Introdução. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Transcrição

1 Introdução Matemática Discreta Prof Marcelo Maraschin de Souza

2 Disciplina Aulas: Segunda-feira e terça-feira: 8:00 até 9:50 Avaliações: listas de exercícios e três provas; Livros disponíveis na biblioteca (primeira parte do conteúdos será baseada nos livros de Gersting e Garcia et al).

3 Conteúdos Introdução; Lógica Proposicional e de primeira ordem; Conjuntos; Relações; Sequências e somas; Indução e recursão; Análise Combinatória; Elementos da teoria dos números.

4 Matemática Discreta É o estudo das estruturas algébricas discretas, em vez de contínuas; Os objetos estudados em matemática discreta (números inteiros, grafos, afirmações lógicas, etc) não variam suavemente, mas tem valores distintos separados (discrete); A matemática discreta tem sido caracterizada como o ramo da matemática que lida com conjuntos contáveis. É o estudo matemático baseado em conjuntos contáveis, finitos ou infinitos (ex: números naturais x reais).

5 Matemática Discreta x Computação Segundo Diretrizes Curriculares do MEC, A matemática, para a área de computação, deve ser vista como uma ferramenta a ser usada na definição formal de conceitos computacionais. Os modelos formais permitem definir suas propriedades e dimensionar suas instâncias, dadas suas condições de contorno. (...) Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertencem ao discreto, a matemática discreta é fortemente empregada. Qualquer sistema computacional possui limitações finitas como, por exemplo, tamanho de memória, arredondamento, etc.

6 Contínuo x Discreto

7 Contínuo x Discreto Contínuo: álgebra linear e geometria analítica (fase 2); cálculo diferencial e integral (fase 3); Discreto: Aritmética básica em computadores; Programação; Estrutura de dados; Grafos; Inteligência artificial; Cálculo numérico (fase 4); Simulação (pesquisa científica), etc.

8 Outros Exemplos Velocidade de uma Ferrari 430 Scuderia 2008

9 Imagens digitais Outros Exemplos

10 Mapas (exemplo de grafo) Outros Exemplos

11 Outros Exemplos Simulação computacional (elementos finitos)

12 Reforçando o entendimento 1) Seja a função f x = x + 1 com x N, então o conjunto de valores de f é finito ou infinito? Este conjunto é contável? Essa função é contínua? 2) Agora, no exemplo 1 considere x R. Responda as mesmas perguntas.

13 Lógica A lógica matemática é a base pra qualquer estudo em computação, em particular, para o estudo da matemática discreta; Para desenvolver qualquer algoritmo e consequentemente, qualquer software computacional, são necessários conhecimentos básicos de lógica. Por isso, nosso primeiro tópico da disciplina será a lógica formal.

14 Lógica Em uma palestra no Simpósio Brasileiro de Engenharia de Software, David Parnas, importante pesquisador internacional e um dos pioneiros da engenharia de software afirmou, O maior avanço da engenharia de software nos últimos dez anos foram os provadores de teoremas. Exemplos de problemas: Pitágoras, Báskara, caminho até o IFSC, tese de doutorado, etc.

15 Problema dos dois exércitos Considere um campo de batalha com o seguinte cenário:

16 Problema dos dois exércitos O exército Azul está em maior número que o Branco, porém dividido em dois; Cada metade do exército Azul está em menor número; Objetivo do Azul: coordenar ataque em conjunto ao exército Branco; O general do Azul 1 envia seu melhor soldado para entregar a seguinte mensagem para o Azul 2: Vamos atacar conjuntamente o exército Branco amanhã às 6hs. Obs: ambos generais tem os relógios perfeitamente sincronizados e a única forma de comunicação entre os generais é o mensageiro. O soldado entrega a mensagem pro general do Azul 2, que concorda com o ataque, após isso, o soldado retorna até o Azul 1 e confirma com seu general o ataque no dia seguinte. Sabendo disso, o que houve no dia seguinte?

17 Para pensar: (CESPE 2014) Determine a negação da proposição Lívia é estudiosa e Marcos decora. a) Lívia é estudiosa ou Marcos decora b) Lívia não é estudiosa e Marcos não decora. c) Lívia não é estudiosa ou Marcos decora. d) Lívia não é estudiosa ou Marcos não decora. e) Marcos não decora e Lívia é estudiosa.

18 Para pensar: ALTERNATIVA D Para uma conjunção ser FALSA, basta que apenas UMA das proposições que a forma também seja. Logo, para negar uma conjunção basta que uma OU OUTRA proposição seja falsa.