Teste para verificar a igualdade de modelos de regressão e uma aplicação na área médica

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1 Teste para verfcar a gualdade de modelos de regressão e uma aplcação na área médca Sérgo Rcardo Magalhães 1, Ednaldo Antôno de Andrade 1 Prof. e Coordenador do Curso de Sstemas de Informação da Unversdade Vale do Ro Verde - UnnCor Prof. da Unversdade Federal do Mato Grosso - UFMT Resumo Neste trabalho dscutmos os métodos da Identdade de Modelos e o das Varáves Dummy usados na comparação de modelos de regressão. Consderou-se o ajustamento de h equações de regressão lnear para verfcar a gualdade dos modelos de regressão por meo de smulação de dados. Utlzando-se os recursos do Interactve Matrx Language (IML), do sstema SAS, foram desenvolvdas rotnas apropradas para a metodologa de comparação de modelos de regressão. Fo realzada uma smulação de dados composta de 1. expermentos, consderando dferentes tamanhos de amostras (1, 5 e 1 observações). O desempenho de ambos os métodos mostrou-se pratcamente equvalentes com relação aos dferentes tamanhos de amostras. Os resultados de todos os casos smulados pelos métodos foram apresentaram baxos percentuas de Erro Tpo I e Erro Tpo II. Para amostras maores, a aproxmação dada pela estatístca F deve ser a preferda, uma vez que a taxa de Erro tpo I e Erro tpo II fo sempre menor. O Método das Varáves Dummy fo o mas efcente para os três tamanhos de amostra, pos, apresentou os menores percentuas de Erro Tpo I e Erro Tpo II. Palavras-chave modelos de regressão lnear, smulação de dados, teste de hpótese Abstract In ths paper we dscuss the methods and models of dentty of the dummy varables used n the comparson of regresson models. It was the adjustment of h lnear regresson equatons to check the equalty of regresson models by smulaton data. Usng the resources system, routnes were of the Interactve Matrx Language (IML) of SAS developed for approprate methodology for the comparson of regresson models. We performed a smulaton of data consstng of 1, experments, consderng dfferent szes of samples (1, 5 and 1 observatons). The performance of both methods proved to be almost equvalent wth the dfferent szes of samples. The results of all cases were smulated by the methods presented low percentage of Type I Error and Type II error. For larger samples, the approxmaton gven by the F statstc should be preferred, snce the rate of error type I and type II error was always lower. The method of dummy varables was the most effcent for the three szes of sample, therefore, had the lowest percentage of error Type I and Type II error. Keywords lnear regresson models, smulaton data, test hypothess I. INTRODUÇÃO Os modelos de regressão lnear têm aplcações nas mas dversas áreas do conhecmento (1). Mutas vezes, um modelo lnear é utlzado apenas pela facldade em descrever o relaconamento aproxmado (). Em análse de regressão, frequentemente deseja-se saber se um conjunto de h equações ajustadas são dêntcas, ou seja, se o fenômeno em estudo pode ser representado por uma únca equação (3). Em dados da área médca, normalmente a varável resposta Y e o conjunto de varáves regressoras X, =1,,...,n são meddas em um conjunto composto de grupos dstntos, vsando a comparação de como estes dferem segundo a relação de X e Y (4). Isto pode ser realzado, a partr da geração de modelos de regressão para cada grupo e, em seguda verfcando se as equações correspondentes são paralelas, ou se tem ntercepto comum, ou anda, se são dêntcas (5). Város autores apresentaram métodos para testar hpóteses relatvas à gualdade de modelos lneares (6, 7, 8, 9 e 1), entre outros. Para se realzar comparações entre equações de regressão, exstem dversos métodos. Entre eles, destacam-se Identdade de Modelos (11) e o das Varáves Dummy (1) (bnáras). Desde modo, justfca-se o presente estudo que teve por objetvo avalar os métodos da Identdade de Modelos e das Varáves Dummy utlzados para a comparação entre equações de regressão lneares, por meo de smulação de dados, bem como verfcar se exstem dvergêncas entre os métodos em estudo e suas aplcações prátcas. e-xacta Belo Horzonte ISSN v., n. 1, jun 9 P 34

2 Modelo estatístco II. METODOLOGIA Consderaram-se, ncalmente o ajustamento dos dados de observação relatvos a h grupos. Para cada um deles, fo ajustado o modelo de regressão lnear dado por: y = + x + x + + x + ε (1) k k em que: y : -ésmo valor da varável resposta, = 1,,...,N observações; x k : -ésmo valor da k-ésma varável explcatva, k=1,,...,k varáves; k : parâmetros do modelo; ε : erros aleatóros. Empregando a notação matrcal, o modelo admte a segunte forma: em que: y = X + ε () y: vetor de observações, de dmensões N x 1, sendo N o número de observações; X : matrz das varáves explcatvas, de dmensões N x (K+1), sendo K o número de varáves explcatvas; : vetor de parâmetros, de dmensões (K+1) x 1, sendo (K+1) o número de parâmetros; ε : vetor de erros aleatóros, de dmensões N x1. Para a estmação do vetor de parâmetros, comumente são empregados o método dos quadrados mínmos e o método da máxma verossmlhança, que conduzem aos mesmos estmadores. De acordo com as pressuposções que os erros podem assumr, exstem varações no método de estmação dos quadrados mínmos para o modelo de regressão lnear, relatva às dversas formas que a matrz de varâncas e covarâncas pode assumr. Estas varações são conhecdas como métodos dos quadrados mínmos ordnáro, ponderado e generalzado. No ajuste de um modelo pelo método dos quadrados mínmos ordnáros, pressupõe-se que a méda dos erros é nula ( E( ε ) = ); a varânca do erro ε, = 1,,..., n é constante e gual a σ ; o erro de uma observação é não correlaconado com o erro de outra observação. Isto é, E( ε ε ) =, para j e os erros são varáves j aleatóras com dstrbução normal (6). Com base no método dos quadrados mínmos ordnáros, estma-se um vetor, consderando-se como condção que a soma de quadrados dos erros seja mínma. A função quadrátca Z, que representa a soma de quadrados dos erros, é: Z = ε'ε = ( y X)' ( y X) (3) Dervando parcalmente em relação a obtém-se o segunte sstema de equações normas (7) : X'X ˆ = X'y (4) Como a matrz X é de posto coluna completo, então X'X é uma matrz postva defnda e, assm, X'X é não sngular. Portanto, 1 exste a matrz nversa (X'X) e a solução para, é: ˆ 1 = (X'X) X'y (5) Esta solução únca corresponde ao estmador lnear não-tendencoso e de varânca mínma para. Método da Identdade de Modelos Trata-se de um teste bastante geral que verfca a gualdade de duas regressões lneares, cujo algortmo segue os seguntes passos (11) : 1. Dadas as seguntes relações lneares: y = a + b x + e = 1,..., n y = a + b x + e = 1,..., n (6) e-xacta Belo Horzonte ISSN v., n. 1, jun 9 P 35

3 referentes a dos conjuntos de observações.. Combnam-se todas as n1 + n observações e calcula-se a estmatva de quadrados mínmos de a e b na regressão combnada y = a + bx + e. Desta equação obtém-se a soma de quadrados de resíduo ( S 1 ) com grau de lberdade gual a n1 + n p, em que p é o número de parâmetros a ser estmado. Neste caso, p =. 3. Obtém-se a soma de quadrados de resíduo para as duas equações, ou seja, S e S 3, com os graus de lberdade n1 p e n p, respectvamente. Somam-se estas duas somas de quadrados de resíduo, sto é, S4 = S + S3 e seus graus de lberdade n1 + n p. 4. Obtém-se S 5 = S 1 S Calcula-se a estatístca F como: S5 p Fc = S n n p ( + ) 4 1 com p e n1 + n p graus de lberdade. (7) Se F c > F tabelado, para um determnado nível de sgnfcânca α, rejeta-se a hpótese de que os parâmetros a' s e b' s são os mesmos para os dos conjuntos de observações. Método das Varáves Dummy A nclusão de varáves bnáras adtvas ou multplcatvas, permte verfcar se duas equações lneares dferem em ntercepto, em nclnação, ou anda em ambos. Seja a segunte relação, referente a dos conjuntos de (1) : y = α + α D+ α x + α ( Dx ) + e 1 3 = 1,...,( n1 + n ) em que: (8) D=1 para observações do prmero conjunto (n 1 observações) D= para observações do segundo conjunto (n observações) As varáves bnáras foram ntroduzdas na forma adtva e multplcatva. Os coefcentes a 1 e a 3 são dferenças de nterceptos e nclnações, respectvamente. Se H : a 1 = é rejetada, ou seja, a 1 é sgnfcatvo, então o valor do ntercepto do prmero conjunto é obtdo por a 1 +a, neste caso a é o ntercepto do segundo conjunto. Se H : a 1 = não é rejetada, ou seja, a 1 é não sgnfcatvo, então a representa o ntercepto comum para ambos os conjuntos. Se H : a 3 = é rejetada, então o valor da nclnação do prmero conjunto é obtdo por a + a 3, neste caso a é a nclnação do segundo conjunto. Se H : a 3 = não é rejetada, então a representa a nclnação comum para ambos os conjuntos. Smulação dos métodos Realzou-se uma smulação de dados composta de 1. expermentos, cada qual com 1, 5 e 1 observações. Para cada expermento, foram gerados modelos de regressão lnear smples nos quas os valores das varáves ndependentes foram obtdos em um ntervalo fechado de a 1, aleatoramente, pela função RANUNI do sstema SAS (13) que produz uma varável aleatóra com dstrbução unforme no nesse ntervalo. Para a geração dos resíduos de cada modelo, fo necessáro estmar a varânca dos mesmos (14). Fxando-se o coefcente de determnação R em 9 %, e conhecda a relação R δ mod elo = δ mod elo + δerro, em que δ modelo corresponde à méda dos valores das varáves dependentes, estmou-se a varânca dos resíduos (15). δ erro e-xacta Belo Horzonte ISSN v., n. 1, jun 9 P 36

4 Estmada a varânca dos resíduos δ erro, geraram-se pela função RANNOR do sstema SAS que produz uma varável aleatóra com dstrbução normal, os resíduos aleatóros de cada modelo. Estes são, supostamente, ndependentes e normalmente dstrbuídos, com méda zero e varânca comum, sto é, ε h ~ NID (, δ erro ) (16). Com base nos modelos de regressão consderados, e fxando-se os parâmetros de cada modelo para cada uma das stuações descrtas anterormente para a comparação dos métodos, foram mplementados computaconalmente os métodos da dentdade de modelos e das varáves pelo módulo matrcal "Interactve Matrx Language IML" do sstema SAS. III. RESULTADOS Para a avalação dos métodos, foram consderados quatro casos de regressão lnear, representados por (a) o caso mas geral, quando todos os coefcentes são dferentes; (b) regressões paralelas, quando as nclnações são guas, mas os nterceptos são dferentes; (c) regressões concorrentes, quando os nterceptos são guas, mas as nclnações são dferentes e (d) regressões concdentes, quando todas as retas concdem. Os resultados foram analsados com base nos procedmento FREQ do módulo BASE, do Statstcal Analyss System (SAS) e foram determnadas as freqüêncas dos resultados obtdos para os níves de sgnfcânca nomnal. Estes resultados foram encontrados para os valores do teste F nos modelos para amostras de tamanho 1, 5 e 1, respectvamente. A avalação dos métodos da Identdade de Modelos, das Varáves Dummy e da baseouse no nível nomnal de 5 % dos percentuas das taxas de ocorrênca do Erro Tpo I, que consste na rejeção de uma hpótese H tda verdadera e nos percentuas das taxas de ocorrênca do Erro Tpo II, que consste na não-rejeção de uma hpótese ncal H, tda como falsa. A Tabela I lustra todas as nove stuações smuladas utlzando-se os dos métodos em estudo, apresentando uma combnação das freqüêncas do Erro Tpo I e do Erro Tpo II. Tabela I DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DE ERRO TIPO I E ERRO TIPO II PARA OS MÉTODOS UTILIZADOS Casos a b c d Identdade Modelos (Nº.de Observações) M É T O D O S Varáves Dummy (Nº.de Observações) Subtotal Total Verfca-se que os métodos da Identdade de Modelos e das Varáves Dummy snalzam para resultados bem semelhantes, devdo a baxos percentuas de Erro Tpo I e Erro Tpo II. Pode-se notar que, de modo geral, foram percebdas maores taxas de combnação de Erros Tpo I e Erros Tpo II nos casos em tamanho da amostra é gual a 1 observações, com uma aparente vantagem para o Método das Identdade de Modelos. Esperava-se que, com o aumento do número de observações uma redução nas taxas de Erro Tpo I e Tpo II. Fato este que, em geral, ocorreu, mostrando uma melhor efcênca dos métodos para tamanhos de amostras maores. Por exemplo, para o Método das Varáves Dummy, verfcaram-se menores taxas com tamanho de amostra de 1 observações. Em geral, amostras com 1 observações apresentaram menores taxas de erros, mas estes valores não são bem dferentes dos valores dos outros tamanhos de amostras. Pôde-se também verfcar que para todas as stuações estudadas, em todas elas foram observados ndícos uma boa precsão para os três métodos estudados, face aos baxos e-xacta Belo Horzonte ISSN v., n. 1, jun 9 P 37

5 percentuas de Erro tpo I e Erro tpo II. Contudo, deve-se ressaltar que, para o Método das Varáves Dummy, obteve-se menor probabldade de ocorrênca de Erro Tpo I e de Erro Tpo II. III. ILUSTRAÇÃO DO MÉTODO Julgou-se necessáro e adequado, a apresentação de um exemplo numérco para lustrar os resultados obtdos neste estudo. Assm, com base nos dados da Tabela 1, foram efetuados cálculos, lustrando os métodos apresentados. Foram analsados dados coletados no período de 4 a 5 provenentes de uma amostra de doadores de sangue do Hemocentro do Hosptal Unverstáro Máro Penna da Unversdade Vale do Ro Verde de Belo Horzonte, em pacentes de ambos os sexos. Para a realzação da comparação das metodologas propostas, ajustaram-se retas de regressão da varável pressão sanguínea sstólca versus dade, para uma amostra de 15 homens e 15 mulheres, com o objetvo de verfcar se estas varáves tem relação lnear semelhante para ambos os sexos. Nos países ndustralzados, a pressão arteral méda da população aumenta com a dade. Após os 5 anos, a pressão sstólca tende a subr com a dade mas avançada (17), caracterzando em um quadro de Hpertensão Arteral Sstólca (18). Assm, o aumento da pressão sstolca é bem estabelecdo como fator de rsco cardovascular (19). Portanto, nesta aplcação, procurou-se confrmar as teoras que demonstram que a pressão sstólca aumenta contnuamente com a dade em ambos sexos (). Através do programa de de análse estatstca SAS, consderou-se os casos a segur: a) Interceptos dferentes e nclnações guas; b) Interceptos guas e nclnações dferentes; c) Interceptos e nclnações dferentes; d) Interceptos e nclnações guas. Explorou-se os dos métodos para a comparação de Modelos de regressão lnear, aos quas foram aplcados testes de hpóteses para dentfcação das stuações acma. Para aplcar o Método da Identdade de Modelos, ajustou-se as retas para cada um dos sexos: Masculno: Y mas = 99,81 +,48 x Femnno: Y fem = 15,14 +,37 x E, as estmatvas dos parâmetros para os dos sexos foram regstrados na Tabela II. Tabela II ESTIMATIVAS DOS PARÂMETROS PARA OS MODELOS ESTIMADOS Grupo DE IDADES VERSUS PRESSÃO SISTÓLICA 1 x s x s Y / X Masculno 99,81,48 31,8 15,1 38,5 Femnno 15,14,37 31,5 115,44 54,81 Para o Método das Varáves Dummy, ajustou-se um modelo de regressão de todo o conjunto e, em seguda, este fo separado, orgnando um modelo para cada sexo, através da nclusão das varáves dummy., D= 1, Se o ndvíduo for homem Se o ndvíduo for mulher Reta Geral: Y = 1,11 +,5 x+ 1,67 D,4 xd Reta Ajustada - Masculno: Ymas = 1,1 +,5 x ( D= ) Reta Ajustada - Femnno: Y fem = 113,41 +,49 x ( D= 1) (9) e-xacta Belo Horzonte ISSN v., n. 1, jun 9 P 38

6 Na Tabela III é apresentada a análse de varânca do ajuste de retas para esta stuação. Tabela III ANOVA PELO MÉTODO DAS VARIÁVEIS DUMMY PARA A VARIÁVEL Fonte de varação Regressão (x) IDADE VERSUS PRESSÃO SISTÓLICA GL SQ QM F ,1 777,1,6 Resíduo , 374,19 Regressão (x,d) 96547, 46373,5 45,81 Resíduo , 475,7 Regressão (x,d,xd) , 5191,67 165,84 Resíduo , 38,41 Consderando-se o Método da Identdade de Modelos, procedeu-se a dentfcação dos casos em que as retas estmadas se enquadravam nos testes do paralelsmo e no da gualdade dos parâmetros conforme detalhamento abaxo. a) Teste do paralelsmo: H = = 1mas 1fem S, / = 31,5 e S P Y X 1mas 1 fem =,4. A estatístca de teste fo T=,61. Para esta estatístca, o valor crítco blateral dado pelop-value=p(t,61 )=,55. Consderandose nível de sgnfcânca nonmal α gual a 5%, observou-se que o valor p-value > α. Portanto, a hpótese de nuldade não fo rejetada, ou seja, tveram evdêncas amostras sufcentes para que a hpótese de paralelsmo não fosse rejetada. b) Teste da gualdade de nterceptos: H = = mas fem S, / = 31,5 e S P Y X mas fem = 5,1. A estatístca de teste fo T=-5,61. Para esta estatístca, o valor crítco blateral dado pelo p-value=p(t -5,9). Portanto, a hpótese de nuldade fo rejetada para quasquer níves de sgnfcânca nomnal de α. Houve fortes evdêncas amostras de que a hpótese gualdade de nterceptos não seja verdadera. Em contrapartda, consderando-se o Método das Varáves Dummy, procedeu-se a dentfcação dos casos em que as retas estmadas se enquadravam nos testes do paralelsmo, no da gualdade dos parâmetros e no teste da concdênca, dscrmnados a segur. a) Teste do paralelsmo: H = 3 = A estatístca de teste fo F(XD/X,D)=,5. O p-value com 1 e 33 graus de lberdade fo gual a,46. Portanto, não fo rejetada a hpótese de nuldade H para quasquer valores nomnas de α. Logo, não exstram evdêncas amostras para que a hpótese de paralelsmo das regressões lneares fosse rejetada. b) Teste da gualdade de nterceptos: H = = A estatístca de teste fo F(D/X,XD)=53,5. O p-value com 1 e 33 graus de lberdade fo aproxmadamente gual a zero. Portanto, fo rejetada a hpótese de nuldade H para quasquer valores nomnas de α dferentes de zero. Logo, perceberam evdêncas amostras para que a hpótese de gualdade de nterceptos das equações lneares dos dos sexos não fosse verdadera. c) Teste da concdênca: H = = 3 = A estatístca de teste fo F(D/X)=11,68. O p-value com e 33 graus de lberdade fo aproxmadamente gual a zero. Portanto, fo rejetada a hpótese de nuldade H para e-xacta Belo Horzonte ISSN v., n. 1, jun 9 P 39

7 quasquer valores nomnas de α dferentes de zero. Logo, não notaram evdêncas amostras para que a hpótese de concdênca das regressões lneares estmadas para ambos os sexos. IV. CONCLUSÕES Verfcou-se que para a amostra de dados referentes a pressão sanguínea sstólca e dade, submetdos às duas metodologas do estudo, revelaram que as retas estmadas para o sexo masculno e para o sexo femnno não foram concdentes. As mesmas foram paralelas, com nterceptos dferentes e admtram a forma Y = + 1x + ε. Fo possível verfcar que a aplcação do Método da Identdade de Modelos fo equvalente ao Método da Varáves Dummy. Contudo, deve-se ressaltar que para as stuações smuladas, para os três tamanhos de amostras, o Método das Varáves Dummy, apresentou-se mas efcente. Pos, o mesmo apresentou os menores percentuas de Erro Tpo I e Erro Tpo II, snalzando que as dferenças encontradas são pequenas e portanto, devem ser atrbuídas ao acaso. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao Hemocentro do Hosptal Unverstáro Máro Penna da Unversdade Vale do Ro Verde - UnnCor, pela cessão dos dados e também agradecem ao Centro Unverstáro de Belo Horzonte - UNI- BH pela oportundade de publcação deste estudo. REFERÊNCIAS [1] ARMITAGE, P.; BERRY, G. Statstcal Methods n Medcal Research. 4 ed. Blackwell, 4. [] HOFFMANN, R.; VIEIRA S. Análse de regressão: uma ntrodução à econometra. 3 ed. São Paulo: HUCITEC, p. [3] SEBER, G. A. F. Lnear regresson analyss. New York: John Wley, p. [4] DAVID C. S; HALL, D. B. A computer program for the regresson analyss of ordered categorcal repeated measurements. Computer Methods and Programs n Bomedcne. v. 51, p , 5 [5] COPENHAVER, M. D; HOLLAND, B. S. Computaton of the dstrbuton of the maxmum Studentzed range statstc wth applcaton to multple sgnfcance testng of smple effects. Journal of Statstcal Computng and Smulaton. v. 3, p. 1-15, [6] CHOW, G. C. Tests of equalty between sets of coeffcents n two lnear regressons. Econometrca, Chcago, v. 8, p , 196. [7] CORDEIRO, G. M.; PAULA, G. A. Modelos de regressão para análse de dados unvarados. Ro de Janero: Insttuto de Matemátca Pura e Aplcada do CNPq, p. [8] NETER, J. et al. Appled lnear statstcal models. 4. ed. Chcago: Rchard D. Irwn, p. [9] GUJARATI, D. Use of dummy varables n testng for equalty between sets of coeffcents n two lnear regressons: a note. The Amercan Statstcan, Washngton, v. 4, n. 1, p. 5-5, Feb. 197b. [1] RATKOWSKY, D. A. Nonlnear regresson modelng: a unfed practcal approach. New York : Marcel Dekker, p. e-xacta Belo Horzonte ISSN v., n. 1, jun 9 P 4

8 [11] GRAYBILL, F. A. Theory and applcaton of the lnear model. Belmont: Duxbury Press, p. [1] GUJARATI, D. Use of dummy varables n testng for equalty between sets of coeffcents n lnear regressons: a generalzaton. The Amercan Statstcan, Washngton, v. 4, n. 5, p. 18-, Dec. 197a events n the MRC Mld Hypertenson tral. J Hypertens, v. 17, p , [] BENETOS, A.; RUDNICHI, A.; SAFAR, M.; GUIZE, L. Pulse pressure and cardovascular mortalty n normotensve and hypertensve subjects. Hypertenson, v.3, p , [13] SAS INSTITUTE. SAS Procedures gude for computers. 6. ed. Cary N. C.: SAS Insttute, v. 3, 373p. [14] VERBEKE, G., MOLENBERGHS, G. Lnear mxed models n practce: a SASorented approach. Cary: SAS Insttute, p. [15] LITTELL, R. C., HENRY, P. R., AMMERMAN, C. B. Statstcal analyss of repeated measures data usng SAS procedures. J. Anm. Sc., v.76, p , [16] BROWN, R. L.; DURBIN, J.; EVANS, J.M. Technques for testng the constancy of regresson relatonshps over tme. J. R.Stat. Soc., B, v.37, p.149-9, [17] SESSO, H. D; STAMPFER; M. J.; ROSNER, B. et al. Systolc and dastolc blood pressure, pulse pressure, and mean arteral pressure as predctors of cardovascular dsease rsk n men. Hypertenson, v. 36, p ,. [18] FRANKLIN, S.S; KHAN, S. A.; WONG; N.D.; LARSON, M. G., LEVY, D. Is pulse pressure useful n predctng rsk for coronary heart dsease? The Framngham Heart Study. Crculaton, v. 1, p , [19] MILLAR, J.A; LEVER, A. F.; BURKE, V. Pulse pressure as a rsk factor for cardovascular e-xacta Belo Horzonte ISSN v., n. 1, jun 9 P 41