Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo: Seno, Cosseno e Tangente.

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1 Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Poĺıgonos Regulares. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo: Seno, osseno e Tangente. 9 o ano E.F.

2 Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Polígonos Regulares Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo: Seno, osseno e Tangente. Eercícios Introdutórios Eercício. plicando o Teorema de Pitágoras, calcule os valores indicados em cada item. a) Qual a medida da hipotenusa num triângulo retângulo de catetos de medidas e? b) Qual a medida do cateto b num triângulo retângulo de hipotenusa medindo e cateto c? Eercício. Recíproca do Teorema de Pitágoras, enuncia que: se as medidas dos três lados de um triângulo qualquer satisfazem a fórmula a b + c, então esse triângulo é retângulo. Dentre os ternos (a, b, c) de números inteiros listados, com a < b < c, qual(is) dele(s) poderiam ser lados de triângulo(s) retângulo(s)? Tabela : Senos, cossenos e tangentes. rco sen cos tg 5 0, 6 0, 97 0, 7 0 0, 0, 9 0, 7 0 0, 5 0, 87 0, , 6 0, 77 0, , 8 0, 5, , 98 0, 7 5, 67 a) Determine valor de. a) (5,, ). b) (8, 5, 7). c) (7,, 5). d) (, 5, 7). e) (, 60, 6). β f) (0,, 9). g) (9, 0, ). Eercício. Dentre os ângulos agudos dos triângulos retângulos do eercício, qual possui o maior seno? Eercício. Quais os senos, cossenos e tangentes dos ângulos agudos do triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 0 cm? Eercício 5. Um triângulo tem lados medindo cm, cm e 5 cm. Outro triângulo tem lados medindo 9 cm, cm e 5 cm. Os ângulos desses triângulos são iguais? Eercício 6. Utilizando os dados aproimados da tabela, calcule o que se pede. b) Determine valor de. β c) Determine valor de D + y. matematica@obmep.org.br

3 00 β 0 α 0 y h D 60 d) Seja o, retângulo em, com  5 e D tal que ˆD 50. Sendo D 00 cm, qual o valor de? e) Um triângulo retângulo possui catetos medindo e 9, qual a medida aproimada do ângulo oposto ao cateto de menor medida? f) Um triângulo retângulo possui catetos medindo 6 e 97. Qual a medida aproimada do ângulo oposto ao cateto de maior medida? g) Num triângulo retângulo com um ângulo medindo 0, prove que o seu cateto oposto é metade da hipotenusa. Eercício 7. No triângulo da figura, calcule os valores dos senos, cossenos e tangentes de α e β. β Quais os valores do(a): a) sen 60, cos 60 e tg 60? b) sen 0, cos 0 e tg 0? H Figura Eercício 9. Uma escada rolante liga dois andares de uma loja e tem uma inclinação de 0. Sabendo que a escada rolante tem 0 m de comprimento, qual é a altura entre os dois andares? Eercício 0. partir de um quadrado de lado medindo cm, determine as medidas dos seno, cosseno e da tangente de 5. Eercício. Uma pessoa na margem de um rio vê sob um ângulo de 60 uma torre na margem oposta. Quando ela se afasta 0 metros esse ângulo diminui para 0. Qual é a largura do rio? Eercícios de Fiação Eercício. No alto de um bambu vertical está presa uma corda. parte da corda em contato com o solo mede chih. Quando a corda é esticada, sua etremidade toca no solo a uma distância de 8 chih do pé do bambu. Que comprimento tem o bambu? Figura α Eercício 8. figura representa um, equilátero, com lado medido cm e uma altura H. ntiga unidade de medida chinesa, conhecido como pé chinês. Seu comprimento é derivado do comprimento do antebraço humano. matematica@obmep.org.br

4 Eercício. Sobre uma rampa de 6 m de comprimento e inclinação de 0 com a horizontal, devem-se construir degraus de altura 5 cm. Quantos degraus desse tipo serão construídos? Eercício. o atender o chamado de um incêndio em um edifício, o corpo de bombeiros de uma cidade utilizou um veículo de combate a incêndio, dotado de escada magirus. Esse veículo possibilita atender a resgates a uma altura máima de 5 metros, utilizando um ângulo máimo de levantamento de 60. Eercício 7. Percorrendo, ao longo de uma reta horizontal, a distância d, em direção à base inacessível de um poste D, nota-se (com o auílio de um teodolito) que os ângulos ÂD e ˆD medem, respectivamente, α e β graus. Qual é a altura do poste D? Eercício 8. Um observador está em um ponto do aterro do Flamengo e vê o Pão de çúcar segundo um ângulo de 0 com o plano horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção ao seu objetivo até um ponto distante 650 m de e agora vê o Pão de çúcar segundo um ângulo de. Qual é a altura do Pão de çúcar em relação ao plano de observação? Dados: tg 0 0, 76 e tg 0, 9. Eercício 9. Um enigma interessante ocorre quando movimentamos as peças da figura e criamos a figura. om as mesmas peças reordenadas, surge um quadradinho vazio na base. Eplique esse fato. Figura 6 Figura a) Qual o comprimento dessa escada quando totalmente esticada? b) Houve um problema e o ângulo de levantamento foi reduzido em 5%. Qual a nova altura máima alcançada? Eercício 5. Demonstre que a área S do (figura 7) pode ser calculada pela fórmula S b c sen α. α c b Figura 7 Eercício 6. No temos que cm, 6 cm e  5, qual o valor da sua área? Figura Eercício 0. Uma pessoa de m de altura, passeando pela cidade, caminha em linha reta numa rua horizontal, na direção da portaria de um edifício. pessoa e olha o topo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 0 graus com a horizontal. pós caminhar 9 m, para uma segunda vez para ver o topo do edifício e tem que olhar para cima num ângulo de 5 graus com a horizontal. Utilize, 7. Nessa situação, qual a altura do prédio? Eercício. Torre Eiffel tem m da altura (contando com a antena), e deseja-se fotografá-la completamente usando uma câmera com lente de abertura de 0. Qual a mínima distância da torre (no plano da sua base) para que uma foto com essa câmera capture a torre inteira, como ilustra a seguir. matematica@obmep.org.br

5 Eercício. onforme mostra a figura, um pêndulo de comprimento constante L faz um ângulo α com sua posição vertical. Epresse a altura H em função do ângulo α. Figura 6 Um bichinho que está no centro da primeira goiaba quer se dirigir para o centro da terceira pelo caminho mais curto. Quantos centímetros percorrerá? Eercício 6. No triângulo da figura 8, qual a razão entre as áreas S e S? 9 Figura 0 S E Eercício. Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem a e a, respectivamente, então o cosseno do ângulo oposto ao menor lado é? Eercício. João mora a 0 km a leste de Maria. Num dia eles saem de casa ao mesmo tempo, andando em linha reta; João vai para o oeste a 6 km/h e Maria para o sul a km/h. Determine a menor distância possível entre eles. Eercícios de profundamento e de Eames D S Figura 8 Eercício 7. Para calcular a altura de um morro, um topógrafo posicionou-se com seu teodolito a 00 m do morro e o aparelho forneceu a medida do ângulo de visada do morro: 0. O topógrafo, olhando numa tabela, considerou tg 0 0, 57. Se a altura do teodolito é, 60 m, qual é a altura, em metros, do morro obtida pelo topógrafo? a) 5, 8. b) 5, 60. c) 8, 0. d) 5, 60. e). Eercício 8. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede cm e um dos catetos mede 5 cm. soma das tangentes dos ângulos agudos é aproimadamente: 6 Eercício 5. Três goiabas perfeitamente esféricas de centros, e, e raios cm, 8 cm e cm, respectivamente, estão sobre uma mesa tangenciando-se como sugere a figura 6. a). b),. c). d),5. e),8. matematica@obmep.org.br

6 Eercício 9. Na figura 9, as retas r e s são paralelas. O segmento é perpendicular a essas retas e o ponto P, nesse segmento, é tal que P e P. O ponto X pertence à reta r e a medida do segmento X é indicada por. O ponto Y pertence à reta s e o triângulo XPY é retângulo em P. Eercício. partir do triângulo da figura calcule: a) sen 8 e cos 8. b) sen 7 e cos 7. 6 Figura Figura 9 Determine o valor de para o qual a área do triângulo XPY é mínima e calcule o valor dessa área. Eercício 0. Na figura 0, estão assinalados três ângulos retos, e três ângulos de medida α. Sendo e 5, o valor de cos α é D Eercício. Um avião voava a uma altitude e velocidade constantes. Num certo instante, quando estava a 8 km de distância de um ponto P, no solo, ele podia ser visto sob um ângulo de elevação de 60 e, dois minutos mais tarde, esse ângulo passou a valer 0, conforme a figura 5. velocidade, em km/h, desse avião era de: E Figura 5 a). b) 5. c) 5 Figura 0 α 5. d) 5. e) 5. α α a) 80. b) 0. c) 0. d) 50. e) 00. Eercício. Leia as proposições abaio e depois desenvolva o que se pede. Proposição. que: Para o, com ceviana 5 D, vale (D) (D) D D, onde (D) e (D) representam as áreas de D e D. Para ver isso, basta usar que a área de um triângulo é o semiproduto da área da base pela sua altura correspondente. 5 eviana é qualquer segmento de reta num triângulo com uma etremidade no vértice do triângulo e a outra etremidade no lado oposto, no caso D. 5 matematica@obmep.org.br

7 Proposição. válido que Para o, bissetriz D, D, é D D. Desenvolva uma demonstração da proposição utilizando a proposição e a fórmula demonstrada no eercício 5.. Respostas e Soluções. Observação: Neste módulo, serão estudadas as razões trigonométricas no triângulo retângulo. plicaremos os conceitos de cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa para definir os senos, cossenos e tangentes de cada ângulo. No geral, fazendo uso das marcações no triângulo da figura, teremos: c β a b Figura i) os catetos são b e c e a hipotenusa é a; ii) em relação ao ângulo α, teremos c como cateto oposto e b como cateto adjacente (o inverso para β); iii) definiremos o sen α c a e o sen β b a ; iv) definiremos o cos α b a e o cos β c a ; e v) definiremos a tg α c b e tg β b c. O que permite concluir que quando α e β forem complementares, isto é, α + β 90, teremos sen α cos β e sen β cos α. Usando as substituições adequadas concluímos que tg α sen α cos α e tg β sen β cos β. lém disso, aplicando o Teorema de Pitágoras, poderemos concluir para ângulos agudos que sen α + cos α. última equação é denominada Relação Fundamental e é válida para qualquer ângulo, não necessariamente o α agudo. Outras funções trigonométricas importantes são cotg α tg α, sec α cos α e cossec α sen α.. a) Seja a a medida da hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras, temos que a + a a 5. b) Pelo Teorema de Pitágoras, temos que + c 69 + c c 5.. Observe que todos os ternos satisfazem a Recíproca do Teorema de Pitágoras, portanto, todos poderiam ser lados em triângulos retângulos. Os dois números menores representariam as medidas dos catetos e o maior número, a medida da hipotenusa.. Em cada um dos triângulos retângulos da questão anterior há dois ângulos agudos. Definindo o ateto Oposto i sen i, i {, }, e calculando os respectivos valores, obtemos os resultados aproimados da Hipotenusa tabela. Tabela : Senos, cossenos e tangentes. ateto ateto Hipotenusa Seno Seno 5 0, 85 0, , 7 0, , 80 0, , 0, , 80 0, , 690 0, , 0 0, 976 Portanto, o maior seno é , matematica@obmep.org.br

8 . Observe que os lados do triângulo verificam a recíproca do Teorema de Pitágoras, ou seja, Portanto, esse triângulo é retângulo com hipotenusa 0, com um dos seus ângulos agudos tendo seno igual a 6 0, cosseno igual a 8 0, tangente igual a 6. O outro possui 8 seno igual a 8 0, cosseno igual a 6 0 e tangente igual a Pela Recíproca do Teorema de Pitágoras, temos que ambos são triângulos retângulos, pois, + 5 e No primeiro triângulo, um dos ângulos agudos (α ) tem seno igual a 5, cosseno igual a 5 e tangente igual a e o outro (β ) possui seno igual 5, cosseno igual a 5 e tangente igual a. Já no segundo, teremos os mesmos valores de senos, cosse- nos e tangentes para α e β, respectivamente. Portanto, nos dois triângulos teremos ângulos retos, α α e β β. 6. Retirando os dados da tabela, obtemos: a) omo sen 57 0, 8, temos 8; 00 b) omo cos 80 0, 7, temos ; 00 c) omo tg 0 0, 6 temos 08. lém disso, 00 como tg 0 0, 8 y temos y 5. Portanto, 00 D 60; d) Observe que D é isósceles de base, pois DĈ 5, então D D 00 cm. Sendo e aplicando que sen 0 00 concluiremos que 00 cm; e) Sejam α e β os ângulos opostos ao maior e menor catetos, respectivamente. Fazendo tg β 9 0, 7, encontraremos, pela tabela, que β 0 ; f) Sejam α e β os ângulos opostos ao maior e menor catetos, respectivamente. Se fizermos a tg α 97, 7, 6 encontramos um valor fora da tabela. ontudo, para tg β 6 0, 7. Temos, β 5 e, portanto, α 75 ; 97 e 7. (daptado da Vídeo ula) Inicialmente devemos calcular o valor da hipotenusa utilizando o Teorema de Pitágoras Então, sen α cos β 5, cos α sen β 5, tg α e tg β. omentário para professores: Na resolução da equação 5 só foi destacada a sua raiz positiva, pois representa a medida da hipotenusa. 8. (daptado da Vídeo ula) Na figura podemos destacar o triângulo H, retângulo em H, e aplicar o Teorema de Pitágoras. + h h h H Figura h 60 No mesmo triângulo, o ângulo de 60 terá cateto oposto igual a, cateto adjacente e hipotenusa. Portanto sen 60, cos 60 e tg 60, o que responde o item a). omo 60 e 0 são complementares, teremos: i) sen 60 cos 0 ; ii) sen 0 cos 60 ; e g) omo sen 0, concluímos que o cateto oposto é metade da hipotenusa. iii) tg 60 tg 0. ssim, tg matematica@obmep.org.br

9 9. Observe que podemos construir um triângulo retângulo com hipotenusa coincidindo com a escada rolante (um segmento de reta que a represente pelo comprimento), um ângulo na base da escada com o solo medindo 0 e estamos em busca do valor de cateto oposto (a altura h entre os andares), portanto, usaremos o seno de 0. sen 0 h 0 h 0 h 5 metros. 0. Seja D o quadrado de lado cm, pelo Teorema de Pitágoras, a sua diagonal medirá cm e ĈD 5 (figura 5). D. (Etraído de um antigo livro chinês.) Se é o comprimento do bambu temos ( + ) + 8, o que dá , 7 chih.. rampa deve ser vista como a hipotenusa de um triângulo retângulo e a altura h será o cateto oposto ao ângulo de 0. Então usaremos o sen 0 h 6, sendo assim, h m ou 00 cm. Para a quantidade de degraus basta fazermos 00 degraus. 5. a) (daptado do vestibular do IFSP/0) Sejam c o comprimento da escada e a projeção de em D. omo o alcance da escada é de 5 metros, teremos 5 m. Usando que sen 60 5 c, então c 0 0 m. b) om a perda de 5% o novo ângulo será 0, nova altura máima será h +, com h, definindo como o ponto onde a escada toca o prédio. Fazendo sen 5 h, temos h m. 5. partir da altura H h relativa à, temos sen α h c e h c sen α (figura 8). Portanto, 5 i) sen 5. ii) cos 5. iii) tg 5. Figura 5. Sejam a largura do rio e h a altura da torre. De início, temos que tg 60 h, ou seja, h. pós o afastamento encontramos que tg 0 h (0 + ). Por fim, (0 + ), donde 5 metros. h, isto é, 0 + α c Figura 8 Por fim, como a base b, S bh b c sen α. 6 sen 5 6. S cm. O antigo livro chinês Jiuzhang Suanshu contém 6 problemas. Para a solução de alguns, é necessário o uso do gou gu, ou seja, do Teorema de Pitágoras. O problema está no apítulo 9 do Jiuzhang. Fonte: PI OMEP-Livro. H h β 8 matematica@obmep.org.br

10 7. Temos D tg α tg β. omo + d, vem ( + d) tg α tg β. Daí, e d D tg β d tg α tg α tg β tg α tg β tg α tg β. 8. (Etraído do material do IMP/PPMEM.) Figura 9 Sejam h a altura do Pão de çúcar e a distância de ao pé da altura (figura 9). Então, teremos que tg h 0, 9 e tg 0 D h h 0, pós resolver o sistema, chegaremos a h 9,. 9. justaposição das figuras não geram os triângulos retângulos maiores que aparentam estar no desenho. No triângulo menor, temos que o ângulo agudo da base tem tg α 5 e no maior, tg α. Logo, a figura não é 8 um triângulo (nem a figura ), por isso, na reorganização, surge um quadradinho branco. pós a movimentação, a suposta hipotenusa da figura grande muda levemente a curvatura, avançando a diferença de quadradinho que surge. 0. (daptado de vestibular da UFPR.) Sendo h a altura do prédio e a distância do observador até o prédio no primeiro momento, logo No segundo momento, tg 0 h. tg 5 h + 9. omparando o valor de na duas equações, obtemos h 7 metros.. (Etraído do Geogebra.org) omentário para professores: Um dos instrumentos de medida usuais, baseado nas funções trigonométricas, é o teodolito (figura 0), que faz medidas de ângulos com imensa precisão na vertical e na horizontal. Figura Usando que tg 0, obteremos que 85, 7 metros. (a aproimação foi para cima, se a fizéssemos para baio poderíamos perder parte da antena da torre). Figura 0: Teodolito. Imagem: apítulo, ensinomedio.impa.br, acesso em 00.. (Etraído do site onstruindo a figura 5 e analisando-a, podemos concluir que Tal ilusão é conhecida como o Paradoo do quadrado perdido 9 matematica@obmep.org.br

11 Figura 5 cos α L H L L H L cos α H L ( cos α).. (Etraído do site omeçando pelo cálculo do valor do outro cateto. (a) a + 8a a. Daí, > a e esta é a medida do maior cateto. Portanto, o lado menor é o que mede a e o cosseno do seu ângulo oposto α será a razão cos α a a.. (Etraído do site lubes de Matemática da OMEP) Observe que após k horas, k R, Maria estará a k km de sua casa e João a 0 6k da casa dela. distância d entre eles será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo k e 0 6k. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos que o quadrado de um número real: 5k 0k + 00 ( 5 k 0k ) 5 ( 5 k k ) 9 ( 5 k k + 0 ) 9 ( 5 k k ) 9 5 [(k k ( ) ) ] [ ( 5 k ) ] +. () 9 Para qualquer número real k, temos ( k ) 0, o que equivale a fizer que seu valor mínimo é zero e isso ocorre apenas quando k. Substituindo a raiz indicada em (), o valor mínimo será km. Por curiosidade, isso ocorre hora após a saída de ambos, ou seja, após hora e 0 minutos. 5. Na figura 7, sejam y e T. d (k) + (0 6k) 9k k + 6k 5k 0k d 5k 0k + 00 Para calcular a menor distância, devemos minimizar a epressão 5k 0k Uma boa estratégia é escrevê-la como soma de um trinômio quadrado perfeito e Figura matematica@obmep.org.br

12 No, usando o Teorema de Pitágoras, temos que y + 6 (8 + ) y 8 () Daí, temos que T, já que T, logo 0 8 y 6,. () De () e () obtemos o caminho mais curto fazendo , 6, 8 cm. 6. Seja S a área do, então S S S. Tomando como base o ângulo ˆ β, teremos que: omo tg α e tg β y chegamos a Y. Pelo Teorema de Pitágoras, obtemos X + P PX PX +, e P + Y PY PY +. área do triângulo hachurado, em função de, fica + + (XPY) +. S S S Daí, obtemos que 5 sen β ; 0 9 sen β ; e 5 sen β 0 9 sen β. omo é um número positivo, podemos aplicar a desigualdade das médias (aritmética geométrica), obtendo sen β S S 5 sen β 0 9 sen β. Ou seja, podemos concluir que S S. 7. (Etraído do eame do PROFMT/0) Seja o cateto oposto a 0. Então tg 0 0, Logo, m e a altura do morro é de +, 6 5, 6 m. Portanto, resposta é letra D. 8. (Etraído do eame do PROFMT/0) omo a hipotenusa mede e um dos catetos mede 5, pelo Teorema de Pitágoras, o outro cateto mede. Os ângulos agudos terão tangentes iguas a 5 e 5. Portanto 5 + 5, 8 e a resposta é letra E. 9. (Etraído da OMEP 0) Sendo Y y, ˆPX α e ˆPY β, observe que α + β π. O que conclui que o menor valor de + é e ocorre quando. Para, temos (XPY) u.a.. 0. (Etraído do eame do PROFMT/0) Sejam D y e E. Portanto, no D, temos que cos α y 5, no ED, cos α y e no E, cos α. Resolvendo esse sistema, teremos que cos α e, portanto, a resposta é letra. 5. Temos ˆ Ĉ 7, pois é isósceles de base (figura ) Portanto, tg α tg β. Figura matematica@obmep.org.br

13 bissetriz do ângulo ˆ encontra no ponto D e separa os triângulos isósceles D, de base, e D, de base D. Donde segue que 5 Ficamos com, pois > 0. bissetriz de  (que contém as altura e mediana relativas a ) tem interseção com em H. (figura ). D D 5 e 7 H D 8 y 7 (figura ). Figura No H, retângulo em H, teremos que calcular o valor do cateto H y. Pelo Teorema de Pitágoras, ( ) 5 + y y y y D Figura Obtemos assim 5 a) sen 8 e cos ; b) sen e cos 7. Pelo Teorema da issetriz Interna, teremos + 0 ± 5. (Etraído do vestibular da ESPM/0) Sejam r e s as retas representadas da figura 5, onde s é a tracejada. Denomine a projeção de na reta r como o. Então, cos 60 P 8 e sen Portanto, km e P km. hame de a projeção de na reta r. Perceba que km. onsequentemente, tg 0 P, isto é, P km. Por fim, 8 km. omo o avião percorreu essa distância em dois minutos, em uma hora iria percorrer km. ssim, a resposta é a letra.. Usando os valores da figura 6, teremos pela proposição que (D) (D) y. matematica@obmep.org.br

14 c β β a b Figura 6 D y plicando o resultado do eercício 5 obtemos cb sen β ab sen β c a D y y O que demonstra a proposição. D. omentário para professores: proposição é conhecida também como Teorema da issetriz Interna ou, pela forma lúdica, Teorema da ailarina. Esse segundo nome deve-se ao truque de memorização usado para lembrar das razões ennvolvidas em seu enunciado que podem ser associados a um movimento de alé (figura 7). Figura 7 Em resumo, num com bissetriz D, D, como na figura 6, temos que D D. Elaborado por Tiago Miranda e leber ssis Produzido por rquimedes urso de Ensino contato@cursoarquimedes.com matematica@obmep.org.br