11 Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica

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1 1 11 Análise Diensional e Seelhança Dinâica 11.1 Análise Diensional A Análise Diensional é u étodo de redução do núero e da colexidade das variáveis físicas envolvidas nu deterinado fenóeno físico. O rincíio da Análise Diensional é o Princíio da Hoogeneidade Diensional (PHD) que te o seguinte enunciado: Todos os teros aditivos de ua equação física deve ter as esas diensões físicas. A diensão física de ua grandeza física A reresenta se or [A] ou seja A entre arêntesis retos. As diensões fundaentais usadas e terohidrodinâica (conjunção da terodinâica e da ecânica de fluidos) são: assa (), Coriento (L), Teo (T), e teeratura absoluta () ou seja: LT, a que corresonde resectivaente as unidades (etro), s (segundo), kg (kilograa) e K (kelvin) no Sistea Internacional de Unidades (SI). Por exelo a diensão física de ressão é: [] =[Força/área]=[assa][aceleração]/[área]=LT 2 /L 2 =L 1 T 2. E alternativa à assa ode usar se coo grandeza fundaental a força (F=LT 2, =FL 1 T 2 ), usada no sistea Anglo saxónico (English Syste) e que utiliza as diensões fundaentais FLT. As unidades fundaentais do sistea Inglês são: libra força ( 1 lbf= N) ara força, é (foot, 1 ft= ) ara coriento, segundo (s) ara teo e graus Rankine (R, 1R=2/9 K) ara teeratura absoluta. O equivalente ara assa é: 1slug=1lbf/(ft s 2 )= kg. A aceleração da gravidade no English Syste vale g= ft/s 2 enquanto que no SI vale g=9.81 s 2. Para ua grandeza A se diensões (adiensional), as diensões reresenta se na fora [A]=1. Todas as grandezas deve ser exressas nu sistea coerente de unidades ou seja deve corresonder a rodutos de onóios (otências) das unidades fundaentais (ex s 2, J/(KgK) etc.) Te se então o seguinte quadro co as diensões e unidades do Sistea Internacional (SI) Grandeza Diensões Diensões Unidades (SI) (LT) (FLT) Coriento L L (etro) Teo T T s (segundo) assa FL 1 T 2 kg (kilograa) Área L 2 L 2 2 Volue L 3 L 3 3 Velocidade LT 1 LT 1 s 1 Aceleração LT 2 LT 2 s 2 Taxa de deforação T 1 T 1 (s 1 ) 1 =s 1 Ângulo 1 (adi) 1 (adi) rad (radianos) Velocidade angular T 1 T 1 s 1 =Hz (Hertz) Aceleração angular T 2 T 2 s 2 =Hz 2

2 2 Força LT 2 F N=kgs 2 oento de Força L 2 T 2 FL N oento Linear LT 1 FT kgs 1 =Ns oento angular L 2 T 1 FLT Kg 2 s 1 =Ns oento de inércia L 2 FL T 2 kg 2 Pressão, Tensão L 1 T 2 FL 2 Pa=N 2 =kg 1 s 2 Viscosidade dinâica L 1 T 1 FL 2 T Pas=N 2 s= kg 1 s 1 Viscosidade cineática L 2 T 1 L 2 T 1 2 s 1 Tensão suerficial T 2 FL 1 N 1 =kgs 2 Energia,Trabalho, L 2 T 2 FL N= kg 2 s 2 =J entalia, energia livre Potência, Fluxo de energia e de calor L 2 T 3 FLT 1 Js 1 = kg 2 s 3 =Ns 1 =W Densidade e assa L 3 FL 4 T 2 kg 3 volúica Caudal de assa T 1 FL 1 T kgs 1 Caudal de volue L 3 T 1 L 3 T 1 3 s 1 Teeratura K (Kelvin) Energia esecífica, L 2 T 2 L 2 T 2 Jkg 1 entalia esecífica, energia livre esecífica Energia, entalia e L 1 T 2 FL 2 J 3 energia livre or unidade de volue Calor esecífico L 2 T 2 1 L 2 T s 2 K 1 =Jkg 1 K 1 Entroia L 2 T 2 1 FL 1 JK 1 Entroia esecífica L 2 T 2 1 L 2 T 2 1 Jkg 1 K 1 Densidade de fluxo de T 3 FL 1 T 1 W 2 energia e calor Condutividade térica LT 3 1 FT 1 1 WK 1 1 Difusibilidade térica=condutividade L 2 T 1 L 2 T 1 2 s 1 térica/(entalia or unidade de volue) As grandezas intervenientes e física ode ser: Constantes universais: São valores que são constantes e qualquer fenóeno ou sistea físico. Exelos: Constante da Gravitação Universal, velocidade da luz no vácuo, carga do electrão. Parâetros: valores que são toados fixos nu certo conjunto de exeriências ou nu certo âbito. Variáveis: Grandezas que varia no teo, no esaço ou e função de outras. As variáveis ode ser indeendentes ou deendentes. Se A deende de B então escreve se A=A(B) sendo B a variável indeendente e A a variável deendente. Confore o âbito considerado, o que ode ser considerado coo arâetro, ode nu âbito ais geral ser considerado coo variável.

3 3 O Princíio da Hoogeneidade Diensional exige que nua equação física, os teros de ua equação tenha diensões be definidas. Por exelo a exressão do deslocaento s de u coro e oviento uniforeente acelerado co a=aceleração, v=velocidade inicial, t=teo ve: s=s o +vt+at 2 /2, as diensões de todos os teros são: [s]=[s o ]=[v o t]=[at 2 /2]=L (e =etro). A exressão anterior é válida e física ua vez que todos os teros da soa tê as esas diensões e a exressão final te igualente as diensões de cada tero (L). Ua exressão que não satisfaz ao PHD é or exelo: s t +cos(vt 2 /a)+ex(t 3 )sin(at)+t 2.5 Na verdade há teros que não tê diensões be definidas coo s t, ex(t 3 ), sin(at). Assi nua exressão, todos os teros tê de ter diensões físicas be definidas ou seja, tê de ser dadas or u roduto de otências das diensões fundaentais: a L b T c d onde a,b,c,d são núeros inteiros ositivos ou negativos (ou zero: 0 =L 0 =T 0 = 0 =[1] ). Veos assi alguas regras tais coo: Os arguentos de funções trigonoétricas, de exonencial, logarito e os exoentes de grandezas, alé de outros, tê todos de ser adiensionais, ou seja não tê diensões físicas. Se A é adiensional então reresenta se [A]=1. Se A,B fore grandezas diensionais, então só ode ser soáveis se tivere as esas diensões e [A+B]=[A]=[B]. Há no entanto grandezas co as esas diensões físicas as cuja soa não te significado ateático útil (ex. soa das coonentes de u vector). Existe aenas u conjunto liitado de funções e oerações entre grandezas diensionais A, B que são consistentes co o PHD. Assi as funções e oerações ossíveis, assi coo as corresondentes diensões físicas são: Potências inteiras: A n (n inteiro), [A n ]=[A] n Produtos: AB, [AB]=[A][B] Quocientes: A/B, [A/B]=[A]/[B] Integral: AdB, [AdB]=[A][B] Derivada: d n A /db n (derivada, n inteiro 1), [d n A /db n ] =[A]/[B] n ediante certas oerações e funções, ode se obter grandezas adiensionais. Por exelo te se a seguinte grandeza adiensional: B A 1 db AdB 2 A B B da B

4 4 Ua função arbitrária de variáveis adiensionais 1, 2,, é adiensional, é fisicaente válida e satisfaz ao PHD. Às variáveis adiensionais é costue chaar núeros i, ua vez que a sua diensão é a esa das constantes ateáticas coo o (i). As relações entre núeros adiensionais ou núeros i ode ser de vários tios tais coo equações algébricas, equações diferenciais, equações integro diferenciais (juntando derivadas e integrais) etc. Para o ilustrar considereos 3 núeros i na fora: 1 dv at s ; ; vo dln t vo so, e que s,s o são deslocaentos, v,v o são velocidades, a=aceleração, t=teo. Ua função ou ua equação envolvendo esses =3 núeros i é erfeitaente adissível e física e satisfaz ao PHD. Ua relação algébrica entre núeros i envolve aenas funções algébricas (otências, olinóios, funções trigonoétricas etc.), coo no seguinte exelo: ou f sinh ex sin,, sinh ex sin 0 Ua equação diferencial envolve derivadas coo no exelo: d1 d ex2sin 3 ou f 1, 2, 3 ex2sin 3 0 d d 3 3 Ua equação integro diferencial envolve integrais e derivadas coo no exelo: ( ) d d,, ( ) u du tgh 3 ou f u du tgh 3 d 1 3 d 1 3 Qualquer relação f(q 1,q 2,,q n )=0 entre n grandezas físicas q 1,q 2,,q n (constantes, arâetros, variáveis deendentes ou indeendentes) co deterinadas diensões físicas cada ua, ode exriir se coo ua relação g( 1, 2,, )=0 entre <n núeros adiensionais 1, 2,,. Estas grandezas adiensionais são obtidas a artir das n grandezas diensionais através de funções e oerações consistentes co o PHD (rodutos, otências, quocientes, derivada e integrais). Este resultado será foralizado e enunciado no Teorea de Buckingha da Análise Diensional. Antes vaos ilustrar alguns robleas de análise diensional. Os robleas consiste e: 1) Deterinar quantos núeros i (valor de ); 2) Quais os núeros i e coo obtê los. Por vezes não há ua fora única de obter os núeros i e 3) Qual a relação g entre os núeros i. Existe situações e que a função f entre as grandezas diensionais é conhecida e outras e que é desconhecida. Se f é conhecida, então o rocesso de obtenção de g chaa se

5 5 adiensionalização. Não conhecendo a relação f, então a análise diensional erite elo enos silificar o roblea afirando que existe ua relação g (desconhecida) entre u enor núero <n de variáveis e que caracteriza o fenóeno ou o roblea. Essa relação g deverá ser obtida recorrendo aos rincíios fundaentais da física ou então de fora exeriental ou eírica. Ua relação entre núeros i do tio: g( 1, 2,, )=0, contê e si ua grande generalidade e está na base da Seelhança Dinâica ou de u odo ais geral a Seelhança Física. Dois fenóenos físicos (robleas, escoaentos de fluidos, situações) são fisicaente seelhantes se ossuíre iguais valores dos núeros i. Esses dois fenóenos são caracterizados or grandezas diensionais tais que a sua cobinação fornece os esos valores dos núeros i. Assi, qualquer conclusão sobre u dos fenóenos, exressa or ua relação do tio g( 1, 2,, )=0, é iediataente generalizada ao fenóeno fisicaente seelhante. Este rincíio é o Princiio da Seelhança Física e está na base da construção de rotótios e laboratório que ode fornecer conclusões sobre u odelo. E geral os rotótios são uito ais equenos, controláveis e econóicos que o odelo (Ex. rotótio laboratorial do estuário de u rio; rotótio de u etroleiro). A construção de rotótios dinaicaente seelhantes aos odelos é uito útil e ecânica de fluidos. A silificação do roblea or via da Análise Diensional erite ouar teo e custos. Para roceder á análise diensional é necesário construir a atriz Diensional D que erite obter os núeros i. atriz diensional D Considereos u conjunto de n variáveis diensionais q 1,q 2,,q n (ode tabé ser adiensionais), envolvidas nu fenóeno físico. Cada variável te diensões be definidas or otências das unidades fundaentais ou seja: i i i q L T i,,,, inteiros, i=1,...,n i i i i i 11.1 A atriz diensional é a atriz rectangular (n linhas x 4 colunas) co as otências das unidades fundaentais:

6 6 L T q D q qn n n n n 11.2 Na rieira linha escrevera se as grandezas fundaentais (LT) servindo aenas de auxiliar ara o reenchiento. A rieira coluna é aenas auxiliar onde se escreveu a sequência das grandezas. Se algua coluna (dos,, ou ) for nula ou seja se existir algua grandeza fundaental não interveniente no conjunto das grandezas, então ode eliinar se essa coluna da atriz diensional. Por exelo se todas as n grandezas fore eraente cineáticas, não intervê ne a assa () ne a teeratura () na análise diensional e tereos aenas as grandezas funda,entais L,T. Teorea de Buckingha da Análise Diensional Ua relação f(q 1,q 2,,q n )=0 entre n grandezas físicas q 1,q 2,,q n (constantes, arâetros, variáveis deendentes ou indeendentes), ode exriir se coo ua relação g( 1, 2,, )=0 de =n grandezas adiensionais onde é característica da atriz diensional = rank(d)=n. A característica é o núero de linhas ou colunas linearente indeendentes e coincide co o núero de grandezas fundaentais intervenientes: 1,2,3 ou 4. A análise diensional só ode alicar se quando >0 ou seja o núero de variáveis n é extritaente suerior ao núero de grandezas fundaentais (ex. n=4>=3, logo =4 3=1). étodo do Produto de Potências da Análise Diensional No caso e que as n grandezas q 1,q 2,,q n são diensionais (não são adiensionais), então os núeros i são da fora de onóios das n grandezas. Há então que deterinar os exoentes racionais a que são elevadas as grandezas fundaentais de fora a obter grandezas adiensionais. Assi constrói se u núero adiensional na fora:

7 7 n a a a a j 1 2 n i i1 1j 2 j nj ij q q q q rodutório ou ietório das grandezas q... ( ) n n n a a ij ij i i i i q q L T ij j i i i1 i1 i1 n n n n iij a iij a iij a iij a i1 i1 i1 i L T LT 1, j 1,..., As otências inteiras a ij satisfaze a equações da fora: a 11.4 n 0 a Para ; 0 a Para L i ij i ij i1 i1 n 0 a Para T ; 0 a Para i ij i ij i1 i1 n n 11.5 As otências a ij (incógnitas a deterinar) ode ser não inteiras, isto é sere núeros fraccionários. E geral ode forar se vários conjuntos indeendentes de núeros i, ua vez que o núero de equações é inferior ao núero ( x ) de incógnitas e o roblea fica indeterinado. Para levantar esta indeterinação recorre se ao étodo do roduto de otências e que consiste no seguinte: 1 Seleccionar =rank(d) das n grandezas co diensões diferentes e que contenha, no seu conjunto as diensões internvenientes. Estas são as chaadas variáveis reetidas e deve ser escolhidas coo be relevantes ara o roblea. Seja essas as rieiras variáveis: q 1, q 2,,q. Caso não seja rearranja se a atriz diensional de odo a colocar as diensões dessas grandezas nas rieiras linhas da atriz diensional D. 2 As =n grandezas adiensionais obtê se na fora de quocientes entre as grandezas não usadas (não reetidas) e onóios das grandezas reetidas ou seja: q, j 1,..., n j j a a a q1 q2... q 1j 2 j j As otências a que são elevadas as grandezas reetidas são dadas or u sistea be deterinado de x equações nas otências a ij :

8 8 ; a Para a Para L j i ij j i ij i1 i1 ; a Para T a Para j i ij j i ij i1 i1 Ilustração da alicação da Análise Diensional e do étodo do Produto de Potências Exelo 1 : Período do Pêndulo (Relação entre Parâetros) Considereos u êndulo se atrito de assa, coriento l, sujeito à aceleração gravítica g e co oscilações áxias. O eríodo do êndulo é função de l,, g e. Te se n=5 grandezas: l,, g, e relacionadas entre si. As diensões são: []=, [l]=l, [g]=lt 2, [ ]=1, []=T. Adite se não conhecida à riori a relação entre os 5 arâetros. Escolhaos as =3 grandezas reetidas:, l, g. A atriz diensional, co característica =3 é: l D g L T Os núeros i, e núero =n =5 3=2 são da fora: l g l g 1, a a a 2 b b b, E teros de diensões te se: l g l g T LT 1, L ( LT ) L T 1 a a a a a 2 a a ( a a ) 2a LT L ( LT ) L T b b b b b 2 b b ( b b ) 2b donde se te 2 sisteas lineares de equações a 3 equações, u sistea ara cada núero i:

9 9 0a1 0b1 a1 0 b1 0 0 a2 a3 ; 0b2 b3 a2 1/2 ; b a 3 0 2b 3 a3 1/2 b3 0 Os núeros i são da fora: g l 1 ; 2 A relação entre os 2 núeros i escreve se nas foras equivalentes: g g l l l g * * 0 g, g g Onde g é ua função ilícita entre 1 e 2 e g* é ua função de 2 =. Deste odo, a Análise Diensional ostra nos o facto não trivial de o eríodo do êndulo ser indeendente da assa e directaente roorcional à raiz quadrada do coriento l do êndulo. A física fundaental, neste caso a ecânica, fornece nos a fora da função g*. E rieira aroxiação te se: 2 2 l * ~ 2 1 g ~ 2 1 g l Para ângulos equenos ou seja <<1, te se ~ 2 g ou seja a indeendência do núero 2 =. Neste caso a relação entre núeros i ve: g( 1 )=0 ou seja 1 =k=constante ateática=2. g 1 k k l l g A relação de seelhança corresonde à igualdade dos núeros i. Neste caso, seja consideradas duas situações (l 1, 1,g 1, 1, 1 ) e (l 2, 2,g 2, 2, 2 ) dinaicaente seelhantes ou seja co os dois núeros i idênticos. Aditaos g 1 =g 2 =g. Assi: g g ; l1 l2

10 10 Ou seja os ângulos áxios são iguais. A inferência de 2 ode ser obtida a artir de 1 se conhecer a função ilícita g*. Te se então: 2 1 l l 2 1 Tal significa que se oderá obter o eríodo de oscilação de u êndulo (2) conhecendo o eríodo de oscilação de u outro êndulo (1) e os corientos de abos os êndulos. Exelo 2 : Velocidade Angular do Pêndulo deendentes e indeendentes) (Relação entre Parâetros e Variáveis Adite se que a velocidade angular de u êndulo e oscilação é função do ângulo que o êndulo faz co a vertical, do coriento l do êndulo, da assa, da aceleração gravítica g e do ângulo áxio. A velocidade angular =d/dt é ua variável deendente da variável indeendente contínua e de certos arâetros (l,,g, ). Te se então ua relação ilícita entre n=6 grandezas cujas diensões físicas são: []=[ ]=1 (adi), []=T 1, []=, [l]=l, [g]=lt 2. Vaos utilizar o étodo do Produto de Potências ara obter as grandezas adiensionais. Ter se á então =n =6 3=3 grandezas adiensionais. A atriz diensional é: L T l D g Escolhaos coo grandezas reetidas: l,, g. A assa aenas intervê nua das grandezas elo que não cobina co nenhua outra e ortanto o roblea é indeendente da assa do êndulo. Os núeros i são: l 1 ; 2 ; 3, g donde 1 se exrie coo ua função dos outros dois núeros i na foras equivalentes: l g f g l, f, A ecânica fornece a função exlicitaente:

11 11 g g f, 2cos cos 1/2 l l. Exelo 3 : Escoaento de u fluido (Relação entre Parâetros e Variáveis deendentes e indeendentes) e adiensionalização de equações Seja (u,v,w) as coonentes da velocidade segundo (x,y,z) resectivaente. Considereos a equação Euleriana do oento linear vertical nu referencial inercial de u fluido viscoso incoressível de densidade unifore 0. A taxa local de variação da velocidade vertical w ve escrita coo: w w w w 1 w w w u v w g t x y z 0 z x y z Força gravítica Advecção=Força inercial Força do gradiente Força viscos a de ressão As variáveis deendentes (u, v, w, ) deende das variáveis indeendentes esaciais e teoral (x, y, z, t). Tê se ainda os arâetros: g, 0 (aceleração gravítica e densidade) e a viscosidade cineática =/ 0. Ao contrário dos dois exelos anteriores, aqui é conhecida ua relação entre as variáveis na fora de ua equação diferencial arcial, a qual é válida nu certo doínio esacial e é sujeita a certas condições fronteira e condições iniciais. Pelo Teorea de Buckingha, existe ua relação entre grandezas adiensionais. O taanho do doínio esacial no qual ocorre o escoaento é u arâetro natural que condiciona a fora do escoaento. Seja L 0 o valor (e teros de orde de grandeza) das 3 diensões esaciais do doínio (e.g coriento de ua turbina). Aditios ara silificar que a taanho do doínio é da esa orde de grandeza nas 3 diensões (x,y,z). Chaa se a L 0 a escala esacial do escoaento. Deste odo as variáveis esaciais adiensionalizadas são: x' x ; y' y ; z' z L L L Os valores x, y e z são variáveis que são da orde de 1, ua vez que L 0 é ua escala esacial da esa orde de grandeza de x, y, e z. O valor da velocidade nas 3 coonentes adite ua escala U ou seja, as coonentes adiensionalizadas da velocidade vê:

12 12 u' u ; v' v ; w' w U U U As velocidades adiensionalizadas u, v, e w corresondentes a u, v e w são igualente da orde de 1. Nu caso concreto, as escalas das diferentes coonentes da velocidade oderão ser diferentes (ex. escoaento da atosfera à escala lanetária). Escolhendo a escala esacial L 0 e a escala de velocidade U, a escala teoral é T 0 =L 0 /U ou seja o teo que ua artícula leva ara ercorrer a escala esacial L 0 do doínio à velocidade tíica U (escala de velocidade). O teo adiensionalizado é: t ' L 0 t / U Para a variação de ressão escolheos ua escala e ortanto a ressão será adiensionalizada na fora: ' A adiensionalização das variáveis levou à introdução dos arâetros adicionais U, L,. Tê se então ua relação entre os 6 arâetros: U, L,, g, 0 e, as 4 variáveis indeendentes x,y,z,t e as 4 variáveis deendentes u,v,w e nu total de n=14 variáveis: 0 f x, y, z, t, u, v, w,, U, L,, g,, Pelo Teorea de Buckingha, a relação anterior escreve se e teros de n =14 3==11 variáveis adiensionais. Dentre essas 11 variáveis, 4 são variáveis indeendentes adiensionalizadas e 4 são variáveis deendentes adiensionalizadas no total de 8: x ', y', z', t', u', v', w', ' 0 As outras 3 grandezas adiensionais surge naturalente da adiensionalização da equação ou seja á udança de variáveis diensionais ara variáveis adiensionais. Procede se ás substituições: Assi te se or exelo: x xl ' ; y yl ' ; zzl ' ; ttl ' / U; uu' U; vv' U; ww' U; ',

13 13 2 w Uw' U w' t t L / U L t' 0 0 e ultilicando or L 0 /U 2, obte se a equação adiensionalizada: w ' ' ' ' ' ' ' ' ' w ' w ' w gl w w u v w w t' x' y' z' 0U z' U UL x' y' z' onde aarece os 3 núeros i que falta na análise: Eu= U /2 Eu Fr -2 1 Força do gradiente de ressão Núero de Euler Força inercial U Força inercial Fr Núero de Froude gl Força gravítica UL Re= UL Força inercial Força viscosa Re Núero de Reynolds A equação re escreve se na fora condensada e adiensional: w' Dw' ' 2 1 '2 v' ' w' Eu Fr Re w' t' Dt' z' ~1 ~1 ~1 ~1 ~1, onde se usou o oerador Gradiente ( ) e Lalaciano ( 2 ) adiensionalizados. Os teros e que surge aenas variáveis adiensionalizadas são da orde de 1 or construção (na equação usa se o síbolo ~1). A solução das equações deende crucialente dos núeros adiensionais Eu, Fr e Re e do valor relativo entre eles. E certos casos ode se desrezar teros na equação silificando a. Assi or exelo, se a força gravítica e a força viscosa fore abas uito inferiores à força inercial então: 1/2 Força inercial -2 Fr 1; Fr 1 Força gravítica Força inercial Força viscosa -1 Re= 1; Re 1 E obte se ua equação aenas deendendente do núero de Euler:

14 14 Dw' ' Eu Dt ' z '. ~1 ~1 que te duas ossibilidades: 1) Eu~1 2) Dw /dt ~0 (se Eu<<1). Não é ossível Eu>>1 orque não haverá força ara equilibrar o gradiente de ressão. Se as forças doinantes fore a força gravítica e do gradiente de ressão, então observa se o equilíbrio hidrostático ' z ' 2 Eu Fr Seelhança Geoétrica, Cineática e Dinâica O Teorea Pi de Buckingha erite silificar o estudo e a avaliação quantitativa e qualitativa de u fenóeno físico através de: ouança de teo e de custos; auxílio no laneaento de ua exeriência e forneciento de relações que erite converter inforação obtida nu rotótio laboratorial e inforação sobre u odelo real. Força de arrasto sobre barco Considereos or exelo a edição da força de atrito F (drag) roduzida sobre u barco de coriento L, sujeito à gravidade g, deslocando se à velocidade V sobre u fluido de densidade e viscosidade dinâica. Te se n =6 3==3 núeros i relacionando os arâetros,v,l,,f,g. A atriz diensional é: L T V D L F 1 1 g Executando a análise diensional e escolhendo, V e L coo variáveis reetidas, obtê se os núeros i:

15 15 F Força de arrasto ou de atrito C =Coeficiente de arrasto 1 d U 2 /2 L 2 (Pressão Dinâica Área de exosição) UL 2 Re Núero de Reynolds U 3 Fr Núero de Froude gl Para cada escolha de 3 variáveis reetidas, assi haverá u conjunto de 6 3=3 núeros i e ortanto há várias ossibilidades de núeros i todas igualente válidas. Escolhera se noentanto 3 dos ais usuais (Fr, Re, C d ). A relação ilícita entre os núeros i ode escrever se nas foras equivalentes: 2 2 F U L Cd f Re,Fr F f Re,Fr 2 2 U /2 L 2 A função f ode ser obtida exerientalente através de rotótios e que se avalie o coeficiente de arrasto C d e função de vários valores do núero de Reynolds (Re) e do núero de Froude (Fr) Seelhança Física A seelhança física entre dois fenóenos: odelo real (reresentado or ) e rotótio laboratorial (reresentado or ) significa a igualdade entre os arâetros adiensionais do odelo e do rotótio. Por exelo no caso discutido e que dois arâetros são indeendentes, ter se ia: Fr(odelo)=Fr(rotótio)=Fr C (odelo) C (rotótio)=c Re(odelo)=Re(rotótio)=Re d d d A seelhança física é coosta de seelhança geoétrica, cineática e dinâica. Por vezes é difícil construir rotótios que seja inteiraente seelhantes ao odelo real havendo or isso seelhança incoleta. Seelhança Geoétrica Seelhança geoétrica é a seelhança física ara arâetros adiensionais envolvendo aenas grandezas esaciais, or exelo razões entre diensões físicas (e.g. razão entre coriento e altura). A razão entre a diensão do rotótio e a diensão do odelo real é o factor de escala. Pontos hoólogos são ontos e osições seelhantes.

16 16 Seelhança Cineática A seelhança cineática é a seelhança entre núeros i envolvendo velocidades e teos. Estes núeros i ode ser: 1) Quocientes entre diferentes coonentes da velocidades (E.g. V x /V y ) 2) Quocientes entre teos característicos (E.g. quociente entre eríodo de rotação e eríodo de translação). A seelhança cineática garante que no odelo e no rotótio, ontos hoólogos se desloque ara ontos hoólogos e teos hoólogos. Ex: u autoóvel real à velocidade v ercorre o seu coriento L no eso teo e que u rotótio à velocidade v ercorre o seu coriento L. Deste odo o factor de escala =L /L =v /v. Seelhança dinâica A seelhança cineática é a seelhança entre núeros i envolvendo forças. Os núeros i são quocientes entre diferentes tios de forças (E.g. força de ressão/força inercial =Eu) ou quocientes entre diferentes coonentes do eso tio de forças (E.g força de ressão segundo x /força de ressão segundo z). Discussão da Seelhança Física no roblea da força de arrasto sobre barco Considere se u rotótio co factor de escala =L /L. A igualdade dos núeros de Froude conduz a:

17 17 U U U L Fr gl gl U L 1/2 A igualdade dos núeros de Reynolds leva a: UL U L U L Re U L 3/2 A escolha de u deterinado fluido viscoso ara o rotótio iõe a sua viscosidade cineática e ortanto iorá o factor de escala. Se se escolher o factor de escala, então a seelhança coleta (igualdade dois a dois de Fr e Re) iorá a escolha de ua viscosidade cineática ou seja de u fluido aroriado ara rotótio, o qual ode não existir dado que não há fluidos ara qualquer viscosidade desejada. Outra ossibilidade é otar or ua seelhança incoleta, isto é exigir a seelhança ara aenas u sub conjunto de núeros i, neste caso Re e/ou Fr. Por exelo ara igualdade do núero de Reynolds: UL U L U L Re U L 1 1 Deste odo, se os fluidos do odelo e rotótio fere idênticos (ex. água), então se o factor de escala for =1/100, a velocidade no rotótio terá de ser 100 vezes suerior. A igualdade de núeros de Froude leva a: U U U L Fr gl U gl L 1/2 1/2 A discussão de qual o núero ais relevante (Fr ou Re) deende de cada situação. Este roblea retende ilustrar situações de seelhança incoleta que exige algu laneaento e decisão.

18 Núeros Adiensionais ais relevantes e ecânica de Fluidos Fornece se ua lista dos núeros adiensionais relevantes e ecânica de fluidos

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