Summary. Espaços Vetoriais. Hector L.Carrion ECT-UFRN. fevereiro, 2012

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1 Summary Espaços Vetoriais Hector L. Carrion ECT-UFRN fevereiro, 2012

2 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

3 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

4 definição Dependencia Linear Um espaço vetorial é uma estrutura (E,+,.) formada por um conjunto E,cujos elementos são chamados vetores, no qual estão definidos duas operações A adição(+) e A multiplicação por um escalar (.). - A adição, que a cada par de vetores u,v E faz corresponder um novo elemento z = u +v, E, chamado a soma de u e v, - A multiplicação por um escalar, que a cada número(escalar) a R e a cada vetor v E faz corresponder um vetor av, chamado o produto de a por v

5 axiomas Dependencia Linear A 1 comutatividade: u + v = v + u; A 2 associatividade: ( u + v) + w = u + ( v + w), e (a. b).v = a.(b.v); A 3 vetor nulo: existe um vetor 0 E, chamado vetor nulo, ou vetor zero, /v + 0 = 0+v = v, v E; A 4 inverso aditivo: para cada vetor v E existe um vetor v E, chamado o inverso aditivo, ou o simétrico de v, tal que v +v = v +( v) = 0; A 5 distributividade: (a+b).v = a.v +b.v, e a.(u+v) = a.u+a.v; A 6 multiplicação por 1: 1.v = v.

6 Exemplo 1 Seja R 3 o espaço vetorial euclideano 3-dimensional. Um elemento de R 3 é o vetor u = (u 1,u 2,u 3 ), outro elemento pode ser o vetor w = (w 1,w 2,w 3 ). Os números u 1,u 2,u 3 são chamados de coordenadas do vetor u (ou componentes). Com as duas operações definidas no espaço vetorialr 3 u +w = (u 1 +w 1,u 2 +w 2,u 3 +w 3 ) αv = (αv 1,αv 2,αv 3 ), mostre que o espaço R 3 é um espaço vetorial. Exemplo 2 Seja P n o conjunto dos polinomios de grau menor ou igual a n. P n = {a 0 +a 1 x+a 2 x a n 1 x n 1 +a n x n ; a i R} O conjunto P n junto com as operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por um escalar, é um espaço vetorial. Analise o casso particular P 2

7 exercicios Dependencia Linear 1 Seja M n m (R) o conjunto de todas as matrizes de ordem n m. Se A = [a ij ],B = [b ij ],A,B M, mostre que ele se torna um espaço vetorial quando nele se define as seguinte operações A+B = [a ij +b ij], αa = [αa ij]. 2 Demonstre que o inverso aditivo u de u é único. 3 Seja V[ o primeiro ] quadrante do plano xy, x V = {, x 0,y 0}. y a) se u V,w V, u +w V?. b) αw V? para qualquer α real? V é espaço vetorial?.

8 exercicios Dependencia Linear Demonstre usando os axiomas do espaço vetorial V, que 0u = 0, u V, 0 é o escalar zero, 0 é o vetor nulo do espaço vetorial. Quaisquer que sejam v,w E, existe um único u E tal que v +u = w (dica: utilize a propriedade 3, da nota de aula). Verifique se o conjunto de pares ordenados (x,y) do plano R 2 (+, ), com as seguintes operações (x,y)+(x,y ) = (x +x,y +y ), k (x,y) = (k 2 x,k 2 y), é um espaço vetorial. ( ) a 0 Verifique se o conjunto de matrizes da forma munido das 0 b operações usuais de soma de matrizes e multiplicação de matrizes por um escalar, é um espaço vetorial. a,b R.

9 exercicios.. Dependencia Linear seja C o espaço dos números complexos. Um elemento deste espaço é z tal que z = a+bi; z C, a,b R. a é a parte real de z, e b é a parte imaginária de z,i 2 = 1. Então considerando as seguintes operações z 1 +z 2 = (a 1 +b 1)+i(a 2 +b 2) αz 1 = αa 1 +αb 1i mostre que o espaço dos números complexos C forma um espaço vetorial. Em R 2 mantenhamos a definição de produto av de um numero por um vetor mais modifiquemos a definição de soma u +v dos vetores u = (x,y),v = (x,y ). Em cada tentativa dizer quais axiomas do espaço vetorial continuam validos e quais são violados. u +v = (xx,yy ) u +v = (3x +3x,5y +5y )

10 Demonstrar que 0.u = 0, sendo u, 0, E, 0 R. demonstração. u +0.u = 1.v +0.u A 6 = (1+0)u A 5 = 1.u A 6 u +0.u = u A 3 0.u = 0, o.q.q.d. Demonstrar que, dado um vetor v E, o elemento neutro 0 é unico. Demonstrar que se w +u = w +v, então u = v.

11 Seja X o conjunto não-vazio qualquer, poderia ser por exemplo, os números reais R. Seja F(X,R) o conjunto de todas as funções reais f,g : X R. Ele se torna um espaço vetorial quando se definem a soma f +g de funções e o produto βf do número β pela função f de maneira natural, como segue: (f +g)(x) = f(x)+g(x), (βf)(x) = β.f(x) Seja E = R 2, e S = {(x,y),y > 0}, isto é sub-conjunto de vetores de E = R 2. Considere as operações usuais de soma de vetores u +v = (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ), e a multiplicação usual de um escalar real β por um vetor v = (x 1,y 1 ) como segue βu = (βx 1,βy 1 ). Prove que S com esas duas operações básicas não é um espaço vetorial.

12 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

13 Definição Dependencia Linear É possivel um espaço vetorial estar contido em outro espaço vetorial. Seja E um espaço vetorial, um subespaço vetorial de E ou simplesmente subespaço é um subconjunto F E com as seguintes propriedades: 1 0 F. 2 Se u,w F então, u +w F 3 Se v F então, α R,αv F Exemplo 1 Seja E = R 2, e v 0, v E, mostrar que F = {αv, α R} é um subespaço vetorial de E. definição. Uma matriz quadrada A = [A ij ] chama-se simetrica (anti-simetrica) quando A ij = A ji (A ij = A ji ).

14 Soma direta Dependencia Linear Exemplo 2 Prove que S = {conjuntodematrizessimétricas} é um subespaço vetorial do conjunto de matrizes quadradas gerais do tipo M n n. De forma similar, prove que S = {conjuntodematrizesanti simétricas} é um subespaço vetorial do conjunto de matrizes quadradas gerais do tipo M n n Propriedade Seja E um espaço vetorial, e E 1 E, E 2 E, onde E 1,E 2 são subespaços vetoriais de E. A interseção S = E 1 E 2 definido assim S = {v E /v E 1,v E 2 } (1) é um espaço vetorial. Definição Se E 1 E, E 2 E, e se S = E 1 E 2 = {0}, (tendo apenas 0 como elemento comun). w E,w = v 1 +v 2, de modo único. Onde v 1 E 1,v 2 E 2. Então se escreve assim E 1 E 2 = E, diz-se E é a soma direta de E 1 e E 2

15 Exercícios Dependencia Linear 1 Seja E = R 3 e F = {(x,y,z) R 3 ax +by +cz = 0;a,b,c escalares constantes.} Mostre que F é subespaço de E. 2 Seja E = R 4. Mostre que F = {(x,y,z,0);x,y,z R} é um subespaço de E. 3 Dado E = R 2, mostre que F = {(x,y),x > 0} não é subespaço de E. 4 Seja R 3 = {(a,b,c);a,b,c R}, considerando Mostre que R 3 = E 1 E 2. E 1 = {(a,b,0);a,b R}, E 2 = {(0,0,c);c R.}

16 1 Seja s 1 = {(0,x,y), x,y R};s 2 = {(x,0,y), x,y R}; então S = s 1 s 2 não é um espaço vetorial, falso verdadeiro?. 2 Determine se os seguintes subconjuntos são subespaços de R 3 a) todos os vetores da forma (a; 1; 1). b) todos os vetores da forma (a; b; c); b = a + c. 3 Seja M 2x2 o conjunto de matrizes com entradas todas reais de ordem 2 2. Determine se as matrizes quadradas com det(a) = 0, forman um subespaço de M 2x2. 4 Seja P 3 o conjunto de todos os polinomios da grau menos ou igual a 3. Dado a i R,i = 0,1,2,3. Verifique se a) o conjunto F = {a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x 3 } ; é subespaço vetorial de P 3. b) o conjunto F = {1+a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x 3 é subespaço vetorial de P 3.

17 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

18 seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto V E é linearmente independente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V écombinação linear dos outros elementos de V. Pode-se dizer também que tais vetores são linearmente independentes Quando um conjunto V é L.I. seus elementos são todos 0 pois o vetor nulo é combinação linear de quaisquer outros elementos de V Um conjunto V E é linearmente dependente, L.D. quando não é L.I. Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se λ 1 v λ n v n = 0, com v 1,...v n V então λ 1 =... = λ n = 0. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de V é aquela cujos coeficientes são todos iguais a zero, entao V é um conjunto L.I.

19 seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto V E é linearmente independente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V écombinação linear dos outros elementos de V. Pode-se dizer também que tais vetores são linearmente independentes Quando um conjunto V é L.I. seus elementos são todos 0 pois o vetor nulo é combinação linear de quaisquer outros elementos de V Um conjunto V E é linearmente dependente, L.D. quando não é L.I. Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se λ 1 v λ n v n = 0, com v 1,...v n V então λ 1 =... = λ n = 0. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de V é aquela cujos coeficientes são todos iguais a zero, entao V é um conjunto L.I.

20 seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto V E é linearmente independente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V écombinação linear dos outros elementos de V. Pode-se dizer também que tais vetores são linearmente independentes Quando um conjunto V é L.I. seus elementos são todos 0 pois o vetor nulo é combinação linear de quaisquer outros elementos de V Um conjunto V E é linearmente dependente, L.D. quando não é L.I. Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se λ 1 v λ n v n = 0, com v 1,...v n V então λ 1 =... = λ n = 0. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de V é aquela cujos coeficientes são todos iguais a zero, entao V é um conjunto L.I.

21 seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto V E é linearmente independente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V écombinação linear dos outros elementos de V. Pode-se dizer também que tais vetores são linearmente independentes Quando um conjunto V é L.I. seus elementos são todos 0 pois o vetor nulo é combinação linear de quaisquer outros elementos de V Um conjunto V E é linearmente dependente, L.D. quando não é L.I. Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se λ 1 v λ n v n = 0, com v 1,...v n V então λ 1 =... = λ n = 0. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de V é aquela cujos coeficientes são todos iguais a zero, entao V é um conjunto L.I.

22 seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto V E é linearmente independente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V écombinação linear dos outros elementos de V. Pode-se dizer também que tais vetores são linearmente independentes Quando um conjunto V é L.I. seus elementos são todos 0 pois o vetor nulo é combinação linear de quaisquer outros elementos de V Um conjunto V E é linearmente dependente, L.D. quando não é L.I. Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se λ 1 v λ n v n = 0, com v 1,...v n V então λ 1 =... = λ n = 0. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de V é aquela cujos coeficientes são todos iguais a zero, entao V é um conjunto L.I.

23 exemplos Dependencia Linear Exemplo 1 Os vetores canônicos e 1 = (1,0,...,0),e 2 = (0,1,0...,0),...e n = (0,...,0,1) em E = R n são L.I. Exemplo 2 Os monômios {1,x,x 2,x 3 } P 3 são L.I. Onde P 3 são os polinomios de grau 3 Exemplo 3 Mostre que os vetores v = (2,3,4),w = (2,0, 1),z = (6,3,2) em R 3 são L.D.

24 Exercícios Dependencia Linear 1 Seja v = (1,2,0),w = (0,1, 1),z = (3,0,1), mostre que eles formam um conjunto L.I no espaço V = R 3. 2 no R 2, os vetores {e 1 = (1,0),e 2 = (0,1),v = (m,n);m,n R} são L.D. 3 Verifique se o seguinte conjunto V = {v 1 = é ou não L.I. [ ] [ 3 0,v 2 = Verifique se são L.I. ou L. D. o seguinte conjunto ] } M(R) 2 2. P = {1+2x x 2,2 x +3x 2,3 4x +7x 2 } P 2

25 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

26 Definição de base de um E. V. Seja E um espaço vetorial qualquer e B = {v 1,v 2,...v n } um conjunto de vetores qualquer de E. Dizemos que B é uma base de E se as seguintes condições são satisfeitas. B é linearmente independente. B gera E Que B gera E significa que todo vetor v E se exprime, de modo único, como uma combinação linear v = λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +..,λ n v n de elementos da base B. Os números λ 1,λ 2,..λ n chaman-se as coordenadas do vetor v na base B. Teorema Todas as bases de um espaço vetorial (e. v.) de dimensão finita n, têm o mesmo número de vetores e igual a n.

27 Teorema Se B = {v 1,...,v n } é uma base de E então cada vetor v E pode ser expresso assim: v = λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +..,λ n v n de forma única. Exemplo 1 Os vetores e 1 = (1,0,...0),e 2 = (0,1,0...0),...e n = (0,...0,1) constituem uma base {e 1,e 2,..e n } de R n, chamada de base canônica. Exemplo 2 Os monômios {1,x,x 2,..x n } formam uma base para o espaço vetorial P n dos polinomios de grau n Exemplo 3 Mostre que as matrices m 1,m 2,m 3,m 4 são uma base de M(R) 2 2 [. Onde, ] [ ] [ ] m 1 =, m =, m = ; m = [ ] 0 0, os três exemplos anteriores são bases canônicas. 1 0

28 Dimensão de um E. V. Definição de Dimensão. Se E possui uma base com n vetores, então E tem dimensão n e anota-se dim E = n. Um espaço vetorial E é chamado de dimensão finita se contém um conjunto finito {v 1,...v n } de vetores de base de E, n é um número inteiro. Caso esta base de E não for finita, diz-se que E é um e. v. (espaço vetorial) de dimensão infinita. Teorema. Seja E um e. v. de dimensão finita n, onde {v 1,..v n } é uma base qualquer de E. então é válido. 1 Um conjunto com mais de n vetores em E é L.D. 2 Um conjunto com menos do que n vetores não gera E.

29 Exemplos Dependencia Linear Exemplo 1 Seja E = R 2 o espaço vetorial Euclidiano. a) Considere o conjunto B 1 = {e 1,e 2 } de vetores, ele é base de E? b) Quais são as coordenadas do vetor V = (x,y) nessa base? c) Seja outro conjunto de vetores B 2 = {b 1,b 2 }, b 1 = (1,1),b 2 = (2,0). B 2 é base do espaço E = R 2? d) Quais são as coordenadas do vetor V = (x,y) na base B 2?. e) Qual é a dimensão do espaço E = R 2. Exemplo 2 Seja conjunto de vetores B = {p 1,p 2,p 3,p 4 } do espaço vetorial P 2. Verfique se eles são L.I. ou L.D. p 1 = 1+x, p 2 = 2 x 2, p 3 = x +x 2, p 4 = 1.

30 Exercícios Dependencia Linear Exemplo 1 O espaço vetorial A(m n) das matrizes m n tem dimensão finita igual a m.n. Exemplo 2. Mostre que a dimensão da base canônica de P n é n+1. P n é o polinomio de grau n 1 Mostre que S = {V 1,V 2,V 3 } forma uma base do espaço R 3. V 1 = (1,0,2);V 2 = ( 1,3,2);V 3 = (0,1,2). Encontrar as componentes do vetor W = (3,1, 2) na base S. 2 Encontre as componentes do polinomio P, na base S = {P 1,P 2,P 3 }. Onde P = 2 x +x 2,P 1 = 1+x,P 2 = 1+x 2,P 3 = x +x 2.

31 Mostre que as [ matrices m] 1,m 2,m 3 [,m 4 são uma] base de M(R) n n Onde, m 1 =, m =, m = [ ] [ ] ;m =. 1 0 Encontre [ as componentes ] [ de A na] base S = [ {v 1,v 2 ],v 3,v 4 } A =, v =, v =, v = [ ] ;v 4 = [ ]. Determine a dimensão do subespaço de P 3, consistindo de todos os polinômios da forma P 3 = a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x 3. Determine a dimensão do subpespaço de R 4 da forma v = (a,b,c,d),d = a+b,c = a b.

32 Determine a dimensão da base do espaço-solução do sistema x +y z = 0, 2x y +2z = 0, x +z = 0 Dado o sistema de equações x +y z = 0,y 2w = 0,x z +2w = 0 a) Determine o posto da matriz de coeficientes, e o posto da matriz aumentada. b) o sistema tem solução única ou infinitas soluções? c) Defina uma base do espaço solução do sistema anterior. d) qual é a dimensão deste espaço? e) o sistema tem solução trivial? f) o espaço solução é subespaço de R 4

33 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

34 Os axiomas do espaço vetorial não são suficientes para abordar certas noções geometricas como ângulo, ortogonalidad,comprimento, distância,etc. para estudar estas noções geométricas precisamos introduzir o conceito de produto interno no espaço vetorial. produto interno Um produto interno num espaço vetorial E é uma função bi-linear simétrica e positiva de E. <,> : E E R u, v < u,v > o número real < u,v > é chamado de produto interno de u por v.

35 As seguintes propriedades devem ser satisfetias u,v,w, E Bilinearidade < u +w,v >=< u,v > + < w,v >; < u,w +v >=< u,w > + < u,v >, < αu,v >= α < u,v >, < u,αv >= α < u,v >, simetria ou comutatividade < u,v >=< v,u >, Positividade < u,u > 0, se u 0. como < 0,v >=< 0+0,v >=< 0,v > + < 0,v >, então segue que < 0,v >= 0, v E

36 Norma : A norma de um vetor v (ou comprimento de v) no espaco vetorial E, esta definida do seguinte modo N : E R v N(v) = v = < v,v >. (2) Observamos que N(v) é um número real não negativo. Quando v = 1 o vetor v chama-se de vetor unitario. Distancia: A distancia entre os vetores v = (v 1,v 2,...,v n ),u = (u 1,u 2,...,u n ) E esta definido assim : d[u,v] = u v. (3)

37 Exemplos Dependencia Linear 1 no espaço euclidiano R 3 o produto interno canônico de vetores u = (u 1,u 2,u 3 ) e v = (v 1,v 2,v 3 ) esta definido assim: < u,v >= u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 = i=3 i=1 u iv i. 2 Seja < u,v > um produto interno num espaço linear E. Mostre que se < u,v >= 0, para qualquer v que pertence a E, então u = 0. 3 Seja u = (u1,u2) e v = (v1,v2). Mostre que temos um produto interno em R 2 no seguintes casos: a) < u,v >= 4u1.v1+u2.v1+u1.v2+4u2.v2 b) < u,w >= 3u 1 w 1 +5u 2 w 2.

38 Exercicios Dependencia Linear 1 Dado o produto interno < u,w > no espaço vetorial E, prove que se tem u +v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ). 2 demonstre a desigualdade triangular para dois vetores u e v do plano R 2, u +v u + v. 3 Seja E = C 0 [a,b] um espaço vetorial das funções contínuas reais g,f [a,b] R, provar que a função <.,. >: E E R (4) < f,g > = b a fgdx (5) é um produto interno, [a,b] R. Determine o produto interno entre f = cos(x) e g = sin(x) e o módulo da função f = cos(x),a = 0,b = π.

39 1 Seja o espaço vetorial M 2 2 (R) formado por todas as matrizes com elementos reais da forma A = [a ij ]. Considerando o produto interno < A,B [ >= tr(a] T B). Determine a norma de U M 2 2 (R), sendo 1 2 U = Seja p = a 0 +a 1 x +a 2 x a n x n é q = b 0 +b 1 x +b 2 x b n x n, dois vetores do espaço vetorial P n dos polinomios de grau máximo n. Demonstre que < p,q >= i=n i=0 a ib i é um produto interno. logo, p =< p,p >= a0 2 +a an n. Determine p, onde p = 2 x 2. 3 Dois vetores de um espaço vetorial se chamam ortogonais se < u,v >= 0. No espaço Euclidiano R 3, verifique que < i,j >=< i,k >=< k,j >= 0, considerando o produto interno canônico de R 3.

40 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

41 Para todo número natural n, o símbolo R n representa o espaço vetorial euclideano n-dimensional. os elementos de R n são as listas ordenadas v = (v 1,...,v n ),w = (w 1,...,w n ) de números reais. Por definição a igualdade vetorial v = w significa as n igualdades numéricas v 1 = w 1,...,v n = w n. Os números v 1,...v n são chamados as coordenadas do vetor v na base canônica {e 1,e 2,..,e 3 } de R 2. As duas operaçõs fundamentais do espaço vetorial R n são definidas assim : v +w = (v 1 +w 1,...,v n +w n ), λv = (λv 1,...,λv n ) O vetor zero 0 é por definição, aquele cujas coordenadas são todas iguais a zero; 0 = (0,...,0). O inverso aditivo de v = (v 1,...,v n ), é v = ( v 1,..., v n ).

42 Definição Dependencia Linear Seja u,v R n, entao o angulo θ entre os vetores u e v esta definido do seguinte modo (ver exerício 1 da pág 45) 1 cos(θ) = < u,v > u v 1. Norma Euclidiana: A norma de um vetor v = (v 1,v 2,...,v n ) do espaco R n esta definida do seguinte modo N : R n R, v N(v) = v = < v,v >. (6) onde v = u 2 1 +u u2 n. Geométricamente a norma v é o comprimento do vetor v.

43 Distancia entre vetores. Em forma similar a distancia entre os pontos v = (v 1,v 2,...,v n ),u = (u 1,u 2,...,u n ) R n esta definido assim : d(u,v) = u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) (u n v n ) 2 Propriedades da distancia entre os vetores u e v. Seja u,v,w vetores de R n, logo d(u,v) 0, d(u,v) = d(v,u) d(u,v) = 0, u = v, d(u,v) d(u,w)+d(w,v) (desigualdade triangular). A ultima propriedade, generaliza para o espaço R n o resultado usual em R 3 que afirma que a menor distância entre dois pontos do R n é ao longo de uma reta.

44 Exercicios Dependencia Linear Considere R 3 com o produto interno usual (canônico) para as seguintes questões. Seja u = (2,1, 2,0) e v = (1,2,k,2). a) Para que valores de k podemos afirmar que u e v são ortogonais (perpendiculares), b) Se k = 0 qual é o angulo formado pelo vetores u e v. Sejam u = (4,1,2,3),v = (0,3,8, 2),w = (3,1,2,2). Calcule a) v b) u +3v c) u + 3v d) (u+w) u+w Determine o angulo entre os vetores u = (1,0,2),v = (1,2,0). Suponha que v,w,u são vetores tais que(u,v) = 2, (v,w) = 3,(u,w) = 5, u = 1, v = 2, w = 7. Calcule a) < u +v,v +w > b) 2w v

45 1 Dado o produto interno < u,w > no espaço vetorial E = R n, prove que < u +v > u v desigualdade de Cauchy-Schwarz. 2 Use o resultado anterior e demonstre a desigualdade triangular para dois vetores u e v de R n, u+v u + v. desigualdade triangular. 3 Encontre a distancia euclidiana entre os vetores u = (1,2,0) e v = (0,3,2). 4 Resolva para v = (v 1,v 2,v 3 ), se u.v = 10,w.v = 1,s.v = 7,u = (1, 1,4),w = (3,2,0),s = (4, 5, 1). 5 u,v são vetores do espaço R n, encontre u.v, se u v = 5, u +v = 1. 6 Seja V 1,V 2,...,V n vetores de R n, considerando que < V i,v j >= 0, i j, demonstre que i=n i=1 V i = i=n i=1 V i 2.

46 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal Processo de Gram-Schmidt 12

47 Processo de Gram-Schmidt Definição Seja E um espaço vetorial com produto interno. Dois vetores u e v chaman-se ortogonais (ou perpendiculares) quando < u,v >= 0. Escreve-se então u v. Em particular o vetor 0 é ortogonal a qualquer vetor v de E. Exemplo Seja P 2 o espaço vetorial formado pelo conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Seja P = p o +p 1 x +p 2 x 2,Q = q 0 +q 1 x +q 2 x 2. Seja o produto interno neste espaço vetorial da seguinte forma : < P,Q >= p 0 q 0 +p 1 q 1 +p 2 q 2. Sendo assim, se P = x kx 2,Q = b +2x +2x 2. Determine k para que P e Q sejam ortogonais, b é constante. bases ortonormais Seja E um espaço vetorial, um conjunto de vetores F = {V 1,...V m } E é dito ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer em F são ortogonais. Se, além disso, todos os vetores de F são unitários então F é chamado de conjunto ortonormal.

48 Processo de Gram-Schmidt Definição Uma base B = {V 1,...V m } do espaço vetorial E é dito base ortonormal se e somente se, para qualquer vetor V i,v j B tem-se que { 0, i j < V i,v j >= (7) 1, i = j. Teorema Num espaço vetorial E, com produto interno, todo conjunto ortogonal F de vetores não-nulos é L.I (provar, ver exercícios). Exemplo. Seja B = {V 1,V 2,V 3 } uma base do R 3, onde V 1 = , V 2 = , V 3 = O calculo direto mostra que usando o produto interno canônico usual: < V 1,V 2 >=< V 1,V 3 >=< V 2,V 3 >= 0,< V 1,V 1 >=< V 2,V 2 >=< V 3,V 3 >= 1. Ou em forma resumida < V i,v j >= δ ij..

49 Processo de Gram-Schmidt complemento ortogonal Se um vetor w E é ortogonal a todos os vetores de um subespaço F E, então, dizemos que w é ortogonal a F. O conjunto de todos os vetors ortogonais a F é chamado del complemento ortogonal de F, e é denotado porf. Exemplo 1 O vetor w = (0,0,3) R 3 é complemento ortogonal do plano xy = R 2. Exemplo 2 Mostrar que se dois vetores são ortogonais então u +v 2 = u 2 + v 2 (Teorema de pitagoras para espaços vetoriais com produto interno). Exemplo 3 Mostre que a base canônica {e 1,e 2,...,e n } de R n é ortonormal, considerando o{ produto canônico usual. Ou seja 0, se; i j < e i,e j >= δ ij, onde δ ij = 1, se; i = j

50 Processo de Gram-Schmidt Exercicios 1 Seja o conjunto B = {v = (1,1)/ 2,w = (1, 1)/ 2} R 2. Seja v = (v 1,v 2 ),w = (w 1,w 2 ). O conjunto B é ortonormal na base canônica?. Considere o seguinte produto interno : < v,w >= v 1 w 1 +2v 2 w 2, verifique se B é ou não conjunto ortonormal. 2 Demonstre o Teorema enunciado na pagina seja v,w dois vetores arbitrarios de R 3, Demonstrar que a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor w é dado por O vetor Pr w (v) é paralelo a w. Pr w (v) = < v,w > w 2 w. 4 Verifique se o conjunto B = { i j 2, j+ k 2, i+ k 2 } é ortonormal.

51 Processo de Gram-Schmidt Seja, B = {v 1,v 2,...v n }, uma base qualquer do espaço vetorial E. A partir desta base podemos construir uma base ortonormal O = {q 1,...q n } E. O processo é como segue: Seja w 1 = v 1, logo q 1 = w1 w 1. w 2 = v 2 Pr w1 (v 2 ), logo q 2 = w2 w 2 w 3 = v 3 Pr w1 (v 3 ) Pr w2 (v 3 ), logo q 3 = w3 w 3.. w n = v n j=n 1 j=1 Pr wj (v n ), logo q n = wn w n. Observe que q 1 =... q n = 1.

52 segue... Dependencia Linear Processo de Gram-Schmidt logo, se pode verificar que o conjunto {q 1,q 2,...,q n } é uma base ortonormal de E. A este processo de construção de uma base ortonormal no espaço vetorial E é denominada de processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. exercicios Exercício 1. Seja B = {v 1 = (1,1),v 2 = (1,2)} uma base do espaço euclidiano E = R 2. Construa uma base ortonormal de R 2 a partir da base B, usando o processo de Gram-Schmidt. Exercício 2. Seja B = {v 1 = (1,1,1),v 2 = (0,1,1),v 3 = (0,0,1)} uma base de E = R 3. Construa uma base ortonormal para o espaço R 3 a partir da base B, usando o processo de Gram-Schmidt. Nos dois exemplos anteriores, se assume que os vetores de base B estão dadas na base canônica, e se deve utilizar o produto interno canônico de R n.

53 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

54 Seja E um espaço vetorial de dimensão n. Consideremos as bases arbitrarias B 1 = {q 1,q 2,...,q n } E, e a base B 2 = { q 1, q 2,..., q n } E. Dado v E, tal que v = x 1 q 1 +x 2 q x n q n = x i q i,i = 1,..n. (8) v = y 1 q 1 +y 2 q y n q n = y l q l,l = 1,..n. (9) Os números reais x i são as coordenadas de v na base B 1, e os números reais y i são as coordenadas de v na base B 2. Coordenadas de v em forma matrizial. x 1 y 1 [v] B1 = x 2., [v] B 2 = y 2. (10) x n y n Qual é a relação entre o conjunto de coordenadas x i e y i?.

55 Consideremos como exemplo o vetor q 1 na base nova B 2, teriamos: q 1 = a 11 q 1 +a 12 q 2 +,...+a 1n q n = j=n j=1 a 1j q j. Em forma geral l=n q k = a kl q l (11) l=1 Podemos pensar que as coordenadas do vetor q k na nova base B 2 pode-se colocar como uma matriz coluna (k-ésima coluna da matriz A). a k1 [q k ] B2 =.. (12) a kn Os números reais a ij são elementos de uma matriz A, chamada matriz de transformação ou matriz de mudança de base, da base B 2 a base B 1. Substituindo (11) em (8), e organizando chegamos a seguinte relação

56 v = x i q i = k=n l=n x k q k x k ( a kl q l ) (13) logo, a ordem da sumação pode-se trocar, k=1 k=n l=n l=n k=n v = x k a kl q l = ( x k a kl ) q l (14) k=1 l=1 comparando a igualdade anterior com a equação (9) e utilizando a independencia linear dos vetores de base q k, chegamos a conclusão: y l = k=n k=1 l=1 k=1 l=1 a kl x k, ou matricialmente,

57 y 1 y 2. y n = a 11 a 21. a n1 a 12 a a 1n.. a nn x 1 x 2. x n, ou [v] B 2 = A T [v] B1 (15) Esta última equação é mais útil, desde que permite calcular as coordenadas de v na base nova B 2 em função das coordenadas de v na base anterior B 1 e da matriz de mudança de coordenadas A T. Observe que as colunas da matriz A T esta formada pelas coordenadas dos vetores q k, na nova base B 2 respetivamente A T = [[q 1 ] B2 [q 2 ] B2...[q n ]B 2 ]

58 è importante fazer uma observação, que verdadeiramente a matriz de mudança de bases, da base B 1 B 2 é a matriz A 1. Desde que q 1 q 1.. = A 1.., (16) q n q n observe a equação (11), na qual realizamos a inversão da matriz A. Exemplo 1 Seja B 1 = {q 1 = (1,0),q 2 = (0,1)} a base canônica de R 2. Considere a nova base B 2 = { q 1 = (1,1), q 2 = ( 1,1)}. a) Dado um vetor v, encontre a matriz que transforma as coordenadas iniciais deste vetor na base B 1 à base B 2. b) Encontre a matriz A 1 da mudança de bases (B 1 B 2 ). c) Dado o vetor v = (3,4) na base inicial B 1, encontre suas novas coordenadas na base B 2.

59 Exemplo 2 Seja B 1 = { i, j, k} a base canônica de R 3. Considere a nova base B 2 = { i + j, k + j, i + k}. a) Encontre a matriz A T de transformação de coordenadas. b) Dado os vetores v = (1,1,1),w = (1,3, 2) na base inicial B 1, encontre suas novas coordenadas na base B 2. Exercício 1 Seja B = {e 1,e 2 } uma base ortonormal do R 2, sendo e 1 = (1,0) e e 2 = (0,1). Consideremos uma nova base ortonormal B = {e 1,e 2 } de R2, produto da rotação da base anterior B um ángulo θ. a) Determine a matriz de transformação (matriz de rotação aoredor do eixo z) da base ortonormal B a base ortonormal B. b) Determine a matriz de mudança de coordenadas da base ortonormal inicial B à base ortonormal final B

60 Exercício 2 Seja um vetor v = (3,4) na base canônica B 0 = { i, j}. a) Determine as componentes do vetor v na base B 1 = {q 1,q 2 }, e na base B 2 = { q 1, q 2 }. q 1 = (1,1),q 2 = ( 1,1), q 1 = ( 1,0), q 2 = (1, 1). b) Encontre a matriz de mudança de base A 12 que leva as coordenadas de v na base B 1 à base B 2. c) Verifique que A 2 = A 12 A 1. A matriz A 1 é a matriz de mudança de coordenadas da base canônica B 0 à base B 1.A matriz A 2 é a matriz de mudança de coordenadas da base canônica B 0 à base B 2. Exercício 3 Seja P 1 o espaço vetorial formado pelos polinomios de grau máximo 1. Neste espaço definimos a base B 1 = {p 1,p 2 }, e a base B 2 = {q 1,q 2 }. Onde p 1 = 2+3x,p 2 = 2x, e q 1 = 2,q 2 = 4+5x. a) Encontre a matriz de mudança de coordenadas de B 1 a B 2. b) Seja o vetor w = 6+10x, encontre as coordenadas de w na base B 1. c) Usando o resultado anterior, encontre as coordenadas de w na base B 2. d) De forma similar que a pergunta b, calcule as coordenadas de w na base B 2, e compare com o resultado da parte c.

61 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

62 Vamos visualizar o conceito de matriz ortogonais atraves de um exemplo. Exemplo 1 Seja a matriz U = , esta matriz é dita ortogonal se os vetores coluna {u i,i = 1,2,3} desta matriz são ortonormais como se mostrou no exemplo 4.1. Podemos observar também que a matriz U T = é inversa de U. Podemos verificar diretamente que UU T = U T U = 1, o que quer dizer U 1 = U T.

63 Em geral se temos uma matriz ortogonal a 11.. a 1i.. a 1j.. a 1n a 21.. a 2i.. a 2j..... A = a k1.. a ki.. a kj..., a n1.. a ni.. a nj.. a nn os vetores coluna a i e a j são ortonormais o que que dizer < a i,a j > a i. a j = δ ij, ou em componentes a ki a kj = δ ij. (17) k

64 Porem, lembrando que aik t = a ki, sendo aik t as componentes da matriz transposta A t ; podemos re-escrever a equação 17 deste modo a ki a kj = aik t a kj = δ ij. (A T A = 1 n n ). (18) k k A análise da ortonormalidade feita com os vetores coluna também pode ser feita com os vetores linha, desta forma chegariamos a seguinte relação a ik a jk = a ik akj t = δ ij. (AA T = 1 n n ), (19) k k similiar a equação anterior 18. Logo, esta provado que para uma matriz ortogonal se cumpre que A T = A 1.

65 Exercicios Dependencia Linear Exemplo 1 Mostre que a matriz A é ortogonal [ ] 1/2 3 A = /2 Exercício 1 Demonstre que se a matriz A é ortogonal, A 1 também é. Exercício 2 Demonstre que det(a) = ±1, para toda matriz ortogonal A. Exercício 3 Se temos duas bases B 1,B 2 ortonormais, a matriz de transformação de coordenadas é uma matriz ortogonal: A 1 = A T.

66 Exercício 4 Seja o espaço Euclidiano R 3 e a base canônica B 1 = { i, j, k}, ao longo dos eixos x 1,x 2,x 3, respectivamente. Se giramos o sistema de coordenadas x 1,x 2,x 3 rígidamente um ángulo θ ao redor do terceiro eixo x 3 e no sentido antihorário, teremos uma nova base B 2 = { q 1, q 2, q 3 }. a) Determine os vectores q i,i = 1,2,3 em função dos vetores unitários i, j, k da base canônica B1, considere um angulo fixo e arbitrario. b) Dado um vetor v = (0,1,2) na base canônica B 1, qual será as novas coordenadas de v = (y 1,y 2,y 3 ) na nova base B 2?, considere os cassos θ = π/2, e θ = π/4. Exercício 5 Considere o espaço vetorial dos polinomios de grau máximo 1 P 1. Em P 1 temos duas bases, a base canônica B 1 = {p 1 = 1,p 2 = x}; e a base B 2 = {q 1 = 2+x 3, q 2 = 1 2x 3 }. a) Verifique que esta última é uma base ortonormal também. b) Verique que a matriz de mudança de coordenadas de B 1 B 2 é uma matriz ortogonal. Considere o produto interno definido para polinomios em exercícios anteriores.

67 Matriz de rotação Quando temos um sistema de coordenadas fixo X,Y,Z, e realizamos a rotação (no valor do angulo θ) de um vetor V = (x,y,z) ao redor do certo eixo fixo no espaço R 3 tal como n ; a matriz que transforma as velhas coordenadas de V nas novas coordenadas de V = (x,y,z ) é sempre uma matriz ortogonal; isto porque este tipo de matriz não modifica a norma do vetor, ou seja, V = V ; como é o caso numa rotação. Em geral, essa matriz de rotação depende do angulo de giro θ e das componentes do vetor n que define o eixo de rotação, logo: R = R(θ, n). Em particular se o eixo de rotação é o eixo +Z, esta matriz somente depende do angulo θ, tal como segue: Prove a igualdade (20). V = R(θ)V, R T = R 1 V = V (20)

68 Exercício 6 Seja a matriz de rotação cos(θ) sin(θ) 0 R(θ) = sin(θ) cos(θ) 0, esta matriz descreve a rotação feita por um vetor V ao redor do eixo +Z num ángulo θ no sentido antihorario. Por tanto, tendo a informação da posição inicial do vetor V = (x,y,z), e o angulo de rotação θ, podemos determinar as novas coordenadas do vetor V = (x,y,z ) usando a equação matricial [V ] = R(θ)[V]. Verifique que a matriz R é ortogonal. Pergunta : Se V = (1,0,3) e ele gira um ángulo de θ = 90 o graus em sentido antihorario, ao redor do eixo +z determine as coordenadas do vetor V. Obseve que, a diferença do exercício 4 (desta seção), aqui não tem mudança de base, quem mudou foi o vetor.

69 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

70 Aplicações Orientação de ônibus espacial: Determinação do eixo instantaneo de rotação. Solução de sistema de equações diferenciais lineares (mistura de substancias, modos normais de vibração, vibração de um predio, etc) Busca na rede e hierarquização de páginas no google. referência: Steven J. Leon, àlgebra linear, 8 a edição,editorialgen2011.

71 Seja A = [a ij ] n n, seja X = [x i ] n 1. Equação de autovalores AX = λx (21) λ autovalor de A associado ao autovetor X A equação de autovalores pode ser colocada desta forma Onde I é a matriz identidade n n Seja B = A λi, então : BX = 0. (A λi)x = 0 n n. (22) Para termos solução em X não trivial(x 0), a matriz B deve ser singular (B 1 ). Logo det(b) = det(a λi) = 0, (23)

72 função carateríztica. Do ponto de vista do autovalor λ a equação anterior (23) define um polinomio em λ, por tanto podemos definir f(λ) = det(a λi) = 0. Para uma matriz A n n o polinômio f(λ) = a 0 +a 1 x +a 2 x a n+1 x n+1 +a n x n, P n. chama-se função carateriztica Equação carateriztica f(λ) = det(a λi) = 0. (24) As raizes da equação anterior, são os autovalores da matriz A.

73 Exemplo 1 Encontre os autovalores e autovetoes da matriz ( ) 4 5 A = 2 1 (25) Alguma propriedades de autovalores. Se v é autovetor associado ao autovalor λ de A : Então αv(αreal) também é autovetor de A associado ao mesmo autovalor λ. λ k é autovalor de A k. λ 1 é autovalor de A 1. bλ é autovalor de ba. Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se λ = 0 não é um autovalor de A. procure eigenvalues (autovalores).

74 Exercícios Dependencia Linear Exercício 1 Encontre os autovalores e autovetoes das matrizes A, B, C, D, F, K. [ ] 4 4 A =,B = ,C = , D = ,F = ,K = [ Exercício 2 Mostre que a equação carateriztica de uma matriz A de ordem 2 2 é da forma λ 2 - traço(a)λ +det(a) = 0. λ é autovalor de A. Exercício 3 Probar que se A é uma matriz quadrada, então A e sua transposta A T tem os mesmo autovalores. ].

75 Exercício 3 Determine os valores propios das matrizes B 1,C 1,D 5 (da pagina anterior). Propriedades 1.- Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da sua diagonal principal. 2.- Os autovalores de uma matriz simétrica (A = A T ) são números reais, e os autovetores associados a estes autovalores reais (distintos) são ortogonais (provar). 3.- Seja V e λ autovetor e autovalor associados a uma matriz A., prove que λ s é um autovalor da matriz G = A si, onde I matriz identidade. λ, s são números reais. Teorema Se {X 1,X 2,...X n } são autovetores de A associados a autovalores distintos λ 1,λ 2,..λ n respetivamente, então o conjunto {X 1,X 2,...X n } é L. I. Exemplo: verifique a validade deste teorema nos exemplos anteriores.

76 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal ortogonal 12

77 ortogonal Problema da diagonalização Dada uma matriz A n n existe uma matriz P (invertível) tal que P 1 AP é uma matriz diagonal?. Resposta: Dita matriz pode existir ou não. Casso dita matriz P existir, a matriz A chama-se diagonalizavel. Dizemos que P diagonaliza A. Teorema Uma matriz quadrada A n n é diagonalizavel se e somente se A tem n autovetores linearmente independentes. Procedimento de diagonalização 1 Encontre os n,{x 1,X 2,...X n } autovetores de A. L. I. 2 Forme a matriz P con os vetores coluna {X 1,X 2,...X n }. 3 Realize a multiplicação P 1 AP = D, D é a matriz procurada.

78 ortogonal D = P 1 AP, D = λ λ λ n n n, (26) Condição suficiente para diagonalizabilidade de uma matriz A Teorema se uma matriz A n n tem n autovalores distintos então ela é diagonalizável. Isto não descarta a possibilidade de que a matriz A n n seja diagonalizável mesmo quando tenha um número menor que n de autovalores distintos. Exemplo Daigonalize A = , 3 3 1

79 ortogonal Exercícios 1.- Diagonalize se é possível as matrizes A,B,C,D,F que aparecem no exercício 1 da seção anterior. 2.- Diagonalize as seguintes matrizes A 1 = [ ], A 2 = ,A 3 =

80 Matrizes semelhantes ortogonal Definição. Considere duas matrizes quadradas A e B. A matriz A é semelhante à matriz B se, e somente se, existe uma matriz inversível P tal que A = PBP 1. - Observe que se A è semelhante a B então B è semelhante a A. Propriedades Sejam A e B matrizes semelhantes então: 1. det(a) = det(b), 2. A é inversível se, e somente se, B é inversível, 3. A e B têm o mesmo polinomio característico (mesmos autovalores), 4. A e B têm o mesmo traço. 5.- a matriz A e sua forma diagonal D = P 1 AP são semelhantes. 6.- Seja P matriz invertível, e B = PAP 1 demostrar que B n = PA n P 1, n natural.

81 Observações importantes ortogonal Suponhamos que temos uma matriz A 3 3 e queremos diagonalizar. Pode acontecer os seguintes cassos. 1.- Se a matriz tiver 3 autovalores diferentes (λ 1 λ 2 λ 3 ), então pela condição suficiente de diagonalizabilidade, a matriz A sera diagonalizavel. 2.- Pode ser que dois autovalores sejam iguais, tal que λ 1 = λ 2 λ 3. 2a) Neste casso se mesmo assim conseguimos encontrar 3 autovetores L.I. (um associado a λ 3, e dois associaos a λ 1 ), então ainda poderemos diagonalizar a matriz A. 2b) Se somente encontramos dois autovetores L. I. associados a λ 1 e λ 3, respectivamente, então nao será mais possível diagonalizar a matriz A, posto que precisamos 3 autovetores L.I. 3) Tres autovalores iguais. Nesste casso a semelhança do casso dois, teremos duas possibilidade, ou vamos poder diagonalizar (quando conseguirmos 3 vetores L.I) ou não será possível diagonalizar a matriz A.

82 ortogonal ortogonal Definição 6. Seja A M n n (R), diz-se que A é diagonalizável ortogonalmente se existe uma matriz P, ortogonal (P T = P 1 ), tal que P 1 AP = P T AP = D é uma matriz diagonal; diz-se que P diagonaliza ortogonalmente A. Lembrando que se A é uma matriz simétrica então: (a) Todos os valores próprios de A são reais. (b) Vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais. Teorema.- Seja A M n n (R). São equivalentes as afirmações: (a) A é diagonalizável ortogonalmente. (b) A admite um conjunto o.n. de n vectores próprios. (c) A é simétrica. (prove de a b).

83 ortogonal ortogonal Processo de diagonalização: Seja A M n n (R) matriz simétrica. Passo 1. Determinar uma base para cada subespaço próprio de A. Passo 2. Aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a cada base encontrada no Passo 1, para obter uma base o.n. para cada um dos subespaços próprios de A. Passo 3. Formar a matriz P cujas colunas são os vectores das bases o.n. dos subespaços próprios determinadas no Passo 2; a matriz P diagonaliza ortogonalmente a matriz A. A matriz diagonal D = P T AP = P 1 AP tem como entradas principais os valores próprios de A.

84 ortogonal Exercício 1 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica A = Exercício 2 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica A = Exercício 3 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica B =

85 ortogonal Aplicações: Solução de Sistema de equações diferencias ordinarias a 11 x 1 (t)+a 12 x 2 (t) = ẋ 1 (t) a 21 x 1 (t)+a 22 x 2 (t) = ẋ 2 (t),que na forma matricial é [ ] [ ] [ ] a11 a 12 x1 (t) ẋ1 (t) =,ou AX(t) = Ẋ(t) sendo a 21 a 22 x 2 (t) ẋ 2 (t) A = [ ] [ ] a11 a 12 x1, X = a 21 a 22 x 2 A solução do sistema anterior é (demonstração em calculo 3). X(t) = c 1 e λ1 t V 1 +c 2 e λ2 t V 2, sendo λ 1,λ 2 e V 1,V 2 autovalores/autovetores correspondentes da matriz A.

86 ortogonal Questão. Dois tanques contêm cada um 100 litros de uma mistura. Inicialmente, a mistura no tanque A contém 40 gramas de sal, enquanto a mistura no tanque B contém 20 gramas de sal. O ĺıquido é bombeado para dentro e para fora dos tanques como mostra a figura a seguir. Determine a quantidade de sal em cada tanque no instante t. Determine a concentração final em cada tanque no estado estacionario.

87 Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização ortogonal 12

88 Dependencia Linear E. Elon Lages Lima, Àlgebra linear, coleção matemática universitária (IMPA)- Sétima edição Anton Rorres, Álgebra Linear com aplicações, oitava edição, bookman. Àlgebra linear com aplicações, Steven J. Leon, Oitava edição, Gen LTC (2011). àlgebra linear e suas aplicações, David C. Lay. 2da edição GEN.