DIMENSIONAMENTO DE MALHAS DE FURAÇÃO PARA DESMONTE DE ROCHAS COM ARGAMASSA EXPANSIVA POR MECÂNICA DE FRATURA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MINAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MINERAL DIMENSIONAMENTO DE MALHAS DE FURAÇÃO PARA DESMONTE DE ROCHAS COM ARGAMASSA EXPANSIVA POR MECÂNICA DE FRATURA AUTOR: Eduardo da Cruz Reis ORIENTADOR: Prof. Rodrigo Peuci de Figueiredo Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação do Departamento de Engenharia de Minas da Escoa de Minas da Universidade Federa de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para a obtenção do títuo de Mestre em Engenharia Minera Área de Concentração: Lavra de Minas. Ouro Preto, junho de 004.

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3 À memória de meu pai, Gastão da Cruz Reis. iii

4 AGRADECIMENTOS. Ao Prof. Orientador Rodrigo Peuci de Figueiredo, peos ensinamentos, orientação e constante apoio e incentivo durante toda a reaização deste trabaho. Aos coegas e amigos que fiz em Ouro Preto, em especia a Aysson e Geidson com quem tive o prazer de conviver. Aos amigos da Rep. Diretoria peo convívio e aprendizado no dia a dia... vaeu Diretores. Aos Profs. Caros Aberto Pereira e Leonardo Godefroid peo suporte em parte dos trabahos experimentais e incentivo. Aos professores do programa peas oportunidades de aprendizagem. À CAPES peo apoio financeiro. À minha famíia que sempre me apoiou e acreditou em mim. iv

5 RESUMO O objetivo desta dissertação de mestrado foi estabeecer um critério raciona de dimensionamento da maha de furação para desmontes com argamassas expansivas. Fundamenta-se o mesmo em conceitos da Mecânica de Fratura. Para tanto, foram desenvovidas souções anaíticas para o Fator de Intensidade de Tensões (FIT) no modo I de propagação (K I ), com base nas técnicas de anáises assintóticas de dipoos (interação entre os furos) e de vigas (interação fraturas x superfície ivre). As souções obtidas foram vaidadas por comparação com souções computacionais fornecidas peo Método dos Eementos Finitos (MEF). O critério resutante pode ser incorporado facimente em panihas eetrônicas e, assim, ser utiizado ampamente na indústria. Adicionamente, houve também uma preocupação em se desenvover técnicas expeditas de determinação da tenacidade à fratura no modo I (K IC ). Assim, correações empíricas entre a mesma e índices obteníveis com equipamentos portáteis de fáci utiização em campo (escerômetro de Schmidt e máquina de ensaio Point Load), bem como a densidade, foram estabeecidas. Aternativamente, um ábaco que torna possíve avaiar K IC e/ou G IC (Critica Strain Energy Reease Rate) das rochas, com base na medida da deformação radia e dos comprimentos das fraturas propagadas em furos carregados com argamassa, também foi desenvovido. v

6 ABSTRACT The objective of this master's degree dissertation was to estabish a rationa design method of the driing patterns for rock cutting operations with expansive mortar. It is based on Fracture Mechanics. In order to do this, anaytica soutions for the Mode I Stress Intensity Factor (K I ) have been deveoped, based on the techniques of asymptotic anayses of dipoes (for the interaction between hoes) and beams (for the interaction between cracks and free surface). The obtained soutions were vaidated by comparison with Finite Eement Method (FEM) resuts. The resutant criterion can be incorporated easiy in eectronic spreadsheets and, thus, to be used widey in the industry. Additionay, practica ways for evauation of the Mode I Fracture Toughness (K IC ), it was a concern. Empirica correations between K IC and index properties of rocks, obtainabe with portabe equipments of easy use in fied works (Schmidt hammer and Point Load test machine), as we as the density, has been estabished. Aternativey, an abacus wich becomes possibe to evauate K IC and/or G IC (Critica Strain Energy Reease Rate), on the basis of the fied measured radia strain and in the ength of the cracks propagated from the hoes oaded with expansive mortar, aso was deveoped. vi

7 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS...ix LISTA DE TABELAS...xiv LISTA DE SIGLAS E SÍMBOLOS...xv CAPÍTULO I INTRODUÇÃO..... Conteúdo e Acapituação..... Objetivos... CAPÍTULO II ARGAMASSA EXPANSIVA Introdução Desmonte de Rochas com Argamassa Expansiva...5 CAPÍTULO III MECÂNICA DE FRATURA Mecânica de Fratura Eástica Linear Introdução Concentração de tensão Modo de separação da ponta da trinca Aproximação peo campo das tensões eásticas Aproximação peo baanço de energia Reação entre K e G.....Mecânica de Fratura Apicada às Rochas Introdução Fraturamento por exposivos Fraturamento hidráuico Fraturamento por compressão... CAPÍTULO IV MECÂNICA DE FRATURA APLICADA AO DESMONTE COM ARGAMASSA EXPANSIVA Introdução...6 vii

8 4.. Propagação de Trincas Próximas a uma Face Livre Interação entre Trincas Dispostas numa Linha Infinita Adaptação ao Probema do Desmonte com Argamassa Expansiva...44 CAPÍTULO V PROCEDIMENTOS NUMÉRICOS E EXPERIMENTAIS EM MECÂNICA DE FRATURA Introdução Procedimentos Numéricos Método dos Eementos Finitos Procedimentos Experimentais Ensaios por fexão com entahe em chevron Ensaios índices Carga Puntiforme Escerômetro de Schmidt...59 CAPÍTULO VI RESULTADOS EXPERIMENTAIS Introdução Determinação da Tenacidade à Fratura (K IC ) Determinação do Índice de Carga Puntiforme (I S(50) ) Determinação do Índice Escerométrico (HR) Determinação da Densidade (ρ) Correações K IC e I S(50) K IC e ρ K IC e HR ρ e HR I S(50) e HR I S(50) e ρ Discussão dos resutados...76 CAPÍTULO VII RESULTADOS NUMÉRICOS E ANALÍTICOS Introdução...79 viii

9 7.. Resutados Numéricos Resutados Anaíticos Comparação entre Resutados Numéricos e Anaíticos...98 CAPÍTULO VIII CONCLUSÕES E SUGESTÕES Concusões Sugestões...06 Referências Bibiográficas...08 Anexo...7 Derivada da Eq. (05)...7 Anexo... Exempo do Processo Iterativo de Obtenção do Espaçamento Ótimo (S ótimo )... ix

10 LISTA DE FIGURAS Figura. - Linha de furos mostrando a direção preferencia de propagação das trincas (Kayati, 994)...6 Figura. - Variação do espaçamento com o diâmetro...7 Figura. - (a) Linha de ruptura devido à ação de forças, F, iguais e contrárias; (b) semicircunferência submetida à ação da pressão P da AE e aos esforços de reação F/..7 Figura. - Chapa com um furo eíptico sob tensão de tração uniforme (modificada de Rocha, 994)... Figura. - Trinca de comprimento a, em uma paca sob tração uniaxia (geometria de Griffith) (modificada de Rocha, 994)... Figura. - Concentração de tensão em uma paca com um furo eíptico (modificada de Rocha, 994)... Figura.4 - Os três possíveis modos de abertura da ponta da trinca, (a) modo I, (b) modo II e (c) modo III (Freitas,99)...5 Figura.5 - Sóido de dimensões infinitas, com uma trinca interna de comprimento a e o estado de tensão em um ponto próximo da mesma (modificada de Rocha, 994)...6 Figura.6 - Sóido infinito com um furo eíptico submetido a uma tensão de tração uniforme distante (Shah et a.,995)...8 Figura.7 Configurações dos carregamentos estudados por Ouchterony (974)...6 Figura.8 Comparação entre a trinca com e sem penetração do gás (modificada de Ouchterony, 974)...7 Figura.9 Linha de furos do pré-corte anaisada por Jiang (996): (a) caso desfavoráve e (b) caso favoráve...8 x

11 Figura.0 Paca com furo interno pressurizado, do qua saem duas trincas diametramente opostas, submetida a um campo de tensões de compressão remoto... Figura. Superposição dos carregamentos para o FIT do fraturamento hidráuico... Figura. Tipos de fahas macroscópicas devido à interação das trincas dos furos circuares, resutantes de várias condições de carregamento (Sammis & Ashby, 986)... Figura. - (a) Paca com furo interno e duas trincas diametramente opostas submetida a um campo de tensões de compressão. (b) Efeito de fambagem, observado numa paca finita com um furo associado a trincas (Sammis & Ashby, 986)... Figura 4. - Paca com trinca interna incinada, submetida a um campo de tensões de compressão, onde se observa a direção preferencia de propagação da ponta da mesma (modificada de Germanovich & Dyskin, 000)...7 Figura 4. (a) Trinca muito menor que a distância da mesma à face ivre, /A << ; (b) trinca muito maior que a distância da mesma à face ivre, /A >>, com dipoo de forças concentradas e (c), com carga distribuída (modificada de Dyskin et a., 000)...8 Figura 4. Infuência da face ivre: () tensões geradas pea trinca na face ivre; () tensões refetidas pea face sobre o ponto centra da trinca e distribuídas uniformemente (modificada de Germanovich & Dyskin, 000)...9 Figura 4.4 (a) Probema rea (trinca origina); (b) aproximação por uma viga biengastada (modificada de Dyskin et a., 000)...40 Figura 4.5 Série de trincas coineares iguamente espaçadas num meio infinito...4 Figura 4.6 Trinca sob uma combinação de força concentrada (dipoo) e carga distribuída (tensão efetiva)...4 Figura 5. - Maha de eementos finitos...47 xi

12 Figura 5. Maha em torno da ponta de uma trinca (em vermeho)...5 Figura 5. Eemento singuar T6 quarter-point...5 Figura 5.4 Forma da zona não-inear (FPZ) na frente da ponta da trinca...54 Figura 5.5 Configuração do corpo de prova para ensaio de fexão (CNBP)...56 Figura 5.6 Diagrama esquemático dos aparehos de point oad (modificada de Bearman, 999)...57 Figura 5.7 Diagrama esquemático do funcionamento do escerômetro (modificada de Basu & Aydin, 004)...59 Figura 6. Máquina Servo-Hidráuica MTS Figura 6. Point Load...64 Figura 6. Escerômetro de Schmidt...66 Figura 6.4 Correação entre a tenacidade à fratura (K C ) e o índice do point oad (I S(50) )...69 Figura 6.5 Correação entre a tenacidade à fratura (K C ) e a densidade (ρ)...70 Figura 6.6 Correação entre a tenacidade à fratura (K C ) e a densidade (ρ)...7 Figura 6.7 Correação entre a densidade (ρ) e o índice escerométrico (HR)...7 Figura 6.8 Correação entre o índice do point oad (I S(50) ) e o índice escerométrico (HR)...75 Figura 6.9 Correação entre o índice do point oad (I S(50) ) e a densidade (ρ)...76 Figura 7. Maha representando um furo isoado próximo a uma face ivre...80 Figura 7. Maha representando uma inha de furos iguamente espaçados, próximos a uma face ivre...80 xii

13 Figura 7. Detahes das mahas mostrando as trincas iniciais e finais; (a) trinca inicia saindo de um furo isoado; (b) trinca fina que partiu de um furo isoado; (c) trincas iniciais saindo de furos, iguamente espaçados, dispostos numa inha infinita; (d) trincas finais que partiram de furos, iguamente espaçados, dispostos numa inha infinita...8 Figura 7.4 Comparação entre os FITs numéricos de um furo isoado com os de uma inha infinita de furos, ambos os casos, próximos a uma face ivre...8 Figura 7.5 Distribuição de tensões segundo σ y para a apicação de pressão sem a existência de trinca (s); (a) furo isoado; (b) visão ampiada das tensões próximas ao furo isoado; (c) inha infinita de furos; (d) visão ampiada das tensões próximas a um dos furos da inha infinita...8 Figura 7.6 Distribuição de tensões segundo σ y para a apicação de pressão com a (s) trinca (s) totamente propagada (s); (a) furo isoado; (b) visão ampiada das tensões próximas ao furo isoado; (c) inha infinita de furos; (d) visão ampiada das tensões próximas a um dos furos da inha infinita...8 Figura 7.7 Comparação entre os FITs, para os dois modeos de maha, com duas diferentes porcentagens de deformações (ε) apicadas...85 Figura 7.8 Distribuição de tensões segundo σ y para a apicação de deformação (ε = 5.00%) sem a existência de trinca (s); (a) furo isoado; (b) visão ampiada das tensões próximas ao furo isoado; (c) inha infinita de furos; (d) visão ampiada das tensões próximas a um dos furos da inha infinita...86 Figura 7.9 Distribuição de tensões segundo σ y para a apicação de deformação (ε = 5.00%) com a (s) trinca (s) totamente propagada (s); (a) furo isoado; (b) visão ampiada das tensões próximas ao furo isoado; (c) inha infinita de furos; (d) visão ampiada das tensões próximas a um dos furos da inha infinita...86 Figura 7.0 Comparação entre os FITs resutantes das apicações de pressão e de deformação para a maha que representa um furo isoado...87 Figura 7. Comparação entre os FITs resutantes da apicação de pressão e apicação de deformação para o modeo de maha que representa uma inha de furos...88 xiii

14 Figura 7. Ábaco para se estimar K C a partir da deformação e da reação /A (para E = 0 GPa)...90 Figura 7. Ábaco para se estimar G C a partir da deformação e da reação /A...9 Figura 7.4 Efeito das tensões in situ...9 Figura 7.5 Comportamento dos termos que compõem a Eq. (96)...94 Figura 7.6 Comportamento dos termos que compõem a Eq. (97)...95 Figura 7.7 Comportamento dos termos que compõem a Eq. (99)...96 Figura 7.8 Comparação do comportamento das Eqs. (96), (97) e (99)...97 Figura 7.9 Comparação entre a soução para um furo pressurizado e sua aproximação por um ponto com um par de forças concentradas (dipoo), num meio infinito e próximos a uma face ivre...98 Figura 7.0 Comparação entre um furo pressurizado e a sua aproximação por um ponto com um par de forças concentradas, próximos a uma face ivre, e resutados numéricos de um furo isoado, para a apicação de pressão...99 Figura 7. Comparação entre um furo pressurizado e a sua aproximação por um ponto com um par de forças concentradas, próximos a uma face ivre, e resutados numéricos de um furo isoado, para a apicação de pressão e deformação...00 Figura 7. Comparação entre os resutados numéricos para um furo pressurizado, representando uma inha infinita, com as Eqs. (96), (97) e (99)...0 Figura 7. Comparação entre os resutados numéricos com as interpoações, dadas peas Eqs. (00), (0) e (0)...0 xiv

15 LISTA DE TABELAS Tabea. Reação entre diâmetro e espaçamento(kayati, 004)...6 Tabea. Consumo por metro inear de argamassa expansiva (Kayati, 004)...9 Tabea 5. Equações de correaçao entre I S(50) e σ c...59 Tabea 5. Equações de correação entre HR e σ c...60 Tabea 5. Outras equações de correação entre propriedades e índices...6 Tabea 6. Ensaio de Fexão com Entahe em Chevron (CNPB)...6 Tabea 6. Ensaio com point oad...65 Tabea 6. Ensaio com Escerômetro de Schmidt...66 Tabea 6.4 Ensaio de Densidade...67 Tabea 6.5 K IC versus I S(50)...68 Tabea 6.6 K IC versus ρ...70 Tabea 6.7 K IC versus HR...7 Tabea 6.8 ρ versus HR...7 Tabea 6.9 I S(50) versus HR...74 Tabea 6.0 I S(50) versus ρ...76 Tabea 6. Equações de correação...77 Tabea 6. Comparação entre os vaores de K IC...77 Tabea 6. Comparação entre as Eq. (79) e Eq. (86)...78 Tabea 7. Propriedades utiizadas no FRANCD...8 xv

16 LISTA DE SIGLAS E SÍMBOLOS AE = argamassa expansiva; ASTM = American Society for Testing and Materias; CB = Chevron Bend Specimens; CNPB = Singe Edge Chevron-Notched Rectanguar Pate in Three-Point Bending; FCT = fator de concentração de tensão; FIT = fator de intensidade de tensão; FPZ = Fracture Process Zone; FRANCD = Fracture Anaysis Code D; ISRM = Internationa Society for Rock Mechanics; MEF = Método dos Eementos Finitos; MF = Mecânica de Fratura; MFR = Mecânica de Fratura de Rochas; MFEL = Mecânica da Fratura Eástica Linear; PPZ = Pastic Process Zone; SR = Short Rod Specimens; a = raio do furo; A = afastamento; B = espessura do corpo de prova; d = diâmetro do furo; D = distância entre as duas pontas de apicação da força; D e = diâmetro equivaente; e = a; E = móduo de easticidade do materia; f = D ; F = dipoo de forças; F(λ,L) = equação obtida por cácuos numéricos; F r = força resistente; F t = força tota resutante; xvi

17 G = taxa de variação da energia potencia; G C = taxa de iberação de energia crítica; G C = taxa de iberação de energia crítica (carregamento estático, condição de deformação pana); H = atura da parede que se deseja cortar; HR - Hammer Rebound = índice do escerômetro de Schmidt; I = resistência do point oad corrigida para testemunho de diâmetro de 50 mm; S ( 50) K C = tenacidade à fratura (carregamento estático, condição de tensão pana); K d = tenacidade à fratura (carregamento dinâmico, condição de tensão pana); K I = fator de intensidade de tensão; K IC = tenacidade à fratura (carregamento estático, condição de deformação pana); K R = resistência ao crescimento estáve da trinca; K t = fator de concentração de tensão; = comprimento da trinca; L = /a; M = momento fetor; n = numero de trincas; N = esforço norma; p = tensão efetiva; P = pressão no interior do furo (argamassa expansiva ou gás); P c = pressão crítica para iniciar a fratura; P co = resistência à tração da rocha; P = pressão do fuído restrita às trincas; P max = carga máxima apicada; R = resistência ao crescimento da trinca r cm = tamanho crítico máximo da FPZ; r, θ = coordenadas poares em reação à ponta da trinca; r = coeficiente de correação; S = espaçamento; t = w/; T = esforço cortante; xvii

18 U 0 = energia de deformação eástica da paca não trincada carregada (uma constante); U a = variação na energia de deformação eástica, causada pea introdução da trinca na paca; U γ = variação de energia superficia, causada pea formação das superfícies da trinca; V = voume; w= argura da paca ou do corpo de prova; W = trabaho reaizado peas forças externas; α = 0.6, (constante); α 0 = a 0 /w; ε = deformação; γ = energia de superfície do materia; γ e = energia de superfície eástica do materia; γ p = trabaho pástico por unidade de área da superfície trincada; λ = σ /σ ; λ p = /S; ( a ) a µ = ; ν = coeficiente de Poisson do materia; v p = veocidade da onda compressiva; ρ = densidade; σ = tensão de tração uniforme; σ = tensão de compressão principa maior; σ = tensão de compressão principa menor; σ c = resistência à compressão uniaxia; σ crit = tensão crítica; σ f = tensão de faha; σ h = tensão principa horizonta menor remota ou in situ; σ H = tensão principa horizonta maior remota ou in situ; σ t = resistência à tração do materia; σ y = tensões segundo a direção y; σ ys = imite de escoamento do materia; ψ = função de tensão de Airy; xviii

19 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO Quando se faa em desmonte de rochas ornamentais, ogo se pensa no método apropriado para corte dos bocos: por fio diamantado, fio heicoida, serras diamantadas de cinta ou de correntes, jet fame (maçarico), water jet (jato de água), exposivos ou argamassa expansiva (AE). Esta útima, uma nova tecnoogia que vem sendo utiizada nos útimos anos no Brasi. Ao se optar entre a utiização de exposivos ou AE, o que vem à mente é o custo com a furação da maha de desmonte a ser utiizada. Isto faz com que a opção pea utiização de exposivos, aparentemente, saia na frente, pois hoje já existem métodos bem consoidados para a definição das respectivas mahas. Já para a AE, os métodos para definição de mahas de desmonte são indicados por seus próprios fabricantes. Constata-se que há divergência entre uns e outros. Isso acontece, em parte, devido à fata de um adequado embasamento teórico, para a eaboração dos seus respectivos métodos. Na verdade, como a motivação é excusivamente comercia, não se tem uma compreensão do probema e nem sempre são obtidos resutados satisfatórios. Este trabaho pretende, portanto, propor um método de dimensionamento de mahas de furação para o desmonte de rochas com argamassas expansivas fundamentado nos conceitos da Mecânica de Fratura (MF), em particuar, na Mecânica da Fratura Eástica Linear (MFEL). O método consistirá de um modeo matemático de fáci apicação, em que a propriedade do materia necessária de incorporação ao mesmo, será obtida de ensaios índices, de baixo custo, reaizáveis in oco, permitindo, assim, dimensionar adequadamente a maha de furação para o materia ensaiado. A obtenção deste modeo matemático de dimensionamento de maha de furação será apoiada na comparação com resutados fornecidos por métodos numéricos. O método numérico a ser utiizado é o método dos eementos finitos, MEF, (Bathe, 98). Bastante utiizado no estudo computaciona de probemas de MF, o MEF

20 encontra-se impementado em diversos códigos comerciais e/ou acadêmicos. Utiizaremos nesta dissertação o programa denominado FRANCD Fracture Anaysis Code D - (Wawrzynek & Ingraffea, 99). Trata-se de um simuador de propagação de trincas a duas dimensões. Foi desenvovido na Universidade de Corne (EUA) e é distribuído ivremente no endereço eetrônico A versão que utiizaremos é a., de outubro de 00. Para se estimar o vaor da propriedade do materia, serão propostas duas maneiras aternativas. Uma, seria através de correações empíricas com ensaios índices usuais em Mecânica das Rochas (MR). A outra, consiste em medir a deformação do furo carregado com AE e, utiizando ábacos obtidos numericamente, determinar um vaor aproximado para a mesma propriedade... Conteúdo e Acapituação Este trabaho será dividido em oito capítuos, que irão conter a descrição dos estudos reacionados ao tema, a metodoogia a ser utiizada e também concusões e sugestões. No capítuo II comenta-se sobre a AE, suas características técnicas e utiização no desmonte de rochas. O capítuo III é dividido em dois tópicos: no primeiro, faz-se um resumo dos conceitos mais importantes da MFEL, com destaque àquees de maior interesse para a presente dissertação e, no segundo, faz-se uma revisão da sua apicação ao desmonte de rochas. No capítuo IV são apicados os conceitos da Mecânica de Fratura ao probema do desmonte com argamassa expansiva. No capítuo V são apresentados os procedimentos numéricos e experimentais a serem usados nesta dissertação. Os resutados dos procedimentos experimentais, reatados no capítuo anterior, serão apresentados no capítuo VI.

21 Já os resutados dos procedimentos numéricos, descritos no capítuo V, e anaíticos, descritos no capítuo IV, serão apresentados no capítuo VII. Finamente, no capituo VIII, estarão contidas as concusões deste trabaho, bem como sugestões para futuros outros... Objetivos Este trabaho tem por objetivo inicia apicar os conceitos de MF ao probema de propagação de trincas em rochas, resutante da expansão da AE em um furo circuar. Entendido o fenômeno, o objetivo seguinte, e principa, será propor um método de dimensionamento da maha para desmontes de rocha com AE. O método deverá ser o mais simpes e pratico possíve, pois o desejo é que o mesmo seja efetivamente usado pea indústria de mineração. Para tanto, pretende-se que o resutado seja passíve de incorporação a uma paniha eetrônica e/ou programáve em cacuadora eetrônica, em gera, recursos disponíveis e de fáci utiização no dia a dia da mesma. Visumbra-se, com isso, uma economicidade otimizada da operação de desmonte e um mehor aproveitamento dos recursos minerais, possíveis, como reatados por Pinheiro (999), com a utiização da AE. Aém disso, também se minimizam os danos ambientais associados à utiização de exposivos (pouição sonora, vibrações, poeira, grandes voumes de rejeitos, etc.).

22 CAPITULO II ARGAMASSA EXPANSIVA. Introdução A AE é um produto em pó, com composição química definida em função da temperatura ambiente em que será utiizada, sendo mais de 98% dessa composição a ca inorgânica (CaO). Antes do uso, deve ser misturada com água, na proporção especificada peo fabricante. Inserida em furos, expandir-se-á de modo progressivo e gradua, promovendo a ruptura do materia rochoso. A reação química que resuta na expansão da AE é a seguinte: ( ) CaO H O Ca OH. Segundo os fabricantes da AE, depois de misturada com água, a expansão voumétrica pode chegar a 4 vezes, acançando uma pressão na parede interna do furo de 80MPa. A ruptura do materia trabahado se dá, em média, em 4 horas, porém, a reação pode continuar por até 4 dias no verão e 8 dias no inverno (Caimex, 004; Kayati, 004). Os fatores que podem infuenciar no tempo de reação da AE, aém da temperatura ambiente, são: tipo de argamassa, diâmetro do(s) furo(s), espaçamento entre furos, resistência do materia a ser demoido e porcentagem de água. Pode-se utiizá-a para romper, cortar e demoir rochas e concreto, em situações nas quais não é possíve ou recomendáve o uso de exposivos. No Brasi, sua maior apicabiidade tem sido no corte de rochas ornamentais em pedreiras. Como é mais cara que os exposivos, seu uso na mineração não é recomendado para materiais de baixo vaor agregado ou quando se deseja um ato fraturamento do materia. Porém tem grande apicabiidade em desmonte de estruturas de concreto, onde as obras adjacentes não podem ser danificadas peas vibrações geradas por exposivos. Agumas das vantagens proporcionadas para a indústria de mineração pea utiização da AE são: 4

23 - maior seetividade na avra, pois permite um maior controe dos desmontes no contato estéri-minério, resutando, por isso, em uma menor diuição; - as operações de içamento de materiais são minimizadas, o que pode reduzir os custos com eetricidade e de manutenção; - em minas onde se utiiza apenas a AE, não há necessidade de evacuação do pessoa das frentes de avra antes do desmonte, o que resuta em uma maior produtividade da mão-de-obra. Devido à economia proporcionada, principamente com mão-de-obra, içamentos, manutenção, eetricidade e impeza, muitas minas marginamente viáveis podem evitar seu fechamento. Tem-se, naturamente, uma maior segurança, pois não há riscos com eventuais fahas dos exposivos e cordéis detonantes. Não se têm utraançamentos ou vibrações, o que minimiza os danos às rochas ao redor das escavações, mehorando, assim, suas condições de estabiidade.. Desmonte de Rochas com Argamassa Expansiva No desmonte de rocha com a argamassa expansiva, quando se deseja retirar bocos paraeepipédicos, Fig.., são feitas inhas de furos iguamente espaçados, nos quais se cooca a AE. Antes, porém, surgirão agumas perguntas, como por exempo: qua a distância da frente de desmonte (afastamento, A)? Qua a distância idea entre o centro de dois furos subseqüentes (espaçamento, S)? Quantas trincas surgirão em torno de cada furo? Qua a direção preferencia de propagação destas trincas? As duas útimas perguntas podem ser respondidas observando-se o que acontece na prática, ou seja, surgirão apenas duas trincas diametramente opostas, sendo a direção de propagação deas aquea da própria inha de furos (veja Fig..). O porquê disso e a resposta para as outras duas perguntas serão objetos de estudo deste trabaho. Para tanto, utiizaremos os conceitos da MF (Atkinson, 989; Whittaker et a., 99). Atuamente, como já mencionado no capítuo anterior, os métodos para cácuo do espaçamento, S, são pouco confiáveis. Muitos utiizam tabeas fornecidas peos próprios fabricantes da AE, em que esse espaçamento é função apenas do diâmetro do furo, ou 5

24 seja, para certo diâmetro utiiza-se um dado espaçamento, não se evando em consideração mais nenhuma variáve. Figura. - Linha de furos mostrando a direção preferencia de propagação das trincas. Em gera, os espaçamentos recomendados variam de 0 a 5 vezes o diâmetro dos furos, podendo chegar até a 0 vezes. Obviamente, quanto menor for este espaçamento, menor será o tempo de ruptura. Uma tabea típica utiizada para os cácuos está mostrada abaixo (Tab..). Tabea. - Reação entre diâmetro e espaçamento (Kayati, 004). Diâmetro (mm) Espaçamento (cm) Espaçamento/Diâmetro A variação do espaçamento com diâmetro pode ser vista no gráfico da Fig.., no qua se pode observar uma não inearidade no estágio inicia. Outro método utiizado é o fornecido peos fabricantes da AE itaiana FRACT.AG. Ta método foi proposto imaginando-se a seguinte situação: considere uma inha de furos devidamente espaçados e carregados com AE; a ruptura dar-se-á devido à presença de duas forças F, iguais e contrarias (dipoo de forças), Fig..(a). 6

25 Espaçamento (cm) Diâmetro (mm) Figura. Variação do espaçamento com o diâmetro. Figura.- (a) Linha de ruptura devido à ação de forças, F, iguais e contrárias; (b) semicircunferência submetida à ação da pressão P da AE e aos esforços de reação F/. Para cacuar essa força, toma-se a circunferência de um furo de comprimento unitário, dividindo-a ao meio por um pano diametra, isto é, supõe-se a retirada da parte hachurada da Fig..(a). A semicircunferência que permanece, está submetida à pressão P da AE e a dois esforços F/, que substituem a metade retirada, Fig..(b). A força resutante F (por unidade de profundidade do furo), é obtida da equação que se segue: F = Pasenαdα, () 0 7

26 na qua, a = raio do furo; P = pressão exercida pea argamassa expansiva; ad α = comprimento do arco de circunferência de ampitude infinitesima dα sobre o qua é apicada a resutante descrita abaixo; Pa sen αdα = componente de força devida a P, atuante sobre dα, na direção de F, variáve, dependente de α. Resovendo-se a integra, tem-se que: F = Pa = Pd, (d = diâmetro do furo = a). () Feito isso, a força F t tota resutante é obtida, simpesmente, mutipicando-se F pea profundidade, H, da seguinte forma: F t = FH. () Para se cacuar o espaçamento, S, basta, então, impor a condição de equiíbrio entre a força F t (apicada pea AE) e a resistente, F r (obtida mutipicando-se a área da parede que se deseja cortar pea resistência à tração do materia). Sendo essa útima escrita como: F r ( SH ) σ t =, (4) onde, H = atura da parede que se deseja cortar; σ t = resistência à tração do materia. Impondo agora a condição imite, o S será determinado como se segue: F r = F t, de onde vem que, (5) SHσ t = PHd. (6) 8

27 Rearranjando-se para S, tem-se: Pd S =. (7) σ t Observa-se, caramente, que a metodoogia acima, embora mais eaborada que a anterior, é bastante grosseira, pois não eva vários fatores importantes em consideração: - a existência de concentrações de tensões em torno dos furos (como será visto no Cap. III); - as tensões in situ atuantes no maciço; - a proximidade da face ivre, que impica eventuais efeitos de fexão e/ou fambagem; - a iniciação/propagação das trincas, possivemente infuenciadas peos fatores anteriores, bem como, o efeito da interação entre furos vizinhos. Assim, justifica-se penamente a busca por novos procedimentos de cácuo para mahas de furação. Ideamente, tais procedimentos deverão, por um ado, contempar os fatores acima de uma maneira teoricamente consistente e, por outro, apresentar uma soução, o mais correta possíve, que seja facimente praticáve pea indústria de mineração. Após o cácuo do espaçamento, o próximo passo é cacuar a quantidade de AE a ser consumida. Os fabricantes fornecem tabeas, Tab.., onde apresentam o consumo por metro inear (CML) de AE, em função do diâmetro dos furos. Então, para se cacuar a quantidade de AE a ser utiizada em um desmonte, basta mutipicar o número de furos pea profundidade dos mesmos e peo CML do seu respectivo diâmetro. Tabea. - Consumo por metro inear de argamassa expansiva (Kayati, 004). Diâmetro (mm) CML (kg /m..)

28 CAPITULO III MECÂNICA DE FRATURA.. Mecânica de Fratura Eástica Linear... Introdução A Mecânica de Fratura (MF) consiste numa área da engenharia, que tem como objetivo fornecer respostas quantitativas para probemas específicos reacionados com a presença de trincas nas estruturas (Godefroid, 995). Busca determinar como uma trinca pré-existente irá se propagar. Ingis (9) apresentou a primeira soução matemática apicáve a uma chapa com um furo eíptico, Fig.., sujeita a uma tensão de tração uniforme σ. O autor concuiu que a máxima concentração de tensão ocorre no ponto onde o raio de curvatura (ρ=b /a) é mínimo, isto é, no ápice do maior eixo, sendo esta tensão dada por: a σ max = σ, (8) b na qua σ = tensão de tração uniforme; a = semi-eixo maior; b = semi-eixo menor. Porém, isto não se apica no caso em que b = 0, (trinca), Fig.., pois a concentração de tensão na ponta da eipse tornar-se-ia infinitamente grande. Assim, um corpo trincado não suportaria nenhuma apicação de carga, já que o materia é capaz de resistir apenas a tensões finitas. Foi Griffith (9) quem resoveu o probema das tensões infinitas na ponta da trinca. Reaizando uma série de experiências com fios de fibra de vidro de diversos diâmetros, observou que quanto maior o diâmetro da fibra menor a sua resistência, ou 0

29 seja, quanto maior o materia maior a probabiidade de existirem trincas no seu interior. Este efeito de escaa foi interpretado como sendo um efeito de tamanho de trinca. Figura. - Chapa com um furo eíptico sob tensão de tração uniforme (modificada de Rocha, 994). Figura. - Trinca de comprimento a, em uma paca sob tração uniaxia (geometria de Griffith) (modificada de Rocha, 994). Utiizando-se de um critério termodinâmico, ao apicar a soução de Ingis (9) à propagação instáve da trinca, Griffith (9) formuou uma base teórica para a MF baseada num baanço de energia. Segundo esta teoria, quando ocorre o crescimento da trinca, há uma energia de deformação, du, iberada peo materia que, por sua vez, pode ser consumida, totamente ou em parte, pea energia de superfície, ds, necessária para provocar a ruptura do materia (que envove a geração de novas superfícies).

30 Sendo assim, mantendo-se o incremento de desocamento das forças externas nuo (e daí o trabaho incrementa reaizado peas mesmas), tem-se que: du<ds, a trinca não se estenderá, já que a energia iberada é menor que a energia necessária para a propagação, e se du>ds, a condição para extensão é atingida e ocorre a propagação da trinca; já na condição du=ds, ocorre uma situação de equiíbrio para a trinca, que pode incusive ser instáve. Do critério de iguadade (du=ds) para a configuração da Fig.., Griffith determinou a tensão nomina de faha ou tensão critica, como sendo: Eγ σ crit =, tensão pana; (9) a Eγ σ crit = ( ), deformação pana, (0) a ν onde σ crit = tensão crítica; E = móduo de easticidade do materia; γ = energia de superfície do materia; ν = coeficiente de Poisson do materia; a = dimensão característica da trinca (Fig..). Devido a esta teoria, Griffith pode ser considerado o pai da MF. Porém, seus cácuos estão baseados no comportamento de um materia isotrópico. Irwin (948) foi quem estendeu a sua teoria para materiais anisotrópicos e em 957 igou a idéia de Griffith com a aproximação de Westergaard (99) para mostrar que as tensões e os desocamentos próximos à ponta da trinca poderiam ser descritos em função de uma

31 constante, reacionada com a taxa de iberação de energia. Este parâmetro ficou conhecido posteriormente como fator de intensidade de tensão (FIT). Como estamos faando da MFEL, ou seja, os materiais têm comportamento inear eástico, as componentes de tensão, deformação e desocamento podem ser somadas: é o chamado Princípio da Superposição. Ressata-se isso, porque terá grande reevância nos cácuos futuros, pois como será visto, fatores de intensidade de tensão que estiverem reacionados ao mesmo modo de carregamento também podem ser somados.... Concentração de tensão Num processo de faha que o sóido venha a sofrer, o ponto de inicio está ocaizado onde o níve de soicitação utrapassa o de resistência. Isso pode ser devido à baixa resistência daquee ponto ou a um aumento oca na soicitação do materia, podendo esta se dar na forma de deformação ou de tensão. Neste item iremos nos ater apenas ao aumento oca na soicitação, visto serem estes os pontos críticos, chamados de pontos de concentração de tensão. Estes pontos surgem devido à ateração da geometria, causando uma redistribuição das tensões, ou seja, existem pontos onde se tem um aumento ocaizado de tensões. Como exempo, na Fig.., após a introdução de um orifício eíptico, houve uma redistribuição das tensões, que se concentraram no ápice do maior eixo. Figura. - Concentração de tensão em uma paca com um furo eíptico (modificada de Rocha, 994). Quando a mudança na geometria do sóido se dá dentro do regime eástico, a tensão máxima, σ max, é proporciona à tensão nomina, σ, atuante. Este fator de

32 proporcionaidade é denominado de fator de concentração de tensão (FCT). O FCT, considerando que o materia tenha um comportamento eástico inear, independerá da intensidade de carregamento, mas dependerá do modo de carregamento e da geometria do meio, sendo dado como: σ max K t =. () σ Para a geometria da Fig.., o FCT é dado como: a K t =. () b... Modo de separação da ponta da trinca Serão mostrados a seguir, os três possíveis modos de separação na ponta da trinca, Fig..4, devido a esforços externos. MODO DE ABERTURA MODO I A trinca está ocaizada no pano x x e suas superfícies se desocam, segundo x, em sentidos opostos, uma em reação à outra, sendo uma na direção de x positivo e a outra no sentido de x negativo, Fig..4(a). MODO DE DESLIZAMENTO MODO II A trinca também está ocaizada no pano x x e suas superfícies se desocam, segundo x, em sentidos opostos, uma em reação à outra, sendo uma na direção de x positivo e a outra no sentido de x negativo, Fig..4(b). MODO DE RASGAMENTO MODO III A trinca permanece ocaizada no pano x x e suas superfícies se desocam, segundo x, em sentidos opostos, uma em reação à outra, porém, uma na direção de x positivo e a outra no sentido de x negativo, Fig..4(c). Obviamente pode ocorrer a combinação dos modos, mas para o presente trabaho vamos nos concentrar apenas no modo I, pois é o fenômeno que ocorre mais comumente em desmontes com AE. Sendo assim, todas as demonstrações, cácuos e 4

33 definições que surgirem no texto, doravante, referem-se ao modo I, de separação na ponta da trinca. (a) (b) (c) Figura.4 - Os três possíveis modos de abertura da ponta da trinca, (a) modo I, (b) modo II e (c) modo III (Freitas, 99)...4. Aproximação peo campo das tensões eásticas Na aproximação peo campo das tensões eásticas (Timoshenko & Goodier, 980), vamos considerar um sóido de argura infinita, com uma trinca interna de tamanho a, e submetida a uma tensão nomina remota de magnitude σ, como mostrado na Fig..5. Tomemos a mesma figura, para visuaizar o tensor de tensões σ ij que atua na ponta da trinca de um probema pano de tensão. As condições de equiíbrio para o eemento infinitesima ai iustrado são (Jaeger & Cook, 979): σ x τ xy x y = 0, () σ y τ xy y x = 0. Tomando os desocamentos nas direções x e y como sendo u e v, respectivamente, temos que as expressões para as deformações são (Jaeger & Cook, 979): u ε x =, x 5

34 v ε y =, (4) y u v γ xy =. y x Figura.5 Sóido de dimensões infinitas, com uma trinca interna de comprimento a, e o estado de tensão em um ponto próximo da mesma (modificado de Rocha, 994). As reações tensão-deformação, por sua vez, sendo o materia considerado eástico e isotrópico, em tensão pana, são (Jaeger & Cook, 979): ε ε γ x y xy ( σ νσ ) = x y, E ( σ νσ ) = y x, (5) E ( ν ) = τ xy. E As equações de equiíbrio () são automaticamente satisfeitas pea introdução de: ψ σ x =, y 6

35 7 y x xy = ψ τ, (6) x y = ψ σ. Acima, ψ é chamada função de tensão de Airy (Timoshenko & Goodier, 980). Substituindo as equações (4) e (6) em (5) e derivando duas vezes, tem-se: = y y x x ψ ψ ψ. (7) Agora, o probema se resume a encontrar uma função de Airy ψ que satisfaça a Eq. (7) e as condições de contorno. Em seguida, substituindo esta função nas Eqs. (6), obtêm-se as tensões que atuam na ponta da trinca. De acordo com a Fig..6, considere que o sóido seja infinito, homogêneo, isotrópico, eástico e que a tensão de tração σ atua a uma distância infinita da ponta da trinca e na direção norma à mesma (modo I). As tensões em um ponto próximo à ponta da trinca encontradas por Westergaard (99) são: = sen sen cos θ θ θ σ σ r a x, = sen sen cos θ θ θ σ σ r a y, (8) = sen sen cos θ θ θ σ τ r a xy, sendo que: r, θ são coordenadas poares em reação à ponta da trinca (Fig..6); σ zz = τ xz = τ yz = 0, para tensão pana; σ zz = ν (σ xx σ yy ), para deformação pana.

36 De um modo gera as Eqs. (8) podem ser reescritas como: σ ij σ a = f ij ( θ ). (9) r Figura.6 Sóido infinito com um furo eíptico submetido a uma tensão de tração uniforme distante (Shah et a,995). O fator σ a é uma combinação entre tensão apicada e comprimento da trinca e os demais são fatores geométricos. Sendo assim, σ a determina a magnitude das tensões eásticas na ponta da trinca e é este o FIT no modo I de carregamento, sendo dado como: K I = σ a. (0) Deve ser evidenciada a diferença entre K I e K t, pois enquanto K t é adimensiona, K I tem como unidade MPa m, no Sistema Internaciona. De acordo com a Fig.., quando a tensão apicada σ resuta numa faha do materia, esta tensão fica conhecida como tensão de faha σ f, ou tensão critica σ crit. Então o vaor de K I associado a σ f e ao raio a pode ser determinado. Este vaor de K I crítico ou de faha seria uma propriedade do materia, sendo denominado de tenacidade à fratura (fracture toughness). 8

37 Portanto, a tenacidade à fratura é um parâmetro constante para um dado materia, que indica a sua habiidade de resistir à propagação da trinca. A tenacidade de um materia com comportamento inear eástico pode ser descrita em termos do FIT, K I, nas seguintes condições (Godefroid, 995): K C = carregamento estático, condição de tensão pana; K IC = carregamento estático, condição de deformação pana; K d = carregamento dinâmico, condição de tensão pana; K R = resistência ao crescimento estáve da trinca. Como a condição considerada para as anáises a serem feitas é a de deformação pana, o critério de propagação da trinca é escrito como: K I K IC. ()..5. Aproximação peo baanço de energia Como mencionado anteriormente, Griffith (9) utiizou o baanço de energia para prever a fratura de materiais na MFEL. Este método ficou conhecido como aproximação peo baanço de energia. Agora, iremos aprofundar um pouco mais nesta teoria. Considere que a paca da Fig.. seja infinita, de espessura unitária, a trinca interna tenha comprimento a e esteja submetida a uma tensão de tração, σ, remota. Então, a energia tota desta paca pode ser escrita como (Godefroid, 995): ( W ) U U 0 U a U, () onde, = γ U 0 = energia de deformação eástica da paca não trincada carregada (uma constante); U a = variação na energia de deformação eástica, causada pea introdução da trinca na paca; 9

38 trinca; U γ = variação de energia superficia, causada pea formação das superfícies da W = trabaho reaizado peas forças externas (o sina é de subtração, uma vez que não se trata de parte da energia potencia interna da paca W = carga x desocamento). Quando a energia tota U parar de crescer com o aumento da trinca, ocorrerá a instabiidade do crescimento da trinca, como mostrado abaixo: du da 0. () Sendo U 0 constante, tem-se: d da d da ( U U W ) 0 a γ, (4) du γ a. (5) da ( W U ) O ado esquerdo da Eq. (5), dw da du da representa a energia iberada, a disponíve para a propagação da trinca. dw da, representa a energia fornecida peo trabaho das forças externas por unidade de extensão da trinca e du a da é o aumento da energia de deformação eástica reativo ao trabaho externo dw da. Enquanto isso, o ado direito da Eq. (5), du γ da, representa a energia de superfície necessária para provocar a ruptura do materia. Usando a soução de Ingis (9), para a distribuição de tensões em torno de uma trinca eíptica, Griffith (9) mostrou que o vaor absouto de U a é dado por: U a σ a =, (6) E e que a energia U γ é igua ao produto da energia de superfície eástica γ e do materia pea nova área superficia da trinca 0

39 U γ ( aγ ) =. (7) e Quando os desocamentos são mantidos constantes, isto é, não existe trabaho reaizado peas forças externas, W = constante (dw = 0), a introdução da trinca causa uma variação na energia eástica, U a, negativa. A paca perde rigidez, o que provoca uma diminuição na sua energia de deformação eástica e o produto carga versus desocamento fixo diminui. Assim, a energia tota U da paca fica: U σ a = U 0 U a U γ = U 0 4aγ e E. (8) Como U 0 é constante, du 0 /da é zero, e a condição de equiíbrio é obtida: d da σ a 4 aγ e = 0. (9) E Da Eq. (9) vem σ a = 4γ e, (0) E que pode ser rearranjada para fornecer o seguinte critério: σ Eγ e a =. () Feito isso, a equação indica que a propagação da trinca em um materia frági é governada peo produto da tensão apicada remotamente pea raiz quadrada do comprimento da trinca e, por outro ado, peas propriedades do materia. Sendo E e γ e propriedades do materia, o ado direito da Eq. () é um vaor constante. Portanto, essa equação indica que a propagação da trinca para um dado materia ocorrerá quando o fator σ a atingir um vaor crítico constante, função de propriedades do mesmo. Irwin (948) e Orowan (948), independentemente, fizeram uma modificação no modeo de Griffith para metais, obtendo a seguinte expressão:

40 ( γ γ ) E e p σ = f, () a onde γ p = trabaho pástico por unidade de área da superfície trincada. Já em 957, Irwin propôs um modeo semehante ao modeo energético de Griffith (9) para a fratura de materiais, no qua representa a energia disponíve para um incremento na extensão da trinca como sendo uma taxa de iberação de energia G. Tomando a Eq. (5), tem-se: G = d da ( W ) U a, () onde G representa a taxa de variação da energia potencia em reação à área trincada a (que também pode ser considerada como uma força induzindo o crescimento da trinca). como: Novamente tomando a Eq. (5), a resistência ao crescimento da trinca é definida ( ) d R = U γ. (4) da Feito isso, o critério de propagação da trinca é reescrito como: G R. (5) De onde se retira que o vaor crítico de G, ou seja, a taxa de iberação de energia crítica (critica strain energy reease rate), uma propriedade de fratura do materia, é dado por: G C = R. (6)

41 ..6. Reação entre K e G Para a MFEL os métodos de previsão de fratura dos materiais apresentados nos itens..4 e..5 são inter-reacionados. Isto será mais bem evidenciado pea reação direta existente entre K e G, mostrada a seguir. Tomando como ponto de partida a Eq. (6) tem-se: U a σ a =, para um estado de tensão pana; (7) E ( ν ) σ a U a =, para um estado de deformação pana. (8) E Da definição de G, Eq. (), tanto para carga constante como para desocamento constante, tem-se: du a σ a = G =, tensão pana; (9) da E ( ν ) du σ a a = =, deformação pana. (40) da G E Das Eqs. (9) e (40), tomando K I = σ a, temos: K I G =, tensão pana; (4) E G = E K I ( ν ), deformação pana. (4).. Mecânica de Fratura Apicada às Rochas... Introdução Pode-se dizer que a Mecânica de Fratura de Rochas (MFR) foi desenvovida a partir da integração da MF à Mecânica de Rochas (MR). A MFR estuda a iniciação e propagação de uma ou várias trincas em rochas, sob um particuar campo de tensões (Whittaker et a., 99).

42 As fraturas em rochas podem surgir devido a vários fenômenos, como por exempo: terremotos, rockbursts, desmonte com exposivos, ensaios de medida de resistência à tração indireta, medida da tensão in situ por fraturamento hidráuico, etc. Assim, as fraturas podem ser provocadas intencionamente ou não. Por isso, o entendimento dos mecanismos de fratura em rochas é de grande importância na soução de muitos probemas de engenharia. Os primeiros estudos de MFR surgiram na década de 60 do sécuo XX, nos quais foram utiizados a teoria do baanço de energia de Griffith e os critérios de tensões e suas modificações. Bieniawski (967a e b) utiizou os conceitos de Irwin (948) para estudar os mecanismos de rockbursts e as primeiras medidas da tenacidade à fratura de rochas foram feitas por Schmidt (975,976). Dentre os vários estudos de MFR da década de 60 até os dias atuais, serão descritos, abaixo, aquees em que o processo que resutou na fratura da rocha se assemeha, de aguma forma, ao fenômeno que gera as fraturas em um furo circuar, devido à expansão da argamassa expansiva.... Fraturamento por exposivo Um estudo feito por Ouchterony (974), apresenta uma discussão sobre o surgimento e propagação de trincas radiais em um furo circuar no desmonte com exposivos. As configurações dos carregamentos considerados estão iustradas na Fig..7. Uma comparação direta dessas várias configurações mostrou a infuência da presença de um furo circuar nas tensões geradas nas pontas das trincas, ou seja, a diferença existente entre uma trinca estrea (star crack) e um furo circuar com trincas radiais. Porém, esta infuência é observada apenas para trincas pequenas, pois para tamanhos de trincas superiores a duas vezes o raio do furo ta infuência pode ser desprezada. Isto ocorre porque um furo circuar com trincas muito maiores do que o raio se assemeha a uma trinca estrea. Ouchterony (974) obteve equações para os FITs destas duas configurações, quais sejam: 4

43 K I n = P, trinca estrea; (4) n n K I = P n µ a, furo circuar com trincas radiais, (44) nas quais, n = numero de trincas; P = pressão do gás; = comprimento da trinca; a = raio do furo circuar (Fig..7,b); ( a ) a µ =. Uma outra importante concusão deste artigo é com reação à ação da pressão do gás. Ouchterony (974) mostrou que quando esta pressão não penetra nas trincas, as mesmas se propagam muito pouco, ou seja, a ação do gás nas trincas seria o principa fenômeno responsáve por suas propagações. A Fig..8 mostra esta diferença. Quando ocorre a penetração do gás nas trincas, o FIT (normaizado por P µ a ) é muito maior. Como é sabido, as trincas se propagam até que o FIT caia abaixo do vaor da tenacidade à fratura do materia e, de acordo com a figura citada, isso sucederá mais facimente quando não ocorrer a penetração do gás nas trincas. Quando não há penetração dos gases nas trincas e a reação (/a) é muito grande, Ouchterony (974) mostrou que o efeito da pressão do gás entre as duas trincas adjacentes pode ser substituído por um dipoo de forças equivaente, Fig..7 (c), denominado de forças de civagem centra (centra spitting forces), sendo dado como: F = Pasen. (45) n 5

44 Em todas as configurações anaisadas, aém da infuência do gás na propagação das trincas, Ouchterony (974) verificou que, para uma mesma pressão, quanto maior o numero de trincas, menor é o FIT. Daí se concui que há uma tendência para a propagação de um número mínimo de trincas ongas, ficando inibido o crescimento das mais curtas. Figura.7 Configurações dos carregamentos estudados por Ouchterony (974). 6

45 Figura.8 Comparação entre trincas com e sem penetração do gás (modificado de Ouchterony, 974). Posteriormente, Paine & Pease (99) obtiveram uma soução matemática competa para os campos de tensões e desocamentos induzidos por um furo pressurizado, do qua emanam trincas radiais. Por uma anáise assintótica, na qua o raio do furo é pequeno, é encontrado, como um caso particuar, a expressão de K I fornecida por Ouchterony (974) para o caso de uma trinca estrea com forças de civagem centra. Outro estudo de interesse é o feito por Jiang (996). Neste trabaho, Jiang usa os conceitos de MF para estudar a iniciação e propagação de trincas ao redor de um furo circuar numa maha de pré-corte (Persson et a., 994) e, daí, definir o espaçamento entre dois furos adjacentes. O pré-corte se constitui de uma inha de furos iguamente espaçados ocaizada atrás da maha do pano de fogo. É a primeira inha a ser detonada, o seu objetivo sendo criar um vazio para evitar danos à parede fina, que eventuamente poderiam ser gerados peas vibrações induzidas com as detonações do pano de fogo. Jiang (996) anaisou duas diferentes situações. A primeira é definida como sendo o caso desfavoráve : considera que apenas no furo circuar centra já existam duas trincas simétricas, mas não existe nenhuma trinca nos furos adjacentes, Fig..9 (a). 7

46 Todos os furos são detonados simutaneamente e as trincas se propagam devido ao campo de tensão estático gerado peos três furos. O FIT para esta configuração é dado por: K I = Pa 4 ea P e e, (46) na qua, P = pressão do gás; e = a; a = raio do furo; = comprimento da trinca. Figura.9 Linha de furos do pré-corte anaisada por Jiang (996): (a) caso desfavoráve e (b) caso favoráve. Quando K I torna-se igua ao K IC, o comprimento da trinca, (a), pode ser definido como sendo a metade da distancia entre o centro de dois furos adjacentes, ou seja, a metade do espaçamento, S. Portanto, esse espaçamento pode ser obtido da Eq. (46) como sendo: 8

47 S q q r q q r = s, (47) onde 7A C B q =, 7A B r =, A B s =, e A A = K IC, B = 6 Pa, C = 4 Pa. A segunda situação anaisada por Jiang (996), que o autor define como caso favoráve, ocorre quando existem duas trincas simétricas em todos os três furos, Fig..9 (b), e estes furos são detonados simutaneamente. O FIT simpificado para estas trincas é dado por: K I = P ( a ) S tan S sen a sen S sen S ( ) a. (48) Segundo Jiang (996), quando o comprimento da trinca acançar 5% de S, o K I passa por um mínimo. Coocando-se então K I = K IC para = 0.5S, ou seja, na condição em que K I é mínimo, pode-se obter o S a partir da Eq. (48).... Fraturamento hidráuico O termo fraturamento hidráuico é usado em mecânica das rochas para designar as operações de injeção de fuído em furos para induzir e propagar fraturas por tração. É utiizado na indústria petroífera para estimuação de poços, aumentando a permeabiidade das formações produtoras de óeo. Em mecânica das rochas serve como 9

48 uma técnica de determinação de tensões in situ em pontos remotos dos maciços rochosos. A fratura na parede do furo irá iniciar quando a pressão do fuído atuante no furo exceder a tensão tangencia mínima acrescida da resistência à tração do materia, o que pode ser expresso pea reação (Hubbert & Wiis, 957): P c = σ σ P P, (49) h H co na qua P c = pressão crítica para iniciar a fratura; σ h = tensão principa horizonta menor remota ou in situ; σ H = tensão principa horizonta maior remota ou in situ; P co = resistência à tração da rocha; P = pressão no interior do furo. Tomamos uma paca e assumimos que a mesma seja infinita e intacta e esteja submetida a um campo de tensões de compressão σ H e σ h. De um furo circuar centra de raio a, saem duas trincas simétricas de comprimento, paraeas à direção de atuação da tensão principa horizonta maior, σ H, Fig..0. A pressão do fuído, P, é apicada na parede do furo e pode se transmitir peas trincas. O FIT pode ser facimente formuado usando o principio da superposição de cada condição de carregamento, Fig.., como sendo: I ( σ σ, P, P ) = K ( σ ) K ( σ ) K ( P) K ( P ) K,, (50) H h I H I h na qua; P = pressão do fuído restrita ao furo; P = pressão do fuído restrita às trincas. Para o caso que nos interessa, da argamassa expansiva, não há pressão no interior das trincas, o FIT respectivo, K I (P ), será desprezado. Sendo assim, temos: I I 0

49 K ( σ σ, P) = K ( σ ) K ( σ ) K ( P),. (5) I H h I H I h I Figura.0 Paca com um furo interno pressurizado, do qua saem duas trincas diametramente opostas, submetida a um campo de tensões de compressão remoto. Figura. Superposição dos carregamentos para o FIT do fraturamento hidráuico. O FIT devido às tensões principais σ H e σ h foram obtidos a partir das souções de Kirsch (898) como sendo:

50 K K I I σ b, (5) ( ) H = σ H a 7 b b σ h h, (5) 7 b b ( ) = σ a ( b) sen ( b ) nas quais, b = a a = raio do furo; = comprimento da trinca. Já o FIT devido à pressão do fuído dentro do furo foi determinado numericamente por Newman (969) e ajustado, posteriormente, a uma equação matemática por Rumme (989), como sendo: b sen b ( ) K I P = P a (54) 5 b b Fraturamento por compressão É sabido que em sóidos frágeis sob compressão ocorre crescimento de pequenas trincas, emanadas dos seus poros e esse crescimento pode ser cacuado em função do tamanho dos mesmos e da pressão confinante. Estas trincas se propagam numa direção mais ou menos paraea à direção de atuação da tensão de compressão principa maior e unir-se-ão formando vários tipos de fahas macroscópicas, Fig... Posto isso, Sammis & Ashby (986) anaisaram o crescimento axia de trincas, a partir de um furo circuar em uma paca sob compressão, Fig..(a). Primeiramente, supuseram a paca infinita e que as tensões estivessem apicadas remotamente. Em seguida supuseram a paca finita e, à medida que as trincas cresciam, notaram uma

51 interação das mesmas com as superfícies, onde se observou um efeito de fambagem, Fig..(b). Figura. Tipos de fahas macroscópicas devido à interação das trincas dos furos circuares, resutantes de várias condições de carregamento (Sammis & Ashby, 986). (a) (b) Figura. - (a) Paca com furo interno e duas trincas diametramente opostas submetida a um campo de tensões de compressão. (b) Efeito de fambagem observado numa paca finita com um furo associado a trincas (Sammis & Ashby, 986). Para a situação da paca infinita, Fig..(a), supondo tensões de compressão positivas e de tração negativas, Sih (97) obteve a seguinte equação para o FIT: K I (, L) σ λ = F, (55)

52 na qua, σ = tensão de compressão principa maior; = comprimento da trinca; λ = σ /σ, (σ = tensão de compressão principa menor); F(λ,L) = equação obtida por cácuos numéricos; L = /a. No entanto, Sammis & Ashby (986) obtiveram uma expressão anaítica aproximada para F(λ,L), a partir das funções de Green (Farow, 99), como sendo: ( λ, L) (.λ ). ( L). F λ. (56) Sendo assim, o FIT fica: K I (.λ ). ( L). = L λσ a, (57) na qua, a = raio do furo; Os experimentos feitos por Sammis & Ashby (986) mostraram que a tensão requerida para iniciar as trincas de um furo perfeitamente iso é muito grande e que, na prática, as mesmas se devem iniciar de irreguaridades na superfície do furo. Para trincas menores que 0% do raio, o crescimento é, primeiramente, instáve. Depois disso torna-se estáve, sendo, para cada incremento do crescimento da trinca, necessário um aumento da tensão apicada. Para a situação da paca de dimensões finitas, Fig..(b), quando a trinca,, atingir um comprimento equivaente à argura da paca (w=t), a mesma será dividida em duas counas ou vigas que, devido ao carregamento, sofrerão fambagem para fora. Essa 4

53 5 fambagem fornece uma contribuição extra ao FIT, da seguinte forma (Sammis & Ashby,986): ( ) ( ) ( ) = L t a E t a L a L t a K F I σ λ α σ α, (58) na qua, t = w/, (w = argura da paca); α = 0.6 (constante); E = móduo de easticidade do materia. O FIT tota para a paca finita, que sofre o efeito da fambagem é, portanto, a soma das Eqs. (57) e (58).

54 CAPITULO IV MECÂNICA DE FRATURA APLICADA AO DESMONTE COM ARGAMASSA EXPANSIVA 4.. Introdução Como já foi dito anteriormente, iremos usar os conceitos da MF para tentar propor métodos fisicamente mais consistentes dos que os citados no Cap.. Optou-se pea mecânica de fratura porque ea vem sendo utiizada, com reativo sucesso, para expicar vários outros fenômenos de fratura em rochas, como no caso do fraturamento em desmonte com exposivos (Kutter & Fairhurst, 97; Ouchterony, 974; Jiang, 996), fraturamento hidráuico (Atkinson, 989; Whittaker et a., 99) e fraturamento por compressão (Ashby & Haam, 986; Sammis & Ashby, 986), discutidos no Cap.. Nos fraturamentos com exposivo e hidráuico, têm-se furos circuares nos quais atua uma pressão uniforme na parede interna. Quando surgem as trincas, os fuídos, gás (originado pea combustão dos exposivos) e água, respectivamente, nos fraturamentos por exposivo e hidráuico, penetram nas mesmas, com as suas pressões ajudando a propagá-as. No caso da AE, as diferenças são que o carregamento não é dinâmico, ou seja, o fraturamento é induzido por ações estáticas e, quando surgem as trincas, não haverá penetração de fuído sob pressão. Portanto, pode-se dizer que o fenômeno de fraturamento, ocasionado pea AE, é um caso particuar dos outros dois citados, no qua a pressão no interior das trincas é nua. Aém do efeito da pressão interna, há situações em que deve ser considerado o efeito das tensões in situ. Por exempo, nos estudos feitos por Ashby & Haam (986), em que se submeteu uma paca, com uma trinca interna, a tensões de compressão, Fig. 4., tensões essas que atuam anaogamente às tensões in situ, chegou-se à concusão de que tais tensões infuenciam diretamente na direção de propagação, a saber: a trinca irá se estender paraeamente à tensão principa compressiva maior (σ ). 6

55 Sendo assim, pode-se deduzir que para furos feitos em uma frente de desmonte e carregados com AE, as trincas que dees surgirem, irão se estender paraeamente à tensão in situ horizonta maior (σ = σ H ). No caso, a tensão horizonta mínima (σ = σ h ) é nua e perpendicuar à face ivre representada pea frente de desmonte. Portanto, σ H será positiva (compressiva) e paraea à face, direção na qua se propagará a trinca. Figura 4. Paca com trinca interna incinada, submetida a um campo de tensões de compressão, onde se observa a direção preferencia de propagação da ponta da mesma (modificada de Germanovich & Dyskin, 000). Já Sammis & Ashby (986), submeteram uma paca com um furo circuar ao mesmo tipo de campo de tensões, Fig.. (a), e observaram idêntica tendência na direção de propagação das trincas. No mesmo trabaho, outro fenômeno observado foi o da fambagem. À medida que a trinca se propaga, a paca é dividida em duas vigas biengastadas, que devido à tensão de compressão se encurvam para fora, Fig.. (b). Essa deformação (fambagem) contribui, iguamente, para a propagação da trinca. Portanto, se em uma frente de desmonte, σ H for suficientemente grande, poderá induzir uma fambagem que poderá contribuir na propagação das trincas. O que será feito na seqüência é tentar considerar todos os fenômenos citados, no probema de fraturamento causado pea AE e incorporá-os em um critério de dimensionamento de mahas. 7

56 Aém destes fenômenos citados, outros que merecem um destaque em especia por apresentarem características que fazem com que sejam, pertinentemente, apicáveis ao probema do fraturamento causado pea AE são: a interação entre trincas e dessas com a face ivre. Sendo assim, serão detahados na seqüência. 4.. Propagação de Trincas Próximas a uma Face Livre A interação de uma trinca com a face ivre pode ser anaisada de duas maneiras distintas. Quando a distância entre a trinca e a face ivre (A = afastamento) é muito maior que o tamanho da trinca (), isto é, /A <<, Fig. 4.(a), o probema pode ser resovido utiizando-se o método da assíntota de dipoos (Dyskin & Mühhaus, 995; Dyskin et a., 000; Germanovich & Dyskin, 000). Quando acontece o contrário, isto é, /A >>, Fig. 4.(b), o probema pode ser resovido utiizando-se o método da assíntota de vigas (Dyskin et a., 000). Figura 4. (a) Trinca muito menor que a distância da mesma à face ivre, /A << ; (b) trinca muito maior que a distância da mesma à face ivre, /A >>, com dipoo de forças concentradas e (c), com carga distribuída (modificada de Dyskin et a., 000). O método da assíntota de dipoos consiste, basicamente, em se desenvover, em séries de Tayor, as expressões para as tensões geradas por uma trinca presente em um meio infinito e preservar apenas os termos até o de segundo grau. No caso bi- 8

57 dimensiona, as tensões produzidas pea trinca tendem a desaparecer no infinito, decaindo com (/x) (x representando a distância). Daí a justificativa de se preservar somente os termos abaixo do o grau. A interação entre a trinca e a face ivre, por sua vez, pode ser considerada por intermédio da soução para uma inha de carga concentrada na superfície (x = 0) de um semi-pano infinito x > 0 (Jaeger & Cook, 979), Fig. 4.. A infuência da face ivre é cacuada, de uma maneira aproximada, da seguinte forma: primeiramente, são cacuadas as tensões geradas pea trinca (suposta num meio infinito) na posição x = 0. Como se trata, na reaidade, de uma face ivre, as tensões ai apicadas não estão equiibradas por ação-reação. Seu efeito será, portanto, equivaente a cargas apicadas de sinais inversos àqueas produzidas pea trinca no meio infinito. Tais cargas, por outro ado, irão introduzir uma tensão adiciona distribuída (não necessariamente de maneira uniforme) sobre o comprimento da própria trinca. Essa tensão refetida também pode, por sua vez, ser assintoticamente aproximada, por uma distribuição uniforme devida às tensões geradas pea carga de superfície, no ponto exato correspondente ao centro da trinca. Figura 4. Infuência da face ivre: () tensões geradas pea trinca na face ivre; () tensões refetidas pea face sobre o ponto centra da trinca e distribuídas uniformemente (modificada de Germanovich & Dyskin, 000). 9

58 O decaimento com (/x) ocorre também para a variação das tensões geradas pea inha de cargas ao ongo do comprimento da trinca (Dyskin & Mühhaus, 995; Dyskin et a., 000; Germanovich & Dyskin, 000). Se a trinca está a uma distância A >> da face ivre, o termo principa dessa tensão adiciona tem ordem (/A), enquanto a variação na trinca tem ordem superior, (/A) ; sendo assim, termos com ordem superior a são assintoticamente desprezíveis. Portanto, é suficiente cacuar esta tensão adiciona com a mesma precisão (/A) (Dyskin et a., 000). Os vaores dessas tensões, assim aproximados por assíntota de dipos, podem, então, ser cacuados usando potenciais compexos de Muskheishvii (Jaeger & Cook, 979), a partir dos quais, pode-se obter uma expressão para o FIT de uma única trinca em um semi-pano, como sendo (Germanovich & Dyskin, 000): F F K I =, (59) A para o caso de um dipoo de forças (Fig. 4.(b)) e K I = p p, (60) 4A para uma carga distribuída (Fig. 4.(c)). O método da assíntota de vigas, váido quando /A >>, consiste essenciamente numa ideaização pea qua o meio entre a trinca e a face ivre é representado como uma viga bi-engastada, Fig Figura 4.4 (a) Probema rea (trinca origina); (b) aproximação por uma viga biengastada (modificada de Dyskin et a., 000). 40

59 Dyskin et a. (000), consideraram dois tipos de carregamentos simétricos internos a uma trinca de comprimento, paraea a uma face ivre e situada a uma distância A<< da mesma, a saber: um par de forças concentradas (dipoo), Fig. 4. (b) e um carregamento uniformemente distribuído, Fig. 4. (c). Utiizando-se da teoria das vigas, Dyskin et a. (000), puderam determinar os FITs, para as duas situações supracitadas, em função do momento fetor (M) e dos esforços norma (N) e cortante (T) na seção do engaste, como sendo, Fig. 4.4 (b): A K I = F , (6) A para forças concentradas; A K I = p. 5, (6) A para carregamento uniforme. À medida que a trinca cresce próxima a uma face ivre, ou seja, quando <<A A<<, ocorrerá uma transição da vaidade da soução por assíntota de dipoos para aquea por assíntota de vigas. Para tanto, um esquema de transição entre os dois métodos foi proposto por Dyskin et a. (000), com parâmetros ajustados numericamente, sendo dado pea seguinte fórmua de interpoação: K I dip viga n K I mk I = K I 0, (6) n m na qua, K I0 = FIT para uma única trinca em um meio infinito (primeiros termos dos membros direitos das Eqs. (59) e (60), respectivamente, para forças concentradas e carga distribuída); K dip I = FIT para a assíntota de dipoos (segundos termos dos membros direitos das Eqs. (59) e (60), respectivamente, para forças concentradas e carga distribuída); 4

60 K viga I = FIT para o primeiro termo da assíntota de vigas (Eqs. (6) e (6), respectivamente, para forças concentradas e carga distribuída); m e n = parâmetros (.78 e /, respectivamente). 4.. Interação entre Trincas Dispostas numa Linha Infinita Para o efeito de interação entre trincas de comprimento, dispostas em uma série infinita, espaçadas de S, num meio infinito, Fig. 4.5, tem-se uma soução anaítica exata, obtida por Koiter (959, apud Sih, 97), para o caso de forças concentradas, F, a saber: K I F =. (64) Ssen( / S) O mesmo efeito foi determinado, de uma maneira aproximada, por Dyskin & Mühhaus (995), supondo que cada trinca está sujeita, simutaneamente, ao carregamento inicia, F, e a uma carga fictícia obtida por assíntota de dipoos, uniformemente distribuída peo comprimento da mesma. Essa útima seria igua ao efeito adiciona tota, gerado por todas as outras trincas da inha infinita, no ponto correspondente ao centro da trinca em questão. Denomina-se tensão efetiva. x S Figura 4.5 Série de trincas coineares iguamente espaçadas num meio infinito. Se, iniciamente, cada trinca está carregada por um par de forças concentradas (dipoo), F, Fig. 4.6, a tensão efetiva, p m, gerada peas trincas remanescentes, na trinca em questão, teria a forma (Dyskin & Mühhaus, 995): p m = S n m F ( ) p n m n, (65) onde o somatório é conduzido sobre todas as m trincas, exceto a trinca n em questão. 4

61 y p m F p m p m p m F Figura 4.6 Trinca sob uma combinação de força concentrada (dipoo) e carga distribuída (tensão efetiva). Para uma série infinita de trincas é razoáve assumir que todas as trincas estejam sob as mesmas condições e, a partir daí, pode-se supor que a tensão efetiva seja igua em cada trinca, p m = p. Sendo assim, a Eq. (65) ficaria (Dyskin & Mühhaus,995): x λ F p = p n n = m ( m n), (66) com λ p =. S Usando-se a seguinte fórmua (Spiege, 97), n= n =, (67) 6 a Eq. (66) pode ser reescrita como se segue: λ p F p = 6. (68) λ p 6 Finamente, substituindo-se λ p = /S, na Eq. (68), a tensão efetiva seria dada como: F p =. (69) 6S 4

62 Conhecida a tensão efetiva, Dyskin & Mühhaus (995) obtiveram o FIT, aproximado, devido ao efeito de interação entre trincas, em um meio infinito, como sendo: K I = F p. (70) 4.4. Adaptação ao Probema do Desmonte com Argamassa Expansiva O probema do desmonte com AE envove uma inha infinita de furos (dos quais emanam trincas diametramente opostas), ainhada paraeamente com a face ivre e afastada da mesma de certa distância finita, A. Não há na iteratura de nosso conhecimento, soução exata para o FIT de uma inha infinita de trincas disposta paraeamente a uma face ivre, isto é, soução para o probema de uma inha infinita de trincas num semi-pano. Contudo, utiizando-se a soução aproximada por assíntota de dipoos, Eq. (70), e as souções para interação com a face ivre dadas peas Eqs. (59) / (6) e (60) / (6), respectivamente, para forças concentradas e cargas distribuídas, podemos determinar uma soução aproximada para ta probema. A soução se compõe de duas partes. A primeira, devida ao dipoo de forças, K F I, já considerada a interpoação dada pea Eq. (6), será: K F I = F 0.86F A F A. (7).78 ( A) A segunda, devida às tensões efetivas, K I p, escreve-se como: K p I = p p.5 p 4A A. (7).78 ( A) 44

63 Finamente, tem-se: K I = K F I K p I. A soução assim obtida será comparada, no Cap. VII, com uma soução numérica para uma inha infinita de furos, dos quais emanam trincas diametramente opostas, paraeas à face ivre. Percebe-se que os primeiros termos dos membros direitos das Eqs. (7) e (7) correspondem, conjuntamente, à soução aproximada de Dyskin & Mühhaus (995) para o meio infinito, Eq. (70), e podem, eventuamente, serem substituídos pea soução exata de Koiter, Eq. (64). No desmonte, há um furo pressurizado pea argamassa, o que não está rigorosamente representado na soução acima proposta. O efeito do furo é ai representado peo dipoo de forças no centro da trinca. Isso equivae à consideração de que o furo está reduzido a um ponto, o que só seria fisicamente razoáve quando a trinca tivesse um comprimento infinitamente maior que o diâmetro do mesmo. No entanto, para o propósito de engenharia de se estabeecer um espaçamento ótimo entre furos, pode-se conjecturar que ta representação seja váida (consideração anáoga foi também feita por Ouchterony (974) e esta expressa peas Eqs. (4) e (44), Cap. III). Todavia, isso será verificado no Cap. VII, pea comparação dessa soução aproximada com uma soução numérica correspondente ao probema do desmonte. Mais aém, será também avaiada a substituição da parcea da soução referente ao dipoo, pea Eq. (54), do Cap. III, para o probema do fraturamento hidráuico, que diz respeito exatamente às trincas que emanam de um furo pressurizado. Finamente, é interessante mencionar que, independentemente de qua seja a equação resutante para K I, a mesma deverá passar sempre por um ponto de mínimo entre 0 e 0.5S (anaogamente ao que foi discutido para a Eq. (48) do item..). Conhecendo-se esse mínimo e impondo que ai K I = K IC, pode-se estabeecer qua o espaçamento máximo (ótimo) entre furos para um dado desmonte com AE, que é o objetivo principa da soução a ser proposta. 45

64 CAPITULO V PROCEDIMENTOS NUMÉRICOS E EXPERIMENTAIS EM MECÂNICA DE FRATURA 5.. Introdução Com vistas a se acançar o objetivo proposto, que é dimensionar as mahas de furação para desmontes com AE, abordamos o probema, num primeiro instante, anaiticamente (Caps. III e IV). Agora iremos abordá-o de duas maneiras aternativas e compementares, quais sejam: numérica (computaciona) e experimenta. A utiização de um programa computaciona, ou seja, abordar o probema de dimensionamento da maha de desmonte também numericamente, tem por objetivo principa comparar seus resutados com aquees fornecidos pea expressão anaítica a ser desenvovida. Nesse sentido, o que se pretende é vaidar a referida expressão contra um programa, cuja aptidão na modeagem de probemas referentes à MFEL é ampamente comprovada. Os ensaios experimentais serão feitos com dois objetivos. O primeiro é a determinação da tenacidade à fratura da rocha. O segundo será a proposição de métodos expeditos de determinação da mesma, com a utiização de equipamentos portáteis e de fáci manuseio que possam, eventuamente, ser utiizados em campo. 5.. Procedimentos Numéricos Como já foi dito no Cap. I, será utiizado um programa computaciona, denominado FRANCD (Wawrzynek & Ingraffea, 99), baseado no MEF (Bathe, 98), que simua a propagação de trincas. O MEF é uma técnica de soução numérica das equações da mecânica de um meio contínuo (Jaeger & Cook, 979), cujas idéias principais, extraídas de Figueiredo (005), são apresentadas no subitem seguinte. O FRANCD foi e continua sendo desenvovido peo Corne Fracture Group da Universidade de Corne nos EUA, aonde vem sendo utiizado na modeagem de vários probemas de engenharia. Possui uma interface gráfica reativamente amigáve, para pré e pós-processamento de dados e resutados, respectivamente. 46

65 Sua escoha deveu-se, principamente, à sua adequação aos propósitos da presente pesquisa, sua aceitação no meio técnico e ao fato de ser distribuído gratuitamente (já que não dispúnhamos de recursos para aquisição de um software aternativo) Método dos eementos finitos Trata-se de um método numérico de soução das equações da mecânica de um meio contínuo. Baseia-se na sua divisão (discretização) em um certo número de eementos de forma geométrica simpificada (no caso D, triânguos e/ou quadriáteros), ditos eementos finitos, que constituem uma maha (Fig. 5.), na qua os eementos vizinhos interagem entre si por suas arestas, atendendo simutaneamente aos requisitos de compatibiidade de deformações e de equiíbrio. Figura 5. Maha de eementos finitos. A Fig. 5. mostra uma maha de eementos finitos para o probema de um furo em um meio infinito. Ai se observam as condições de contorno: o carregamento devido às tensões in situ (remotas), apicado como forças de superfície nos imites externos e 47

66 desocamentos prescritos (nuos) nas inhas de simetria do probema (no caso, horizonta e vertica passando peo centro do furo). Cada eemento possui um determinado número de nós ou pontos nodais distribuídos ao ongo de suas arestas. No caso da Fig. 5., os eementos são ou triânguos com 6 (T6) ou quadriáteros com 8 nós (Q8), em que, aém dos vértices, há nós situados nos pontos médios de cada uma das arestas. O código de eementos finitos FRANCD utiiza justamente os eementos T6 e Q8 supracitados. Conforme Jaeger & Cook (976), é intrínseco à formuação em desocamentos do MEF, que forças de massa e de superfície, atuantes em um eemento quaquer, possam ser substituídas, sempre, por um sistema de forças nodais estaticamente equivaentes. A idéia básica que fundamenta a mesma, é a de que as componentes de desocamento {u} = (u x u y ) de um ponto quaquer no interior de um eemento, sejam definidas a partir de um grupo de funções de interpoação, em termos dos desocamentos nodais. Expiquemos os princípios da formuação com referência a T6. Sejam,,, 4, 5 e 6 os seis pontos nodais de um eemento T6. Os desocamentos respectivos serão: u x, u y, u x, u y... u x6 e u y6, que compõem, conjuntamente, um vetor {U} x. Assim, {u} = [N]{U}, na qua [N] x é uma matriz cujos eementos são as funções de interpoação supra-referidas. No caso de T6 (assim como também de Q8), tais funções são quadráticas, significando que a distribuição (campo) de desocamentos no interior do mesmo é aproximada por poinômios do segundo grau (Bathe, 98). As deformações, por sua vez, apresentam, no caso pano (Jaeger & Cook, 979), as componentes x u x y u y ε = x, ε = y e γ = u y u x. Pode-se expressáas por um vetor {ε} x = (ε x ε y γ xy ). A sua reação com os desocamentos pode ser dada pea matriz de operadores diferenciais [A] x, ta que {ε} = [A]{u}. Daí vem que: {ε} = [A][N]{U} = [B]{U}, na qua [B] x é, no caso de T6, uma matriz de funções ineares (derivadas parciais de primeira ordem das funções de interpoação quadráticas contidas em [N] Bathe, 98). De forma anáoga, para as forças atuantes nos vértices dos triânguos, q x, q y, q x, q y... q x6 e q y6, representadas peo vetor {q} x, demonstra-se, a partir do Princípio dos xy x y 48

67 Trabahos Virtuais (Bathe, 98), que se pode reacioná-as ao vetor de componentes de tensões D, {σ} x = ( σ x σ y τ xy ), pea expressão: {q} = V e voume do eemento e o sobrescrito t indica transposição. [B] t {σ}dv e, onde V e é o Considerando, então, a reação constitutiva {σ} = [C]{ε}, na qua [C] x é a matriz tensão-deformação, podemos combinar as equações anteriores e escrever as forças nodais {q} em função dos respectivos desocamentos, {u}, pea reação {q} = V e [B] t [C][B]{U}dV e = [k]{u}, onde a matriz [k] = V e [B] t [C][B]dV e é uma matriz x, denominada matriz de rigidez do eemento trianguar quadrático (T6). Impondo a compatibiidade de forças e desocamentos dos nós compartihados por eementos vizinhos (Bathe, 98), tem-se, finamente, um sistema de equações agébricas simutâneas que é justamente o resutado da discretização do meio por eementos finitos, qua seja: {Q g }=[K g ]{U g }, onde {Q g } nx {U g } nx são os vetores gobais (isso é, representativos de toda a maha) de cargas e desocamentos nodais, respectivamente, e [K g ] nxn é a matriz de rigidez goba; sendo n o número tota de nós. Da soução do sistema, que representa a condição de equiíbrio entre as cargas (membro esquerdo), e as forças internas induzidas (membro direito), resutam os desocamentos nodais incógnitos. Conforme exposto iniciamente, admitindo que a transmissão das forças internas (e daí, também das tensões) entre os imites de eementos adjacentes possa ser representada pea interação entre os nós, com o estabeecimento das expressões acima para as forças nodais, o probema estará resovido quando as cargas, iniciamente desbaanceadas, entrarem em equiíbrio, ou seja, quando o desocamento de cada nó resutar em esforços iguais, mas de sentidos opostos, nos eementos que o compartihem. Finamente, a deformação induzida uma vez determinada, a partir dos desocamentos nodais ({ε} = [B]{U}), possibiitará cacuar, pea reação constitutiva ({σ} = [C]{ε}), o respectivo estado de tensão que, somado às eventuais tensões iniciais 49

68 existentes, permitirá a determinação do estado fina de tensão existente em cada eemento. A maior vantagem da apicação desse método está na sua versatiidade, já que, ao considerar as características de cada eemento do modeo separadamente, permite trabahar com geometrias reaistas, materiais heterogêneos, anisotrópicos, forças de massa e de superfície variáveis, etc. Aém disso, admite o tratamento de comportamentos não-ineares, o que, no entanto, requer técnicas computacionais bem mais sofisticadas. Particuarmente nesse sentido, o FRANCD utiiza um eficiente agoritmo de Reaxação Dinâmica (Figueiredo, 990) para resover o compexo sistema de equações não-ineares de equiíbrio estático ({Q g }=[K g ]{U g }). A Reaxação Dinâmica é uma técnica pseudo-dinâmica que permite obter uma soução numericamente convergente mesmo em situações fisicamente instáveis (Figueiredo, 990), como é bastante comum ocorrer em probemas de Mecânica de Fratura. Uma especificidade do MEF, no que tange às anáises de probemas de Mecânica de Fratura, é a necessidade de uma discretização especia em torno da ponta de uma trinca (Fig. 5.). Como foi discutido no Cap. III, há ai uma concentração de tensões infinita, ou seja, uma singuaridade (Eqs. (8) e (9)). As tensões crescem com o inverso da raiz quadrada da distância à ponta. Portanto, quando a distância se anua, as tensões vão ao infinito. Para que esse inconveniente matemático seja incorporado no método numérico sem provocar divergência nem perda de precisão na soução, tipos especiais de eementos foram desenvovidos (Whittaker et a., 99). O tipo mais utiizado atuamente (empregado também no FRANCD) é o quarter-point. Trata-se de uma variante dos eementos finitos convencionais T6 e Q8, na qua os nós centrais das arestas, que possuam vértice comum coincidente com a ponta da trinca, são desocados da sua posição norma para uma nova, a uma distância daquea de um quarto do comprimento das respectivas arestas (a Fig. 5. iustra um eemento T6 quarter-point). Pode-se demonstrar que com essa ateração no posicionamento noda, a interpoação dos desocamentos não é mais quadrática. Obtém-se uma dependência da raiz quadrada das coordenadas dos pontos interiores ao eemento. Com isso, as tensões, determinadas conforme exposto acima, irão variar exatamente com o inverso da raiz quadrada da 50

69 distância, apresentando, portanto, a mesma singuaridade discutida no Cap. III. Assim, podem ser obtidos exceentes resutados no cácuo dos FITs. Figura 5. Maha em torno da ponta de uma trinca (em vermeho). Figura 5. Eemento singuar T6 quarter-point. 5.. Procedimentos Experimentais Existem vários métodos aboratoriais para se medir a tenacidade à fratura de rochas (Whittaker et a., 99). Em gera, todos são bastante sofisticados. A Internationa 5

70 Society for Rock Mechanics (ISRM), em um artigo pubicado em 988, sugere dois métodos principais: Chevron Bend Specimens (CB) e o Short Rod Specimens (SR) (ISRM, 988). No subitem a seguir serão abordados os ensaios de aboratório reaizados durante esta pesquisa. Há, ainda, ensaios índices que, como uma aternativa, podem fornecer, por meio de correações, uma indicação do vaor da tenacidade. Esse é o caso dos ensaios de carga puntiforme (point oad - ISRM, 97; Bieniawski, 975; ISMR, 985; Brook, 985) e escerométrico (Deere & Mier, 966; ISRM, 978) a serem tratados na seqüência Ensaio por fexão com entahe em chevron O objetivo fundamenta dos testes de MF é a obtenção de um reprodutíve e representativo vaor da tenacidade à fratura do materia para o modo I, K IC. Os testes requerem que os corpos de prova sejam preparados contendo uma trinca prévia (entahe). Os primeiros testes de K IC para rochas foram baseados no método padrão sugerido para metais, proposto pea American Society for Testing and Materias (ASTM) (Schmidt, 975 e 976; Ingraffea & Schmidt, 978). Esse método fornece bons resutados (Schmidt, 975 e 976), porém requer uma compicada preparação dos corpos de prova, gastando-se muito tempo e também se tendo um ato custo, aém dos critérios de cácuos de K IC não serem muito adequados para rochas (ISRM, 988). Em razão disso, vários procedimentos aternativos e técnicas de cácuo específicas vêm sendo usadas na obtenção de K IC para rochas, resutando em vaores diferentes, devido à variação de fatores, tais como: comprimento do entahe, tamanho do corpo de prova, condições do teste, etc. (Whittaker et a., 99). As diferenças com reação às dimensões dos corpos de prova ocorrem, porque, diferentemente do que acontece para materiais metáicos, onde há formação de uma zona pástica (Pastic Process Zone PPZ) na frente da ponta da trinca, para rochas ocorre a formação de uma zona de fratura (Fracture Process Zone FPZ). Enquanto a PPZ é causada principamente por cisahamento intracristaino, a FPZ é causada mais por iniciação, propagação e interação de micro-trincas intergranuares, adjacentes à 5

71 ponta da trinca. Isso faz com que um mesmo critério utiizado na obtenção da tenacidade à fratura não seja direta e adequadamente apicáve aos dois tipos de materiais. Para uniformizar o probema, as duas zonas serão aqui chamadas de nãoineares, dentro das quais as tensões são dissipadas pasticamente. Para metais, devido à PPZ, é necessário que prevaeça um estado de deformação pana durante o teste. Assim garante-se que o vaor de K IC obtido seja representativo. Para o estado de tensão pana, a PPZ é dependente da espessura do corpo de prova: à medida que a espessura diminui PPZ aumenta, fazendo com que a tenacidade à fratura, K C, também aumente. Já para o estado de deformação pana, que é acançado quando se tem uma espessura grande (teoricamente infinita), a PPZ não varia com a mesma, fazendo com que a tenacidade à fratura, K IC, permaneça constante. Para se assegurar que prevaeça o estado de deformação pana, a ASTM eaborou a norma E , na qua se recomendam as dimensões requeridas para o corpo de prova, que devem satisfazer às seguintes desiguadades: a B,5 w a σ K IC ys, (7) onde, a = comprimento do entahe (m); B = espessura do corpo de prova (m); w = argura do corpo de prova (m); σ ys = imite de escoamento do materia. Para rochas, a forma da zona não-inear, FPZ, foi descrita peo critério da tensão norma máxima, sugerida por Schmidt (980), sendo definida como simétrica em reação ao eixo x, Fig Isso se deve ao fato de que, para o modo I, o carregamento e a distribuição das tensões também são simétricos. 5

72 y r trinca θ x Figura 5.4 Forma da zona não-inear (FPZ) na frente da ponta da trinca. Como a tensão que atua fora do pano, que contém a trinca, não entra na expressão que define a forma da FPZ, a mesma independerá de a trinca estar sob o estado de tensão pana ou deformação pana. Este fato impica que a tenacidade à fratura de rochas não será infuenciada pea espessura do corpo de prova, diferentemente do que acontece para metais. Porém, o K IC de rochas dependerá do comprimento do entahe, semehantemente ao que acontece com os metais. Portanto, para se obter um vaor significativo de K IC para rochas, será necessário satisfazer as seguintes desiguadades (Schmidt, 980): a K.5 IC, (74) w a σ t onde, σ t = resistência à tração da rocha (MPa) e o significado dos demais símboos é o mesmo supracitado. Porém, a espessura do corpo de prova não deverá ser menor do que a FPZ (Barton, 98), ou seja: B r cm 7 K IC =, (75) σ t 54

73 em que, r cm = tamanho crítico máximo da FPZ (máximo de r na Fig. 5.4). Whittaker et a. (99) cita, ainda, que a mínima dimensão do corpo de prova não deve ser menor que 0 vezes a dimensão média dos grãos cristainos da rocha. Com reação à forma do entahe para um corpo de prova de rocha, o mais adequado é aquee que possui a forma em V, conhecido como chevron, pois o mesmo eimina a necessidade do processo maçante de pré-trincamento (Whittaker et a., 99), recomendado para metais pea ASTM. A idéia do método é a de que a forma em V faz com que o comprimento da frente da trinca seja graduamente aumentado à medida que a mesma propaga. Assim, para cada incremento de extensão da trinca, será necessário um incremento da carga apicada, o que torna a propagação estáve, podendo ser facimente controada e também ativando um auto-pré-trincamento. Uma das vantagens dos ensaios com esse entahe é que o mesmo não requer nenhuma medida de desocamento ou comprimento da trinca e nenhuma técnica compicada de cácuo da tenacidade à fratura. É requerido apenas que seja medido o vaor máximo da carga apicada. Devido a essas vantagens, o ensaio reaizado neste trabaho foi o de fexão de três pontos com entahe em chevron (Singe Edge Chevron-Notched Rectanguar Pate in Three-Point Bending CNPB Whittaker et a., 99). A geometria e a configuração de carregamento estão representadas na Fig A expressão usada para cacuar a tenacidade à fratura é dada por (Wu, 984): K P =, (76) min B w max C IC Y K na qua, P max = carga máxima apicada (N); 55

74 Y C Kmin α = α ( α ) 8( α ) 76( α ) 4( α ) 0 4 ( α ) 848( α ) 55( α ) 59( α ) w, para =.5 B, (77) w, para = B sendo que, a 0 0 = α. w P w a 0 a a P/ P/ B L Figura 5.5 Configuração do corpo de prova para ensaio de fexão (CNBP) Ensaios índices 5... Carga puntiforme O point oad foi desenvovido para fazer medidas indiretas das resistências à compressão e tração de rochas (Broch & Frankin, 97). Porém, aguns pesquisadores o tem utiizado também para determinar a tenacidade à fratura de rochas (Gunsaus & Kuhawy, 984; Bearman, 99 e 999), justamente por meio de correações empíricas. As vantagens de se usar o point oad são que não há necessidade de grande preparação das amostras e o fato de se poder transportá-o ao campo. Um diagrama esquemático do apareho de point oad está mostrado na Fig Uma das fórmuas que fornecem uma correação entre K C e o resutado do point oad, adequada para amostras de formato irreguar, foi obtida por Bearman (999), a saber: 6.56P K IC =, (78) na qua, ( wd) 4 56

75 P = força apicada peo apareho (kn); D = distância entre as duas pontas de apicação da força (mm); w = mínima argura da amostra ensaiada (mm). (a) (b) Amostra de rocha Estrutura rígida Manômetro Raio de 5 mm Diâmetro de 0 mm Pistão hidráuico Vávua Bomba manua Figura 5.6 Diagrama esquemático dos aparehos de point oad (modificada de Bearman, 999). Outra equação de correação entre K C e o índice do point oad, para amostras ciíndricas extraídas de testemunhos de sondagem, foi obtida por Gunsaus & Kuhawy (984), como sendo: K I 50, (79) IC = S ( ). onde: I = resistência do point oad corrigida para testemunho de diâmetro de 50 mm S ( 50) (MPa). Brook (985) desenvoveu um fator de correção para o I S(50), sendo esse expresso como: P I S ( 50) = f. (80) D O referido autor obteve uma expressão média para o f da Eq. (80) baseando-se em trabahos anteriores (Brook, 98; Greminger, 98), como sendo: f = D. (8) 57

76 Para amostras irreguares, Brook (985) sugere um conceito de diâmetro equivaente, D e, expresso da seguinte maneira: 0.5 4wD D e =, (8) de onde se pode concuir que a resistência do point oad corrigida é dada por: 0.45 D P I S ( 50) =, (8) 50 D na qua se utiiza D para amostras de testemunhos testadas diametramente ou D e para amostras de formatos irreguares. Por outro ado, há também correações bem estabeecidas em mecânica das rochas, entre K C e a resistência à compressão uniaxia, σ c, a saber (Gunsaus & Kuhawy, 984): K σ.04, (84) IC = c onde, σ c = é dada em MPa. σ c pode, por sua vez, também ser estimada por ensaios índices. O próprio point oad é uma possibiidade, para o qua, na Tab.5., estão istadas várias equações de correação entre o I S(50) e a σ c. Vae ressatar, que agumas destas equações de correação são para um tipo específico de itoogia, enquanto outras foram obtidas para uma gama maior, podendo, portanto, serem apicadas para várias itoogias. Uma outra possibiidade, cada dia mais aceita na prática de engenharia de rochas, é o escerômetro de Schmidt (Katz et a., 000; Kahraman, 00b; Dinçer et a., 004), que será detahada no subitem seguinte. Aém da correação apresentada entre I S(50) e K IC, Eq. (79), será aqui proposta uma nova correação, a partir dos resutados obtidos com os materiais ensaiados neste trabaho. 58

77 Tabea 5. - Equações de correaçao entre I S(50) e σ c. Equação Referência Equação Referência D'Andrea et a. Gunsaus & σ c = 5.I S(50) 6. σ (964) c = 6.5I S(50) 5.0 Kuhawy (984) σ c = 4I S(50) Broch & Frankin (97) σ c = 0...5I S(50) ISRM (985) σ c = I S(50) Bieniawski (975) σ c = I S(50).0 Chargi & Shakoor (990) σ c = 9I S(50) Hassani et a. (980) σ c = 9.I S(50) 0.04 Grasso et a. (99) Rea et a. (980) σ c =.5I S(50) Chau and Wong (996) σ c = 6I S(50) () Rochas sedimentares Kahraman (00b) σ c = 0I S(50) () Basatos σ c =.6I S(50) -.69 () Carvão σ c = 4.5I S(50) Forster (98) σ c = 8.4I S(50) 9.5 () Outras rochas σ c e I S(50) em MPa Escerômetro de Schmidt O escerômetro de Schmidt (Schmidt Hammer), Fig. 5.7, foi desenvovido para medir a dureza do concreto de forma não destrutiva (Schmidt, 95) e, posteriormente, foi utiizado para estimar a resistência de rochas a partir de equações de correação e ábacos (Hucka, 965; Deere & Mier, 966; ISRM, 978; Pooe & Farmer, 980). TRAVADO APÓS O GOLPE PRONTO PARA OPERAÇÃO Moa totamente comprimida Moa totamente comprimida Pino travado Moa parciamente comprimida Pino travado Pino iberado Escaa indicando máximo HR Escaa em zero Escaa em zero Moa extendida Moa em repouso Moa parciamente comprimida Figura Diagrama esquemático do funcionamento do escerômetro (modificada de Basu & Aydin, 004). 59

78 A Tab. 5. mostra agumas das várias equações de correação entre o índice escerométrico (HR - Hammer Rebound) e a σ c. Como acontece para o point oad, agumas das equações são para um tipo específico de itoogia e outras se apicam a várias. Tabea 5. - Equações de correação entre HR e σ c. Equação Litoogia Referência Bibiográfica σ c = 0 (0.0004ρHR.6) tipos de rocha Deere & Mier (966) σ c = 6.9x0 [.48og(ρHR).6] 5 unidades itoógicas Aufmuth (97) σ c =.74e (0.85ρHR) 0 unidades itoógicas Bevery et a. (979) σ c = 0.477e [0.045(HR.5)ρ] Carvão Kidybinski (98) σ c = HR 0 unidades sedimentares Singh et a. (98) σ c = 0.4HR-.6 0 unidades itoógicas Shorey et a. (984) σ c = 0.994HR unidades itoógicas Haramy & DeMarco (985) σ c = 0.88HR-. Carvão Ghose & Chakraborti (986) σ c = 70HR-040 (psi) Arenito, sitito, cacário, anidrito O'Rourke (989) σ c = e (ahrb) Mica-xisto, prasinito Xu et a. (990) HR = 0.9σ c unidades itoógicas Sachpazis (990) (mármore, cacário, doomito) σ c =.HR-.5 Gabro, basato Aggistais (996) σ c = 0.000HR.658 Marga Gökçeogu (996) σ c = 4.5x0-4 (HRρ).46 0 unidades itoógicas Kahraman (996) n(σ c )= 0.067HR tipos de rocha Katz et a. (000) σ c = 69.7e (0.04ρHR) Várias rochas Kahraman (00b) σ c = e ( HR) Gypso Yimaz & Sendir (00) σ c =.75HR6.84 Rochas ígneas Dinçer et a. (004) σ c em MPa; ρ em g/cm ; a e b coeficientes dependentes do tipo de rocha. Sendo assim, pode-se obter uma estimativa de σ c a partir de um grande número de determinações de campo de HR e daí, pea Eq. (84), cacuar K C. A atratividade na utiização do escerômetro de Schmidt está no seu baixo custo, uso simpes, in oco, robustez, etc.. 60

79 Aém das correações do HR com a σ c, existem correações do HR com o móduo de easticidade E (Katz, 000; Dinçer et a., 004), com a densidade ρ (Katz et a., 000) e com o índice de veocidade do som IVS (Kahraman, 00a), que é a incinação da reta num gráfico de veocidade da onda compressiva, v p, peo número de juntas. Por outro ado, há correações entre K C e σ c (Gunsaus & Kuhawy, 984), entre K C e ρ (Bearman, 99; Brown & Reddish, 997; Abert & Brardt, 00), entre K C e veocidade da onda compressiva, v p (Huang & Wang, 985; Abert & Brardt, 00) e entre K C e a resistência à tração σ t (Whittaker et a., 99; Zhang et a., 998; Zhang, 00). Todas eas são apresentadas na Tab. 5., abaixo. Tabea 5. - Outras equações de correação entre propriedades e índices. Equação Referência K IC = 0.65v p -.68 Huang & Wang (985) K IC =.5 ρ Bearman (99) σ t = 9.5K IC -.5 Whittaker et a. (99) K IC =.ρ Brown & Reddish (997) 0.6 σ t = 8.88K IC Zhang et a. (998) n(e) =.09n( HR) Katz et a. (000) ρ =.08n(HR) Katz et a. (000) ISV = 0.HR 44 Kahraman (00a) σ t = 6.88K IC Zhang (00) K IC = e (0.68vp) Abert & Brardt (00) K IC = 0.05e (.74ρ) Abert & Brardt (00) E = 0.47HR Dinçer et a. (004) σ t em MPa; ρ em g/cm ; E em GPa; v p em km/s; ISV em s/km e K IC em MPa m. Daí se pode observar que há propriedades que são, ao mesmo tempo, correacionadas tanto com HR quanto com K C (σ c, ρ, v p ). Porém, até o momento não foi encontrada em iteratura, uma correação entre o HR e a K C. Portanto, devido à praticidade de utiização do escerômetro de Schmidt, pretende-se aqui propor uma correação entre os mesmos. 6

80 CAPÍTULO VI RESULTADOS EXPERIMENTAIS 6.. Introdução Neste capítuo serão apresentados e discutidos os resutados experimentais para se determinar o vaor da tenacidade à fratura e também para a proposição de correações para a obtenção da mesma. Para a reaização dos ensaios experimentais foram utiizados três tipos de rochas, quais sejam: granitos cinza, provenientes do município de Cachoeira do Itapemirim-ES; dois tipos de pedra-sabão, uma vinda do município de Acaiaca-MG e outra do município de Furquim-MG. Como se utiizaram apenas três tipos de rochas, buscaram-se na iteratura, vaores adicionais das propriedades e índices necessários para a proposição das referidas correações. 6.. Determinação da Tenacidade à Fratura (K IC ) Os ensaios de tenacidade à fratura foram reaizados no aboratório do GESFRAM/DEMET (Grupo de Estudo de Fratura de Materiais/Departamento de Metaurgia) da Escoa de Minas (UFOP), cujas especificações técnicas são: Máquina Servo-Hidráuica MTS, modeo 80, com capacidade de apicação de carga de 0 toneadas, Fig. 6.. Figura 6. Máquina Servo-Hidráuica MTS-80. 6

81 As dimensões e a quantidade de corpos de prova utiizados de cada rocha, bem como os respectivos vaores de K IC, estão mostrados na Tab. 6.. Os vaores do comprimento (L), argura (w), espessura (B) e entahe (a 0 ), para cada corpo de prova, foram medidos utiizando-se um paquímetro digita. O vaor de L de cada corpo de prova foi obtido fazendo-se a média de duas eituras. Já os vaores de w e B, foram obtidos fazendo-se a média de cinco eituras. Como a reação entre espessura e argura (w/b) dos corpos de prova ficou próxima de.5, a expressão utiizada para cacuar K IC foi (Eqs. 76 e 77): 4 [ α 69.6( α ) 8( α ) 76( α ) ( α ) ] 5 P K max 4 Q = (85) B w Tabea 6. - Ensaio de Fexão com Entahe em Chevron (CNPB) K CP L(m) B(m) w (m) a 0 (m) P max (N) IC CP GR GR GR GR GR GR GR GR GR PSF PSF PSF PSA PSA PSA PSA PSA PSA PSA PSA K IC MF K IC DP CP = Corpo de Prova; PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR =Granito; * = ensaios descartados; K IC em MPa m; MF = Média Fina; DP = Desvio Padrão 6

82 Os ensaios com os corpos de prova de granito números 7 e, Tab. 6., foram descartados devido a uma má execução dos mesmos, que não permitiu medir o vaor máximo da carga. Sendo assim, a média do vaor da tenacidade à fratura foi obtida dos nove ensaios remanescentes. Apesar de terem sido utiizados apenas três corpos de prova para a pedra-sabão de Furquim, pôde-se observar que os vaores de K C variaram muito pouco. 6.. Determinação do Índice de Carga Puntiforme (I S(50) ) Os ensaios com o point oad foram reaizados no Laboratório de Geotecnia da Escoa de Minas (UFOP), obedecendo às determinações sugeridas pea ISRM (985). As especificações do apareho utiizado, Fig. 6., são: capacidade de carga de 55 kn; duas escaas de precisão de registro de carga, uma de kn com divisões de 0. kn e outra de 0-55 kn com divisões de kn; diâmetro máximo possíve para o corpo de prova de 0 mm e mínimo recomendado de 5 mm; peso tota do apareho de 7 kg. Figura 6. Point Load. Para cada tipo de rocha, obteve-se um vaor médio de I S(50) para várias amostras, como sugerido pea ISRM (985), isto é, descartaram-se os 0% vaores maiores e os 64

83 0% menores, fazendo-se a média dos remanescentes. Finamente, obteve-se o vaor médio fina, fazendo-se a média dos vaores dos I S(50) médios amostrais de cada rocha, como mostrada na Tab. 6.. Tabea 6. Ensaio com point oad. I amostra S(50) - I S(50) - I S(50) - MA MF DP Amostra I S(50) - MA PSF-.74 PSA PSF PSA PSF-.77 PSA- 5.5 PSF PSA PSF PSA PSF PSA PSF-7.78 PSA PSF GR PSF-9.74 GR GR GR I S(50) - MF I S(50) - DP PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA= Pedra-Sabão de Acaiaca; GR= Granito; IS S(50) em MPa; MA= Vaor Médio Amostra; MF = Vaor Médio Fina; DP = Desvio Padrão Determinação do Índice Escerométrico (HR) Os ensaios com o escerômetro de Schmidt foram reaizados em pacas dos três tipos de rochas, nas quais as dimensões para as pedras-sabão foram 00 x 00 x 0 mm e para o granito 00 x 00 x 0 mm. As superfícies das pacas de pedras-sabão onde se mediu o HR foram poidas manuamente, enquanto as pacas de granito foram poidas por máquinas. O apareho utiizado foi o escerômetro do tipo L, com energia de impacto de 0.74 joues, Fig. 6.. A medida do HR de cada amostra (paca) foi feita na posição vertica para baixo e seguiu as recomendações sugeridas pea ISRM (978), isto é, obtiveram-se 0 vaores de HR e se fez a média dos 50% maiores, obtendo-se assim, um único vaor para cada amostra. O vaor fina do HR para cada rocha foi obtido fazendo-se a média dos HRs médios amostrais, como mostra a Tab

84 Figura 6. Escerômetro de Schmidt. Tabea 6. - Ensaio com Escerômetro de Schmidt. amostra HR-MA HR-MF HR-DP amostra HR-MA HR-MF HR-DP PSF GR-.6 PSF -.8 GR PSF - 0. GR-.6 PSF GR-4. PSA - 5 GR-5.0 PSA GR PSA PSA PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito; MA = Vaor Médio Amostra; MF = Vaor Médio Fina; DP = Desvio Padrão Determinação da Densidade (ρ) Como também serão propostas correações com a densidade, houve a necessidade de determinação da mesma para as três rochas. Na determinação da densidade procedeu-se da seguinte forma: cacuou-se o voume (V) e determinou-se o peso de cada corpo de prova antes de o mesmo ser entahado para o ensaio de tenacidade à fratura (CNPB). O voume foi cacuado mutipicando-se os vaores médios das dimensões dos corpos de prova (L, w, B), obtidos como descrito no 66

85 item 6. acima e apresentados na Tab. 6.. Em seguida, dividiu-se o peso peo voume, obtendo-se, assim, a densidade de cada corpo de prova e, finamente, foi encontrado o vaor da densidade de cada rocha fazendo-se a média dos seus respectivos corpos de prova, como mostra a Tab 6.4 abaixo. Tabea Ensaio de Densidade. CP Peso(g) L(cm) w(cm) B(cm) V(cm ) ρ CP GR GR GR GR GR GR GR GR GR GR GR PSF PSF PSF PSA PSA PSA PSA PSA PSA PSA PSA CP = Corpo de Prova; PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito; ρ em g / cm ; MF = Média Fina; DP = Desvio Padrão. ρ MF ρ DP Correações Serão apresentadas na seqüência três correações para estimação da tenacidade à fratura, quais sejam: K C versus I S(50), K C versus ρ e K C versus HR. Apesar do objetivo principa da proposição das correações ser a estimação de K C, outras três 67

86 correações entre propriedades e índices também serão apresentados, visto serem as mesmas úteis na prática de engenharia, sendo eas: ρ versus HR, I S(50) versus HR e I S(50) versus ρ. Para todas as seis correações testaram-se os seguintes esquemas de equações: inear, inear passando pea origem, exponencia, poinomia e ogarítmica. No entanto, a inear passando pea origem foi a que apresentou o mehor coeficiente de correação em todas as seis correações estudadas, sendo, portanto, a única adotada e apresentada Correação entre K IC e I S(50) Para esta correação, aém dos três vaores obtidos neste trabaho, utiizaram-se mais oito retirados de Gunsaus & Kuhawy (984), sendo, portanto, todos esses vaores apresentados na Tab. 6.5 abaixo. Tabea K IC versus I S(50). Gunsaus & Kuhawy (984) ET rocha I S(50) (MPa) K IC (MPa m / ) doomito doomito doomito doomito 9..8 doomito cacário.68.6 cacário arenito PSF PSA GR ET = este trabaho; PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito. A equação de correação foi, portanto, obtida com os onze vaores apresentados na Tab. 6.5, como mostra a Fig. 6.4, cujo coeficiente de correação foi r = 0.90, sendo a referida equação dada por: K =, (86) IC 0.5I S (50) na qua, 68

87 K IC = é dado em MPa m, e I S(50) = é dado em MPa Gunsaus & Kuhawy (984) Este trabaho.00 K IC (MPa.m / ) K IC = 0.5I S(50) I S(50) (MPa) Figura 6.4 Correação entre a tenacidade à fratura (K C ) e o índice do point oad Correação entre K IC e ρ (I S(50) ). Para a proposição desta correação, acrescentou-se aos três dados deste trabaho mais dezessete dados retirados de Brown & Reddish (997), tendo-se um tota de vinte pontos, sendo os mesmos, apresentados na Tab. 6.6 abaixo. O gráfico do qua se obteve a correação está mostrado na Fig. 6.5, cujo coeficiente de correação foi r = A equação obtida é dada como: K = 0.55ρ, (87) IC sendo, 69

88 K IC = dado em MPa m, e ρ = dado em g/cm. Tabea K IC versus ρ. rocha ρ K IC rocha ρ K IC Brown & Reddish (997) ET granito.6.5 arenito granito.69.6 arenito tonaito.946. sitito doomito.98.5 sed. aterada.74.8 anortosito.7.88 vu. aterada norito.00.0 quartzito basato mármore cacário ardósia greda PSF GR PSA ET = este trabaho; PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito. K IC em MPa m; ρ em g/cm K IC (MPa.m / ) K IC = 0.55ρ Brown & Reddish (997) Este Trabaho ρ(g / cm ) Figura 6.5 Correação entre a tenacidade à fratura (K C ) e a densidade (ρ). 70

89 6.6.. Correação entre K IC e HR Como já mencionado no subitem 5..., não é de nosso conhecimento iterário a existência de uma correação entre a tenacidade à fratura (K IC ) e o índice escerométrico (HR), sendo, portanto, esta correação, pea primeira vez, aqui apresentada. Para a proposição da referida correação foram utiizados, aém dos nossos próprios resutados, dados de dois trabahos distintos dos mesmos autores (Amara et a. 999a e b). Em um dees estavam disponíveis apenas vaores de HR (Amara et a., 999a). No outro se encontravam vaores de K IC (Amara et a., 999b) para as mesmas rochas. Acrescentaram-se, então, os três vaores deste trabaho, dando um tota de nove pontos, sendo os mesmos apresentados na Tab. 6.7 abaixo. Tabea K IC versus HR. Rocha K IC HR K IC - DP HR - DP Amara et a. (999a e b) ET granito cinza granito cinza granito cinza granito rosa granito azu granito preto PSF PSA GR ET = este trabaho; PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito; K IC em MPa m; DP = Desvio Padrão. A equação de correação foi obtida peo gráfico mostrado na Fig. 6.6, na qua o coeficiente de correação foi r = 0.95, sendo a mesma dada por: K IC = 0. 09HR, (88) na qua, K IC = dado em MPa m. 7

90 É interessante citar que, excuído o ponto correspondente à PSA, que é o mais distante da reta de correação, a mesma teria a expressão K IC = 0.077HR com um r = Como se pode observar na Tab. 6., essa rocha forneceu tenacidades, geramente, bem mais eevadas que os demais materiais ensaiados..0 Amara et a. (999a e b) Este trabaho 0.80 K IC (MPa.m / ) K IC = 0.09HR HR Figura 6.6 Correação entre a tenacidade à fratura (K C ) e o índice escerométrico Correação entre ρ e HR (HR). Esta correação foi proposta com o intuito de se estimar a densidade de forma simpes e in oco, devido à praticidade no uso do escerômetro de Schmidt. Aém dos três vaores de ρ e de HR, obtidos neste trabaho, utiizaram-se mais vinte e dois, retirados de Kahraman (00), sendo todos apresentados na Tab. 6.8 abaixo. O gráfico gerado peos pontos da Tab 6.8, do qua resutou a equação de correação entre ρ e HR, está mostrado na Fig. 6.7, cujo coeficiente de correação foi r = A referida equação é dada como: 7

91 ρ = HR, (89) sendo, ρ = dado em g/cm. Tabea ρ versus HR. Rocha ρ HR rocha ρ HR Kahraman (00) ET Doomito.9 59 meta-arenito.7 54 Arenito.0 70 serpentinito.6 59 Arenito.77 5 cacário.86 4 arenito aterado.55 6 cacário.7 68 cacário arenito.56 8 mármore. 56 cacário.7 58 diabásio doomito serpentinito.88 6 cacário.66 5 cacário.7 6 cacário cacário argioso.4 58 brecha cacárea.6 47 hematita.6 44 cacário.8 50 PSF GR PSA.98.8 ET = este trabaho; PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito; ρ em g/cm..80 ρ(g / cm ) ρ = HR Kahraman (00) Este trabaho HR Figura 6. 7 Correação entre a densidade (ρ) e o índice escerométrico (HR). 7

92 Correação entre I S(50) e HR Como foi mencionado no item anterior, a proposição desta correação também se deve, principamente, à praticidade do uso do escerômetro de Schmidt. Isto é, poder-seá estimar I S(50) a partir de HR e, em seguida, obter vaores de propriedades, tais como resistência à compressão, resistência à tração e tenacidade à fratura, das inúmeras equações de correação entre essas propriedades e o I S(50). Visto serem agumas dessas equações de correação apicáveis para um tipo específico de rocha, o que torna as mesmas mais precisas, devido a uma menor dispersão dos vaores, pode ser eventuamente conveniente se dispor de ta correação. Tabea I S(50) versus HR. Kahraman (00) ET rocha I S(50) HR rocha I S(50) HR doomito meta-arenito arenito.8 70 serpentinito arenito cacário.4 4 arenito aterado. 6 cacário cacário arenito mármore.5 56 cacário diabásio doomito.0 55 serpentinito cacário. 5 cacário cacário cacário argioso brecha cacárea. 47 hematita cacário PSF GR PSA ET = este trabaho; PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito; I S(50) em MPa. Aos três vaores de I S(50) e HR obtidos neste trabaho, acrescentaram-se mais vinte e dois, retirados de Kahraman (00). Todos são apresentados na Tab. 6.9 acima. O gráfico do qua se obteve a correação está mostrado na Fig. 6.8, cujo coeficiente de correação foi r = 0.8, sendo a equação dada por: I S ( 50) = 0. HR, (90) na qua, 74

93 I S(50) = é dado em MPa. I S(50) (MPa) I S(50) = 0.HR Kahraman (00) Este trabaho HR Figura 6.8 Correação entre o índice do point oad (I S(50) ) e o índice escerométrico Correação entre I S(50) e ρ (HR). Para a proposição desta correação, acrescentou-se aos três vaores de I S(50) e ρ obtidos neste trabaho, mais vinte e dois vaores retirados de Kahraman (00). Todos os vaores estão apresentados na Tab 6.0 abaixo. A equação de correação foi, portanto, obtida com vinte e cinco vaores, como mostra a Fig. 6.9, onde se obteve um coeficiente de correação de r = 0.79, cuja equação é expressa da seguinte forma: I.469ρ, (9) S ( 50) = na qua, I S(50) = é dado em MPa; ρ = dado em g/cm. 75

94 Tabea I S(50) versus ρ. Kahraman (00) ET rocha I S(50) ρ rocha I S(50) ρ doomito 4..9 meta-arenito arenito.8.0 serpentinito 6..6 arenito cacário.4.86 arenito aterado..55 cacário cacário arenito mármore.5. cacário diabásio doomito.0.98 serpentinito cacário..66 cacário cacário cacário argioso brecha cacárea..6 hematita cacário PSF GR PSA ET = este trabaho; PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito; I S(50) em MPa; ρ em g/cm Kahraman (00) Este trabaho I S(50) (MPa) I S(50) =.469ρ ρ (g / cm ) Figura 6.9 Correação entre o índice do point oad (I S(50) ) e a densidade (ρ) Discussão dos resutados Pode-se observar que as equações de correação apresentaram muito bons coeficientes de correação. Um quadro com o resumo de todas as equações de correação apresentadas neste capítuo está mostrado na Tab. 6. abaixo. 76

95 Tabea 6. - Equações de correação. IC Equação r número K = 0.90 (86) 0.5I S (50) K = 0.55ρ 0.79 (87) IC K IC = 0. 09HR 0.95 (88) ρ = HR 0.95 (89) I S ( 50) = 0. HR 0.8 (90) I.469ρ 0.79 (9) S ( 50) = K IC em MPa m; I S(50) em MPa; ρ em g/cm. Uma comparação entre os vaores de K C obtido peo CNPB e as equações de correação (Eqs. (86), (87) e (88)) está mostrada na Tab. 6. abaixo. Devido ao maior coeficiente de correação, a Eq. (88) foi a que resutou em vaores mais próximos aos obtidos peo CNPB, como era de se esperar. Isso mostra que uma correação entre K C e HR, aqui proposta pea primeira vez, é não só bastante conveniente como também váida e apropriada. Tabea 6. - Comparação entre os vaores de K IC. Rocha CNPB Eq. (86) Eq. (87) Eq. (88) PSF PSA GR PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito. K IC em MPa m. Apesar dos bons resutados obtidos com a Eq. (88), a mesma não deve ser utiizada para todo tipo de rocha. Tendo sido obtida apenas com granitos e pedras-sabão, é, portanto, recomendada apenas para esses materiais. O idea é que se proponha uma correação para cada tipo de materia. Portanto, para o materia de uma dada pedreira, seria necessária, uma única vez, determinar-se o K C em aboratório. A partir daí, poder-se-ia estimar K C de maneira expedita, utiizando-se apenas o escerômetro de Schmidt. 77

96 Uma comparação também pode ser feita entre os vaores obtidos pea Eq. (79) (Gunsaus & Kuhawy, 984) e pea Eq. (86), Tab. 6., a qua mostra que a útima apresentou um resutado mais próximo dos aboratoriais. Isto pode ser devido ao esquema de correação aqui utiizado, que foi o inear passando pea origem, diferentemente de Gunsaus & Kuhawy (984), que foi uma correação inear gera (sem ta prescrição). Outra possibiidade seria o maior número de pontos utiizados na obtenção da Eq. (86). Tabea 6. - Comparação entre as Eq. (79) e Eq. (86). rocha CNPB Eq. (79) Eq. (86) PSF PSA GR PSF = Pedra-Sabão de Furquim; PSA = Pedra-Sabão de Acaiaca; GR = Granito; Apesar da Eq. (87) não ter tido um coeficiente de correação muito ato (0.79), os resutados obtidos com a sua utiização, comparados com aquees das correações propostas por Brown & Reddish (997) e Abert & Brardt (00), vide Tab. 5., foram mais próximos dos aboratoriais. Os motivos de ta fato supõem-se serem os mesmos já citados no parágrafo anterior. 78

97 CAPÍTULO VII RESULTADOS NUMÉRICOS E ANALÍTICOS 7.. Introdução Neste capítuo serão apresentados e discutidos os resutados numéricos e anaíticos. As abordagens numérica e anaítica foram adotadas, iniciamente, para mehor entender o fenômeno de iniciação e propagação de trincas a partir de furo (s) circuar (es) carregado (s) com AE, e assim, permitir a proposição de um método mais adequado de dimensionamento da maha de desmonte. Ta método consistirá de uma expressão anaítica, cuja vaidação será feita por comparação com anáises numéricas. Para mehor confrontar os estudos anaíticos com os numéricos, utiizou-se, quando necessário, as mesmas propriedades do materia (móduo de easticidade, coeficiente de Poisson e tenacidade à fratura), bem como as dimensões características da maha (espaçamento e afastamento) e o vaor teórico da pressão exercida pea AE. Aém das anáises numéricas terem sido feitas com o objetivo primeiro de se compará-as com as expressões anaíticas, as mesmas também foram utiizadas na proposição de um método aternativo para a estimação de K C e/ou G C. Nesse método serão utiizados ábacos, em que, a partir da medida da deformação diametra de um único furo circuar carregado com AE e da reação /A, pode-se determinar aqueas propriedades de fratura das rochas. 7.. Resutados Numéricos Dois modeos de mahas e duas condições de contorno foram anaisados, o que resuta, portanto, em 4 diferentes situações simuadas. O primeiro modeo de maha é a representação de um furo isoado. Já o segundo, é a representação de uma inha infinita de furos. Ambos estão próximos a uma face ivre. A primeira condição de contorno é a apicação de pressão e a segunda a apicação de deformação dentro dos furos, ambas para os dois modeos de maha. Devido à simetria do probema, a maha contendo um furo isoado, tanto para apicação de pressão como para apicação de deformação, é representada apenas pea 79

98 metade do furo, Fig. 7.. O comprimento da maha é de 0.60 m e a argura de.00 m, correspondendo a um afastamento, A, de.00 m. O diâmetro do furo é de 0.06 m. Os desocamentos foram prescritos nuos em x e ivres em y, nos imites direito e esquerdo da maha. O topo e a base são ivres para se moverem, ou seja, representam faces ivres. Figura 7. Maha representando um furo isoado próximo a uma face ivre. Também devido à simetria do probema, a maha para uma inha infinita de furos é representada apenas pea metade de dois furos vizinhos, com espaçamento pré-definido, Fig. 7.. As dimensões, bem como as condições de contorno são as mesmas da maha anterior. Figura 7. Maha representando uma inha de furos iguamente espaçados, próximos a uma face ivre. 80

99 Para a condição de apicação de pressão dentro dos furos, utiizou-se apenas o vaor teórico da AE (sugerido peos fabricantes), sendo feita, portanto, uma única simuação para cada uma das mahas. O vaor da pressão bem como as demais propriedades necessárias estão mostradas na Tab. 7. abaixo. Tabea 7. - Propriedades utiizadas no FRANCD. Propriedade Vaor Propriedade Vaor P 70 v 0.5 K IC 0.67 E 0000 P e E em MPa; K IC em MPa m. Detahes das mahas mostrando as trincas iniciais e finais resutantes para um furo isoado e para uma inha infinita de furos, ambas com apicação de pressão, estão representadas na Fig. 7.. Nessas mahas se pode observar que, em ambas as simuações, as trincas se propagaram em uma inha reta, paraea à face ivre, como ocorre na prática. Figura 7. Detahes das mahas mostrando as trincas iniciais e finais; (a) trinca inicia saindo de um furo isoado; (b) trinca fina que partiu de um furo isoado; (c) trincas iniciais saindo de furos, iguamente espaçados, dispostos numa inha infinita; (d) trincas finais que partiram de furos, iguamente espaçados, dispostos numa inha infinita. 8

100 Uma comparação entre o comportamento dos FITs durante a propagação das trincas para um furo isoado e para uma inha infinita de furos, ambos os casos, próximos a uma face ivre e com apicação de pressão, estão representados na Fig. 7.4 abaixo pressão P = 70 MPa (furo isoado) P = 70 MPa (inha infinita) 4.00 K I (MPa.m / ) / A Figura 7.4 Comparação entre os FITs numéricos de um furo isoado com os de uma inha infinita de furos, ambos os casos, próximos a uma face ivre. Observa-se caramente na Fig. 7.4 que, quando existem infinitos furos (inha azu), o FIT passa por um mínimo e depois começa a crescer, tendendo ao infinito ao se aproximar da metade do espaçamento. Pode-se concuir que isso é devido à aproximação (interação) das trincas que emanam dos furos. Já para o caso de um furo isoado (inha vermeha), como era de se esperar, ta fato não acontece, ou seja, à medida que a trinca cresce o FIT tende a zero. Essa comparação também pode ser vista, aternativamente, em função das tensões segundo a direção σ y, tanto para a situação inicia, quando ainda não existe trinca, mas 8

101 apenas o furo pressurizado, Fig. 7.5, como para a situação em que a (s) trinca (s) tenha (m) se propagado totamente, Fig Nessas figuras, as tensões de tração são positivas e as de compressões negativas, sendo as mesmas dadas em MPa. Figura 7.5 Distribuição de tensões segundo σ y para a apicação de pressão sem a existência de trinca (s); (a) furo isoado; (b) visão ampiada das tensões próximas ao furo isoado; (c) inha infinita de furos; (d) visão ampiada das tensões próximas a um dos furos da inha infinita. Figura 7.6 Distribuição de tensões segundo σ y para a apicação de pressão com a (s) trinca (s) totamente propagada (s); (a) furo isoado; (b) visão ampiada das tensões próximas ao furo isoado; (c) inha infinita de furos; (d) visão ampiada das tensões próximas a um dos furos da inha infinita. 8

102 Peas Figs. 7.5(b) e 7.5(d) nota-se que não há grandes diferenças das tensões σ y em torno dos furos quanto ainda não existem trincas e que as mesmas tendem a zero a grandes distâncias dos seus centros. Isso se deve ao fato de que para uma inha infinita de furos, os mesmos estão muito distante uns dos outros, não tendo infuência recíproca. Portanto, antes das trincas se propagarem, tudo se passa como se os furos fossem isoados. Outro fato importante, notado na Fig. 7.5, refere-se à ocaização da máxima concentração de tensão de tração (azu), sendo ai o oca onde se dá o início de propagação da (s) trinca (s). Para a trinca totamente propagada, também não se percebe grandes diferenças em torno dos furos, Figs. 7.6(b) e 7.6(d). Porém, na ponta das trincas sim: nota-se que para uma inha infinita de furos, Fig. 7.6(c), há uma concentração maior das tensões de tração, resutante da interação das mesmas. Isto faz com que o FIT aumente, tendendo ao infinito, como mostrado no gráfico da Fig Já para um furo isoado, as tensões estão sempre diminuindo tendendo a zero, fazendo com que o FIT também diminua. Para a apicação da deformação utiizaram-se as mesmas propriedades da Tab 7. acima, ocorrendo somente a troca da pressão pea deformação. Diferentemente da condição de apicação de pressão, onde se utiizou apenas um vaor, nesta condição foram apicadas várias porcentagens de deformação referentes ao diâmetro do furo, que variaram entre 0.50% e 5.00%, de 0.5%. Essa faixa de porcentagens de deformações adotada é uma faixa típica observada, em rochas, para os diâmetros dos furos carregados com argamassa expansiva durante seu processo de expansão. Como as trincas se propagaram da mesma forma como para a apicação de pressão, detahes das mahas mostrando as trincas iniciais e finais são idênticos aos mostrados na Fig. 7. acima, tanto para um furo isoado como para uma inha infinita de furos. O gráfico mostrado na Fig. 7.7 abaixo, compara os FITs para duas diferentes porcentagens de deformações apicadas nos diâmetros dos furos, para um furo isoado e inha infinita de furos. 84

103 deformação ε =.00% (inha infinita) ε = 5.00% (inha infinita) ε =.00% (furo isoado) ε = 5.00% (furo isoado) K I (MPa.m / ) / A Figura 7.7 Comparação entre os FITs, para os dois modeos de maha, com duas diferentes porcentagens de deformações (ε) apicadas. Como acontece na apicação de pressão, Fig. 7.4, é observado o mesmo comportamento para os dois tipos de maha ao se apicar deformação, Fig À medida que as trincas crescem, os FITs tendem a zero no caso de um furo isoado e ao infinito para uma inha infinita de furos iguamente espaçados, quando as trincas que dees emanam aproximam-se da metade do espaçamento. Nesse mesmo gráfico, Fig. 7.7, pode-se observar também que este comportamento independente do vaor da deformação apicada. Uma comparação das distribuições das tensões, como a que se apresentou para a apicação de pressão, também foi feita para a apicação de deformação (ε = 5.00%) entre as duas mahas. Na Fig. 7.8 comparam-se os resutados quando ainda não existem trincas: somente deformação apicada. Na Fig. 7.9 tem-se uma comparação quando as trincas já se propagaram totamente. 85

104 Figura 7.8 Distribuição de tensões segundo σ y para a apicação de deformação (ε = 5.00%) sem a existência de trinca (s); (a) furo isoado; (b) visão ampiada das tensões próximas ao furo isoado; (c) inha infinita de furos; (d) visão ampiada das tensões próximas a um dos furos da inha infinita. Figura 7.9 Distribuição de tensões segundo σ y para a apicação de deformação (ε = 5.00%) com a (s) trinca (s) totamente propagada (s); (a) furo isoado; (b) visão ampiada das tensões próximas ao furo isoado; (c) inha infinita de furos; (d) visão ampiada das tensões próximas a um dos furos da inha infinita. Nas Figs. 7.8 e 7.9 acima, como aconteceu para a apicação de pressão, também não se notam grandes diferenças nas distribuições de tensões em torno dos furos, devidas à apicação de deformação, antes das trincas se propagarem. Somente após a propagação tota das mesmas, a diferença para um furo isoado e uma inha infinita é percebida em 86

105 pontos distantes dos furos. Os motivos seriam os mesmos citados para a apicação de pressão. O que se nota na Fig. 7.9(c) é uma concentração ata das tensões de tração na ponta das trincas, fazendo com que o FIT tenda ao infinito, o que também está mostrado no gráfico da Fig. 7.7, ou seja, o mesmo resutado obtido pea apicação de pressão, como já reatado em parágrafos acima. A variação dos FITs em função da propagação das trincas, obtidos pea apicação da pressão e pea apicação das deformações serão comparados para um furo isoado, Fig. 7.0, e para uma inha infinita de furos, Fig. 7.. Serão mostrados somente os FITs daqueas deformações cujos efeitos equivaem aproximadamente àquee do único vaor de pressão apicada furo isoado P = 70 MPa ε =.5% ε = 5.00% K I (MPa.m / ) / A Figura 7.0 Comparação entre os FITs resutantes das apicações de pressão e de deformação para a maha que representa um furo isoado. 87

106 No gráfico acima, Fig. 7.0, observa-se que, nos estágios iniciais de propagação da trinca, a deformação que resuta em um FIT equivaente ao proporcionado pea pressão teórica da AE (P = 70 MPa) seria de.5%. Porém, o resutado de maior interesse aqui é o vaor fina do FIT, pois é o mesmo que indica quando a trinca irá, eventuamente, parar de propagar. Sendo assim, o vaor da deformação equivaente à pressão da AE seria de 5.00%. Posto isso, uma comparação entre a distribuição das tensões σ y das duas condições de contorno (P = 70 MPa e ε = 5.00%) para um furo isoado pode ser feita peas Figs. 7.5(a) e 7.5(b) com as Figs. 7.8(a) e 7.8(b), quando ainda não existem trincas, e peas Figs. 7.6(a) e 7.6(b) com as Figs. 7.9(a) e 7.9(b), quando as trincas já se propagaram totamente inha infinita P = 70 MPa ε =.50% ε = 5.00% K I (MPa.m / ) / A Figura 7. Comparação entre os FITs resutantes da apicação de pressão e apicação de deformação para o modeo de maha que representa uma inha de furos. 88

107 Os resutados de duas deformações são comparados com o da pressão para uma inha infinita de furos na Fig. 7. acima. No início da propagação a deformação que proporciona um FIT equivaente ao da pressão exercida pea AE foi a de.50%. Porém, como no caso de um furo isoado, o maior interesse é no vaor fina do FIT. Sendo assim, a deformação que se equivaeria ao efeito da pressão da AE foi a mesma para um furo isoado, ou seja, 5.00%. Portanto, é interessante também fazer uma comparação das distribuições de tensões para as duas condições de contorno (P = 70 MPa e ε = 5.00%) para uma inha infinita de furos. Essa comparação pode ser feita peas Figs. 7.5(c) e 7.5(d) com as Figs. 7.8(c) e 7.8(d), quando ainda não existem trincas e peas Figs. 7.6(c) e 7.6(d) com as Figs. 7.9(c) e 7.9(d), quando as trincas já se propagaram totamente. Para a construção de ábacos que permitam estimar K C e/ou G C a partir da deformação diametra e da reação /A, foram requeridas inúmeras simuações. Isso se deveu à necessidade de representar as várias possibiidades de deformação de um furo isoado. Estão sendo propostos ábacos para estimação de K C e/ou G C, a partir do vaor da deformação medida em um furo isoado, por três motivos: primeiro, é muito simpes fazer um único furo e medir sua deformação diametra; segundo, esse furo poderia ser feito na própria frente de desmonte, a uma distância igua a do afastamento adotado, podendo, portanto, ser aproveitado na futura inha de desmonte; e, terceiro, a estimação de K C e/ou G C poderia ser uma prática rotineira das operações da mina e os vaores dos mesmos seriam naturamente mais representativos da frente de desmonte sendo perfurada. O mais interessante seria a estimação direta de K C, pois a expressão matemática de dimensionamento de maha de furação (a ser apresentada na seqüência deste capítuo, no item 7.4) incorpora diretamente o mesmo. Todavia, como mostrado no item..6, K C e G C são reacionados por intermédio do vaor do móduo de easticidade, E, do materia em questão. 89

108 O ábaco para se estimar K C, é apicáve apenas para E e v específicos, quais sejam, aquees fornecidos como dados de entrada nas anáises reaizadas com o FRANCD (Tab. 7.). Já o vaor de G C será váido para quaisquer E e v. Estimado G C, poder-se-á cacuar K C peas Eqs. (4) e (4). O vaor de E necessário no cácuo pode, por sua vez, ser facimente estimado por correações como as apresentadas na Tab. 5. (Katz et a.,000; Dinçer et a.,004). Com reação a v, pode-se apenas estimá-o (por exempo, 0.5). Os dois ábacos são apresentados na seqüência, Figs. 7. e % % % K IC (MPa.m / ) %.00%.50%.00%.50%.00% 0.50% / A Figura 7. Ábaco para se estimar K C a partir da deformação e da reação /A (para E = 0 GPa). 90

109 % % G IC (J / m ) %.50%.00% %.00%.50%.00% 0.50% / A Figura 7. Ábaco para se estimar G C a partir da deformação e da reação /A. 7.. Resutados Anaíticos Para a proposição da soução anaítica, testaram-se separadamente os efeitos citados nos Caps. III e IV e superposição dos mesmos. Com isso, objetivou-se identificar quais fatores infuenciam mais no desmonte com AE. Ao se anaisar o efeito das tensões in situ, descrito peas Eqs. (5) e/ou (57) e um eventua efeito de fambagem descrito pea Eq. (58), concui-se que os mesmos teriam pouca infuência, pois as tensões in situ que se supõem existir na superfície do maciço 9

110 rochoso, ou seja, na frente de desmonte, são muito baixas ( 0.5 MPa). Sendo assim, tais efeitos serão desconsiderados nas anáises seguintes. Os resutados obtidos peas três equações são mostrados no gráfico apresentado na Fig. 7.4, abaixo tensão in situ Eq. (5) Eq. (57) Eq. (58) K I (MPa.m / ) / A Figura 7.4 Efeito das tensões in situ. Os efeitos de interação entre trincas dispostas numa inha infinita e de interação entre trincas e face ivre, representados peas Eqs. (7) e (7), foram anaisados separadamente, sendo as mesmas desmembradas da seguinte forma: K F I = F, efeito de dipoo (força concentrada); (9) K F I F 0.86F A A =, interação com a face ivre (força concentrada); (9).78 ( A) 9

111 K p I = p, interação entre trincas (tensão efetiva = carga distribuída); (94) K p I 4A = p.5 p.78 ( A) A, interação com a face ivre (carga distribuída). (95) Nas equações acima: F = Pa, Eq. () e F p =, Eq. (69). 6S Posto isso, a primeira soução proposta para representar, de forma aproximada, uma inha infinita próxima a uma face ivre, é dada pea soma das Eqs. (7) e (7), da seguinte forma: K = K K. (96) I F I p I com: K F I = K K e F I F I K p I = K K. p I p I A anáise do comportamento dos quatro termos da Eq. (96), representados individuamente peas Eqs. (9), (9), (94) e (95), bem como as Eqs. (7), (7) e a própria Eq. (96), pode ser feita no gráfico mostrado na Fig Observa-se peo gráfico da Fig. 7.5, que os termos de interação das trincas com a face ivre (Eq. (9), Eq. (95)) resutaram em FITs muito baixos. O motivo foi o afastamento (A) adotado, grande se comparado ao tamanho das trincas. Porém, a soma de todos os termos (inha marrom) mostra que o FIT tende ao infinito ao se aproximar da metade do espaçamento, como foi observado nas anáises numéricas. Uma segunda possibiidade para a soução proposta foi a substituição das Eqs. (9) e (94), que somadas, são uma soução aproximada para a interação entre trincas num meio infinito, pea correspondente soução exata de Koiter (959, apud Sih, 97), Eq. (64), ficando a equação da seguinte forma: 9

112 K I = F Ssen( / S) K F I K p I. (97).0 K I (MPa.m / ) Eq. (96) Eq. (9) Eq. (9) Eq. (94) Eq. (95) Eq. (7) = Eq. (9) Eq. (9) Eq. (7) = Eq. (94) Eq. (95) Eq. (96) = Eq. (7) Eq. (7) / A Figura 7.5 Comportamento dos termos que compõem a Eq. (96). Uma anáise da variação dos três termos da Eq. (97) à medida que as trincas se propagam, pode ser feita na Fig Como aconteceu para a Eq. (96), o FIT da Eq. (97) também tendeu ao infinito ao se aproximar da metade do afastamento. Finamente, a terceira possibiidade para a soução proposta, consiste em se substituir apenas a Eq. (9), que substitui o efeito do furo pressurizado por um dipoo, pea equação do fraturamento hidráuico, Eq. (54), que representa exatamente ta furo, do qua emanam as trincas. Portanto, a Eq. (7) seria reescrita como: 94

113 K F I b [( b ) ] F P a sen =. 7.8 K 5 I. (98) b b Eq. (97) Eq. (64) Eq. (9) Eq. (95) Eq. (97) = Eq. (64) Eq. (9) Eq. (95) K I (MPa.m / ) / A Figura 7.6 Comportamento dos termos que compõem a Eq. (97). Assim, a terceira soução proposta ficará sendo a soma da Eq. (98) com a Eq. (7): K I b [( b ) ] F p p P a sen =. 7.8 K I K I K 5 I. (99) b b.7 A variação dos FITs da Eq. (99) devido à propagação das trincas, pode ser vista no gráfico mostrado na Fig. 7.7 abaixo. Novamente, como ocorreu para as Eq. (96) e (97), o FIT da Eq. (99) também tendeu ao infinito ao se aproximar da metade do espaçamento. Aém disso, para trincas com 95

114 pequena extensão, o FIT comporta-se de maneira semehante ao que se notou na soução numérica da Fig Isso será discutido adiante..0 K I (MPa.m / ) Eq. (99) Eq. (54) Eq. (9) Eq. (94) Eq. (95) Eq. (98) = Eq. (54) Eq. (9) Eq. (7) = Eq. (94) Eq. (95) Eq. (99) = Eq. (98) Eq. (7) / A Figura 7.7 Comportamento dos termos que compõem a Eq. (99). Após uma anáise individua das três equações propostas, uma comparação entre as mesmas é feita no gráfico da Fig Nota-se peo gráfico abaixo, Fig. 7.8, que nos estágios iniciais, as Eqs. (96) e (97) se comportam de maneira simiar. Já no estágio fina, são as Eqs. (96) e (99) que se aproximam uma da outra. Portanto, para se verificar qua a mais adequada para o probema em questão, as mesmas serão comparadas com os resutados numéricos anteriormente apresentados, no subitem 7.4, a seguir. Antes, porém, uma comparação do FIT de um furo pressurizado com a aproximação de um furo por um ponto com um par de forças concentradas (dipoo) será aqui apresentada, Fig Considerando um meio infinito, as anáises foram feitas pea Eq. 96

115 (54), para um furo pressurizado, e pea Eq. (9), para um ponto com um par de forças concentradas. Devido à existência de uma face ivre, o efeito de interação com a mesma pôde ser considerado acrescentado-se a Eq. (9) a ambas as equações, (54) e (9). Isso corresponde, exatamente, às Eqs. (98) e (7), respectivamente, para um furo pressurizado e para um ponto com um par de forças concentradas Eqs. (96), (97) e (99) Eq. (96) Eq. (97) Eq. (99) K I (MPa.m / ) / A Figura 7.8 Comparação do comportamento das Eqs. (96), (97) e (99). Observa-se peo gráfico abaixo, Fig. 7.9, que no estágio inicia há uma grande diferença entre as curvas, tanto para um meio infinito (inhas rocha e vermeha), como para aqueas com a existência de uma face ivre (inhas verde e azu). Porém, à medida que as trincas vão se propagando, as souções se equivaem nas duas situações. Isso permite constatar que, quando as trincas se tornam grandes comparadas com o diâmetro do furo pressurizado, o efeito da pressão pode ser substituído para efeitos práticos por um par de forças concentradas (dipoo), como já exposto por Ouchterony (974) e apresentado no item... 97

116 furo pressurizado x dipoo Eq. (9) Eq. (7) Eq. (54) Eq. (98) K I (MPa.m / ) / A Figura 7.9 Comparação entre a soução para um furo pressurizado e sua aproximação por um ponto com um par de forças concentradas (dipoo), num meio infinito e próximos a uma face ivre Comparação entre Resutados Numéricos e Anaíticos Primeiramente, foram comparados resutados numéricos com anaíticos para um único furo. Isto é, o resutado de um furo isoado, apresentado no gráfico da Fig. 7.4, com os resutados apresentados no gráfico da Fig. 7.9, devido à existência da face ivre. Assim, estão comparados na Fig. 7.0 abaixo, os resutados anaíticos das Eqs. (98) e (7) e numérico da Fig Da Fig 7.0, abaixo, pode-se concuir que a Eq. (98) foi a que mehor se ajustou à curva numérica no estágio inicia e durante quase toda a propagação da trinca, ocorrendo um pequeno desvio no estágio fina. 98

117 Anaítico x Numérico (furo isoado) Eq. (7) Eq. (98) P = 70 MPa (furo isoado) K I (MPa.m / ) / A Figura 7.0 Comparação entre um furo pressurizado, Eq. (98), e a sua aproximação por um ponto com um par de forças concentradas, Eq. (7), próximos a uma face ivre, e resutados numéricos de um furo isoado (inha roxa), para a apicação de pressão. Outra concusão importante refere-se à adição do termo que representa a face ivre. Peo gráfico mostrado na Fig. 7.9, pode-se observar que se o mesmo não fosse considerado, as curvas ficariam, no estágio fina, situadas mais abaixo (impicando um K I resutante inferior), o que ocasionaria uma divergência com reação ao resutado numérico apresentado no gráfico da Fig Sendo assim, a existência de uma face ivre deve ser considerada. Apesar de nenhuma das equações considerarem a apicação de deformação dentro dos furos, uma comparação das equações para um único furo com os resutados numéricos para apicação de deformação também foi feita, como mostra a Fig

118 .0 K I (MPa.m / ) Anaítico x Numérico (furo isoado) (pressão e deformação) Eq. (7) Eq. (98) P = 70 MPa (furo isoado) ε =.5% (furo isoado) ε = 5.00% (furo isoado) / A Figura 7. Comparação entre um furo pressurizado, Eq. (98), e a sua aproximação por um ponto com um par de forças concentradas, Eq. (7), próximos a uma face ivre, com resutados numéricos de um furo isoado, para a apicação de pressão (inha roxa) e de deformação (inhas verde.5% e marrom 5.00%). Os resutados do gráfico acima, Fig. 7., mostram que anaisar o probema, também por meio de apicação de deformação, é pertinente e pode ser feito, como uma aternativa, chegando-se a resutados semehantes. Compara-se, a seguir, Fig. 7., os resutados numéricos com anaíticos para uma inha infinita de furos, isto é, o resutado apresentado para uma inha infinita, mostrado na Fig. 7.4, com aquees das Eqs. (96), (97) e (99), mostrados na Fig Em comparação com a soução numérica, verifica-se pea Fig. 7., que dentre as equações istadas, a Eq. (97) representa mehor o comportamento para grandes vaores de ( S/) e a Eq. (99) reproduz mehor a situação para pequeno. A Eq. (97) é um 00

119 imite inferior e a Eq. (99) um imite superior para a soução numérica na faixa de vaores interessantes (intermediários) de. Assim, na tentativa de se obter uma transição ponderada entre as duas equações, foram propostos esquemas de interpoação, a saber: uma simpes média aritmética e duas interpoações ineares (gradativas), sendo dadas por: K I Eq.(97) Eq.(99) K I K I = ; (00) K I = K Eq.(97) I ( S ) [ ( S )] [ ( S )] K Eq.(99) I ; (0) I Eq.(97) Eq.(99) Eq. (99) ( K K )( S ) K K =. (0) I I I Eqs. (96), (97) e (99) Eq. (96) Eq. (97) Eq. (99) P = 70 MPa (inha infinita) K I (MPa.m / ) / A Figura 7. Comparação entre os resutados numéricos para um furo pressurizado, representando uma inha infinita (inha roxa), com as Eqs. (96), (97) e (99). 0

120 = 0 e Com o esquema de interpoação dado pea Eq. (0), tem-se Eq.(97) K I = K I, para /S = 0.5. Eq.(99) K I = K I, para /S Já com o esquema de interpoação (poinomia agrangeano inear) dado pea Eq. (0), obtém-se a média dos K I no ponto /S = 0.5, aém é caro, de se ter também Eq.(99) K I = K I, para /S = 0 e Eq.(97) K I = K I, para /S = 0.5. A comparação dos esquemas de interpoação sugeridos com o resutado numérico, está mostrada no gráfico da Fig. 7. abaixo interpoação Eq. (00) Eq. (0) Eq. (0) P = 70 MPa (inha infinita) K I (MPa.m / ) / A Figura 7. Comparação dos resutados numéricos com as interpoações dadas peas Eqs. (00), (0) e (0). As interpoações das Eqs. (0) e (0) representam mehor os casos extremos de (/S) 0 e (/S) 0.5, enquanto que a simpes média fornece um mehor ajuste para vaores intermediários, que são os de maior interesse. Assim, em função dessa 0

121 constatação, optou-se pea utiização da média aritmética simpes como esquema de interpoação das souções, finamente se chegando a: K I = [ Eq. (54) Eq.(9) Eq.(94) Eq.(95) ] [ Eq.(64) Eq.(9) Eq.(95) ]. (0) Rearranjando tem-se: [ Eq.(54) Eq.(64) Eq.(94) ] K I = Eq.(9) Eq.(95) (04) Sendo assim, a equação fina fica sendo dada como: K I = P b sen[ ( b ) ] a b b F F A 4 A A.78 A F p Ssen( / S) p.5 p.78 A A (05) No gráfico mostrado na Fig. 7., observa-se que há um ponto de mínimo entre 0 e 0.5S (curva azu). Resutado anáogo foi encontrado por Jiang (996), tendo sido apresentado no item... Portanto, para se cacuar o espaçamento ótimo (máximo), deve-se, primeiramente, obter o correspondente ao ponto de mínimo, para o qua a derivada da Eq. (05) com reação a é nua (Anexo ). Em seguida, substitui-se o vaor de encontrado na própria Eq. (05), iguaando-se K I = K IC. Com isso está se requerendo que no ponto em que K I é mínimo, o mesmo tenha o menor vaor necessário (K IC ) para que a trinca comece a propagar. Observe-se ainda que, a partir daí, K I é crescente e a propagação será auto-sustentada (instáve). Assim, pode-se obter na Eq. (05) o máximo vaor de S para um dado probema de desmonte. Percebe-se pea Fig. 7. que o mínimo de K I se dá em agum ponto em torno de S/4. Porém uma reação exata entre e S não pode ser determinada anaiticamente a partir da derivada da Eq. (05), mesmo porque, ta reação seria também dependente dos 0

122 demais parâmetros do desmonte (P e A) e variaria de caso a caso. Assim, a aternativa é obter ta soução numericamente, por um processo iterativo, da seguinte forma: (i) atribui-se um vaor arbitrário para S na derivada da Eq. (05) iguaada a zero (Anexo ), obtendo-se um preditor para mínimo; (ii) em seguida, apica-se ta vaor na equação origina, Eq. (05), com K I = K IC, obtendo-se um novo vaor (revisado) de S; (iii) se esse novo S estiver próximo ao vaor do S anterior, ou seja, dentro de um imite de erro pré-estabeecido (por exempo: % de diferença), o mesmo será adotado como S ótimo. Caso contrario, o processo deverá ser repetido, retornando-se à derivada da Eq. (05) (Anexo ), passo (i), agora se adotando como vaor S de entrada o obtido com a Eq. (05) no passo (ii). Este processo iterativo deverá ser executado até que os sucessivos vaores de S encontrados apresentem diferenças inferiores ao imite de erro estabeecido (por exempo, %). O vaor fina será o S ótimo. O Anexo apresenta um exempo iustrativo do processo, bem como, da infuência de agumas variáveis (a, A e P) sobre os resutados fornecidos pea Eq. (05). 04

123 CAPÍTULO VIII CONCLUSÕES E SUGESTÕES 8.. Concusões De acordo com os objetivos que foram propostos e com aquio que foi descrito nos capítuos anteriores, pudemos chegar às seguintes concusões: a) A Mecânica de Fratura mostrou ser uma abordagem adequada e pertinentemente apicáve ao probema do desmonte com argamassa expansiva, proporcionando um mehor entendimento do probema, com o qua foi possíve se estabeecer um critério raciona de projeto das mahas de furação, devendo, pois, ser a mesma mais usada em anáises de probemas simiares de Mecânica das Rochas apicada à mineração; b) Foi proposta uma formua matemática para o cacuo do espaçamento, S, teoricamente consistente, sendo a mesma, passíve de incorporação em simpes panihas eetrônicas, o que torna sua utiização bastante factíve pea indústria; c) A utiização da fórmua proposta mostra que não se pode recomendar dimensões para as mahas independentemente do tipo de materia (como atuamente propõem os fabricantes da AE, usando como único dado o diâmetro do furo), já que as mesmas são função da tenacidade à fratura do mesmo; d) Por outro ado, ao se adotar a pressão teórica indicada peos fabricantes ( 70 MPa) na fórmua proposta, verifica-se que os espaçamentos que se deveriam obter seriam muitíssimo maiores que os praticados. Assim, a pressão é, na reaidade, bastante inferior à teoricamente indicada; e) Propuseram-se, também, maneiras de se estimar a propriedade do materia necessária para a utiização da referida fórmua (K IC ), de uma forma simpes e direta, através de correações com índices de aparehos de baixo custo, como são os casos do point oad e do escerômetro de Schmidt e, ainda, com outras 05

124 propriedades físicas do materia facimente determináveis, como a densidade. Particuarmente a mais atrativa dessas correações, aquea entre o índice escerométrico e a tenacidade no modo I, é, tanto quanto é de nosso conhecimento, inédita na iteratura e forneceu um coeficiente de correação de 0.95; f) Aternativamente às correações, foram propostos, também, ábacos para se estimar K IC ou G IC, a partir da deformação diametra dos furos e da extensão de propagação das trincas. A grande vantagem dessa proposta seria a obtenção de parâmetros em escaa rea de campo, sem a necessidade de operações adicionais às do próprio desmonte; g) O uso do Método dos Eementos Finitos (MEF), através do FRANCD, demonstrou ser uma ferramenta fexíve e robusta para a anáise da propagação de trincas em rochas em situações nas quais não se dispõe de souções anaíticas. Nesta dissertação, o MEF foi utiizado na confrontação com as souções anaíticas aproximadas, o que permitiu torná-as mais fidedignas e consistentes. 8.. Sugestões Durante a eaboração deste trabaho e o envovimento com suas diferentes etapas, novos conhecimentos resutaram ou foram assimiados. Paraeamente, dúvidas e incertezas também apareceram, cujos escarecimentos resutariam num mehoramento dos resutados desse trabaho. Agumas possibiidades são sugeridas na seqüência: a) Vaidação da expressão proposta para o cácuo do espaçamento, com experimentos de campo e/ou ensaios sobre modeos de aboratório em escaa reduzida; b) Obtenção de um maior número de pontos experimentais para as correações entre tenacidade e propriedades índices das rochas. Preferenciamente, essas correações devem ser propostas para um tipo itoógico específico, o que aumentaria sua confiabiidade; 06

125 c) Confrontação dos ábacos com resutados experimentais, na busca de se estabeecer um procedimento de campo de estimação da tenacidade; d) Obtenção de expressões matemáticas para o cácuo dos FITs resutantes de uma deformação apicada no interior de defeitos (trincas e/ou furos). Essa é uma inha corrente de estudos no DEMIN/EM/UFOP, através da utiização do método das incusões de Esheby (Mura, 99), que faciitaria a impementação prática das souções obtidas, já que uma das grandes dúvidas existentes reside justamente no vaor da pressão apicada pea argamassa; e) Determinar a pressão rea exercida pea argamassa expansiva. Uma possibiidade seria a adaptação dos ensaios utiizados para se determinar a pressão de expansão de rochas expansivas (sweing rocks), já empregados atuamente em Mecânica das Rochas (ISRM, 999); f) Testar outros esquemas de interpoação para a soução proposta, aém dos que foram utiizados no Cap. VII (tipo spine); 07

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136 8 ANEXO Derivada da Eq. (05). ( ) [ ] ) / sen(.7 sen 7.8. = A A p p A A A F A F p S S F b b b b a P K I (05) Primeiramente, substitui-se na Eq. (05) as Eqs. (68), () e ( ) a b =, resutando na seguinte equação: ( ) sen.7 sen 7.8. = A A S Pa S Pa A A A Pa A Pa S Pa S S Pa a a a a a P K I Chamando-se os três primeiros termos do ado direito de ( ) K I a e os dois útimos de ( ) K I b, os mesmos ficam sendo:

137 9 ( ) 6 4 sen.7 sen a S Pa S S Pa a a a a a P K I = ( ) b = A A S Pa S Pa A A A Pa A Pa K I Portanto, as derivadas dos dois termos acima com reação a ficam sendo dadas como: ( ) ( ) ( ) ( ) cos sen 7 sen cos a = S S S a P a a. a a.. a a a. a a a. a a. Pa S S Pa S S Pa S S Pa K I

138 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b = A A S S Pa A S S Pa A A S S Pa A S S Pa A A S S Pa A A A A a P A a P A A A a A a P A a P a A P K I

139 ( ) A A A A S S Pa A A A A S S Pa A A A S S Pa Sendo assim, a derivada da Eq. (05) é a soma dos dois termos anteriores: ( ) ( ) ( ) Eq.(05) b a K K I I =

140 ANEXO Exempo do Processo Iterativo de Obtenção do Espaçamento Ótimo (S ótimo ) Para este exempo, impementou-se a Eq. (05), bem como sua derivada com respeito a no software MATHCAD 00. Os vaores adotados foram: P = MPa; A = m; a = 0.08 m e K IC = 0.67 MPa.m /. Como mostra a Tab. A., iniciamente, atribuiram-se dois vaores iniciais arbitrários a S e (S 0, 0 ) na derivada da Eq. (05) iguaada a zero, obtendo-se, assim, um vaor de correspondente ao mínimo ( ). Em seguida substituiu-se este vaor de na Eq. (05), com K I = K IC, obtendo-se um novo vaor para S (S ), que seria considerado ótimo se estivesse próximo ao vaor S de entrada (S 0 ), dentro de um imite de erro pré-estabeecido (por exempo: % de diferença). Como o vaor de S obtido (S ) não estava dentro do imite de erro aqui adotado (%), o processo foi repetido. Utiizando-se agora, como S de entrada, na derivada da Eq. (05) iguaada a zero, o vaor de S, obteve-se um novo mínimo ( ). O mesmo foi utiizado na Eq. (05), com K I = K IC, para se obter outro S (S ), que, novamente, não ficou dentro do imite de erro pré-estabeecido de %. Sendo assim, o processo foi repetido, utiizando-se S na derivada da Eq. (05) iguaada a zero e obtendo-se um novo mínimo ( ). Esse vaor foi então utiizado para reaimentar a Eq. (05) com K I = K IC e assim se obter um novo vaor para S (S ). Como pode ser observado na Tab. A., o vaor de S foi exatamente o mesmo de S. Portanto, esse é o vaor ótimo do espaçamento a ser adotado, podendo ser visto na Eq. (A.): Tabea A. - Processo Iterativo. 0 = 0.5 S 0 = 0.6 =.6 S = = 0.8 S = 0.69 = 0.7 S = 0.69 S S <.0S S = S 0.69 (A.) 0 ótimo =

141 Em suma, o processo iterativo acima prosseguirá até que haja convergência para agum vaor de S, o qua pode ser considerado o S ótimo. É interessante ressatar que, devido ao comportamento da expressão matemática que fornece K I nas vizinhanças do ponto de mínimo (com um "vae" de forma bastante apainada) a convergência do processo nem sempre é muito fáci. O S ótimo = 0.69 m aqui encontrado, se comparado àquee sugerido peos fabricantes para um furo de raio simiar (ver Tabea., Cap. ), que é de 0.5 m, independentemente do materia sendo desmontado, é cerca 8 % mais eevado. Portanto, para um materia de K IC = 0.67 MPa.m / a recomendação dos fabricantes é bastante conservadora. Para materiais de tenacidade mais eevada, todavia, poderia muito bem suceder o contrário. Um probema existente no dimensionamento da maha de furação utiizando o critério aqui proposto seria a situação em que, com espaçamentos razoáveis, não se consegue atingir o vaor de K IC no ponto de mínimo da derivada da Eq. (05), ou seja, quando K I não iguaar o vaor de K IC para o de mínimo. Três aternativas são sugeridas na seqüência para resover ta probema. Uma primeira aternativa para se conseguir atingir o mínimo seria variar o diâmetro do furo. No gráfico da Fig. A., fornecido peo MATHCAD 00, é apresentada a variação do FIT em reação a / A para vários diâmetros dos furos. Observa-se no mesmo, que quanto maior for o raio a, maior será o FIT e maior será o ponto de mínimo. Portanto, se o vaor de K IC do materia para o qua se está dimensionando a maha for muito ato, uma maneira efetiva de atingir seu vaor no ponto de mínimo seria aumentar o diâmetro do furo. A efetividade da variação do diâmetro está reacionada, na verdade, ao correspondente aumento provocado no vaor da força de dipoo, dado pea Eq. ().

142 Figura A. Variação do FIT em reação a ( / A) para vários diâmetros dos furos (indicado pea interseção das inhas tracejadas está o ponto correspondente à soução ótima obtida na Tabea A. acima). Outra possibiidade seria, teoricamente, aumentar a pressão dentro do furo, como pode ser visuaizado no gráfico da Fig. A., também gerado com o MATHCAD 00. Porém, ressata-se que esta não seria uma aternativa prática e nem a mais adequada, pois aém de não ser viáve aterar a pressão da AE, um outro probema seria o tempo necessário para a AE atingir a pressão que se deseja. Segundo os fabricantes de AE, a mesma pode expandir-se por até 8 dias, tempo após o qua, provavemente, atingir-se-ia o seu vaor máximo de pressão. Ta vaor é indicado peos fabricantes como sendo 70 MPa, mas, conforme mostraram as anáises deste Anexo, deve ser na reaidade bem inferior, já que com uma pressão de apenas MPa pode-se obter um espaçamento 8 % maior que o recomendado (Tabea.)! A terceira aternativa seria variar o afastamento, A. Porém, como pode ser observado na Fig. A., também não parece ser uma boa estratégia, pois para se eevar, significativamente o vaor do FTI, seria necessário diminuir muito o vaor de A, sendo muitos vezes inviáve para a industria de mineração retirar bocos com tão pequenas espessuras. 4

143 Figura A. Variação do FIT em reação a ( / A) para diferentes vaores de pressão da AE. Figura A. Variação do FIT em reação a ( / A) para diferentes vaores de A. 5