(1) de Newton F=ma, se x(t) é a

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E APLICAÇÕES Ana Maria S. Luz (anamluz@ul.cm.br - blsista PIBIC/CNPQ) e Prf. Dr. Francisc Júli Sbreira de Araúj Crrêa (fjuli@ufpa.br - rientadr), Departament de Matemática, CCEN - UFPA Resum. Darems inicialmente uma breve intrduçã sbre a teria das equações diferenciais. Apresentarems algumas nções preliminares a estud da teria qualitativa das equações diferenciais rdinárias. Farems um estud das equações diferenciais rdinárias de primeira rdem e algumas aplicações destas em utras ciências. Desenvlverems psterirmente estud das equações diferenciais rdinárias de segunda rdem e ds sistemas de equações diferenciais, utilizand cnteúd discutid em aplicações da Física e da Bilgia. Intrduçã. A Teria das Equações Diferenciais é bjet de intensa atividade de pesquisa pis apresenta aspects puramente matemátics e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações, neste tet abrdarems especificamente as equações diferenciais rdinárias (equações que só apresentam derivadas rdinárias em relaçã a uma variável). Eempl de Equações Diferenciais Ordinárias: dr( t) Equaçã que representa a lei = kr( t) () de Newtn F=ma, se (t) é a psiçã n instante t de uma partícula de massa m d submetida a uma frça f m = f ( ) () Será feit estud e análise crítica de diversas aplicações das equações diferenciais Ordinárias riundas da mecânica, química, bilgia, etc., assim cm seu estud qualitativ, em que se tma a atitude de retirar das equações infrmações sbre cmprtament de suas sluções, sem aquela precupaçã de escrevê-las eplicitamente, tal estud se justifica pel fat de que númer de equações que pdem ser reslvidas em terms de funções elementares, sem a utilizaçã de métds numérics, é pequen. Esse estud qualitativ das sluções é característic da fase mderna da teria das equações diferenciais rdinárias, que se define cm Pincaré n final n sécul XIX. Nã devems perder de vista que a teria qualitativa nã elimina interesse e a imprtância de se ter infrmações quantitativas sbre as sluções, que pde ser btid pels métds descrits na bibligrafia deste artig. Mas cm mstrarems, muitas aplicações prvenientes de utras ciências, cm a Bilgia e a Física, necessitam de uma prévia análise qualitativa das equações diferenciais rdinárias que as mdelam cm frma de se verificar se as sluções estã de acrd cm prblema que mtivu mdel. Nções Preliminares. Apresentarems aqui alguns resultads de grande imprtância pra desenvlviment deste artig. Terema (Eistência e Unicidade) Seja f: Ω R uma funçã cntínua definida num abert Ω d plan (,y). Supnhams que a derivada parcial cm relaçã à segunda variável, f y :Ω R, seja cntínua também. Entã, para cada (, y ) Ω, eistem um interval abert I cntend e uma única funçã diferenciável φ: I R cm (, φ()) Ω, para td I, que é sluçã d prblema de valr inicial (P.V.I) y =f(,y) y( )=y Para a demnstraçã de tal resultad nós utilizams Terema d Pnt Fi de Banach, cnhecid também cm Princípi da Cntraçã: "Seja C um espaç métric cmplet. Supnha que Φ :C C é uma cntraçã, ist é, eiste uma cnstante 0 k <, tal que Equaçã que gverna decaiment de uma substância radiativa cm temp R(t), nde k é uma cnstante cnhecida (3) (4) Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página de 0

2 ( Φ ( g ), Φ( g ) kd( g g ). d, para tds g, g C. Entã, eiste um e smente um g C tal que g=φ (g)" Prém devems primeir transfrmar a Equaçã Diferencial em uma equaçã integral cuja frma é: y ( ) y + f s y( s) = (, )ds. De psse destes resultads, que também pdem ser estendids para sistemas de equações diferenciais rdinárias, desenvlvems s tópics a seguir. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. A rdem de uma equaçã diferencial é a rdem da derivada de mair rdem que aparece na equaçã. Apresentams a seguir a frma geral de uma equaçã diferencial de primeira rdem: (5) f (, y, y' ) = 0 Também pdems escrevê-la da seguinte frma: dy = f (, y) (6) d Se a funçã f das equações (5) e (6) depender linearmente da variável dependente y, entã a equaçã pde ser escrita na frma: dy (7) + p( ) y = g( ) d e é chamada de equaçã diferencial linear de primeira rdem. A equaçã (7) cm g() 0 é chamada de equaçã linear hmgênea. A sluçã d P.V.I hmgêne cm y( )=y é dada pr: y t p s ds = y e [ ( )] [ p( s)] ds ( ). Usarems a ntaçã T(, = ) e cm bjetiv de simplicar a sluçã d prblema de valr incial (3)-(4) quand f fr linear, u seja, a equaçã diferencial estiver na frma (7), que é dada pela seguinte epressã: y ( t) = T (, ) y + T(, s) g( s) ds. Essa fórmula é chamada de fórmula de variaçã das cnstantes. Equações diferenciais da frma: f ( y ' ) g( y) =, g( y) 0 d nde y ' = denta a derivada da funçã y em relaçã à variável independente, sã d chamadas de separáveis. Utilizand cnteúd desenvlvid até esse pnt para equações diferenciais rdinárias de primeira rdem analisarems as seguintes aplicações: Cresciment de tumres. Tem sid bservad eperimentalmente que micrrganisms que se reprduzem de frma a crrer a sua duplicaçã ( mitse ), cm as bactérias, tem sua taa de cresciment prprcinal a vlume de células divididas em um dad mment. Dentand pr V(t) vlume de células divididas n temp t. Entã, dv = λ V para alguma cnstante psitiva λ. A sluçã é V ( t) = V e λ( t ) nde V é vlume de células divididas n temp inicial t. Entã vlume de células divididas cresce epnencialmente cm temp, u seja V(t) quand t, que é t (8) (9) Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página de 0

3 impssível de ser mantid para sempre, tems, entã, um mdel de natureza razável que tem melhr aplicabilidade em intervals delimitads de temp. Pr utr lad, cresciment de tumres sólids nã é epnencial em relaçã a temp. Através de pesquisas verificu-se que uma ba aprimaçã de V(t) que melhr se adequa as dads btids da análise de váris tumres sólids e dada pela equaçã λ V ( t ) = V ep ( ep ( α t ) (0) α nde ep()=e, λ e α sã cnstantes psitivas. A equaçã (0) é cnhecida cm uma relaçã de Gmpertizian. A análise desta equaçã ns infrma que tumr cresce mais e mais lentamente cm passar d temp e que limite d vlume de células λ α divididas é aprimadamente: V e. Mdel de epidemia. Analisarems um mdel simplificad para prpagaçã de uma dença. Na cnstruçã d mdel que analisarems, fram feitas as seguintes hipóteses: ) Uma fraçã de uma determinada ppulaçã tem uma dença infeccisa, entã uma fraçã S= (-) nã a tem. ) Os membrs desta ppulaçã pdem encntra-se livremente (a acas). 3) A taa de aument de é prprcinal a e S. Em cnseqüência destas hipóteses, tems que mdel é dad pela equaçã d = r( ), nde r é uma cnstante psitiva. Esta é uma equaçã diferencial rdinária separável, reslvend-se a equaçã: d = r( ) rt = rt = + rt = lg ( ) d lg ( ) rt = lg + c rt c e = e rt = ke, k = e =. rt ( / k) e + Aplicand a cndiçã inicial (0)=, btems =, rt e que apresenta, quand t. Ist quer dizer que mais ced u mais tarde cada pessa vai cntrair a dença, nã uimprtand quantas pessas estavam infectadas inicilamente, a mens que a cndiçã inicial seja igual a 0 (zer), pis neste cas teríams =0 para td t. Felizmente, este mdel é deveras simplificad, e nã leva em cnsideraçã, pr eempl, a pssibilidade de que as pessas infectadas pssam ser isladas u que se recuperem da dença ficand sadias. d c + c Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página 3 de 0

4 Equações Diferenciais rdinárias de Segunda Ordem. Uma Equaçã Diferencial de Segunda Ordem tem a frma d y dy = f, y, () d d Dizems que a equaçã () é linear quand a funçã f é linear em y e em suas derivadas, ist é quand dy dy f, y, = g( ) p( ) q( )y () d d nde p,q e g:(a,b) R sã funções cntínuas e derivadas num interval abert (a,b). Pdems escrever a equaçã () da frma: y "( ) + py' ( ) + q( ) y = g( ) (3) Um prblema de valr inicial é cnstituíd pr (3) e um par de cndições iniciais da frma y( )=y, y'( )=v (4) nde ( a, b) e y e v sã valres dads. Terema : Se p, q e g sã funções cntínuas em (a,b) entã prblema de valr inicial (3)-(4) tem uma e smente uma sluçã definida em td interval (a,b). Quand na equaçã (3) g 0 tems a equaçã hmôgenea y "( ) + py'( ) + q( ) y = 0 (5) A respeit das sluções da equaçã hmôgenea tems seguinte terema. Terema 3 (Princípi da Superpsiçã): Se ϕ e ϕ frem duas sluções da equaçã diferencial (5) entã qualquer funçã da frma ϕ ( ) = αϕ + αϕ (6) nde α e α sã cnstantes arbitrárias é a sluçã da equaçã diferencial (5). determinante Definiçã : (i) Duas funções, ϕ : ( a,b) R eiste uma cnstante k tal que ϕ ( ) = kϕ( ), ( a, b) (ii) Duas funções, ϕ : ( a,b) R se a cndiçã ϕ ) + α ϕ ( ) = 0, ( a, b) α = α = 0 ϕ sã linearmente dependentes (L.D) se ϕ sã linearmente independentes (L.I) α implicar que ( Definiçã : Dadas duas funções diferenciáveis : ( a,b) R ϕ W[ ϕ, ϕ] ( ) = ϕ' ϕ ( ) ϕ( ) ( ) ϕ' ( ) ϕ,, ϕ é chamad Wrnskian das funções ϕ e. Terema 4::Se ϕ e ϕ sã duas sluções particulares da equaçã linear hmgênea y''+ p()y'+ q()y=0 num interval (a,b), e se num pnt ( a,b), Wrnskian das duas sluções é diferente de zer, entã Wrnskian será diferente de zer em qualquer utr pnt n interval (a,b) e as sluções serã linearmente independentes n interval. Terema 5: Sejam ψ ψ : ( a,b) R duas sluções L.I de (5). Entã qualquer sluçã ϕ de (5) é da frma ϕ = αψ + αψ (8) cm α e α cnstantes esclhidas cnvenientemente. Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página 4 de 0 (7)

5 Pde-se cncluir destes resultads que espaç das sluções das equações diferenciais de segunda rdem lineares hmgêneas tem dimensã. Os dis resultads seguintes descrevem a estrutura das sluções das equações nã hmgêneas (equações da frma da equaçã (3)) e prprcinam a base para a cnstruçã da sua sluçã geral. Terema 6: Se y () e y () frem duas sluções da equaçã nã hmgênea (3), entã a diferença y ()-y () é sluçã da equaçã hmgênea crrespndente (5). Se além diss ψ e ψ cnstituírem um cnjunt fundamental de sluções (ist é, cnstituem a base d espaç das sluções) da equaçã (3) entã y ()-y ()= α ψ + α ψ (9) nde α e α sã cnstantes determinadas. Terema 7: A sluçã geral da equaçã nã hmgênea (3) pde ser escrita na frma y α ψ + α + y (0) ( ) ( ) = ψ nde ψ e ψ cnstituem um cnjunt fundamental de sluções (ist é, cnstituem a base d espaç das sluções) da equaçã hmgênea crrespndente e α e α sã cnstantes arbitrárias e y p é uma sluçã particular da equaçã nã hmgênea Para a btençã da sluçã particular pde-se utilizar métd da variaçã ds parâmetrs assim cm métd de reduçã da rdem da equaçã diferencial, métd ds ceficientes a determinar e métd pra btençã de sluções de equações diferenciais rdinárias cm ceficientes cnstantes. Tds estes métds pdem ser encntrads na bibligrafia deste artig. Utilizand cnteúd desenvlvid até esse pnt para equações diferenciais rdinárias de segunda rdem analisarems a seguintes aplicaçã: Osciladr Harmônic. O sciladr harmônic é mdel matemátic para mviment retíline de uma particula sujeita a uma frça atratra para a rigem e cm magnitude igual a um múltipl k (cnstante psitiva) da distância a rigem: -u u -ku 0 -ku Figura. Designand pr m a massa da partícula, a a lei de Newtn ns dá mu =-ku u seja mu +ku=0 () que é a equaçã d sciladr harmônic simples. Fazend w =k/m, tem-se que a sluçã geral da equaçã () é dada pr u( t) = c cs wt + csenwt () nde c e c sã cnstantes arbitrárias que pdem ser determinadas sabend-se a psiçã inicial da partícula, u(0)=u, e sua velcidade inicial, u (0)=v. Assim de () tems c =u, Derivand () e fazend t=0 btems c w =v. Lg () pde ser escrit cm v u( t) = u cswt + senwt. (3) w Agra definims as cnstantes R e δpelas epressões v u R = + u + = e sen = w, csδ δ R cm a restriçã 0 δ < π. Usand (3) e (4) btems u( t) = Rcs( w t δ ). O gráfic a seguir descreve cmprtament da sluçã da equaçã diferencial (). p v Rw (4) (5) Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página 5 de 0

6 Figura Se n sciladr huver a presença de uma frça resistiva prprcinal à velcidade, a a lei de Newtn ns dá mu =-ku -γu, nde γ é uma cnstante psitiva, u seja mu + γu +ku=0, que é a equaçã d sciladr harmônic amrtecid. Esta é um equaçà diferencial de segunda rdem cm ceficientes cnstantes. O discriminate d plinômi caracterísic desta equaçã é dad pr 4km = γ. m Classifica-se tip de amrteciment de acrd cm sinal d discriminante, para >0 tem-se amrtecment frte, para =0 amrtecment é dit crític e para <0 tem-se amrteciment scilatóri. Neste últim cas, a sluçã geral é dada pr γ / m k γ u( t) = e [ c cs µ t + csenµ t], µ = +. m 4m Definims as cnstantes R e δcm n cas d sciladr harmônic simples c c R = + c + c, csδ = e senδ =. R R Obtems γ / m u(t) = Re cs( µ t δ ). (6) Analisand a equaçã (6) bserva-se que u(t) 0 quand t. neste cas, m entretant, mviment é scilatóri, mas a amplitude ( Re γ/ ) de decresce epnencialmente, cm pde ser bservad n gráfic a seguir; Figura 3 Supnhams agra que há uma frça eterna atuand na partícula, frça essa que independe da psiçã e da velcidade da partícula, mas que pde variar cm temp. Neste cas, a lei de Newtn ns dá: mu =-ku-γu+f(t), u seja mu + γu +ku=f(t) (7) Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página 6 de 0

7 que é a equaçã d sciladr harmônic amrtecid e frçad. Vams tratar apenas cas em que a frça eterna é periódica tip c-sen. O prcediment é análg n cas de um sen. A equaçã (7) se trna γ k u" + vu' + w u = E cs wt, v = e w =. (8) m m A sluçã geral de (7) é dada pr u(t)=u h (t)+u p (t) send u h (t) a sluçã da equaçã hmôgenea crrespndente a (8) que é a equaçã d sciladr harmônic amrtecid lg γ / m u (t) = Re cs µ t δ. h ( ) Uma sluçã particular de (8) é dada pr E ( w w ) t ( w + w ) t u p ( t) = sen sen w w Quand v=0, u h (t) é a sluçã da equaçã diferencial d sciladr harmônic simples lg u ( t) = Rcs( w t δ ) h. Para v = 0 e w w em (8), mas w praticamente igual a w, tems fenômen chamad de batiment. A nmeclatura batiment vem da Acústica: cada nta musical tem uma freqüência própria (w representa esta freqüência também chamada freqüência natural); quand uma nta básica e a nta crrespndente d instrument musical sã tcadas simultaneamente, haverá batiment cas suas frequ6encias defiram ligeiramente. Afinar instrument significa ajustá-l de md a evitar batiments. O gráfic a segui descreve cmprtament da sluçã geral u(t) quand crre esse fenômen. Figura 4 Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Um sistema de n equações diferenciais de primeira rdem é um cnjunt de n equações diferenciais, cm uma variável independente t e n variáveis dependentes,,..., n, que pdem ser escritas da seguinte frma d = F (,..., n, ',..., n ',t) d = F (,..., n, ',..., n ',t)... d n = Fn (,..., n, ',..., n ',t) Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página 7 de 0

8 nde F,F,...,F n sã quaisquer funções de (n + ) variáveis reais, que definem sistema. Nã sã cnsiderads sistemas de equações de rdem superir a, devid a que se alguma das equações diferencias fr de rdem superir, pderá ser escrita cm um sistema de equações de primeira rdem. Sistemas na frma: ' = f (, y) y' = g(, y) sã denminads sistemas autônms n plan, pis f e g nã dependem eplicitamente da variável (temp) t. As sluções ((t), y(t)) sã curvas parametrizadas n plan de fases (,y) denminadas órbitas. Pde-se escrever equações diferenciais de segunda rdem qua nã dependam eplicitamente da variável t na frma de sistemas autônms, cm n cas da equaçã deferencial que mdela pêndul simples. O pêndul simples cnsiste de uma partícula de massa m fiada na etremidade inferir de um fi inetensível (idealmente sem massa) de cmpriment l, cuja etremidade superir está fiada. Supnd-se que mviment se dê em um plan vertical. Designand pr ângul d fi cm a vertical. Usand a lei de Newtn tems: m' ' = Tsenθ e my' ' = mg T csθ. Figura 5 Cm =lsenθ e y=lcsθ através de manipulações algébricas btems l θ' ' + gsenθ = 0 (9) que é a equaçã d pêndul. Pdems escrevê-la na frma d sistema autônm θ ' = y g. y' = senθ (30) l Uma linearizaçã da equaçã (9) pde ser cnseguida, substituind-se senθ pr θ, que necessariamnete restringe sua aplicabilidade a cas de pequenas scilações θ. A equaçã (9) se trna: g θ' ' + θ = 0 (3) l que é, entã um mdel matemátic para representar fenômen das pequenas scilações d pêndul. A equaçã (3) é d tip d sciladr harmônic simples. Sua sluçã é: θ( t) = Rcs( w t δ ) e que diz que as scilações sã periódicas de amplitude R e freqüência circular w = g / l. Uma aplicaçã interessante ds sistemas autônms é mdel predadrpresa, que é um mdel para predaçã (fatr biótic que pde servir cm reguladr d tamanh de ppulações). A predaçã é a destruiçã vilenta de um indivídu pr utr. O rganism predadr alimenta-se de uma presa que lhe serve cm fnte de energia. O mdel que irems analisar cnsidera a predaçã especificamente entre duas espécies, uma espécie ( predadr) alimenta-se de utra espécie (a presa), enquant esta última vive de utra fnte de aliment Cm eempl tems: n pantanal mat-grssense s jacarés que se alimentam das piranhas, u ns ris da amazônia tucunaré que também se alimenta das piranhas u utrs peies carnívrs, u ainda n cntet amazônic as nças que se alimentam de redres e animais herbívrs e as lntras e ariranhas cmedres de peies e pequenas aves. Deve-se ressaltar que um mdel que envlve smente duas espécies nã pde Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página 8 de 0

9 descrever, na sua integridade, as cmplicadas relações alimentares entre as espécies que eistem na natureza, mas ns serve para um singel entendiment d fenômen. Vams indicar pr e y, respectivamente, as ppulações da presa e d predadr, num instante t. A se cnstruir mdel da interaçã das duas espécies, fram feitas as seguintes hipóteses. ) Na ausência da predadr, a presa cresce a uma taa prprcinal à ppulaçã presente; entã d/=a, a>0, quand y=0 (equaçã que apresenta as mesmas cnclusões btidas para cresciment de tumres). ) Na ausência da presa, predadr desaparece; entã dy/=-cy, c>0, quand =0. 3) O númer de encntr d predadr cm a presa é prprcinal a prdut das respectivas ppulações. Cada encntr tende a prmver cresciment d predadr e inibir cresciment da presa. Assim a taa de cresciment d predadr é acrescida pr uma parcela da frma γy, enquant a taa de cresciment de presa é diminuída pr uma parcela -αy, nde γé um ceficiente que mede a habilidade predatória da espécie y e α mede a susceptibilidade da espécie às açõs predatórias, α e γsã cnstantes psitivas. Em cnseqüência destas hipóteses, tems que mdel é representad pelas equações d = a α y = ( a α y) (3) dy = cy + γ y = y( c + γ ) As cnstantes a,c, α e γsã tdas psitivas; a e c sã a taa de cresciment da presa e a taa de mrtalidade d predadr respectivamente, α e γsã medidas ds efeits da interaçã entre as duas espécies. As equações (3) sã cnhecidas cm equações de ltka-vlterra. Fram desenvlvidas em artigs pr Ltka, bifísic a merican, em 95 e pr vlterra, matemátic italian, 96. Apesar dessas equações apresentarem simplicidade elas descrevem uma ampla classe de prblemas. Pr eempl n Pantanal d Mat-grss vive a nça pintada, predadr que se alimenta d gad encntrad nas fazendas e de utrs animais herbívrs cm a anta, cerv -dpantanal e a capivara; devid as ataques a gad, a nça recebe ferz perseguiçã pr parte ds fazendeirs d Pantanal; entretant cm a mrte das nças (predadr), há aument das ppulações de herbívrs, que está de acrd cm as hipteses d mdel. O Sistema (3) apresenta dis pnts crítics, u seja, pnts (,y) tal que ( a αy) = 0, y c + γ = ( ) 0 (0,0) e (c/γ, a/α). As equações a seguir valem para as trajetórias que ficam próimas d pnt crític (c/γ, a/α). c c = + K cs( act + φ) γ γ. a a c y = + Ksen( act + φ) α α a Cm pdems perceber, períd independe da amplitude das scilações das ppulações de predadr e presa (desde que elas nã sejam grandes ) e é igual a T = π / ac. Ist quer dizer que períd depende apenas das taas de cresciment das ppulações. A figura a seguir epressa as variaçòes das ppulações d predadr e da presa, cm temp n sistema (3) para a=, α=0,5, c=0,75 e γ=0,5. Observams que a scilaçã d predadr segue a scilaçã da presa. Principiand-se em um estad n qual as duas ppulações, d predadr e da presa, sã relativamente pequenas, a ppulaçã da presa cresce, inicialmente, em virtude da pequena açã Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página 9 de 0

10 predatória. Entã, s predadres, cm alimentaçã abundante, aumentam de ppulaçã. Ist prvca mair açã predatória e a ppulaçã da presa tende a diminuir. Finalmente, cm supriment de aliment diminuíd, a ppulaçã d predadr também diminui e sistema retrna a estad riginal. Figura 6 Cnsiderações Finais. Uma vez que neste artig fram desenvlvids resultads teórics básics das equações diferenciais rdinárias, pde-se perceber que na análise das aplicações prvenientes de utras ciências, a teria qualitativa das equaçõe s diferenciais rdinárias mstra-se um instrument de grande imprtância, pis permite que se verifique previamente se a equaçã matemática utilizada para mdelar prblema em questã realmente se adequa a fenômen descrit pel mdel. Bibligrafia.. ACHESON, D. Frm Calculus t Chas: an intrductin t dynamics. New Yrk:Ofrd University Press, BOYCE, W. E.; DIPRIMA R. C. Equações Diferenciais Elementares e Prblemas de Valres de Cntrn. 6 ed. Ri de Janeir: LTC, BRANCO, Samuel Murgel. O desafi amazônic. 6 ed. rev. e ampl. Sã Paul: Mderna, 995. Cleçã plêmica. 4. BRAUN, Martin Differential Equatins and Their Applicatins, Springer-Verlag, FIGUEIREDO, Djair Guedes de; NEVES, Alisi Freiria. Equações Diferenciais Aplicadas. Ri de Janeir, IMPA, CNPq, MARCONDES, Ayrtn César; LAMMOGLIA, Dmings Ângel. Bilgia ciência da vida. Sã Paul: Atual, 994. Revista Virtual de Iniciaçã Acadêmica da UFPA Vl, N, març 00 Página 0 de 0