Matemática Financeira Aula 1 (manhã e tarde) 1 Profa. Msc. Érica Siqueira

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1 Matemática Financeira Aula 1 (manhã e tarde) 1 Profa. Msc. Érica Siqueira

2 Matemática Financeira Objetivos de aprendizagem: Depois de ler e discutir este tópico você será capaz entender Fazer contas utilizando a regra de três e porcentagens Entender os princípios de Matemática Financeira Calcular valores futuros e presente em juros simples ecompostos Entender operações com taxas Profaª Msc. Érica Siqueira

3 Agenda do Curso Data Horário Período Tema da Aula 03/06/ :30 10:30 Manhã Apresentação da Disciplina Revisão de Porcentagens Revisão de Regra de Três Simples e Composta Juros Simples Desconto de Duplicata Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples Juros Compostos 13:00 Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Compostos 03/06/2017 Tarde Convenção Linear (parte inteira e fracionária) 15:00 Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente Taxa Acumulada Taxa Nominal e Taxa Efetiva 08:30 Cálculo de Juros Simples e Compostos no Excel Pagamentos e Depósitos Constantes 17/06/2017 Manhã Fluxo de Caixa Payback Simples e Descontado 10:30 VPL TIR 17/06/ :00 Sistema de Amortização: Price Sistema de Amortização: SAC Tarde Operação com Debentures 15:00 Dúvidas e Prova 3 Profa. Msc. Érica Siqueira

4 Usar HP12C Para estudar: Observações Slides como grandes tópicos Livros indicados na bibliografia Lista de Exercícios Na prova poderá utilizar todo material: livros, cadernos, calculadoras, slides, etc..., mas não poderá utilizar celular 4 Profa. Msc. Érica Siqueira

5 Aplicações Gestão Financeira Planejamento Financeiro Investimentos Finanças Pessoais 5 Profa. Msc. Érica Siqueira

6 Revisão: Início 6 Profa. Msc. Érica Siqueira

7 Regra de Três Simples Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores possíveis. A partir desses 3 valores é possível montar uma equação, de primeiro grau, com uma incógnita. Os valores conhecidos podem ser diretamente proporcionais, ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o outro também aumente, mantendo a proporção Ou, podem ser inversamente proporcionais: a medida que um aumenta o outro diminui. 7 Profa. Msc. Érica Siqueira

8 Porcentagens com Regra de Três Se um produto custa R$ 400,00 e teve um desconto de R$ 30,00 representa que percentual de desconto? Reais(R$) Porcentagem 400,00 100% 30,00 X ,5% 8 Profa. Msc. Érica Siqueira

9 Diretamente Proporcional (SóMatemática) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Área Energia 1, ,5 X 1,2 1, , , Profa. Msc. Érica Siqueira

10 Inversamente Proporcionais (Globo) Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão? Velocidade (km/h) Tempo (minutos) X Profa. Msc. Érica Siqueira

11 Regra de Três Composta Enquanto a regra de três simples envolve até 2 grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra de três composta envolve 3 ou mais grandezas direta ou indiretamente. A forma de resolução é montar uma série de regra de três simples 11 Profa. Msc. Érica Siqueira

12 Exemplo Regra de Três Composta (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias. = = Profa. Msc. Érica Siqueira

13 Revisão de Porcentagem A porcentagem é uma maneira de expressar um número como parte de um todo. Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%. Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais (=100%). Se você gastar 2, então você gastou 2/10 100% = 20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80% 13 Profa. Msc. Érica Siqueira

14 Taxas Unitárias e Percentuais Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual 0,05 = 5% 0,5 = 50% 0,8 = 80% 1 = 100% 14 Profa. Msc. Érica Siqueira

15 O percentual de um valor Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05 Para achar o valor correspondente, basta multiplicar pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra de 3 Por exemplo: 10% de R$ ,10 * 1000 = R$ 100,00 15 Profa. Msc. Érica Siqueira

16 Para calcular o percentual Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte pelo todo, também sem necessidade de usar regra de três. Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485 são universitárias, qual o percentual de universitários? Parte = 485 Todo = 1000 O primeiro passo é dividir a parte pelo todo 485 / 1000 = 0,485 Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual 0,485 x 100 = 48,5% 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias 16 Profa. Msc. Érica Siqueira

17 Acrescentar um Percentual Para somar uma porcentagem ao número original, por exemplo %, basta utilizar a fórmula 200 x ( ) = 280 Exemplos: acrescentar ao preço original um valor de lucro, comissão ou taxas 17 Profa. Msc. Érica Siqueira

18 Subtrair um Percentual Ex: Achar valor final após conceder descontos Para retirar um porcentagem basta multiplicar pela porcentagem restante, por exemplo: Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60% nesse caso). Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias 18 Profa. Msc. Érica Siqueira

19 Exercícios de Porcentagem Calcule as porcentagens correspondentes: 2% de R$ % de 48 m 38% de 200 Kg 6% de R$ 50 37,6% de R$200 22,5% de R$60 19 Profa. Msc. Érica Siqueira

20 Exercício de Porcentagem a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? 20 Profa. Msc. Érica Siqueira

21 Matemática Financeira 21 Profa. Msc. Érica Siqueira

22 Observações Estudar o valor do dinheiro no tempo Conceitos de juro, capital e tempo Habilidades matemáticas prévias: Porcentagem Frações, Potências, Raiz, Log 22 Profa. Msc. Érica Siqueira

23 Dinheiro no Tempo Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma quantia maior amanhã (Valor Futuro); Receber uma quantia amanhã, equivale a receber uma quantia menor hoje (Valor Presente). E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja "taxa de juros" representa o fator de correção no tempo. 23 Profa. Msc. Érica Siqueira

24 Capital O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou emprestado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Excel: Valor Presente 24 Profa. Msc. Érica Siqueira

25 Juro Remuneração do Capital O juroexiste porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Representação nas calculadoras financeiras: i 25 Profa. Msc. Érica Siqueira

26 Tempo Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o resgate, também chamado de prazo ou período de capitalização Utiliza-se calendário comercial, na marioria das vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias). Notação nas calculadoras financeiras: n a. a. = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. = ao trimestre a. s. = ao semestre Conversão? Pode? 26 Profa. Msc. Érica Siqueira

27 Montante É a soma do Capital inicial com juro produzido em determinado tempo O montante é calculado apenas no fim da capitalização. Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value) VF = VP + J 27 Profa. Msc. Érica Siqueira

28 Juro Simples e Composto Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 28 Profa. Msc. Érica Siqueira

29 Calculando Juros Simples J = C * i * n Quanto rende um capital inicial (principal) de $100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos? Qual o montante ao final de 2 anos? 29 Profa. Msc. Érica Siqueira

30 Cálculo do Montante em Juros Simples Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples. Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses S = P(1 + in) S = (1 + 0,04 5) S = R$ 7.200,00 30 Profa. Msc. Érica Siqueira

31 Cálculo do Valor Atual Juros Simples Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros simples basta inverter a relação anterior, isto é: P = S/(1+ in) 31 Profa. Msc. Érica Siqueira

32 Cálculo da Taxa em Juros Simples Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que Na qual i é a Taxa a ser descoberta, J o valor de juros, C o capital e n a quantidade de períodos. 32 Profa. Msc. Érica Siqueira

33 Cálculo do Tempo em Juro Simples Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que Na qual i é a Taxa, J o valor de juros, C o capital e n a quantidade de períodos a ser descoberta. 33 Profa. Msc. Érica Siqueira

34 Taxas Proporcionais e Equivalente em JS Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade No regime de juros simples, Taxas Proporcionai s e Taxas Equivalentes são consideradas a m esma coisa, sendo indiferente a classificação de duastaxas de juroscomo proporcionais ou equivalentes. Este conceito diz mais a resp eito ao regime de juros compostos. 34 Profa. Msc. Érica Siqueira

35 Exemplo 1 35 Profa. Msc. Érica Siqueira

36 Exemplo 2 36 Profa. Msc. Érica Siqueira

37 Desconto de Duplicata Operação conhecida no Brasil como Desconto comercial ou bancário (por fora). Diferentemente do cálculo de juros, que incide sobre um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto incide sobre o valor futuro. O valor futuro, nesse caso, é conhecido como valor de face ou valor nominal Abate-se o desconto para conhecer o valor presente, ou, o quanto será pago pelo desconto da duplicata (antecipação de recebíveis) 37 Profa. Msc. Érica Siqueira

38 Desconto de Duplicata Juros Simples Fórmulas para cálculo: Valor do Desconto (D): D = VF.d.n Valor presente, abatendo o desconto VP = VF * (1 d *n) onde d é a taxa de desconto Exemplo: Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias, á taxa de 3% ao mês? 38 Profa. Msc. Érica Siqueira

39 Resolução Dados retirados do problema VF = 1.600,00 n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês) d = 2,5% ao mês Valor do Desconto (D) =? Solução: Fórmula D = VF.d. n D = 1.600,00. 0,03. 4 = 192,00 39 Profa. Msc. Érica Siqueira

40 Juros Compostos Fonte: 40 Profa. Msc. Érica Siqueira

41 Cálculo do Montante em Juros Compostos Enquanto no Juros Simples temos uma função linear, no juros compostos temos uma função exponencial. Como ser observa na fórmula do Montante! " 1 # 41 Profa. Msc. Érica Siqueira

42 Exemplo Comparativo Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples e compostos. 42 Profa. Msc. Érica Siqueira

43 Exemplo Comparativo Dados: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. e n = 5 meses Juros Simples: S = P(1 + in) S = (1 + 0,04 5) S = R$ 7.200,00 Juros Compostos! " 1 # S = * (1+ 0,04)⁵ S = * 1,04⁵ S = * 1, S = R$ 7.299,92 43 Profa. Msc. Érica Siqueira

44 Cálculo do Valor Atual Juros Compostos Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros Compostos basta inverter a relação anterior, isto é: $ % & ' 44 Profa. Msc. Érica Siqueira

45 Cálculo da Taxa em Juros Compostos Para calcular a taxa também é possível deduzir a fórmula a partir da fórmula do montante:! " 1 # % 1 # ' ' % % = 1 # - 1 = ' % ( 1 45 Profa. Msc. Érica Siqueira

46 Cálculo do Tempo em Juro Compostos A quantidade de períodos (n) também pode ser deduzida a partir da fórmula do montante! " 1 # % 1 # Log % = Log 1 # Log % = n * Log1 # Log ) * = n Log& O LOG pode ser substituído, nesse caso, pelo LN 46 Profa. Msc. Érica Siqueira

47 Convenção Linear Trata-se de aplicar o sistema de juros compostos para a parte inteira do período e juros simples para a parte fracionada. Exemplo: 47 Profa. Msc. Érica Siqueira

48 Convenção Linear Convenção Exponencial Convenção Linear 48 Profa. Msc. Érica Siqueira

49 Exercício (MathFinanceira) -Seja o capital de R$ ,00 emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear. Resultados para Conferência: FV (Conv. Linear) = R$ ,30 FV (Conv. Exponencial) = R$ ,50 49 Profa. Msc. Érica Siqueira

50 Convenção Linear na HP A HP 12C resolve problemas em ambas as convenções. Quando o período n é um número fracionário, é necessário verificar a letra C está aparecendo no visor A letra C pode ser colocada ou retirada pressionando-se as teclas STO EEX. Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a convenção exponencial. Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a convenção linear. Para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos ou simples, a unidade de referência do período deve ser a mesma da taxa de juros 50 Profa. Msc. Érica Siqueira

51 Taxa Nominal e Efetiva Quando uma taxa de aplicação ou empréstimo é informada em uma determinada unidade de tempo mas a capitalização ocorre em outra unidade de tempo, temos aí a distinção entre Taxa Nominal e Efetiva. Exemplo: Se o banco te oferece um investimento com taxa nominal de 24% a. a. mas com capitalização mensal, isso significa que a taxa nominal é 24% a.aporém a taxa efetiva, a qual seu rendimento estará sujeito é de 24/12 Ou seja, a taxa efetiva é 2% a.m Para achar a taxa efetiva anual, basta achar a taxa anual equivalente a 2% a.m, no caso 26,82% a.a. 51 Profa. Msc. Érica Siqueira

52 Exercício Taxa Nominal e Efetiva Você faz um empréstimo pessoal de R$5.000,00 que será liquidado em 36 parcelas mensais de R$256,35. O gerente do banco informa que a taxa nominal do empréstimo é de 45,33% a.a. Calcule a taxa efetiva mensal e anual 52 Profa. Msc. Érica Siqueira

53 Exemplo de Taxa Acumulada Para calcular sucessivos aumentos, que produziram uma taxa acumulada, usa-se a formula abaixo caso a taxa já esteja em índice Caso contrário, é preciso dividir a taxa por Profa. Msc. Érica Siqueira

54 Taxa Acumulada de Inflação Mês IPCA (%) Janeiro 0,5 Fevereiro 0,4 Março 0,3 Abril 0,5 Maio 0,7 Junho 0,4 Julho -0,2 Agosto -0,5 Setembro 0,3 Outubro 0,7 Novembro 0,9 Dezembro 1 Qual a taxa de inflação acumulada no período de 12 meses da tabela ao lado? [(1,005)x(1,004)x(1,003)x(1,005)x(1,007)x(1,004)x(0,99 8)x(0,995)x(1,003)x(1,007)x (1,009)x(1,01) 1] x 100. =5,1% 54 Profa. Msc. Érica Siqueira

55 Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente A taxa aparente é formada por dois componentes: a taxa real e a inflação. A taxa real, portanto, é a taxa aparente, descontada da inflação Fórmula para achar a taxa real: 1 + i a = ( 1 + +i r ) * ( 1 + I ) Onde: i a = taxa aparente i r = taxa real I = inflação 55 Profa. Msc. Érica Siqueira

56 Exemplo de Taxa Real e Aparente (BrasilEscola) -Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflação do período foi de 21%, determine a taxa real anual. Taxa aparente = 32% = 0,32 e Inflação = 21% = 0, ,32 = (1 + i r ) * (1 + 0,21) 1,32 = (1 + i r ) * 1,21 1,32/1,21 = 1 + i r 1,09 = 1 + i r i r = 1, i r = 0,0909 i r = 9,09% A taxa real anual foi equivalente a 9,09%. 56 Profa. Msc. Érica Siqueira

57 Bibliografia I. Básica: Bibliografia 1. Lima, Iran Siqueira; Galardi, Ney & Neubauer, Ingrid. Mercados de Investimentos financeiros. 2ª ed.: manual para certificação profissional ANBID Série 20 (CPA - 20). São Paulo: Atlas, Neto, Alexandre Assaf. Mercado Financeiro. 12ª ed. São Paulo: Atlas, Securato, José Roberto. Decisões financeiras em condições de riscos. São Paulo: Atlas, II. Complementar 1.Freund John E.; Simon, Gary A. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: Lapponi Treinamento, Levine, David M.; Bereson, Mark L.; Stephan, David. Estatística: teoria e aplicações, usando o Microsoft Excel em português. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 1. Estatística básica. 7.ed. São Paulo: Pearson/Makron Books, MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 2. Estatística básica. 7.ed. São Paulo: Pearson/Makron Books, Profa. Msc. Érica Siqueira