DINÂMICA (CINÉTICA) DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

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1 Capíulo 5 DINÂIC CINÉTIC DE U SISTE DE PRTÍCULS 5. INTRODUÇÃO Nese capíulo esuda-se-á a céca de copos ígdos, so é, as elações que exse ee as foças que acua u copo, a sua foa e assa, e o oeo esulae. No capíulo aeo esudaa-se elações seelhaes, addo eão que o copo poda se cosdeado ua paícula, ou seja, que a sua assa poda se coceada u poo e que odas as foças acuaa esse poo. foa do copo e a localzação exaca dos poos de aplcação das foças ão se agoa das e deda coa. O objeco é o esudo do oeo do copo coo u odo, be ass coo o seu oeo e oo do seu ceo de assa. Nos sseas de paículas abodados, cosdea-se que a dsâca ee duas quasque paículas peaece aleáel oção de copo ígdo. Os copos ígdos pode se classfcados e: Cojuos dsceos fos: cosse e sseas de paículas soladas gdaee lgadas ee s. Cojuos coíuos fos: aa-se de sseas coíuos, so é, as paículas ão são ueáes. Cojuos sos: cosse ua assocação dos dos aeoes. 5

2 Dâca céca de u ssea de paículas 5. EQUÇÕES DE OVIENTO DE U SISTE DE PRTÍCULS abodage a efecua ese capíulo assea o pcípo de que os copos ígdos ão são as do que cojuos de áas paículas e, po essa azão, pode-se ulza os esulados obdos o capíulo aeo paa o oeo de ua paícula sujea a u capo de foças, fazedo o soaóo ou o egal eseddo a odas as paículas. s foças acuaes u ssea de paículas pode se classfcadas e: oças eoes são foças que ocoe ee as paes cosues do ssea de paículas, as quas, pelo pcípo de gualdade da acção e da eacção, cosue paes de foças auoequlbadas po see guas e decaee oposas j. j gua 5. oças eoes e exeoes. oças exeoes são foças cuja oge ou causa é exeo ao ssea de paículas. No esudo da dâca dos sseas de paículas á se ulzada ua oação específca paa as foças. ss, as foças co u só ídce desgaão foças exeoes ao ssea de paículas, acuado sobe a pae ou pação co a desgação do ídce. s foças eoes às paes cosues são desgadas po dos ídces, u dca de ode ê e o ouo dca paa ode ão: esulae das foças exeoes aplcadas sobe ; j foça eo deda à eacção ee as assas e j, esado auoequlbada co, so é, 0. j j j Do pcípo da foça de D lebe ou da ª le de Newo aplcada à paícula do ssea de paículas, esula: d j a j d j 5. 5

3 Capíulo 5 53 Coo o pcípo de D lebe é áldo paa odas as paículas ou paes cosues do ssea de paículas, so é, paa,,...,, e-se-á o segue ssea de equações:... d d d d d d j j j j j j j j 5. Te-se-á ass u ssea de equações dfeecas do oeo das paículas cosues do ssea de paículas. solução dese ssea pode se obda po egação deca se fo egáel ou po egação uéca po exeplo, o éodo de Eule, o éodo de Ruge-Kua, ec. a pa das codções foea epoas apopadas, abé desgadas po codções cas. Noe-se que equao o efedo ssea de equações dfeecas do oeo cosu ua codção ecessáa e sufcee do equlíbo dâco do ssea de paículas, a soa ecoal das efedas equações, ebo a ebo, esula ua codção ecessáa as ão sufcee. De faco, j j j a a 5.3 Esa é ua codção ecessáa de equlíbo as ão é codção sufcee, pos ão gaae que o ssea ode e oo de s pópo. O soaóo de foças auo-equlbadas é ulo.

4 Dâca céca de u ssea de paículas Repeseado po o eco posção da paícula de assa que faz pae de u ssea de paículas aeas e oado os oeos e elação ao poo O das áas foças acuado e, e: gua 5. Equlíbo de u ssea de paículas. j j j a 5.4 Repedo ese pocedeo paa cada paícula do ssea, obé-se equações dêcas à aeo. soa ecoal dessas equações esula abé ua codção ecessáa aleaa à aeo: j j j O soaóo de oeos de foças auo-equlbadas é ulo. a a 5.5 s equações 5.3 e 5.5 epesea soee codções ecessáas de equlíbo, paa as quas o efeo das foças eas, j, é ulo. Noe-se poé, que so ão sgfca que as foças eas ão eha efeo sobe as paículas do ssea. Po exeplo, as foças de aacção gaíca que o Sol e os plaeas exece ee s cosdea-se eas elaaee ao ssea sola, e, po essa azão equpolees a zeo. No eao, esas foças são as esposáes pelo oeo dos plaeas e edo do Sol. alogaee, ão se pode coclu das duas equações efedas que dos sseas de foças exeas, que possue a esa esulae e o eso oeo esulae, poduze o eso efeo sobe u ssea de paículas. gua 5.3 Sseas de foças equalees. Os dos sseas osados a fgua 5.3 ê a esa esulae e o eso oeo esulae; 54

5 Capíulo 5 55 o eao, o peo ssea acelea a paícula e dexa aca a paícula, equao o segudo ssea acelea e ão afeca. 5.3 CENTRO DE SS. TEORE DO CENTRO DE SS equação 5.3 pode escee-se de oua foa se fo cosdeado o ceo de assa do ssea de paículas. Coo já se u o capíulo 3 eoea de assas, o ceo de assa do ssea é o poo defdo pelo segue eco posção : Ssea de paículas dsceo, z y x,, z z y y x x 5.6 gua 5.4 Ceo de assa de u ssea dsceo. Ssea de paículas coíuo, d d d z y x,,

6 Dâca céca de u ssea de paículas 56 z d z y d y x d x 5.7 gua 5.5 Ceo de assa de u ssea coíuo. peas po splcdade de oação seão fedos os pcípos da dâca a sseas de paículas dsceos, ulzado, po sso, a oação de soaóo e ão de egal. Poao, o ceo de assa é: 5.8 Deado sucessaee esa expessão e elação ao epo, e: d d d d d d d d d d 5.9 d d d d d d d d d d a a 5.0 coo, a 5. eão, subsudo e 5.0 e: a 5.

7 Capíulo 5 expessão 5. defe o oeo do ceo de assa de u ssea de paículas, aduzdo ass o eoea do ceo de assa: O ceo de assa de u ssea de paículas desloca-se coo se oda a assa do ssea e odas as foças exeas esesse coceadas esse poo. Ese pcípo pode se elho lusado pela aálse do oeo de ua gaada que eeao explode. Sabe-se de aeão que, se a essêca do a fo despezáel, o oeo da gaada segue ua ajecóa paabólca. pós a gaada e exploddo, o ceo de assa dos fageos esulaes coua a descee a esa ajecóa. Na edade, o poo dee oe-se coo se a assa e o peso de odos os fageos esesse aí coceados; dee, po sso, desloca-se coo se a gaada ão esse exploddo. Do que fo efedo, desaca-se ês poos que aduze a poâca do eoea do ceo de assa: º Poo Redução do ssea de paículas a u úco poo O eoea do ceo de assa pee aplca ceas les da ecâca quado se supõe o ssea de paículas co assa coceada u úco poo o ceo de assa. Po exeplo, se u ssea de paículas execua u oeo de aslação, ese pode se caacezado copleaee pelo oeo de aslação de u úco poo defcado co o ceo de assa, co assa gual à assa oal do ssea e oedo-se co elocdade e aceleação, e a, guas às do ceo de assa. º Poo Pee goa as foças eoes do ssea O eoea do ceo de assa oa possíel deseole as equações de oeo do ssea de paículas goado ou descohecedo as foças eoes ao ssea. Noe-se que o segue duplo soaóo é ulo: 57

8 Dâca céca de u ssea de paículas j j j Iso sgfca que as foças eoes ao ssea de paículas ão flueca o oeo do ceo de assa, qualque que seja o ssea. No eao, as foças eoes flueca o oeo de cada paícula ddualee, cofoe se fee do pcípo das foças de D lebe, cosudo ua equação dfeecal do oeo de cada paícula de assa. Veja-se, po exeplo, o oeo de ua gaada que eeao explode, coo fo abodado aeoee. 3º Poo Descção do oeo ua pespeca global Coo se efcou o º poo, o oeo do ceo de assa caaceza o oeo do ssea de paículasua pespeca global, so é, o seu cojuo; as ão caaceza o oeo do ssea de paículas o seu aspeco local. Exeplo de aplcação 58

9 Capíulo OENTO DE INÉRCI DE SS Coo se u a expessão 5., e de acodo co o pcípo da foça de D lebe, o aulaeo da esulae das foças exeoes aplcada ao poo fcíco de ceo de assa do ssea de paículas gaae apeas que o ceo de assa esá e equlíbo. as paa assegua o equlíbo de u ssea de paículas ão basa que eseja e equlíbo o seu poo fcíco, so é, o ceo de assa. Po sso é que a equação aeo cosu ua codção ecessáa de equlíbo de u ssea de paículas, pos e sepe quado é ula a esulae das foças exeoes o ssea esaá e equlíbo. É, eão, ecessáo ecoa a equação sufcee de equlíbo, ecoedo a ouos coceos e pcípos de dâca do ssea de paículas. 59

10 Dâca céca de u ssea de paículas O pcípo de foça de D lebe, a sua esão aslação, pode se expesso po: a 5.4 Daqu se coclu que a assa de ua paícula é a cosae de popocoaldade ee a esulae das foças exeoes aplcadas ua decção e a coespodee aceleação ecoal lea essa decção: 5.5 a ss se copeede a defção aleaa de assa coo sedo ua caaceísca da éca da aslação dos copos. Exse oua gadeza que caaceza a éca de oação dos copos. Coo se sabe, a assa de u copo e a posção do ceo de assa ão pee, po s sós, descee de aea úca a dsbução da assa do copo. gua 5.6 Dsbução da assa de dfeees copos. Coo se efca a fgua 5.6, a localzação do ceo de assa é depedee da localzação e gadeza das assas pacelaes, ou seja, é depedee da dsbução das assas. É, po sso, ecessáo faze e ouo coceo que aduza a dsbução das assas do copo. Ese coceo e e coa as caaceíscas da oação do ssea de paículas. gua 5.7 Caaceíscas de oação de u ssea de paículas. 60

11 Capíulo 5 Coo se u, a assa é defda coo a segue cosae de popocoaldade: a a 5.6 Se a assa se ecoa e oeo de oação, eão efca-se a segue elação paa as copoees agecas: ; co a R a a 5.7 O oeo,, da foça e elação ao exo e a gadeza da copoee agecal dessa foça ulplcada pelo ao do cículo dado que a copoee oal ão poduz oeo. Eão, esse oeo é gual a: 5.8 R R Cosdeado a expessão 5.7 e subsudo e 5.8 e: R R R R I 5.9 Esa quadade ecâca, defcada po I, é desgada de oeo de éca de assa de ua paícula de assa elaaee ao exo e é dado pelo poduo da assa pelo quadado da dsâca da paícula a esse exo. Cosdeado as defções de oeo de éca abodadas o capíulo 3 sobe geoea de assas, defe-se: oeo de éca de assa de sseas de paículas dsceos u u seθ seθ d gua 5.8 oeo de éca de assa de u ssea dsceo. I I ou d u 5.0 6

12 Dâca céca de u ssea de paículas oeo de éca de assa de sseas de paículas coíuo gua 5.9 oeo de éca de assa de u ssea coíuo. I I d ou u d d RIO DE IRÇÃO O ao de gação,, epesea ua dsâca fcíca elaaee a u poo, a u exo ou a u plao ode se podea supo coceada a assa oal de u ssea de paículas, se alea o seu oeo de éca de assa elaaee ao poo, ao exo ou ao plao. gua 5.0 Rao de gação. Paa u ssea de paículas coíuo e-se: I d d 5. Equao que paa u ssea de paículas dsceo se e: I d 5. d ou seja, I 5.3 6

13 Capíulo 5 Noe-se que esa dsâca caaceza ão u úco poo, as ua fdade de poos, suados sobe a supefíce clídca de exo de eolução cocdee co o exo. Ou seja, exse sea de eolução axal, esféca ou plaa, e elação à caacezação do ao de gação, cosoae o oeo de éca a que se efee seja elaaee a u poo, exo ou plao. Noa: O ao de gação é o aálogo ecâco do deso padão esaísco. 5.6 TEORE DOS EIXOS PRLELOS. TEORE DE STEINER gua 5. Teoea dos exos paalelos. Coo se u o capíulo 3, ua ez cohecdo o oeo de éca e elação a u exo, é possíel obe apdaee o oeo de éca elaaee a qualque exo paalelo ao aeo e que se sue à dsâca d, cosdeado o eoea dos exos paalelos: sedo I l d e l d l I d d 5.4 eão ou seja, I l d d d d l d 5.5 I I d d S 5.6 Quado o exo é bacêco, o eoea dos exos paalelos assue a esão do eoea de See S 0: I I d

14 Dâca céca de u ssea de paículas QUNTIDDE DE OVIENTO DE U SISTE DE PRTÍCULS quadade de oeo de u ssea de paículas coespode à soa ecoal ou egal, se o ssea fo coíuo das quadades de oeo das paículas cosues, ou das assas eleeaes e oeo. Paa sseas de paículas dsceos e-se: p P 5.8 Equao que paa u ssea de paículas coíuo se e: P d dp P 5.9 Cosdeado a defção paa sseas de paículas dsceos o que e a segu abé é áldo paa sseas de paículas coíuos, eão: d d d d P 5.30 Tedo e coa a defção de ceo de assa, 5.3 Subsudo a expessão 5.30 e: [ ] d d P d d d d P 5.3 ou seja, P 5.33 Esa expessão osa que a quadade de oeo de u ssea de paículas é a esa que ea ua paícula úca de assa gual à assa oal,

15 Capíulo 5 localzada o ceo de assa, e oedo-se co ua elocdade gual à do ceo de assa. ca ass jusfcado que paa o esudo da dâca de aslação de sseas de paículas ígdos quasque, pode-se-á subsu a dâca do odo, pela dâca do seu ceo de assa, o qual se supõe coceada a assa oal. 5.8 TEORE D QUNTIDDE DE OVIENTO DE U SISTE DE PRTÍCULS. PRINCÍPIO D CONSERVÇÃO D QUNTIDDE DE OVIENTO Deado a quadade de oeo e ode ao epo e: dp d d a d d d 5.34 coo, a 5.35 eão, assocado as expessões 5.34 e 5.35, e: dp 5.36 d Esa expessão esá assocada ao eoea da quadade de oeo. o abé já so, a expessão 5.33, que a quadade de oeo de oeo P e a elocdade assocada ao ceo de assa se ecoa elacoadas po P. ss, é possíel abé obe a segue elação: dp d d [ ] a 5.37 d d d Tedo e coa a expessão 5.36 e subsudo e 5.37, e: 65

16 Dâca céca de u ssea de paículas a 5.38 sedo a esulae das foças aplcadas ao ssea de paículas. ss, de acodo co o eoea da quadade de oeo, e qualque sae, a deada da quadade de oeo oal e ode ao epo é gual à esulae das foças exeoes acuaes esse sae o ssea de paículas. Se a esulae das foças exeoes fo ula, so é, se o ssea fo solado, ou ão acuado po foças exeoes, eão: dp 0 0 P cosae 5.39 d Iso aduz o pcípo da coseação da quadade de oeo, segudo o qual, u ssea solado, a quadade de oeo oal peaece cosae. 5.9 CHOQUE 5.9. Defção de choque colsão ee dos copos que ocoe u ealo de epo uo cuo, e duae o qual os copos exece ee s foças de eacção elaaee eleadas; é desgado po choque. Esas foças de eacção são foças eoes ao ssea de paículas e, sedo eleadas, sgfca que a elas ão esa assocados gades gadees epoas de elocdades poque o ealo de epo de choque é pequeo o que sgfca aações apecáes das elocdades saâeas, aes e após o choque. s les da ecâca ewoaa pee deduz popedades das ajecóas e das elocdades após o choque, cohecedo as suas caaceíscas aes do choque, se se ecessáo cohece as eoes foças de eacção. oal cou à supefíce de coaco duae o choque desga-se lha de choque. Cosoae as posções dos ceos de assa dos dos copos duae o choque, dsgue-se os segues pos de choques: 66

17 Capíulo 5 Choque ceal: Os ceos de assa dos copos que colde sua-se a lha de choque. Nese po de choque ada se dsgue dos sub-pos de choque: Choque deco ou foal s elocdades dos ceos de assa dos copos que colde ê a decção da lha de choque. Choque oblíquo Pelo eos ua das elocdades dos ceos de assa dos copos que colde ão ê a decção da lha de choque. Choque excêco: Se algu dos copos, ou abos, ê u ceo de assa que, aes ou após o choque, ão peece à lha de choque, eão o choque é excêco. choque ceal deco choque ceal oblíquo choque excêco gua 5. Tpos de choque. Nese capíulo só ão se aalsados os choques ceas Pcípos da coseação aplcados ao choque ceal No esudo do choque ade-se que os copos aes e após o choque são ígdos e que o feóeo de choque ocoe e dos peíodos dsos: u peíodo cal de copessão desde o sae de coaco cal poual aé ao sae de coaco áxo; u peíodo fal de esução ee o sae de coaco áxo e o sae de coaco fal poual. 67

18 Dâca céca de u ssea de paículas gua 5.3 ases de choque. O objeco do esudo do choque é deea as elocdades após o choque, cohecdas as elocdades aes do choque. de-se que o choque ocoe u plao hozoal o qual a eega poecal de posção é a esa paa odas as assas eoldas. de-se ada que, aes e após o choque, ão são aplcadas aos copos ehuas foças exeoes paa alé dos pesos ecas, os quas, coo se sabe, ão ealza abalho o plao hozoal e eso eeuas aos de coaco co as supefíces. Na ausêca de foças exeoes, as elocdades aes e após o choque seão foçosaee cosaes, so é, o oeo aes e após o choque seá eclíeo e ufoe ou seja, oeo eóco coespodee a aceleação ula poque as foças exeoes são ulas. ss, o ssea copos e colsão copoa-se aes e após o choque coo u ssea solado so é, se foças exeoes aplcadas, elaaee ao qual são áldos os pcípos da coseação da ecâca ewoaa, oeadaee: pcípo da coseação da quadade de oeo; pcípo da coseação da eega oal ão apeas ecâca; pcípo da coseação do oeo céco o qual deeá se aplcado o caso do choque excêco, que ão á se esudado. 68

19 Capíulo 5 Nese capíulo la-se o esudo do choque à aplcação dos dos peos pcípos: o pcípo da coseação da quadade de oeo que coespode a ua equação ecoal o plao de choque: aes do choque ou cal depos do choque ou fal 5.40 o pcípo da coseação da eega oal, que é u pcípo escala que aduz a coseação da eega oal de odas as oges: E cal E fal T U T U Eegas peddas ou dsspadas calo, ao, ec. 5.4 f f Coo se pessupõe que o choque se dá sobe u plao hozoal, eão U, logo: U f T T E 5.4 f Cosoae o alo da pacela de eega dsspada, E, dsgue-se: Choque elásco ex.: bolas de blha pacela de eega dsspada, E, é ula. Iso é, ão há dsspação de eega, logo, a eega céca cal aes do choque é elascaee esuída pelo feóeo do choque a céca fal das assas que colda. Choque elásco ou dsspao ex.: colsão de auoóes pacela de eega dsspada, E, é ão ula. No choque elásco, os copos aê aáel o seu esado físco, equao que o choque elásco há aleação do esado físco, so é, há defoação Choque ceal deco ou foal Cosdee-se as duas paículas e, co assas e, lusadas a fgua 5.4, que se desloca a esa lha eca e paa a dea co elocdades e cohecdas. 69

20 Dâca céca de u ssea de paículas 70 Se a elocdade da paícula fo supeo à elocdade da paícula, a paícula á cold co a paícula. Sob o efeo do choque, as duas paículas defoa-se-ão e, o f do peíodo de defoação, elas possuão a esa elocdade u. Segudaee, e luga u peíodo de esução, o f do qual, e depededo da esdade das foças de choque e dos aeas e jogo, as duas paículas ecupeaão a sua foa ogal ou peaeceão defoadas. gua 5.4 Choque foal. O objeco é a deeação das elocdades e das paículas o f do peíodo de esução. Coo ão exse foças exeoes, a quadade de oeo oal das duas paículas aé-se cosae, logo: 5.43 Ua ez que as elocdades esão dgdas segudo o eso exo lha de choque, pode-se subsu a equação aca, cosdeado apeas as copoees escalaes: 5.44 Paa obe as elocdades e oa-se ecessáo esabelece ua seguda elação ee as copoees escalaes e. Co ese popóso cosdee-se agoa o pcípo da coseação da eega oal: E T T f E E E 5.45

21 Capíulo 5 plcado esa expessão o pcípo da coseação da quadade de oeo,, e: E ; E e e 5.46 Nesa expessão e desga o coefcee de esução. Ua ez que epesea a elocdade elaa das duas paículas depos do choque, e epesea a elocdade elaa das duas paículas aes do choque. expessão aeo sgfca que: a elocdade elaa das duas paículas depos do choque pode obe-se pela ulplcação da elocdade elaa aes do choque pelo coefcee de esução. ss, a elocdade das duas paículas depos do choque pode obe-se pela esolução das equações 5.44 e Coo se pode efca, o coefcee de esução, e, oa u alo qualque ee [0, ]. Exse ês casos cocepualee dsos de choque foal coespodees aos segues aloes do coefcee de esução: e e 0 choque elásco choque plásco 0 < e < choque elásco Exse dos casos paculaes de choque foal co eesse especal:. e 0, choque foal plásco Quado e 0, esula que, so é, sgfca que as assas, após o choque, se defoa e segue juas, co ua elocdade deeada pela equação: ;

22 Dâca céca de u ssea de paículas 7. e, choque foal elásco Quado e, esula que: 5.48 so sgfca que as elocdades elaas aes e depos do choque são guas, ou seja, a elocdade de apoxação é gual à elocdade de afasaeo ee as duas assas. Cosdeado o pcípo da coseação da quadade de oeo: 5.49 e edo e coa a expessão 5.48, e: dddo po 5.50 Que aduz a coseação da eega céca oal das paículas Choque ceal oblíquo Cosdee-se duas paículas que colde e cujas elocdades ão esão dgdas segudo a lha de choque. Esá-se, po sso, a peseça de choque oblíquo. Cosdea-se ada que são cohecdas as elocdades, e, aes do choque e as especas clações e e elação à lha de choque. Descohece-se as elocdades, e, ao e decção, e, coo e gadeza, após o choque. gua 5.5 Choque ceal oblíquo.

23 Capíulo 5 73 ss, o poblea assocado ao esudo do choque ceal oblíquo cosse e deea,, e, ua ez cohecdos,, e. Te-se ass quao cógas, sedo, po sso, ecessáo esabelece quao equações depedees paa deea essas cógas. No eao, os pcípos de coseação da quadade de oeo e da eega oal só pee esabelece as segues ês equações cosdeado os exos coodeados segudo e : plcação do pcípo de coseação da quadade de oeo se se se se cos cos cos cos decção a decção a 5.5 plcação do pcípo de coseação da eega oal E T T T T E 5.5 Poao, as ês equações são: E se se se se cos cos cos cos 5.53 Vefca-se ass que o ssea é deeado, sedo esolúel e casos paculaes edae a odução ou coheceo de alguas caaceíscas adcoas.

24 Dâca céca de u ssea de paículas º caso s supefíces de coaco são pefeaee lsas e se ao gua 5.6 Choque oblíquo co supefíces de coaco lsas e se ao. Na hpóese da supefíce de coaco se pefeaee lsa e se ao, efca-se que as foças de eacção ee as paículas são dgdas ao logo da decção oal à supefíce de coaco so é, à lha de choque, ou seja, segudo o exo. Coclu-se eão que:. s foças de eacção ão ê copoee segudo, logo ão há gadees epoas da elocdade segudo ese exo, so é, as copoees de elocdade segudo a decção ão se alea, ou seja: se se se se o logo do exo, a copoee da quadade de oeo oal das duas paículas aê-se cosaes pcípo da coseação da quadade de oeo: cos cos cos cos Pelo pcípo da coseação da eega oal e que: [ ] e 5.56 s expessões 5.54, 5.55 e 5.56 cosue as quao equações esolees dese choque oblíquo. 74

25 Capíulo 5 75 º caso Choque oblíquo de copos de assas guas Cosdeado que as duas paículas ê u choque oblíquo e que ê assas guas a, eão as ês equações esulaes dos pcípos de coseação ê: E T T f e se se se se cos cos cos cos 5.57 Quadado e soado os dos ebos das duas peas equações e: se se cos cos se se cos cos cos cos se se cos se cos se cos cos se se cos se cos se cos cos 5.58 Tedo e coa que a ecea equação esolee pode se esca coo: E 5.59

26 Dâca céca de u ssea de paículas Copaado co a equação aeo e: E cos cos 5.60 Esa equação foa, cojuaee co as ês equações esolees aeoes, u ssea deeáel paa as quao cógas peeddas. Noe-se que esa codção adcoal é de oge gooéca. Exeplos de aplcação Exeplo 76

27 Capíulo 5 Exeplo Exeplo 3 77

28 Dâca céca de u ssea de paículas 78

29 Capíulo SISTES TERIIS DE SS VRIÁVEL Nos sseas de paículas aé agoa esudados e-se addo que a assa oal do ssea peaece aáel o epo. Exse, coudo, ueosas aplcações da ecâca ewoaa ão elasa de sseas de paículas de assas aáes o epo. É o caso do esudo da dâca de coboos co eada e saída de passageos, populsão de fogueões, eículos, ec.. ss, esa secção seão aalsados sseas de paículas que, duae o seu oeo, gaha assa pela absoção coíua de paículas ou pede assa pela expulsão coíua das esas. E qualque dos casos, sseas co gaho ou peda de assa, aplca-se-á o eoea da quadade de oeo a sua esão de eoea do pulso, segudo o qual o pulso oal de odas as foças exeoes aplcadas ao ssea de paículas u ceo ealo de epo, é gual à aação da quadade de oeo do ssea de paículas esse ealo de epo Sseas aeas co absoção de assa gua 5.7 Ssea co absoção de assa. Cosdee-se o ssea osado a fgua 5.7. sua assa, gual a o sae, auea o ealo de epo. elocdade do ssea o sae epesea-se po, a elocdade desse ssea o sae po e a elocdade das paículas absodas po abs. De odo a se possíel aplca-se o pcípo do pulso e da quadade de oeo ao ssea e esudo, dee cosdea-se o sae o ssea cal as as paículas de assa, que são absodas pelo ssea duae o ealo de epo. quadade de oeo o sae é: p 5.6 abs 79

30 Dâca céca de u ssea de paículas 80 equao que o sae é: [ ] p, 5.6 plcado o eoea do pulso ee os saes e, e: [ ], p p d I 5.63 paa aloes de pequeos, e-se: d 5.64 subsudo a equação 5.63 e: p p 5.65 coo, p 5.66 abs p 5.67 subsudo as expessões 5.66 e 5.67 e 5.65 fca: abs abs abs 5.68 Ioduzdo a elocdade elaa das paículas que são absodas: abs 5.69 e despezado o úlo eo da equação 5.68,, que é de seguda ode, e:

31 Capíulo Dddo po e, depos, fazedo ede paa zeo, e-se o le: l 0 d d d d d d a 5.7 Esa expessão osa que o efeo da absoção de assa é equalee à acuação de ua foça gual a d d co sedo coáo ao do oeo. Ou seja, a foça deda à absoção de assa ede a eduz a elocdade do ssea. Ua ez que: < 5.7 abs eão a elocdade elaa das paículas a absoe e sedo coáo à elocdade do ssea. Po sso, a foça adcoal d d coduz à edução da elocdade do ssea. abs 5.0. Sseas aeas co peda de assa s equações obdas o poo aeo pode abé ulza-se paa deea o oeo de u ssea co peda assa. Nese caso, o caudal ássco e a acção, sobe o ssea das paículas que são expeldas são equalees à foça de populsão co sedo do oeo, oposo àquele e que as paículas são expeldas. U foguee epesea u caso ípco de u ssea que pede couaee assa. ss, ese caso e-se, especaee, as segues quadades de oeo os saes e : p 5.73 p 5.74 abs 8

32 Dâca céca de u ssea de paículas 8 subsudo as expessões 5.73 e 5.74 e 5.65 fca: p p abs abs abs 5.75 Cosdeado a defção de elocdade elaa das paículas que são expulsas, e expessão 5.69, e dddo po, fazedo depos ede paa zeo, e-se o le: 0 l d d d d a d d 5.76 expessão 5.76 osa que o efeo da peda de assa é equalee à acuação de ua foça gual a d d co o eso sedo do oeo. Exeplo de aplcação

33 Capíulo 5 83

34 Dâca céca de u ssea de paículas 5. OENTO CINÉTICO DE U SISTE DE PRTÍCULS TERIIS 5.. Defção O oeo céco de u ssea de paículas aeas e qualque poo fxo do espaço é a soa ecoal dos oeos cécos esse poo de odas as paículas ou assas eleeaes do ssea esse sae. Cosdeado o poo fxo defcado po O, e-se: paa sseas dsceos: H O H O, p 5.77 paa sseas coíuos: H O d 5.78 dp P 5.. Teoea da coposção do oeo céco gua 5.8 Coposção do oeo céco. Cosdee-se u efeecal absoluo e elação ao qual se esuda a dâca de u ssea de paículas dsceo, e u efeecal bacêco xyz e aslação e elação ao efeecal absoluo. O eco posção pode se expesso pela segue soa ecoal: 5.79 e que, é o eco posção do ceo de assa e paícula e elação ao efeecal bacêco xyz. Deado o eco posção e ode ao epo: é o eco posção da 84

35 Capíulo 5 85 d d d d d d 5.80 ode, d d é a elocdade do ceo de assa e elação ao efeecal absoluo ewoao. Coo o ssea de paículas é ígdo, é gual à elocdade de qualque dos seus poos se o ssea apeas possuísse oeo de aslação. d d é a elocdade da paícula e elação a u efeecal bacêco. expessão 5.80 caaceza saaeaee o eoea da coposção das elocdades, já efedo a ceáca de sseas de paículas, segudo o qual e qualque sae a elocdade de qualque paícula de u ssea de paículas e oeo é a soa ecoal saâea das suas elocdades ecoas e saâeas de aspoe aduzda po e elaa aduzda po. Reoado a defção do oeo céco: O H 5.8 ele pode se esco, aededo às 5.79 e 5.80, po: O H O H 5.8 O ceo de assa e elação a u efeecal bacêco e coodeadas ulas e é aduzdo po: 3 4

36 Dâca céca de u ssea de paículas logo 0 0, ou seja, o segudo eo da soa é ulo. 3 d d d d d d coo se u, 0, poao abé o eceo eo da soa é ulo. 4 H, ou seja, coespode ao oeo céco e elação ao ceo de assa. Poao, o oeo céco e elação ao poo O pode se obdo a pa do oeo céco e elação ao ceo de assa, pela segue expessão:, H H H H O O 5.83 Esa expessão aduz o eoea da coposção do oeo céco, segudo o qual, e qualque sae o oeo céco de u ssea de paículas u poo fxo qualque O é gual à soa ecoal do oeo céco do ssea e elação ao ceo de assa, H, co o oeo céco e elação ao poo fxo de ua paícula de assa gual à assa oal do ssea, localzada o ceo de assa e oedo-se co ua elocdade gual à elocdade do ceo de assa Teoea do oeo céco Cosdeado o ssea de paículas defdo o poo aeo e a defção do oeo céco, O H 5.84

37 Capíulo 5 deado e ode ao epo e: dh O d d d d dp p d d d d p 5.85 os ecoes d d e p são coleaes, po sso, o seu poduo ecoal é ulo; de acodo co a seguda le de Newo, dp d eão: dh d O 5.86 Esa expessão aduz o eoea do oeo céco, segudo o qual, e qualque sae a deada do oeo céco de u ssea de paículas e elação a qualque poo fxo O é gual à soa ecoal dos oeos, esse poo, de odas as foças exeoes aplcadas ao ssea esse sae, ou seja, é gual ao oeo o poo fxo do oso das foças exeoes aplcadas ao ssea de paículas esse sae Pcípo da coseação do oeo céco Nu ssea solado, so é, se ão houee foças exeoes aplcadas, eão a deada do oeo céco e qualque poo e e qualque sae é ula. Se dh O d Se 0 H cosae O

38 Dâca céca de u ssea de paículas Iso aduz o pcípo da coseação do oeo céco, segudo o qual, u ssea solado ão acuado po foças exeoes o oeo céco do ssea calculado e qualque poo do espaço peaece cosae o epo. esa aabldade epoal do oeo céco e sseas solados podeá esa assocado u alo cosae dfeee de zeo. esas duas hpóeses coespode duas suações dsas de oeo de u ssea de paículas, cofoe se eá a segu. 5. CONDIÇÕES ERIS DE EQUILÍRIO DE U SISTE DE PRTÍCULS Nos sub-capíulos aeoes u-se que se fo ula a esulae das foças exeoes aplcadas a u ssea de paículas, o seu oeo seá al que o ceo de assa esaá e equlíbo. Coo se u, pelo eoea do ceo de assa e-se: Se 0 a 0, eão: a 5.88 o ceo de assa esá e epouso; ou, o ceo de assa e u oeo eclíeo e ufoe. Tal coo fo efedo aeoee, a equação a epesea apeas ua codção ecessáa de equlíbo de u ssea de paículas, pos que do aulaeo das foças exeoes ou da sua esulae apeas fca asseguado o equlíbo do poo fcíco ceo de assa. 88

39 Capíulo 5 89 Noe-se que o ceo de assa,, podeá esa e equlíbo se que o ssea de paículas eseja e equlíbo, pos ele podeá e ada oeo de oação e oo de qualque exo que passa pelo ceo de assa. Po defção de equlíbo, é codção ecessáa e sufcee paa que u ssea de paículas aeas eseja e equlíbo, que odas as paes cosues ou seja, odas as paículas eseja e equlíbo. Poao, a codção ecessáa e sufcee de equlíbo plca que odas as paículas eseja e epouso ou e oeo eclíeo e ufoe. Poao, u ssea esá e equlíbo as segues duas suações: ª Todas as paículas esão e epouso: codção ecessáa de equlíbo: a a 5.90 codção sufcee de equlíbo: O O d dh H 5.9 ª Todas as paículas esão e oeo eclíeo e ufoe: codção ecessáa de equlíbo: a a 5.9 codção sufcee de equlíbo: 0 cosae 0 d dh H O O 5.93

40 Dâca céca de u ssea de paículas E esuo: a 0 epesea a codção ecessáa de equlíbo e sgfca ausêca de aslação do ceo de assa, so é, o ceo de assa esá e equlíbo. dh O 0 d epesea a codção sufcee de equlíbo e sgfca ausêca de oação do ssea de paículas aeas e oo de qualque poo O. 5.3 ENERI CINÉTIC DE U SISTE DE PRTÍCULS eega céca T de u ssea de paículas defe-se coo a soa das eegas cécas das áas paículas do ssea: T 5.94 gua 5.9 Eega céca de u ssea de paículas. Paa o cálculo da eega céca de u ssea copeededo u aso úeo de paículas coo é o caso de u copo ígdo oa-se, uas ezes, coeee cosdea o oeo do ceo de assa,, do ssea sepaadaee do oeo elao ao ssea de efeêca bacêco lgado a. Cofoe se u a secção 5.., a elocdade da paícula P elaaee a u efeecal ewoao Oxyz, pode se obdo pela soa ecoal da elocdade de aslação do ceo de assa do ssea e da elocdade elaaee ao efeecal bacêco xyz: ededo a que 90, eão: 5.95

41 Capíulo 5 9 T T T 5.96 Coo, 5.97 as, 5.98 e que é a elocdade de elaaee ao efeecal bacêco xyz, que é ula a elocdade elaa de e elação ao efeecal que se oe co elocdade é ula. Logo, eão a eega céca, defda a expessão 5.96, e: T T 5.00 Esa equação osa que a eega céca T de u ssea de paículas pode obe-se adcoado a eega céca do ceo de assa supodo que oda a assa esá coceada e co a eega céca do ssea duae o seu oeo e elação ao efeecal bacêco xyz.

42 Dâca céca de u ssea de paículas Eega céca de u ssea de paículas coíuo equação 5.00 aduz a eega céca de u ssea de paículas. No eao, paa sseas coíuos, a eega céca é aduzda po ua expessão aleaa que esula da epeação da elocdade elaa. Taado-se de u ssea e que as paículas esão gdaee lgadas ee s, a elocdade elaa da paícula P pode se obda pelo segue poduo ecoal: gua 5.0 Eega céca de u ssea coíuo. d d ω 5.0 e que é o eco posção e elação ao efeecal bacêco, co gadeza cosae, poque o ssea é ígdo. Logo, aededo à equalêca ee os opeadoes aeáco d d e ecâco ω, quado aplcados a u eco aáel o epo as de gadeza cosae, a gualdade defda e 5.0 é álda. Desa foa, a eega céca do ssea pode se obda cosdeado a seguda pacela da soa defda a expessão 5.00 coo sedo a eega céca deda ao oeo e elação ao efeecal bacêco, defda po: ω ω u u ω ω u u ω d ω 5.0 d u u

43 Capíulo 5 coo o oeo de éca de assa e elação ao exo bacêco é dado po: I d 5.03 subsudo a expessão 5.0 e: I ω 5.04 Poao, a eega céca de u ssea de paículas gdaee lgadas ee s pode se defda coo: e que, T I ω 5.05 I ω coespode à eega céca de aslação do ssea de paículas, so é, defca-se co a eega céca do seu ceo de assa. coespode à eega céca de oação do ssea de paículas e elação a u exo bacêco elaaee ao qual o ssea oda saaeaee co elocdade agula ω. 5.4 TEORE DS ORÇS VIVS OU TEORE D VRIÇÃO D ENERI CINÉTIC DE U SISTE DE PRTÍCULS No capíulo 4, dâca das paículas, u-se que, de acodo co o eoea das foças as, o abalho ealzado pela foça, aplcada à assa, paa desloca do poo paa o poo, é gual à aação da eega céca da paícula: W d T T

44 Dâca céca de u ssea de paículas Nu ssea de paículas aeas, ese pcípo pode aplca-se a cada paícula P do ssea, e que W epesea o abalho ealzado pelas foças eas f j e pela esulae das foças exeas que acua sobe P. dcoado as eegas cécas das áas paículas do ssea e cosdeado o abalho de odas as foças eoldas, pode aplca-se a equação 5.06 a odo o ssea: W W d T T ssea W W T T T T ex.. W ex W T T e que, ex. W abalho ealzado pelas foças exeoes; W abalho ealzado pelas foças eoes. Na ecâca dos copos ígdos sóldos defoáes, as paículas ão se desloca ee s, logo as foças eoes, f j e f j, ão ealza abalho, poao, o abalho ealzado pelas foças eoes, W, é ulo: Exeplo de aplcação Copos defoáes: W ex T T

45 Capíulo 5 95

46 Dâca céca de u ssea de paículas 5.5 OVIENTO DE ROTÇÃO DE U CORPO RÍIDO E TORNO DE U EIXO IXO Quado u copo ígdo é obgado a oda e oo de u poo fxo O, é pefeíel escee ua equação que eola os oeos, e elação a O, das foças aplcadas, ua ez que esa equação ão coeá a eacção descohecda exsee e O. Recode-se que, de acodo co o eoea do oeo céco e 5..3, o oeo o poo fxo O do oso das foças exeoes aplcadas ao ssea u dado sae é gual à deada epoal do oeo céco: dh O d O 5.09 ode O é o oeo axal o poo O dedo ao oso esulae das foças exeoes aplcadas. Nese sub-capíulo seão defdas as equações de equlíbo de u copo ígdo co oeo de oação e oo de u exo fxo, edo e coa o coceo de oeo axal de u oso e a deeação da sua eega céca oeo de oação e oo de u exo fxo qualque Cosdee-se u copo defoáel efecuado u oeo de oação e oo de u exo que passa pelo poo O. gua 5. Roação e oo de u exo qualque. Sedo o exo de oação, eão qualque poo que se ecoe sobe esse exo eá elocdade ula: O 0 ; O 5.0 elocdade e qualque poo do copo foa do exo de oação pode se obda e fução da elocdade agula dada po: 96

47 Capíulo 5 97 O P ; ω 5. O oeo céco, O H, e elação ao poo fxo O seá: O O H H, u H O ω ω ω O u H ω 5. Pojecado o eco oeo céco O H a decção do exo de oação e: u u u H H O ω C C u u H ω u H ω 5.3 coo, d u u se se 5.4 e que d é a dsâca da paícula P ao exo. gua 5. Dsâca da paícula P ao exo. eão, d u 5.5 logo, subsudo e 5.3 e: d H ω 5.6 edo e coa que o oeo de éca de assa e elação ao exo é: C

48 Dâca céca de u ssea de paículas I d 5.7 eão a copoee do oeo céco e elação ao poo O segudo o exo é dada po: H ω I 5.8 De acodo co o eoea do oeo céco, o oeo axal do oso e oo do exo é gual à deada epoal do oeo céco e elação a : dh d d d dω d d θ d ω I I I I 5.9 Esa é a equação goeaa do oeo de oação du copo ígdo e oo de u exo qualque, que aduz o pcípo fudaeal da dâca escala da oação de u copo ígdo. O coespodee pcípo fudaeal da dâca e eos ecoas da oação de u copo ígdo é: u I d θ u d I u I 5.0 Exse ua aaloga ee o pcípo fudaeal da dâca ecoal de oação de u ssea de paículas e o pcípo fudaeal da dâca ecoal de aslação, o qual é expesso, coo se sabe, pela seguda le de Newo aaés de: d a 5. d Daqu se cosaa que I é ua edda da éca de oação. Se o oeo de oação se de e oo de u exo qualque ão bacêco, eão a elocdade do ceo de assa seá: ω 5. 98

49 Capíulo 5 99 e ua aceleação dada po: d d d d d d a ω ω a ω 5.3 Iso sgfca que o ceo de assa esá e oeo aceleado. E, de acodo, co o eoea do ceo de assa, a equação de equlíbo dâco de aslação é dada po: a 5.4 sedo a a aceleação assocada ao ceo de assa, que é obda pela expessão 5.3. ss, as equações de equlíbo dâco de u copo ígdo e oeo de oação e oo de u exo qualque ão bacêco são: - equlíbo de aslação: a - equlíbo de oação: I 5.5. oeo de oação e oo de u exo bacêco Ulzado u acocío dêco ao aeo e cosdeado que o exo de oação passa pelo ceo de assa,, ecoa-se-a sucessaee: I H ω 5.5 I d d I d dh θ 5.6 Nese caso, a elocdade do ceo de assa é ula poque o exo de oação é bacêco e, po cosequêca, a aceleação do ceo de assa é ula: 0 a ω 5.7 coleaes, logo 0 0

50 Dâca céca de u ssea de paículas Logo, a esulae das foças exeoes é ula poque: a Todaa, exse u báo esulae expesso po: d θ I I 5.9 d ss, as equações de equlíbo dâco de u copo ígdo e oeo de oação e oo de u exo qualque bacêco são: - equlíbo de aslação: 0 - equlíbo de oação: I Eega céca do oeo de oação Cofoe se u e 5.3, a eega céca de u ssea de paículas, ou e pacula de u copo ígdo, é decoposa a soa da pacela do oeo de aslação do seu ceo de assa e da pacela do oeo das esaes paículas elaaee ao ceo de assa: T I ω 5.30 Esa expessão edeca que a dâca global do ssea é aalsada de odo equalee pela dâca de u ssea co caaceíscas bacêcas, I. Poao, eso que o ssea eha u oeo global ão bacêco, a sua eega céca é calculada coo a soa das duas efedas pacelas expessas e caaceíscas bacêcas. as, se o copo e ua oação ão bacêca e oo de u exo, a elocdade do seu ceo de assa seá expesso po: 00 gua 5.3 Roação ão bacêca.

51 Capíulo 5 ω 5.3 e que ω é o eco oação saâeo do copo e oo do exo e é o eco posção saâeo do ceo de assa elaaee a qualque poo O localzado o exo de oação. ss, ω ω ω u u ω d 5.3 e que d é a dsâca do baceo ao exo ou, aleaaee, a dsâca dos exos paalelos e. Poao, aededo às expessões 5.30 e 5.3, paa qualque oeo geal de oação ão bacêca, a eega céca é dada po: T ω d I ω T 5.33 d I ω Pelo Teoea de See, sabe-se que o oeo de éca de assa I e elação ao exo de oação é obdo a pa do oeo de éca de assa I e elação ao exo bacêco, paalelo ao exo, pela segue elação: I I 5.34 d subsudo a expessão 5.33 e: T I ω 5.35 po: Poao, paa oações ão bacêcas, a eega céca do copo é dada T I ω I ω

52 Dâca céca de u ssea de paículas 5.6 EXTENSÃO DO PRINCÍPIO DE DLEERT O OVIENTO DE U CORPO RÍIDO No esudo da dâca da paícula, so o capíulo aeo, efcou-se que o Pcípo de Dlebe ecoa a ua foça fcíca desgada de foça de éca paa esabelece o equlíbo dâco da paícula e oeo coo se aasse de u equlíbo esáco: k k éca 0 ; éca a 5.37 U ssea de paículas aeas e, gealee, paa alé de oeos de aslação, oeos de oação. Dese odo, exse, coo se u, u pcípo fudaeal da dâca paa a aslação do copo e u pcípo fudaeal da dâca paa a oação do copo. De gual odo, exsá o pcípo de Dlebe paa foula o equlíbo dâco saâeo assocado à aslação e o pcípo de Dlebe paa foula o equlíbo dâco saâeo assocado à oação: Pcípo de Dlebe esão aslação a a ; a éca 0 éca 5.38 Pcípo de Dlebe esão oação I ; I 5.39 éca 0 éca ss, segudo ese pcípo, e qualque sae é ulo o oeo das foças sobe u copo e oeo, calculado e qualque poo P do espaço, quado essa soa de oeos esá cluído o oeo das foças de éca. 0

53 Capíulo CONSIDERÇÕES INIS SORE O TEORE DO IPULSO Vu-se aeoee que o eoea do pulso pode se caacezado de duas foas dfeees: ª foa O pulso execdo pelas foças aplcadas a u ssea de paículas duae u ealo de epo [, ] é gual à dfeeça ee as quadades de oeo os saes e : I 5.40 [, ] d p p ª foa Quado u ssea se ecoa sob a acção de foças duae u ceo ealo de epo [, ], a quadade de oeo fal, p, do ssea pode obe-se pela soa ecoal da sua quadade de oeo cal, p, co o pulso execdo pelas foças aplcadas duae o ealo de epo cosdeado. p p d 5.4 Ua ecea foa coespode a ua exesão da seguda, aplcáel a sseas de paículas e que pee caaceza saaeaee as caaceíscas do oeo de oação do ssea de paículas: p [ p ] p d p 5.4 e que p [...] epesea o oeo das foças dcadas ee paêess eco e elação à oge do ssea de exos de efeêca. Coo o oeo da quadade de oeo coespode ao oeo H p, eão: céco, [ ] P p H 5.43 I p H p p, que aduz o pcípo da coseação da quadade de oeo esão oação. [ ] 03

54 Dâca céca de u ssea de paículas expessão aeo podea abé se defda aaés da cosdeação da defção de oeo x x : P se p p d 5.44 eão p p d p 5.45 p I, [ ] Esa expessão é equalee à expessão gua 5.4 Roação e oo do poo P. Habualee, o poo P é escolhdo de odo a aula os oeos das foças pulsas sobe o ssea de paículas fequeeee descohecdos. 04