ICMS-SP RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO PROFESSORA: KARINE WALDRICH. Aula 1

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1 Aula 1 1. Aula 1 Taxa nominal, taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua. Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial. Amortizações: Sistema francês (Tabela Price). Sistema de amortização constante. Sistema misto. Fluxo de caixa. Valor atual. Taxa interna de retorno Taxas Rendas Certas Fator de Valor Atual Fator de Valor Futuro Sistemas de Amortização Sistema Francês (Price) SAC (Sistema de Amortização Constante) Sistema Americano Exercícios comentados Memorex Lista das questões comentadas Gabarito Prof. Karine Waldrich 1

2 1. Aula 1 Taxa nominal, taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua. Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial. Amortizações: Sistema francês (Tabela Price). Sistema de amortização constante. Sistema misto. Fluxo de caixa. Valor atual. Taxa interna de retorno. Bom dia, colegas. Hoje teremos nossa primeira aula, sobre Matemática Financeira. Vamos à aula! 1.1 Taxas O assunto Taxas não exige muito raciocínio. Minha intenção aqui é esclarecer os termos diferentes que o examinador usa, para que vocês não errem coisas bobas na hora da prova. É um assunto muito cobrado. Primeiro vou esclarecer o que é a Taxa Efetiva. Bem, taxa efetiva é a taxa que a gente quer sempre saber, aquela que iremos chamar de i, colocar na equação e utilizar para resolver a questão. Bem, essa é a taxa efetiva. Acontece que, em algumas questões, o examinador diz assim: A taxa é de 24% ao ano com capitalização mensal. O que é isso? Essa taxa fornecida pelo examinador (24% ao ano) é o que chamamos de Taxa Nominal. Ela é chamada assim porque só tem nome mesmo. O que quero dizer é que ela tem nome de taxa anual, mas, como é capitalizada mensalmente, sua taxa efetiva é uma taxa mensal. E a taxa efetiva é resultante da taxa nominal dividida pelo período compreendido. Por exemplo, nesse caso, a taxa efetiva é de 24/12 = 2% ao mês. Ou seja: Taxa Efetiva = Taxa Nominal/Período. Existem também as Taxas Equivalentes. Por exemplo, sabemos que a maioria dos bancos cobra juros do cheque especial de 10% ao mês. E se quisermos saber quanto isso significa em um ano? Será que basta multiplicar por 12? Não. Isso já sabemos... como, nesse caso, estamos falando de juros compostos, não adianta multiplicar 10 x 12 e achar que os juros serão de 120% ao ano. Eles serão maiores, porque os 10% de cada mês incide sobre os juros do mês anterior, resultando numa taxa anual maior... Prof. Karine Waldrich 2

3 E agora? Se não basta multiplicar, como calculamos? Bem, existe uma equação simples para isso: (1 + I) = (1 + i) K Explicando o que significa cada incógnita: I = é a taxa do período maior (por exemplo, ano) i = é a taxa do período menor (por exemplo, mês) K = é o número de períodos menores incluídos em cada período maior (por exemplo, 1 ano possui 12 meses, então, nesse caso, K = 12). Pessoal, eu citei anos e meses mas essa equação pode ser utilizada com qualquer relação entre períodos, ok? Vamos resolver para o nosso exemplo? Saber de quanto é a taxa de juros do cheque especial em 1 ano... (1 + I) = (1 + 0,1) I = 1,1 12 = 3,1384 I = 3, = 2,1384 = 213,84% Ou seja, muito maior do que os 120% se o método utilizado fosse o de juros simples... Outras duas taxas que estão na moda são as taxas aparente e real. A taxa aparente e a taxa real são iguais quando não é levada em conta a inflação. É o que ocorre na maioria das questões. A taxa é chamada aparente porque não considera a inflação do período. Vejamos um exemplo. O salário de um servidor público, que era de R$ , aumentou 15% de um ano para outro. Ou seja, foi para R$ ,00. Ocorre que a inflação do período foi de 5%. Ou seja, se não houvesse aumento, apenas uma correção devido à inflação, o salário ficaria R$ ,00. Portanto, o aumento real do salário não foi de R$ para R$ Foi de R$ para R$ , pois houve inflação no período. Assim, a taxa real de aumento foi ( )/10500 = aproximadamente 9,5%. Percebam que a taxa real NÃO é obtida simplesmente descontando o aumento aparente da inflação (nesse caso seria 15 5 = 10%). Prof. Karine Waldrich 3

4 Há uma equação que relaciona as taxas aparente e real: 1 + i a = (1 + i r ).(1 + inf) Ela pode ser usada ou não. Se não for lembrada na hora da prova, basta usar o conceito de taxa aparente x taxa real. 1.2 Rendas Certas Fator de Valor Atual Pessoal, o assunto que veremos agora é um dos assuntos mais cobrados em Matemática Financeira, tenho certeza. Quando você ouvir sobre esse nome ( Rendas Certas ), lembre logo das Casas Bahia. Frequentemente, passamos em frente a alguma loja das Casas Bahia e ouvimos promoções como essa: SÓ HOJE!!! TV DE LCD POR R$ 1.199,00 À VISTA OU 10 x 195,00!!! Vocês percebem que existem juros incluídos no parcelamento proposto acima? Sim! Percebam que, à vista, o produto custa 1.199,00 reais. Já o valor a prazo é de 12x119,90, ou seja, 1.950,00 reais. A pergunta é: isso representa juros de quanto? Para que entendamos melhor, expressaremos a promoção na série de pagamentos abaixo: Ao invés de 1 pagamento de 1.199,00, à vista... São feitos 10 pagamentos de 195,00, com juros... Prof. Karine Waldrich 4

5 A Matemática Financeira chama o esquema acima de Rendas Certas, e propõe a seguinte equação para resolvê-la. VP = PMT.A(n,i) VP é o valor presente que conhecemos. No nosso caso, é o PMT é o valor da prestação. Em inglês, significa Periodic Payment Amount. A(n,i) é um valor que se chama Fator de Valor Atual. É um valor encontrado a partir do número de parcelas (o n ) e da taxa (o i ). Este valor, assim como a equação acima, são derivados das equações que já vimos, de juros compostos (a dedução é longa e não farei, por ser desnecessária para o aprendizado de vocês). Este fator é encontrado em tabelas financeiras, como abaixo. TABELA DO FATOR DE VALOR ATUAL A(n,i) N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 1 0,99 0,98 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0,909 0,893 0,87 0, ,97 1,942 1,913 1,886 1,859 1,833 1,808 1,783 1,759 1,736 1,69 1,626 1, ,941 2,884 2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2,487 2,402 2,283 2, ,092 3,808 3,717 3,63 3,546 3,465 3,387 3,312 3,24 3,17 3,037 2,855 2,69 5 4,853 4,713 4,58 4,452 4,329 4,212 4,1 3,993 3,89 3,791 3,605 3,352 3, ,795 5,601 5,417 5,242 5,076 4,917 4,767 4,623 4,486 4,355 4,111 3,784 3, ,728 6,472 6,23 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4,868 4,564 4,16 3, ,652 7,325 7,02 6,733 6,463 6,21 5,971 5,747 5,535 5,335 4,968 4,487 4, ,566 8,162 7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5,759 5,328 4,772 4, ,471 8,983 8,53 8,111 7,722 7,36 7,024 6,71 6,418 6,145 5,65 5,019 4, ,37 9,787 9,253 8,76 8,306 7,887 7,499 7,139 6,805 6,495 5,938 5,234 4, ,26 10,58 9,954 9,385 8,863 8,384 7,943 7,536 7,161 6,814 6,194 5,421 4, ,13 11,35 10,64 9,986 9,394 8,853 8,358 7,904 7,487 7,103 6,424 5,583 4, ,11 11,3 10,56 9,899 9,295 8,745 8,244 7,786 7,367 6,628 5,724 5, ,87 12,85 11,94 11,12 10,38 9,712 9,108 8,559 8,061 7,606 6,811 5,847 5, ,72 13,58 12,56 11,65 10,84 10,11 9,447 8,851 8,313 7,824 6,974 5,954 5, ,56 14,29 13,17 12,17 11,27 10,48 9,763 9,122 8,544 8,022 7,12 6,047 5, ,4 14,99 13,75 12,66 11,69 10,83 10,06 9,372 8,756 8,201 7,25 6,128 5,273 No caso da TV das Casas Bahia (nosso exemplo), temos: VP = PMT.A(n,i) 1199 = 195.A(10,i) A(10,i) = 6,149 Agora, vamos à tabela e procuramos na linha referente ao n = 10 (pois são 10 parcelas). Prof. Karine Waldrich 5

6 N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 10 9,471 8,983 8,53 8,111 7,722 7,36 7,024 6,71 6,418 6,145 5,65 5,019 4,494 Reparem que o valor encontrado é aproximadamente o valor referente a uma taxa de 10% por período (o que, no nosso caso, se refere ao mês). Ou seja, na promoção das Casas Bahia que observamos, a taxa é de aproximadamente 10% ao mês Fator de Valor Atual - Diferido Pessoal, pode acontecer de a questão apresentar uma pequena variação do que vimos para vocês. Hoje em dia isso acontece muito nos feirões de automóveis que existem nas concessionárias. Normalmente, eles dizem o seguinte: COMPRE UM CARRO NO NATAL E SÓ COMECE A PAGAR NA PÁSCOA!!! Assim, compra-se um carro no Natal (digamos, em dezembro de 2011) e começa-se a pagar só na Páscoa (que em 2012 ocorrerá só em abril). Digamos que o carro seja pago em 10x, com a primeira parcela em Abril. A série de pagamentos toma a seguinte forma: Compramos o carro no Natal (Dezembro) Em Jan, Fev e Mar não realizamos pagamento algum O pagamento começa na Páscoa, em Abril... Prof. Karine Waldrich 6

7 Matematicamente falando, teremos três períodos sem pagamento (Janeiro, Fevereiro e Março). Para calcular, criamos algo que alguns professores chamam de Parcela Fictícia. O nome pode parecer difícil, mas a resolução é bem tranquila. Vejam só: no nosso exemplo, não houve pagamentos em três períodos. Então, para solucionar o problemas, utilizamos o seguinte cálculo: VP = PMT.[A(10+3,i) A(3,i)] No primeiro termo referente ao Fator de Valor Atual, além das 10 parcelas que contêm o financiamento, adicionaremos mais 3, que são aquelas em que não há pagamentos. Só que, no segundo termo, retiramos estas parcelas. Ou seja, incluímos no primeiro termo, o que significa pegar o A(13,i) na tabela. E diminuímos este valor encontrado do A(3,i). Esse conceito de parcelas fictícias é bastante utilizado na resolução de problemas de Matemática Financeira Fator de Valor Futuro E se, ao invés de uma promoção das Casas Bahia, tivéssemos uma aplicação, que nos renderia um dinheiro no futuro? Imaginem um banco fazendo o seguinte anúncio: BANCO PARAÍSO: SÓ AQUI VOCÊ APLICA 100 REAIS POR MÊS DURANTE UM ANO E AO FINAL RETIRA 2700 REAIS A pergunta, aqui, é: qual a rentabilidade da aplicação? Para que entendamos melhor, expressaremos a poupança proposta acima na série abaixo: E, ao final, se retira o valor total de reais... Prof. Karine Waldrich 7

8 São feitos 12 depósitos de 100 reais... Agora, ao invés de anteciparmos os valores de uma série de pagamentos, fazemos o contrário: o que ocorre é a capitalização dos valores das parcelas, até a data final. A Matemática Financeira propõe a seguinte equação para a resolução do sistema acima: VF = PMT.S(n,i) VF é o Valor Futuro, ou seja, o quanto de capital acumulado teremos ao final dos depósitos. PMT é o valor dos depósitos. O valor S(n,i) funciona da mesma maneira que o A(n,i) que já vimos, e se chama Fator de Acumulação de Capital ou Fator de Valor Futuro. É um valor encontrado a partir do número de parcelas (o n ) e da taxa (o i ). Este valor também é derivado das equações que já vistas, de juros compostos. É encontrado em tabelas financeiras, como abaixo. TABELA: FATOR DE VALOR FUTURO S(n,i) N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% ,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,1 2,12 2,15 2,18 3 3,0301 3,06 3,091 3,122 3,153 3,184 3,215 3,246 3,278 3,31 3,374 3,473 3, ,06 4,122 4,184 4,246 4,31 4,375 4,44 4,506 4,573 4,641 4,779 4,993 5, ,101 5,204 5,309 5,416 5,526 5,637 5,751 5,867 5,985 6,105 6,353 6,742 7, ,152 6,308 6,468 6,633 6,802 6,975 7,153 7,336 7,523 7,716 8,115 8,754 9, ,214 7,434 7,662 7,898 8,142 8,394 8,654 8,923 9,2 9,487 10,089 11,067 12, ,286 8,583 8,892 9,214 9,549 9,897 10,26 10,637 11,028 11,436 12,3 13,727 15, ,369 9,755 10,159 10,583 11,027 11,491 11,978 12,488 13,021 13,579 14,776 16,786 19, ,462 10,95 11,464 12,006 12,578 13,181 13,816 14,487 15,193 15,937 17,549 20,304 23, ,567 12,169 12,808 13,486 14,207 14,972 15,784 16,645 17,56 18,531 20,655 24,349 28, ,683 13,412 14,192 15,026 15,917 16,87 17,888 18,977 20,141 21,384 24,133 29,002 34, ,809 14,68 15,618 16,627 17,713 18,882 20,141 21,495 22,953 24,523 28,029 34,352 42, ,947 15,974 17,086 18,292 19,599 21,013 22,55 24,215 26,019 27,975 32,393 40,505 50, ,097 17,293 18,599 20,024 21,579 23,276 25,129 27,152 29,361 31,772 37,28 47,58 60, ,258 18,639 20,157 21,825 23,657 25,673 27,888 30,324 33,003 35,95 42,753 55,717 72, ,43 20,012 21,762 23,698 25,84 28,213 30,84 33,75 36,974 40,545 48,884 65,075 87, ,615 21,412 23,414 25,645 28,132 30,906 33,999 37,45 41,301 45,599 55,75 75, ,74 Prof. Karine Waldrich 8

9 Mas, aqui, temos uma grande diferença, quanto à maneira de calcular, em relação à equação com o Fator de Valor Atual. É o seguinte: No sistema de Valor Atual (em que utilizamos o A(n,i)), o primeiro pagamento ocorre um período após o Valor Atual (no exemplo que vimos, a primeira parcela era paga um mês após a compra). Podemos ver melhor no esquema abaixo: VP Um mês depois ocorre o primeiro pagamento... No caso da equação de Valor Futuro (com S(n,i)), temos uma diferença fundamental: se usarmos a equação de maneira análoga ao caso do A(n,i), teremos a última parcela no dia do Valor Futuro, e não um mês depois. Relacionando ao nosso exemplo do Banco Paraíso, é como se fizéssemos o último depósito e no mesmo dia retirássemos o dinheiro. O esquema abaixo ilustra melhor: Só que a retirada, ao final, ocorre no mesmo dia do último depósito... São feitos 10 depósitos de 100 reais... Prof. Karine Waldrich 9

10 E agora? Não queremos que o último depósito ocorra no mesmo dia da retirada. Queremos resolver nosso exemplo, em que a retirada ocorre um mês após o último pagamento. Temos a seguinte situação: Retirada após 1 mês. São feitos 10 depósitos de 100 reais... Nesse caso, para usar corretamente a equação do Valor Futuro, temos de trazer o VF para a mesma data da última prestação, antecipando um período. Como VF = VP(1 + i) n, bastaria dividir o VF por (1 + i) 1. E em seguida usar a equação com S(n,i), normalmente. Mas, um truque para simplificar esse cálculo na hora da prova é utilizar a seguinte equação: VF = PMT.[S(n+1,i) 1] Ou seja, consultamos o período n + 1 na tabela, e, do resultado encontrado, diminuímos uma unidade. No nosso exemplo, temos: VF = PMT = 100 n = 12 Se fôssemos resolver na equação diretamente (ou seja, VF = PMT.S(n,i)), teríamos o último depósito junto com a retirada. E não queremos isso. Então, vamos adaptar a equação, utilizando-a da seguinte maneira: Prof. Karine Waldrich 10

11 VF = PMT.[S(n+1,i) 1] = 100.(S(n+1,i) - 1) S(n+1,i) 1 = 27 S(n+1,i) = = 28 Agora vamos à tabela, sem esquecer que temos de procurar na linha referente ao n = 13 (12 + 1): n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 13 13,809 14,68 15,618 16,627 17,713 18,882 20,141 21,495 22,953 24,523 28,029 34,352 42,219 Percebam que o S(n,i) referente ao número encontrado representa uma taxa de juros de 12% por período (no nosso caso, por mês). Bem, agora passemos aos sistemas de amortização da Matemática Financeira. Vou me ater aos 3 pedidos no edital: Sistema francês. Sistema de amortização constante. Sistema misto. 1.3 Sistemas de Amortização Vamos tratar agora dos Sistemas de Amortização. Primeiramente, vou explicálos. Depois, veremos os três numa tabela, para que saibamos diferenciá-los uns dos outros Sistema Francês (Price) O Sistema Price nada mais é do que vimos até agora. Seu fluxo de caixa é: PV A J A J A J A A equação básica é aquela do Fator de Valor Atual, que já vimos, dada por: VP = PMT.A(n,i) Prof. Karine Waldrich 11

12 As características mais marcantes desse modelo são: As prestações são constantes, iguais a PMT; O que muda em cada parcela é a relação juros x amortização. Os juros são decrescentes, começam muito altos e vão diminuindo. A amortização começa pequena e vai aumentando, até chegar ao ponto que a última parcela seja composta apenas de amortização, sem pagamento de juros. Ou seja, quando uma questão falar, por exemplo, que foi feito um financiamento e que ele foi pago pelo Sistema Price... Vocês já sabem que, para resolvê-la, basta fazer o que já temos feito: calcular as parcelas (constantes) usando o Fator de Valor Atual A(n,i). Além disso, é importante saber que, a cada parcela, aumenta a parte paga a título de amortização e diminui o valor pago a título de juros (já vi questões teóricas em matemática financeira cobrando isso) SAC (Sistema de Amortização Constante) A grande sacada do Sistema de Amortização Constante é justamente que, nesse sistema, a amortização é constante! Ou seja, se eu pegar 1000 reais emprestado para pagar em 10 meses, todos os meses pagarei 100 reais a título de amortização, mais os juros referentes ao empréstimo. O SAC é representado pelo seguinte fluxo de caixa: PV A J A J A J A Como a amortização é constante, seu valor é dado por: A = PV/n Os juros pagos todo mês são dados pela capitalização do saldo devedor do mês anterior. Por exemplo, no mês 1, os juros são dados por PV.(1 + i), e são pagos junto com a amortização A. O saldo devedor é PV A. No mês 2, os juros são dados por (PV A).(1 + i), sendo novamente pagos junto com a amortização A. O saldo devedor é PV A A = PV 2A. No mês 3, juros de (PV 2A).(1 + i), e assim por diante. Prof. Karine Waldrich 12

13 Assim, temos as seguintes considerações a fazer sobre o SAC: A amortização é constante, e os juros são decrescentes. Dessa forma, as prestações (que são a soma da amortização com os juros) são decrescentes; O saldo devedor vai diminuindo em um valor constante (a cada período, diminui A). Por isso, eu já vi questões fazendo a seguinte afirmação: O saldo devedor é decrescente em Progressão Aritmética (PA). Tal afirmação é verdadeira, pois realmente o saldo devedor vai diminuindo numa progressão aritmética (PV A, PV 2A, PV 3A, assim por diante); Também já vi numa questão a seguinte afirmação: No SAC, os juros são pagos com a respectiva parcela mensal. É verdade, como vimos acima. Os juros pagos mensalmente são relativos ao saldo devedor existente. Por isso eles vão diminuindo a cada mês, porque também vai diminuindo o saldo devido Sistema Americano O sistema americano é bem diferente. Ele segue o seguinte fluxo de caixa: PV J J J PV + J No Sistema Americano, os juros são pagos durante o período. Ao final, é paga a última parcela de juros, e o próprio PV. Normalmente, as questões sobre Sistema Americano falam que uma empresa quer levantar um empréstimo, e que por isso vai lançar um bônus no mercado, em que haverá o pagamento de um valor mensal e a devolução do dinheiro ao final. Prof. Karine Waldrich 13

14 Esse bônus possui um valor de face, que é o valor que será devolvido ao final, mas normalmente ele é vendido com ágio ou com deságio. Veremos questão sobre isso nos exercícios comentados. Prof. Karine Waldrich 14

15 2. Exercícios comentados Questão 1 FCC/TRE-RN/Analista/2011 O valor atual de um título, descontado 3 meses antes de seu vencimento, é igual a R$ ,30. A taxa de desconto utilizada foi de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Caso a operação tivesse sido a de desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, o valor atual do título seria igual a, em R$, (A) ,00. (B) ,00. (C) ,00. (D) ,00. (E) ,00. Essa questão exige os conhecimentos de Desconto Racional e Comercial Simples. Vamos, primeiramente, analisar o desconto comercial: A = ,30 n = 3 i = 1,5. Valor de face do título: A = N Nin = N(1 in) ,30 = N(1 0,015.3) 0,955N = ,30 N = Com esse valor de face, calculamos o valor atual do título, seguindo um regime de desconto racional simples: N = A =? N = A.(1 + i simples.n) = A(1 + 0,015.3) A = Assim, a resposta é a letra A. Prof. Karine Waldrich 15

16 Resposta: letra A. Questão 2 FCC/DNOCS/Administrador/2010 Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira: Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a (A) R$ 1.260,00. (B) R$ 1.268,80. (C) R$ 1.272,60. (D) R$ 1.276,40. (E) R$ 1.278,90. Essa questão mistura os conhecimentos de desconto racional simples e desconto comercial simples, que já vimos. A questão quer saber o valor da soma dos descontos de títulos com valores nominais iguais. Vamos resolvê-la por partes. Inicialmente, cabe lembrar que a convenção do mês comercial nada mais é do que dizer que o mês possui 30 dias, independentemente de ser janeiro (que possui 31 dias), fevereiro (que possui 28 ou 29 dias), etc. Guardem apenas isso: na convenção do mês comercial, todo mês possui 30 dias. O primeiro título: Desconto racional simples; Taxa = i = 2% ao mês; Prof. Karine Waldrich 16

17 Valor atual = ,00; Período = n = 45 dias = 1,5 mês. Em um sistema de desconto racional simples, o desconto é a diferença entre o valor atual e o valor nominal, calculado segundo o método de capitalização com juros simples: VF = VP.(1 + i.n), ou então: N = V hoje.(1 + i.n). N = (1 + 0,02.1,5) N = Assim, sabemos que o desconto foi de 630 reais, já que o valor nominal do título é de e o valor atual é de O segundo título: Desconto comercial simples; Taxa = i = 1,5% ao mês; Período = n = 60 dias = 2 meses. Primeiramente, temos que ter claro que o valor nominal deste segundo título é aquele que encontramos para o primeiro título, pois a própria questão diz que os valores são iguais. Assim: N = Agora, voltamos ao cálculo do desconto comercial: D comercial = N.i.n D comercial = ,015.2 D comercial = 648,90 A questão pede a soma dos descontos. Então: ,90 = 1278,90. Resposta: Letra E. Prof. Karine Waldrich 17

18 Questão 3 FCC/MPU/Analista/2007 A taxa mensal de Desconto por Fora, a juros simples, que a empresa Insolvente Ltda. realizou em uma operação de desconto de 80 dias, de um título de R$ 2.400,00, na qual a empresa obteve R$ 1.800,00, foi de Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 12,5000% (B) 25,0000% (C) 28,1250% (D) 32,3050% (E) 33,3333% Aqui o desconto foi por Por Fora a juros simples, ou seja, Desconto Comercial Simples. Como é pedida a taxa mensal e o período está em dias, vamos transformar dias em meses: 80 dias ---- X meses 30 dias mês X = 80 = D = A.i.n 1800 = 2400.i. 8 3 i = = 225 = 0, ,28125 * 100 = 28,1250%. Aposto que a maior parte das pessoas que chutou essa questão apostou na letra E (já que o enunciado diz para considerar até a 4 a casa decimal). Resposta: Letra C. Prof. Karine Waldrich 18

19 Questão 4 FCC/SEFAZ-SP/APOFP/2010 Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ ,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Vamos encontrar o valor de face do título utilizando a operação de desconto racional composto dita no enunciado. N = A.(1 + i) n N = (1 + 0,1) 2 N = (1,21) = Sabendo que o valor de face do título é de 24200, podemos colocar na equação de desconto comercial composto: A = N.(1 - i) n Percebam que é muito fácil lembrar da equação acima, pois basta lembrar da equação do desconto racional, inverter a posição do A e do N e trocar o + (de dentro do parênteses) por -. A = N.(1 - i) n A = (1 0,1) 2 A = ,9 2 = ,81 = Portanto, a resposta é a letra E. Resposta: letra E. Prof. Karine Waldrich 19

20 Questão 5 FCC/SEFIN-RO/Auditor Fiscal/2010 Um título é descontado em um banco 45 dias antes de seu vencimento, considerando a convenção do mês comercial. A taxa de desconto utilizada pelo banco é de 3% ao mês. Caso a operação seja a do desconto racional simples, o valor presente do título é igual a R$ ,00. Utilizando a operação do desconto comercial simples, o valor presente do título é (A) R$ ,50 (B) R$ ,00 (C) R$ ,50 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Já sabemos que a convenção do mês comercial diz que um mês possui exatos 30 dias. Da mesma forma como na questão anterior, vamos utilizar a primeira operação de desconto racional simples para encontrar o valor de face do título. Como 1 mês = 30 dias, os 45 dias da questão representam 1,5 = 3/2 mês. N = A.(1 + i.n) N = 40000(1 + 0,03.1,5) N = (1 + 0,045) = (1,045) = Portanto, o valor de face do título é Agora, basta utilizar a equação do desconto comercial simples: D = N.i.n D = ,03.1,5 D = 1881 Se o desconto foi de 1881, o valor atual é A = N D = = Resposta: Letra B. Prof. Karine Waldrich 20

21 Questão 6 FCC/SEFAZ-PB/Auditor Fiscal/2006 Um título é resgatado 2 anos antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto. Se a taxa utilizada foi de 10% ao ano e o valor do desconto resultou em R$ 4.620,00, o valor nominal do título é (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 O desconto utilizado é o desconto racional composto. Vamos utilizar a equação padrão do desconto racional composto: N = A.(1 + i) n Sabemos que D = N A, ou seja N = A + D, basta substituir na equação: A + D = A.(1 + i) n D = 4620 A = A(1 + 0,1) 2 A = A.(1,1) 2 A = 1,21A 0,21A = 4620 A = A é o valor atual do título. Já N é: N = A + D = = Portanto, a resposta é a letra A. Resposta: Letra A. Prof. Karine Waldrich 21

22 Questão 7 FCC/SEFAZ-PB/Auditor Fiscal/2006 Dois títulos cujos valores nominais são R$ ,00 e R$ ,00, vencíveis no fim de 1 ano e 3 anos, respectivamente, serão substituídos por um único título equivalente, vencendo no final de 2 anos. Adotando a operação do desconto racional composto à taxa de juros compostos de 10% ao ano, o valor nominal deste único título é (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Essa questão mistura o desconto e a própria capitalização de um dos títulos. Temos o seguinte fluxo de caixa: $16500 $ ano 2 3 anos Título valendo T Portanto, o título que vence no fim de um ano será capitalizado a juros compostos por mais um ano. E o título que vence em 3 anos será descontado por um ano. O valor dos títulos, no ano 2, será somado e dará origem ao título T. Primeiramente, vamos capitalizar o primeiro título por mais um ano, seguindo a operação de juros compostos que vimos na aula 0: VF = VP.(1 + i) n Prof. Karine Waldrich 22

23 VF = (1 + 0,1) 1 = ,1 = Já o título que vence em 3 anos sofrerá uma operação de desconto racional composto. Ou seja: N = A.(1 + i) n = A.(1 + 0,1) 1 A = ,1 = Portanto, o título T será a soma dos dois títulos no ano 2 = = Resposta: Letra D. Questão 8 FCC/MPU/Analista - Atuarial/2007 A taxa de um empréstimo tomado por 2 (dois) anos no Banco Esperança S.A. é de 36% a.a.. Considerando que o banco capitalizará a taxa bimestralmente, a taxa efetiva do contrato será de Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 51,2196% (B) 101,2196% (C) 151,5456% (D) 201,2196% (E) 251,5456% Na questão, tem-se que a taxa é de 6% ao bimestre. Precisamos saber sua equivalente em um período de 2 anos. Se um ano possui 6 bimestres, 2 anos possuem 12 bimestres. Colocando na equação: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,06) 12 A FCC fornece costuma fornecer em provas fiscais (no ISS 2007, por exemplo, ela forneceu) uma tabela de (1 + i) n, para diversas combinações de i e n. Prof. Karine Waldrich 23

24 No caso desta questão, por exemplo, bastaria consultar a tabela, cruzando a linha de i = 6% e a coluna de n = 12. Na prova em análise (de analista atuarial do MPU), ela não forneceu a tabela. Acredito que tenha sido porque Matemática Financeira constava dos conhecimentos específicos da prova (a exigência era maior). Acredito que na prova do ISS ela forneça a tabela. (1 + I) = 2, I = 2, = 1, = 101,2196% Portanto, a taxa a ser colocada no contrato é de 101,2196%. Resposta: Letra B. Questão 9 FCC/MPU/Analista/2007 A taxa efetiva anual de uma aplicação financeira com taxa de juros de 36% a.a. capitalizada semestralmente e capitalizada mensalmente são, respectivamente, de Dado: Considere até a quarta casa decimal (A) 42,5760% e 39,2400% (B) 31,1458% e 33,2118% (C) 36,0000% e 26,2477% (D) 39,2400% e 42,5760% (E) 33,2118% e 31,1458% Nessa questão, novamente, o examinador fornece a taxa anual nominal e pede a taxa anual efetiva. No primeiro caso, a taxa é capitalizada semestralmente. Um ano possui 2 semestres. Temos: Taxa efetiva semestral = Taxa nominal anual capitalizada semestralmente/2 Taxa efetiva semestral = 36/2 = 18% ao semestre. Para transformar de taxa efetiva semestral para taxa efetiva anual, utilizamos a equação das taxas equivalentes: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,18) 2 Prof. Karine Waldrich 24

25 (1 + I) = 1,3924 I = 1, = 0,3924 = 39,24% Com isso, já conseguimos responder à questão. Letra D. Mas, como é aula, vamos continuar para ver como é o cálculo da taxa nominal anual capitalizada mensalmente. Primeiramente, um ano possui 12 meses, assim: Taxa efetiva mensal = Taxa nominal anual capitalizada mensalmente/12 Taxa efetiva mensal = 36/12 = 3% ao mês. Novamente, utilizamos a equação das taxas equivalentes para encontrar a taxa efetiva anual: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,03) 2 (1 + I) = 1, I = 0, = 42,5761% Resposta: Letra D. Questão 10 FCC/MPU/Analista/2007 Antônio Tomador vai fazer empréstimo por 2 (dois) anos, tendo a opção de pagar juros mensais ou juros semestrais equivalentes. Considerando que o juro mensal é de 2%, o juro semestral equivalente é (A) 12, % (B) 12, % (C) 12, % (D) 12, % (E) 12, % Questão em que usamos a equação das taxas equivalentes. A taxa mensal é de 2%, um semestre tem 6 meses, a taxa semestral é: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,02) 6 Prof. Karine Waldrich 25

26 1 + I = 1, ICMS-SP RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO I = 0, = 12,6162% ao semestre. Resposta: Letra E. Questão 11 FCC/MPU/Analista/2007 A taxa equivalente trimestral, para uma taxa de empréstimo mensal de 6,5%, é de (A) 20,794963% (B) 19,500000% (C) 2,166667% (D) 2,121347% (E) 1,166667% Questão igual à anterior. O examinador pede a taxa equivalente trimestral à taxa mensal dada. Lembrando que 1 trimestre = 3 meses: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,065) I = 1,20795 I = 0,20795 = 20,795% ao trimestre. Resposta: Letra A. Prof. Karine Waldrich 26

27 Questão 12 FCC/DNOCS/Administrador/2010 Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ ,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ ,00 por: (A) (B) (C) (D) (E) Um empréstimo de R$ deverá ser pago após 18 meses. Até aí, simples. Basta colocar na equação de juros compostos que vimos na aula 0 (VF = VP.(1+i) n ) No entanto, a taxa dada é de 24% ao ano, com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal é (lembrando que 1 ano = 12 meses): Taxa efetiva mensal = Taxa anual capitalizada mensalmente/12 Taxa efetiva mensal = 24/12 = 2% ao mês. Com a taxa correta, colocamos na equação de juros compostos: VF = VP.(1 + i) n VF = (1 + 0,02) 18 VF = (1,02) 18 A questão pede os juros pagos, em uma equação em que está multiplicada por algo, que é a resposta. Os juros são a diferença entre VF e VP: VF VP = (1,02) = 25000[(1,02) 18 1] Prof. Karine Waldrich 27

28 Portanto, a resposta é a letra A. Resposta: Letra A. Questão 13 FCC/DNOCS/Administrador/2010 A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva de (A) (B) (C) (D) (E) 9% ao trimestre. [(1,03) 2-1] ao bimestre. 12. [(1,36) 1/12-1] ao ano. ao semestre. Uma taxa de juros nominal de 36% ao ano, capitalizada mensalmente, corresponde a seguinte taxa efetiva mensal: Taxa efetiva mensal = Taxa nominal anual capitalizada mensalmente/12 Taxa efetiva mensal = 36/12 = 3% ao mês. Já podemos descartar a letra A, pois, se estamos em regime de juros compostos, é claro que a taxa trimestral será maior do que simplesmente 3 x 3 = 9% ao trimestre. Vamos começar do mais fácil. Fazemos a alternativa que fala sobre a taxa bimestral, depois usamos a taxa bimestral para calcular a semestral, e assim por diante. Taxa equivalente bimestral: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,03) 2 I = 1, É exatamente o que diz a alternativa B. Resposta: letra B. Prof. Karine Waldrich 28

29 Questão 14 FCC/SEFAZ-PB/Auditor-fiscal/2006 Um capital no valor de R$ ,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,05 (E) R$ ,00 Antes de passar ao próximo assunto, vamos falar sobre a convenção linear. As taxas de juros compostos que vimos até agora seguem a convenção exponencial (a equação VF = VP.(1 + i) n, com o expoente). Há uma outra maneira de calcular os juros compostos, que às vezes cai em concurso e se chama convenção linear. É muito simples. Na convenção linear, os períodos inteiros continuam sendo calculados seguindo a maneira acima, e os períodos não-inteiros seguem um regime de juros simples. A equação da convenção linear, resultado do que foi falado acima, é: VF = VP.(1 + i) n.(1 + i.n) O primeiro n refere-se aos períodos inteiros, já o segundo n refere-se aos períodos fracionários. Nesta questão, portanto, a taxa é anual e o período é de 2 anos e 3 meses. O primeiro n irá se referir ao período inteiro, ou seja, 2 anos. Já o segundo n irá se referir ao período que é uma fração de ano, ou seja, os 3 meses. 3 meses, como um ano possui 12 meses, representam 3/12 = 0,25 ano. Colocando na equação: VF = (1 + 0,1) 2.(1 + 0,1.0,25) VF = ,21.(1 + 0,025) = Prof. Karine Waldrich 29

30 A convenção linear, por capitalizar o período fracionário em regime de juros simples, sempre resulta num VF menor do que a convenção exponencial. Resposta: Letra C. Questão 15 FCC/TRE-RN/Analista/2011 Um investimento no valor de R$ ,00 é realizado no início de um determinado ano. No final deste ano, o montante referente a este investimento é resgatado totalmente, e o seu valor foi de R$ ,00. Se a taxa de inflação no período deste investimento foi de 12%, então a taxa aparente e a taxa real correspondentes no mesmo período foram iguais a, respectivamente, (A) 18,50% e 7,28%. (B) 18,50% e 6,50%. (C) 19,28% e 7,28%. (D) 19,28% e 6,78%. (E) 19,28% e 6,50%. Essa questão trata de conceitos que estão na moda: a taxa aparente e a taxa real. Primeiramente, calculamos a taxa aparente, da maneira que costumamos fazer: VF = VP.(1 + i) n = (1 + i) = i i = 38560/ = 0,1928 = 19,28% = taxa aparente. O aumento devido à inflação (12%) foi de: Aumento inflação = VP.(1 + inf) n Aumento inflação = (1 + 0,12) 1 Aumento inflação = 1, = Portanto, é como se o VP não fosse , e sim Sabendo isso, vamos calcular a taxa real: VF = VP.(1 + i) n = (1 + i r ) 1 Prof. Karine Waldrich 30

31 = i r i r = i r = 0,065 = 6,5% = taxa real. Portanto, a taxa real foi de 6,5%. A resposta é a letra E. Resposta: Letra E. Questão 16 ESAF/CVM/Inspetor/2010 Pretende-se trocar uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra série equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento da segunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês. a) R$ 750,00 b) R$ 693,00 c) R$ 647,00 d) R$ 783,00 e) R$ 716,00 A FCC não tem muitas questões apenas de Fator de Valor Atual, pois ela costuma cobrá-lo dentro das questões de Sistema de Amortização Constante (SAC). Veremos algumas adiante. Percebam o que ocorre nesta questão. Ele possui uma série de 8 pagamentos, e quer trocar por outra série, mas de 12 pagamentos. Para resolver, o que se deve fazer é escolher um tempo X e igualar os dois financiamentos. Eles devem ser iguais, sempre. Temos que o primeiro financiamento é: Prof. Karine Waldrich 31

32 PV R$ 1.000,00 O financiamento proposto (para substituir o primeiro) é: VP PMT Então, em qualquer período, os dois financiamentos devem ser financeiramente iguais. Devemos escolher uma data e igualar os financiamentos, calculando qual o valor da parcela mensal do segundo financiamento que o torna financeiramente igual ao primeiro. Qual a melhor data a escolher? Eu acho mais fácil utilizar a data inicial do financiamento (data do PV), porque, neste caso, só usamos uma equação. Vou mostrar para vocês. Qual o valor do financiamento no primeiro dia dele? Ou seja, qual o valor do VP? Resposta: 1000.A(8,2) E o do financiamento proposto? Qual o valor dele no primeiro dia? Resposta: PMT.A(12,2) Prof. Karine Waldrich 32

33 Basta igualarmos ambas para saber qual o valor de PMT do segundo financiamento: 1000.A(8,2) = PMT.A(12,2) 1000.(7,325) = PMT.(10,58) 7325 = 10,58.PMT PMT = 692,33. O valor mais próximo é de 693,00. Letra B. Resposta: Letra B. Questão 17 FCC/MPE-RS/Assessor-Administração/2008 Uma pessoa deposita no início de cada mês R$ ,00, durante 3 meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, com capitalização mensal. O valor que esta pessoa terá que complementar ao seu montante, imediatamente após a realização do último depósito, para comprar um carro à vista no valor de R$ ,00, é igual a (A) R$ 4.699,00. (B) R$ 4.090,97. (C) R$ 3.781,88. (D) R$ 4.495,98. (E) R$ 4.292,96. Se na questão anterior vimos o Fator de Valor Atual, que nos mostra qual o valor hoje de uma série de pagamentos e recebimentos futuros, nessa questão veremos o Fator de Valor Futuro, que mostra o valor no futuro de uma série de pagamentos. O enunciado diz que a pessoa deposita R$ no início de cada mês, durante três meses, e que o objetivo é possuir um valor X imediatamente após o último depósito. É uma aplicação que rende um dinheiro no futuro. Um casal que quer comprar uma casa, por exemplo. Ela propõe 3 pagamentos, que vão gerar um montante futuro, a ser complementado até o valor de reais. O esquema abaixo detalha a operação: Prof. Karine Waldrich 33

34 E, ao final, se retira o valor total de X reais, posteriormente complementado até São feitos 3 depósitos de reais A questão quer saber um valor futuro. Então, vamos usar a equação do Fator de Valor Futuro. Percebam que, aqui, nem precisaremos ajeitar a equação, visto que a questão quer saber o valor imediatamente após o depósito da última parcela. Além disso, a questão diz que a taxa é de 12% ao ano, com capitalização mensal. Ou seja, para sabermos o valor da taxa mensalmente, devemos dividir 12 pelo número de meses contidos em um ano. Como um ano contém 12 meses, a taxa mensal é de 12/12 = 1% ao mês. Assim, temos: VF = PMT.(S(n,i)) VF = (S(3,1)) O valor S(3,1) pode ser encontrado na tabela: n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% ,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,1 2,12 2,15 2,18 3 3,0301 3,06 3,091 3,122 3,153 3,184 3,215 3,246 3,278 3,31 3,374 3,473 3,572 VF = ,0301 VF = Prof. Karine Waldrich 34

35 Ao final dos três meses, portanto, a pessoa terá de complementar = 4699 ao montante, para adquirir o carro de reais. Gabarito: Letra A Prof. Karine Waldrich 35

36 Questão 18 FCC/SEFAZ-PB/Auditor Fiscal de Tributos Municipais/2006 Utilize a tabela financeira abaixo (Taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal) FAC (Fator de Acumulação de Capital, Pagamento Único) = (1,02) n FAC (Fator de Acumulação de Capital, Série de Pagamentos Iguais) = FRC (Fator de Recuperação de Capital, Série de Pagamentos Iguais) = Para o cálculo do Fator de Valor Atual (FVA), Série de Pagamentos Iguais, considerar FVA = Paulo comprou um automóvel em 10 prestações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 4.400,00 cada uma, vencendo a primeira 1 mês após a data da compra. A agência de automóveis trabalha com uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Se Paulo propusesse à agência quitar a dívida em 15 prestações, vencendo também a primeira 1 mês após a data da compra, o valor da prestação seria de (A) R$ 3.140,00 (B) R$ 3.200,00 (C) R$ 3.360,00 (D) R$ 3.410,00 (E) R$ 3.600,00 Essa questão é sobre o Fator de Valor Atual. É interessante porque ela traz as equações, com uma nomenclatura diferente. Vamos ver: Prof. Karine Waldrich 36

37 FAC (Fator de Acumulação de Capital, Pagamento Único) = (1,02) n Esse é o nosso (1 + i) n, que utilizamos na equação de juros compostos. Como há apenas um VP gerando o VF, a questão chamou de pagamento único. FAC (Fator de Acumulação de Capital, Série de Pagamentos Iguais) = Esse é o Fator de Valor Futuro. Ocorrem vários pagamentos iguais (o PMT) gerando um VF. FRC (Fator de Recuperação de Capital, Série de Pagamentos Iguais) =. Para o cálculo do Fator de Valor Atual (FVA), Série de Pagamentos Iguais, considerar FVA = Esse é o Fator de Valor Atual. Mas a questão o colocou em função de outro fator, que ela chamou de Fator de Recuperação de Capital. O que importa é que, se formos usar o Fator de Valor Atual, devemos dividir o valor de FRC por 1, antes de utilizar na equação. Passemos à análise do enunciado. Paulo comprou um carro em 10x 4400, com a primeira prestação 1 mês após a compra: VP R$ 4.400,00 Paulo propõe um financiamento para substituir o primeiro. Ao invés de 10, 15 parcelas: VP Prof. Karine Waldrich 37

38 PMT Em qualquer data os dois financiamentos devem ser iguais. Portanto, escolhemos uma data e igualamos os financiamentos. Como disse, acho mais conveniente escolher a data zero, pois, como VP = PMT.A(n,i), os cálculos ficam simplificados. Na data zero, o primeiro financiamento vale VP = 4400.A(10,2) O segundo financiamento vale PMT.A(15,2) Basta igualarmos ambas para saber qual o valor de PMT do segundo financiamento: 4400.A(10,2) = PMT.A(15,2) Os valores de A(10,2) e A(15,2) vamos retirar da tabela. No entanto, a tabela traz um outro fator, que deve ser dividido por 1 para que se chegue no Fator de Valor Atual. Temos: A(10,2) ---> Vamos na tabela e encontramos que o valor para n = 10 é 0,11. Mas esse é o valor de FRC. É dito que o Fator de Valor Atual = A = 1/FRC. Então, A(10,2) = 1/0,11 A(15,2) ---> Na tabela, FRC para n = 15 é 0,08. Assim, A(15,2) = 1/0,08 = 12,5. Colocando os valores na equação: ,11 = PMT.12,5 PMT = ,5 = Prof. Karine Waldrich 38

39 Resposta: Letra B. ICMS-SP RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Questão 19 FCC/DNOCS/Administrador/2010 Um investidor deposita R$ ,00 no início de cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,20. (E) R$ ,00. Mais uma questão em que usamos o Fator de Valor Futuro. São feitos 4 depósitos, cada um no início de cada ano. A questão quer saber qual o valor futuro dos depósitos quando é feito o quarto depósito: E, ao final, se retira o valor total de X reais São feitos 4 depósitos de reais A questão quer saber um valor futuro. Portanto, usamos o Fator de Valor Futuro. VF = PMT.S(n,i) VF = S(4,10) N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% ,06 4,122 4,184 4,246 4,31 4,375 4,44 4,506 4,573 4,641 4,779 4,993 5,215 Prof. Karine Waldrich 39

40 VF = ,641 VF = A resposta é a letra C. Resposta: Letra C. Questão 20 FCC/SEFAZ-SP/Agente Fiscal de Rendas/2009 Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ ,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 São feitos 3 depósitos, cada um no início de cada ano. A questão quer saber qual o valor futuro dos três depósitos 3 anos após da data do primeiro depósito. Vejam, 3 anos após o primeiro depósito é: 1 ano 2 anos 3 anos E, ao final, se retira o valor total de reais São feitos 3 depósitos de X Nessa questão, usamos a equação alternativa do Fator de Valor Futuro. Isso porque a data de retirada de VF é um mês após o último depósito, e não na mesma data do último depósito. Prof. Karine Waldrich 40

41 Portanto: VF = PMT.(S(n+1,i) 1) = PMT.[S(3+1,10) 1] Procurando o valor de S(4,10) na tabela: TABELA: FATOR DE VALOR FUTURO S(n,i) N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% ,06 4,122 4,184 4,246 4,31 4,375 4,44 4,506 4,573 4,641 4,779 4,993 5, = PMT.[4,641 1] = PMT.[3,641] PMT = A resposta é a letra E. Resposta: Letra E. Prof. Karine Waldrich 41

42 Questão 21 FCC/BB/Escriturário/2009 Um investidor realiza depósitos no início de cada mês, durante 8 meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Os valores dos 4 primeiros depósitos foram de R$ 1 000,00 cada um e dos 4 últimos R$ 1 250,00 cada um. No momento em que ele efetua o oitavo depósito, verifica que o montante que possui no banco é M, em reais. Utilizando os dados da tabela acima, tem-se, então, que (A) < M (B) < M <= (C) < M <= (D) < M <= (E) < M <= Nessa questão, temos parcelas com valores diferentes. O fluxo de caixa é: VF R$ R$ 1250 Prof. Karine Waldrich 42

43 Como as parcelas possuem valores diferentes, vamos fazer o cálculo por partes: Parte 1) Cálculo do montante gerado pelos depósitos de 1000 na data 4 (do último depósito de 1000). Parte 2) Cálculo da capitalização do montante acima, da data 4 para a data 8. Parte 3) Cálculo do montante gerado pelos depósitos de 1250 na data 8. Parte 4) Soma da parte 3 com parte 4. Vamos à resolução: Parte 1) Cálculo do montante gerado pelos depósitos de 1000 na data 4 (do último depósito de 1000). Temos que, na data 4: VF = PMT.S(n,i) A taxa dada foi de 24% ao ano com capitalização mensal. Sabemos que: Taxa Efetiva do Período X = Taxa nominal do período Y capitalizada em X Períodos de X em Y Portanto, a taxa efetiva mensal é de 24/12 = 2% ao mês. Assim: VF = PMT.S(n,i) VF = 1000.S(4,2) A tabela foi dada pela questão. Tem-se que, para uma série de pagamentos iguais, na linha correspondente a 4 períodos, S = 4,12: Prof. Karine Waldrich 43

44 VF = ,12 = Parte 2) Cálculo da capitalização do montante acima, da data 4 para a data 8. O valor acima se torna o VP na data 4, a ser capitalizado até a data 8: VF = VP.(1 + i) n VF = 4120.(1 + 0,02) 4 A tabela fornece o valor da equação acima (Fator de Acumulação de Capital para Pagamento único). Para n = 4,.(1 + 0,02) 4 = 1,08: VF = 4120.(1,08) = 4449,6 Parte 3) Cálculo do montante gerado pelos depósitos de 1250 na data 8. VF = PMT.S(n,i) São 4 pagamentos, da data 5 até a data 8. Portanto, n = 4. VF = 1250.S(4,2) VF = ,12 = Parte 4) Soma da parte 3 com parte 4. A questão chama VF de M. M = 4449, = 9599,6. Resposta: Letra E. Prof. Karine Waldrich 44

45 Questão 22 FCC/SEFAZ-SP/Agente Fiscal de Rendas/2009 A tabela abaixo apresenta os valores dos Fatores de Recuperação de Capital (FRC) para a taxa de juros compostos de 2% ao período: O preço de venda de um equipamento é igual a R$ ,00. Ele pode ser adquirido por uma das seguintes opções: I) À vista, com 10% de desconto sobre o preço de venda. II) Em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra. Utilizando o critério do desconto racional composto a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, tem-se que o valor de cada prestação da opção II que torna equivalentes, no ato da compra, os pagamentos efetuados pelas duas opções é, desprezando os centavos, igual a (A) R$ 9.500,00 (B) R$ 9.180,00 (C) R$ 8.550,00 (D) R$ 8.330,00 (E) R$ 8.150,00 Essa questão compara dois pagamentos. O primeiro é o pagamento à vista, com 10% de desconto. Ou seja, ao invés de pagar , o sujeito pagará Opção I = Já o segundo pagamento compreende 12 pagamentos mensais, com início no próprio ato da compra: Prof. Opção Karine I Waldrich =

46 Opção II = 12 pagamentos começando no ato da compra Observem que a questão não pede o valor das parcelas em relação ao preço de venda do produto, e sim em relação à Opção I, que é o preço de venda com o desconto à vista. Portanto, temos de igualar esse fluxo de caixa. Como a equação do Fator de Valor Atual deve ser utilizada com a série de pagamentos começando no mês seguinte ao VP, iremos considerar que, ao invés de 12 parcelas, são 11 parcelas. E vamos descontar o valor da primeira parcela dos iniciais. Da seguinte forma: PMT PMT (n = 11) Portanto, a igualdade fica: PMT = PMT.A(11,2) Agora, mais um detalhe. A questão forneceu apenas a tabela do Fator de Recuperação de Capital. Vimos, em questão anterior, que o Fator de Valor Atual = 1/FRC. Nessa questão, isso não é dito, portanto, gravem isso, pois é um conhecimento importante para a FCC. Prof. Karine Waldrich 46

47 Precisamos de A(11,2). Pela tabela, FRC(11,2) = 0,102. Assim, A(11,2) = 1/0, PMT = PMT. 0,102 PMT = 0,102.(90000 PMT) PMT = ,102PMT 1,102PMT = 9180 PMT = 8330,31. A questão pede que os centavos sejam desprezados. A resposta é a letra D. Resposta: Letra D. Questão 23 FCC/TRE-AP/Analista Judiciário/2011 Uma pessoa adquiriu um imóvel no valor de R$ ,00. As economias feitas durante 3 anos possibilitaram que ela desse uma entrada de R$ ,00. Para pagar o saldo devedor contratou com uma instituição financeira um financiamento com sistema de amortização constante (SAC). Sabendo que o financiamento será pago em 10 anos, com prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a data da contratação da dívida, e que a taxa de juros cobrada pela instituição foi de 1% ao mês, os valores da segunda e da terceira prestações foram, respectivamente, em reais, de (A) e (B) e (C) e (D) e (E) e Com essa questão, começamos o assunto de Sistemas de Amortização. Começando pelo Sistema de Amortização Constante SAC. Tem-se que um imóvel de foi comprado, e foi paga uma entrada de Portanto, financiou-se o valor de Prof. Karine Waldrich 47

48 A J A J A J A +J A questão pergunta o valor da segunda e da terceira prestações. A amortização é constante, e o empréstimo dura 10 anos. Portanto, temos: A = PV/n = /10 = ao ano = 1000 ao mês. Cálculo da segunda prestação: Na segunda prestação, será pago o valor da amortização (1000), mais os juros referentes ao saldo devedor remanescente da primeira prestação. O saldo devedor, no início do financiamento, era de Na primeira prestação, foi pago Ou seja, o saldo devedor remanescente da primeira prestação é = Sobre esse valor, incidirão os juros, a serem pagos na segunda prestação. Portanto, os juros são: J = ,01 = Assim, a segunda prestação é de A + J = = Já sabemos que a resposta é a letra C. Vamos continuar para aprender: Cálculo da terceira prestação: Para a terceira prestação, tem-se um saldo devedor de = Os juros são: J = ,01 = Portanto, a terceira prestação é de = Prof. Karine Waldrich 48

49 Resposta: letra C. ICMS-SP RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Questão 24 FCC/SEFAZ-SP/Agente Fiscal de Rendas/2009 Uma dívida decorrente de um empréstimo deverá ser liquidada por meio de 120 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo. Considerando que foi utilizado o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês, verifica-se que o valor da última prestação é igual a R$ 1.275,00. O saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 50a prestação, é (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 A última parcela de uma prestação financiada pelo SAC é muito simples. Ela é a última Amortização com os juros referentes. Ou seja, 1275 = A + J. J são os juros referentes à própria amortização A, com uma taxa de 2% am. J = A.i = A.0,02 Assim: Ou seja, 1275 = A + A.0,02 1,02A = 1275 A = Agora, analisamos a parcela pedida na questão. Dissemos, na questão anterior, que o saldo devedor do SAC funciona como uma Progressão Aritmética. Na primeira parcela, o saldo devedor é VP A, na segunda VP 2A, na décima VP 10A... Assim por diante. Portanto, o saldo devedor logo após o pagamento da 50 a prestação é VP 50A. Já o valor presente VP do empréstimo é a 120A, justamente porque a amortização é constante, e o empréstimo possui 120 parcelas. Prof. Karine Waldrich 49

50 Assim, o saldo logo após o pagamento da 50 a prestação é 120A 50A = 70A. 70A = = Resposta: Letra A. Questão 25 FCC/SEFIN-RO/Auditor Fiscal de Tributos Estaduais/2010 A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26a prestação é igual a (A) R$ 3.500,00 (B) R$ 3.550,00 (C) R$ 3.600,00 (D) R$ 3.650,00 (E) R$ 3.700,00 Questão igual à anterior, com a diferença que pede o valor da prestação, e não do saldo devedor. A última prestação é a última Amortização com os juros referentes. Ou seja, 2550 = A + J. J são os juros referentes à própria amortização A, com uma taxa de 2% am. J = A.i = A.0,02 Assim: Ou seja, 2550 = A + A.0,02 1,02A = 2550 A = Para saber o valor da 26 a prestação, é preciso saber o saldo devedor logo após o pagamento da 25 a prestação, que é VP 25A. Já o valor presente VP do empréstimo é a 48A, justamente porque a amortização é constante, e o empréstimo possui 48 parcelas. Assim, o saldo logo após o pagamento da 25 a prestação é 48A 25A = 23A. Prof. Karine Waldrich 50

51 A 26 a prestação será composta da amortização (2500), mais os juros sobre o saldo devedor da 25 a prestação. J = SD.i = 23A.0,02 = ,02 = Portanto, a 26 a parcela é de = Resposta: Letra D. Questão 26 FCC/SEFAZ-SP/APOFP/2010 Uma dívida no valor de R$ ,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de (A) R$ ,15 (B) R$ ,85 (C) R$ ,70 (D) R$ ,85 (E) R$ ,15 O Sistema Price nada mais é do que vimos até agora. Portanto, nessa questão, primeiramente calculamos o PMT, como sempre fazemos: VP = n = 20 i = 2,5%am VP = PMT.A(n,i) = PMT.A(20,2,5) A questão diz que FRC(20,2,5) = 1/A(20,2,5) = 0, = PMT. 0, Prof. Karine Waldrich 51

52 PMT = 2566 Na primeira prestação, são pagos juros referentes a todo o VP. Ou seja: J = VP.i = ,025 = Portanto, se a parcela é de 2566, e 1000 são juros, a diferença = 1566 representa a amortização da primeira parcela. Já a segunda prestação sofre juros que incidem sobre o saldo devedor após a primeira prestação. Esse saldo devedor é = Assim, os juros da segunda prestação são: J = VP.i = ,025 = 960,85. E a amortização é PMT J = ,85 = 1605,15. Portanto, o saldo devedor após o pagamento dessa parcela é ,15 = 36828,85. Resposta: letra B. Questão 27 FCC/MPU/Analista/2007 O montante de um empréstimo de R$ ,00, tomado pelo Sistema Francês (tabela Price) de amortização, com carência de 3 anos e juros de 6% a.a., a ser pago no final da carência, é de (em R$) (A) ,00 (B) ,32 (C) ,86 (D) ,00 (E) ,54 O Sistema Price é o que já vimos durante toda a aula. Portanto, basta fazer: VF = VP.(1 + i) n VF = (1 + 0,06) 3 VF = , = 23820,32 Resposta: Letra B. Prof. Karine Waldrich 52

53 Questão 28 FCC/BB/Escriturário/2006 Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ ,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é (A) R$ 273,30 (B) R$ 272,70 (C) R$ 270,00 (D) R$ 266,70 (E) R$ 256,60 Mais uma questão sobre o Sistema Price. VP = n = 10 i = 24/12 = 2% ao mês. VP = PMT.A(n,i) = PMT.A(10,2) A(10,2) = 1/FRC(10,2) = PMT. 0,111 PMT = Assim, na primeira prestação, A + J = E J: J = PV.i = ,02 = 300 A = = 1365 Portanto, os juros da segunda prestação incidirão sobre o saldo devedor após o pagamento da primeira, que é = Prof. Karine Waldrich 53

54 J = ,02 = 272,7. Resposta: Letra B. Questão 29 ESAF/CVM/Inspetor/2010 Um certo número de bônus de valor de face de USD, e constituído por 12 cupons semestrais no valor de 50 USD cada um, é lançado por uma empresa no mercado internacional com o objetivo de levantar um empréstimo. A empresa se compromete a pagar o valor de cada cupom no fim de cada semestre e o valor de face do bônus ao fi m de seis anos juntamente com o valor do último cupom. Caso cada bônus seja vendido hoje por 841,15 USD, já descontadas as despesas de lançamento, qual o valor mais próximo da taxa de juros paga pela empresa lançadora do bônus? a) 4% ao semestre. b) 5% ao semestre. c) 7% ao semestre. d) 6% ao semestre. e) 8% ao semestre. Essa questão é sobre o Sistema Americano. O desenho abaixo mostra o fluxo de caixa para o esquema proposto no enunciado: Valor de face = 1000 Valor pago efetivamente = 841,15 (houve deságio) J Valor de face + juros Assim, o que temos de fazer é igualar a parte de cima do fluxo de caixa (os pagamentos do investidor) com a parte de baixo do fluxo de caixa (os recebimentos do investidor). Lembrando que devemos escolher a data que mais simplifique os cálculos. Normalmente, essa data ou é a primeira do fluxo ou é a última (porque, na maioria das vezes, já sabemos quanto o título vale nessas datas). Aqui, vamos transpor tudo para o último dia do fluxo (poderíamos trazer tudo para o primeiro dia também). Prof. Karine Waldrich 54

55 Temos, então: Parte de cima do fluxo de caixa = 841,15.(1 + i) 12 Parte de baixo do fluxo de caixa = 50.S(12,i) Igualando: 841,15.(1 + i) 12 = 50.S(12,i) E agora, como saber a resposta? O i está presente em 2 termos da equação, não tem como juntar e isolá-lo. Bem, pessoal, o jeito foi pegar as alternativas e substituir na equação (por exemplo, a primeira alternativa fala em 4% ao semestre. Você vai nas tabelas dadas e pega os valores referentes a i = 4% e n = 12). Se a alternativa estiver correta, ela representará uma igualdade. Trabalhoso isso, não é? Eu pularia a questão e voltaria se desse tempo, porque esses algebrismos na hora da prova são realmente um saco. Bem, fazendo isso que eu falei, você encontrará que 7% é a resposta correta: 841,15.(1 + 0,07) 12 = 50.S(12,7) ,15.2,2522 = 50.17, = = 1894 Bem, essa questão complicou um pouquinho porque o que foi pedido foi a taxa. Mas nem sempre é assim, e elas costumam ser questões fáceis de serem resolvidas na prova. Resposta: Letra C. Prof. Karine Waldrich 55

56 Questão 30 FCC/SEFAZ-SP/APOFP/2010 O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna de retorno igual a 20% ao ano. O valor de X é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 A definição da TIR Taxa Interna de Retorno, é ser a taxa que faz com que o VPL Valor Presente Líquido de um projeto seja igual a zero. Primeiramente, vou definir o VPL. O Valor Presente Líquido é o somatório de todas as entradas e saídas de um fluxo de caixa na data zero. Quando esse VPL = 0, significa que o projeto nem auferiu lucro, nem obteve prejuízo. Ele empatou. Já a TIR é a Taxa que torna o VPL = 0. Ou seja, com a TIR, o projeto não dá nem lucro, nem prejuízo, ele empata. Para um projeto dar lucro, portanto, a taxa a ser obtida no mercado deve ser sempre MENOR do que a TIR. Se for maior, o projeto dará prejuízo. Portanto, quando ouvirem falar da TIR, lembrem disso: é a taxa que eu preciso ter para um investimento valer a pena. Prof. Karine Waldrich 56

57 Nessa questão, se a TIR = 20%, então, a uma taxa de 20%, o somatório das entradas e das saídas do projeto na data zero (o VPL) será igual a zero. Assim, devemos trazer todos os recebimentos e pagamentos para a data zero: Saídas = Investimento Inicial = 5X Entradas = X (na data 1), 2X (na data 2), 3X (na data 3) Vamos trazer X, da data 1, para a data zero: VF = VP.(1 + i) n X = VP.(1 + 0,2) 1 X VP = 1,2 Trazendo 2X, da data 2, para a data zero: VF = VP.(1 + i) n 2X = VP.(1 + 0,2) 2 2X VP = 2 1,2 Trazendo 3X, da data 3, para a data zero: VF = VP.(1 + i) n 3X = VP.(1 + 0,2) 3 Prof. Karine Waldrich 57

58 3X VP = 3 1,2 Igualando as entradas e saídas (é o mesmo que somando todas e igualando a zero): Entradas = Saídas X 2X 3X = 5X ,2 1,2 1,2 1,2 X + 1,2.2X + 3 X = (5X 13500).1,2 3 1, ,2 X + 1,2.2X + 3 X = (5X 13500).1, , 44X + 2,4X + 3X = 8,64X ,8X = X = Portanto, X vale R$ A resposta é a letra D. Resposta: Letra D. Prof. Karine Waldrich 58

59 Questão 31 FCC/SEFAZ-SP/APOFP/2010 A seguir são apresentados os valores presentes líquidos (NPV), em reais, de quatro projetos de investimento, admitindo-se diferentes taxas anuais de desconto (taxa mínima de atratividade - TMA): De acordo com as informações acima, é correto afirmar que (A) (B) (C) (D) (E) a taxa interna de retorno do Projeto D é maior do que a do Projeto C. a taxa interna de retorno do Projeto B é maior do que a do Projeto A. o Projeto C é economicamente viável, para todas as TMA dadas. o Projeto A é mais rentável que o Projeto D, para qualquer TMA. o Projeto C é mais rentável que o Projeto B, para qualquer TMA. Essa questão pede que analisemos 4 projetos. TMA = Taxa anual de desconto = Taxa mínima de atratividade, é a taxa de juros de um projeto. Percebam que, na tabela, ela varia. Ou seja, a tabela traz o VPL para cada projeto, e esse VPL varia para cada taxa que é utilizada. Vamos direto para as alternativas: (A) a taxa interna de retorno do Projeto D é maior do que a do Projeto C. Para uma mesma taxa, o VPL do projeto D é sempre maior do que o do projeto C. Isso significa que o saldo entre as entradas e as saídas do projeto D é sempre maior do que o do projeto C, ou seja, ele é mais lucrativo, possui mais entradas. Prof. Karine Waldrich 59

60 Quanto mais lucrativo um projeto, maior sua taxa interna de retorno, ou seja, maior a taxa que o investimento inicial pode possuir, pois, mesmo com a taxa alta, o projeto dará lucro. Alternativa Correta. (B) a taxa interna de retorno do Projeto B é maior do que a do Projeto A. Falso. Para uma mesma taxa, o VPL de B é sempre menor que o de A. (C) o Projeto C é economicamente viável, para todas as TMA dadas. Um projeto é economicamente viável quando seu VPL > 0. Para a taxa de 30%, o VPL de C é negativo, ou seja, ele não é viável. Falso. (D) o Projeto A é mais rentável que o Projeto D, para qualquer TMA. Falso. O projeto D é sempre mais rentável, pois seu VPL é sempre maior que o de A, para qualquer taxa. (E) o Projeto C é mais rentável que o Projeto B, para qualquer TMA. Falso. O projeto C é sempre mais rentável que B. Resposta: Letra A. Pessoal, finalizamos por aqui a nossa aula. Nos vemos no fórum de dúvidas. Karine Prof. Karine Waldrich 60

61 3. Memorex ICMS-SP RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Desconto Racional Simples D racional = N A N = A.(1 + i simples.n) Desconto Racional Composto D racional = N A N = A.(1 + i compostos ) n Desconto Comercial Simples D comercial = N.i.n A = N.(1 i.n) Desconto Comercial Composto D comercial = N N(1 i) n A = N(1 i) n Taxa Efetiva = Taxa Nominal/Período. (1 + I) = (1 + i) K VP = PMT.A(n,i) VF = PMT.S(n,i) VF = PMT.[S(n+1,i) 1] (para montante um mês após a última parcela) Sistema Price Sistema SAC Sistema Americano Prestações iguais; Juros decrescentes; Amortização crescente. Prestações decrescentes; Juros decrescentes; Amortização constante. Juros pagos durante o período; Amortização paga ao final junto com a última parcela de juros. Prof. Karine Waldrich 61

62 4. Lista das questões comentadas Questão 1 FCC/TRE-RN/Analista/2011 O valor atual de um título, descontado 3 meses antes de seu vencimento, é igual a R$ ,30. A taxa de desconto utilizada foi de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Caso a operação tivesse sido a de desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, o valor atual do título seria igual a, em R$, (A) ,00. (B) ,00. (C) ,00. (D) ,00. (E) ,00. Questão 2 FCC/DNOCS/Administrador/2010 Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira: Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a (A) R$ 1.260,00. (B) R$ 1.268,80. (C) R$ 1.272,60. (D) R$ 1.276,40. (E) R$ 1.278,90. Questão 3 FCC/MPU/Analista/2007 A taxa mensal de Desconto por Fora, a juros simples, que a empresa Insolvente Ltda. realizou em uma operação de desconto de 80 dias, de um título de R$ 2.400,00, na qual a empresa obteve R$ 1.800,00, foi de Prof. Karine Waldrich 62

63 Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 12,5000% (B) 25,0000% (C) 28,1250% (D) 32,3050% (E) 33,3333% Questão 4 FCC/SEFAZ-SP/APOFP/2010 Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ ,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 5 FCC/SEFIN-RO/Auditor Fiscal/2010 Um título é descontado em um banco 45 dias antes de seu vencimento, considerando a convenção do mês comercial. A taxa de desconto utilizada pelo banco é de 3% ao mês. Caso a operação seja a do desconto racional simples, o valor presente do título é igual a R$ ,00. Utilizando a operação do desconto comercial simples, o valor presente do título é (A) R$ ,50 (B) R$ ,00 (C) R$ ,50 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 6 FCC/SEFAZ-PB/Auditor Fiscal/2006 Um título é resgatado 2 anos antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto. Se a taxa utilizada foi de 10% ao ano e o valor do desconto resultou em R$ 4.620,00, o valor nominal do título é (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 7 FCC/SEFAZ-PB/Auditor Fiscal/2006 Prof. Karine Waldrich 63

64 Dois títulos cujos valores nominais são R$ ,00 e R$ ,00, vencíveis no fim de 1 ano e 3 anos, respectivamente, serão substituídos por um único título equivalente, vencendo no final de 2 anos. Adotando a operação do desconto racional composto à taxa de juros compostos de 10% ao ano, o valor nominal deste único título é (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 8 FCC/MPU/Analista - Atuarial/2007 A taxa de um empréstimo tomado por 2 (dois) anos no Banco Esperança S.A. é de 36% a.a.. Considerando que o banco capitalizará a taxa bimestralmente, a taxa efetiva do contrato será de Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 51,2196% (B) 101,2196% (C) 151,5456% (D) 201,2196% (E) 251,5456% Questão 9 FCC/MPU/Analista/2007 A taxa efetiva anual de uma aplicação financeira com taxa de juros de 36% a.a. capitalizada semestralmente e capitalizada mensalmente são, respectivamente, de Dado: Considere até a quarta casa decimal (A) 42,5760% e 39,2400% (B) 31,1458% e 33,2118% (C) 36,0000% e 26,2477% (D) 39,2400% e 42,5760% (E) 33,2118% e 31,1458% Questão 10 FCC/MPU/Analista/2007 Antônio Tomador vai fazer empréstimo por 2 (dois) anos, tendo a opção de pagar juros mensais ou juros semestrais equivalentes. Considerando que o juro mensal é de 2%, o juro semestral equivalente é (A) 12, % (B) 12, % Prof. Karine Waldrich 64

65 (C) 12, % (D) 12, % (E) 12, % Questão 11 FCC/MPU/Analista/2007 A taxa equivalente trimestral, para uma taxa de empréstimo mensal de 6,5%, é de (A) 20,794963% (B) 19,500000% (C) 2,166667% (D) 2,121347% (E) 1,166667% Questão 12 FCC/DNOCS/Administrador/2010 Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ ,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ ,00 por: (A) (B) (C) (D) (E) Questão 13 FCC/DNOCS/Administrador/2010 A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva de (A) (B) (C) (D) (E) 9% ao trimestre. [(1,03) 2-1] ao bimestre. 12. [(1,36) 1/12-1] ao ano. ao semestre. Questão 14 FCC/SEFAZ-PB/Auditor-fiscal/2006 Prof. Karine Waldrich 65

66 Um capital no valor de R$ ,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,05 (E) R$ ,00 Questão 15 FCC/TRE-RN/Analista/2011 Um investimento no valor de R$ ,00 é realizado no início de um determinado ano. No final deste ano, o montante referente a este investimento é resgatado totalmente, e o seu valor foi de R$ ,00. Se a taxa de inflação no período deste investimento foi de 12%, então a taxa aparente e a taxa real correspondentes no mesmo período foram iguais a, respectivamente, (A) 18,50% e 7,28%. (B) 18,50% e 6,50%. (C) 19,28% e 7,28%. (D) 19,28% e 6,78%. (E) 19,28% e 6,50%. Questão 16 ESAF/CVM/Inspetor/2010 Pretende-se trocar uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra série equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento da segunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês. a) R$ 750,00 b) R$ 693,00 c) R$ 647,00 d) R$ 783,00 e) R$ 716,00 Questão 17 FCC/MPE-RS/Assessor-Administração/2008 Uma pessoa deposita no início de cada mês R$ ,00, durante 3 meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, com capitalização mensal. O valor que esta pessoa terá que complementar ao seu montante, imediatamente após a realização do último depósito, para comprar um carro à vista no valor de R$ ,00, é igual a (A) R$ 4.699,00. (B) R$ 4.090,97. (C) R$ 3.781,88. (D) R$ 4.495,98. (E) R$ 4.292,96. Prof. Karine Waldrich 66

67 Questão 18 FCC/SEFAZ-PB/Auditor Fiscal de Tributos Municipais/2006 Utilize a tabela financeira abaixo (Taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal) FAC (Fator de Acumulação de Capital, Pagamento Único) = (1,02) n FAC (Fator de Acumulação de Capital, Série de Pagamentos Iguais) = FRC (Fator de Recuperação de Capital, Série de Pagamentos Iguais) = Para o cálculo do Fator de Valor Atual (FVA), Série de Pagamentos Iguais, considerar FVA = Paulo comprou um automóvel em 10 prestações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 4.400,00 cada uma, vencendo a primeira 1 mês após a data da compra. A agência de automóveis trabalha com uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Se Paulo propusesse à agência quitar a dívida em 15 prestações, vencendo também a primeira 1 mês após a data da compra, o valor da prestação seria de (A) R$ 3.140,00 (B) R$ 3.200,00 (C) R$ 3.360,00 (D) R$ 3.410,00 (E) R$ 3.600,00 Questão 19 FCC/DNOCS/Administrador/2010 Um investidor deposita R$ ,00 no início de cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a Prof. Karine Waldrich 67

68 (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,20. (E) R$ ,00. Questão 20 FCC/SEFAZ-SP/Agente Fiscal de Rendas/2009 Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ ,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 21 FCC/BB/Escriturário/2009 Um investidor realiza depósitos no início de cada mês, durante 8 meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Os valores dos 4 primeiros depósitos foram de R$ 1 000,00 cada um e dos 4 últimos R$ 1 250,00 cada um. No momento em que ele efetua o oitavo depósito, verifica que o montante que possui no banco é M, em reais. Utilizando os dados da tabela acima, tem-se, então, que (A) < M (B) < M <= (C) < M <= Prof. Karine Waldrich 68

69 (D) < M <= (E) < M <= Questão 22 FCC/SEFAZ-SP/Agente Fiscal de Rendas/2009 A tabela abaixo apresenta os valores dos Fatores de Recuperação de Capital (FRC) para a taxa de juros compostos de 2% ao período: O preço de venda de um equipamento é igual a R$ ,00. Ele pode ser adquirido por uma das seguintes opções: I) À vista, com 10% de desconto sobre o preço de venda. II) Em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra. Utilizando o critério do desconto racional composto a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, tem-se que o valor de cada prestação da opção II que torna equivalentes, no ato da compra, os pagamentos efetuados pelas duas opções é, desprezando os centavos, igual a (A) R$ 9.500,00 (B) R$ 9.180,00 (C) R$ 8.550,00 (D) R$ 8.330,00 (E) R$ 8.150,00 Questão 23 FCC/TRE-AP/Analista Judiciário/2011 Uma pessoa adquiriu um imóvel no valor de R$ ,00. As economias feitas durante 3 anos possibilitaram que ela desse uma entrada de R$ ,00. Para pagar o saldo devedor contratou com uma instituição financeira um financiamento com sistema de amortização constante (SAC). Sabendo que o financiamento será pago em 10 anos, com prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a data da contratação da dívida, e que a taxa de juros cobrada pela instituição foi de 1% ao mês, os valores da segunda e da terceira prestações foram, respectivamente, em reais, de (A) e (B) e (C) e (D) e (E) e Questão 24 FCC/SEFAZ-SP/Agente Fiscal de Rendas/2009 Uma dívida decorrente de um empréstimo deverá ser liquidada por meio de 120 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a Prof. Karine Waldrich 69

70 data do empréstimo. Considerando que foi utilizado o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês, verifica-se que o valor da última prestação é igual a R$ 1.275,00. O saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 50a prestação, é (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 25 FCC/SEFIN-RO/Auditor Fiscal de Tributos Estaduais/2010 A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26a prestação é igual a (A) R$ 3.500,00 (B) R$ 3.550,00 (C) R$ 3.600,00 (D) R$ 3.650,00 (E) R$ 3.700,00 Questão 26 FCC/SEFAZ-SP/APOFP/2010 Uma dívida no valor de R$ ,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de (A) R$ ,15 (B) R$ ,85 (C) R$ ,70 (D) R$ ,85 (E) R$ ,15 Questão 27 FCC/MPU/Analista/2007 O montante de um empréstimo de R$ ,00, tomado pelo Sistema Francês (tabela Price) de amortização, com carência de 3 anos e juros de 6% a.a., a ser pago no final da carência, é de (em R$) (A) ,00 (B) ,32 (C) ,86 (D) ,00 Prof. Karine Waldrich 70

71 (E) ,54 ICMS-SP RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Questão 28 FCC/BB/Escriturário/2006 Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ ,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é (A) R$ 273,30 (B) R$ 272,70 (C) R$ 270,00 (D) R$ 266,70 (E) R$ 256,60 Questão 29 ESAF/CVM/Inspetor/2010 Um certo número de bônus de valor de face de USD, e constituído por 12 cupons semestrais no valor de 50 USD cada um, é lançado por uma empresa no mercado internacional com o objetivo de levantar um empréstimo. A empresa se compromete a pagar o valor de cada cupom no fim de cada semestre e o valor de face do bônus ao fi m de seis anos juntamente com o valor do último cupom. Caso cada bônus seja vendido hoje por 841,15 USD, já descontadas as despesas de lançamento, qual o valor mais próximo da taxa de juros paga pela empresa lançadora do bônus? a) 4% ao semestre. b) 5% ao semestre. c) 7% ao semestre. d) 6% ao semestre. e) 8% ao semestre. Questão 30 FCC/SEFAZ-SP/APOFP/2010 O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna de retorno igual a 20% ao ano. Prof. Karine Waldrich 71

72 O valor de X é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 31 FCC/SEFAZ-SP/APOFP/2010 A seguir são apresentados os valores presentes líquidos (NPV), em reais, de quatro projetos de investimento, admitindo-se diferentes taxas anuais de desconto (taxa mínima de atratividade - TMA): De acordo com as informações acima, é correto afirmar que (E) a taxa interna de retorno do Projeto D é maior do que a do Projeto C. (F) a taxa interna de retorno do Projeto B é maior do que a do Projeto A. (G) o Projeto C é economicamente viável, para todas as TMA dadas. (H) o Projeto A é mais rentável que o Projeto D, para qualquer TMA. (I) o Projeto C é mais rentável que o Projeto B, para qualquer TMA. Prof. Karine Waldrich 72