Apost Matematica Financeira

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Apost Matematica Financeira"

Transcrição

1 Material de Estudo Comunidade Acadêmica Buscar arquivos, pessoas, cursoso Apost Matematica Financeira Enviado por: Warley Augusto Pereira 9 comentários Arquivado no curso de Administração na IESRIVER Download Tweet Like DSOP Educação Financeira Simulador de aposentadoria saudável Faça o teste agora mesmo! Matemática Financeira Curso online com HP-12C só 35,80 Aprenda na prática. (11) Quer comprar um carro? Calcule as alternativas através do simulador financeiro! ESTATÍSTICAS Instituto de Ensino Superior de Rio Verde IESRIVER visitas 953 downloads 9 comentários Faculdades Objetivo TAGS Juros simples DESCRIÇÃO Apostila de Matemática Fin MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof.: Warley Augusto Pereira ARQUIVOS SEMELHANTES Trabalho Pr Inserir Descriçã SUMÁRIO 1. Introdução Adobe Acro Matematica Fina 1.1. Importância da Matemática Financeira Aplicações A Matemática Financeira e a Inflação Fundamentos 2.1. Taxas: Percentual e Unitária 04 Ponto Dos C Matematica Carvalho Apostila de Mat Matemática A Matemática F matemática, em finanças?, com 2.2. Juro, Capital e Montante 06 matemática matemática fina 2.3. Regimes de Capitalização Fluxo de Caixa 07 MTM mf2e MTM Finan Bo 3. Juros Simples

2 3.1. Fórmulas do Juro e do Montante Taxas Equivalentes Juro Exato e Juro Comercial 12 MTM mf2e M 3.4. Valor Nominal e Valor Atual Descontos Simples 4.1. Conceitos Básicos 14 armando os matematica matemática fina 4.2 Desconto Simples Racional ou Por Dentro Desconto Simples Comercial ou Por Fora 16 Matematica A Matemática F conceitos de flu 4.4. Taxa de Desconto e Taxa Efetiva Juros Compostos livro didátic é uma pureza d 5.1. Fórmula do Montante Composto Taxas equivalentes Cálculo do montante em um número fracionário de períodos Período de capitalização diferente do período da taxa Valor Atual e valor Nominal a juros compostos Séries de Capitais 6.1. Conceito Série Básica Valor Atual da Série Básica Montante da Série Básica 32 Bibliografia INTRODUÇÃO 1.1. IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA A matemática Financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu Objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro (aplicações e pagamentos de empréstimos) de caixa verificados em diferentes momentos. As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captação é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a remuneração da instituição. Investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição e cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Analogamente, os tomadores de empréstimo têm várias opções de financiamento cujas taxas variam

3 em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas. De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a aumentar a oferta de capitais, mais os tomadores tendem a diminuir a demanda por crédito APLICAÇÕES A matemática financeira é usada em operações de aplicação e empréstimos em dois regimes básicos de capitalização dos juros: juros simples e juros compostos. O regime de juros simples tem aplicações práticas bastante limitadas, restringindo-se principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo e em operações de desconto. Além disso, muitas taxas praticadas no mercado financeiro estão referenciadas em juros simples, porém a formação dos montantes das operações processa-se a juros compostos. Por exemplo, a caderneta de poupança paga uma taxa de juros de 6% ao ano para seus depositantes, creditando todo mês o rendimento proporcional de 0,5%. A taxa referenciada para esta operação obedece o regime de juros simples, porém os rendimentos são capitalizados segundo o critério de juros compostos, ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros. Normalmente o regime de capitalização composta é adotado por todo o mercado financeiro e de capitais. Dentro das aplicações do regime de capitalização composta estão as operações de fluxo de caixa, aplicações, empréstimos, cálculos inflacionários, financiamentos, estratégias comerciais de compra e venda, análise de investimentos, títulos, sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, avaliação de ações etc A MATEMÁTICA FINANCEIRA E A INFLAÇÃO De maneira simplista, o processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços. Em sentido contrário, diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido por deflação. - Índices de Preços e Taxas de Inflação: Um índice de preços é resultante de um procedimento estatístico que, entre outras aplicações, permite medir as variações ocorridas nos níveis gerais de preços de um período para outro. Assim, o índice de preços representa uma média global das variações de preços que se verificaram num conjunto de determinados bens, ponderada pelas quantidades respectivas. Ilustrativamente, abaixo estão relacionados os valores do IGP (Índice Geral de Preços) referentes aos meses de maio a dezembro de determinado ano. Mêsmaio junho julho agostosetembrooutubro novembrodezembro IGP 649,79703,38800,31903, , , , ,56 Pela evolução desses índices de preços, pode ser constatado como os preços gerais da economia variaram no período. Para tanto, relaciona-se o índice do fim do período que se deseja estudar com o do início. Por exemplo, a taxa de inflação do 2o semestre medida pelo IGP está refletida na evolução apresentada entre o índice de junho (início do semestre) e o de dezembro (fim do semestre). Assim: Inflação do 2o semestre = = 2, = 124,14% Os preços nesse período cresceram 2,2414 vezes, indicando uma evolução de 96,99%. A inflação verificada no mês de outubro atinge: Inflação de outubro = = 14,16%

4 Dessa maneira, a taxa de inflação, a partir de índices de preços, pode ser medida pela seguinte expressão: onde: I = taxa de inflação obtida a partir de determinado índice de preços; P = índice de preços utilizado para o cálculo da taxa de inflação; n, n t = respectivamente, data de determinação da taxa de inflação e o período anterior considerado. EXERCÍCIOS 1. Abaixo estão alguns valores divulgados do ITP (Índice Teórico de Preços) e do INTP (Índice Nacional Teórico de Preços). Dez/02Jun/03 Nov/03 Dez/03 ITP 100,00 708, , ,56 INTP5, ,459983, ,00 Com base nesses resultados, pede-se: a) A taxa de inflação, medida pelo ITP e INTP, para os seguintes períodos de 2003: ano 1o semestre mês de dezembro; b) um bem que custava $ 5.000,00 no início do ano, quanto deve valer ao final deste ano se for corrigido pela variação do ITP e INTP; c) admitindo que o proprietário tenha vendido este imóvel ao final do ano por $ ,00, determinar o lucro obtido. 2. Os índices gerais de preços referentes ao primeiro semestre de 1996 são os seguintes: Data Índice de Preços148,70 150,07 152,15 153,98 157,21 158,13 162,01 Com base nesses valores, calcular: a) a evolução dos preços no semestre; b) a evolução mensal dos preços; c) se as inflações de julho e agosto de 1996 atingirem, respectivamente, 1,13% e 0,97%, determinar o índice de preços que deve vigorar em cada um desses meses. 2. FUNDAMENTOS 2.1. TAXAS: PERCENTUAL E UNITÁRIA

5 A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos de razões centesimais:,, e O símbolo % significa que o valor está dividido por 100. Assim, existem duas formas básicas de notação de valores: Taxa percentual: exibe o número que deve ser dividido por 100. Não permite operação algébrica imediata. Por exemplo: = 30%; = 4%; = 135% e = 27,9% As expressões 30%, 4%, 135% e 27,9% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Taxa unitária: exibe o número puro, permitindo operações algébricas. Por exemplo: = 0,3; = 0,04; = 1,35 e = 0,279 Porcentagem: é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos 1. Converta para a forma percentual: a) 0,57 = 57% b) 2,08 = 208% c) 0,02 = 2% 2. Converta para a forma unitária: a) 163% = 1,63 b) 2.107% = 21,07% c) 12% = 0,12 3. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por: 4. Um CD é vendido por R$ 25,00. Se seu preço fosse aumentado em 15%. Quanto passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preço original, quanto o CD passaria a custar? - Aumento: Preço = ,15 x 25 = 25. (1 + 0,15) = 25. 1,15 = R$ 28,75 - Desconto: Preço = 25 0,15 x 25 = 25. (1 0,15) = 25. 0,85 = R$ 21,25 FATOR DE MULTIPLICAÇÃO: a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou LucroFator de Multiplicação 10% 1,10

6 15% 1,15 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: DescontoFator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 EXERCÍCIOS 1. Calcular os valores de: a) 10% de ,2% de 17 b) 5,3% de 18,45 3,4% de 2,7 c) 0,4% de ,6% de 234,25 d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de De uma classe com 40 alunos, 35% são rapazes. Quantos rapazes e quantas moças há na classe? 3. O preço de venda de um CD é de R$ 22,00. Quanto passará a custar o CD se a loja anunciar: a) Um desconto de 12%? b) Um acréscimo de 5%? 4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados? 5. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto? 6. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro? 7. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor da venda das propriedades? 8. Meio representa quantos por cento de cinco oitavos? 9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250,00. Qual a taxa de desconto 10. Expresse, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões:

7 a) b) c) d) e) 0, Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível: a) 80% b) 25,2% c) 0,48% d) e) JURO, CAPITAL E MONTANTE Chamamos de capital a qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo. Tendo em vista que o emprestador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do capital (para o emprestador). Chama-se montante ou capital acumulado a soma de um certo capital (aplicado a uma taxa periódica de juros por determinado tempo) com os próprios juros A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Pode-se compreender regime de capitalização como o processo em que os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Assim, identificam-se dois regimes de capitalização dos juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial). O regime de capitalização simples (RCS) comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados. Exemplo: $ 100,00 aplicados a 5% ao período renderá sempre $ 5,00 (0,05 x $ 100,00) por período. Em três períodos, o total dos juros será igual a: 3 x $ 5,00 = $ 15,00 No regime de capitalização composta (RCC), ou regime de juros compostos ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior. Assim: Ao final do 1o período, os juros incidentes sobre o capital inicial são a eles incorporados, produzindo o 1o montante (M1). Ao final do 2o período, os juros incidem sobre M1 e incorporam-se a ele, gerando o 2o montante (M2). Ao final do 3o período, os juros incidem sobre M 2 e incorporam-se a ele, gerando o 3o montante (M 3 ), e assim por diante. Exemplo: Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano, em regime de juros compostos. No final do período o montante será? - 1o ano: 1.000,00 x 0,10 = $ 100,00 _ Montante = $ 1.100,00

8 - 2o ano: 1.100,00 x 0,10 = $ 110,00 _ Montante = $ 1.210,00-3o ano: 1.210,00 x 0,10 = $ 121,00 _ Montante = $ 1.331, FLUXO DE CAIXA O diagrama de fluxo de caixa (DFC) representa graficamente a movimentação de recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa). Os principais aspectos do diagrama de fluxo de caixa são: a escala horizontal representa o tempo o tempo (dias, semanas, meses, anos etc); o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número de períodos passados; as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sinal positivo e são representadas por setas apontadas para cima. as saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e são representadas por setas apontadas para baixo. Operação de Empréstimo Operação de Aplicação Exemplo: O diagrama de fluxo de caixa de um empréstimo contraído por alguém no valor de $ 300,00 que será quitado mediante o pagamento de $ 340,00, daqui a seis meses, pode ser visto a seguir. Exercícios 1. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de $ 500,00 que será resgatado em 3 parcelas iguais, mensais, no valor de $ 200, Uma empresa pensa em abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial igual a$ 300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são estimados em $ 80,00 e as receitas em $ 200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa dessa operação. 3. Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir: AnoFluxo de caixa

9 0 700, , , , , ,00 3. JUROS SIMPLES 3.1. FÓRMULAS DO JURO E DO MONTANTE Juros: O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão: J = C x i x n onde: J = valor dos juros ($); C = capital ($) ou valor presente (VP) representativo de determinado momento; i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária; n = prazo. Para cálculo dos demais valores: Abreviaturas empregadas na notação das taxas AbreviaturaSignificado a.d. ao dia a.m. ao mês a.b. ao bimestre a.t. ao trimestre a.q. ao quadrimestre a.s. ao semestre a.a. ao ano Obs.: A taxa de juros (i) e o número de períodos (n) devem estar na mesma base. Porém, deve-se sempre alterar n, evitando alterar i. Exemplo 1: Um capital de $ 500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros mensais?

10 Solução: J = C x i = 500 x 0,05 _ J = $ 25,00 Exemplo 2: Um capital de $ 120,00 foi aplicado a uma taxa de 4% a.m. no regime de capitalização simples por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação? Solução: J = C x i x n = 120,00 x 0,04 x 7 = $ 33,60 Exemplo 3: Uma pessoa compra a prazo de um CD-player que custa a vista $ 300,00 pode ser paga em duas parcelas mensais iguais (entrada no ato) no valor de $ 170,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja? Solução: C = 300,00 170,00 = $ 130,00 J = 170,00 130,00 = $ 40,00 ou 30.77% Capital e Montante: Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: M = C + J No entanto, sabe-se que: J = C. i. n Assim, M = C + C. i. n M = C.(1 + i. n) O valor de C pode ser obtido por: O valor de i pode ser obtido por: O valor de n pode ser obtido por: EXERCÍCIOS 1. Um capital de $ ,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês no RCS, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. R: J = 6.000,00

11 2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $ ,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. R: C = ,00 3. Um capital de $ ,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação. R: i = 2,2% 4. Uma aplicação de $ ,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ ,00. Calcular o prazo da aplicação. R: n = 6 meses 5. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. R: M = $ 3.900,00 6. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operação? R: C = 7. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação. R: i =0,20 = 20% 8. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a.m. regime de capitalização simples. Qual a duração da operação? R: i = 48, TAXAS EQUIVALENTES Toda operação financeira envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere a taxa de juros; (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. Admita um empréstimo bancário a uma taxa nominal de 24% ao ano. Ao se estabelecer que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos considerados são coincidentes. Por outro lado, sabe-se que a caderneta de poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é agregada ao principal todo mês através de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos prazo da taxa (ano) e prazo de capitalização (mês). É necessário expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo. Ou, ou o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros. No regime de juros simples, transforma-se o prazo da taxa para o de capitalização através da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e a quantidade de períodos de capitalização. Esta transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também denominada de taxa linear ou nominal.

12 Exemplos 1) Para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente, o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será: Taxa Proporcional = = 0,015 = 1,5% ao mês As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros. 2) Um capital de $ ,00, se aplicado a 2,5% a.m. ou 15% a.s. pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros. Isto é: J (2,5% a.m.) = $ ,00 x 0,025 x 12 = $ ,00 J (15% a.s.) = $ ,00 x 0,15 x 2 = $ ,00 No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa. Pelo critério de proporcionalidade de taxas de juros, diz-se que duas taxas de juros i a e i b, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização simples, são proporcionais quando: M a = C a (1 + i a. n a ) e M b = C b (1 + i b. n b ) Como M a = M b e C a = C b, tem-se que: (1 + i a. n a ) = (1 + i b. n b ) ou i a. n a = i b. n b Observa-se que i a e n a, da mesma forma que i b e n b devem estar na mesma base. Assim: Exemplo: Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% a.m. = 0,18 = 18% a.s. = 0,36 = 36% a.s. EXERCÍCIOS 1. Determine a taxa de juros simples anual proporcional às seguintes taxas: (a) 2,5% ao mês; (b) 56% ao quadrimestre; (c) 32,5% para cinco meses. R: i = 30% a.a. i = 168% a.a. i = 78% a.a. 2. Calcular o montante de um capital de $ ,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses. R: M = $ ,00

13 3. Uma dívida de $ ,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente. R: C = , JURO EXATO E JURO COMERCIAL É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denominase juro exato; b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de: a) Juro Exato: = 0,032877% ao dia b) Juro Comercial: = 0,033333% ao dia Exercícios 1. Calcule os juros simples cobrados sobre uma operação de empréstimo no valor de $ ,00, realizada por 58 dias, com uma taxa igual a 23% a.a. Empregue nos cálculos o ano: a) comercial; R: J = $ 1482,22 b) civil ou exato. R: J = $ 1.461,92 2. Calcule os juros simples de um capital de $ ,00 aplicado durante 188 dias a taxa de 8% a.a. Empregue nos cálculos o ano: a) comercial; R: $ 2.715,56 b) exato. R: $ 2.678,36 3. Calcule o montante correspondente a um negócio de $ ,00 aplicado pelo prazo de 53 dias, à taxa de 5% a.m., no regime de juros simples e considerando o ano comercial. R: M = , VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL A expressão (1 + i. n) é definida como fator de capitalização dos juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o montante. O valor de uma dívida, na data de seu vencimento, é chamado de valor nominal. O inverso, ou seja, 1/(1 + i. n) é denominado de fator de atualização. Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual (valor atual).

14 Exercícios 1. Uma pessoa aplica $ ,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. R: M = $ ,00 2. Uma dívida de $ ,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. R: C = $ ,00 4. DESCONTOS SIMPLES 4.1. CONCEITOS BÁSICOS Valor Nominal: É o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação (valor de resgate). Desconto: É a operação de se liquidar um título antes de seu vencimento, o que envolve geralmente uma recompensa pelo pagamento antecipado. Assim, desconto é a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento. Valor Descontado: É o valor atual de um título na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: Valor Descontado = Valor Nominal Desconto 4.2. DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU POR DENTRO O desconto racional, também denominado de desconto por dentro, incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples. Assim, sendo D r o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a taxa periódica de juros e n o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se a conhecida expressão de juros simples: D r = C x i x n Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor descontado no lugar de capital no cálculo do desconto, tem-se: D r = N V r sendo N o valor nominal (ou valor de resgate ou montante) e V r o valor descontado racional (ou valor atual) na data da operação. Como:

15 tem-se então o valor do desconto racional a juros simples: O valor descontado é obtido pela seguinte expressão: V r = N D r No desconto racional, o juro incide sobre o capital do título. A taxa de juro (desconte) cobrada representa o custo efetivo de todo o período do desconto. Exemplo 1: Seja um título de valor de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação. Solução: Graficamente: Desconto: $ 380,10 Valor Descontado: V r = N D r V r = 4.000,00 380,10 = $ 3.619,90 ou $ 3.619,90 Do ponto de vista do devedor, $ 380,10 representam o valor que está deixando de pagar por saldar a dívida antecipadamente. O valor líquido do pagamento (valor descontado) é de $ 3.619,90. Exemplo 2: Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ ,00 e valor atual na data do desconto de $ ,10. Solução: Sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor atual do título, ou seja, sobre o capital liberado. Logo:

16 D r = V r x i x n e ou 3,2% a.m. EXERCÍCIOS 1. Calcular o valor racional nas seguintes condições: a) Valor nominal: $ ,00 Prazo do desconto: 3 meses R: V r = $5.483,87 Taxa de desconto: 34% a.a. b) Valor nominal: $ ,00 Prazo do desconto: 80 dias R: V r = $ 1.947,37 Taxa de desconto: 25% a.a. 2. Calcular a taxa mensal racional de um título com valor nominal de $ 5.400,00 negociado 90 dias antes de seu vencimento. O valor atual deste título é de $ 4.956,90 R: i = 2,98% a.m DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU POR FORA Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. A modalidade de desconto por fora é amplamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo. O valor desse desconto, (desconto por fora) D F, no regime de juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica por fora contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). Isto é: D F = N x d x n O valor descontado por fora (V F ), aplicando-se a definição é obtido: V F = N D F V F = N N x d x n Exemplo 1: Seja um título de valor de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação. Solução: Graficamente:

17 Desconto: D F = N x d x n D F = 4.000,00 x 0,035 x 3 _D F = $ 420,00 O maior valor dos juros cobrado pelo título deve-se ao fato de o desconto por fora ser aplicado diretamente sobre o valor nominal (valor de resgate) e não sobre o valor atual como é característico das operações de desconto racional. O valor de desconto por fora equivale, num mesmo momento do tempo, ao montante do desconto por dentro, supondo-se as mesmas condições de prazo e taxa. Isto é: D F = D r (1 + i x n) D F = 380,10 x (1 + 0,035 x 3) = 380,10 x 1,105 D F = $ 420,00 Valor Descontado: V F = N (1 d x n) V F = 4.000,00 x (1 0,035 x 3) = 4.000,00 x 0,895 V F = $ 3.580,00 Exemplo 2: Determinar a taxa de desconto por fora de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ ,00 e valor atual na data do desconto de $ ,10. Solução: D F = N V F D F = , ,10 _ D F = $ 1.563,90 D F = N x d x n 1.563,90 = ,00 x d x ,90 = ,00 x d = 0,030 ou 3,0% ao mês 4.4. TAXA DE DESCONTO E TAXA EFETIVA Suponha um título de valor nominal de $ ,00, descontado num banco um mês antes de seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Aplicando-se o critério de desconto por fora, tem-se:

18 Observe que a taxa de juros adotada de 5% a.m. não iguala V F e N em nenhum momento. Ou seja, esta taxa, se aplicada ao valor descontado de $ ,00, não produz, para o período de um mês, o montante de $ ,00 (atinge a: $ ,00 + 5% = $ ,00). Logo a uma taxa implícita de juros na operação, superior aos declarados 5% ao mês, que conduz V F e N a um mesmo resultado no período. Esta taxa é obtida por: D = C x i x n Assim: Substituindo os valores, chega-se a: = 5,26% ao mês O resultado indica que há uma taxa implícita de juro de 5,26% numa operação de desconto de 5% a.m. (d = 5%) pelo período de um mês. Os cálculos de apuração da taxa de juros podem ser substituídos pelo emprego direto da seguinte fórmula: Aplicando-se esta fórmula ao exemplo anterior: = 5,26% ao mês Para n = 2 meses _ = 11,11% ao mês Exemplo: Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de 3 meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? Resolução: Temos: d = 4% e n = 3 = 0,0455 = 4,55% a.m. EXERCÍCIOS 1. Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto definida pelo banco é de 3,3% a.m. Sendo de $ ,00 o valor nominal deste título, e sabendo-se que a instituição financeira trabalha com sistema de desconto por fora, pede-se calcular: a) valor do desconto cobrado pelo banco e o valor descontado do título liberado ao cliente;

19 R: D F = $ 2.475,00 e V F = $ ,00 b) taxa implícita simples desta operação; R: i = 10,99% a.t. ou i = 3,66% a.m. c) apuração da taxa implícita pela fórmula direta de cálculo. R: i = 10,99% a.t. 2. Uma instituição financeira publica que sua taxa de desconto é de 3,5% ao mês. Calcular a taxa implícita mensal admitindo um prazo de desconto de dois meses. R: i = 7,53% a.b. 5. JUROS COMPOSTOS 5.1. FÓRMULA DO MONTANTE COMPOSTO De modo geral, um capital C, a juros compostos, aplicado a uma taxa fixa i, durante n períodos, produz: Ao final do 1o período: M1 = C + Ci _ M1 = C (1 + i) Ao final do 2o período: M2 = M1 + M1. i = M1 (1 + i) _ M2 = C (1 + i)2 Ao final do 3o período: M3 = M2 + M2. i = M2 (1 + i) _ M3 = C (1 + i)3... Ao final do n-ésimo período: M n = C (1 + i)n Em função do capital: Em função da taxa: Em função do período: Como o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença entre o montante (M) e o capital (C), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão: J = M C = C (1 + i)n C _ J = C [(1 + i)n 1] Exemplo 1: Em uma operação de empréstimo de R$ 100,00 por 3 meses, a uma taxa de 60% a.m., os juros de cada período incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. Assim, a composição dos valores futuros, mediante o emprego de juros simples e compostos pode ser vista no quadro abaixo. N M (JS)M (JC)

20 0 100,00100,00 0,1106,00104,81 0,5130,00126,49 0,8148,00145, ,00160, ,00256, ,00409,60 O valor futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele obtido no regime de capitalização simples para períodos superiores à unidade. Para períodos menores que 1, o valor futuro, calculado mediante o emprego de juros simples, é maior. Obs.: A taxa de juros (i) e o período (n) devem estar sempre na mesma base. Porém, no regime de juros compostos a taxa de juros nunca deve ser multiplicada ou dividida. O que deve ser feito é a alteração do período para a mesma base da taxa. Exemplo 2: Qual o montante obtido de uma aplicação de $ 550,00 feita por quatro meses a uma taxa de 20% a.a. Resp.: Neste caso, é necessário equiparar taxa e prazo, expressando o prazo em anos: quatro meses = ano Aplicando-se a fórmula, encontra-se: M = C (1 + i)n = 550 (1 + 0,2) _ M = 584,46 EXERCÍCIOS 1. Uma operação no regime de capitalização composta rendeu um montante igual a $ 8.400,00 após 6 meses. Sabendo que a taxa da operação foi igual a 2% a.m., calcule o valor presente (capital). R: C = 7.458,96 2. Um capital inicial de $ 430,00 rendeu $ 80,00 de juros após permanecer aplicado por 4 meses. Qual foi a taxa de juros mensal da aplicação? R: i = 0, Um montante de $ 630,00 foi obtido após a aplicação de $ 570,00 a uma taxa de juros compostos igual a 3% a.m. Qual foi a duração da operação?

21 R: n = 3,3859 meses 5.2. TAXAS EQUIVALENTES Em juros simples, a taxa equivalente é a própria taxa proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre são ditas proporcionais, pois mantêm a seguinte relação: = Prazos Taxas São equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo. Por exemplo, em juros simples um capital de $ ,00 produz o mesmo montante em qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t. e assim por diante. No regime de juros compostos, a fórmula de cálculo da taxa de juros é da forma exponencial, sendo esta a média geométrica da taxa de juros do período inteiro, isto é: onde: q = número de períodos de capitalização. Exemplo 1: Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre? = 1, = 0,0166 ou 1,66% Assim, para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. Neste exemplo, para um capital de $ ,00 aplicado por dois anos produz: Para i = 1,66% e n = 24 meses: M = ,00 (1,0166)24 = $ ,63 Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: M = ,00 (1,103826)4 = $ ,63

22 Exemplo 2: Um certo banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). Desta maneira, uma aplicação de $ ,00 produz, ao final de 6 meses, o montante de $ ,00 ($ ,00 x 1,12). Efetivamente, os 12% constituem-se na taxa de rentabilidade da operação para o período inteiro de um semestre e, em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em termos de taxa equivalente composta. Assim, os 2% de rendimentos mensais anunciados pelo banco são equivalentes aos 12% de rendimentos do semestre? = 0,0191 i 6 = 1,91% Naturalmente, ao se aplicar $ ,00 por 6 meses a uma taxa composta de 1,91% ao mês, chega-se ao seguinte montante: M = ,00 (1,0191)6 = $ ,00 EXERCÍCIOS 1. Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? R: i = 1,877% a.m. i = 5,737% 2. Explicar a melhor opção: aplicar um capital de $ ,00 à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. R: As duas taxas produzem o mesmo montante em um período de capitalização igual: M = ,00 3. Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalente mensal composta dessas taxas. R: Em 15 meses 6 i 3 = 74,969% e i 5 = 74,969% 5.3. CÁLCULO DO MONTANTE EM UM NÚMERO FRACIONÁRIO DE PERÍODOS No regime de juros compostos, o prazo de uma operação pode ser fracionado (desmembrado) sem que isso leve a alterar os resultados de valor presente (C) e valor futuro (M) calculados. Basicamente, esta propriedade pode ser explicada pelo produto de potências. Sendon = n 1 + n 2, tem-se: M = C x (1 + i)n ou M = C (1 + i)n1 x (1 + i)n 2 = C x (1 + i)n1 + n 2 = C x (1 + i)n O prazo do expoente (prazo n) pode ser fracionado de forma que a soma dos subperíodos seja igual ao período inteiro. Exemplo: Calcular o montante de um capital de $ ,00 aplicado a 14% ao ano, pelo prazo de um ano, tendo os seguintes períodos de capitalização: n = 12 meses: M = ,00 x (1,14) = $ ,00 n = 6 meses: M = ,00 x (1,14)1/2 x (1,14)1/2 = $ ,00 n = 4 meses: M = ,00 x (1,14)1/3 x (1,14)1/3 x (1,14)1/3 = $ ,00 e assim por diante. Para cada período de capitalização pode-se também utilizar a respectiva taxa equivalente composta, ao invés de se trabalhar com expoentes fracionários:

23 n = 12 meses i = 14% a.a. M = ,00 x (1,14) = $ ,00 n = 6 meses = 6,77% a.s. M = ,00 x (1,0677)2 = $ ,00 n = 4 meses = 4,46% a.q. M = ,00 x (1,0446)3 = $ ,00 A equivalência financeira (de capitais) se verifica quando dois ou mais capitais produzem o mesmo resultado se expressos em certa data comum de comparação a uma mesma taxa de juros. Em juros compostos a equivalência de capitais pode ser definida para qualquer data focal. A capacidade de desmembramento do prazo determina que a equivalência independe da data de comparação escolhida. Exemplo: Admita que A deve a B os seguintes pagamentos: $ ,00 de hoje a 4 meses. $ ,00 de hoje a 8 meses. Suponha que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em substituição ao original. A proposta de A é a de pagar $ ,00 hoje, $ ,00 de hoje a 6 meses e o restante ao final do ano. Sabe-se que B exige uma taxa de juros de 2% a.m. Esta taxa é a que consegue obter normalmente em suas aplicações de capital. Pede-se apurar o saldo a ser pago. A situação trata da substituição de um conjunto de compromissos financeiros por outro equivalente, devendo-se determinar o valor do pagamento no mês 12. Este pagamento deve ser tal que o valor da proposta expressa em certa data focal seja exatamente igual ao valor do plano original expresso no mesmo momento. Admitindo que a data de comparação escolhida seja o momento atual (data zero), tem-se: Data Focal = , ,23 = , , ,50 = ,14 + 0,7885 X ,36 = 0,7885 X X = $ ,25 Definindo-se o mês 12 outra data focal para o cálculo do pagamento:

24 Data Focal = x (1 + 0,02) x (1 + 0,02)4 = x (1 + 0,02) x (1 + 0,02)6 + X , ,57 = , ,87 + X ,54 = ,29 + X X = $ ,25 O saldo a pagar não se altera com a data focal. Em juros compostos a equivalência financeira independe do momento tomado como comparação. EXERCÍCIOS 1. Uma empresa deve $ ,00 a um banco sendo o vencimento definido em 3 meses contados de hoje. Prevendo dificuldades de caixa no período, a empresa negocia com o banco a substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje. Sendo de 3,6% ao mês a taxa de juros, pede-se calcular o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal: a) hoje; R: P = ,64 b) de hoje a 3 meses; R: P = ,64 c) de hoje a 5 meses. R: P = ,64 2. Um título vence daqui a 4 meses apresentando um valor nominal (resgate) de $ ,90. É proposta a troca deste título por outro de valor nominal de $ ,00 vencível daqui a 8 meses. Sendo de 5% ao mês a rentabilidade exigida pelo aplicados, pede-se avaliar se a troca é vantajosa. R: a) i = 4,2% a.m. < 5% a.m. b) C = $ ,20 < $ ,90 6 não é vantajoso Convenção Linear e Convenção Exponencial para Períodos não Inteiros Em algumas operações financeiras, o prazo não é um número inteiro em relação ao prazo definido para a taxa. Por exemplo: taxa de juros de 18% ao ano e prazo da operação de 1 ano e 7 meses. Sendo anual o período de capitalização dos juros, o prazo inteiro é 1 ano e o fracionário 7 meses. Ao se adotar o conceito de capitalização descontínua, não poderia haver incorrência de juros no intervalo de tempo fracionário, somente ao final de um período completo. Como na prática é muito raro a não formação dos juros em intervalos de tempo inferiores a um período inteiro, passa-se a adotar duas convenções para solucionar estes casos: linear e exponencial. a) Convenção Linear: A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. A expressão de cálculo do montante na convenção linear é a seguinte: sendo: m/k = parte fracionária do prazo. Exemplo: Seja o capital de $ ,00 emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear. Solução: C = $ ,00 i = 18% a.a. n (inteiro) = 4 anos M =?

25 (fracionário) = M = ,00 x 1, x 1,135 M = $ ,30 Na maioria das operações financeiras é adotada a convenção exponencial para todo o intervalo de tempo. b) Convenção Exponencial: A convenção exponencial adota a capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária. Esta convenção é mais generalizadamente usada na prática, sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os períodos não inteiros. A expressão básica de cálculo é a seguinte: Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior, calcula-se o montante: Solução: M = ,00 x (1,18)4 + 0,75 M = ,00 x (1,18)4,75 = $ ,50 O procedimento é o mesmo ao se determinar a taxa equivalente mensal de 18% ao ano e capitalizá-la para os 57 meses (4 anos e 9 meses): i = 18% a.a. = 1,388843% a.m. M = ,00 x (1 + 0, )57 = $ ,50 Observe que existe uma diferença entre os montantes apurados: M (Conv. Linear) = $ ,30 M (Conv. Exponencial) = $ ,50 Diferença: $ 548,80 EXERCÍCIOS 1. Um capital no valor de $ 5.000,00 foi aplicado por 3 meses e 15 dias a taxa de 4% a.m. no regime de capitalização composta com convenção linear. Estime qual será o valor de resgate desta aplicação. R: M = $ 5.736,81 2. O valor de $ ,00 foi resgatado após ter sido aplicado por 2 meses e 3 dias a uma taxa de 8% a.m., no regime de capitalização composta com convenção linear. Determine qual foi o capital aplicado.

26 R: M = $ ,35 3. Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 2 anos e 5 meses à taxa de 18% a.a. Determinar o valor da aplicação sabendo-se que o montante produzido ao final do período atinge $ ,00. Resolver o problema utilizando as convenções linear e exponencial. R: Convenção Linear: C = $ ,35 Convenção Exponencial: C = $ , PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO DIFERENTE DO PERÍODO DA TAXA Taxa Nominal e Efetiva: A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. É obtida pela seguinte expressão: Taxa Efetiva (i f ) = (1 + i)q 1 onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros. Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de juros de 56,45% ao ano, os seja: i f = (1 + 0,038)12 1 = 0,56447 ou 56,45% a.a. Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de juros é nominal, geralmente é admitido que o prazo dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere a taxa de juros igual a um ano (12 meses). Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização. Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é de 36% /12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear). Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. Assim: Taxa nominal da operação para o período = 36% ao ano Taxa proporcional simples (taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês Taxa efetiva de juros: ao ano Para que 36% ao ano fosse considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou seja:

27 Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chega-se aos 36% ao ano: Exemplo: O custo efetivo de 4,2% ao mês cobrado por um banco, pode ser equivalentemente definido em 4,12% ao mês para o mesmo período, ou seja: = 0,137234% ao dia x 30 4,12% ao mês A taxa de 4,12% a.m. é nominal (linear) e equivalente a efetiva de 4,2% a.m. EXERCÍCIOS 1. Um empréstimo no valor de $ ,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo. R. M = $ ,40 i f = 36% a.a. 2. A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira. R. i f = 6,17% a.a. 3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: a) mensal; R: i f = 26,82% a.a. b) trimestral; R: i f = 26,25% a.a. c) semestral. R: i f = 25,44% a.a. 4. Uma aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% a.a. como: a) Taxa Efetiva R: i q = 2,97% a.m. b) Taxa Nominal R: i = 3,5% a.m. i f = 51,1% a.a VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL A JUROS COMPOSTOS No cálculo de juros compostos, o valor (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro), FCC (i, n) a juros compostos, e 1/(1 + i)n é o fator de atualização (ou de valor presente) FAC (i, n) a juros compostos. A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa mediante a aplicação destes fatores, conforme pode ser visualizado na ilustração a seguir:

28 No estudo de juros compostos, o valor presente (capital) não se refere necessariamente a um valor expresso no momento zero. Na verdade, o valor presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior à do valor futuro (montante). Exemplo: Pode-se desejar calcular quanto será pago por um empréstimo de $ ,00 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% a.m. O problema envolve basicamente o cálculo do valor presente, ou seja, um valor atualizado a uma data anterior à do montante (mês 9) = $ ,10 Graficamente: As expressões de cálculos de C e M permitem capitalizações e atualizações envolvendo diversos valores e não somente um único capital ou montante. Exemplo: Admita um empréstimo que envolve os seguintes pagamentos: $ ,00 de hoje a 2 meses; $ ,00 de hoje a 5 meses; $ ,00 de hoje a 6 meses e $ ,00 de hoje a 8 meses. O devedor deseja apurar o valor presente (na data zero) destes fluxos de pagamento, pois está negociando com o banco a liquidação imediata de toda a sua dívida. A taxa de juros considerada nesta antecipação é de 3% ao mês. Solução: Representação gráfica da dívida: Utilizando-se a fórmula de valor presente: C = , , , ,65 C = $ ,15 EXERCÍCIOS 1. Determinar o montante de uma aplicação de $ ,00 admitindo os seguintes prazos e taxas: a) i = 2,2% a.m.; n = 7 meses R: M = ,99 b) i = 12% a.t.; n = 1 ano e meio

29 R: M = ,10 c) i = 20% a.s.; n = 4 anos R: M = ,97 d) i = 9% a.a.; n = 216 meses R: M = ,65 2. Calcular o juro de uma aplicação de $ ,00 nas seguintes condições de prazo e taxa: a) i = 2,5% a.m.; n = 1 semestre R: J = ,03 b) i = 10% a.a.; n = 120 meses R: J = ,74 3. Um banco lança um título pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de $ ,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título? R: C = ,22 4. Um banco publica em suas agências o seguinte anúncio: aplique $ 1.000,00 hoje e receba $ 1.180,00 ao final de 6 meses. Determinar a efetiva taxa mensal, semestral e anual de juros oferecida por esta aplicação. R: i = 2,25% a.m. i = 18,0% a.s. i = 39,24% a.a. 6. SÉRIES DE CAPITAIS 6.1. CONCEITO De modo geral, uma série ou uma anuidade corresponde a toda e qualquer seqüência de entradas ou saídas de caixa com os seguintes objetivos: (1) amortização de uma dívida ou (2) capitalização de um montante. As séries podem ser classificadas de diferentes formas: Quanto ao no de prestações: Finitas: quando ocorrem durante um período predeterminado de tempo. Infinitas: ou perpetuidades, quando ocorrem quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente. Quanto à periodicidade dos pagamentos: Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem a intervalos constantes. Não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de tempo. Quanto ao valor das prestações: Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos são iguais. Não uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.

30 Quanto ao prazo dos pagamentos: Postecipadas: quando os pagamentos ou recebimentos iniciam após o final do primeiro período. Antecipadas: quando o primeiro pagamento ou recebimento ocorre na entrada, do início da série. Quanto ao primeiro pagamento: Diferidas ou com carência: quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do financiamento e a data de pagamento da primeira prestação. Não diferidas: quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento SÉRIE BÁSICA As séries uniformes apresentam prestações iguais, isto é, considerando a série de capitais y 1, y 2, y 3,..., y n, respectivamente nas datas 1, 2, 3,..., n, dizemos que esse conjunto constitui uma série uniforme se y1 = y2 = y3 =... = yn = PMT isto é, se todos os capitais são iguais. Indicando esse capital por PMT, a representação gráfica da série uniforme é a seguinte: 6.3. VALOR ATUAL DA SÉRIE BÁSICA O valor presente (capital) de uma série uniforme, para uma taxa periódica de juros, é determinado pelo somatório dos valores presentes de cada um dos seus valores. Logo: Simplificações podem ser feitas se notarmos que a expressão entre colchetes é a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) cujo 1o termo a1 = e cuja razão é q =. A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por: Logo a expressão do valor atual fica: = = e, finalmente, C = PMT.

Título : B2 Matemática Financeira. Conteúdo :

Título : B2 Matemática Financeira. Conteúdo : Título : B2 Matemática Financeira Conteúdo : A maioria das questões financeiras é construída por algumas fórmulas padrão e estratégias de negócio. Por exemplo, os investimentos tendem a crescer quando

Leia mais

Elementos de Análise Financeira Juros Compostos Profa. Patricia Maria Bortolon

Elementos de Análise Financeira Juros Compostos Profa. Patricia Maria Bortolon Elementos de Análise Financeira Juros Compostos Juros Compostos Os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante passará a

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA - ADMINISTRAÇÃO

MATEMÁTICA FINANCEIRA - ADMINISTRAÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA - ADMINISTRAÇÃO DESCONTO 1) Determinar o desconto por fora sofrido por uma letra de R$ 5.000,00 à taxa de 5% aa, descontada 5 anos antes de seu vencimento. Resp: R$ 1.250,00 2) Uma

Leia mais

Matemática Financeira

Matemática Financeira Matemática Financeira Professor conteudista: Dalton Millan Marsola Sumário Matemática Financeira Unidade I 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS...1 1.1 Taxa de juros...2 1.2 Taxa percentual...4 1.3 Taxa unitária...4

Leia mais

Prof. Luiz Felix. Unidade I

Prof. Luiz Felix. Unidade I Prof. Luiz Felix Unidade I MATEMÁTICA FINANCEIRA Matemática financeira A Matemática Financeira estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Do ponto de vista matemático, um determinado valor a

Leia mais

Lista de Exercícios 1

Lista de Exercícios 1 Universidade Federal do Paraná Curso de Engenharia Elétrica Disciplina de Engenharia Econômica TE142 2º Semestre de 2011 Professor James Alexandre Baraniuk Lista de Exercícios 1 1. Um jovem de 20 anos

Leia mais

Existe uma diferença entre o montante (S) e a aplicação (P) que é denominada de remuneração, rendimento ou juros ganhos.

Existe uma diferença entre o montante (S) e a aplicação (P) que é denominada de remuneração, rendimento ou juros ganhos. Módulo 3 JUROS SIMPLES 1. Conceitos Iniciais 1.1. Juros Juro é a remuneração ou aluguel por um capital aplicado ou emprestado, o valor é obtido pela diferença entre dois pagamentos, um em cada tempo, de

Leia mais

Elementos de Análise Financeira Juros Simples Profa. Patricia Maria Bortolon

Elementos de Análise Financeira Juros Simples Profa. Patricia Maria Bortolon Elementos de Análise Financeira Juros Simples Fórmulas de Juros Simples J C i n Onde: J = valor dos juros expresso em unidades monetárias C = capital. É o valor (em $) em determinado momento i = taxa de

Leia mais

Prof. Dr. João Muccillo Netto

Prof. Dr. João Muccillo Netto Prof. Dr. João Muccillo Netto INTRODUÇÃO 1. Juros Segundo a Teoria Econômica, o homem combina Terra Trabalho Capital Aluguel Salário Juro para produzir os bens de que necessita. Juro é a remuneração do

Leia mais

CIÊNCIAS CONTÁBEIS MATEMATICA FINANCEIRA JUROS SIMPLES

CIÊNCIAS CONTÁBEIS MATEMATICA FINANCEIRA JUROS SIMPLES DEFINIÇÕES: CIÊNCIAS CONTÁBEIS MATEMATICA FINANCEIRA JUROS SIMPLES Taxa de juros: o juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. Ele corresponde à remuneração da

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF. DANIEL DE SOUZA INTRODUÇÃO:

MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF. DANIEL DE SOUZA INTRODUÇÃO: 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF. DANIEL DE SOUZA INTRODUÇÃO: O PRINCIPAL CONCEITO QUE ORIENTARÁ TODO O NOSSO RACIOCÍNIO AO LONGO DESTE CURSO É O CONCEITO DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. EMPRÉSTIMOS OU INVESTIMENTOS

Leia mais

Março/2012 Parte 2. Pag.1. Prof. Alvaro Augusto

Março/2012 Parte 2. Pag.1. Prof. Alvaro Augusto Pag.1 Pag.2 Pag.3 Descontos Desconto é a liquidação de uma operação antes de seu vencimento, envolvendo um prêmio ou recompensa. Valor Nominal, Valor de Resgate ou Valor de Face é o valor de um título

Leia mais

CAIXA ECONOMICA FEDERAL

CAIXA ECONOMICA FEDERAL JUROS SIMPLES Juros Simples comercial é uma modalidade de juro calculado em relação ao capital inicial, neste modelo de capitalização, os juros de todos os períodos serão sempre iguais, pois eles serão

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA Roberto César Faria e Silva MATEMÁTICA FINANCEIRA Aluno: SUMÁRIO 1. CONCEITOS 2 2. JUROS SIMPLES 3 Taxa Efetiva e Proporcional 10 Desconto Simples 12 Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora 13 Desconto

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos básicos A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos

Leia mais

Matemática Financeira

Matemática Financeira A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a

Leia mais

Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. 1/7 3. Modelos de capitalização simples 4. Modelos de capitalização composta Conceitos básicos A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos

Leia mais

Elementos de Análise Financeira Matemática Financeira e Inflação Profa. Patricia Maria Bortolon

Elementos de Análise Financeira Matemática Financeira e Inflação Profa. Patricia Maria Bortolon Elementos de Análise Financeira Matemática Financeira e Inflação O que é Inflação? Inflação É a elevação generalizada dos preços de uma economia O que é deflação? E a baixa predominante de preços de bens

Leia mais

F NA N N A C N E C IRA

F NA N N A C N E C IRA MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA TRATA DO ESTUDO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO. OBJETIVO BÁSICO EFETUAR ANÁLISES E COMPARAÇÕES EFETUAR ANÁLISES E COMPARAÇÕES DOS VÁRIOS

Leia mais

Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium. Séries Uniformes de Pagamento

Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium. Séries Uniformes de Pagamento Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium Disciplina: Matemática Financeira I Prof.: Marcos José Ardenghi Séries Uniformes de Pagamento As séries uniformes de pagamentos, anuidades ou rendas são

Leia mais

INTRODUÇÃO: JURO FATOR DE FORMAÇÃO DE JURO. VJ = VA x j. *Taxa de juro na forma unitária j=10% => j= 10/100 => j= 0,1

INTRODUÇÃO: JURO FATOR DE FORMAÇÃO DE JURO. VJ = VA x j. *Taxa de juro na forma unitária j=10% => j= 10/100 => j= 0,1 2 INTRODUÇÃO: O principal conceito que orientará todo o nosso raciocínio ao longo deste curso é o conceito do valor do dinheiro no tempo. Empréstimos ou investimentos realizados no presente terão seu valor

Leia mais

Matemática Financeira Aplicada. www.adrianoparanaiba.com.br

Matemática Financeira Aplicada. www.adrianoparanaiba.com.br Matemática Financeira Aplicada www.adrianoparanaiba.com.br Conceitos Básicos - Juros Simples - Juros Composto Juros Simples: J = C x i x n M = C + J Juros Compostos M = C x (1 + i) n J = M C Exemplo: Aplicação

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA FINANCEIRA MAT 191 PROFESSORES: ENALDO VERGASTA, GLÓRIA MÁRCIA, JODÁLIA ARLEGO

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA FINANCEIRA MAT 191 PROFESSORES: ENALDO VERGASTA, GLÓRIA MÁRCIA, JODÁLIA ARLEGO UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA FINANCEIRA MAT 191 PROFESSORES: ENALDO VERGASTA, GLÓRIA MÁRCIA, JODÁLIA ARLEGO LISTA 2 1) Um título, com valor de face igual a $1.000,00,

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA COM O USO DA CALCULADORA HP 12.C CADERNO DE EXERCÍCIOS

MATEMÁTICA FINANCEIRA COM O USO DA CALCULADORA HP 12.C CADERNO DE EXERCÍCIOS MATEMÁTICA FINANCEIRA COM O USO DA CALCULADORA HP 12.C CADERNO DE EXERCÍCIOS Parte integrante do curso Conhecendo a Calculadora HP 12C Prof. Geraldo Peretti. Página 1 Cálculos aritméticos simples. A) (3

Leia mais

EXERCÍCIOS PROF. SÉRGIO ALTENFELDER

EXERCÍCIOS PROF. SÉRGIO ALTENFELDER 1- Uma dívida no valor de R$ 60.020,54 deve ser paga em sete prestações postecipadas de R$ 10.000,00, a uma determinada taxa de juros. Considerando esta mesma taxa de juros, calcule o saldo devedor imediatamente

Leia mais

Gran Cursos. Matemática Financeira Walter Sousa. Rendas Certas financiamentos e capitalizações. 1) Fluxo de Caixa. 1.1) Fluxo de Caixa Padrão

Gran Cursos. Matemática Financeira Walter Sousa. Rendas Certas financiamentos e capitalizações. 1) Fluxo de Caixa. 1.1) Fluxo de Caixa Padrão Matemática Financeira Walter Sousa Gran Cursos Rendas Certas financiamentos e capitalizações 1) Fluxo de Caixa Representa uma série de pagamentos ou recebimentos que ocorrem em determinado período de tempo.

Leia mais

UNIDADE Capitalização composta

UNIDADE Capitalização composta UNIDADE 2 Capitalização composta Capitalização composta Curso de Graduação em Administração a Distância Objetivo Nesta Unidade, você vai ser levado a: calcular o montante, taxas equivalentes, nominal e

Leia mais

Disciplina de Matemática Financeira Curso Técnico em Finanças Profª Valéria Espíndola Lessa APOSTILA 1

Disciplina de Matemática Financeira Curso Técnico em Finanças Profª Valéria Espíndola Lessa APOSTILA 1 Disciplina de Matemática Financeira Curso Técnico em Finanças Profª Valéria Espíndola Lessa APOSTILA 1 Juros Simples Juros Compostos Desconto Simples Desconto Composto Erechim, 2014 INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA

Leia mais

Análise e Resolução da prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí Disciplina: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento

Análise e Resolução da prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí Disciplina: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento Análise e Resolução da prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí Disciplina: Professor: Custódio Nascimento 1- Análise da prova Neste artigo, faremos a análise das questões de cobradas na prova

Leia mais

22.5.1. Data de Equivalência no Futuro... 22.5.2. Data de Equivalência no Passado... 2. 22.5. Equivalência de Capitais Desconto Comercial...

22.5.1. Data de Equivalência no Futuro... 22.5.2. Data de Equivalência no Passado... 2. 22.5. Equivalência de Capitais Desconto Comercial... Aula 22 Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples. Equivalência Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos: Desconto racional simples e

Leia mais

JURO SIMPLES. Exercícios de Aplicação. Tarefa I

JURO SIMPLES. Exercícios de Aplicação. Tarefa I I JURO SIMPLES Exercícios de Aplicação 01. O juro simples da aplicação de $ 1.200,00, durante 5 meses à taxa de 4% ao mês vale: a) $ 300,00. b) $ 240,00. d) $ 220,00. c) $ 280,00. e) $ 320,00. 02. O juro

Leia mais

Matemática Régis Cortes. JURO composto

Matemática Régis Cortes. JURO composto JURO composto 1 O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo,

Leia mais

NOTAS DE AULA. Introdução à Matemática Financeira. Prof. Dr. Silvio Alexandre de Araujo

NOTAS DE AULA. Introdução à Matemática Financeira. Prof. Dr. Silvio Alexandre de Araujo NOTAS DE AULA Introdução à Matemática Financeira Prof. Dr. Silvio Alexandre de Araujo 2 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Juros simples 2. Juros compostos 3. Séries periódicas uniformes 4. Planos de amortização

Leia mais

Matemática Financeira

Matemática Financeira Matemática Financeira Sumário 2 JUROS SIMPLES (Capitalização Simples) 5 JUROS COMPOSTOS (Capitalização Composta) 7 TAXAS SIMPLES 8 TAXAS COMPOSTAS 10 TAXAS SIMPLES EXATO 11 PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO

Leia mais

Pra que serve a Matemática Financeira? AVALIAÇÃO DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS MATEMÁTICA FINANCEIRA 20/01/2016. Danillo Tourinho Sancho da Silva, MSc

Pra que serve a Matemática Financeira? AVALIAÇÃO DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS MATEMÁTICA FINANCEIRA 20/01/2016. Danillo Tourinho Sancho da Silva, MSc AVALIAÇÃO DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS Danillo Tourinho Sancho da Silva, MSc MATEMÁTICA FINANCEIRA Danillo Tourinho Sancho da Silva, MSc Pra que serve a Matemática Financeira? 1 NOÇÕES GERAIS SOBRE A MATEMÁTICA

Leia mais

MINICURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO DIA A DIA

MINICURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO DIA A DIA PORCENTAGEM MINICURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO DIA A DIA Quando é dito que 40% das pessoas entrevistadas votaram no candidato A, esta sendo afirmado que, em média, de cada pessoas, 40 votaram no candidato

Leia mais

Amilton Dalledone Filho Glower Lopes Kujew

Amilton Dalledone Filho Glower Lopes Kujew 1 Matemática Financeira Amilton Dalledone Filho Glower Lopes Kujew O mundo globalizado nos mostra cada vez mais a necessidade de informações e, para tanto, é necessário o conhecimento básico que possibilita

Leia mais

www.concurseiro10.com.br

www.concurseiro10.com.br 1) Um capital de R$ 18.000,00, aplicados a 6% ao ano, durante 8 anos, qual o juros produzido? a) 7.640,00 b) 6.460,00 c) 8.640,00 d) 9.000,00 2) Um investidor aplicou R$10.000,00, à taxa de 13% ao mês

Leia mais

Introdução à Matemática Financeira

Introdução à Matemática Financeira Introdução à Matemática Financeira O que é melhor? Juros simples ou juros compostos? Pagar a vista ou comprar a prazo? ano? Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor daqui a um Podemos ver

Leia mais

REGIME DE CAPTALIZAÇÃO COMPOSTA

REGIME DE CAPTALIZAÇÃO COMPOSTA REGIME DE CAPTALIZAÇÃO COMPOSTA No regime de Capitalização Composta, os juros prodzidos ao final de um dado período n se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período

Leia mais

prestação. Resp. $93.750,00 e $5.625,00.

prestação. Resp. $93.750,00 e $5.625,00. UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA MAT191 - MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSORES: ENALDO VERGASTA, GLÓRIA MÁRCIA, JODÁLIA ARLEGO LISTA 3 1) Um bem é vendido a vista por $318.000,00

Leia mais

Para o cálculo dos juros siga corretamente este roteiro:

Para o cálculo dos juros siga corretamente este roteiro: Juro Simples Juro: é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Capital: qualquer valor expresso em moeda e disponível

Leia mais

INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA

INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA SISTEMA MONETÁRIO É o conjunto de moedas que circulam num país e cuja aceitação no pagamento de mercadorias, débitos ou serviços é obrigatória por lei. Ele é constituído

Leia mais

Componente Curricular: Matemática Financeira Professor: Jarbas Thaunahy

Componente Curricular: Matemática Financeira Professor: Jarbas Thaunahy Componente Curricular: Matemática Financeira Professor: Jarbas Thaunahy 1. (MDIC 2002 ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo

Leia mais

Conceitos Básicos 09/10/2015. Módulo IV Capitalização Composta. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Montante e Juro Fórmulas Derivadas

Conceitos Básicos 09/10/2015. Módulo IV Capitalização Composta. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Montante e Juro Fórmulas Derivadas Módulo IV Capitalização Composta Danillo Tourinho S. da Silva, M.Sc. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Montante e Juro Fórmulas Derivadas Conceitos Básicos No sistema de juros compostos (regime de capitalização composta),

Leia mais

ECONOMIA. Profa. Juliane Ganem Email: juliane.matematica@gmail.com. Site: julianematematica.webnode.com

ECONOMIA. Profa. Juliane Ganem Email: juliane.matematica@gmail.com. Site: julianematematica.webnode.com ECONOMIA Profa. Juliane Ganem Email: juliane.matematica@gmail.com Site: julianematematica.webnode.com 1. Introdução: O valor do dinheiro no tempo 1.1 O valor do dinheiro no tempo A matemática financeira

Leia mais

Universidade Comunitária da Região de Chapecó Curso de Economia 5º Período 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

Universidade Comunitária da Região de Chapecó Curso de Economia 5º Período 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS

MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS Matemática Financeira para Concursos 1 Conteúdo 1. Noções Básicas -------------------------------- 02 2. Juros Simples, Ordinário e Comercial ------- 04 Taxa Percentual

Leia mais

JURO COMPOSTO. Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

JURO COMPOSTO. Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. JURO COMPOSTO No regime de capitalização simples, o juro produzido por um capital é sempre o mesmo, qualquer que seja o período financeiro, pois ele é sempre calculado sobre o capital inicial, não importando

Leia mais

Lista de exercício nº 3* VPL, TIR e Equivalência de fluxos de caixa

Lista de exercício nº 3* VPL, TIR e Equivalência de fluxos de caixa Lista de exercício nº 3* VPL, TIR e Equivalência de fluxos de caixa 1. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado a seguir, para uma taxa de desconto de 1 % ao mês, no Resposta: $13.147,13 2.

Leia mais

Capítulo 6 Série Uniforme Prestações Iguais

Capítulo 6 Série Uniforme Prestações Iguais Capítulo 6 Série Uniforme Prestações Iguais Juros Compostos Fórmulas - 1 RELAÇÃO ENTRE PMT E FV FV = PMT [ ( 1 + i ) n-1 + ( 1 + i ) n-2 + + ( 1 + i ) + 1 ] (A) Multiplicando por (1+i): FV = PMT [(1 +

Leia mais

UNIDADE DESCENTRALIZADA NOVA IGUAÇU - RJ ENGENHARIA ECONÔMICA E FINANCEIRA

UNIDADE DESCENTRALIZADA NOVA IGUAÇU - RJ ENGENHARIA ECONÔMICA E FINANCEIRA PARTE I 1 1) Calcular a taxa de juros trimestral proporcional às seguintes taxas: a) 24% ao ano. b) 36% ao biênio c) 6% ao semestre 2) Determinar a taxa de juros anual proporcional, das as seguintes taxas:

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA Professor Fábio Maia. AULA 1 - Juros Simples. Formulário: Juros Simples: j = C.i.n e Montante: M = C. (1 + i.

MATEMÁTICA FINANCEIRA Professor Fábio Maia. AULA 1 - Juros Simples. Formulário: Juros Simples: j = C.i.n e Montante: M = C. (1 + i. MATEMÁTICA FINANCEIRA Professor Fábio Maia AULA 1 - Juros Simples Juros Simples é o processo financeiro onde apenas o principal rende juros, isto é, os juros são diretamente proporcionais ao capital empregado.

Leia mais

MA12 - Unidade 10 Matemática Financeira Semana 09/05 a 15/05

MA12 - Unidade 10 Matemática Financeira Semana 09/05 a 15/05 MA12 - Unidade 10 Matemática Financeira Semana 09/05 a 15/05 Uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a Matemática Financeira. A operação básica da matemática nanceira é a operação de

Leia mais

CAPÍTULO 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA

CAPÍTULO 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA CAPÍTULO 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. E pode-se iniciar o estudo sobre o tema com a seguinte frase: NÃO SE SOMA OU SUBTRAI QUANTIAS EM DINHEIRO

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO FLUXO DE CAIXA

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO FLUXO DE CAIXA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO FLUXO DE CAIXA O estudo da matemática financeira é desenvolvido, basicamente, através do seguinte raciocínio: ao longo do tempo existem entradas de dinheiro (receitas) e saídas

Leia mais

RESUMÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA

RESUMÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA RESUMÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA Conteúdo 1. Noções Básicas pág. 02 2. Juros Simples, Ordinário e Comercial pág. 04 Taxa Percentual e Unitária Taxas Equivalentes Capital, Taxas e Prazos Médios Montante Desconto

Leia mais

Soluções integrais. Há cinco degraus para se alcançar a sabedoria: calar, ouvir, lembrar, agir, estudar. Anônimo. Soluções do Capítulo 1

Soluções integrais. Há cinco degraus para se alcançar a sabedoria: calar, ouvir, lembrar, agir, estudar. Anônimo. Soluções do Capítulo 1 Soluções integrais Há cinco degraus para se alcançar a sabedoria: calar, ouvir, lembrar, agir, estudar. Anônimo Soluções do Capítulo 1 Basta somar os valores, lembrando que seta para baixo indica valor

Leia mais

Matemática Financeira Departamento de Matemática - UFJF

Matemática Financeira Departamento de Matemática - UFJF Matemática Financeira Departamento de Matemática - UFJF Notas de aulas Wilhelm Passarella Freire (Colaboração: André Arbex Hallack) Março/2009 Índice 1 Conceitos básicos e simbologia 1 1.1 Introdução......................................

Leia mais

SIMULADO COMENTADO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

SIMULADO COMENTADO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA SIMULADO COMENTADO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Quilelli 1 ) Uma dívida contraída à taxa de juros simples de 10% ao mês, deverá ser paga em duas parcelas, respectivamente iguais a R$ 126,00, daqui a

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA - FGV

MATEMÁTICA FINANCEIRA - FGV MATEMÁTICA FINANCEIRA - FGV 01. (FGV) O preço de venda de um artigo foi diminuído em 20%. Em que porcentagem devemos aumentar o preço diminuído para que com o aumento o novo preço coincida com o original?

Leia mais

UFSC CFM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 5152 MATEMÁTICA FINACEIRA II PROF. FERNANDO GUERRA. LISTA DE EXERCÍCIOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

UFSC CFM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 5152 MATEMÁTICA FINACEIRA II PROF. FERNANDO GUERRA. LISTA DE EXERCÍCIOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS UFSC CFM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 5152 MATEMÁTICA FINACEIRA II PROF. FERNANDO GUERRA. 1 LISTA DE EXERCÍCIOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 1) Certo banco concede um financiamento de 80.000

Leia mais

JUROS E TAXAS INTRODUÇÃO

JUROS E TAXAS INTRODUÇÃO JUROS E TAXAS MARCOS CARRARD CARRARD@GMAIL.COM INTRODUÇÃO A Matemática Financeira teve seu início exatamente quando o homem criou os conceitos de Capital, Juros, Taxas e Montante. Daí para frente, os cálculos

Leia mais

Sérgio Carvalho Matemática Financeira Simulado 02 Questões FGV

Sérgio Carvalho Matemática Financeira Simulado 02 Questões FGV Sérgio Carvalho Matemática Financeira Simulado 02 Questões FGV Simulado 02 de Matemática Financeira Questões FGV 01. Determine o valor atual de um título descontado (desconto simples por fora) dois meses

Leia mais

Matemática Financeira

Matemática Financeira Juros e Capitalização Simples Matemática Financeira 1 - JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 1.1 - JUROS JURO é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o

Leia mais

Lista de exercício nº 4* Fluxos de caixa não uniformes, inflação, juros reais e nominais

Lista de exercício nº 4* Fluxos de caixa não uniformes, inflação, juros reais e nominais Lista de exercício nº 4* Fluxos de caixa não uniformes, inflação, juros reais e nominais 1. Calcule o Valor Presente Líquido do fluxo de caixa que segue, para as taxas de desconto de 8% a.a., 10% a.a.

Leia mais

mat fin 2008/6/27 13:15 page 53 #50

mat fin 2008/6/27 13:15 page 53 #50 mat fin 2008/6/27 13:15 page 53 #50 Aula 4 DESCONTO NA CAPITALIZAÇ ÃO SIMPLES O b j e t i v o s Ao final desta aula, você será capaz de: 1 entender o conceito de desconto; 2 entender os conceitos de valor

Leia mais

Taxas: Proporcional e Equivalente

Taxas: Proporcional e Equivalente Taxas: Proporcional e Equivalente Taxa Proporcional Considere duas taxas de juros arbitrárias i 1 e i 2, relacionadas respectivamente aos períodos n 1 e n 2, referidos à unidade comum de tempo das taxas.

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA 216 questões com gabarito

MATEMÁTICA FINANCEIRA 216 questões com gabarito 216 questões com gabarito FICHA CATALOGRÁFICA (Catalogado na fonte pela Biblioteca da BM&F BOVESPA Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros) MATEMÁTICA FINANCEIRA: 216 questões com gabarito. São Paulo:

Leia mais

Matemática Financeira - Vinícius Werneck, professor do QConcursos.com

Matemática Financeira - Vinícius Werneck, professor do QConcursos.com Matemática Financeira - Vinícius Werneck, professor do QConcursos.com 1- Q236904 - Prova: CESGRANRIO - 2012 - Caixa - Técnico Bancário Disciplina: Matemática Financeira Assuntos: Amortização; Sistema Francês

Leia mais

Para acharmos as taxas equivalentes utilizamos a fórmula abaixo: Te = ( n Ö 1+i) 1

Para acharmos as taxas equivalentes utilizamos a fórmula abaixo: Te = ( n Ö 1+i) 1 Para acharmos as taxas equivalentes utilizamos a fórmula abaixo: Te = ( n Ö 1+i) 1 Onde: Te = Taxa equivalente de determinado período n = número do período i = percentual de juros do período em que você

Leia mais

Análise e Resolução da prova do ISS-Cuiabá Disciplina: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento

Análise e Resolução da prova do ISS-Cuiabá Disciplina: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento Disciplina: Professor: Custódio Nascimento 1- Análise da prova Análise e Resolução da prova do ISS-Cuiabá Neste artigo, farei a análise das questões de cobradas na prova do ISS-Cuiabá, pois é uma de minhas

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA Professor Manuel MATEMÁTICA FINANCEIRA 01. (UNEB-2008) O proprietário de um imóvel contratou uma imobiliária para vendê-lo, pagando-lhe 5% do valor obtido na transação. Se a imobiliária recebeu R$ 5.600,00,

Leia mais

Banco do Brasil + BaCen

Banco do Brasil + BaCen 1. TAXA Taxa [ i ] é um valor numérico de referência, informado por uma das notações: Forma percentual, p.ex. 1%. Forma unitária, p.ex. 0,01 Forma fracionária centesimal, p.ex. 1/100. Ambos representam

Leia mais

JUROS SIMPLES - EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO - LISTA 02

JUROS SIMPLES - EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO - LISTA 02 JUROS SIMPLES - EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO - LISTA 0 01. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de: a) 14,4% ao ano; b) 6,8% ao quadrimestre; c) 11,4% ao semestre; d) 110,4% ao ano e) 54,7% ao biênio.

Leia mais

Juros Compostos. Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos:

Juros Compostos. Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos: Introdução a Matemática Financeira Profº.: Ramon S. de Freitas Juros Compostos Juro composto é aquele que em cada período, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

Leia mais

ACADEMIA DO CONCURSO PÚBLICO AULÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF PIO mjpio12@gmail.com REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

ACADEMIA DO CONCURSO PÚBLICO AULÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF PIO mjpio12@gmail.com REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ACADEMIA DO CONCURSO PÚBLICO AULÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF PIO mjpio12@gmail.com REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 01) (TCM/RJ Técnico de Controle Externo FJG 2003) Guilherme utilizou o limite de crédito

Leia mais

SUMÁRIO 1 NOÇÕES DE FINANÇAS E MATEMÁTICA FINANCEIRA...

SUMÁRIO 1 NOÇÕES DE FINANÇAS E MATEMÁTICA FINANCEIRA... SUMÁRIO 1 NOÇÕES DE FINANÇAS E MATEMÁTICA FINANCEIRA... 2 1.1 O QUE É FINANÇAS... 2 1.2 ADAPTAÇÃO ÀS MUDANÇAS... 3 1.3 CONSTRUINDO UMA IMAGEM... 4 1.4 O PLANEJAMENTO FINANCEIRO DE UMA EMPRESA... 5 1.5

Leia mais

TAXA INTERNA DE RETORNO - IRR

TAXA INTERNA DE RETORNO - IRR TAXA INTERNA DE RETORNO - IRR A taxa interna de retorno é a taxa de juros (desconto) que iguala, em determinado momento do tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos)

Leia mais

Conceitos Financeiros

Conceitos Financeiros Conceitos Financeiros Capital: qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicado numa operação financeira; Juros: custo do capital durante determinado período de tempo;

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES. Resolverei neste ponto a prova de Matemática Financeira da SEFAZ/RJ 2010 FGV.

CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES. Resolverei neste ponto a prova de Matemática Financeira da SEFAZ/RJ 2010 FGV. Olá pessoal! Resolverei neste ponto a prova de Matemática Financeira da SEFAZ/RJ 2010 FGV. Sem mais delongas, vamos às questões. 19. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) A empresa Bonneli recebeu, pelo valor de R$ 18.000,00,

Leia mais

Exercícios base para a prova 2 bimestre e final

Exercícios base para a prova 2 bimestre e final Exercícios base para a prova 2 bimestre e final Razão e proporção 1) Calcule a razão entre os números: a) 3 e 21 b) 0,333... e 2,1 2) Determine a razão entre a terça parte de 0,12 e o dobro de 0,1. 3)

Leia mais

EXERCÍCIOS IV SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS E CONSECUTIVOS 1. Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais

EXERCÍCIOS IV SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS E CONSECUTIVOS 1. Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais IGUAIS E CONSECUTIVOS 1. Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais e mensais de $ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos vencidos, sabendo-se que

Leia mais

Resolução da prova de Matemática Financeira AFRF/2005 Prova 1-Tributária e Aduaneira-Inglês

Resolução da prova de Matemática Financeira AFRF/2005 Prova 1-Tributária e Aduaneira-Inglês 19/12/2005 Resolução da prova de Matemática Financeira AFRF/2005 Prova 1-Tributária e Aduaneira-Inglês Questão 31. Ana quer vender um apartamento por R$400.000,00 à vista ou financiado pelo sistema de

Leia mais

PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA

PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA UNESPAR/PARANAVAÍ - Professor Sebastião Geraldo Barbosa - 0 - PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA Setembro/204 UNESPAR/PARANAVAÍ - Professor Sebastião Geraldo Barbosa - -. RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Nas

Leia mais

PLANOS DE FINANCIAMENTO METERIAL COMPLEMENTAR

PLANOS DE FINANCIAMENTO METERIAL COMPLEMENTAR PLANOS DE FINANCIAMENTO METERIAL COMPLEMENTAR José Luiz Miranda PLANOS DE FINANCIAMENTO Imagine uma operação financeira representada por um financiamento de R$ 1.200,00 no prazo de 5 meses à taxa de juros

Leia mais

Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugerese, como complemento, a utilização de outras bibliografias.

Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugerese, como complemento, a utilização de outras bibliografias. MATEMÁTICA COMERCIAL APRESENTAÇÃO Caro aluno, A partir de agora, iremos começar os estudos de matemática comercial. O objetivo deste curso é propiciar uma introdução dinâmica sobre o assunto, de maneira

Leia mais

Apostila de Matemática Financeira Parte 01

Apostila de Matemática Financeira Parte 01 Apostila de Matemática Financeira Parte 01 Autor: Guilherme Yoshida Facebook: facebook.com/guilhermeyoshida90 Google+: https://plus.google.com/108564693752650171653 Blog: Como Calcular Curta a Página do

Leia mais

Introdução. Este arquivo compõe a coletânea Mega Cursos - www.megacursos.com.br -

Introdução. Este arquivo compõe a coletânea Mega Cursos - www.megacursos.com.br - Curso de Matemática financeira Introdução Este arquivo compõe a coletânea Mega Cursos - www.megacursos.com.br - AULA 1: Definições O que são juros? Por que variam tanto? Risco. Inflação - ilusão de remuneração.

Leia mais

Fórmula do Montante. - Valor Futuro após 1 período: F 1 = P + Pi = P(1 + i) - Valor Futuro após 2 períodos:

Fórmula do Montante. - Valor Futuro após 1 período: F 1 = P + Pi = P(1 + i) - Valor Futuro após 2 períodos: DEPARTAMENTO...: ENGENHARIA CURSO...: PRODUÇÃO DISCIPLINA...: ENGENHARIA ECONÔMICA / MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSORES...: WILLIAM FRANCINI PERÍODO...: NOITE SEMESTRE/ANO: 2º/2008 Aula 3 CONTEÚDO RESUMIDO

Leia mais

Calcular o montante de um capital de $1.000,00, aplicado à taxa de 4 % ao mês, durante 5 meses.

Calcular o montante de um capital de $1.000,00, aplicado à taxa de 4 % ao mês, durante 5 meses. JUROS COMPOSTOS Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período de montante anterior. Neste regime de capitalização a

Leia mais

Imediatas: parcelas pagas em 30, 60 e 90 dias Antecipadas: sendo a primeira parcela paga no ato

Imediatas: parcelas pagas em 30, 60 e 90 dias Antecipadas: sendo a primeira parcela paga no ato Matemática Financeira Leandra Anversa Fioreze Rendas Imediatas: Primeiro pagamento efetuado no final do primeiro período. Ex: Comprei uma calculadora HP-12c Platinum em três parcelas de R$95,00, sendo

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA EMPRÉSTIMOS AMORTIZAÇÕES MF5 1 EMPRÉSTIMOS E Um empréstimo ou financiamento pode ser feito a curto, médio ou longo prazo. Dizemos que um empréstimo é a curto ou médio prazo quando

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA Marcelo de Figueiredo Alves 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA É a análise das relações formais entre transações financeiras, que traduzem a um padrão equivalente, quantidades monetárias transacionadas

Leia mais

Matemática Financeira

Matemática Financeira Matemática Financeira http://www.oportunity.ubbihp.com.br 1 CONCEITOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA A consideração explicita do fator tempo em qualquer processo de transferência de recursos financeiros

Leia mais

1. (TTN ESAF) Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?

1. (TTN ESAF) Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? 1. (TTN ESAF) Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? a) 3 meses e 3 dias b) 3 meses e 8 dias c) 2 meses e 23 dias d) 3 meses

Leia mais

Podemos representar em fluxo de caixa através do seguinte diagrama: (+) (+) (+) (+) 0 1 2 3 4 5... n tempo

Podemos representar em fluxo de caixa através do seguinte diagrama: (+) (+) (+) (+) 0 1 2 3 4 5... n tempo FLUXO DE CAIXA O estudo da matemática financeira é desenvolvido, basicamente, através do seguinte raciocínio: ao longo do tempo existem entradas de dinheiro (receitas) e saídas de dinheiro (desembolsos)

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA Roberto César Faria e Silva MATEMÁTICA FINANCEIRA Aluno: SUMÁRIO 1. CONCEITOS 2 2. JUROS SIMPLES 3 Taxa Efetiva e Proporcional 10 Desconto Simples 12 Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora 13 Desconto

Leia mais

Matemática Financeira

Matemática Financeira Capítulo 7 Noções de Matemática Financeira 1 O valor do dinheiro no tempo A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo. Alguém que dispõe de um capital C (chamado de principal),

Leia mais