Matemática Financeira

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1 Matemática Financeira

2 Professor conteudista: Dalton Millan Marsola

3 Sumário Matemática Financeira Unidade I 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Taxa de juros Taxa percentual Taxa unitária Juro exato e juro comercial Equivalência de capitais DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR ATUAL Regime de capitalização dos juros Regime de capitalização simples Regime de capitalização composta Diferenças entre capitalização simples e composta JUROS SIMPLES Montante e capital JUROS COMPOSTOS TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES No regime de juros simples No regime de juros compostos DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU POR DENTRO DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU POR FORA...39 Unidade II 9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS Definições básicas SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Expressões de cálculo do SAC SAC com carência SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS Expressões de cálculo do SAF SAF com carência TABELA PRICE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO...65

4 14 COMPARAÇÕES ENTRE SAC, SAF E SAM Gráfico de comparação SAC, SAF E SAM SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO Sinking fund ou fundo de amortização SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) SISTEMA PRICE X SISTEMA SACRE CUSTO EFETIVO Planilha com despesas adicionais...80

5 MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 Unidade I OBJETIVOS Fornecer subsídios fundamentais para a formação acadêmica do discente na área financeira e, também, contribuir para o desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico e reflexivo. Este é um fator essencial na tomada de decisão, atividade típica da função de administrador financeiro. 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Um dólar hoje vale mais do que um dólar no futuro... (Gitman, 2004). A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu objetivo é efetuar análises e comparações da movimentação de dinheiro em tempos diferentes. As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por uma instituição financeira, que capta recursos no mercado e os empresta a outros com taxas maiores. A diferença entre a captação e o empréstimo é a remuneração (lucro) da instituição. Investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição, e cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Do ponto de vista matemático, um determinado valor a qualquer época é chamado de Capital, e a soma dos juros de determinado tempo a esse Capital é chamada de Montante. 1

6 Unidade I Segundo Assaf (2009), ao se emprestar um recurso a taxas de juros deve-se ser eficiente de maneira a remunerar os seguintes fatores importantes: risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar a dívida, sendo a incerteza como futuro; perda do poder de compra do capital motivado pela inflação: a inflação é um fenômeno que corrói o capital, é a desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo, diminuindo o poder de compra de um bem pelo mesmo capital; ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos; justifica-se pela privação da utilidade do capital pelo seu dono; despesas (nos dias atuais): todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança. 1.1 Taxa de juros Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, a razão entre os juros recebidos (ou pagos) e o capital inicial aplicado (ou emprestado). As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de tempo (dia, mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária (fração decimal). A desvantagem da definição da taxa de juro J não incluir um período de tempo é eliminada com a taxa unitária de juro i, definida como: J i = P 2

7 MATEMÁTICA FINANCEIRA Exemplo 1 $ 110 i = = 0, 0110 = 0, 011x100 = 11, % $ Exemplo 1.1 O gerente do banco outorgou um empréstimo de $2.000,00 pelo prazo de 48 dias. No momento de assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver $2.250,00. Calcule o juro, a taxa unitária de juro e a taxa percentual de juro dessa operação. Juro da operação é j= =$250. $ 250 Taxa unitária de juro é i = = 0, 125 em 48 dias. $ Taxa percentual de juro é i=0,125x100=12,5% em 48 dias. Exemplo 1.2 O gerente da instituição garantiu que aplicando $5.000,00, pelo prazo de sessenta (60) dias nominais, você resgatará $5.122,50 no final da operação. Calcule o juro, a taxa unitária de juro e a taxa percentual de juro dessa aplicação. Juro da operação é j = 5.122, =122,50. $ 122, 50, 50 Taxa unitária de juro é i i = = 0, 0245, em 60 dias. $ Taxa percentual de juro é i=0,0245x100=2,45% em 60 dias. 3

8 Unidade I 1.2 Taxa percentual Trata-se dos centos do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. Esse valor é um acréscimo sobre o valor inicial em forma de fração, onde o denominador é sempre 100, conhecido como porcentagem (%). Se falarmos em 10% (dez por cento), significa que, a cada grupo de 100, haverá um acréscimo de 10. Exemplo 1.3 Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de juros, ao final deste período: Juros = $ 2000, 00 x20 Juros = $ 20,00 x 20 = $ 400, O capital de R$ 2.000,00 tem vinte centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é de $ 400, Taxa unitária É o rendimento de cada unidade de capital em certo período. A transformação da taxa percentual em unitária é processada pela divisão da notação em percentagem por 100. Exemplo 1.4 Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de juros, ao final deste período. A taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada, ou seja: Juros = R$ , 00x 20 Juros = R$ 2.000,00 x 0,20 = $ 400,

9 MATEMÁTICA FINANCEIRA Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100, assim transformando a taxa unitária em porcentagem. Exemplo 1.5 Nas fórmulas de matemática financeira, todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros. Taxa percentual Fórmula N / 100 Taxa unitária 0,5% 0,5 / 100 0,005 1,3% 1,3 / 100 0,013 22% 22 / 100 0,22 31,5% 31,5 / 100 0,315 58% 58 / 100 0,58 150% 150 / 100 1,5 Exemplo 1.6 Converta para a forma percentual: 0,57 = 0,57 x 100 = 57% 2,08 = 2,08 x 100 = 208% 0,02 = 0,02 x 100 = 2% Exemplo 1.7 Converta para a forma unitária: 163% = 163 / 100 = 1, % = 2,107 / 100 = 21,07 12% = 12 / 100 = 0,12 Exemplo 1.8 Num lote de 100 lâmpadas, 15 apresentam defeito. A razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por: = 15% 5

10 Unidade I Exemplo 1.9 Um DVD é vendido por R$ 28,00. Se o seu preço fosse acrescido em 18%, quanto o DVD passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 20% sobre o preço original, quanto o DVD passaria a custar? Aumento: preço = ,18 x 28 = 28. (1 + 0,18) = 28. 1,18 = R$ 33,04. Desconto: preço = 28 0,20 x 28 = 28. (1 0,20) = 28. 0,80 = R$ 22, Juro exato e juro comercial Comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples ter o prazo definido em número de dias. Nesses casos, o número de dias pode ser calculado: a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato; b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. Exemplo % ao ano equivalem, pelo critério de juro simples, à taxa diária de: a) Juro exato: 15% / 365 dias= 0,041096% ao dia. b) Juro comercial: 15% / 360 dias = 0,041667% ao dia. 6

11 MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.5 Equivalência de capitais Imaginemos uma situação em que eu saiba, hoje, que dentro de um ano terei de efetuar um pagamento no valor de $1200,00. Entretanto, eu disponho de dinheiro hoje para quitação desse débito. Será melhor eu efetuar o pagamento hoje? A resposta é não. Se eu efetuar esse pagamento hoje, terei de desembolsar $1200,00 sendo que eu poderia aplicar $1000,00 no prazo de um ano a uma taxa de 20% ao ano. Percebemos que o dinheiro não tem o mesmo valor ao passar do tempo (mesmo não existindo inflação), e essa argumentação foi feita com termos estritamente econômicos e não pessoais. Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que são feitos em datas diferentes, podem ser equivalentes. Capitais são ditos equivalentes quando os seus valores, transferidos para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (custo de oportunidade), são iguais. Em termos gerais: Valor Atual = Valor Futuro / (1 + i) e, também, Valor futuro = Valor Atual x (1 + i), onde i é a taxa de desconto referente ao período considerado. Como i corresponde ao período inteiro em consideração, é chamado de taxa simples. O termo (1 + i) permite a comparação entre valores em tempos diferentes. A taxa de desconto pode corresponder a um custo de oportunidade. 2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA Para facilitar a visualização dos movimentos monetários estabelecidos em distintos momentos ao longo do tempo, 7

12 Unidade I o diagrama do fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações de matemática financeira i% A linha horizontal registra a escala de tempo, o ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam entrada e saída de caixa ao longo do tempo. As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas de dinheiro e as setas para baixo da linha horizontal indicam saídas de dinheiro. É imprescindível que o prazo e a taxa de juros estejam expressos na mesma unidade. Exemplo 2 Uma dívida de R$ ,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende quitá-la da seguinte forma: uma prestação hoje de R$ 4.800,00, uma prestação de R$14.000,00 daqui a 2 meses e uma última prestação de R$ ,00 daqui a 7 meses. Como fica o diagrama do fluxo de caixa dessa dívida? R$ , R$ 4.800,00 R$ ,00 R$ ,00 Exemplo 2.1 Um estudante pode ter seus cinco anos de estudos financiados pela Caixa Econômica com juros de 14% ao ano. Observe que 8

13 MATEMÁTICA FINANCEIRA esses juros totais, inferiores à inflação, correspondem a um subsídio. A devolução iniciará após a formatura. Assim, a quantia emprestada no início do primeiro ano será devolvida no início do sétimo ano. Primeiro empréstimo Formatura Ingresso na escola anos Primeira devolução A primeira anuidade cobrada pela escola é de R$ ,00. É de se esperar reajustes anuais de 35% devidos à inflação. O custo de oportunidade do capital é de 40% ao ano (depósito bancário a prazo fixo). Calcule a redução percentual nas anuidades da escola a que correspondem esses empréstimos a juros baixos da Caixa Econômica. A B C D Anuidades em R$ Devolução para CE 6 períodos depois: 14% a.a. Valor do empréstimo 6 períodos mais tarde: 40% a.a. Desconto (C B) / C 1º ano % 2º ano % 3º ano % 4º ano % 5º ano % 9

14 Unidade I De fato, o estudante que deixar de pagar R$ ,00 no primeiro ano e depositar essa quantia a prazo fixo durante seis anos receberá R$ ,00, mas só terá de devolver R$ ,00 à Caixa Econômica, por ter tido sua anuidade paga pela Caixa Econômica. Observe que a coluna D pode ser calculada devido às parcelas B e C estarem referidas ao mesmo ponto no tempo. 3 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR ATUAL Trata-se de comparar e discutir critérios econômicos para escolher a melhor alternativa baseando-se no valor atual das possibilidades. Exemplo Alternativa I Alternativa II

15 MATEMÁTICA FINANCEIRA Na figura acima, fica evidente que a alternativa II é melhor, devido aos valores estarem no mesmo tempo e período, o que torna simples a comparação, sem a necessidade de cálculo. O método do valor atual consiste em descapitalizar todos os valores para a data de hoje (período igual a zero). Dadas diversas alternativas, é possível calcular os valores atuais equivalentes às séries correspondentes e compará-los para decidir qual é a melhor. 3.1 Regime de capitalização dos juros É a forma como os juros são incorporados ao capital no decorrer do tempo e podem ser identificados em dois regimes de capitalização: simples e composto Regime de capitalização simples Compara-se a uma progressão aritmética, isto é, o juro cresce de forma linear ao longo do tempo. Os juros incidem somente ao capital inicial da operação e não acumulativo. Ano Saldo no início de cada ano Juros apurados para cada ano Saldo devedor ao final de cada ano Crescimento anual do saldo devedor Hoje ,10 x 1000 = ,10 x 1000 = ,10 x 1000 = ,10 x 1000 = ,10 x 1000 = Algumas observações podem ser apresentadas: os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de $1.000,00, apresentam valores idênticos ao final de cada ano ($ 100,00); 11

16 Unidade I em consequência, o crescimento dos juros no tempo é linear, revelando um comportamento idêntico a uma progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, nos 5 anos, $ 500,00; se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial ($ 1.000,00), não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período. Assim, no 5º ano, a remuneração calculada de $ 100,00 é obtida com base no capital emprestado há 5 anos, ignorando-se os $400,00 de juros que se foram acumulando ao longo do período; como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos Regime de capitalização composta Compara-se a uma progressão geométrica, isto é, o juro cresce de forma exponencial ao longo do tempo. Os juros incorporam-se ao capital inicial da operação e de forma acumulativa, isto é, juros sobre juros. Ano Saldo no início de cada ano Juros apurados para cada ano Saldo devedor ao final de cada ano Hoje ,10 x 1000 = ,10 x 1100 = ,10 x 1210 = ,10 x 1331 = 133,1 1464, ,1 0,10 x 1464,10 = 146, ,51 12

17 MATEMÁTICA FINANCEIRA Os comentários sobre o quadro ilustrativo são colocados: no critério composto, os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de $ 1.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano. Esse saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos em períodos anteriores; o crescimento dos juros se dá em progressão geométrica, evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo. Exemplo 3.1 Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano, em regime de juros compostos. No final do período, o montante será? 1 o ano: 1.000,00 x 0,10 = $ 100,00 Montante = $ 1.100,00 2 o ano: 1.100,00 x 0,10 = $ 110,00 Montante = $ 1.210,00 3 o ano: 1.210,00 x 0,10 = $ 121,00 Montante = $ 1.331, Diferenças entre capitalização simples e composta Segundo Mathias e Gomes (2002), a diferença entre o regime de juros simples e juros compostos é caracterizada pelo fato de que nos juros simples apenas o capital inicial rende juros e este é diretamente proporcional ao tempo e à taxa, e os juros compostos, que retratam melhor a realidade, são capitalizados junto ao capital, incorporando-o e passando a participar da geração de juros do período seguinte. M Juros compostos Juros simples 0 0,5 1 1,5 n 13

18 Unidade I Observe, na figura acima, que o comportamento do juro simples cresce linearmente ao longo do tempo, enquanto o juro composto cresce exponencialmente. Os juros simples têm aplicações práticas limitadas devidas às suas restrições técnicas. São raras as operações financeiras que usam a capitalização linear e, dentre elas, as operações financeiras de curtíssimo prazo. O regime composto é adotado por todo mercado financeiro e de capitais: aplicações financeiras, cartão de crédito, sistema financeiro de habitação etc. 4 JUROS SIMPLES O regime de juros simples tem como particularidade a incidência dos juros sobre o valor principal do empréstimo, isto é, os cálculos dos montantes (capital + juros) serão realizados com referência no valor principal, independente do período. Sobre os juros gerados a cada período, não incidirão novos juros. Valor principal ou simplesmente principal ou capital é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando isso em fórmula, temos: J=C.i.n Algebricamente: C=J/(i.n) I=J/(C.n) n=j/(c.i) Onde: J = juros C = Capital (Principal) 14

19 MATEMÁTICA FINANCEIRA i = taxa de juros n = número de períodos Abreviaturas empregadas na notação das taxas: Abreviatura a.d. a.m. a.b. a.t. a.q. a.s. a.a. Significado ao dia ao mês ao bimestre ao trimestre ao quadrimestre ao semestre ao ano Observação: a taxa de juros (i) e o número de períodos (n) devem estar na mesma base. Porém, deve-se sempre alterar n, evitando-se alterar i. Exemplo 4 Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 5% a.m. pelo período de 2 meses no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros mensais? J=C.i.n 1500 x 0,05 x 2 J = $ 150 Exemplo 4.1 Um capital de $1120,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. no regime de capitalização simples por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação? J=C.i.n 1120,00 x 0,05 x 7 J = $ 392,00 15

20 Unidade I Exemplo 4.2 Uma pessoa compra a prazo um DVD (que custa, à vista, $ 500,00) que pode ser pago em três parcelas mensais iguais (entrada no ato) no valor de $ 270,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja? C = 500,00 270,00 = $ 230,00 J = 270,00 230,00 = $ 40,00 i=j/(c.n) i = 40 / 230 x 1 i = 0,1739 ou 17,39% Exemplo 4.3 Temos uma dívida de R$ ,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 3 meses. Quanto pagaremos de juros? J=C.i.n J = x 0,08 x 3 J = R$ ,00 Exemplo 4.4 Temos uma dívida de R$ ,00 que deve ser paga com juros de 20% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 8 meses. Quanto pagaremos de juros? J=C.i.n J = x 0,20 x 8 J = R$ ,00 Exemplo 4.5 Um negociante pegou um empréstimo a uma taxa de 12% no regime de juros simples para pagar daqui a 10 16

21 MATEMÁTICA FINANCEIRA meses. O juro apurado foi de R$ ,00. Quanto ele pegou emprestado? C=J/(i.n) C = / (0,12 x 10) C = R$ ,00 Exemplo 4.6 Você investiu numa aplicação o valor de R$ 45,000,00 por 12 meses, o que lhe proporcionou um rendimento de R$ 8.000,00. Qual foi a taxa de juros simples dessa aplicação? i=j/(c.n) i = 8000 / (45000 x 12) i = 0, taxa unitária taxa percentual = 0, x 100 = 1,4815% a.m. Exemplo 4.7 Quanto tempo você tem de deixar R$ 6.200,00 aplicados a uma taxa de 4,7% a.m. para obter um rendimento de R$ 1.625,00. n=j/(c.i) n = 1625 / ( 6200 x 0,047) n = 5,576 meses ou 6 meses Exemplo 4.8 Um capital de $75.000,00 é aplicado à taxa de 4% ao mês durante um período de um quadrimestre. Calcular o valor dos juros acumulados. J=C.i.n J = x 0,04 x 4 J = $ ,00 17

22 Unidade I Para operações com prazo em dias e o período da taxa de juro com período anual, o prazo da operação em dias é convertido numa fração de um ano, faltando definir quantos dias tem um ano e como se calcula a fração de um ano. Por exemplo, para um ano de 360 dias e uma operação a prazo de t dias, a fração que ajusta a taxa anual de juro ao prazo da operação é (t/360).no cálculo do juro, o período da taxa de juro é ajustado ao prazo da operação utilizando taxas proporcionais: J = P x i x t / 360 Exemplo 4.9 O empréstimo de $ ,00 pelo prazo de 55 dias foi acertado com a taxa de juro de 19% ao ano, com a condição de pagar o juro junto à devolução do empréstimo. Calcule o juro no regime de juros simples considerando o ano de 360 dias. n J = C.. i 360 J = x 0,19 x 55 / 360 J = $ 493,47 Exemplo 4.10 Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 3% a.m. no regime de capitalização simples por um período de 4 meses. Qual o valor dos juros mensais? J=C.i.n J = 1500 x 0,03 x 4 J = $ 180,00 No cálculo do exemplo 4.9, foi utilizada a taxa de juro 4% com período igual a 55 dias, igual ao prazo do empréstimo, resultado obtido com: 18

23 MATEMÁTICA FINANCEIRA i t = 0, A partir da taxa anual i com período de 360 dias e a taxa proporcional i t com período igual ao prazo da operação t obtém-se: t it = i. 360 t 360 = it t O resultado do primeiro membro da última expressão é a taxa diária proporcional da taxa i com período de um ano de 360 dias. E o resultado do segundo membro é a mesma taxa unitária, porém calculada com a taxa de juro i t com período t. 4.1 Montante e capital Um capital aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é calculado com o capital mais o valor acumulado dos juros: M = C + J No entanto, sabe-se que: J = C. i. n Assim, M = C + C. i. n M = C.(1 + i. n) 19

24 Unidade I O valor de C pode ser obtido por: C = M (1 + i.n) O valor de i pode ser obtido por: M 1 C i = n O valor de n pode ser obtido por: M 1 C n = i Exemplo 4.11 Um capital de $ ,00 é aplicado à taxa de 3,5% ao mês no RCS, durante um semestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. J = C. i. n J = , J =$ ,00 Exemplo 4.12 Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 8% ao mês durante dez meses. Ao final deste período, calculou em $ ,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo: M C = 1+ i n ( ) 20

25 MATEMÁTICA FINANCEIRA C C = 1+ 0, ( ) C = ,00 Exemplo 4.13 Um capital de $ ,00 foi aplicado num fundo de poupança por 9 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.750,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação. M 1 C i = n i = 9 i = 0,03095 = 3,095% Exemplo 4.14 Uma aplicação de $ ,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,9% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ ,00. Calcular o prazo da aplicação. M 1 C n = i n = 0, 019 n = 6,686 meses ou 7 meses 21

26 Unidade I Exemplo 4.15 Uma empresa tomou $ 3.500,00 emprestados para pagar dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. M = C.(1 + i. n) M = (1 + 0,055. 7) M = $ 4.847,50 Exemplo 4.16 Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 780,00 após 6 meses, a uma taxa de 9,5% a.m. Qual o capital inicial da operação? M C = 1 + i n ( ) 780 C = 1 + 0, ( ) C = $ 496,81 Exemplo 4.17 O valor de $ 350,00 foi aplicado por seis meses, permitindo a obtenção de $ 480,00. Sabendo que o regime de capitalização é simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação. M 1 C i = n i = 6 i =0,0619 = 6,19% 22

27 MATEMÁTICA FINANCEIRA Exemplo 4.18 A quantia de $ 254,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 78,00 feita à taxa de 2,5% a.m. no regime de capitalização simples. Qual a duração da operação? M 1 C n = i n = 0, 025 n = 90,26 ou 91 meses 5 JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é comumente usado no sistema financeiro e, com isso, o mais usual para cálculos de problemas financeiros do cotidiano. Uma particularidade dos juros compostos é que são juros gerados a cada período e incorporados ao principal para serem referência no cálculo dos juros do período seguinte, isto é, juros sobre juros. O momento quando os juros são incorporados ao valor principal é quando ocorre a capitalização. Abaixo, temos a expressão algébrica que demonstra os juros sobre juros em três períodos: 1º mês: M =C.(1 + i) 23

28 Unidade I 2º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Dessa forma, é possível obter a fórmula: M=C.(1+i) n Algebricamente: C = M (1 + i) n Para calcular o juro: j=c.[(1+i) n 1] Importante: a taxa i tem de ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Obviamente, podem ser usadas outras unidades de tempo como ano, semestre, entre outras, mas sempre usar a mesma unidade para período e taxa. Para calcular o juro, basta diminuir o principal do montante ao final do período: J=M C Exemplo 5 Se uma pessoa deseja obter R$ ,00 dentro de onze meses, quanto deverá depositar hoje numa poupança que rende 1,65% de juros compostos ao mês? 24

29 MATEMÁTICA FINANCEIRA M C = ( 1+ i) n C = ( 1 + 0, 0165) 11 C = R$ ,05 Exemplo 5.1 Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ ,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? M = C. (1 + i) n M = (1 + 0,035 ) 8 M = R$ ,71 Exemplo 5.2 Calcule o montante de um capital de R$6.750,00 aplicado a juros compostos, durante 13 meses, à taxa de 3,8% ao mês. C = R$6.750,00 n = 13 meses i = 3,8% a.m. = 0,038 M =? M=C.(1+i) n M=6750.(1+0,038) 13 M=10.961,48 Exemplo 5.3 Determinar o juro pago de um empréstimo de $ ,00 pelo prazo de 6 meses à taxa composta de 3,35% ao mês. 25

30 Unidade I j=c[(1+i) n 1] j = [(1,0335 ) 6 1] j = $ ,29 Exemplo 5.4 Calcule quanto se deve depositar hoje para resgatar $ ,00 daqui a 15 meses, considerando a taxa de juro de 1,75% ao mês no regime de juros compostos. C = M / (1 + i) n C = / (1+0,0175) 15 C = $ ,46 Exemplo 5.5 Um financiamento foi desenvolvido após seis meses, desembolsando $ ,00. Calcule a taxa de juro mensal dessa operação sabendo que o valor recebido pelo cliente foi $ ,00. i = (M / C) 1/n 1 i = ( / ) 1/6 1 i = 0,06 Exemplo 5.6 Hoje, foram aplicados $ ,00 pelo prazo de 4 trimestres, com taxa de juro de 3,5 ao trimestre. Calcule o valor do resgate considerando o regime de juros compostos. M = C x ( 1 + i ) n M = x ( 1 + 0,035 ) 4 = $ ,23 26

31 MATEMÁTICA FINANCEIRA Exemplo 5.7 Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para se resgatarem $ ,00 daqui a doze meses, considerando a taxa de juro constante de 2,2% ao mês no regime de juros compostos. C = M / (1 + i) n C = / (1+0,022) 12 C = $ 7.701,75 Exemplo 5.8 Um investidor tem R$ ,00 para aplicar durante 4 meses. Consultou um determinado banco e recebeu as propostas de investimento: I 2,5% de juros simples ao mês; II 1,3% de juros compostos ao mês; III resgate de R$ ,00, no final de um período de quatro meses. A considerar a situação hipotética acima, e, uma vez aplicado o dinheiro, não haja retirada alguma antes de quatro meses, julgue os itens seguintes: a) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 1º mês, R$11.275,00. b) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$11.500,00. c) Se optar pela proposta II, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$11.250,00. d) Para o investidor, a proposta financeiramente menos favorável é a III. 27

32 Unidade I Solução: C = 11000; n =4; i I = 0,025 Na proposta I, no final do primeiro mês: M I = * (1+0,025*1) M I = ,00 Na proposta I, no final do segundo mês: M I = * (1+0,025*2) M I = ,00 Logo, as alternativas a) e b) são verdadeiras. Solução: C = 11000; n =4; i I = 0,013 Na proposta II, no final do segundo mês: i II = 0,01 M II = * (1+0,013)² M II = ,86 Então, a alternativa c) também é verdadeira. Olhando para todas as opções de investimento, temos: M I = * (1+0,025*4) = ,00 M II = * (1+0,013) 4 = ,25 M I = ,00 M II = ,25 M III = ,00 Então, a alternativa d) também é verdadeira. 28

33 MATEMÁTICA FINANCEIRA Exemplo 5.9 Calcule os juros compostos e o montante referentes a um capital de R$ 7.500,00 aplicado durante 6 meses à taxa de 10% a.m. C = R$ 7.500,00 i = 10% a.m. = 0,10 n = 6 meses J =? M =? M = C. (1 + i) n M = 7.500,00. (1 + 0,10) 6 M = 7.500,00. 1,10 6 M = 7.500,00. 1,77 M = ,71 J = M C J = , ,00 J = 5.786,71 ou J = C. [(1 + i) n 1] J = 7.500,00. [(1 + 0,10) 6 1] J = 5.786,71 6 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES Para compreender o significado dessas taxas, é necessário reconhecer que toda operação envolve dois prazos: prazo a que se refere a taxa de juros; prazo de capitalização dos juros. A fim de exemplificar, um investimento paga aos investidores uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é capitalizada ao principal 29

34 Unidade I todo mês por meio de um percentual proporcional de 0,5% ao mês. Portanto, temos dois prazos: prazo da taxa em ano e prazo da capitalização em mês. Para uso das fórmulas da matemática financeira, é necessário expressar esses prazos diferentes, na mesma unidade de tempo. 6.1 No regime de juros simples No regime de juros simples, essa transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros e é obtida pela divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (número de períodos de capitalização). Por exemplo, para uma taxa de juros de 25% a.a., se a capitalização for definida mensalmente (ocorrerão juros 12 vezes em um ano), o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será: Taxa proporcional = 25% / 12 = 2,083% ao mês. A aplicação de taxas proporcionais é difundida em operações de curto e curtíssimo prazo como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária etc. As taxas de juros simples são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo: produzem o mesmo volume linear de juros. Exemplo 6 Em juros simples, um capital de $4.000,00, se aplicado a 5% ao mês ou 15% ao trimestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros: 30

35 MATEMÁTICA FINANCEIRA J (5% a.m.) = $ 4.000,00 x 0,05 x 12 meses = $ ,00 J (15% a.t.) = $ 4.000,00 x 0,15 x 4 trimestres = $ ,00 Os juros produzidos pelas taxas lineares são iguais, portanto, equivalentes. Exemplo 6.1 Calcular a taxa de juros semestral proporcional de: 60% ao ano: 60% Solução: i =. = % ao semestre; 9% ao trimestre: 9% Solução: i =. = % ao semestre ou i=9%.2=18%. Exemplo 6.2 Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre: Solução: = 12 Colocadas as taxas em proporções iguais para comparação, notamos que as taxas não são proporcionais, pois o produto dos meios (3x6) é diferente do produto dos extremos (12x12). 31

36 Unidade I 6.2 No regime de juros compostos No regime de juros compostos, o conceito de taxa equivalente permanece válido, diferenciando a fórmula de cálculo da taxa de juros. i q q = 1+ i 1 onde: q = número de períodos de capitalização. Exemplo 6.3 Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre? i 6 6 = 1+ 0, i 6 6 = , 1= 1, = 0, 0166 ou 1,66% A um mesmo capital e prazo de aplicação, é financeiramente indiferente o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. A fim de demonstrar, usaremos um exemplo de aplicação de $ ,00 aplicado por dois anos: Para i = 1,66% e n = 24 meses: M = ,00 (1,0166) 24 = $ ,81 Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: M = ,00 (1,103826) 4 = $ ,81 32

37 MATEMÁTICA FINANCEIRA Exemplo 6.4 A taxa Selic anual (do dia 8 de junho de 2004) foi de 15,84%. Calcule a taxa equivalente diária. 1 i = ( 1+ i a ) ou i = i a 1 (essas fórmulas são as mesmas!) 1 i = ( 1+ 0, 1584) = 0, Resposta: para as aplicações no mercado financeiro, em setembro de 2000, o Banco Central do Brasil definiu que o número de dias úteis do ano é de 252 dias. A taxa equivalente diária no regime de juros compostos com 252 dias úteis por ano é 0, ou 0,05837% ao dia útil. Exercício 6.5 No dia 1 de fevereiro de 2005, a operação foi fechada com taxa diária 0,066509%. Calcule a taxa equivalente anual. i=(1+i d ) i=(1+0, ) i=0, Resposta: a taxa equivalente anual no regime de juros compostos considerando 252 dias úteis por ano é 0,1824 ou 18,24% ao ano de 252 dias úteis. Exercício 6.6 A taxa de juros de um financiamento está fixada em 4,2% a.m. em determinado instante. Qual a taxa acumulada para um ano? 33

38 Unidade I i=(1+i m ) 12 1 i=(1+0,042) % a.a. Exercício 6.7 A taxa de juros de um financiamento está fixada em 3,3% a.m. em determinado momento. Qual o percentual desta taxa acumulada para um ano? Capitalizar as seguintes taxas: 2,3 % ao mês para um ano: i a =(1+0,023) 12 1 = 31,37% a.a. 0,14% ao dia para 23 dias: i d =(1+0,0014) 23 1 = 3,27% para 23 dias. 7,45% ao trimestre para um ano: i a =(1+0,0745) 4 1 = 33,30% a.a 6,75% ao semestre para um ano: i a =(1+0,0675) 2 1= 13,96% a.a. Exercício 6.8 Calcular a taxa equivalente composta a 34% ao ano para os seguintes prazos: 1 mês: 1 i m = ( 1+ 0, 34) 12 1 = 2,47% a.m. 1 quadrimestre: 1 i q = ( 1+ 0, 34) 3 1 = 10,25% a.q. 34

39 MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 semestre: 1 i s = ( 1+ 0, 34) 2 1 = 15,76% a.s. 5 meses: 5 i m = ( 1+ 0, 34) 12 1 = 12,97% para 5 meses. 10 meses: 10 i m = ( 1+ 0, 34) 12 1 = 27,62% para 10 meses. Exercício 6.9 Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? Solução: Taxa de juros equivalente mensal: i = 25% ao ano; q = 1 ano (12 meses) i = 1+ 0, 25 1 i = 125, 1 i 12 =1,877% a.m. Taxa de juros equivalente trimestral: q = 1 ano (4 trimestres) i 4 4 = 1+ 0,

40 Unidade I i 4 4 = 125, 1 i4=5,737% a.t. 7 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU POR DENTRO Desconto simples racional, também chamado de desconto por dentro, assume os conceitos e relações básicas de juros simples. Dessa forma, D r é o valor do desconto racional, C é o capital (ou valor atual), i é a taxa periódica de juros e n é o prazo do desconto (número de períodos em que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se abaixo a expressão de juros simples: D r = C x i x n Pela definição de desconto, e incorporando o conceito de valor descontado no lugar do capital no cálculo do desconto, obtém-se: D r = N V r Sendo que N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante) e V r é o valor descontado racional (ou valor atual) na data da operação. Como: N V r = C = 1 + i n Algebricamente, obtém-se o valor do desconto racional a juros simples: 36

41 MATEMÁTICA FINANCEIRA ( ) N N i n N N N i n N Dr = N + i n = 1+ + = 1 1+ i n 1+ i n N i n D r = 1+ i n O valor descontado é obtido pela seguinte expressão: V r = N D r ( ) V N N i n N i n N i n N N i n N i n r = + i n = 1+ = i n 1+ i n N V r = 1 + i n No desconto racional, o juro incide sobre o capital do título. A taxa de juro (desconte) cobrada representa o custo efetivo de todo o período do desconto. Exemplo 7 Seja um título de valor de $ 3.500,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado. Solução (graficamente): 0 i=48% a.a. 10 4% a.m. V r N=$3.500,00 12 (meses) Desconto: N i n D r = 1+ i n 37

42 Unidade I , 00 0, , 00 D r = = = $ 259, , , 08 Valor descontado: V r = N D r V r = 3.500,00 259,29 = $ 3.240,71 ou N V r = 1 + i n , 00 V r = = $ 3.240, , 04 2 Para o devedor, $ 259,26 representa o valor que está deixando de pagar por quitar a dívida antecipadamente. O valor líquido do pagamento (valor descontado) é de $ 3.240,71. Exemplo 7.1 Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 90 dias antes de seu vencimento. O valor de resgate é $ ,00 e valor atual na data do desconto é de $ ,10. Solução: sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor atual do título, ou seja, sobre o capital liberado. D r = V r x i x n e i = Dr V n r , , , 90 i = = = 0, , 20 4,708% a.m. V r , ou 38

43 MATEMÁTICA FINANCEIRA 8 DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU POR FORA Esse tipo de desconto, simplificadamente, por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. A modalidade de desconto por fora é amplamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo. O valor desse desconto (desconto por fora) D F no regime de juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica por fora contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). Isto é: D F = N x d x n O valor descontado por fora (V F ), aplicando-se a definição, é obtido: V F = N D F V F = N N x d x n V F =N(1 d x n) Exemplo 8 Determinar a taxa de desconto por fora de um título negociado 90 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ ,00 e valor atual na data do desconto de $ ,10. Solução: V F =$21.225,10 t 3 N=$27.500,00 t (meses) n = 3 meses 39

44 Unidade I D F = N V F D F = , ,10 D F = $ 6.274,90 D F = N x d x n 6.274,90 = ,00 x d x ,90 = ,00 x d 6.274,90 d = = 0, ou 7,606% ao mês , 00 Exemplo 8.1 Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R$ 100,00 descontado 60 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 0,2% a.d.? Db =? N = R$ 100,00 i = 0,2% a.d. = 0,002 a.d. n = 60 dias Db = N. i. n Db = 100,00 x 0,002 x 60 Db = R$ 12,00 O valor do desconto bancário é de R$ 12,00. Exercício 8.2 Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 7.500,00 a vencer em 03 de abril. No dia 19 de janeiro, descontou o título num banco que cobra 2,5% a.m. de desconto bancário. Calcular o valor de resgate do título. 40

45 MATEMÁTICA FINANCEIRA N = R$ 7.500,00 C =? i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. n = 74 dias C = N (1 i. n) C = 7.500,00 1 0, C = 7.500,00 x (1 0,061667) C = 7.500,00 x 0, C = 7.037,50 O valor do resgate é R$ 7.037,50. 41

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