Aula 17. Qual é a chance? Ricardo Ferreira Paraizo. e-tec Brasil Matemática Instrumental. Dhiego Andrade.

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1 Qual é a chance? Ricardo Ferreira Paraizo Dhiego Andrade Aula 17 e-tec Brasil Matemática Instrumental

2 Meta Apresentar conhecimentos elementares de Probabilidade. Objetivos Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de: 1. identificar o que é Evento e Espaço amostral em uma situação; 2. resolver problemas simples de Probabilidade. Pré-requisitos Para um bom desempenho nas atividades desta aula, é bom ter à mão a Aula 6, sobre porcentagem. Em alguns momentos, você poderá sentir necessidade de consultá-la e relembrar alguns cálculos. Também vale rever a fórmula de Combinação e Arranjos simples, apresentada na aula passada (16).

3 Você já jogou na mega-sena? Sabe qual a sua chance de ganhar um jogo marcando 6 números num cartão? O assunto que vamos estudar agora, que é Probabilidade, vai ajudá-lo a calcular essa chance. Ricardo Ferreira Paraizo Aula 17 Qual é a chance? 421 Figura 17.1: Você já pensou qual é a probabilidade de ganhar na mega-sena? A probabilidade não consiste somente em analisar possibilidades de ganhar jogos. Ela tem aplicações notáveis em outras ciências, como: Biologia (principalmente em genética) por meio do cálculo de probabilidades é possível saber as chances de uma criança ter olhos azuis ou manifestar uma determinada doença genética, por exemplo. Finanças os bancos têm setores inteiros dedicados a calcular quais são as chances de retorno de financiamentos e investimentos. Afinal, algo que bancos e instituições financeiras realmente não desejam é tomar um prejuízo, concorda? MARKETING empresas têm setores de marketing que estudam quais as chances de maior sucesso para seus produtos e sua marca. Por exemplo, uma loja de produtos esportivos provavelmente terá mais chances de vendas se estiver próxima a clubes e academias de ginástica. O cálculo da probabilidade permite-nos encontrar um número que mostra a chance de ocorrência do resultado favorável num experimento aleatório. MARKETING Em resumo, é o conjunto de atividades que visam garantir espaço no mercado para um determinado produto ou empresa, por exemplo por meio de propagandas, preços competitivos etc.

4 422 e-tec Brasil Matemática Instrumental Parece complicado? Então vamos com calma, inicialmente, aprendendo alguns conceitos básicos necessários para você poder entender melhor esse assunto. Conceitos iniciais Nesta seção, que antecede o cálculo da probabilidade, você aprenderá os seguintes conceitos: experimento aleatório; espaço amostral; evento. Estes são conceitos fundamentais para o que você verá na sequência, ou seja, o cálculo de probabilidade. O que é experimento aleatório? O primeiro conceito importante de você aprender para entender probabilidade é experimento aleatório. Experimento aleatório são ações que, repetidas da mesma maneira, produzem resultados diferentes. Por exemplo: a. Abandonar um dado e anotar o número da face que ficará voltada para cima. A cada lançamento, o dado poderá cair com um número diferente voltado para cima, sem que possamos prever qual seja. Ricardo Ferreira Paraizo Figura 17.2: Qual será a probabilidade de sair o número 6 na face voltada para cima?

5 b. Lançar uma moeda e observar a face de cima. Do mesmo modo que o dado, não há nada que determine que uma moeda cairá com cara ou coroa para cima apenas o acaso. Ricardo Ferreira Paraizo Aula 17 Qual é a chance? 423 Figura 17.3: Cara ou cora? Outro conceito importante que você precisará aprender antes de mergulharmos nas probabilidades é de espaço amostral. Veja a seguir! Espaço amostral ( S ) Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Por exemplo: em um lançamento de dados, o número do espaço amostral é 6, pois as possibilidades são de que o resultado seja 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Mateusz Atroszko Fonte: Figura 17.4: Jogue um dado. Que número sairá? No caso do lançamento de um dado, podemos classificar o espaço amostral como equiprovável. Isso porque todos os elementos deste espaço têm a mesma chance de ocorrer num experimento aleatório (há a mesma chance de sair o 1 do que de sair o 6, por exemplo). Outro exemplo de espaço amostral equiprovável é o lançamento de moedas há a mesma chance de cair cara do que de cair coroa!

6 424 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atenção Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. O número de elementos do espaço amostral (número do espaço amostral, como você verá mais adiante) é obtido contando o número de elementos do conjunto do espaço amostral. Evento (E) É o conjunto dos resultados favoráveis em um experimento. Por exemplo, se você precisa tirar um quatro ou um ás (de qualquer naipe) para ganhar um jogo de baralho, estas cartas são o seu evento favorável. Ivaylo Georgiev Fonte: Figura 17.5: Tirar um quatro quando é essa a carta de que você precisa é um resultado favorável, ou seja, um evento. Repare que o conjunto de possibilidades de cartas que você poderia tirar seria todo o baralho. Ora, se o seu evento (quatro e as) estão dentro do seu conjunto de cartas possíveis, podemos concluir que EVENTO é um subconjunto do espaço amostral.

7 425 Atenção O número de elementos do Evento é obtido contando o número de elementos do conjunto evento. Aula 17 Qual é a chance? Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Determine o espaço amostral e o evento nos itens a seguir: Ricardo Ferreira Paraizo i) No sítio de Carlitos, há 8 pés de eucalipto. Um agrônomo verificou que 3 pés estão com uma certa doença. Carlitos cortou 1 pé de eucalipto, ao acaso, sem saber exatamente se a planta estava com a referida doença. S = { } E = { } Ricardo Ferreira Paraizo ii) Em uma fazenda, há um total de 660 gados. Destes, 300 receberam uma vacina A e estão protegidos contra uma praga perigosa. S = { } E = { }

8 426 e-tec Brasil Matemática Instrumental Ricardo Ferreira Paraizo S = { } E = { } iii) Márcia precisa telefonar para sua prima Priscila, mas se esqueceu do número do telefone. Ela se lembra apenas de que o número é formado por sete algarismos e de que os três primeiros são 8, 6 e 9, nessa ordem. Sigurd Decroos iv) Em uma turma do pós-médio de uma escola que tem 33 alunos, o professor queria sortear um aluno para ir ao quadro apresentar um exercício de Matemática. S = { } E = { } IPESPE Instituto de Pesquisas Sociais, Políticas e Econômicas. Formado por um grupo de profissionais, como: sociólogos, economistas, cientistas sociais e outros que trabalham com foco em pesquisas de mercado e opinião pública. Vivek Chugh v) Uma pesquisa realizada pelo IPESPE buscou conhecer o perfil dos fumantes, para que fossem tomadas medidas antitabagismo. O resultado da pesquisa foi publicado pela revista Veja de 3/6/98 e mostra que, num grupo de pessoas, 170 fumam. S = { } E = { }

9 Ilker vi) Uma investigação de uma rádio sobre interesse musical mostrou que, em um grupo de 75 jovens, 70 gostam de música. Aula 17 Qual é a chance? 427 S = { } E = { } Atividade 2 Atende ao Objetivo 1 Ainda em relação à Atividade 1, dê o número do espaço amostral: N(S) e o número do evento: N(E) de cada item. i) N(S) = N(E) = ii) N(S) = N(E) = iii) N(S) = N(E) = iv) N(S) = N(E) =

10 428 v) e-tec Brasil Matemática Instrumental N(S) = N(E) = vi) N(S) = N(E) = Agora, sim: Probabilidade Probabilidade nada mais é do que a chance de, entre um dado número de possibilidades (espaço amostral), um determinado evento acontecer. Calculamos probabilidade pela seguinte expressão: P( E) n( E) = n( S) número do evento número do espaço amostral Lemos: A probabilidade do evento E acontecer é igual à razão entre o número do evento e o número do espaço amostral. Para que fique mais claro o uso desta expressão, vamos a um exemplo: Exemplo 1: No sorteio de final de ano de uma loja, um bilhete será sorteado dentre bilhetes. Sabendo que exatamente cem desses bilhetes foram colocados por Denise, qual é a probabilidade de Denise ser sorteada? Solução: n(e) = 100 n(s) = P( E) = = = 1%

11 A probabilidade de Denise ser sorteada é, portanto, é de 1%. Mas, e se ela estivesse concorrendo, com as mesmas cartas, em outro sorteio simultâneo? Quais seriam suas chances nos dois, somadas? Você vai aprender a somar probabilidades após fazer as atividades a seguir! Atividade 3 Atende ao Objetivo 2 Aula 17 Qual é a chance? 429 No caminhão do Faustão, uma carta será sorteada dentre cartas. Sabendo que exatamente 50 dessas cartas foram enviadas por Cláudia, qual é a probabilidade de Cláudia ser sorteada? Casa 1 título de Previdência Privada 2 mil reias em compras Carro 1 caminhão de prêmios

12 430 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atividade 4 Ricardo Ferreira Paraizo Atende ao Objetivo 3 Num teste de germinação que contou com o empenho total dos pesquisadores envolvidos, um técnico agropecuário plantou sementes de agrião. Inicialmente, ele plantou 40 sementes e germinaram 30 destas sementes. Qual a probabilidade de germinação num próximo experimento agrícola com sementes de mesmas características iniciais? Teorema da soma A probabilidade de A e B acontecerem é a probabilidade de A UNIÃO com B, ou seja: P ( A B ) = P (A) + P ( B ) - P (A B) Como mostrar esta equação? Veja: Pela teoria de conjuntos, temos que: n ( A B ) = n (A) + n ( B ) - n ( A B ) Lê-se: O número de elementos da união de A com B é igual ao número de elementos de A mais o número de elementos de B menos o número de elementos da interseção de A com B.

13 Dividindo todos os elementos da equação por n(s) 431 n(s) = número de elemento do espaço amostral, temos: n( A B) n( A) n( B) n( A B) = + n( S) n( S) n( S) n( S) Como n(a B)/n(S) = P(A B), n(a)/n(s) = P(A), n(b)/n(s)=p(b), n(a?b)/ n(s)=p(a B) Aula 17 Qual é a chance? Concluímos que: P ( A B ) = P (A) + P ( B ) - P (A B) Exemplo 1: Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma das bolas, qual a probabilidade de sair um número par ou um múltiplo de 3? Figura 17.6: Qual é a probabilidade de sair uma bola com um número do conjunto {2, 3, 4, 6,...,20}? Solução: Espaço amostral S= { 1, 2, 3, 4, 5,..., 20 } n( S ) = 20 Eventos: A Ocorrer um número par A={ 2, 4, 6, 8, 10,... 20} n(a) = 10 B Ocorrer um número múltiplo de 3 B={3, 6, 9,12, 15, 18} n(b) = 6 A B { 6, 12, 18 } n ( A B ) = 3

14 432 e-tec Brasil Matemática Instrumental P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = + = 0, 65 = 65% Obs: Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos (A exclui B e B exclui A), temos: P(A B)=0 Então: P (A B) = P(A) + P(B) Exemplo 2: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ocorrer um número menor ou igual a 2 ou um número maior ou igual a 4? Nino Satria Figura 17.7: Qual será a probabilidade de sair na face voltada para cima um número do conjunto {1, 2, 4, 5, 6}? Nesse caso, temos: Espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(s) = 6 Eventos A Ocorrer um número menor ou igual a 2 A={1, 2} n(a) = 2 B Ocorrer um número maior ou igual a 4 B={4, 5, 6} n(b) = P( A B) = P( A) + P( B) = + = 0, 83 = 83% E se quiséssemos calcular a probabilidade de, em um lançamento de dados, sair 1, 2 ou 3, 4, 5, 6? Neste caso, estaríamos falando de eventos complementares. Por que esse nome? Veja a seguir!

15 Eventos complementares 433 Eventos complementares são aqueles em que: as possibilidades do evento A e do evento B constituem todo o espaço amostral; não há possibilidade de interseção entre o evento A e o evento B. Em outros símbolos... Aula 17 Qual é a chance? Se A B = φ e A B = S, então Exemplo: Pense no exemplo dos dados que acabamos de mencionar lançamento de dados em que se quer tirar 1, 2 ou 3, 4, 5, 6. Evento A = {1, 2} Evento B = {3, 4, 5, 6} Ora, as possibilidades de um lançamento de dados são: Lançamento = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Isso significa que: A B = espaço amostral (S) Além disso, não há interseção entre os dois conjuntos, A e B: A B = φ Logo, este caso é de cálculo de probabilidade de eventos que se complementam de forma a abarcar todo o espaço amostral. Se A e B são eventos complementares, vale então dizer: P (A) + P (B) = 1

16 434 Exemplo: e-tec Brasil Matemática Instrumental A probabilidade de uma semente de feijão germinar é 17/20. Qual é a probabilidade de essa não germinar? Ricardo Ferreira Paraizo Figura 17.8: Que solo fértil! Parece que todas as sementes de feijão germinaram. Solução: P(A) = Probabilidade de a semente germinar P(B) = Probabilidade de a semente não germinar P( A) + P( B) = 1 + P( B) = 1 P( B) = 1 P( B) = = = 0, 15 = 15% Portanto, a probabilidade da semente não germinar é 15%. Qual a probabilidade de uma semente germinar e chover ao mesmo tempo? Difícil? Não se você souber calcular a probabilidade de eventos independentes... Eventos independentes A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro. Para fins de cálculo: P (A B) = P(A).P(B)

17 435 Atenção No caso de eventos independentes, a ocorrência dos dois eventos é simultânea. Aula 17 Qual é a chance? Exemplo: Supondo que, em um dia, num experimento veterinário verificou-se que a probabilidade de uma cobaia A sobreviver mais de 5 dias, com uma certa dieta alimentar é 1 2 e de que outra cobaia B, companheira da primeira, sobreviva com a mesma dieta é 2, qual a probabilidade de ambas sobreviverem com a mesma 5 dieta alimentar a partir daquela data? Rob Owen-Wahl Figura 17.9: Quais são as chances de sobrevida das duas cobaias? Solução: Vamos assumir que os eventos são independentes, pois consideramos que a sobrevivência de uma cobaia não interfere na sobrevivência da outra. A probabilidade da cobaia A e da cobaia B sobreviverem é: P(A B) = P(A).P(B) = = = 0, 2 = 20% 2 5 5

18 436 e-tec Brasil Matemática Instrumental Ricardo Ferreira Paraizo Atividade 5 Atende ao Objetivo 2 Qual é a probabilidade de você acertar os seis números da sena com o cartão ao lado? Atividade 6 Atende ao Objetivo 2 Andrew Jabs Em uma corrida, participam exatamente seis cavalos. Uma aposta foi feita em três cavalos para as três primeiras posições. Qual é a probabilidade de essa aposta ser vencedora?

19 437 Atividade 7 Atende ao Objetivo 2 Em um experimento veterinário, estão nove camundongos rotulados 1, 2, 3,..., 9. Selecionando-se conjuntamente dois camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de ser escolhido). Quais as chances de o veterinário selecionar dois camundongos de rótulos ímpares? Aula 17 Qual é a chance? Atividade 8 Atende ao Objetivo 2 Ricardo Ferreira Paraizo A probabilidade de um cavalo vencer três ou menos corridas é de 58%; a probabilidade de ele vencer três ou mais corridas é de 71%. Qual é a probabilidade de o cavalo vencer exatamente três corridas?

20 438 e-tec Brasil Matemática Instrumental Conclusão Entender o conceito de probabilidade pode ser muito útil no seu dia-a-dia. Você acabou de ver, na Atividade 5, quais são suas chances de ganhar na mega sena que são muito baixas. Há quem diga que, se você aplicar o dinheiro que gastaria no jogo em uma poupança, por exemplo, ao final de cinco anos terá deixado de perder uma boa quantia, afora o que ganhará com os rendimentos! A probabilidade aplica-se ao seu campo de trabalho, por exemplo. Por meio dela, é possível calcular quais são as chances de chover em uma determinada região. De posse dessas informações, um técnico em agropecuária ou um engenheiro agrônomo pode dizer quando é melhor semear a terra. Ou, simplesmente, você pode sair de casa levando um guarda-chuva para não se molhar, o que também é importante... Antonio Jiménez Alonso

21 439 Multimídia Veja um pouco mais sobre o assunto probabilidade no site: Este site fala um pouco sobre a história da probabilidade e propõe mais alguns problemas de soluções interessantes para você ver. Aula 17 Qual é a chance? Além dele, há um site que mostra as probabilidades para ocorrência de chuva nas diversas regiões do Brasil, do que estávamos falando ainda pouco. Visite: Resumindo... O cálculo da probabilidade permite-nos encontrar um número que mostra a chance de ocorrência do resultado favorável num experimento aleatório. Experimento aleatório são ações que, repetidas da mesma maneira, produzem resultados diferentes, por exemplo: abandonar um dado e anotar o número da face que ficará voltada para cima. Espaço amostral ( S ) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Evento ( E ) é o conjunto de resultados favoráveis em um experimento. É um subconjunto do espaço amostral. Probabilidade de um evento acontecer é a razão entre o número do evento e o número do espaço amostral em que ele se encontra. Em linguagem matemática: Probabilidade: P(E) = (Lemos: A probabilidade do evento E é igual à razão entre o número do evento e o número do espaço amostral)

22 440 e-tec Brasil Matemática Instrumental Teorema da soma diz que a probabilidade de um evento A ou de um evento B acontecer é calculada pela probabilidade de A mais a probabilidade de B, menos a probabilidade de A interseção B. Ou seja, P ( A B ) = P (A) + P ( B ) - P (A B) Eventos complementares são aqueles em que não há sobreposição entre os eventos e que a união dos eventos abarca todo o espaço amostral. Em outras palavras, se A B = φ e A B = S; então, P (A) + P (B) = 1 Eventos independentes: A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro. Vale então dizer que P (A B) = P(A).P (B) Informações sobre a próxima aula Continuando nossa jornada pela matemática, na próxima aula vamos fazer um estudo básico sobre trigonometria. Respostas das Atividades Atividade 1 i) Espaço amostral (S) = {p1, p2, p3, p4,p5, p6, p7, p8.} Conjunto representando os 8 pés de eucalipto. Evento (E) = poderia ser {p1, p2, p8} Conjunto representando os 3 pés de eucalipto doentes. ii) Espaço amostral: representado por todos os gados da fazenda. Evento: representado pelos gados que receberam a vacina A iii) Espaço amostral: representado por todos os possíveis números de telefones que Márcia pode ligar. Evento: (Resultado favorável): Acertar o telefone de Priscila de primeira.

23 iv) Espaço amostral: representado por todos os 33 alunos do pós-médio. 441 Evento: (Resultado favorável): Sortear Roberto por exemplo. v) Espaço amostral: representado por todas as pessoas entrevistadas. Evento: representado pelos fumantes. vi) Espaço amostral: representado por todas as 75 jovens. Aula 17 Qual é a chance? Evento: representado pelos 70 jovens que gostam de músicas. Atividade 2 i) N(S) = 8 N(E) = 3 ii) N(S) = 660 N(E) = 300 iii) N(S) = N(E) = 1 iv) N(S) = 33 N(E) = 1 v) N(S) = 1000 N(E) = 170 vi) N(S) = 75 N(E) = 70 Atividade 3 n(e) Número do evento (número dos resultados favoráveis sair uma das 50 cartas de Cláudia.) n(s) Número do espaço amostral (número total de cartas cartas enviadas) P(E) Probabilidade do Evento (probabilidade de sair a carta de Cláudia.) n( E) = 50 n(s) = n( E) P( E) = n( S) 50 P( E) = P( E) = 0, 0025 P(E ) = 0,25% Assim, a probabilidade de Cláudia ser sorteada é de 0,25%. O cálculo da probabilidade permite-nos encontrar um número que mostra a chance de ocorrência do resultado favorável num experimento aleatório.

24 442 e-tec Brasil Matemática Instrumental Neste problema, o número foi os 0,25%, que mostrou a chance de ocorrência do resultado favorável no experimento aleatório. O resultado favorável é sortear uma das 50 cartas do caminhão e o experimento aleatório é a ação de sortear uma das cartas. Atividade 4 Como o técnico plantou 40 sementes, este é o número do espaço amostral N(S) = 40. O total 30 foi de sementes germinadas, este é o número do evento N(E) = 30 n( E) P( E) = n( S) 30 3 P( E) = = = 0, 75 = 75% 40 4 Então, a probabilidade de germinação das próximas sementes com as mesmas características iniciais será de 75%. Atividade 5 Espaço amostral S: Todos os 6 números possíveis (seis números escolhidos entre os sessenta) Poderíamos ter, por exemplo: Se assim continuarmos, teremos uma quantidade imensa de combinações possíveis. O número de todos os possíveis cartões (espaço amostral) pode ser calculado, usando a fórmula de combinação estudada na Aula 14 (Análise Combinatória):

25 C C C n, p 60, 6 60, 6 60, 6 n! = ( n p)! p! 60! = ( 60 6)! 6! ! 60, 59, 58, 57, 56, 55, 54! = = ( 54)! 6! 54! 6, 5, 4, 3, 2, 1 C = Evento E: Acertar todos os números de 1 cartão Aula 17 Qual é a chance? 443 n(e) = 1 n( E) 1 P( E) = = n( S) P(E) = 0, = 0, % Concluímos que a probabilidade de você acertar os seis números da mega sena com o cartão apresentado é de 0, %, ou seja, mínima. Caso você um dia seja um ganhador, considere-se um grande sortudo! Como pode ver, a chance de 1 cartão ganhar é uma no meio de cinqüenta milhões sessenta e três mil e oitocentos e sessenta possibilidades. Atividade 6 Número do espaço amostral S : n( S ) = A 6,3 Arranjo de 6 elementos tomados 3 a 3. Número do evento E: N(E)= 1 A A n, p 6, 3 n! = ( n p)! 6! = ( 6 3)! 6! ! A6, 3 = = = 120 3! 3! n( E) 1 P( E) = = = 0, 0083 n( S) 120 P( E) = 0, 83% Temos que a probabilidade de essa aposta ser vencedora é 0,83% Atividade 7 Número do espaço amostral S: n( S ) = C 9,2 Combinação de 9 elementos tomados 2 a 2. Números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9

26 444 e-tec Brasil Matemática Instrumental Número do evento E: N(E)= C 5,2 n! Cn, p = ( n p)! p! 9! 9! ! n( S) = C9, 2 = = = = 36 ( 9 2)! 2! 7! 2! 7! ! ! n( E) = C5, 2 = = = 10 ( 5 2)! 2! 3! 2. 1 n( E) 10 5 P( E) = = = = 0, 27 n( S) P( E ) = 27% Concluímos que a probabilidade de que, na seleção, ambos os camundongos tenham rótulos ímpares é 27%. A B Atividade 8 Seja o Evento A: O cavalo vence 3 ou menos corridas; P(A) = 58% = 0,58 Seja o Evento B: O cavalo vence 3 ou mais corridas; P(B) = 71% = 0,71 O evento A B: O cavalo vence exatamente as três corridas. Queremos determinar P (A B). Podemos observar que P(A B) = 1, pois A B = S (espaço amostral) P(A B) = P(A) +P(B) P(A B) 1 = 0,58 + 0,71 - P(A B) P(A B) = ,58 + 0,71 P(A B) = ,58 + 0,71 P(A B) = 0,29 = 29% Então, a probabilidade de o cavalo vencer exatamente três corridas é de 29%. 2ª 1ª 3ª 5ª 4ª 6ª...100ª Suponha que houve 100 corridas. Probabilidade de vencer 1ª, 2ª, 3ª corridas é de 58% Probabilidade de vencer 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª ª é de 71% Referências bibliográficas IEZZI Gelson. et al. Matemática. 6. ed. São Paulo: Atual PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática v. 2. São Paulo: Moderna, 1995.