PROVA COMENTADA PELOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO

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1 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase COMENTÁRIO DA PROVA DE Buscando uma forma técnica de análise, selecionamos três tópicos que acreditamos serem as características mais importantes em uma prova com a intenção de aferir conhecimentos adquiridos pelo programa inerente ao Ensino Médio, particularmente ao ensino de Matemática. I. Nível da prova (x) Adequado em termos ( ) Em termos ( ) Inadequado No primeiro tópico, selecionamos o aspecto do nível da prova que especialmente numa segunda fase deve ser estratificado em questões mais simples, médias e de melhor padrão. Nesse aspecto, o quesito foi plenamente atingido. Parabenizamos a Comissão. II. Abrangência dos conteúdos ( ) Satisfatória ( ) Parcialmente satisfatória ( ) Insatisfatória No segundo tópico, destacamos a abrangência da prova em relação ao programa, por acreditarmos também que uma maior abrangência valoriza o processo seletivo e o torna mais eficiente como instrumento de aferição. Nesse aspecto também o objetivo foi plenamente alcançado. Destacamos também a prioridade dada aos temas de relevância do programa para quem ingresse em cursos nos quais a matemática será fundamental. III. Correção / rigor (x) Presente ( ) Parcialmente presente ( ) Ausente No último tópico, elencamos a questão do rigor da prova. Nessa abordagem, a prova também foi satisfatória. Uma característica observada em algumas questões, que ao nosso ver é uma qualidade, é o fato de essas questões permitirem distintos processos resolutivos. Como observação final, parabenizamos os responsáveis pela elaboração da prova que, temos certeza, premia o nosso trabalho e especialmente o trabalho dos alunos mais dedicados. Professores de Matemática do Curso Positivo

2 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase C(N) = N C(N(t)) = (0t t ) C(N(t)) = 0t + 600t + 50 C(N(t)) = 00 0t t + 50 = 00 0t t 50 = 0 t 60t + 5 = 0 60 ± ( 60) t =. 60 ± 0 t = x = 5 (não convém, pois 0 t 0) 6 x = 5

3 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase A reta r passa pelos pontos (0,) e (4,0). Coeficiente angular da reta r é m r = y 0 = = x 0 4 Aplicando na equação fundamental, utilizando o ponto (0,), vem y y 0 = m r (x x 0 ) y = (x 0) 4 x + 4y = 0 Resposta: A equação da reta r é x + 4y = 0 4 A equação da reta s é da forma: y = mx A área do triângulo POA é. x A área do triângulo POB é 4. mx Igualando, temos:. x = 4. mx Resolvendo, tem-se: m = ± 4 A P B Para a reta s do gráfico, temos: m = 4, pois m > 0 Resposta: m = 4

4 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase A probabilidade de um voluntário, escolhido aleatoriamente dentre os participantes dessa pesquisa, ter apresentado efeitos colaterais é dada por: p(e) = p(e) = = A probabilidade de um voluntário ter sido submetido ao novo tratamento, dado que ele apresentou efeitos colaterais é dada por: p(nee) p(n/e) = p(e) 5 p(n/e) = P(N/E) =

5 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase V = Sb. H 5m 50 dm m 0 dm m 0 dm dm litro V =. 0 V = 5000 litros m m 5 m ' ' b (x) = x 5 b m x V(x) = Sb. H V(x) = b. x. V(x) = 5x 4 5x.x.. = 5x 4 (m ); 0 x Por semelhança 5 = b x b = 5x b = 5x 5

6 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase Misturando partes da liga A + partes da liga B, a liga resultante terá o percentual que é a média ponderada. Assim, temos: 07,. + 06,. Cobre: = 66% + 0, Estanho: = % + 0,. + 0, 4. Zinco: = % + Resposta: O percentual de cobre, estanho e zinco serão, respectivamente, 66%, % e %. Sejam x partes da liga A, y partes da liga B e z partes da liga C. Calculando a liga resultante, temos: x.0,7 + y.0,6 + z.0,5 Cobre: = 0,6 x+ y+ z x.0,+ y.0 + z.0, Estanho: = 0, x+ y+ z x.0,+ y.0,4+ z.0, Zinco: = 0, x+ y+ z Resolvendo, tem-se: 0,x 0,z = 0 0,y + 0,z = 0 0,x + 0, y = 0 Multiplicando as três equações por 0, vem: x z = 0 y + z = 0 x + y = 0 Somando as três equações, teremos 0 = 0. Portanto, o sistema, em IR, é possível e indeterminado. Da primeira equação, temos: x = z Da terceira equação, temos: y = x A solução do sistema é dada por: x, x,x, logo a proporção que devem ser misturadas é (,,). Resposta: A proporção em que as ligas devem ser misturadas é: partes de cobre, parte de estanho e partes de zinco. 6

7 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase A altura máxima é dada quando sen π t =, logo: 0,05 h máximo = = 8 A altura mínima é dada quando sen π t =, logo: 0,05 h mínimo = 4.( ) + 4 = 0 Respostas: A altura máxima é 8 centímetros e a altura mínima é 0. Funcionando durante minuto, temos t = 60 s. Como o período da função é π.0,05 = 0,05, que corresponde a um ciclo, o número de ciclos será π 60 = , Resposta: Funcionando um minuto, o pistão realiza 00 ciclos. 7

8 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase Volume total é V = π.,7.0 = 8,9π Resposta: O volume total do reservatório é igual a 8,9 π m. Para calcular a área da superfície do líquido, devemos primeiramente calcular A x x B 0,8,7 Aplicando o teorema de Pitágoras, vem:,7 = 0,8 + x x =,5 Logo, a corda AB mede.,5m = m A área da superfície do líquido é S = AB. 0 = m. 0 m = 0 m Resposta: A área da superfície do líquido é 0 m. 8

9 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase S(9) = 8.log (9+) + 86 = = 68 Resposta: 68% das palavras eram lembradas. 50 = 8. log (t + ) = 8. log (t + ) = log (t + ) t + = 0 t = 99 Resposta: O percentual será de 50% aos 99 minutos. 9

10 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase z = + i z = z = tg θ = = + θ = π z = cos p isen p + n z = n. cos n. p isen n. p + = cos π.n = e sen π.n = 0 π.n = k.π n = k. (k Z) n = (menor inteiro tal que n > ) 0

11 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase º modo: Como z = (z é uma das raízes cúbicas de ), então: z 00 = z 99. z z 00 = (z ).z z 00 =. z z 00 = z = = i º modo: z = i z = + z = tg θ = = θ = 4 π z = cos 4 π i sen 4 π + z 00 = 00. cos π 4π + i sen 00. z 00 =. cos 400 π i sen 400 π + 400π 96π 4π = + π (66 voltas) Menor determinação positiva z 00 =. cos 4 π isen 4 π + z 00 = z = i

12 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase 60 o 60 o 60 o 60 o 60 o 60 o Área = S quadrado +.S Triângulo Área = Área = + u.a ou Área = + u.a cos α + cos α = 0 cos α = cos α sen α cos α = cos α cos cos α = cos α cos α + cos α = 0 cos α + cos α = 0 α

13 Vestibular UFPR 0/0 - ª Fase cos α = ± 4..( ). cos α = ± 4 cos α = α = k. π ±π α= k. 4π ± π (k z) ou cos α = α = k. π +π α= k. 4π +π (k z) Cálculo da área: Para k = 0, temos α = π, isto é: α = π (0 < α < π) A π π =.sen + sen π A π =.sen π + sen π A π =. + A π = u.a