SESTSENAT- FLORIANÓPOLIS/SC MATEMÁTICA BÁSICA

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1 SESTSENAT- FLORIANÓPOLIS/SC Auxiliar Administrativo com Ênfase em Transporte Rodoviário de Passageiros MATEMÁTICA BÁSICA MÓDULO BÁSICO FASE I 2012

2 Programa da Disciplina Números inteiros, fracionários e decimais; Potenciação e radiciação; Sistema de medidas; Razão, proporção e escala; Divisão proporcional; Regra de Três simples; Regra de Três composta; Porcentagem; Juros simples e descontos simples; Juros compostos. Carga Horário: 30ha SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 2

3 SUMÁRIO TABUADAS CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) CONJUNTO DOS NÚEMROS INTEIROS (Z) CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I) CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) FRAÇÕES O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO COMO SE LÊ UMA FRAÇÃO CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES FRAÇÕES EQUIVALENTES SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES NÚMEROS FRACIONÁRIOS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Mínimo Múltiplo Comum MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS RAZÕES INTRODUÇÃO TERMOS DE UMA RAZÃO RAZÕES INVERSAS RAZÕES EQUIVALENTES PROPORÇÕES - INTRODUÇÃO ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES REGRA DE TRÊS SIMPLES REGRA DE TRÊS COMPOSTA PORCENTAGEM RAZÃO CENTESIMAL MÉDIA MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES Média ponderada POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO; POTENCIAÇÃO Propriedades das potências RADICIAÇÃO Propriedade Raiz Quadrada SISTEMAS DE MEDIDAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO Sistema Métrico Decimal Múltiplos e Submúltiplos do Metro Leitura das Medidas de Comprimento Transformação de Unidades MEDIDAS DE SUPERFÍCIE Introdução Superfície e área Metro Quadrado Medidas Agrárias SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 3

4 9.2.5 Transformação de unidades MEDIDAS DE VOLUME INTRODUÇÃO Metro cúbico Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Leitura das medidas de volume Transformação de unidades MEDIDAS DE CAPACIDADE Múltiplos e submúltiplos do litro Leitura das medidas de capacidade MEDIDAS DE MASSA Introdução Múltiplos e Submúltiplos do grama Relações Importantes Leitura das Medidas de Massa Transformação de Unidades MEDIDAS DE TEMPO Introdução Outras importantes (unidades de medida) GRANDEZAS INTRODUÇÃO GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS MATEMÁTICA FINANCEIRA CONCEITOS BÁSICOS Capital Juros QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS? TAXA DE JUROS JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Relação entre juros e progressões TAXAS Taxas Equivalentes Taxas Nominais Taxas Efetivas Taxa Real REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 4

5 TABUADAS x1 = 2 3x1 = 3 4x1 = 4 2x2 = 4 3x2 = 6 4x2 = 8 2x3 = 6 3x3 = 9 4x3 = 12 2x4 = 8 3x4 = 12 4x4 = 16 2x5 = 10 3x5 = 15 4x5 = 20 2x6 = 12 3x6 = 18 4x6 = 24 2x7 = 14 3x7 = 21 4x7 = 28 2x8 = 16 3x8 = 24 4x8 = 32 2x9 = 18 3x9 = 27 4x9 = 36 2x10 = 20 3x10 = 30 4x10 = 40 1x1 = 1 1x2 = 2 1x3 = 3 1x4 = 4 1x5 = 5 1x6 = 6 1x7 = 7 1x8 = 8 1x9 = 9 1x10 = 10 5x1 = 5 5x2 = 10 5x3 = 15 5x4 = 20 5x5 = 25 5x6 = 30 5x7 = 35 5x8 = 40 5x9 = 45 5x10 = x1 = 6 6x2 = 12 6x3 = 18 6x4 = 24 6x5 = 30 6x6 = 36 6x7 = 42 6x8 = 48 6x9 = 54 6x10 = 60 7x1 = 7 7x2 = 14 7x3 = 21 7x4 = 28 7x5 = 35 7x6 = 42 7x7 = 49 7x8 = 56 7x9 = 63 7x10 = 70 8x1 = 8 8x2 = 16 8x3 = 24 8x4 = 32 8x5 = 40 8x6 = 48 8x7 = 56 8x8 = 64 8x9 = 72 8x10 = 80 9x1 = 9 9x2 = 18 9x3 = 27 9x4 = 36 9x5 = 45 9x6 = 54 9x7 = 63 9x8 = 72 9x9 = 81 9x10 = 90 10x1 = 10 10x2 = 20 10x3 = 30 10x4 = 40 10x5 = 50 10x6 = 60 10x7 = 70 10x8 = 80 10x9 = 90 10x10 = 100 SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 5

6 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) São os números inteiros e positivos e o zero (0). N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12,...} 1.2 CONJUNTO DOS NÚEMROS INTEIROS (Z) São todos números inteiros positivos, negativos e o zero (0). Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} Obs. Há uma relação de simetria entre um número e seu oposto em relação ao zero (0). 1.3 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) Um número é chamado de racional quando pode ser escrito na forma de fração b a e b é diferente de zero (b 0). Exemplo: 5 14,, = = A propriedade que representa os números racionais é: a Q = { x x = a Z b R b 0 b 1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I) inteiros. São os números que não podem ser escrito na forma de fração de dois números SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 6

7 Exemplo: π = 3, , 2 = 1, , 3 = 1, CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) Q U I ) É formado pela união (U ) dos elementos dos conjuntos anteriores: R = { N U Z U SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 7

8 2 FRAÇÕES O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então é um número natural. Veja um exemplo: A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, múltiplo de 2. é um número natural e 8 é Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário. 2.1 O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de? Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes: Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 8

9 2.2 COMO SE LÊ UMA FRAÇÃO As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000,... um meio dois quintos um terço quatro sétimos um quarto sete oitavos um quinto quinze nonos um sexto um décimo um sétimo um centésimo um oitavo um milésimo um nono oito milésimos 2.3 CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES Fração própria: o numerador é menor que o denominador: Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. 2.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. Exemplo: são equivalentes SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 9

10 Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. Exemplo: obter frações equivalentes à fração. Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a. 2.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Uma fração equivalente a, com termos menores, é. A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de. A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum 2.6 NÚMEROS FRACIONÁRIOS Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira? Substituindo X, temos: 5. X = 1 X por 0 temos: 5.0 = 0 X por 1 temos: 5.1 = 5. Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários. Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário. Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas as frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracionário. Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X =, pois. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 10

11 2.7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Temos que analisar dois casos: 1. denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos: 2. denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações. Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25 Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso Mínimo Múltiplo Comum Múltiplo de um Número Natural Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3, também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0, 7x1, 7x2, 7x3, 7x4,... = 0, 7, 14, 21, 28,... SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 11

12 Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c Cálculo do M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um, elevado ao maior expoente Processo da Decomposição Simultânea SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 12

13 Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = Propriedade do M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados. Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. 2.8 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 13

14 Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 14

15 3 RAZÕES 3.1 INTRODUÇÃO Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart). corrida. razão. Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida. Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero) o quociente ou a:b. A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos: Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: P ara cada 100 convidados, 75 eram mulheres. (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). Razão entre o número de mulheres e o número de convidados: (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). Observações: 1. A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo: Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 15

16 2. A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos: A razão entre 1 e -8 é. 3.2 TERMOS DE UMA RAZÃO Observe a razão: A razão entre é. (lê-se "a está para b" ou "a para b"). Na razão a:b ou, o número a é denominado antecedente e o número b é denominado conseqüente. Veja o exemplo: 3.3 RAZÕES INVERSAS 3:5 = Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5. Considere as razões. Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja,. Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas. Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1. Exemplo: vice-versa. são razões inversas, pois. Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e Observações: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 16

17 1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 2) 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos. 3.4 RAZÕES EQUIVALENTES maneira: Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero), obtemos uma razão equivalente. Exemplos: são razões equivalentes. são razões equivalentes. 3.5 PROPORÇÕES - INTRODUÇÃO Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 17

18 Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim: 3.6 ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção. Exemplo: Dada a proporção, temos Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36 Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES Observe as seguintes proporções: Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120 Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180 Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360 SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 18

19 De modo geral, temos que: Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 19

20 4 REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de Três Simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. Exemplos: 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1, ,5 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 20

21 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) x Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 21

22 Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) x Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 22

23 5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA A Regra de Três Composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume x 125 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão necessários 25 caminhões. 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 23

24 Solução: montando a tabela: Observe que: Homens Carrinhos Dias x 16 Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois se colocam flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. Exercícios complementares Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 24

25 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 25

26 6 PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 6.1 RAZÃO CENTESIMAL Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: Calcular 10% de 300. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 26

27 Calcular 25% de 200kg. EXERCÍCIOS: Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00. Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 27

28 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 28

29 7 MÉDIA 7.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n. 7.2 Média ponderada Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada. Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa. Definição de Média Aritmética Ponderada: A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x 1, x 2, x 3,..., x n cuja importância relativa ("peso") é respectivamente p 1, p 2, p 3,..., p n é calculada da seguinte maneira: EXEMPLO: p = Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve? p = R: Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 29

30 8. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO; 8.1 POTENCIAÇÃO Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação = 16 mulplicação de fatores iguais. Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: = 24 = 16 Fatores iguais. Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma: Expoente 5 2 = 25 Potência Base Propriedades das potências Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas propriedades para simplificar os cálculos. Produto de potência de mesma base Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de mesma base da seguinte forma: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 30

31 = = 2 5 = 32 Utilizando a propriedade de produtos de mesma base, resolvemos da seguinte forma: como é um produto de bases iguais, basta repetir a base e somar os expoentes = = 2 5 = = = 5 4 = 625 Quocientes de potências de mesma base Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 : 126 ficaria da seguinte forma: 12 8 : 12 6 = : = 144 Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada, veja: como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes : 12 6 = = 122 = 144 (-5) 6 : (-5) 2 = (-5) 6 2 = (-5) 4 = 625 Potência de Potência Quando nos deparamos com a seguinte potência (32)3 resolvemos primeiro a potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente de fora, veja: (3 2 ) 3 = (3. 3) 3 = 9 3 = = 729 Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta multiplicarmos os dois expoentes, veja: (3 2 ) 3 = = 3 6 = 729 (-91)2 = (-9)1. 2 = (-9)2 = 81 SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 31

32 Potência de um produto Veja a resolução da potência de um produto sem utilizarmos a propriedade: (3 x 4) 3 = (3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4) (3 x 4) 3 = 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 (3 x 4) 3 = 27 x 64 (3 x 4) 3 = 1728 Utilizando a propriedade, a resolução ficaria assim: (3 x 4) 3 = 33 x 43 = 27 x 64 = RADICIAÇÃO O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que têm por fim, fornecida uma potência de um número e o seu grau, possa determinar esse número. Este tutorial fica um pouco mais prático, pois como já estudamos em tutoriais anteriores sobre potências, caso não tenha estudado sugiro que revise. A radiciação resumindo e sendo objetivo é inverso da potenciação. Exemplo, quando elevamos um determinado número X à sexta potência e depois em uma operação de extração de raiz na sexta potência, temos como resultado o número X. Onde : n = representa o termo da radiciação chamado Radical. X = representa o termo da radiciação chamado de radicando Revisando definição: Temos que radiciação de números relativos é a operação inversa da potenciação. Observe abaixo: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 32

33 Em termos mais precisos, dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro positivo n denominado índice da raiz, é possível determinar outro número relativo b, denominado raiz enésima de a, representada pelo símbolo seja igual a a., tal que b elevado a n Propriedade Símbolo da Radiciação Este é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente radical. Propriedades Fundamentais Isto acontece pois zero vezes zero sempre será zero, não importa quantas "n" vezes ele aparecer. Mesma coisa, um vezes um é sempre 1 Esta podemos provar pela definição de raiz. Qual o número que multiplicado uma vez por ele mesmo resulta ele? Ele mesmo! Se colocarmos esta raiz na forma de potência temos: o a n/n o e a fração n/n vale 1, então: o an/n = a1= a Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria, a única diferença é que agora o "a" está elevado em uma potência diferente de 1. Estas são as principais propriedades de Radiciação. Agora vamos ver as propriedades operatórias, ou seja, como fazer operações com raízes (multiplicação, divisão...). Propriedades Operatórias Agora vamos dar uma visão mais genérica, visto que as propriedades irão se repetir pois são idênticas às de potenciação: SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 33

34 Ao transformarmos as raízes da multiplicação em potenciação, utilizamos a propriedade de multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Se transformarmos a multiplicação de raízes em multiplicação de potências, podemos utilizar a propriedade de multiplicação de dois números na mesma potência. Novamente se transformarmos a raiz em potência, teremos: Agora o que devemos fazer é voltar de potência para raiz: Raiz Quadrada A raiz quadra de um número inteiro é o outro número que, se elevado ao quadrado, reproduz o número dado. Desta forma: Raiz quadrada do número 16 é = +/- 4, pois (+4) 2 = 16 e (-4) 2 = 16 Raiz quadrada do número 49 é = +/- 7, pois (+7) 2 = 49 e (-7) 2 = 49 Obs. Quando o Radical é Par, só existe raiz Real se o Radicando for positivo. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 34

35 9. SISTEMAS DE MEDIDAS 9.1 MEDIDAS DE COMPRIMENTO Sistema Métrico Decimal Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal. Metro A palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro km hm dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = m um ano): Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em Ano-luz = 9, km O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: Pé Polegada Jarda = 30,48 cm = 2,54 cm = 91,44 cm SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 35

36 Milha terrestre Milha marítima = m = m Observe que: 1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés Leitura das Medidas de Comprimento A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m. Seqüência prática: 1. Escrever o quadro de unidades: km hm dam m dm cm mm 2. Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva. km hm dam m dm cm mm 1 5, Outros exemplos: 3. Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma. 15 metros e 48 milímetros 6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros" 82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros". 0,003 m lê-se "três milímetros" Transformação de Unidades SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 36

37 Observe as seguintes transformações: Transforme 16,584hm em m. km hm dam m dm cm mm x 10). Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 16,584 x 100 = 1.658,4 Ou seja: 16,584hm = 1.658,4m Transforme 1,463 dam em cm. km hm dam m dm cm mm Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por (10 x 10 x 10). Ou seja: 1,463 x = 1,463 1,463dam = 1.463cm. Transforme 176,9m em dam. km hm dam m dm cm mm Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por ,9 : 10 = 17,69 Ou seja: 176,9m = 17,69dam Transforme 978m em km. km hm dam m dm cm mm Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por : = 0,978 Ou seja: 978m = 0,978km. Observação: Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 37

38 9.2 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE Introdução As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano: Superfície e área Qual a área desta sala? Qual a área desse apartamento? Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina? Qual a área dessa quadra de futebol de salão? Qual a área pintada dessa parede? Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número Metro Quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m 2 ) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos Quilômetros quadrado Hectômetro quadrado Decâmetro quadrado Metro quadrado Decímetro quadrado Centímetro quadrado Milímetro quadrado km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m m 2 100m 2 1m 2 0,01m 2 0,0001m 2 0,000001m 2 O dam2, o hm 2 e km 2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm 2, o cm 2 e o mm 2 são utilizados para pequenas superfícies. Exemplos: 1) Leia a seguinte medida: 12,56m 2 : km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 12, 56 Lê-se 12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 38

39 1 78, 30 Lê-se 178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 0, Lê-se decímetros quadrados Medidas Agrárias As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). Unidade agrária Equivalência de valor hectare (ha) are (a) centiare (ca) 100a 1a 0,01a Lembre-se: 1 ha = 1hm 2 1a = 1 dam 2 1ca = 1m Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: Observe as seguintes transformações: Transformar 2,36 m 2 em mm 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Para transformar m 2 em mm 2 (três posições à direita) devemos multiplicar por (100x100x100). 2,36 x = mm 2 Transformar 580,2 dam 2 em km 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 39

40 Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por (100x100). 580,2 : = 0,05802 km 2 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,37 dm 2 em mm 2 2) Transforme 3,1416 m 2 em cm 2 3) Transforme 2,14 m 2 em dam 2 4) Calcule 40m x 25m 9.3 MEDIDAS DE VOLUME INTRODUÇÃO Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m 3 ) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Múltiplos Unidade Fundamenta l Submúltiplos quilômetro hectômetr decâmetr decímetr centímetro milímetro metro cúbico cúbico o cúbico o cúbico o cúbico cúbico cúbico km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm m m m 3 1m 3 0,001m 3 0,000001m 3 0, m Leitura das medidas de volume A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos. Leia a seguinte medida: 75,84m 3 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 75, 840 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos". SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 40

41 Leia a medida: 0,0064dm 3 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 0, Lê-se "6400 centímetros cúbicos" Transformação de unidades Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe a seguinte transformação: transformar 2,45 m 3 para dm 3. km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Para transformar m 3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por ,45 x = dm3 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,132 km 3 em hm 3 2) Transforme 180 hm 3 em km 3 3) Transforme 1 dm 3 em dam 3 Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm cm MEDIDAS DE CAPACIDADE A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta Múltiplos e submúltiplos do litro 1l = 1dm 3 Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 41

42 kl hl dal l dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Relações 1l = 1dm 3 1 ml = 1cm 3 1 kl = 1m Leitura das medidas de capacidade Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal kl hl dal l dl cl ml 2, Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". 9.5 MEDIDAS DE MASSA Introdução Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa: Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela. Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo: A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar. Observação: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas". Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. O quilograma (kg) é a massa de 1dm 3 de água destilada à temperatura de 4ºC. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 42

43 Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa Múltiplos e Submúltiplos do grama Múltiplos Unidade principal Submúltiplos quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama kg hg dag g dg cg mg 1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos: 1 dag = 10 g 1 g = 10 dg Relações Importantes Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade. Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência: São válidas também as relações: 1 kg <=> 1dm 3 <=> 1L 1m 3 <=> 1 Kl <=> 1t 1cm 3 <=> 1ml <=> 1g Observação: especiais: Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades 1 arroba = 15 kg 1 tonelada (t) = kg 1 megaton = t ou kg Leitura das Medidas de Massa A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos: Leia a seguinte medida: 83,732 hg kg hg dag g dg cg mg 8 3, Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas". SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 43

44 Leia a medida: 0,043g Lê-se " 43 miligramas". kg hg dag g dg cg mg 0, Transformação de Unidades Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe as Seguintes transformações: Transforme 4,627 kg em dag. kg hg dag g dg cg mg (10 x 10). Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 4,627 x 100 = 462,7 Ou seja: 4,627 kg = 462,7 dag Observação: Peso bruto: peso do produto com a embalagem. Peso líquido: peso somente do produto. 9.6 MEDIDAS DE TEMPO Introdução É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo: Qual a duração dessa partida de futebol? Qual o tempo dessa viagem? Qual a duração desse curso? Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 44

45 segundo. A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o Segundo O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar. O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio. As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal Múltiplos e Submúltiplos do Segundo Quadro de unidades Múltiplos minutos hora dia min h d 60 s 60 min = s 24 h = min = s São submúltiplos do segundo: Décimo de segundo Centésimo de segundo Milésimo de segundo Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Observe: Outras importantes (unidades de medida) mês (comercial) = 30 dias ano (comercial) = 360 dias ano (normal) = 365 dias e 6 horas ano (bissexto) = 366 dias semana = 7 dias SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 45

46 quinzena = 15 dias bimestre = 2 meses trimestre = 3 meses quadrimestre = 4 meses semestre = 6 meses biênio = 2 anos lustro ou qüinqüênio = 5 anos década = 10 anos século = 100 anos milênio = anos SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 46

47 10 GRANDEZAS 10.1 INTRODUÇÃO Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: Tempo (minutos) Produção (Kg) Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min 100Kg 10 min 200Kg Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min 100Kg 15 min 300Kg SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 47

48 Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo Velocidade (m/s) Tempo (s) , Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s 200s 10 m/s 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s 200s 20 m/s 50s Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 48

49 correspondentes da 2ª. Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. SESTSENAT - Florianópolis/SC Aprendizagem - Matemática Básica 49