F r F N BANCO DO BRASIL E CAIXA ECONÔMICA FEDERAL. Estatistica. b) Variável qualitativa

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1 Estatistica Introdução: A talvez seja a parte da Matemática que mais se preocupa com o comportamento social, visto que tal conteúdo é repleto de coletas de dados, para que se possa então fazer a análise deles. A envolve um conjunto de métodos desenvolvidos para a coleta, classificação, apresentação, análise e interpretação de dados quantitativos(ou qualitativos) e a utilização desses dados para a tomada de decisões. Por exemplo, podemos pensar no caso de duas turmas que, em um determinado teste de matemática, tenham ambas obtido média aritmética 6 nas notas, pois é possível que, em uma turma, todos tenham tirado notas muito próximas de 6 e na outra turma a variação de notas tenha sido muito discrepante, daí a importância da, pois através dela traçaremos parâmetros para que possamos diferenciar e personalizar as coletas analisadas. POPULAÇÃO E AMOSTRA População é um conjunto de elementos que têm pelo menos uma característica (variável) comum objeto de estudo. População Finita: Limitada em tamanho População Infinita: Ilimitada em tamanho. Consiste num processo que gera itens. omenclatura Básica Tipos de variáveis a) Variável quantitativa Quando as variáveis de uma pesquisa são, por exemplo, altura, peso, idade em anos e número de irmãos, dizemos que elas são quantitativas, pois seus possíveis valores são números. b) Variável qualitativa São aquelas variáveis que procuram passar uma certa característica do dado que está sendo analisado, como, por exemplo: cor do cabelo, cor da pele, feio ou bonito, alegre ou triste e assim por diante. Obs.: Essas variáveis podem ser de dois tipos: Freqüências Qualitativas ominais (atributos) Qualitativas Ordinais (ordem) a) Freqüência absoluta: É aquela que indica o número de elementos coletados da variável analisada. b) Freqüência relativa: É aquela que representa a proporção entre a variável analisada e o todo, e que, por isso, pode ser representada por uma fração, por uma porcentagem ou por uma dízima. F r F abs Tabela de freqüências Tabela sem intervalo de classe: A tabela abaixo relaciona a preferência pelo time de futebol em relação a 560 pessoas entrevistadas, em que, para cada time, podemos utilizar a proporção entre a freqüência relativa e o setor do gráfico. As variáveis quantitativas podem ser discretas, quando se trata de contagem (números inteiros), ou contínuas, quando se trata de medida (números reais). Veja: úmero de irmãos é uma variável quantitativa discreta, pois podemos contar (0, 1, 2 etc.). Altura é uma variável quantitativa contínua, uma vez que pode ser medida (l,55 m, l,80 m, l,73 m etc.). A idade em anos exatos pode ser considerada variável quantitativa discreta (8, 10, 17 etc.). este curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1

2 Tabela com intervalo de classe: 2 Média ponderada Quando alguns valores se repetem, torna-se mais fácil o cálculo da média aritmética. Vejamos: Calcular a média aritmética dos valores 27,27,30,30,30,30,32,32 e 32. esse caso, observamos que: - o valor 27 se repete 2 vezes; - o valor 30 se repete 5 vezes; - o valor 32 se repete 3 vezes; OBS.: As classes são intervalos fechados no início e abertos no final. a b [ a, b[ Quando for necessário podemos representar cada classe pelo seu elemento central. Medidas de Centralidade (MÉDIAS) A medida de centralidade é um número que está representando todo o conjunto de dados; nas pesquisas tal número é conhecido como medida de tendência central, que pode ser encontrado a partir da média aritmética, da moda ou da mediana, e o uso de cada uma delas é mais conveniente de acordo com o nível de mensuração, o aspecto ou forma da distribuição de dados e o objetivo da pesquisa. 1 Média Aritmética: Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante certa semana: Seg Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Qual foi a média de livros vendidos durante essa semana? Para resolver esse problema, devemos fazer: Esse número é chamado de média aritmética dos números 22, 23, 22, 27, 25 e 13 Média aritmética ( x ) dos valores x1 x2 x3... x n é o quociente entre a soma desse valores e seu número total n. Assim, a média pode ser calculada de uma forma mais simples: x A média aritmética é 30. O número de vezes que o valor se repete chama-se peso, e à média assim calculada dá-se o nome de média ponderada. 3 Média Moda A moda é o elemento da seqüência de dados que possui a maior freqüência, em que ela será localizada. Para ficar mais fácil de você lembrar, associe o fato de que aquilo que está na moda é o que as pessoas mais usam. A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete. Ex: a série { 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12 } a moda é igual a 10. Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Ex: { 3, 5, 8, 10, 12 } não apresenta moda. A série é amodal. Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Ex: { 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 } apresenta duas modas: 4 e 7 A série é bimodal. x x 1 x 2 x 3 n... x n este curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 2

3 4 Média Mediana A mediana representa o elemento que se encontra no centro da distribuição, quando a seqüência de dados se apresenta ordenada de forma crescente ou decrescente, cortando, assim, a distribuição em duas partes com o mesmo número de elementos. Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 } De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9. Medidas de Dispersão Vimos que a moda, a mediana e a média aritmética possuem a função de representar, a partir de um único número, a seqüência a ser analisada. Porém, tal método ainda é muito incompleto para que nós possamos tirar alguma conclusão sobre o trabalho. É necessário que possamos enxergar algo mais nessa seqüência que estamos analisando, como, por exemplo, uma certa personalidade da seqüência. Observe a seguinte situação: quatro turmas do 3º ano do Ensino Médio fizeram uma prova de estatística e quando o professor verificou a média das notas de cada turma, constatou que, em cada uma das quatro turmas, a média dos alunos foi igual a 6,0. E aí? Será que podemos concluir que o desempenho das quatro turmas foi o mesmo? Será que todos os alunos, de todas as turmas, tiraram nota 6,0 na prova? É óbvio que, nesse momento, o bom senso fala mais alto e podemos, no mínimo, desconfiar de que não. Desvio Absoluto Médio Como a palavra desvio está associada à diferença, temos que, o desvio deve ser empregado com a diferença do elemento analisado em relação à média, ou seja, o quanto o elemento se afasta da média da seqüência. Daí, é importante perceber que essa diferença deve ser necessariamente trabalhada em módulo, pois não tem sentido a distância negativa. E o desvio médio, então, passa a ser encontrado a partir da média aritmética de todos os desvios. Daí, temos: xi x i DM 1 Em que x i são os valores tomados, x é a média aritmética desses valores e é a quantidade de valores. Exemplo Então, na tabela acima, temos que: Pois é exatamente aí que reside a tal personalidade que podemos atribuir a cada turma em relação ao comportamento das notas. O que quero dizer é que, com as medidas de dispersão, seremos capazes de verificar que, por mais que a média das turmas na prova de estatística tenha sido 6,0, poderemos com tais medidas determinar as turmas que tiveram um comportamento homogêneo, em que os alunos tiraram notas próximas de 6,0, como também determinar as turmas que tiveram um comportamento heterogêneo em relação à nota 6,0, ou seja, por mais que a média tenha sido 6,0, as notas não foram próximas de 6,0. Variância A variância é uma medida de dispersão muito parecida com o desvio médio, a única diferença em relação a este é que, na variância, ao invés de trabalharmos em módulo as diferenças entre cada elemento e a média, tomamos os quadrados das diferenças. Isso se dá pelo fato de que, elevando cada diferença ao quadrado, continuamos trabalhando com números não negativos, como também pelo fato de que, em procedimentos estatísticos mais avançados, tal método facilita futuras manipulações algébricas. este curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3

4 Var i 1 Em que ( x x) i 2 x i são os valores tomados, x é a média aritmética desses valores e é a quantidade de valores. Exemplo TESTES: 01.(Mackenzie SP/2006) A média aritmética de n números positivos é 7. Retirando-se do conjunto desses números o número 5, a média aritmética dos números que restam passa a ser 8. O valor de n é a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) (UEPB PB/2006) A média aritmética das alturas de cinco edifícios é de 85 metros. Se for acrescentado a apenas um dos edifícios mais um andar de 3 metros de altura, a média entre eles passará a ser: a) 85,6 m b) 86 m c) 85,5 m d) 86,6 m e) 86,5 m Ainda tomando como exemplo a situação anterior, teremos: Desvio-padrão Para entendermos o procedimento para o cálculo do desvio-padrão, é interessante percebermos que, no cálculo da variância, cometemos um erro técnico que será corrigido pelo desvio-padrão, ou seja, no momento em que elevamos ao quadrado as dispersões (diferenças) de cada elemento em relação à média, automaticamente alteramos a unidade de trabalho. Por exemplo: se estivermos trabalhando com a coleta das alturas, em metro, das pessoas de uma determinada comunidade, a unidade da variância encontrada será o m² (metro quadrado), que representa áreas. E é aí que entra o desvio-padrão, ou seja, extraindo a raiz quadrada da variância. Desvio padrão var Então, se no exemplo do item anterior a variância encontrada foi 345,57, temos que o desvio-padrão foi de 345,57 18,58 03.(FGV SP/1ªFase/Economia/2005) A média das alturas dos 6 jogadores em quadra de um time de vôlei é 1,92 m. Após substituir 3 jogadores por outros, a média das alturas do time passou para 1,90 m. essas condições, a média, em metros, das alturas dos jogadores que saíram supera a dos que entraram em: a) 0,03. b) 0,04. c) 0,06. d) 0,09. e) 0, (UFMS MS/2005) A média aritmética das notas dos alunos de uma classe de 40 alunos é 7,2. Se a média aritmética das notas das meninas é 7,6 e a dos meninos é 6,6, então o número de meninas na classe é a) 20. b) 18. c) 22. d) 24. e) (PUC RJ/Janeiro/2002) Um aluno faz 3 provas com pesos 2, 2 e 3. Se ele tirou 2 e 7 nas duas primeiras, quanto precisa tirar na terceira prova para ficar com média maior ou igual a 6? a) Pelo menos 4. b) Pelo menos 5. c) Pelo menos 6. d) Pelo menos 7. e) Pelo menos (UFR R/2000) Uma prova foi aplicada em duas turmas distintas. a primeira, com 30 alunos, a média aritmética das notas foi 6,40. a segunda, com 50 alunos, foi 5,20. A média aritmética das notas dos 80 alunos foi: a) 5,65 b) 5,70 c) 5,75 d) 5,80 este curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 4

5 07. (ESPP-MPP-PR-2010) um escritório de engenharia há 20 engenheiros ganhando cada um R$ 2000 de salário, e 10 engenheiros ganhando cada um R$ 5000 de salário. O salário médio dos 30 engenheiros é igual a: a) R$ 2500 b) R$ 2750 c) R$ 3500 d) R$ 3250 e) R$ (SAEPAR 2008) A média aritmética das temperaturas máximas, em graus centígrados, em Curitiba nos últimos sete dias foi 28. Em dois dias as temperaturas máximas foram iguais e, retirando esses números do cálculo, a média dos outros cinco dias também foi 28. Qual foi a temperatura daqueles dois dias? a) 25. b) 26. c) 27. d) 28. e) (UFPel RS/2005) a busca de solução para o problema da gravidez na adolescência, uma equipe de orientadores educacionais de uma instituição de ensino pesquisou um grupo de adolescentes de uma comunidade próxima a essa escola e obteve os seguintes dados: GABARITO: B A B D E A D D E 1 C * TESTES ESTATÍSTICA - CESGRARIO Para responder às questões de nos 1 e 2, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as freqüências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos. 01.(CESGRARIO-CEF-2008) Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais? a) 8/14 b) 8/16 c) 8/20 d) 3/14 e) 3/16 Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar, em relação às idades das adolescentes grávidas, que 02. (CESGRARIO-CEF-2008) Uma das medidas de dispersão é a variância populacional, que é calculada por a) a média é 15 anos. b) a mediana é 15,3 anos. c) a mediana 16,1 anos. d) a moda é 16 anos. e) a média é 15,3 anos. 10. (UFPR-2008) Uma determinada região apresentou, nos últimos cinco meses, os seguintes valores (fornecidos em mm) para a precipitação pluviométrica média: A média, a mediana e a variância do conjunto de valores acima são, respectivamente: Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens? (A) 0,15 (B) 0,20 (C) 1,78 (D) 3,20 (E) 3,35 a) 30, 27 e 6,8. b) 27, 30 e 2,4. c) 30, 29 e 6,8. d) 29, 30 e 7,0. e) 30, 29 e 7,0. este curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5

6 03. (CESGRARIO-AP-2008) Pedro fez três avaliações de Matemática e obteve notas 6,7, 5,8 e 7,6. Ele fará mais uma avaliação e sua média final será a média aritmética dessas quatro notas. Qual é a nota mínima que Pedro deverá obter na quarta prova para que sua média final seja igual ou superior a 7,0? (A) 7,3 (B) 7,5 (C) 7,7 (D) 7,9 (E) 8,1 04. (CESGRARIO-AP-2008) O gerente do restaurante de certa empresa fez uma pesquisa e concluiu que os funcionários homens consumiam, em média, 540g por refeição e as mulheres, 450g. Se 60% dos funcionários dessa empresa são homens, qual é, em gramas, o consumo médio, por funcionário, em cada refeição? (A) 485 (B) 495 (C) 504 (D) 514 (E) 525 O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 05 e 06. Uma pesquisa foi feita com 40 mulheres a respeito da quantidade de filhos de cada uma delas e das idades desses filhos. Abaixo, vêem-se: - um gráfico de barras com a distribuição das 40 mulheres conforme a quantidade de filhos; - uma tabela com as quantidades de filhos de 1, 2, 3 e 4 anos dessas 40 mulheres. 05. (CESGRARIO-IEP-2007) Analisando-se os dados em relação ao conjunto desses filhos, conclui-se corretamente que (A) há, ao todo, 32 filhos. (B) há exatamente 8 filhos que não possuem qualquer irmão. (C) há exatamente 10 filhos que possuem um único irmão. (D) há mais de 30 filhos que possuem mais de um irmão. (E) o número de filhos que não possuem qualquer irmão é maior do que o número de filhos que possuem pelo menos um irmão. 06. (CESGRARIO-IEP-2007) Analisando-se os dados em relação ao conjunto desses filhos, conclui-se corretamente que há crianças (A) com menos de 1 ano. (B) de 1 ano que possuem irmão. (C) de 2 anos que possuem irmão. (D) de 3 anos que possuem mais de um irmão. (E) com menos de 3 anos que possuem mais de um irmão. O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 07 e 08. Um grupo é formado por 10 pessoas, cujas idades são: (CESGRARIO-BDES-2007) Seja μ a média aritmética das idades e seu σ desvio padrão. O número de pessoas desse grupo cujas idades pertencem ao intervalo μ σ, μ + σ é: (Considere 2 = 1,4 (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 (E) (CESGRARIO-BDES-2007) Escolhendo-se, aleatoriamente, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que sua idade seja maior do que a moda? (A) 30% (B) 25% (C) 20% (D) 15% (E) 10% este curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 6

7 O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 09 e 10. Vinte alunos foram submetidos a uma prova de 5 questões. O gráfico mostra, para cada uma das questões, a porcentagem dos alunos que acertaram a tal questão. 09. (CESGRARIO -2007) Se cada uma das questões valia 1 ponto, qual a média de pontos da turma? (A) 3,1 (B) 3,0 (C) 2,9 (D) 2,8 (E) 2,7 10. (CESGRARIO -2007) Quantas questões foram acertadas por mais de 60% dos alunos? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 GABARITO: B D D C D C C A D 1 B este curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 7