CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS DE VOTORANTIM

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1 CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS DE VOTORANTIM MÓDULO 3 Neste módulo você vai ter uma noção do conceito de semelhança entre figuras e ver como se comportam as áreas semelhantes para depois ampliar esses conhecimentos com o Teorema de Tales no módulo 5.. Duas figuras são semelhantes quando uma é ampliação da outra. Ampliar ou reduzir uma figura significa obter uma outra com a mesma forma mas com tamanho diferente. Numa ampliação todas as medidas estão multiplicadas por um mesmo número. Numa redução todas as medidas estão divididas por um mesmo número. Multiplicado por 2 Esse número que multiplica (amplia) ou divide (reduz) uma figura é chamado de razão de semelhança. Dois polígonos (figuras com ângulos) são semelhantes se: - Suas medidas são proporcionais (lados correspondentes aumentam ou diminuem na mesma razão). - Seus ângulos são congruentes (mesma medida). 0,7cm 1,12cm 2,0cm 135º 122º 2,5cm 3,2cm 135º 122º 4cm 56º 47º 3,5cm 56º 47º 5,6cm

2 Plantas e Mapas Você já viu a planta de uma casa? Ela deve ter a mesma forma e a mesma distribuição da casa que você deseja construir, mas com medidas menores para caber em uma folha de papel. Por isso o desenhista divide todas as medidas por um mesmo número tornando assim figuras semelhantes. Da mesma forma são feitos os mapas representando uma figura semelhante ao real. Tanto as plantas como os mapas devem vir acompanhados por uma informação muito importante: a escala. Escala Escala é a razão entre a medida de um comprimento no desenho e a medida correspondente ao comprimento real. Vamos mostrar a seguir a planta de um terreno na escala 1/500 (um para quinhentos). Isso quer dizer que, para fazer a planta, o desenhista dividiu as medidas do terreno por 500 (500 vezes menor). C D 4,5 Escala 1/500 Quadra A 5 7 Lote 2 A 4 Rua Bela B

3 Se você tem a planta do terreno, a escala do desenho e uma régua, pode facilmente calcular suas medidas reais. Basta multiplicar as medidas encontradas na planta pelo número que aparece no denominador da escala. No nosso exemplo, para determinar as medidas do terreno basta multiplicar as medidas da planta por 500. Veja: MEDIDA NA PLANTA MEDIDA REAL FRENTE DO TERRENO AB = 4cm = 2000cm = 20 m LATERAL ESQUERDA AD = 5cm = 2500cm = 25 m LATERAL DIREITA BC = 7cm = 3500cm = 35 m FUNDO DO TERRENO DC = 4,5cm 4, = 2250cm = 22,5m Com a planta do terreno e sua escala, podemos calcular duas outras medidas importantes: o perímetro e a área desse terreno. O perímetro é a soma de todas as medidas do contorno do terreno. É a soma dos seus lados. No nosso terreno, o perímetro será: ,5 = 102,5 m

4 E a área é calculada pela fórmula do trapézio (mód. 4): A t = (B + b). h 2 Então: A = ( ). 20 = 600 m² 2 O CROQUI O croqui é um esboço do desenho de uma casa mostrando a disposição dos cômodos, usando medidas proporcionais à casa real. Essas medidas proporcionais são calculadas através de uma escala (razão) para que o desenho seja semelhante à casa real. É conveniente você usar a escala 1/100 cm, pois assim você terá 1 cm no papel representando 100 cm (1m) do real. Ex.: Se a cozinha da casa tem medidas, 6m de largura por 4m de comprimento no papel seu desenho terá 6cm de largura por 4cm de comprimento. A planta da casa é um croqui mais aperfeiçoado com localização de portas e janelas, espessura de paredes, etc. MAPAS Os mapas são desenhos muito reduzidos de grandes regiões. Para que você possa determinar distâncias em um mapa, precisa apenas de uma régua e da escala desse mapa. A seguir você vê o mapa do estado de São Paulo com suas principais cidades desenhado na escala 1 : 117. Calcule a real distância em Km entre as cidades de Sorocaba e Ourinhos.

5 A CASA O primeiro desenho que fazemos da nossa casa é apenas um esboço. Neste desenho, também chamado de croqui, mostrando a disposição dos cômodos com suas medidas aproximadas. Devemos já usar uma escala para que o desenho seja semelhante à casa que pretendemos construir. Usaremos aqui a escala 1/100, que é muito conveniente porque cada centímetro do desenho corresponderá a 100 centímetros reais, ou seja, a 1 metro. Assim por exemplo, se você medir a largura de um quarto e encontrar 3 cm, saberá, de fato, essa largura é de 3 m. Veja então a proposta para nossa casa:

6 1,50 4,00 1,80 3,00 2,80 Área de serviço cozinha banheiro quarto B 4,20 4,60 sala quarto A 3,20 7,30 3,00 Vamos agora calcular a área de cada cômodo e a área total da casa: A área é calculada multiplicando o comprimento pela largura. Área de serviço... 2,80. 1,50 = 4,20 m² Cozinha... 4,00. 2,80 = 11,20 m² Banheiro... 1,80. 2,80 = 5,04 m² Quarto B... 3,00. 4,20 = 12,60 m² Quarto A... 3,00. 3,20 = 9,60 m² Sala... 7,30. 4,60 = 33,58 m² ÁREA TOTAL... 76,22 m² Você pode também calcular comprimento e largura da sua casa, vejamos: Comprimento 3,00 + 7,30 = 10,30 m ou 1,50 + 4,00 + 1,80 + 3,00 = 10,30 m Largura: 4,60 + 2,80 = 7,40 m ou 3,20 + 4,20 = 7,40 m

7 EXERCÍCIO: 1. A planta ilustrada foi desenhada na escala 1 : 100: a) Calcule as dimensões reais da sala desta casa. b) Calcule quantos metros quadrados de carpete são necessários para forrar o chão dos dormitórios A e B. c) Quantos metros quadrados de piso são necessários para colocar na sala e na cozinha? d) Calcule o comprimento e a largura dessa casa. 3 cm 1,5 cm 3 cm Dormitório A banheiro 2,5cm 1cm corredor Sala Cozinha Dormitório B 2,5cm 4,5cm 3,5cm GABARITO a ) 3,5 m e 6 m b ) 18,75 m² c ) 39 m² d ) comp = 11 m largura = 6 m

8 MÓDULO 4 ÁREAS e PERÍMETROS PERÍMETRO: é a soma das medidas de todos os lados que formam uma figura geométrica. Exemplo: 4cm 10cm 4cm P= = 23cm 5cm O perímetro de uma figura circular é a medida do comprimento da circunferência (contorno). Usa-se a fórmula 2 r onde = 3,14 Exemplo: Raio=4cm 2 r = 2 3,14 4 = 25,12cm ÁREA: é a medida da superfície de uma figura geométrica. Cada figura tem uma maneira especial de se calcular a área. É usado a unidade de medida universal: o metro quadrado (m²). São também usados o Km² e o cm². Ao operar com medidas não podemos esquecer que todas devem estar na mesma unidade. Quando isto não ocorre temos que fazer as transformações necessárias. ÁREAS DE POLÍGONOS A grande maioria dos problemas práticos fala de figuras tais como retângulos, quadrados, triângulos, hexágonos (seis lados), trapézios e outros. Polígonos: são figuras formadas por segmentos de retas (seus lados) dispostos numa linha poligonal fechada.

9 Veja alguns exemplos: TRIÂNGULO HEXÁGONO TRAPÉZIO RETÂNGULO QUADRADO Há também octógono (8 lados), decágono (10 lados), pentágono (5 lados),etc. Você não precisa decorar esses nomes agora. É claro que os desenhos acima são apenas alguns exemplos de polígonos, mas você pode perceber que cada um ocupa uma certa quantidade de superfície que chamamos de área. Na vida prática, saber calcular a área pode lhe ajudar em alguns problemas cotidianos seja o tamanho do seu terreno ou a quantidade de lajotas que você deverá comprar para por no piso de sua casa, ou a quantidade de tecido necessário para se fazer um vestido, etc. Para você calcular a área de um polígono é necessário que você saiba identificá-lo, isto é saiba com que figura está trabalhando, portanto preste atenção nas características descritas nas figuras abaixo. 1- ÁREA DOS PARALELOGRAMOS: quadrilátero (quatro lados) cujos lados opostos são congruentes(mesma medida) e paralelos dois a dois. Observe o paralelogramo: b=base h=altura Altura medida de uma base a outra. Pode vir marcada dentro da figura com uma linha pontilhada ou com ao lado com uma linha cheia h b A paralelograma = b h Onde b= base h = altura h O retângulo e o quadrado são exemplos de paralelogramo.

10 ÁREA DO RETÂNGULO: tem lados congruentes (mesma medida) dois a dois e 4 ângulos retos ( 90º) A B Observe o retângulo: Lado AB paralelo ao lado CD e congruentes Lado AC paralelo a BD e congruentes Ângulos retos: Â, B, C, D (90º) C 3 cm 2 cm D Para calcular a sua área ou superfície basta multiplicar o comprimento (base) pela largura (altura) Podemos então dizer que A= área b= base h= altura A retângulo = b. h Para o exemplo acima temos a área igual a A = 3 2 = 6cm² Onde: 3 base do retângulo 2 altura do retângulo 6 área do retângulo ÁREA DO QUADRADO: tem 4 lados congruentes (mesma medida) e quatro ângulos retos (90º). Observe o quadrado com lados de 4 cm. 4cm Como os quatro lados têm a mesma medida não há necessidade de chamar os lados de base e altura A quadrado = L² 4cm Podemos concluir que b=h então a área do quadrado é lado vezes lado ou L². o exemplo acima A = 4 4 = 16 cm²

11 2- ÁREA DO TRAPÉZIO. têm dois lados paralelos: B (base maior) e b (base menor) Observe o trapézio: ou b = 4cm b base menor B base maior h altura h= 3cm h h B B = 7cm Se quisermos saber a área de um trapézio, basta fazer: b A trapézio = (B+b).h 2 onde: No exemplo acima temos a área do trapézio igual a: A = (7 + 4 ) 3 = 11 3 = 33 16,5cm² ÁREA DO TRIÂNGULO: tem 3 lados e 3 ângulos) Considere um triângulo qualquer: A triângulo = b.h 2 h = 4cm Onde; b= base h= altura b = 5cm Calculando a área do triângulo: A = 5 4 = 20 = 10cm² 2 2

12 4- ÁREA DO LOSANGO: seus lados são paralelos dois a dois. Divida um losango em quatro triângulos iguais: 8 Área losango = D.d 2 18cm Onde: D = diagonal maior d = diagonal menor Para calcular a área do losango do exemplo acima devemos: A = 18 8 = 144 = 72cm² 2 2 EXERCÍCIOS: 1-Deseja-se forrar um pátio que possui 16,8 metros de comprimento por 5 m de largura, com ladrilhos cuja medida é de 12 cm por 20 cm. Sendo assim, deseja-se saber quantos ladrilhos são necessários. Sugestão: - Calcule a área do Pátio - Faça a transformação da medida do ladrilho (cm para m ) - Calcule a área de 1 ladrilho, e... - Agora é com você...,quantos ladrilhos cabem no piso do pátio? Lembre-se de transformar cm e m. Ex : 12 cm = 0,12 m 2-Um piso foi forrado com 200 ladrilhos cujas medidas são de 25 cm por 25 cm. Sendo assim, quantos cm 2 possuem esse piso? Sugestão: - Ache a área de 1 ladrilho Veja quantos cm 2 tem em 200 ladrilhos 3 Na casa de João existe um quarto cujo chão é um quadrado de 4m de lado. Calcule a área desse quarto.

13 4-Observe o triângulo abaixo e calcule sua área. 5,19 A base é 6 cm e a altura é 5,19 cm 6 cm 5. Calcule a área do polígono: Sugestão: O polígono é formado por 3 figuras: trapézio, retângulo e triângulo. Calcule a área de cada uma para depois determinar área total. 6-O telhado dessa casa é de quatro águas Para cobrir 1 m² de telhado gastam-se 15 telhas. Quantas telhas, aproximadamente há no telhado da casa? SUGESTÃO: - primeiro calcule a área de cada figura que forma o telhado. - Calcule a área total do telhado - Calcule a quantidade de telhas

14 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO O que é círculo? É o conjunto formado por todos os pontos de uma circunferência mais o seu interior. Ex: CD, moeda, etc.. O círculo tem superfície, portanto podemos calcular a ÁREA. O que é circunferência? É o conjunto formado por todos os pontos que contornam o círculo. Exemplo: um anel, um bambolê. A circunferência não tem superfície. Nela podemos apenas medir o seu contorno que chamamos de comprimento da circunferência. Tanto no círculo como na circunferência existe uma medida chamada RAIO que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência. Veja o desenho: ele está usando um pedaço de corda (raio) presa ao centro para desenhar uma circunferência. DIÂMETRO: é o dobro do raio. É uma medida que sai de um ponto da circunferência, passa pelo centro e vai até o outro ponto da circunferência..

15 Circunferência (tem comprimento) Círculo (tem área) raio diâmetro CD ANEL COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA E ÁREA DO CÍRCULO Quando falamos na forma circular, imediatamente pensamos no número irracional, cujo valor na forma decimal é 3,14. e sua descoberta é uma das grandes páginas da história da Matemática. ÁREA DO CÍRCULO é determinada pela fórmula : A =. r² Onde: r = medida do raio = 3,14 Curiosidade: é uma letra grega e lê-se pi. Esse valor constante do é obtido dividindo-se o comprimento ( C ) da circunferência pelo seu diâmetro ( D ) Ex : Determine a área do circulo cujo raio mede 6cm A = 3,14. 6² A = 3, A = 113,04 cm² 6cm LEMBRE-SE: 6² = 6 6 = 36

16 COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA é calculado com a fórmula: C = 2.. r Calcule o comprimento da circunferência cujo raio é 8cm 8 cm C = 2.. r C = 2. 3,14. 8 C = 50,24 cm Diâmetro é o dobro do raio. Se o diâmetro mede 10 cm, qual é a medida do raio? É 5 cm. ACERTOU!!!! EXERCÍCIOS : 7 ) Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a área de cada fatia. SUGESTÃO: calcule a área da pizza inteira para depois dividi-la por seis.. 8 ) A comunidade vai cercar uma praça com árvores distribuídas a cada 5 m. Como essa praça tem 150 metros de raio, quantas árvores serão necessárias? 9 ) Um bambolê tem 60 cm de diâmetro. Determine o seu comprimento. 10 ) Um disco de cobre têm 80 m de diâmetro. Determine a área desse disco.

17 GABARITO 1 )3500 ladrilhos 2 ) cm² ou 12,5 m 2 3 ) 16m 2 4 ) 15,57 cm² 5 ) A = 25,35 m² 6 ) 177,19 m², aproximadamente 2657 telhas 7 ) 117,75 cm² 8) aproximadamente 189 árvores 9 ) 188,4 cm 10 ) 5024 m²

18 Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes ATUALIZADA EM 2008 APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim