Enunciados Abertos e Enunciados Fechados

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1 Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 12 Enunciados Abertos e Enunciados Fechados Sumário 1 Enunciados atômicos abertos e fechados Observações Exercícios resolvidos Enunciados moleculares abertos e fechados Observações Exercício resolvido Neste texto, abordamos os conceitos de enunciado aberto e enunciado fechado. Depois de estudá-lo, vamos ser capazes de: determinar quando um enunciado é aberto ou fechado. 1

2 1 Enunciados atômicos abertos e fechados A ocorrência de variáveis em um enunciado pode influenciar fortemente a maneira como ele é avaliado. Exemplo 1 Considere os enunciados e 2 é positivo (1) x é positivo (2) Sabemos que cada um deles pode ser classificado como V ou F, de maneira exclusiva, em um dado contexto. Mas há uma diferença bastante sutil entre os contextos nos quais eles devem ser avaliados. Para entender esta diferença vamos considerar que ambos os enunciados foram escritos em um quadro-negro de uma sala de aula, por um professor de Matemática, que está estudando com seus alunos os números inteiros (negativos, zero e positivos):..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Após escrever os enunciados no quadro, o professor escolheu um aluno estudioso e perguntou: O enunciado (1) é V ou F? O aluno estudioso não teve nenhuma dúvida em responder: O enunciado (1) é V. Depois de parabenizá-lo pela resposta correta, o professor perguntou ao mesmo aluno: E o enunciado (2), ele é V ou F? Mesmo sendo estudioso, é certo que ao avaliar o enunciado (2) o aluno teve dúvidas e, muito provavelmente, o melhor que pode fazer foi devolver para o professor uma outra pergunta: Mas professor..., qual é o valor de x? De fato, o que o aluno perguntou ao professor fazia muito sentido, uma vez que, se o professor respondesse para ele que o valor de x era 2, o aluno deveria responder que o enunciado era F, mas se o professor respondesse que o valor de x era 3, o aluno devereria responder que o enunciado era V. O Exemplo 1 sugere que, a princípio, podemos considerar a existência de dois tipos de enunciados: 2

3 (a) aqueles que, como (1), só possuem ocorrências de constantes e, por esta razão, podem ser avaliados diretamente, quando conhecemos o contexto no qual eles são pronunciados; (b) aqueles que, como (2), possuem ocorrências de ao menos uma variável e, por esta razão, não podem ser avaliados diretamente, mesmo que conheçamos o contexto no qual eles são pronunciados. Baseados nesta distinção, temos a seguinte classificação dos enunciados atômicos: Seja ϕ um enunciado atômico. (1) Dizemos que ϕ é fechado se todas as expressões que ocorrem nele são constantes. (2) Alternativamente, dizemos que ϕ é aberto se pelo menos uma das expressões que ocorre nele é uma variável. Exemplo 2 (a) Os enunciados são fechados. (b) Os enunciados são abertos. 1.1 Observações Augusto é tutor de MD Leonardo e Carolina são casados é perfeito e são amigos x é tutor de MD Leonardo e y são casados x e Carolina são casados y e z são casados m é perfeito x e são amigos e y são amigos x e y são amigos Observação 1 Alguns autores não consideram que enunciados abertos como ela é professora, x é um número real 3

4 são enunciados. Eles argumentam que estas frases não podem ser classificadas como V ou F, pois suas avaliações dependem dos valores das variáveis que ocorrem nelas. Mas lembremos que, para nós, um enunciado é uma frase que pode ser classificada como V ou F em um dado contexto e que nos contextos em que conhecemos os valores das variáveis, frases como estas podem, em princípio, ser classificadas como V ou F, de maneira exclusiva. Assim, consideramos que elas são enunciados. 1.2 Exercícios resolvidos Exercício 1 Determine as constantes e as variáveis que ocorrem em cada um dos enunciados. (i) 2 é o menor número primo (ii) ele é o meu primo mais novo (iii) 2 e p são primos entre si (iv) João está em casa (v) X está entre (0, 1) e (0, 5) Exercício 2 Classifique cada enunciado do Exercício 1 em aberto ou fechado. Antes de ler as resoluções, tente resolver os exercícios usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 1: (i) Constante: 2. Nenhuma variável. (ii) Nenhuma constante. Variável: ele. Pode ser reescrito como x é meu primo mais novo. (iii) Constante: 2. Variável: p. (iv) Constante: João. Nenhuma variável. (v) Constantes: (0, 1) e (0, 5). Variável: X. As constantes (0, 1) e (0, 5) são formadas a partir das outras constantes, 0, 1 e 5, por meio de uma notação especial. Resolução do Exercício 2: (i) Fechado, pois é atômico e não possui ocorrência de variável. (ii) Aberto, pois é atômico e possui ocorrência de variável. (iii) Aberto, pois é atômico e possui ocorrência de variável. (iv) Fechado, pois é atômico e não possui ocorrência de variável. (v) Aberto, pois é atômico e possui ocorrência de variável. 2 Enunciados moleculares abertos e fechados Com um pouco de cuidado, a classificação em aberto ou fechado se estende de maneira natural para enunciados moleculares. Exemplo 3 (a) Os enunciados Leonardo e Carolina não são namorados João é inteligente e João é preguiçoso é primo ou é composto 4

5 são fechados. (b) Os enunciados são abertos. Se x está noiva, então x usa aliança y vai ao cinema todas as semanas ou y não é cinéfilo Se p é primo e p é maior do que 2, então p é ímpar z é primo se, e somente se z 1 e z não possui divisores próprios Os Exemplos 2 e 3 mostram alguns enunciados atômicos e alguns enunciados moleculares cuja classificação em abertos ou fechados não apresenta dificuldades. Nestes exemplos, a classificação dos enunciados como abertos se deve apenas ao fato de que eles possuem ocorrências de variáveis. Mas, como veremos a partir de agora, a classificação de um enunciado molecular como aberto ou fechado é um pouco mais sutil e, geralmente, mais difícil do que simplesmente verificar se ele possui ou não a ocorrência de variáveis. O principal ponto a ser observado é que enunciados abertos tanto os atômicos quanto os moleculares dão origem a enunciados fechados por dois processos distintos: substituição de uma variável por uma constante; quantificação de uma variável. Vamos, agora, exemplificar cada um destes processos. Nestes exemplos, consideramos que os enunciados de conteúdo não matemático se referem a pessoas e que os enunciados de conteúdo matemático se referem a números naturais não nulos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... Sejam ϕ um enunciado, v uma variável que ocorre em ϕ e c uma constante qualquer. O processo de substituir v por c em ϕ consiste, simplesmente, em escrever a constante c nos lugares aonde ocorre a variável v em ϕ. Este processo, quando aplicado a enunciados atômicos, gera enunciados atômicos; e, quando aplicado a enunciados moleculares, gera enunciados moleculares. Exemplo 4 (a) A partir do enunciado aberto podemos formar os enunciados fechados x é professora Eliane é professora Kátia é professora Regina é professora 5

6 e muitas outras, obtidas a partir do enunciado aberto pela substituição da variável por nomes próprios. (b) A partir do enunciado aberto podemos formar os enunciados fechados x n é par 1 é par 2 é par 3 é par e muitos outros, obtidos a partir do enunciado aberto pela substituição da variável por numerais. n Seja ϕ um enunciado e v uma variável que ocorre em ϕ. O processo de quantificar v consiste em prefixar ϕ com uma das expressões para todo v ou existe ao menos um v usualmente, tendo primeiro encerrado ϕ entre parênteses. Este processo, quando aplicado a enunciados atômicos ou a enunciados moleculares, gera enunciados moleculares. Exemplo 5 (a) A partir do enunciado atômico aberto n é par podemos formar os enunciados moleculares fechados para todo n (n é par) existe ao menos um n (n é par) obtidos a partir do enunciado aberto pela quantificação da variável n. Observe que estes são os únicos enunciados fechados que podem ser obtidos a partir do enunciado dado pela quantificação da variável. 6

7 A diferença sutil do papel desempenhado por cada variável em enunicados como a é divisor de 12 para todo a (a é divisor de 12) existe a (a é divisor de 12) apresentados no Exemplo 5(a) motiva a seguinte definição: Seja ϕ um enunciado molecular. Dizemos que ϕ é fechado se ϕ não possui ocorrências de variáveis ou se todas as variáveis que ocorrem em ϕ estão quantificadas. Mais adiante, vamos estudar mais detalhadamente a formação e a avaliação de proposições que possuem ocorrências de quantificadores. 2.1 Observações Observação 2 Quando substituímos variáveis por constantes, todas as ocorrências da variável devem ser substiuídas pela contante. Por exemplo, substituindo x por 1 no enunciado molecular aberto x é o simétrico de 1 e x elevado ao quadrado é igual a 1 obtemos o enunciado fechado 1 é o simétrico de 1 e 1 elevado ao quadrado é igual a 1 Observação 3 Assim como podemos formar enunciados fechados a partir de enunciados abertos pela substituição de variáveis por constantes, também podemos efetuar o processo reverso de substituir constantes por variáveis e formar enunciados abertos a partir de enunciados fechados. Por exemplo, substituindo 1 por x no enunciado fechado 1 é o simétrico de 1 e 1 elevado ao quadrado é igual a 1 voltamos ao enunciado aberto x é o simétrico de 1 e x elevado ao quadrado é igual a 1 Observação 4 Assim como podemos formar enunciados fechados a partir de enunciados abertos pela quantificação de variáveis, também podemos efetuar o processo reverso de desquantificar variáveis e formar enunciados abertos a partir de enunciados fechados. Por exemplo, desquantificando a variável x no enunciado fechado obtemos o enunciado aberto existe ao menos um x (x é real e x 2 x 1 = 0) x é real e x 2 x 1 = 0 7

8 2.2 Exercício resolvido Exercício 3 Classificar cada enunciado abaixo como aberto ou fechado. (i) 2 é racional (ii) M é uma matriz quadrada (iii) x 2 + y 2 = z 2 (iv) para todos x, y e z: x 2 + y 2 = z 2 (v) existem x e y tais que: x 3 + y 3 = z 3 Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 3: (i) Fechado, pois é atômico e não possui ocorrência de variável. (ii) Aberto, pois é atômico e possui ocorrência de variável. (iii) Aberto, pois é atômico e possui ocorrência de variável. (iv) Fechado, pois todas as ocorrências de variáveis estão quantificadas. Pode ser reescrito como para todo x, para todo y e para todo z: x 2 + y 2 = z 2. (v) Aberto, pois a ocorrência da variável z não está quantificada. Pelo processo de quantificação da variável z, este enunciado dá origem a dois outros enunciados fechados: existe x, existe y e existe z tais que: x 3 + y 3 = z 3 e existe x e existe y tais que para todo z: x 3 + y 3 = z 3. c 2014 Márcia Cerioli, Renata de Freitas e Petrucio Viana IM-UFRJ, IME-UFF 8