuntos, definem-se antes funções boleanas (aqui chamadas predicados) e operações lógicas; o conjunto vazio só é definido após a definição de contradição em um conjunto. Neste sentido, o capítulo contém as seguintes seções: 1.1 Conceitos e entes primitivos; 1.2 Subconjuntos; 1.3 Uma representação de conjuntos; 1.4 Igualdade de conjuntos; 1.5 Par ordenado e produto cartesiano de dois conjuntos; 1.6 Relações Binárias; 1.7 Funções; 1.8 Outra representação de conjuntos; 1.9 Operações em conjuntos; 1.11 Operações com conjuntos; 1.12 Uma operação com funções; 1.13 Funções inversas; 1.14 Conjuntos finitos; 1.15 Exercícios. O capítulo 2 trata da construção axiomática dos números inteiros. Na verdade, houve uma grande dúvida na concepção do livro entre tratar os inteiros como conhecidos ou construí-los axiomaticamente, definindo-o como o "único" domínio bem ordenado. Optamos pela segunda possibilidade para que o aluno seja defrontado com uma forma de se conceber uma teoria científica (no caso uma teoria axiomática) e para que o aluno seja devidamente instruído sobre a necessidade de que os entes científicos sejam formalmente concebidos. Com este objetivo o capítulo estuda basicamente os anéis e, para tal, contém as seguintes seções: 2.1 Teoria axiomática; 2.2 Anéis; 2.3 Elementos inversíveis; 2.4 Anéis isomorfos; 2.5 Domínio de integridade; 2.6 Anéis ordenados; 2.7 Domínio bem ordenado; 2.8 Exercício. O capítulo 3 apresenta algumas propriedades básicas dos inteiros (por exemplo, não existe inteiro entre 0 e 1) e o Princípio da Indução Matemática, importante método para demonstrações de assertivas envolvendo os inteiros. O capítulo contém as seguintes seções: 3.1 Duas propriedades básicas; 3.2 Valor absoluto; 3.3 Indução matemática; 3.4 Múltiplos de um elemento de um anel; 3.5 Exercícios.

4 Para que sejam utilizados em demonstrações dos capítulos seguintes (inclusive em aplicações da álgebra à Ciência da Computação) e considerando que o livro se destina também a alunos de outras áreas do conhecimento (Matemática, principalmente), o capítulo 4 apresenta, informalmente, algoritmos e estabelece uma linguagem algorítmica básica (seis comandos apenas) que permitem (nos capítulos seguintes) o desenvolvimento de algoritmos que demonstram a existência de inteiros que verificam alguma propriedade. O capítulo 5 trata da representação dos números inteiros. Nele é discutida a divisão euclidiana e, a partir dela, se mostra que os inteiros podem ser representados a partir de um número finito deles. São os sistemas de numeração. Apresenta, também, a representação interna dos nos computadores e discute as razões pelas quais existe uma diferença de 32 entre os códigos ASCII de uma letra maiúscula e da sua minúscula correspondente; pelas quais o código ASCII de A é 65 (e não 1, ou 10, ou 20). Apresenta, ainda, utilizando a representação do inteiro no sistema binário, um algoritmo para o cálculo de potências mais rápido do que aquele obtido diretamente da definição de potência. Para atingir estes objetivos, o capítulo contém as seções 5.1 Divisão euclidiana; 5.2 Sistemas de numeração; 5.3 Representação em computadores; 5.4 Potências Parte II; 5.5 Exercícios. O Teorema Fundamental da Aritmética é o objeto de estudo do capítulo 6. Para tal é discutido o conceito de máximo divisor comum e apresentado, com as devidas justificativas, o algoritmo de Euclides. É discutido, também, o importante conceito de número primo e são apresentados alguns algoritmos (entre eles o Crivo de Eratóstenes) para obtenção de números deste tipo. Apresenta, ainda, a ineficiência dos algoritmos para fatoração de inteiros e alguns aspectos históricos sobre a busca de uma fórmula para obtenção de números primos. Isto, e algumas coisas mais, é obtido através das seções 6.1 Máximo divisor comum; 6.2 Números primos; 6.3 Divisor primo de um inteiro; 6.4 Números primos - Parte II; 6.5 Fatoração única; 6.6 Números primos - Parte III; 6.7 Exercícios. O capítulo 7 discute a aritmética modular. É discutido então a relação de equivalência congruência módulo n, cujas classes de equivalência geram o anel dos inteiros módulo n, o que permite a apresentação de anéis diferentes, intrinsecamente, do anel dos inteiros. Como aplicação da congruência módulo n, o capítulo apresenta formalmente fatos matemáticos que nos são ensinados (sem nenhuma justificativa) nas séries iniciais do ensino fundamental como critérios de divisibilidade e a famosa prova dos nove". O capítulo contém ainda um estudo das congruências lineares que permite a obtenção de inversos de elementos de anéis Z n, uma apresentação da função Φ de Euler e, como não podia deixar de conter, uma apresentação breve dos aspectos históricos envolvendo o Último Teorema de Fermat. As seções deste capítulo são: 7.1 Congruências; 7.2 Aplicações: critérios de divisibilidade; 7.3 Aplicação: prova dos nove; 7.4 Potências módulo n; 7.5 Os anéis Z n ; 7.6 Congruências lineares; 7.7 A função Φ de Euler; 7.8 O Último Teorema de Fermat; 7.9 Exercícios. O capítulo que segue apresenta uma maravilhosa aplicação da álgebra abstrata à Ciência da Computação: o método de criptografia RSA. Aí todas as etapas para aplicação deste método (codificação, decodificação, assinaturas eletrônicas) são apresentadas e algebricamente justificadas pela aplicação de teoremas e conceitos discutidos nos capítulos anteriores. Finalmente, o capítulo 9 trata de corpos, em particular do corpo dos números racionais. São apresentados números que não são racionais e alguns fatos a respeito do quociente e do resto da divisão euclidiana de dois inteiros. Além disto, para estimar a

5 eficiência do algoritmo de Euclides (mantendo a máxima de que nada que não foi definido antes pode ser utilizado) é apresentado uma "pesquisa" em matemática, onde "novas" funções são definidas, com "novos" conceitos sendo estabelecidos. Isto tudo é discutido nas seções 9.1 Introdução; 9.2 O corpo de frações de um domínio de integridade; 9.3 Os números racionais; 9.4 "Números" não racionais; 9.5 Divisão euclidiana - Parte II; 9.6 O algoritmo de Euclides - Parte II; 9.7 Exercícios. 4. Exercícios e Manual de Soluções Para que o aluno possa sedimentar os conceitos apresentados, exercitar técnicas de demonstração e aprender a escrever matemática, o livro contém (sem a contabilização de itens) 126 exercícios, a maioria do tipo "mostre que". As soluções dos exercícios estão reunidas num exemplar denominado Manual de Soluções, disponível via mensagem eletrônica encaminhada ao autor (jaime@ccen.ufal.br). 5. Considerações finais Naturalmente, um novo livro não pode ser simplesmente mais um livro. Um novo livro deve ter uma identidade própria que o diferencie dos demais livros existentes. Neste sentido, entendemos que o livro aqui apresentado se diferencia dos livros existentes nos seguintes pontos: 1. Ordenação própria na apresentação dos tópicos normalmente estudados em Conjuntos e Funções, com o objetivo de que nenhum conceito não fixado anteriormente seja utilizado; 2. Maior detalhamento das demonstrações das proposições matemática, com o objetivo de que o leitor aprenda a ler matemática e desenvolva técnicas de demonstração de fatos científicos; 3. Justificativas de fatos introdutórios interessantes da Ciência da Computação, geralmente, não discutidos pela literatura desta Ciência; 4. Apresentação de uma aplicação prática toda baseada em fatos fundamentais da matemática; 5. Apresentação dos resultados de uma pesquisa (aspas devido ao nível de profundidade) matemática, com estabelecimento de novos conceitos e de proposições decorrentes destes novo conceitos; 6. Disponibilização das soluções de todos os exercícios propostos. As idéias postas no livro vêm sendo aplicadas acerca de três anos, estando o mesmo sendo utilizado no corrente semestre com alunos do terceiro semestre do Curso de Ciência da Computação da Universidade Federal de Alagoas com resultados, em relação aos seus objetivos, bastante satisfatórios, melhores do que os resultados obtidos quando as idéias eram aplicadas baseadas em outros livros textos. Bibliografia Evaristo, J, Introdução à Informática (com aplicações à Ciência da Computação). EDUFAL, Maceió, Currículo de Referência da SBC para os Cursos de Graduação em Computação, versão 1999, Diretrizes Curriculares de Cursos da Área de Computação e Informática,

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