MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA CURSO: Tecnologia em Processos Gerenciais PROFESSOR: Katia Arcaro /1

2 1 Razões e Proporções Razão significa divisão entre dois números, a e b 0, onde a é o antecedente e b é o consequente: a b E proporção é a igualdade entre duas razões: a b = c d onde b, d 0. Na proporção acima, a e d são chamados extremos da proporção, e b e d são chamados meios, valendo a propriedade de multiplicar cruzado : ad = bc Ex.: 1.1 A fração 3 está em proporção com 6, pois 3 8 = Ex.: 1.2 Determinar o valor de x para que a razão x 3 esteja em proporção com 4 6. x 3 = 4 6 6x = 12 x = Grandezas Diretamente Proporcionais Ex.: 1.3 Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela ao lado. Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplica o tempo, a produção também duplica: 5 min - 100Kg 10 min - 200Kg Quando triplica o tempo, a produção também triplica: 5 min - 100Kg 15 min - 300Kg Tempo Produção (minutos) (Kg) Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1 a grandeza é igual à razão entre os valores correspondentes da 2 a. Ex.: 1.4 Na tabela do Exemplo 1.3, a razão entre dois valores de uma grandeza é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza: 5 15 = = Grandezas Inversamente Proporcionais Ex.: 1.5 Um ciclista faz um treino para a prova de 1000 metros contra o relógio, mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela ao lado. Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplica a velocidade, o tempo fica reduzido à metade: 5 m/s - 200s 10 m/s - 100s Quando quadriplica a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte: 5 m/s - 200s 20 m/s - 50s Velocidade Tempo (m/s) (s)

3 Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1 a grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2 a. Ex.: 1.6 Na tabela do Exemplo 1.5, a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra: 5 10 = 1 2 e = 2. Assim, para saber em quanto tempo o ciclista percorre a volta a 15m/s, basta inverter uma das colunas da regra de três: 5 15 = x x = 1000 x = 66, 7s 1.3 Exercícios 1. Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, o disco dá quantas voltas? R.: 3 2. Levo duas horas e meia para percorrer 15km. Se eu tiver quer percorrer 54km, quanto tempo eu levarei? R.: 9 3. Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Para abastecer tal tanque com apenas 2500 litros, qual o tempo necessário? R.: 1 hora 4. Um trem com 4 vagões transporta 720 pessoas. Para transportar 1260 pessoas, quantos vagões seriam necessários? R.: 7 hora 5. Para encher um tanque são necessárias 60 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 2 litros cada uma, quantas serão necessárias? R.: Pedro deseja realizar sua festa de aniversário e, para isso, irá comprar 30 latas de refrigerante com capacidade de 200 ml cada uma, no intuito de evitar desperdício. Caso ele opte por comprar latas de 600 ml, quantas ele deverá comprar para manter a quantidade de bebida? R.: Se 5 operários levantam um muro em 10 dias, quantos operários serão necessários para levantar o mesmo muro em 2 dias? R.: Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta mesma medicação? R.: 4 9. Utilizando copos descartáveis de 175ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de 150 ml, quantas pessoas eu conseguirei servir com este mesmo volume de bebida? R.: O volume de um paralelepípedo retângulo é 1620m 3. Calcular as arestas sabendo que estas são proporcionais aos números 3, 4 e 5. R.: 9, 12 e Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par? R.: Se R$1.200, 00 deve ser dividido em 3 partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 5; qual o valor de cada parte? R.: 300, 400 e Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e y. R.: x = 10, y = 18 3

4 2 Porcentagem Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Ex.: 2.1 7, 16, 125, Pode-se representar uma razão centesimal de outras formas: = 0, 07 = 7% (lê-se sete por cento ) = 0, 16 = 16% (lê-se dezesseis por cento ) = 1, 25 = 7% (lê-se cento e vinte e cinco por cento ) As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Ex.: 2.2 Em uma obra, a média de perda de azulejos com quebras indesejadas é de 3%. Em um edifício onde se compraram 50 caixas de azulejos, quantas, aproximadamente serão perdidas? = x Exercícios 100x = 150 x = 1, 5 caixas, aproximadamente. 1. Calcule: R.: a) 12 b) 21 c) 67,5 d) 40 a) 15% de 80 b) 70% de 30 c) 150% de 45 d) 100% de Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem. R.: 75% 3. 30% da população de uma cidade mora na área central e os demais habitantes moram no interior. Quantas pessoas moram na cidade? R.: pessoas 4. Do meu salário R$1.200, 00 tive um desconto total de R$240, 00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário? R.: 20% 5. Ao comprar um produto que custava R$1.500, 00 obtive um desconto de 12%. Quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido? R.: 12%, R$180, Do meu salário líquido dedico: 25% ao aluguel, 30% à alimentação, 5% à compra de medicamento, 15% pagamento de mensalidades e o resto que me sobra é R$550, 00 para lazer. De quanto é o salário? R.: R$ O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido? R.: 13, 2% 8. Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango? R.: 69, 4% 9. Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$2.204, 00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$1.972, 00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido? R.: 15% 4

5 3 Juros e Descontos Simples Seguem algumas definições: Capital (C): é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal (P ), Valor Atual (V A), Valor Presente (V P ), Presente Valor (P V ) ou Valor Aplicado. Juros (J): representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. A Seção 4 ocupa-se desse tipo de regime de capitalização. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Taxa de juros (i): indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: * 8% a.a. - (a.a. significa ao ano) * 10% a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: * 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês) * 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre). Montante (M): capital acrescido dos juros (M = C + J). Desconto (d): é o abatimento no valor de uma dívida quando negociada antes da data do vencimento. O desconto também pode ser simples ou composto, sendo este último abordado no próximo capítulo Obs.: Em matemática financeira, costuma-se adotar, para o período de um mês, o chamado mês comercial com 30 dias. 3.1 Juros Simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou Capital(C) é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. J = C i n ou M = C(1 + i n) onde: J = juros, C = capital, i = taxa de juros, n = número de períodos e M é o montante. 5

6 Ex. 1: Tem-se uma dívida de R$1.000, 00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e deve-se pagá-la em 2 meses. Os juros pagos serão: J = = 160 Ao somar os juros ao valor principal tem-se o montante: M = C + C i n = C (1 + (i n)). Neste caso, M = = 1.160, 00. Ex. 2: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000, 00 à taxa de 10, 5% a.a. durante 145 dias. A taxa i e o período n precisam estar na mesma unidade de tempo; 145 dias correspondem a 145/360 anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Assim, o montante é dado por: M = C (1 + (i n)) = [1 + (10, 5/100) (145/360)] = R$72.960, Taxas Proporcionais A conversão de taxas de juros simples de uma unidade de tempo para outra leva em conta a proporcionalidade das taxas: i t = 3 i m, i a = 12 i m, i m = 30 i d, e assim por diante. 3.2 Descontos Simples Desconto é o abatimento no valor de um título de crédito quando o mesmo é resgatado antes do vencimento do compromisso. O valor do título no dia do vencimento é chamado de Valor Nominal (N) e este vem declarado no mesmo. O valor do título em uma data anterior ao vencimento da fatura é chamado de Valor Atual (V A). O valor atual é menor que o valor nominal, já que o valor atual de um título qualquer é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e seu respectivo desconto. Existem dois tipos de descontos simples: o desconto racional (ou por dentro), d r, e o desconto comercial (ou por fora), d c, que é o de fato utilizado. Assim: V A = N d c ou V A = N d r. Obs.: No desconto simples, assim como nos juros simples, as taxas em diferentes unidades de tempo são proporcionais. Por exemplo, i = 2%am equivale a i = 24%aa e assim por diante Desconto Comercial Também chamado de desconto por fora, comercial, ou desconto bancário (d c ), pode ser definido como aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do título, levando-se em conta o capital principal como valor nominal N. d c = N i n onde i é a taxa de desconto e n é o tempo decorrido (a unidade de tempo da taxa de desconto e de n deve ser a mesma) Desconto Racional É chamado de desconto racional, ou por dentro, o abatimento calculado com a taxa de desconto incidindo sobre o valor atual do título. 6

7 d r = V A i n = N i n 1 + i n já que N = V A + V A i n = V A(1 + i n); i é a taxa de desconto e n é o tempo decorrido (a unidade de tempo da taxa de desconto e de n deve ser a mesma). Ex. 3: Uma fatura foi paga 30 dias antes do vencimento do prazo para pagamento. Calcule o valor do desconto, com uma taxa de 45% aa, sabendo-se que o valor da fatura era no valor de R$25.000, 00. N = 25000, i = 45% aa = 0,45 ad, n = 30: 360 d c = , = R$937, 50. Ex. 4: A que taxa anual foi calculado o desconto simples de R$5.000, 00 sobre um título de R$35.000, 00, pago antecipadamente em 8 meses? N = 35000, i =?, n = 8 meses, d c = 5.000, 00: = i 8 i = 0, 018 am i a = 0, = 0, 214am = 21, 4%am. Ex. 5: Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$16.000, 00 pago 3 meses antes do vencimento com uma taxa de 24% a.a. N = , i = 24% aa = 2% am, n = 3 meses: d r = , ,02 3 = R$905, Exercícios 1. Calcular os juros simples de R$1200, 00 a 13% a.t. por 4 meses e 15 dias. R.: R$234, Calcular os juros simples produzidos por R$40.000, 00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. R.: R$5000, Qual o capital que aplicado a juros simples de 1, 2% a.m. rende R$3.500, 00 de juros em 75 dias? R.: R$ , Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? R.: 8 meses 5. Qual o valor atual de um título de uma empresa no valor de R$15.000, 00 a 2% a.m, descontado a juros simples 6 meses antes do prazo do seu vencimento? R.: R$13.200, Um título de valor nominal de R$25.000, 00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2, 5% ao mês. Qual o desconto racional? Qual o desconto bancário (comercial)?r.: R$1.190, 48 e R$1.250, Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$3.000, 00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2, 5% ao mês? R.: R$225, Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de R$1.000, 00 e o valor líquido de R$880, 00? R.: 3% am 7

8 9. Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto simples bancário (comercial) de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa? R.: R$8.237, 50 Borderô de Cobrança Valor (R$) Prazo (vencimento) A dias B dias C dias 10. Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a juros simples de 2, 4% ao mês, conforme o borderô a seguir: R.: R$11.868, 00 Borderô de Cobrança Valor (R$) Prazo (vencimento) A dias B dias C dias 11. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$9.800, 00, que sofreu um desconto simples de R$448, 50, à taxa de 18% ao ano. R.: 92 dias 8

9 4 Juros e Descontos Compostos No regime de juros compostos, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também, o que não acontece nos juros simples. Esta seção abordará as definições e considerações acerca de juros compostos e, em seguida, do desconto composto, bem como as diferentes taxas de juros com que o sistema financeira trabalha neste regime de capitalização. 4.1 Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Quando não especificado o sistema de aplicação de juros, assume-se que é o composto. No regime de juros compostos, os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chama-se de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, tem-se: * 1 o mês: M = C (1 + i) * 2 o mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C (1 + i) (1 + i) *3 o mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C (1 + i) (1 + i) (1 + i). Simplificando, obtem-se a fórmula: M = C (1 + i) n Obs.: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M C Ex. 1: Calcule o montante de um capital de R$6.000, 00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3, 5% ao mês. Como C = R$6.000, 00, t = 1 ano = 12 meses, i = 3, 5% a.m. = 0,035: M = 6000 (1 + 0, 035) 12 = 6000 (1, 035) 12 = R$9.054, Taxas Equivalentes Duas taxas i 1 e i 2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final. Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual i a. O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = C(1 + i a ). Conside agora, o mesmo capital C aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i m. O montante M ao final do período de 12 meses será igual a M = C(1 + i m ) 12. Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deve-se ter M = M : C(1 + i a ) = C(1 + i m ) 12 ; assim: 1 + i a = (1 + i m ) 12 Com esta fórmula pode-se calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida ou vice-versa. 9

10 Ex. 2: Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Um ano tem dois semestres, então 1 + i a = (1 + i s ) ia = 1, 082 ia = 0, 1664 = 16, 64% a.a. Ex. 3: Qual a taxa anual equivalente a 0, 5% ao mês? 1 + i a = (1 + i m ) i a = (1, 005) 12 i a = 0, 0617 = 6, 17% a.a. 4.2 Descontos Compostos Da Seção 4.1, tem-se que M = C (1 + i) n, onde M é o montante de um capital C aplicado n períodos à taxa i. No cálculo do desconto composto, usualmente troca-se o montante, M, por valor Nominal, N, ou Futuro Valor, F V, e o Capital, C, ou Principal, P, por Valor Atual, V A. Independente de nomenclaturas, a fórmula do desconto (racional) composto é a mesma do juro composto: V A = F V, ou ainda (1+i) n V A = F V (1 + i) n Obs.: Nos descontos compostos a conversão de taxas equivalentes dá-se como nos juros compostos (ver Subseçao 4.1.1). Ex. 4: Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$8.000, 00, faltando 2 meses para o seu vencimento. Determine o valor atual, sabendo que a taxa de desconto é igual a 3% ao mês. N = 8.000, i = 3%, n = 2, V A =? = V A(1, 03) 2 V A = 8.000/1, 0609 = 7540, 80 O valor atual do título será de R$7.540, Diferentes Taxas de Juros Compostos Até então falou-se em taxas de juros compostos sem especificar o tipo de taxa a que se estava referindo. Neste caso, admite-se que a taxa seja a taxa efetiva, mas existem outros tipos de taxas de juros que são aplicadas a diferentes situações no mercado financeiro. Algumas delas são, além da efetiva, a taxa nominal, a taxa real e a taxa aparente Taxa Efetiva A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: - 1% ao mês com capitalização mensal; - 10% ao semestre com capitalização semestral; - 12% ao ano com capitalização anual Taxa Nominal A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: - 24% ao semestre com capitalização mensal; corresponde a uma taxa efetiva de 4% am; - 115% ao ano com capitalização mensal; corresponde a uma taxa efetiva de 9, 58% am; - 30% ao ano com capitalização trimestral; corresponde a uma taxa efetiva de 7, 5% at. 10

11 4.3.3 Taxa Real e Taxa Aparente A Taxa Aparente é a taxa efetiva de juros em que não são considerados os efeitos da inflação dentro de uma operação financeira, ou seja, se a inflação for zero, tanto a taxa aparente, quanto a taxa real serão iguais. A taxa real é a taxa aparente descontada a inflação do período. A taxa real reflete com maior precisão o ganho real de um investimento por considerar a perda com a desvalorização causada pela inflação do período. Existe uma relação matemática entre a taxa aparente, taxa real e inflação. (1 + i a ) = (1 + i r )(1 + i i ) em que i a = taxa aparente; i r = taxa real; i i = inflação. Quando mais de uma taxa de juro composto (todas sobre o mesmo período) incidir sobre um mesmo montante, pode-se desejar calcular a taxa acumulada: (1 + i ac ) = (1 + i 1 )(1 + i 2 )...(1 + i n ) Obs.: Note, então, que a taxa aparente é uma acumulação das taxas real e inflacionária. Ex. 5: Após 15 meses um investidor teve 21% de rendimento. Sabendo que nesse período a inflação foi de 9%, qual foi a taxa real do investimento? (1 + 0, 21) = (1 + i r )(1 + 0, 09) (1 + i r ) = 1,21 1,09 i r = 1, 11 1 i r = 0, 11 i r = 11% Ex. 6: Aplicados R$16.000, 00, ao final de 3 meses resgatou-se R$17.789, 64. Se a inflação neste período foi de 2% no primeiro mês, 1, 5% no segundo mês e 1, 2% no terceiro, calcular a taxa mensal de ganho real. Primeiramente, pode-se calcular a inflação acumulada nestes 3 meses: (1 + i iac ) = (1 + 0, 02)(1 + 0, 015)(1 + 0, 012) = 1, i iac = 0, (nos 3 meses). Agora, pode-se proceder de duas formas diferentes: ou 1) antes se calcula a taxa aparente para depois calcular a taxa real, ou 2) abate-se a inflação para obter-se a taxa real de ganho. 1) M = C(1 + i a ) ,64 = 1 + i a i a = 0, at (1 + i a ) = (1 + i r )(1 + i iac ) (1 + 0, ) = (1 + i r )(1 + 0, ) i r = 0, 06121at (1 + i t ) = (1 + i m ) 3 i m = 2%am 2) M = C(1 + i iac ) M = (1 + 0, ) = , 58 M = C(1 + i r ) , 64 = , 58(1 + i r ) i r = 1, 06121at i m = 2%am 4.4 Exercícios 1. Um capital de R$51.879, 31 aplicado por 6 meses resultou em R$ , 00. Qual a taxa efetiva ganha? R.: 15% am 2. Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? R.: 21, 9% aa 3. Em quanto tempo triplica um capital que rende à taxa de 3%aa? R.: 37,17a ou 37a2m 4. Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de R$2.000, 00 contratado à taxa nominal de 60%aa, capitalizada mensalmente, pelo prazo de 25 dias. R.: 82,99 11

12 5. Em que prazo um capital de R$18.000, 00 acumula um montante de R$83.743, 00 à taxa efetiva de 15% am? R.: 11 meses 6. Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% am produz um montante que excede em R$500, 00 o montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4% am. R.: ,05 7. Um capital de R$4.000, 00 foi aplicado dividido em duas parcelas, a primeira à taxa efetiva de 6% at e a segunda a 2% am. Se após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se igualam, determinar o valor de cada parcela. R.: 2.003,04 e 1.996,96 8. Na compra de um bem cujo valor à vista é de R$140, 00, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de R$80, 00 no fim dos próximos 2 meses. Considerando uma taxa nominal de juros de 60%at, capitalizada mensalmente, qual o valor da entrada? R.: 17,78 9. (CESPE - CEF 2010) Se a quantia de R$5.000, 00, investida pelo período de 6 meses, produzir o montante de R$5.382, 00, sem se descontar a inflação verificada no período, e se a taxa de inflação no período for de 3, 5%, então a taxa real de juros desse Investimento no período será de R.: b (A) 4, 5% (B) 4% (C) 3, 5% (D) 3% (E) 2, 5% 10. Aplicou-se R$5.000, 00 e após 5 meses, estavam disponíveis para resgate R$5.400, 00. Se a inflação mensal neste período foi de 2, 3%am, qual a taxa mensal de juro real? R.: 0, 732%am 11. Uma empresa pretende comprar um equipamento que custará R$ , 00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros ganhos forem de: R.: a) ,62, b) ,19, c) ,58, d) 41,73 a) i ef = 13%at b) i r = 18%aa com inflação de 2%, 2, 5%, 3% e 3% em cada ano c) i r = 14%as com inflação de 5%aa d) i r = 12%am com inflação de 5%am 12. Por um equipamento de R$ , 00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$ , 00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 33, 1% at, calcular o valor do segundo pagamento. R.: , Um capital de R$50.000, 00 rendeu R$1.000, 00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$2.060, 40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses. R.: 2% am; 1 mês 14. Calcular o rendimento de um capital de R$7.000, 00 aplicado à taxa efetiva de 1% am no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano. (Considere ano civil entre as datas). R.: 150, Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? R.: 13, 5% am 16. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% aa. Se os juros ganhos forem de R$27.473, 00, sobre um capital investido de R$83.000, 00, quanto tempo o capital ficará aplicado? R.: 3 anos 17. Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de R$8.000, 00, aplicado a juros nominais de 24% as, capitalizados mensalmente, e seu montante seja igual a 4/10? R.: 23,36m ou 23m11d 12

13 5 Equivalência de Capitais O conceito de equivalência de capitais permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras equivalentes e, consequentemente, efetuar comparações entre alternativas. Ex. 1: Um imóvel valorizando a uma taxa de 2% a.m. valerá $ , 00 daqui a três meses; a quanto vale hoje? V A = (1 + 0, 02) 3 = , 50. Consideremos os capitais nos tempos k = {0, 1, 2,..., n}: y 0, y 1, y 2,..., y n. O valor atual desse conjunto, aplicados a uma taxa i, é a soma dos valores equivalentes desses capitais na data inicial: V A = y 0 + y 1 (1 + i) 1 + y 2 (1 + i) y n (1 + i) n Esse tipo de equiparação de capitais é útil para efetuar comparações e analisar a viabilidade de negócios. Ex. 2: Um prédio é vendido por $ , 00 à vista ou, então, a prazo, em três parcelas mensais de $ , 00 cada uma, sem entrada, à taxa de 2% a.m. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele tem fundos suficientes para pagar à vista? Neste caso, usa-se o desconto composto (Subseção 4.2) para trazer as três parcelas para o presente e comparar com o valor que está sendo cobrado à vista: V A = (1 + 0, 02) (1 + 0, 02) (1 + 0, 02) 3 = , , , 97 = , 56 Como o valor a prazo é menor que o valor à vista, comprar nessas três prestações é mais vantajoso. Em geral, a equivalência de capitais não precisa ser feita a partir do valor atual. importante é que todos os capitais sejam levados ao mesmo período para comparação direta. O 5.1 Exercícios 1. (Fiscal SEFAZ PI [ESAF]) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira prestação é de R$980, 00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$320, 00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$420, 00 e deve ser paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: R.: e a) R$1.214, 91 b) R$2.114, 05 c) R$2.252, 05 d) R$2.352, 25 e) R$2.414, (Prefeitura de Fortaleza 2003 [ESAF]) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ , 00 que venceu há um ano mais um capital de R$ , 00 que vai vencer daqui a seis meses? R.: c a) R$ , 00 b) R$ , 00 c) R$ , 00 d) R$ , 00 e) R$ , (STN 2005 [ESAF]) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$20.000, 00 e uma parcela de R$20.000, 00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$17.000, 00, que deverá ser 13

14 pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a: R.: b a) R$23.455, 00 b) R$23.250, 00 c) R$24.580, 00 d) R$25.455, 00 e) R$26.580, (AFRFB 2005 [ESAF]) Ana quer vender um apartamento por R$ , 00 à vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$ , 00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: R.: a a) R$ , 00 b) R$ , 00 c) R$ , 00 d) R$ , 00 e) R$ , Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$50.000, 00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ , 00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a: R.: a a) R$ , 00 b) R$ , 00 c) R$ , 00 d) R$ , 00 e) R$ , (SEFAZ 2006 [FCC]) Dois títulos cujos valores nominais são R$16.500, 00 e R$26.620, 00, vencíveis no fim de 1 ano e 3 anos, respectivamente, serão substituídos por um único título equivalente, vencendo no final de 2 anos. Adotando a operação do desconto racional composto à taxa de juros compostos de 10% ao ano, o valor nominal deste único título é: R.: b (A) R$39.200, 00 (B) R$42.350, 00 (C) R$44.165, 00 (D) R$44.770, 00 (E) R$47.432, (TRE AM 2010 [FCC]) Uma pessoa deve para um banco a quantia de R$929, 70. Não tendo recursos para pagar a dívida à vista, faz um acordo com o banco para pagá-la em duas prestações de valores iguais, vencíveis em 30 e 60 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pelo banco é de 5% ao mês, o valor das parcelas é, em reais e considerando duas casas decimais, R.: c (A) 464,85 (B) 488,09 (C) 500,00 (D) 511,34 (E) 516,50 8. (SERPRO 2008 [CESPE]) Uma loja de eletrônicos anunciou um televisor de plasma no valor de R$6.000, 00 e ofereceu a um cliente três opções de pagamento para a compra do televisor: R.: Errado, Certo, Certo I à vista com 12% de desconto; II em duas prestações mensais iguais e consecutivas, sem desconto, a primeira vencendo um mês após a compra; III em três prestações mensais iguais e consecutivas, sem desconto, a primeira vencendo no ato da compra. A propósito dessa situação, tomando 0,91 e 0,83 como os valores aproximados de 1, 1 1 e 1, 1 2, respectivamente, e sabendo que o cliente consegue aplicar seu capital a juros compostos mensais de 10%, julgue os itens seguintes A opção I é a mais vantajosa para o cliente A opção menos vantajosa para o cliente é a opção III Se o cliente escolher a opção II e aplicar, no ato da compra, um capital de R$2.730, 00, então, um mês após a compra, o montante auferido será suficiente para pagar a primeira prestação. 14

15 9. Numa loja de veículos usados, são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um carro: Plano A - dois pagamentos, um de $1.500, 00 no final do sexto mês e outro de $2.000, 00 no final do décimo segundo mês. Plano B - três pagamentos iguais de $1.106, 00 de dois em dois meses, com início no final do segundo mês. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento? R.: VPL A: 2.434,66 e VPL B: 2.842, Um certo equipamento é vendido à vista por $50.000, 00 ou a prazo, com entrada de $17.000, 00 mais três prestações mensais iguais a $12.000, 00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa é de 5% a.m.? R.: VP B: , Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $50.000, 00 à vista ou, a prazo conforme o seguinte plano: Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a primeira de $22.500, 00, vencíveis em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do mercado, calcule o valor da última parcela. R.: , Uma loja vende determinado tipo de televisor nas seguintes condições: $400, 00 de entrada, mais duas parcelas mensais de $400, 00, no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor à vista do televisor se a taxa de juros mensal é de 3%? R.: 1.165,38 15

16 6 Rendas ou Anuidades Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou recebimentos) realizados em épocas distintas, destinados a amortizar uma dívida ou constituir um fundo e reserva. Se estes pagamentos ou recebimentos são periódicos e constantes, a renda chama-se renda uniforme. Se o número de pagamentos puder ser considerado infinito, então a renda é chamada perpétua. As rendas ou anuidades podem ser: i) Imediatas (ou postecipadas): os pagamentos ocorrem imediatamente após cada período (no fim de cada período). ii) Antecipadas: os pagamentos ocorrem no início de cada período. iii) Diferidas (ou com carência): uma renda diferida de m períodos é a que o primeiro pagamento ocorre ao final de m+1 períodos. 6.1 Presente Valor ou Valor Atual de uma Renda Uniforme (PV) É igual à soma dos valores atuais de seus termos (pagamentos). Supondo uma Renda Unitária Imediata, seu presente valor (An) é dado por : = ( ) ou = ( ) ( ) O presente valor da renda unitária pode ser utilizado para obter o PV de qualquer renda uniforme. 16

17 6.1.1 PV de uma renda imediata (ou postecipada): = O PV equivale a substituir os n pagamentos por um único, com vencimento no período imediatamente anterior ao do primeiro pagamento. Ex. 1) Qual o valor da prestação de um financiamento de R$ a ser pago em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira após 30 dias do empréstimo, e com uma taxa de juros de 2% ao mês? = (, ), (, ) = 16,35 e = PMT x 16,35 => PMT = 611,57 Ex. 2) Quanto deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retorno,12 parcelas mensais de R$1.800, sendo a primeira um mês após a aplicação, e sabendo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês? = (, ), (, ) = 11,11 e PV = x 11,11 = , PV de uma renda antecipada: = ( + 1) Ex. 3) Qual a prestação de um financiamento de R$ a ser pago em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira como entrada, e com uma taxa de juros de 3% ao mês? = (, ), (, ) = 14,32 e = PMT x (14,32 + 1) => PMT = 652,58 Ex. 4) Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em 8 prestações mensais de R$160,00, sendo a primeira de entrada, sabendo que a taxa de juros usada é de 2,2% ao mês? = (, ), (, ) = 6,42 e PV = 160 x (6,42 + 1) = 1.187, PV de uma renda diferida m períodos (ou com carência de m períodos): A renda diferida é aquela cujo presente valor é calculado antes do início de renda. Se a renda for postecipada: = (1 + ) Obs.: Se a renda for antecipada, então, tem-se = ( + 1) (1 + ) que é o mesmo que uma renda postecipada de carência m-1 períodos: = (1 + ) ( ) Ex. 5) Uma empresa comprou uma máquina e financiou o seu valor em 6 prestações mensais de R$ cada, com 3 meses de carência. Se a taxa cobrada no financiamento é de 8%a.m., qual o valor da máquina à vista? = (, ), (, ) = 4,62 e PV = x 4,62 x (1 + 0,08) -3 = ,86 17

18 6.1.4 PV de uma perpetuidade = Ex. 6) Que capital deverá ter uma pessoa que deseja uma renda mensal perpétua de R$2.000, sabendo-se que a taxa de juros paga é de 1% ao mês? =. = Ou seja, uma pessoa com capital de $ que aplicá-lo a 1% ao mês, terá uma, renda perpétua de $2.000 mensais. 6.2 Presente Valor de uma renda de fluxo não uniforme O presente valor de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o presente valor de cada fluxo individualmente, e somando-se depois todos os valores encontrados. Ex. 7) Calcule o presente valor do seguinte fluxo de caixa, considerando uma taxa de juros de 10% a.p. PV1 = 100 x (1 + 0,1) -1 = 90,9 PV2 = 170 x (1 + 0,1) -2 = 140,5 PV3 = 200 x (1 + 0,1) -3 = 150,3 PV4 = 140 x (1 + 0,1) -4 = 96,6 PV = PV1 + PV2 + PV3 + PV4 = 477,3 6.3 Futuro Valor ou Montante de uma Renda Uniforme (FV) É a soma dos montantes dos depósitos calculados a partir da data do primeiro até o último depósito. Supondo uma Renda Unitária Imediata, seu Futuro valor (S n) é dado por : = (1 + ) 1 O futuro valor da renda unitária pode ser utilizado para obter o FV de qualquer renda uniforme FV de uma renda imediata (ou postecipada): = O futuro valor de uma renda substitui os n depósitos por um único com vencimento na data do último. Ex. 8) Quanto deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter R$ daqui a 12 meses aplicando o dinheiro a uma taxa de 1,5% ao mês, considerando que o resgate ocorrerá no momento da última parcela? = (, ), = 13,04 e = PMT x 13,04 => PMT = Ex. 9) Uma instituição de previdência privada utiliza-se das seguintes taxas de juros: paga 0,95% ao mês sobre os depósitos (contribuições) feitos pelos seus clientes e paga 0,45% ao mês sobre o capital acumulado 18

19 para compor a renda vitalícia (aposentadoria) deles. De quanto deverá ser a aposentadoria de uma pessoa que contribui com R$66,36 no fim de cada mês durante 35 anos? = (, ), = 5.478,57. Portanto, o valor acumulado ao longo dos 35 anos é de FV = 66,36 x 5.478,57 = ,68. Logo, a aposentadoria será de PMT = ,68 x 0,0045 = 1.636, FV de uma renda antecipada: = (1 + ) Ex. 10) Se eu depositar num fundo de investimentos, no início de cada mês, R$1.500, durante 10 meses, quanto terei no final do décimo mês, se o fundo remunera a uma taxa de 0,8% ao mês? = (, ), = 10,37 e FV = x 10,37 x (1 + 0,008) = ,10 Exercícios: 1) Você está fazendo uma poupança pois precisa ter $ ,00 daqui a 8 anos para comprar uma casa. Quanto você deve depositar anualmente num investimento de renda fixa que rende 15% ao ano, considerando que o seu primeiro depósito ocorrerá exatamente daqui a um ano, e todos estes depósitos anuais serão do mesmo valor? R.: $10.927,51 2) No mesmo exemplo anterior, qual seria o valor anual a ser depositado, considerando que o primeiro depósito ocorrerá imediatamente? R.: $9.502,19 3) Qual é o Valor Futuro que você obtém investindo $250,00 todo mês numa aplicação que rende 1% a.m., durante cinco anos? R.: $20.417,42 4) Qual o Valor Presente de uma Perpetuidade de $2.500 anuais, a uma taxa de juros de 20% ao ano? R.: $12.500,00 5) As ações da Datalog S.A. pagam um dividendo anual de $12,00. A expectativa do mercado é de que este dividendo se mantenha constante no futuro. Se a taxa de juros a ser utilizada for de 15% a.a., qual deve ser o valor desta ação? R.: $ ) Uma ação está sendo negociada no mercado a $50,00. Espera-se que a empresa distribua dividendos anuais constantes de $15,00 no futuro, e sabe-se que o custo de capital da empresa é de 20% a.a. Este preço está correto? Você deve comprar ou vender esta ação? R.: $75,00, compra. 7) Um aparelho é vendido por uma loja à vista por $ Se a loja utiliza uma taxa de juros compostos de 2,75% ao mês para financiar este aparelho, calcular o valor da prestação caso a venda ocorra em 10 parcelas iguais mensais. Considerar dois casos: com e sem entrada. R.: Com entrada: $270,34. Sem entrada: $277,78 19

20 8) Uma pessoa está planejando uma renda vitalícia para daqui a 20 anos de $3.500 mensais. Sabendo que a instituição financeira paga juros a uma taxa de 0,85% ao mês, quanto ela deverá depositar mensalmente durante estes 20 anos? R.: $523,88 9) Calcular o montante produzido por 12 parcelas de R$1.000,00 colocados mensalmente a juros de 3% ao mês, sendo a primeira parcela antecipada. R.: R$14.617,76 10) Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18% ao ano, para constituir o montante de R$50.000,00 no fim de 3 anos, sendo os juros capitalizados semestralmente? R.: R$6097,26. 11) Uma loja de departamentos está vendendo um determinado modelo de máquina de lavar, cujo preço à vista é R$2.000,00. Se a taxa de juros cobrada for de 1,25% a.m., em regime de juros compostos, pede-se determinar o valor da prestação para cada um dos seguintes planos de financiamento com: a) 1+24 prestações mensais; isto é, uma entrada, na data da compra, igual ao valor das 24 prestações mensais. R.: R$92,50 b) 15 prestações mensais, a primeira daqui a 10 meses (ou seja, com carência de 9 meses). R.: R$164,45 c) 1+7 parcelas iguais e trimestrais. R.: R$283,82 12) O vendedor de um carro usado pede R$ ,00 à vista por ele. Suponha que o proprietário receba a proposta de receber R$20.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais de R$3.500,0 cada uma, com a primeira vencendo 6 meses após a data da compra. Considerada a taxa de juros de 3,3%a.m., deve ele aceitar ou não a proposta? R.: Não. PV da proposta é de R$49.095,00 13) Um determinado televisor é vendido pela Loja 1 em 24 prestações iguais mensais de $122,00 cada, sem entrada. A Loja 2 vende o mesmo televisor em 12 prestações de $228,67 cada, sem entrada. Se as duas lojas praticam juros a uma taxa de 2% ao mês, em qual loja o valor à vista é menor? R.: Loja1: $2.307,50 à vista (Loja2: $ 2.418,26 à vista) 14) Desejando fazer um empréstimo de $30.000, certa pessoa procura um banco que pratica taxa de juros compostos de 3,8% ao mês. Se esta pessoa não pode pagar mais de $1.500 por mês, qual o número de prestações que deverá ter este financiamento? R.: 39 prestações de $1.487,30 15) Hoje, certa pessoa possui $ aplicados num banco a uma taxa de juros compostos de 1,6% ao mês. Ela deseja comprar um apartamento que lhe é oferecido nas seguintes condições: $ à vista ou $ de entrada mais 120 prestações mensais de $1.485,20 cada. Qual a melhor condição de compra? R.: A melhor condição é à vista, pois o comprador teria que dispor de $79.007,80 da sua aplicação (a 1,6% a.m.) para saldar as prestações, contra os $ que teria que dispor para pagamento a vista. 16) Uma pessoa deposita em uma instituição financeira, durante 5 meses, a quantia de R$100,00. Calcule o montante da renda, a juros compostos de 2% ao mês, se os depósitos são efetuados: a) no fim de cada mês; R.: R$520,40 b) no início de cada mês. R.: R$530,81 20

21 17) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ ,00? R.: R$30.347,40 18) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depósitos antecipados constitua o capital de R$ ,00. Calcule a importância. R.: R$17.524,73 19) Determine o valor presente e o valor futuro para a renda postecipada constituída por oito prestações mensais de $5.000,00, diferidas em dois meses e com taxa de juros de 3% am. R.: PV = $33.083,46; FV = $44.461,68 20) Uma mercadoria com valor à vista de $5.000,00 é vendida em seis prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira após o decurso de quatro meses da compra (no início do quarto mês). Determine o valor da cada prestação sabendo que a taxa de juros é 6% as. R.: $887,18 21) Um produto no valor de $ 1.500,00 à vista pode ser financiado em quatro pagamentos iguais, mensais, sendo o primeiro no ato da compra. Se a taxa de juros vigente for 6% am, qual será o valor do pagamento? R.: $ 408,38 22) Um produto é vendido (1) à vista por $ 960,00 ou, alternativamente, (2) em quatro prestações de $250,00 vencíveis a 30, 60, 90 e 120 dias. Considerando que o rendimento do capital aplicado no mercado financeiro é de 1% am, determine qual é a melhor alternativa de compra para o interessado. R.: alternativa 1: PV = $ 975,49 21

22 7 Sistemas de Amortização O sistema de amortização de empréstimos consiste no pagamento de valores em épocas pré-determinadas. Estes pagamentos, denominados prestações, compõem-se de duas parcelas: as amortizações, que correspondem ao valor pago do capital emprestado, e os juros, que são calculados sobre o saldo devedor do empréstimo. Plano de amortização é uma tabela que apresenta o histórico desses pagamentos; ou seja, discrimina a época da sua realização, o valor da prestação, o valor do juro relativo ao saldo devedor, o valor da amortização do capital e o novo saldo devedor. Definições: a) saldo devedor: parcela ainda devida do capital; b) juro: calculado sobre o saldo devedor; c) amortização: abatimento do saldo devedor; d) prestação: amortização mais o juro. Existem vários sistemas para cálculo de amortização de empréstimos; dentre eles: 1) Sistema Price de Amortização (Francês); 2) Sistema de Amortização Constante (SAC); 3) Sistema Americano de Amortização. 7.1 Sistema Price de Amortização (Francês) A parcela periódica de pagamentos é constante e compreende os juros do período mais amortização de parte do principal. Ex. 1: Suponha um empréstimo contraído de $ , a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SFA e com taxa de juros de 15% ao ano: No sistema Francês (ou Price), o valor da prestação é constante e é calculado com a fórmula do PV de anuidades postecipadas, neste caso: =, com PV = e n = 6; logo, PMT = $ ,91. Planilha de Amortização: n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor , x0,15 = , = , ,91= , , ,09 x 0,15 = , , ,46 = , , ,45 = , , ,64 x 0,15 = , , ,60 = , , ,64 = , , , , , , , , , , , ,20 0,00 Observações: - As prestações são iguais, a amortização cresce e os juros decrescem ao longo do tempo; - Os juros de um determinado ano são calculados sobre o saldo devedor do ano imediatamente anterior; - A amortização de cada ano é a diferença entre a prestação e os juros do mesmo ano; - O saldo devedor de um determinado ano é a diferença do saldo devedor do ano imediatamente anterior pela amortização do ano vigente. 22

23 7.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) A amortização corresponde ao capital dividido pelo número de prestações. As prestações, portanto, são decrescentes, pois cada uma delas compreende o pagamento de juros e da amortização de parte do principal. Ex. 2: Suponha um empréstimo de $ , a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SAC com taxa de juros de 15% ao ano: Para calcular o valor da amortização em cada período: çã = =.. = ,67 Planilha de amortização: n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor , = , x0,15 = , ,67 = , , = , ,33x0,15 = , , ,67 = , , = , ,67x0,15 = , , ,67 = , , , , , , , , ,67 0,00 Os juros de cada período são calculados pela taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. O valor de cada prestação é a soma da amortização com os juros respectivos. 7.3 Sistema Americano de Amortização É realizado o pagamento somente dos juros ao final de cada período e, ao final do prazo do empréstimo, é pago, além dos juros do último período, também o principal integral. Ex. 3: Suponha um empréstimo de $ sobre o qual incidam juros à taxa de 15% a.a., amortizado pelo sistema americano com prazo de 6 anos: Planilha de Amortização: n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor x0,15 = , x0,15 = , x0,15 = , , , ,00 Exercícios: 1) O financiamento de um equipamento no valor de $60.000,00 é feito pela tabela Price em 6 meses, à taxa de 10% ao mês, sendo os juros capitalizados no financiamento. Como fica a planilha de financiamento com a primeira prestação vencendo daqui a um mês? 23

24 n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 0 $ ,00 2) Um automóvel no valor de $40.000,00 foi financiado segundo um sistema de prestações constantes. Sabendo que serão pagas 5 parcelas sem entrada e que a taxa de juros vigente na operação foi igual a 5% ao mês, componha, para cada período, o valor pago a título de juros e a título de amortização. n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 0 $ ,00 3) O financiamento de um equipamento no valor de $60.000,00 é feito pelo sistema SAC em 6 meses, à taxa de 10% ao mês, sendo os juros capitalizados no financiamento. Como fica a planilha de financiamento com a primeira prestação vencendo daqui a um mês? n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 0 $ ,00 4) Um automóvel no valor de $40.000,00 foi financiado segundo um sistema de amortizações constantes. Sabendo que serão pagas 5 parcelas sem entrada e que a taxa de juros vigente na operação foi igual a 5% ao mês, componha, para cada período, o valor pago a título de juros e a título de amortização. n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 0 $ ,00 5) Elabore a planilha de amortização para o sistema americano de um financiamento de $ ,00 com uma taxa de juros de 10% ao mês a ser paga em 3 parcelas. n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 0 $ ,00 24

25 6) Uma pessoa comprou um apartamento e captou parte do valor através de um banco, nas seguintes condições: Valor do apartamento: $ Valor da poupança: $ (Dado de entrada) Número de Prestações: 24 mensais Amortização: Sistema Francês de Amortização Taxa Nominal de Juros: 9% ao ano Um mês após o pagamento da 6ª prestação, esta pessoa propôs ao banco liquidar a dívida. Qual o valor que ela deve pagar ao banco? R.: $27.802,86 n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor ) Uma empresa tomou um empréstimo para ser amortizado em 12 prestações mensais iguais. Se a taxa de juro contratada é de 8%a.m. e o juro pago na primeira prestação foi de R$3.200,00. Qual o valor das prestações mensais? R.: R$5.307,80 8) Um determinado bem pode ser adquirido por $1.000,00 à vista ou, alternativamente, por 4 planos equivalentes de financiamento a taxa de 10% a.a. que apresentam os esquemas de pagamentos vistos na tabela a seguir, em forma de pagamentos anuais (em $): Plano A: Plano B: Elabore uma tabela para cada um destes 4 planos de financiamento que permita obter o desdobramento dos pagamentos anuais em juros e amortização, à taxa de 10% ao ano, e que, ainda, forneça o saldo devedor (SD) ao final de cada ano, antes e depois de cada pagamento. n Prest. Juro Amort. SD n Prest. Juro Amort. SD Plano C: Plano D: n Prest. Juro Amort. SD n Prest. Juro Amort. SD

26 9) Um banco concede um financiamento de RS ,57 para ser liquidada em 4 pagamentos mensais pelo SAC. A operação é realizada com carência de cinco meses, sendo juros capitalizados neste período e incorporados ao saldo devedor. A taxa efetiva de juros é 27,8% a.a. Construir a planilha deste financiamento. (R.: Amortização = ,48) n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor % am R$ ) Um financiamento de R$ ,02 deverá ser amortizado em quatro meses com taxa de juros de 0,8% a.m. Faça a planilha de amortização pelo Sistema Francês de Amortização - Tabela PRICE. (R.: Prestação = 5.067,51) n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor % am R$

27 8 Análise de Alternativas de Investimento Antes de serem analisados alguns critérios de tomada de decisão sobre investimentos financeiros, seguem algumas definições preliminares. 8.1 Fluxo de Caixa O fluxo de caixa é uma tabela ou um diagrama onde são mostradas as entradas e saídas de dinheiro de um empreendimento, negócio, investimento, etc, no decorrer de um determinado período. O fluxo de caixa pode ser representado através de tabela ou diagrama: Este exemplo mostra o fluxo de caixa de uma empresa num período de cinco de meses. O saldo de cada mês é calculado pela entrada do mês menos a saída deste mês. A linha Saldo Acumulado contém o saldo total do negócio acumulado mês a mês. Ele é calculado somando-se o saldo acumulado do mês anterior com o saldo do mês. Este fluxo de caixa pode ser representado também por um diagrama, mostrando todas as entradas e saídas. Neste caso, as entradas são representadas com setas para cima e as saídas com setas para baixo e todas com os respectivos valores: Algumas vezes usa-se os valores de saída entre parênteses para diferenciá-los dos valores de entrada. Para o uso na análise de investimentos é mais prático usar o fluxo de caixa livre onde estão apenas os valores do saldo mensal como se segue: 27

28 8.2 Taxa Mínima de Atratividade - TMA Quando tomar uma decisão de investimento o investidor deve ter um parâmetro de comparação entre o que ele considera desejável ou atrativo. Este parâmetro é chamado de Taxa Mínima de Atratividade e representa uma taxa de juros mínima de rentabilidade que o investidor deseja para aquele tipo de investimento. A taxa mínima de atratividade é determina por cada investidor. Você pode ter investidores distintos que num mesmo tipo de investimento tenham taxas distintas. 8.3 Critérios de Tomada de Decisão Seguem os principais métodos de tomada de decisão na análise de alternativas de investimento Valor Presente Líquido VPL Este método consiste em calcular os capitais equivalentes de todas as entradas e saídas de caixa, na data focal ZERO, utilizando como taxa de juros a Taxa Mínima de Atratividade (ou uma taxa de referência dada). Somam-se todos os capitais equivalentes das entradas de caixa e subtrai-se da soma de todos os capitais equivalentes das saídas de caixa obtendo-se o Valor Presente Líquido (VPL) do investimento. Se o VPL for maior que zero, implica que o investimento é atrativo (tem rentabilidade maior que a taxa mínima de atratividade). Se o VPL for menor que zero, implica que o investimento não é atrativo (tem rentabilidade menor que a taxa mínima de atratividade). Se o VPL for igual a zero, implica que o investimento tem rentabilidade igual à taxa mínima de atratividade. Obs.: para usar este método na comparação de duas ou mais alternativas de investimentos, o tempo de duração deve ser igual para todos os investimentos. Ex. 1: Suponha um projeto com duração de seis anos, que demande um investimento único inicial no valor de $ e que forneça um fluxo de caixa, livre de taxas e impostos conforme diagrama a seguir. O custo de capital para o levantamento dos $ junto aos bancos é de 10% a.a. Qual é o Valor Presente Líquido deste projeto? VPL = (1+0,1) (1+0,1) (1+0,1) (1+0,1) (1+0,1) (1+0,1) -6 = 739,59 Isto significa que este projeto gera fluxos de caixa suficientes para pagar o custo do projeto à taxa de 10% a.a. e ainda deixa um resultado líquido (VPL) de $740 para os investidores. Ex. 2: Um investidor deseja comprar um imóvel por $ Ele prevê gastar em reformas, $ no primeiro mês, $ no segundo mês, $ no terceiro mês, $ no quarto mês e $9.000 no quinto mês e espera vendê-lo no sétimo mês por $ Usando o Método do VPL verificar se este investimento é atrativo para uma taxa mínima de atratividade de 42,6% ao ano. 28

29 A taxa equivalente ao mês: (1 + i m) = (1 + i a) 1/12 => i m = 1,426 1/12 1 = 3%a.m. VPL = (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03) -7 = ,90 Como VPL é maior que zero então o investimento é atrativo Taxa Interna de Retorno TIR Este método consiste em encontrar a taxa de juros que faz o VPL do fluxo de caixa se igualar a zero. Esta taxa de juros é chamada de TIR (Taxa Interna de Retorno) e representa a real rentabilidade do investimento. Para a análise do investimento considera-se: Se a TIR for maior que a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento é atrativo (tem rentabilidade maior que a taxa mínima de atratividade). Se a TIR for menor que a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento não é atrativo (tem rentabilidade menor que a taxa mínima de atratividade). Se a TIR for igual à taxa mínima de atratividade, implica que o investimento tem rentabilidade igual à taxa mínima de atratividade. Não existe um método analítico para o cálculo da TIR. Deve-se recorrer a um método numérico, ou o método da tentativa e erro. Ex. 3: No exemplo 2 do item 6.3.1, VPL = (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR) -7 = 0 Resolvendo numericamente, TIR = 6,26% a.m Método do Payback Descontado - PBD O método do payback descontado consiste em medir o prazo de recuperação do capital considerando o valor do dinheiro no tempo. O PBD representa o prazo de retorno do investimento, considerando a TMA. A desvantagem é que o método desconsidera alguns valores do fluxo de caixa. Ex. 4: A aquisição de um novo equipamento exige um investimento inicial de R$ Considerando a vida útil de 10 anos e retornos anuais líquidos previstos de R$ nos quatro primeiros anos e R$ do quinto ao décimo ano, calcule o prazo de retorno do capital através do método do PBD, com uma TMA de 10%a.a. n Saldo Investimento Corrigido Retornos Saldo de Investimento 0 (50.000,00) ,1x = (55.000,00) ,00 (43.000,00) ,1x = (47.300,00) ,00 (35.300,00) ,1x = (38.830,00) ,00 (26.830,00) 4 (29.513,00) ,00 (17.513,00) 5 (19.264,30) ,00 (4.264,30) 6 (4.690,73) , ,27 PBD = 5 +.,. = 5,31 anos. 29

30 Exercícios: 1) A gerência de uma fábrica está pretendendo instalar uma nova máquina. A proposta de investimento envolve um gasto inicial de R$45.000, proporcionando uma redução nos custos da ordem de R$8.000 por ano, durante os 10 próximos anos. Determinar o prazo de retorno do investimento via PBD, considerando uma TMA de 5%a.a. R.: 6,77 anos n Saldo Investimento Corrigido Retornos Saldo de Investimento 0 (45.000,00) , , , , , , , , ,00 2) Ainda sobre a fábrica do exercício anterior, se o gasto inicial for de R$50.000, a redução de custo for de R$8.000 até o 3º ano e, do 4º ao 10º, a redução for de R$10.000, o prazo de retorno deste investimento é menor ou maior do que o analisado anteriormente? (Considere a mesma TMA.) R.: prazo = 6,66anos n Saldo Investimento Corrigido Retornos Saldo de Investimento 0 (50.000,00) , , , , , , , , ,00 3) Um projeto de investimento apresenta o seguinte fluxo de caixa: a) Determine o seu VPL para taxas de desconto variando entre 0% e 50%. 0%: VPL = 10%: VPL = 20%: VPL = 30%: VPL = 40%: VPL = 50%: VPL = b) Utilizando o plano cartesiano ao lado, trace o gráfico da curva VPL x Taxa de Desconto. c) Identifique usando o gráfico a Taxa Interna de Retorno desse projeto com uma precisão de 5%. R.: entre 25% e 30% d) Para uma TMA de 40%, este investimento é atrativo, de acordo com o critério do VPL? Por quê? R.: Não. VPL = R$-530,00 < 0 30

31 4) Para os dois projetos mutuamente exclusivos abaixo, calcule o VPL, adotando uma taxa de desconto de 10%a.p. Qual dos dois é mais atrativo segundo este critério? R.: A) VPL = 7.698,7 e B) VPL = ,8 5) Consideremos um investimento em uma máquina no valor de $10.000,00 com vida útil de 5 anos, valor residual de $1.250,00 (valor de venda da máquina) e cujos produtos gerarão receitas líquidas futuras anuais de $3.750,00. O diagrama de fluxo de caixa encontra-se ao lado. Considerando uma taxa de 15% aa, o investimento na máquina é vantajoso? R.: VPL = 3.192,05 Ano Entradas 0 (R$ ,00) 1 R$ ,00 2 R$ ,00 3 R$ ,00 4 R$ ,00 5 R$ ,00 6) Usando o método do Payback Descontado, com uma TMA (Taxa Mínima de Atratividade) de 10% aa, calcule o prazo de retorno de um investimento que tem o seguinte fluxo de caixa: (R.: 4,12anos) 7) Calcular o VPL do seguinte projeto, considerando uma taxa de desconto de 10% a.m.: investimento inicial de R$: 200,00; retornos mensais, em R$: 83,00; 84,00, 85,00 e 86,00. (R.: VPL= R$ 67,48) USANDO O LIBREOFFICE Pesquise na internet como utilizar as funções VPL e TIR do LibreOffice e resolva: 8) Repetir o Exercício 7) usando o recurso computacional. 9) Calcular a TIR de um projeto com as seguintes características: investimento inicial de R$: 150,00; retornos mensais, em R$: 30,00; 36,00, 45,00 e 65,00. (R.: 5,90%) 10) Utilizando o critério da TIR, qual é o melhor projeto? A: Investimento inicial de R$: 100,00; retornos mensais, em R$: 40,21, 40,21 e 40,21. B: Investimento inicial de R$: 100,00; retornos mensais, em R$: 30,00, 30,00, 30,00 e 30,00. (R.: TIR A = 10,00%; TIR B=7,71%. O projeto A é melhor.) 11) Das alternativas de investimento abaixo, qual é a melhor, considerando uma TMA de 2%a.a.? Utilize a TIR. (R.: Critério de aceitação: aceitam-se as três alternativas pois possuem TMR > 2%. Critério de seleção: Selecionamos a de maior TIR, ou seja, a alternativa Y, com TIR = 16% a.a.) 31

32 12) Considere os seguintes projetos: Calcular o Payback Descontado, a TIR e o VPL (taxa de desconto de 5% a.a.). Em sua opinião, qual o melhor projeto? Justifique seu ponto de vista. (R.: O melhor projeto depende do critério que o investidor escolher. Escolha e justifique. PBD A = 2,51 anos; PBD B = 2,35 anos; PBD C = 2,41 anos; TIR A = 25%; TIR B = 23%; TIR C = 21%; VPL A = R$43,38; VPL B = R$44,56; VPLC = R$34,93. REFERÊNCIAS ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, DAL ZOT, Wili Alberto Brancks. Matemática financeira. 4. ed. Porto Alegre: UFRGS, HAZZAN, Samuel; POMPEO, Jose Nicolau. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva,