Matemática Discreta 09/10 Folha 1

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1 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Lógi. Ds sgints irmçõs, iniq s q são proposiçõs iniq o s lor lógio: () +. () + <. () A primir ição o Mmoril o Connto tm 00 págins. () Rúl Solno oi m grn tor. () Toos os númros ímprs são iisíis por. () Existm mis nts is o q prts.. Ng s proposiçõs nontrs no xríio ntrior.. Conirm, por mio tls r, s sgints propris: () = =. () ( ) = ( ) ( ) = ( ). () = 0 = 0. () 0 = =. () ( ) =. () ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ). (g) ( ) = ( ) =. (h) = 0 =.. Tr s oprçõs lógis, à st ngção, onjnção isjnção.. Vriiq li s igls: () ( ) = ( ). () [ ( )] = ( ). () ( ) = [( ) ( )]. () ( ) = [ ( )].. Vriiq s s sgints órmls são ttologis: () ( ). () ( ). () ( ). (). 7. Vriiq s s sgints órmls são ontriçõs: () ( ) ( ). () [( ) ( )]. () ( ). () ( ).

2 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Lógi 8. Vriiq s s sgints órmls proposiionis são logimnt qilnts: () ( p q) (p q) p q. () (p q) q p q. 9. Simpliiq s xprssõs: () [ ( )] ( ). () ( ) [ ( )]. () [ ( )]. () [( ) ( )]. () ( ) ( ). () [( ) ( )] ( ). 0. Atrés os lors r os, o lor lógio tos s proposiçõs nolno s sgints proposiçõs omposts: () ( ), on ( ) = 0. () ( ) ( ), on ( ) =. () [( ) ( )] = 0.. Sno q p = Está rio, q = N r = Uso ls, tr m linggm rl os sgints rgmntos riiq s li: () p q q p () p q q p q p () p q r q r p () p q p q p q () p q r q p r () p q p r r q. Vriiq s é orrto o sgint rioínio: Nm romn poliil q nol o roo m olr m ssssínio, s-s q o Jk po sr o ssssino o o tti ms não ms s oiss s o Jk não é o ssssino ntão é o lrão o olr. S-s in q o Jk não po sr, simltnmnt, o lrão o tti. Logo o Jk é o ssssino.. Consir os símolos proposiionis p, q, t órml A = [(p ( q t)) q] (p t). () Constr tl r A. () Vriiq s s órmls (p ( q t)) q p t são qilnts. () Vriiq s stá orrt rgmntção: s p ( q t) q ntão p t.

3 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Conjntos. Dig qis s sgints proposiçõs são rirs: () {{,},{,}} = {,,,}. () {,} {{,}}. () {,} {{,}}. () {} {,{}}. (g) { }. (i) {,,,,} = {,,}. (k) {,} {,,{,}}. () {} {,{}}. () = { }. (h) { }. (j) {,} {,,{,}}. (l) {,,{}} {,,{,}}.. Sj X = {,,,{},{},{,}}. Complt s sgints xprssõs moo torná-ls m proposiçõs rirs: () P({,}) X. () {} X. () {{},{}} X. () X.. Consir os onjntos A = {x R : x+9 < 0}, B = {x R : x+9 0}, C = {x R : x 7 = } D = {x R : x < }. Dtrmin: () A C. () B D A B. () D\C. () C D. () (B D ) C. () (A C)\D. 7. Sjm A,B,C D onjntos. Mostr q: () A B = B A A B = B A. () (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C). () A A B A B A. () S A B, A C D C ntão A B C A D C. () A B (A B = B) A B (A B = A). () O onjnto io é únio. (g) A = A A =. (h) U A = U U A = A. (i) A A = A A A = A. (j) A (B C) = (A B) (A C). (k) A (B C) = (A B) (A C). (l) S A B ntão A C B C A C B C. (m) S A B C D, ntão A C B D A C B D.

4 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Conjntos 8. Consir sgint olção onjntos: T i = {,,i}, pr i N. () Mostr q T i T j i j, i,j N. () Dtrmin T T 7 T 00 T T 7 T 00. () Dtrmin T i T i. i N i N 9. Sjm A,B C onjntos. Mostr q: () A B ss A\B =. () S A B ntão B A. () A\(B C) = (A\B) (A\C). () A\(B C) = (A\B) (A\C). () A (B\C) = (A B)\C. () A (B\C) = (A B)\(A C). 0. Qntos lmntos tm P({,, })?. Dtrmin P({}),P( ),P({ }) P(P( )).. Pro q, pr qisqr onjntos A B, s tm: () A B P(A) P(B). () P(A) P(B) = P(A B). () P(A) P(B) P(A B). Dê m ontr-xmplo pr inlsão ontrári.. Consir xprssão p(x) : x > 0. Dtrmin o onjnto r p(x) o p(x).. Sj H o onjnto toos os homns. Tr por mio xprssõs qntiis o m linggm orrnt s sgints proposiçõs: () Toos os homns são portgss. () x H : x oi à L. () Exist plo mnos m portgês. () Nnhm homm é portgês. () x H,x oi à L. () ( x H : x oi à L).. Ng s proposiçõs: () x R : x + 0. () x R, x + < 0. () x N, x é m númro primo. () x N : x é múltiplo. () x N, y N : x y y >. () x N, y N : x+y = x xy = 0. (g) x R, y R, x > y 7. (h) x N : y N, x > y.. Sno H o onjnto toos os homns M o onjnto tos s mlhrs tr, m linggm orrnt, s sgints proposiçõs: () x H, y M : x é pi y. () x H : y M, x é pi y. () x H, y M : x é pi y. () x H, y M, x é pi y. () x H : y M, x não é pi y. () x H, y M : x não é pi y.

5 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Rlçõs 7. Consir os onjntos A = {,,},B = {,,,} C={pão, qijo}. () Dtrmin A B, B A, A C C. () S possíl, ê xmplo m rlção ns sgints oniçõs iniq s mtri: i. R A pr B om qtro lmntos. ii. S B pr A q om qtro lmntos. iii. T A pr C om ino lmntos. i. U m C q sj rlxi não simétri. Qnts há? 8. Vriiq s s sgints rlçõs sor númros intiros são rlxis, simétris /o trnsitis. () (x,y) R x y. () (x,y) R x y =. () (x,y) R x y(mo7). () (x,y) R x = y. () (x,y) R xy > 0. () (x,y) R x y são primos ntr si. 9. Ql é mnor rlção qilêni sor A = {,,,,} q ontém os prs (,),(,) (, )? Iniq tos s lsss qilêni. 0. Mostr q {((,),(,)) N N : = } é m rlção qilêni m N sr s lsss qilêni os lmntos (,),(,),(,),.. Vriiq s os sgints onjntos são prilmnt ornos (po) /o totlmnt ornos (to) /o m ornos: () (N, ). () (R, ). () (Z, ). () (P(X), ).. Consir o onjnto A = {n N : n é iisor 7} om rlção R =. () Mostr q (A,R) é po. () S possíl, iniq m sonjnto A A tl q (A,R) sj to.. Rpit o xríio ntrior pr o onjnto A = {{},{,},{,},{,,},{,,,}, {,,,8}} rlção R =.. Consir m R om rlção inári ini por: (,) (x,y) < x ( = x y). () Mostr q (R, ) é m to. () Cso xistm, trmin o mínimo máximo : i. F = {(0,),(,0),(0, ),(, )}. ii. Q = [,[ [,]. iii. P = {(x,y) R : y = x }. i. S =],] {}.

6 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Rlçõs. Consir o onjnto A = {,,,,,} m plição : A A ini por { x+, x (x) =, x = () Dtrmin (),(), () (). () Vriiq s é injti /o sorjti? () Cso xist, trmin.. Rpit o xríio ntrior pr plição : A A ini por (x) = m(x,). 7. Mostr q,g : Z R inis por (x) = ln(x) g(x) =, sno m iisor x, não são pliçõs. 8. D trint ino nitos m g progrmor, int ino sm FORTRAN, int oito sm Psl ois não sm nnhm ls. Qntos sm s s linggns? 9. Um totl sssnt lints potniis oi m loj qipmnto inormátio. Dls inqnt ois irm omprs: int omprrm ppl; trint sis omprrm CDs; qin omprrm tintiros imprssor; sis omprrm simltnmnt ppl CDs; no omprrm simltnmnt CDs tintiros; ino omprrm simltnmnt ppl tintiros. Qntos omprrm os três rtigos? 0. Um nor pri tm ino qlis irnts sníhs (imr, qijo, prsnto, rn ss mists) três qlis irnts is (smo lrnj, rj ág). Qntos mns irnts po l orr, ompostos m i m sníh?. É possíl ir Brg o Porto omoio o torro. Do Porto pr Liso po-s ir omoio, torro o ião Liso pr o Fnhl po-s ir ião o ro. Qntos itinrários istintos s pom solhr pr ir Brg o Fnhl pssno por Liso?. Sjm A B onjntos initos. Mostr q os sgints onjntos tmém são initos: () X A. () A B. () A B. () { : é plição A m B}.. Vriiq s: () {,,,,π} {,,,}. () {,,,,π} {,,,,}. () {,,000000} N. () N {π} N. () Z {π,} N. () Q {π,, } N. (g) R {π} R. (h) R {π} N.

7 Mtmáti Disrt 09/0 Folh 7 Engnhri Inormáti Inção. Mostr q: () n! n n, n. () n (n+)!, n 0. () n (n!) < (n)!, n. () n é múltiplo 8, n. () n > n, n. ( ) n () n <, n. (g) (+x) n +nx, n, x R +. (h) n +n é m númro pr, n. (i) n = n+, n. (j) n = n(n+)(n+), n. (k) + + +n (n+) = n(n+)(n+), n. (l) 0 (n ) = (n)!, n. n!. Enontr m xprssão q prmit llr som os primiros n númros ímprs.. Um sssão (x n ) n N i-s m progrssão ritméti qno x n+ x n = r, n N. A onstnt r i-s rão progrssão ritméti. Sno (x n ) n N m progrssão ritméti, mostr q: () O trmo grl progrssão é x n = x +(n ) r, n N. n () A som os primiros n trmos progrssão é x i = x +x n n, n N. 7. Um sssão (x n ) n N i-s m progrssão gométri qno x n+ /x n = r, n N. A onstnt r i-s rão progrssão gométri. Sno (x n ) n N m progrssão gométri, mostr q: i= () O trmo grl progrssão é x n = x r n, n N. () Qno r, som os primiros n trmos progrssão é 8. Utili o Prinípio Inção Fort pr mostrr q n r n x i = x, n N. r i= n N\{}, i,j N 0 : n = i+j. 9. Consir séri Fioni ini rrsimnt por = = n = n + n pr n. () Dtrmin α β, pr α = + () Mostr q n = αn β n, n. β =. () Mostr q n < ( ) 7 n, n.

8 Mtmáti Disrt 09/0 Folh 8 Engnhri Inormáti Diisiili 0. Conrt os sgints númros pr o sistm iml: (). () 0. () 0. () 7. () A9B () 0F.. Rprsnt 97 nos sistms s,, 8.. Conrt: () pr otl. () pr inário. () pr hximl. () ACA 0 pr inário.. Conrt: () pr o sistm s. () 00 pr o sistm s 9. () pr sistm s. () ABC pr o sistm s.. Dtrmin s o sistm nmrção tl q: () 9 =. (), stão m progrssão ritméti. () 0 7 = 80. (), 0 0 stão m progrssão gométri.. No sistm iml q númros s srm om: () três lgrismos no sistm s 9 ois lgrismos no sistm s. () três lgrismos no sistm s qtro lgrismos no sistm s 7.. Pr q lor x s rii igl x0 = 0xx? 7. Dtrmin os númros x no sistm iml q s srm om ois lgrismos tnto no sistm s omo no s 7 q pomos pssr m sistm pr o otro inrtno orm os lgrismos. 8. Dtrmin ois númros no sistm iml q irm 0 nis no sistm s j som é no sistm s Rsol os sgints sistms qçõs linrs: { { () x+y = x+y = 8 () x y = y x = 0. Dtrmin: () 9AB ±BA. () 9AB ±BA. () 9AB ±BA. () 000 ±00. () 000 ±00. () 00 ±. (g) (h) A B. (i) E. (j) 7 7. (k) ACB. (l). (m) 0000 /0. (n) 0000 /0. (o) 7A /B. (p) CCAB /. (q) 7 / 7. (r) AA99 /.

9 Mtmáti Disrt 09/0 Folh 9 Engnhri Inormáti Diisiili. Dtrmin toos os iisors 0,,.. Vriiq s 8808 é iisíl por,, 8, /o.. Vriiq s 7 é iisíl por,, /o.. Vriiq s os sgints númros são iisíis por /o 9: () 78. () (). () Vriiq s os sgints númros são iisíis por : () 708. () 800. () () 98.. Sj = r n r r 0. Mostr q s só s (r +r 0 ). 7. Dtrmin x y tl q: () 7xxxx é iisíl por, 9. () xx é iisíl por. () xy é iisíl por ms não por. () xy é iisíl por 7. () 0x8 é iisíl por 7. () xy é iisíl por Pr o sistm s 8, stlç ritérios iisiili por,,,, Dtrmin x y tl q: () xy 8 é múltiplo () xy 8 é múltiplo Sno x y intiros, mostr q s (x+y) ntão (x y). 7. Dtrmin: () O númro iisors 9. () O númro orm 0 k om 8 iisors. 7. Esr m(x,y) omo ominção linr x y pr: () x = y = 98. () x = 8 y = 8. () x = y =. 7. Pl omposição m tors primos: () Vriiq s 0 é iisíl por 80 s 0 é iisíl por 9. () Cll m(0, 0) mm(0, 0). () Dtrmin o mnor númro x pr q 0 x sj iisíl por Dtrmin toos os númros intiros x y om x y tis q: () x y = 080 mm(x,y) = 80. () x+y = 0 m(x,y) =. () x são primos ntr si mm(x,y) = Dtrmin o mior númro plo ql s iiir 7, 9 pr q os rstos sjm 7, 8, rsptimnt.

10 Mtmáti Disrt 09/0 Folh 0 Engnhri Inormáti Diisiili 7. Enontr m solção prtilr sr solção grl pr s sgints qçõs Diontins q mitm solçõs intirs: () x+98y = 8. () 8x+8y = 0. () x+y =. () 7x+y =. () x+9y =. () 88x+y =. 77. Prtn-s nir m rt por orrio q rá tr o lor slo igl 8 êntimos. Só há slos êntimos. Qntos slos tipo mos sr moo otr o lor xto 8 êntimos? Exist mis o q m solção? Qnts? 78. Um sol i snsiilir os lnos pr om mpnh-s nm mpnh q irá orr lit olhs às mílis mis nssits. O João irig-s m loj on m litro lit st êntimos m pot olhs st ro 0 êntimos. Com 0 ros, q qnti lit olhs é q o João po orr? 79. Vriiq s: () 8 (mo). () (mo9). () (mo8). (g) (mo). () (mo0). () 7 (mo7). () 8 0(mo). (h) (mo). 80. Dtrmin os lors m pr os qis s tm: () (mom). () 8 (mom). () (mom). 8. Dtrmin o lgrismo s nis : () () () +. () 7. () 08. () 7. (g) (g) Cll o rsto iisão intir : () 080+ por 8. () ++78 por. () por 7. () por. () por. () por Vriiq s + é: () Diisíl por 7. () Múltiplo.

11 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Diisiili 8. Com o s n o B.I: () Vriiq s o lgrismo ontrolo stá orrto (é m ro)? () Dê xmplos rros q não sjm ttos plo lgrismo ontrolo. 8. Rpit o xríio ntrior om o s NIF. 8. Complt o óigo: () ISBN 0 8 o liro Homology Snrs M Ln. () rrs m grr l ág o Lso. () M 8008 m not ros. 87. A Crl tilio m proto p mólo 0 pr oiir lgrismo o PIN o s rtão mltino sr-o n prt trás o rtão: 8. El não s lmr ql o tor p tilio, ms tm tnttis n ix mltino nts ir sm o rtão. Qis são os óigos q l tntr? 88. O propritário m loj rop éé/rinç stá ponrr possiili orr sontos igis à is os lints. Ms nts, gostri r m stimti os lros. Dst moo, rio m sqêni ltóri is rinçs té os 0 nos, possíis lints, om o métoo s ongrênis (mólo m) linrs om tor mltiplitio = 7, inrmnto i = spono q o primiro lint tm 8 nos. () Q lor m sr tilio? () Dtrmin sqêni is os primiros lints. () Ql oi o sonto orio o 8 o lint? () Q lint ot mior sonto? () Qnts rinçs om o mnos nos orm ris? () Qntos lints rm % sonto? 89. Dsoiiq s sgints mnsgns q orm oiis trés m trnsorm: () BNCFR DVHNR GHNAR BGNTR A. () UURJT EIDUZ AQQHP ENJIJ GJVJH UQ. () DFDAO SEJNO ODASJ ZSXQU OD. () HMNLX MIHLJ OCGBH MZCRX LSFMH ISVXE HTHFS O. 90. Dsoiiq s sgints mnsgns q orm oiis trés ir im = x + (mo ): () AFRCI FBGIU IFBGM AIUFS RFDAF OUCZT IUIEB FBJCE FB, om = = 8. () BIJCO HBIXM DHSIA FIVDH QOSCX MJIAO PCIMS OQADH, om = 7 =. 9. Utilio-s m ir im = x+(mo) pr oiir m mnsgm. Sno q ltr N é oii n ltr H q ltr V é oii n ltr B, ot-s: OJPOO NUVPL CNOGO EDLDL NIODE LSPNV NALR! Dsoiiq st mnsgm.

12 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Gros 9. Rprsnt m gro não orinto G = (V,E) pr: () V = {,,,} E = {{,},{,},{,}}. () V = {,,,} E =. () V = {,,,,,} E = {{,},{,},{,},{,},{,},{,}}. () V = {,,,,,,7,8} E = {{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,7},{7,8},{8,}}. 9. Rprsnt m gro orinto G = (V, R) pr: () V = {,,,} R = {(,),(,),(,)}. () V = {,,,} R =. () V = {,,,,,} E = {(,),(,),(,),(,),(,),(,)}. () V = {,,,,,,7,8} R = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,7),(7,8),(8,)}. 9. Pr os sgints gros não orintos A B D C 7 8 iniq os q: () têm rsts múltipls () têm lts () são simpls () são rglrs () são ompltos () são onxos. 9. Pr os sgints gros orintos A B iniq os q: D C 7 8 () têm ros múltiplos () têm lts () são simpls () são pso-simétrios () são onxos () são ortmnt onxos. 9. Dtrmin mtri jêni toos os gros não orintos simpls os xríios ntriors. Iniq m rtrísti sss mtris. Pr érti, ompr o númro rsts q prtm/hgm om o númro s n linh/oln. 97. Dtrmin mtri jêni toos os gros orintos simpls os xríios ntriors. Pr érti, ompr o númro ros q prtm/hgm om o númro s n linh/oln.

13 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Gros 98. Dsnh m gro om mtri jêni igl : 0 () () (i) () () (j) () (g) (k) () (h) (l) Pr os sgints gros não orintos p q 7 s r 8 9 trmin os grs os értis. Ql é rlção ntr som os grs os értis o númro rsts? 00. Pr os sgints gros orintos p q 7 s r 8 9 trmin os grs ntr sí os érti. Ql é rlção ntr som os grs ntr/sí o númro rsts? 0. Dsnh m gro não orinto: () om értis sqêni grs,,,. Existm gros simpls nsts oniçõs? () simpls onxo om 8 értis sqêni grs,,,,,,,. 0. Dsnh m gro orinto: () om értis {,,} tl q gr () = gr () =, gr + () = gr () = gr + () = gr + () = 0. () om értis tl q ois értis têm o gr sí ntr igl. 0. Mostr q não xistm gros não orintos rglrs om 7 értis gr. 0. Mostr q não xistm gros orintos pso-simétrios om m érti om gr ntr om ros.

14 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Gros 0. Em lín ois gros são igis. Intiiq-os. () () () x 0. Vriiq s os sgints gros não orintos são isomoros: () () () () 07. Dsnh toos os gros não orintos simpls não isomoros om,, értis (há,, ). 08. Dos sgints gros orintos, ois são igis, m é isomoro sss m não é isomoro. Intiiqos. 09. Dsnh toos os gros orintos simpls não isomoros om értis (há ). 0. Rltimnt os gros os xríios 9 9, trmin s omponnts onxs /o ortmnt onxs.. Utili mtri jêni os gros o xríio 98 pr riiq s são onxos /o ortmnt onxos.. S possíl, ê m sntio rst os sgints gros não orintos onxos moo torná-los m gros orintos ortmnt onxos:

15 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Gros. Vriiq s os sgint gros mitm iritos/minhos Hmilton: g g g g g g g g. Utili mtri jêni o sgint gro não orinto pr: () trminr toos os iritos omprimnto toos os iritos omprimnto. () inir qntos minhos omprimnto xistm pr. () riir s xist lgm irito Hmilton.. Rpit o xríio ntrior pr o gro orinto. Vriiq s os sgint gros mitm iritos/minhos Elr trmin-os tilino o lgoritmo Flry m so irmtio: h g 8 7

16 Mtmáti Disrt 09/0 Folh Engnhri Inormáti Gros 7. Dtrmin o mnor númro trços ontínos nssários pr snhr s sgints igrs sm rptir linhs xmpliiq: () () () () 8. Rsol o prolm o rtiro hinês pr os sgints gros: () 7 () Rsol o prolm o rotting rm pr. 0. Rsol o prolm o ixiro ijnt on s istânis ntr is são: A B C D E F A B C D E A - 7 A - 7 B B - () () C 7 - C - D 0-7 D 7 - E E - F 8 -. Qtro qips tol A,B,C, D rontrm-s n s grpos pr m tornio om os sgints rsltos A : s B :, A : s C : 0, A : 0 s D :, B : s C : 0, B : s D :, C : s D :. () Dsnh o gro o tornio. () Estlç s possíis lssiiçõs st grpo. () Dtrmin lssiição inl om s no númro itóris. Em so hr mpt o númro itóris, os ritérios smpt são o onronto irto rlção ntr golos mros sorios (por st orm).. Rpit o xríio ntrior pr ino qips tol A,B,C,D, E om os sgints rsltos A : s B :, A : s C :, A : 0 s D :, A : s E :, B : s C : 0, B : s D :, B : 0 s E :, C : 0 s D :, C : 0 s E :, D : s E :.

17 Mtmáti Disrt 09/0 Folh 7 Engnhri Inormáti Gros. Dtrmin o minho mis rto ntr A D pr os sgints gros om psos: () A F C E B 8 D 0 () B 7 A D E G C F H 7. Dtrmin o minho mis rto A pr G pr os sgints gros om psos inios pls mtris jêni: () () Rprsnt os sgints gros orm plnr: () () () (). Dtrmin os grs s s s rprsntçõs plnrs otis no xríio ntrior. Ql é rlção ntr som os grs s s o númro rsts? Conirm órml Elr. 7. Dsnh m gro simpls plnr om: () qtro s gr. () sis s gr. () s s gr. () sis értis gr. () oito értis gr. () o értis gr. 8. Mostr q os sgints gros não são plnrs: () () 9. Rprsnt orm plnr o l os sgints gros plnrs: () () ()

18 Mtmáti Disrt 09/0 Folh 8 Engnhri Inormáti Gros 0. Vriiq s são isomoros os gros is os sgints gros plnrs isomoros: = =. Dtrmin o númro romátio k os sgints gros ê m xmplo m k-olorção: () O gro ílio C (gnrli pr C n, n pr). () O gro ílio C (gnrli pr C n, n ímpr). () O gro iprtio K, (gnrli pr K i,j, i,j N). () O gro omplto K (gnrli pr K n, n N).. Dtrmin irtmnt o polinómio romátio os sgints gros: () () () () () () (g) (h). Utili liminção ontrção rsts pr trminr o númro romátio k m k-olorção os sgints gros: () () () (). Consir os sgints mps: () Rprsnt os gros is. () Dtrmin o polinómio romátio os gros is otios n lín ntrior. () Dtrmin o númro romátio k ê m xmplo m k-olorção os gros is otios n lín ntrior. () Otnh m olorção os mps moo q rgiõs rontirs tnhm ors istints.