DISTRIBUIÇÃO DOS NÚMEROS PRIMOS

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1 DISTRIBUIÇÃO DOS NÚMEROS PRIMOS Rosimara Flores Nodário 1 Ana Maria Beltrame 2 Resumo Primus é a palavra latina que significa primeiro e único. Ela foi escolhida para denominar o grupo dos números inteiros divisíveis apenas por si mesmo e pelo 1. Se for inteiro e não primo, trata-se de um composto. Isso se aprendeu na escola. O que provavelmente não se sabia é que os primos são utilíssimos na produção de códigos secretos para computadores. Criam-se fórmulas com produto entre dois primos gigantes, gerando um monumental número composto. O segredo só será desvendado por quem descobrir os dois primos usados. Como são números astronômicos, com mais de 100 dígitos, a operação é muito difícil. Outra impressão que se tem é que não há nenhuma ordem entre os números primos; às vezes eles aparecem próimos uns dos outros; às vezes afastados. Analisando-os individualmente ou em grupos, não se observa qualquer regularidade em sua distribuição. Palavra-Chave: Números Primos Introdução O conceito de números surge naturalmente tão logo começamos a lidar com a multiplicação, no início do estudo da aritmética. Percebe-se que alguns números são produtos de outros, como 15 = 35 ou 24 = 234. Este tipo de número é chamado número composto. Os demais números, ou seja, aqueles que não admitem outros fatores além deles mesmos e da unidade, recebem o nome de números primos. Então número primo é todo número natural maior do que 1, que é divisível por si mesmo e pela unidade. Os números primos ostentam uma longa história, desde gregos antigos até o presente. Sabe-se que, quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores primos, tais como 12 = 223 ou 935 = Este fato, na verdade, é conhecido como o Teorema Fundamental da Aritmética e nos diz que os números primos são por assim dizer átomos ou tijolos da construção a partir dos quais os outros inteiros são formados multiplicativamente. Por conseguinte, os números primos foram muito estudados e se fizeram esforços consideráveis no sentido de determinar a natureza de sua distribuição na seqüência dos inteiros positivos. Os principais resultados obtidos na Antiguidade foram a prova da infinitude dos primos e o crivo de Eratóstenes para determinar os primos inferiores a um 1 Aluna do curso de Matemática UNIFRA 2 Professora do curso de Matemática - UNIFRA 1

2 2 inteiro dado n.. Não há, porém, nenhum procedimento prático para testar se um número grande é primo ou não e o esforço feito na verificação de alguns números particulares foi enorme. Em 1952, o computador EDSAC, em Cambridge, Inglaterra, mostrou que é primo o número (2 1) + 1 ( que tem setenta e nove algarismos ). Um sonho dos especialistas em teoria dos números é encontrar uma função f(n) que, para inteiros positivos n, forneça uma infinidade de números primos. Assim f(n) = n 2 - n + 41 fornece primos para todo n < 41, mas f(41) = 41 2, portanto, composto. Podem-se encontrar funções polinomiais que forneçam sucessivamente tantos primos quanto se deseje, mas nenhuma delas fornecerá sempre números primos. Há muitas conjecturas em aberto com relação aos números primos, por eemplo: eistem infinitos pares de primos gêmeos? Isto é, primos da forma p e p + 2 como 3 e 5, 11 e 13, 29 e 31. Outra é a conjectura feita por Cristian Goldbach ( Boyer- História da Matemática), em 1742, numa carta a Euler. Goldbach observou que todo inteiro par, eceto o número 2, parecia ser eprimível como soma de dois primos, por eemplo, 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 5+3,..., e assim por diante. Desenvolvimento Definição: Um número P N se diz primo se i) P 0 e P 1 ii) Os únicos divisores de P são 1 e P. Um número, a N a 0 e a 1, é chamado composto se a não é primo. Assim, um número composto sempre pode ser fatorado num produto, a = bc, onde b 1 e c 1. Os números 2, 3, 5, 7, 11,... são primos e os números 4, 6, 8, 10, 12022,... são compostos. O número 1 não é primo nem composto; então, se a é um inteiro positivo qualquer temos: a é primo ou a é composto ou a = 1. O número 2 é primo pois, se a 2, então 0< a 2 e portanto a = 1 ou a = 2. O número 2 é o único primo par. Há 168 números primos entre 1 e 1000, 135 entre 1000 e 2000 e 127 entre 2000 e Os dados de que se dispõem hoje a respeito vão muito além, mas, mesmo com os computadores eletrônicos, há limitações para pesquisas nesse sentido. Contudo, já nos

3 3 Elementos de Euclides apareceu uma demonstração, garantindo que o conjunto dos números primos é infinito. A prova de Euclides (o número de números primos é infinito) é considerada universalmente pelos matemáticos como um modelo de elegância matemática. Ao contemplar uma tabela de números primos, como abaio, Etc.. a primeira impressão que se tem é a de que não há nenhuma ordem entre os números primos; às vezes, eles aparecem próimos uns dos outros, às vezes afastados; analisando-os individualmente, ou em pequenos grupos, não se divisa qualquer regularidade em sua distribuição. Legendre ( ) ocupou-se dessa questão e, por volta de 1800, formulou uma conjectura que revela certa ordem no que parecia ser um caos completo. Para eplicar a conjectura de Legendre, introduzimos o símbolo π() como sendo a função que determina o número de números primos, até certo valor. Assim, π(8) = 4, ou seja, o número de números primos até 8 é 4; e são 2, 3, 5 e 7. π (11) = 5, pois há cinco números primos até 11 e assim sucessivamente. Portanto, o que LEGENDRE conjeturou empiricamente, analisando tabelas de números primos (em 1791 uma dessas tabelas foi publicada contendo todos os números primos até ) é que π() podia ser aproimada pela função ln e que seria uma aproimação tanto melhor quanto maior fosse o número. Conseqüentemente, essa função deverá ser entendida, em termos relativos, isto é, o erro que se comete tomando ln em lugar de π() torna-se tanto menor quanto maior for o valor de, relativamente a ln.

4 4 Em outras palavras, seja: E ( ) π ( ) de π ( ). =, o erro que se comete ao tomar ln em lugar ln Pois bem, o que se torna pequeno com o crescer de é o erro relativo ( ) E ln (1) Este erro pode ser feito, em valor absoluto, tão pequeno quanto se queira, desde que se faça suficientemente grande. Ou seja, E( ) lim = 0. ln Alguns matemáticos notaram, então, que a seqüência dos números primos tinha algo em comum com a função logarítmica, que é uma função que surge, por eemplo, no estudo do crescimento de populações. Assim, os matemáticos detiveram-se em mostrar como se comportaria o crescimento de uma população de bactérias, quando duplicada a cada uma hora. Sendo n o número de bactérias, então ln é precisamente o número de horas necessárias para que a população ln 2 fique multiplicada pelo fator. A hipótese mais simples sobre a variação da população é que a taa de variação de p é proporcional ao valor atual de p, isto é, dp Kp dt = (2) onde a constante de proporcionalidade K é chamada taa de crescimento ou declínio, dependendo se é positiva ou negativa. Supondo-se aqui que, K > 0, de modo que a população está crescendo e resolvendo a equação (2) sujeita à condição inicial, p ( 0) = p (3) 0 Obtém-se um crescimento eponencial, kt p( t) = p e (4) o Logo, o modelo matemático que consiste no problema de valor inicial, com K > 0 prevê que a população crescerá eponencialmente sempre.também se pode observar que a equação (4) é razoavelmente precisa para muitas populações, pelo menos por períodos limitados de tempo.

5 5 p( t) Voltando na equação (4), colocando =, teremos, p p( t) kt kt = e = e (5) p o Com a população duplicada a cada hora, = 2 quando t = 1, substituindo em (5) tem-se o k 1 2 = e ln 2 = ln e k e ln 2 = k ln { e 1 Então K ln2 = 0, Nota-se que, alguma hora, as limitações sobre o espaço, o suprimento, comida ou outros recursos reduzirá a taa de crescimento e acabará inibindo o crescimento eponencial. Observa-se, então, que dois fenômenos tão diferentes na aparência, como a distribuição dos números primos e o crescimento populacional, tenham algo em comum. Os estudiosos estão trabalhando até hoje, e descobriram que eistem constantes positivas. c e C ( c 0.92, C 1.106) c π ( ) tais que: C ln ln Para bem entender os significados da aproimação π ( ) (6) ln vamos comparar os gráficos das funções y = e y = ln.

6 6 Eles nos revelam que ambas as funções crescem com o crescer de, tendendo a infinito. Analisando a primeira função, cresce mais depressa que a segunda, distanciando-se mais e mais desta última, à medida que cresce acima de qualquer número dado. Isto quer dizer que o quociente no segundo membro de (6) também cresce, tendendo a infinito com o crescer de, o que está de acordo com o fato de que eistem infinitos números primos, isto é, π ( ) cresce acima de qualquer número, desde que façamos suficientemente grande. Fazendo o raciocínio que ln significa dizer vezes 1 ln, sendo 1 ln a densidade média, onde o intervalo vai de 1 até, nota-se que a densidade média decresce com o crescer do. Isto significa dizer que os números primos vão ficando cada vez mais raros, à medida que se avança na seqüência dos números naturais. O que acabamos de dizer deve ser entendido em média, isto é, poderá haver concentrações de números primos em certos lugares ou a ausência deles em outros lugares de sua seqüência. Essa ausência pode ser facilmente estabelecida, pelo simples epediente de eibir intervalos arbitrariamente longos de números naturais nos quais todos os números são compostos, nenhum é primo. Tais intervalos são, às vezes, chamados desertos de números primos.

7 7 Para ver isto, observe que, dado qualquer número natural n, seu fatorial é divisível por todos os números 2, 3,..., n-1, n, pois é simplesmente o produto desses números. E n!+n é divisível por n. Em outras palavras, todos os números n!+2, n!+3, n!+4,...,n!+n, são compostos. Nesse intervalo eiste n-1 números. Como n é arbitrário, pode-se escolhê-lo de forma a se ter uma seqüência ininterrupta de números compostos, ou seja, um deserto de números primos, tão longo quanto se queira! Em face da propriedade que acabamos de demonstrar, e tendo em conta que a densidade média dos números primos tende a zero, de sorte que esses números vão ficando, em média, cada vez mais raros quanto maiores forem, é razoável suspeitar que o intervalo entre números primos consecutivos também cresça com o crescer desses números. Pode-se observar que há também razões para suspeitar que eistem infinitos pares de números primos gêmeos, isto é, pares de números primos do tipo p e p + 2. Por eemplo, são primos gêmeos os pares. 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, 41 e 43. Não se sabe até hoje se há um número infinito de pares de primos gêmeos, mas são conhecidos primos gêmeos muito grandes, tais como: e e Um fato interessante é a eistência de apenas um terno de inteiros positivos ímpares e consecutivos que são todos primos: 3, 5 e 7. Conclusão A seqüência dos números primos é infinita. A partir de 1951, através de computadores, vêm se procurando determinar números primos cada vez maiores. Como curiosidade, em lº de junho de 1999, foi calculado um número primo que possui mais de 2 milhões de algarismos. Multiplicando-se dois números primos muito grandes obtém-se um número composto que também será tão grande, sendo praticamente impossível descobrir seus fatores primos; mesmo os computadores mais rápidos levariam milhões de anos para encontrá-los. Estes números são usados hoje em dia na codificação de mensagens, seja para fins militares, diplomáticas ou comerciais, tornando-se um recurso criptográfico muito eficaz, pois só quem conhece os fatores primos do número composto consegue interpretar as mensagens.

8 8 Referências Bibliográficas BOYER, C.B História da Matemática.São Paulo: Ed. Edgard Blücher Ltda. Bibliografia ÁVILA, G Revista do Professor de Matemática.n 19.São Paulo:Ed. Alcilia Augusto. BOYCE, W. E. & Diprima, R. C.2002.Equações Diferencias Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Rio de Janeiro: Editora Livros Técnicos e Científicos, COUTINHO, S. C Números Inteiros e Criptografia RSA. Rio de Janeiro: IMPA, SBM, DOMINGOS, H. H Fundamentos da Aritmética. São Paulo: Atual. EVES, H Introdução á História da Matemática. Campinas, SP: Ed da UNICAMP.