são as áreas dos retângulos brancos, Após o 5º. giro: 5

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1 Sluçã da prva da 1ª Fase SOLUÇÕES 1ª FSE 2016 OMEP N Nível Cada faia da bandeira tem área igual a 300 cm 2. s partes brancas da faia superir têm, prtant, área igual a 150 cm 2. parte branca da faia d mei tem área Cada faia da bandeira tem igual área a 100 igual cm a e cm as 2 partes. s partes brancas brancas da da faia faia inferir superir têm têm, área prtant, 120 cm área 2. Lg, igual a a 150 sma cm 2. parte branca da faia d das mei áreas tem ds área retânguls igual a 100 cm brancs 2 e as partes é 150 brancas 100 da faia inferir têm área 120 cm 2. Lg, a sma das áreas ds retânguls 120 brancs 370 cmé cm 2. Em utras palavras, se 1, 2 e 3 sã as áreas ds retânguls brancs, respectivamente, em cada Em O mair uma utras das númer três palavras, faias, se de três entã, algarisms 1, a 2 área e é ttal sã de as Se tds áreas dividirms 999 pr 13, tems s retânguls brancs resultad é ds 1 76 e retânguls rest Lg respectivamente é em cm mair 2. cada múltipl uma de 13 três algarisms e a sma de das seus três algarisms faias, é 9 entã, 8 8 a 25. área ttal de tds s 2 retânguls brancs é cm 2. O enunciad da stã mstra dad em suas duas primeiras psições. Cntinuand O enunciad da stã s sucessivs mstra girs, dad bservams 2 em suas duas faces primeiras d dad psições. se prtam Cntinuand da seguinte s sucessivs maneira: girs, bservams as faces d dad se prtam da seguinte maneira: N1Q6 pós 1º. gir: pós 2º. gir: N1Q pós 3º. gir: 4 pós 4º. gir: D pós 5º. gir: 5 Cm quatr aluns crrespndem 6 a 10% ds aluns da esclinha de futebl, cncluíms esta tem 4 (10/100) aluns. Lg, aluns 2 6 participam smente da esclinha de futebl. Os mesms quatr aluns crrespndem a 25% ds aluns da esclinha de baste tem, prtant, 4 (25/100) 16 aluns. ssim, 16 4 pós 12 aluns 6º. gir: participam smente desta esclinha. Cnclusã: númer de atletas participam 2 smente de uma esclinha é ssim, númer aparece n tp d dad quand este estiver sbre a casa cinza é 2. ssim, númer Observe aparece tp, d C dad e quand C sã este diagnais estiver sbre das a casa cinza é 2. faces d cub e, prtant, pssuem a mesma medida Lg, s E segments e C sã lads d triângul Observe equiláter C. a cartela O ângul seis ÂC adesivs é, é entã, idêntica um à primeira ângul cartela acrescida ds adesivs intern e de. Lg, um triângul preç da equiláter, cartela seis adesivs mede 60º. é igual a 16 reais mais preç desses dis adesivs. Pr utr lad, esses dis adesivs aparecem na segunda cartela juntamente s adesivs e, mas esses dis últims adesivs junts custam 5 reais, 6 mstra a terceira cartela. Lg preç ds adesivs e, junts, é reais e, cnseqüência, a cartela C seis adesivs custa reais. Vams clcar tds s gabarits em uma mesma tabela, usand as letras, Observe uma e C variaçã para dentar da sluçã: na, eatriz e Cecília, respectivamente C C C C C C Ou seja, Prtant, preç da cartela 6 adesivs é igual a reais.

2 reduz a nssa reduz esclha, a nssa dentre esclha, s númers dentre n s interval númers acima, n interval as númers acima, as pares númers vã pares d 6 vã d 6 a 48. a Cnsiderand 48. Cnsiderand a 48. agra Cnsiderand agra,, além além diss, agra diss, rems, rems além númers diss, númers rems cujas cujas metades númers metades sejam cujas sejam númers metades númers sejam númers de dis de dis algarisms, algarisms, de nssa dis nssa algarisms, esclha esclha fica nssa restrita fica restrita esclha as númers as fica númers restrita pares as pares entre númers entre 20 e 20 48, pares e incluind 48, entre incluind e 48, 20 incluind 20 e 48. e Pdems 48. Pdems e cntá-ls 48. cntá-ls Pdems sem sem listá-ls, cntá-ls listá-ls, bservand, sem bservand, listá-ls, pr eempl, pr bservand, eempl, pr eempl, Sluçã da prva da 1ª Fase , 2 10, , 2 10, 11, ,..., 2 11, 12,..., ,..., 24 OMEP Nível 24 2 e terems e terems e terems númers númers 10 1 satisfazem 15 númers satisfazem as cndições as satisfazem cndições d enunciad. as d cndições enunciad. d enunciad Iniciams bservand Jãzinh fez 4 furs na flha desdbrada, uma vez Iniciams bservand após as duas Iniciams dbras, Jãzinh bservand Iniciams bservand Jãzinh fez 4 furs na flha desdbrada, uma vez lcal fez 4 esclhid furs na Jãzinh flha para desdbrada, fez 4 furs furar tem 4 uma na camadas vez flha, de após desdbrada, papel. as duas figura dbras, uma vez abai lcal esclhid após as duas após dbras, duas lcal dbras, esclhid lcal para esclhid furar tem para 4 camadas furar tem de 4 camadas papel. figura de papel. abai figura abai para furar tem mstra mstra 4 camadas a psiçã a psiçã de mstra ds papel. furs ds a furs psiçã após figura após cada abai ds cada desdbra. furs mstra desdbra. após a Observams cada psiçã Observams desdbra. ds ainda furs Observams ainda, após, após cada após uma desdbra. ainda uma desdbra,, desdbra, Observams após uma desdbra, ainda, após para uma para desdbra, cada cada fur fur btems para btems cada dis: fur, dis: um btems na um mesma na mesma dis: psiçã um um psiçã na na e mesma utr e utr em psiçã psiçã em e psiçã e utr utr simétrica em simétrica em psiçã à linha à linha simétrica de de à linha à linha de de desdbra. desdbra. desdbra. desdbra. Dentre as figuras das Dentre alternativas, Dentre as figuras as figuras apenas Dentre das alternativas, das a as primeira alternativas, figuras apenas respeita das apenas alternativas, a essas primeira a primeira simetrias. apenas respeita respeita a essas primeira essas simetrias. respeita simetrias. essas simetrias. Vejams Vejams mais Vejams mais detalhes: detalhes: na mais flha na detalhes: flha desdbrada, desdbrada, na flha ntams desdbrada, ntams ntams Vejams mais s s detalhes: s s deiads na deiads flha s pelas desdbrada, pelas duas deiads duas dbras ntams dbras pelas feitas duas feitas têm s dbras s têm seguinte feitas deiads seguinte têm Segund pelas duas aspect: Segund seguinte Segund dbras feitas têm aspect: seguinte aspect: Há dis Há dis furs furs inferires Há inferires dis simétrics furs simétrics inferires relaçã simétrics relaçã a primeir a primeir relaçã a primeir Primeir Há dis furs inferires e mais simétrics dis furs e mais relaçã superires dis a furs primeir superires aparecem e mais quand dis aparecem furs superires quand Primeir Primeir e mais dis furs superires aparecem quand aparecem desdbrams desdbrams quand a última desdbrams a última dbra; a dbra; última esses a última esses dbra; furs dbra; furs esses superires superires esses furs sã furs superires sã simétrics superires simétrics sã simétrics sã simétrics as as inferires relaçã a segund. inferires as relaçã inferires a segund as inferires relaçã. a segund relaçã. a segund. relaçã a primeir relaçã a primeir relaçã a primeir relaçã a segund relaçã a segund relaçã a segund D diferença diferença entre entre diferença mair mair e entre menr e menr palpite mair palpite e é 274 menr é palpite é e e pde pde ser 40 escrit ser e escrit 40 pde 40 ser escrit Cm quatr aluns Ist 9. ns Ist crrespndem leva ns 31 leva às 9. seguintes Ist às seguintes ns a 10% leva igualdades: às igualdades: ds seguintes aluns igualdades: esclinha de futebl, Pdems 234 Pdems 9 cncluíms cncluir 243. cncluir Pdems esta cncluir tem (10/100) 4 (1/10) 40 aluns. Lg, aluns participam smente da esclinha de futebl. Os mesms quatr aluns crrespndem a 25% ds aluns da esclinha de baste, tem, prtant, (25/100) 4 (1/4) 16 aluns. ssim, aluns participam smente dessa esclinha. Cnclusã: númer de atletas participam smente de uma esclinha é relaçã a segund relaçã a segund relaçã a segund relaçã a primeir relaçã a primeir relaçã a primeir Observe, C e C sã diagnais das faces d cub e, prtant, pssuem a mesma medida. Lg, s segments e C sã lads d triângul equiláter C. O ângul ÂC é, entã, um ângul intern de um triângul equiláter, mede 60º.

3 Sluçã da prva da 1ª Fase OMEP 2016 Nível C D Vams clcar tdas as respstas, identificand E suas respectivas autras, em uma mesma tabela na, eatriz e Cecília na Cecília eatriz e Cecília eatriz e Cecília na e Cecília C eatriz prva tem cinc stões; na acertu quatr stões e Cecília três, D cncluíms elas devem ter acertad pel mens duas na stões em um, e a E tabela ns mstra elas acertaram as na stões 1 e 5. Mas eatriz também eatriz acertu a stã 1, lg erru tdas as utras; cncluíms Cecília nã acertu as prva tem cinc stões. Cm na acertu quatr stões e Cecília três, cncluíms elas devem ter acertad stões 2 e 4, e lg ela acertu também a stã 3. Segue na erru a pel mens duas stões em um, e a tabela ns mstra elas acertaram as stões 1 e 5. Mas eatriz também stã 3. acertu a stã 1; lg, erru tdas as utras. Cncluíms Cecília nã acertu as stões 2 e 4, e, lg, ela acertu também a stã 73. Segue na erru a stã 3. Se Jurema pintar a sequência de 13 quadradinhs iniciand 7 quadradinh da etremidade esrda e depis pintar utra sequência terminand n quadradinh da etremidade direita, nesses dis cass, ela brigatriamente deverá Se Jurema pintar pintar a sequência nve quadradinhs, de 13 quadradinhs a saber, iniciand s quadradinhs quadradinh vã da etremidade de 5 a 13, esrda incluind e depis s pintar utra sequência etrems. terminand Esses n quadradinh mesms da quadradinhs etremidade direita, serã nesses também dis cass, pintads ela brigatriamente se ela eçar deverá a pintar nve quadradinhs, pintar a saber, a partir s d quadradinhs segund quadradinh, vã de 5 a 13, mesm incluind também s etrems. crrerá Esses se ela mesms iniciar quadradinhs a serã também pintar pintads a partir se ela d eçar terceir a u pintar d a quart partir quadradinh. d segund quadradinh; Lg, s nve mesm quadradinhs, também crrerá se ela iniciar a pintar a vã partir d d 5 terceir a 13, u incluind-s, quart quadradinh. serã brigatriamente Lg, s nve quadradinhs, pintads, qualr d 5 a 13, incluind-s, seja a serã brigatriamente pintads, qualr seja a esclha de Jurema. esclha de Jurema. 8 D 8 D N1Q14 tabela abai indica Jã e Maria dizem a respeit d dia da brincadeira (hje, n diálg) em cada pergunta: 9 D Pergunta Jã Maria Cm Jã e Maria partem Primeira d mesm quinta pnt da pista seta e em sentids cntráris, mantend cnstantes suas respectivas velcidades, n mment em Jã tiver crrid 1200 metrs Segunda dming sábad da pista, Maria terá crrid metrs da mesma (quand ambs se encntram pela primeira vez). Terceira ssim, enquant quarta Jã quinta crre 1200 metrs, Maria crre Prtant, quand Jã crrer 3000 metrs nessa pista, Cm, pel enunciad, Jã e Maria deram a respsta crreta eatamente uma vez, cncluíms a brincadeira Maria terá crrid ( ) metrs. acnteceu em uma quinta-feira. Outra sluçã: Observams a respsta crreta de Jã fi para a primeira pergunta Que dia da 3000 Uma maneira simples de visualizar a sluçã cnsiste em semana é hje?. s 600 utras duas respstas dividir a de pista Jã em nã cinc pdem trechs ser verdadeiras, de 600 metrs pis implicariam cada e tdas as respstas de Maria estariam erradas. De fat, se a respsta crreta de Jã fsse para a pergunta Que dia da semana será amanhã?, 600 apanhar mviments de Jã e Maria. Enquant 2400 u seja, se dia seguinte fsse Jã crre uma dis segunda-feira, desses trechs, a cnversa Maria crre teria três. crrid em um dming e dia anterir seria um sábad, cnfirmand as três respstas de Maria estariam erradas. Cnclusã análga é encntrada 1200 se a respsta crreta de Jã fsse para a pergunta Que dia da semana fi ntem?. Prtant, a cnversa crreu em uma quinta-feira

4 8 D N1Q14 Sluçã da prva da 1ª Fase OMEP 2016 Nível D DCm Jã e Maria partem d mesm pnt da pista e em sentids cntráris, mantend cnstantes suas respectivas velcidades, n mment em Jã tiver crrid 1200 metrs Cm Jã e Maria partem d mesm pnt da pista e em sentids cntráris, mantend cnstantes suas respectivas da pista, Maria terá crrid metrs da mesma (quand ambs se velcidades, n mment encntram em pela Jã primeira tiver crrid vez). ssim, 1200 metrs enquant da pista, Jã Maria crre terá 1200 crrid metrs, 3000 Maria 1200 crre metrs da mesma (quand Prtant, ambs se encntram quand Jã pela crrer primeira 3000 vez). metrs ssim, nessa enquant pista, Jã crre 1200 metrs, Maria crre Prtant, Outra quand sluçã: Jã Maria crrer a velcidade terá 3000 crrid metrs de (3000 Maria nessa é 1800) 3/2 pista, 1, Maria vezes 4500 terá a de crrid metrs. Jã, (3000 já ele crre 1200 metrs 1800) n 1200 mesm 4500 temp metrs. ela crre 1800 metrs. Lg, enquant este crre 3000 metrs, ela crre 3000 Uma maneira 1,5 3 simples 000 Outra Uma 4500 de sluçã: visualizar maneira metrs. a simples a velcidade sluçã de cnsiste de visualizar Maria em é a dividir 3/2 sluçã 1,5 a pista vezes cnsiste em a cinc de em Jã, já 600 ele crre 1200 metrs trechs de 600 Outra metrs n dividir sluçã: mesm cada a a temp pista e velcidade apanhar em cinc ela de crre s Maria trechs mviments 1800 é 3/2 de metrs. 1,5 600 de vezes Lg, metrs Jã a enquant e de cada Maria. Jã, e este já crre ele 3000 crre metrs, 1200 metrs ela crre 600 Enquant Jã crre apanhar dis desses s trechs, mviments Maria crre de Jã três. e Maria. Enquant 2400 n mesm 1, temp 4500 ela metrs. crre 1800 metrs. Lg, enquant este crre 3000 metrs, ela crre Outra sluçã: 1,5 a velcidade 3 Jã 000 Outra crre 4500 sluçã: dis de Maria metrs. desses a é velcidade trechs, 3/2 1,5 vezes de Maria Maria crre a de é 3/2 três. Jã, 1,5 já vezes ele a de Jã, já 1800 ele crre 1200 metrs crre 1200 metrs n mesm n mesm temp temp ela crre ela crre metrs. metrs. Lg, Lg, enquant enquant este crre metrs, ela crre este crre 3000 metrs, 1,5 ela crre , metrs metrs Para facilitar a ntaçã, vams escrever (R) para 10 representar 10 a área da regiã R. Vams nmear as quatr regiões amarelas pelas letras P, Q, R e S, cnfrme indicad na figura a Para facilitar 10 a ntaçã, vams escrever (R) para lad. representar Para facilitar a área da a regiã ntaçã, R. Vams vams nmear escrever as quatr (R) para regiões Para facilitar a representar ntaçã, amarelas vams a pelas área escrever da letras regiã P, (R) Q, R. para R Vams e representar S, cnfrme nmear a as indicad área quatr da regiã na regiões figura R. Vams a nmear as quatr amarelas Observems regiões amarelas (P) pelas (Q). letras De P, fat, Q, as R e duas S, cnfrme regiões sã lad. pelas letras Para P, facilitar Q, R e S, a cnfrme ntaçã, indicad vams na escrever indicad figura a (R) na figura para a lad. triânguls lad. as mesmas medidas de base e altura. Tems: (Q) representar a área da regiã R. Vams nmear as quatr regiões (1/2) 4 2, pis Q é a metade de um paralelgram frmad pr quatr triânguls Observems (P) amarelas (Q). Observems De pelas fat, letras duas (P) P, regiões Q, (Q). R e De S, sã cnfrme fat, triânguls as duas indicad regiões as na mesmas figura sã a menres. medidas de base e triânguls Observems altura. lad. Tems: (Q) as mesmas (P) (1/2) 4 medidas (Q). De fat, 2, pis Q de é a base duas metade e altura. regiões de um Tems: sã paralelgram (Q) triânguls (1/2) 4 as mesmas 2, pis medidas Q é a metade base de e altura. um paralelgram Tems: (Q) frmad pr quatr triânguls frmad pr quatr Pr triânguls utr lad, menres. (1/2) a regiã R é a parte central de um menres. 4 2, Observems pis Q é a metade (P) de (Q). um De paralelgram fat, as duas regiões frmad sã pr quatr triânguls Pr utr heágn lad, menres. a regiã frmad R é pr a parte 6 triânguls central de menres, um heágn btida frmad tmand triânguls as mesmas medidas de base e altura. pr 6 Tems: triânguls (Q) menres, sempre btida a tmand metade sempre de cada a metade um desses cada triânguls, um desses cnfrme (1/2) Pr utr 4 lad, 2, pis a regiã Q é a R metade é a parte triânguls, um central paralelgram de um frmad pr quatr triânguls cnfrme indicad indicad na heágn na figura figura Pr a a lad. lad. Lg, Lg, (R) (R) 6 6 (1/2) (1/2) 3. menres. utr frmad lad, pr a regiã 6 triânguls R é a menres, parte 3. central btida de tmand um heágn Finalmente, btems sempre frmad Finalmente, (S) a metade pr btems 7. De de 6 triânguls fat, cada (S) depnd um menres, desses 7. De fat, a triânguls, btida tmand depnd regiã S em cnfrme a regiã 4 sempre S em 4 regiões, regiões, tems um indicad a metade um triângul na triângul menr figura Pr de utr menr a cada centr lad. lad, um Lg, a desses regiã n centr de S de e (R) três 6 triânguls, R S e triânguls (1/2) é a parte três triânguls iguais 3. cnfrme central de um em indicad iguais em seu heágn na figura a frmad lad. Lg, pr (R) 6 triânguls 6 (1/2) menres, 3. btida tmand seu entrn, entrn, indicad indicad na figura figura a lad. a lad. O triângul O triângul central central tem tem área área 1 e s sempre Finalmente, a metade btems de cada (S) um desses 7. De fat, triânguls, depnd cnfrme a regiã S em 4 1 e s utrs três, regiões, têm têm Finalmente, área 2, 2, pis pis sã sã a a metade de de um um paralelgram frmad pr pr 4 4 triânguls indicad um triângul na btems figura a menr lad. (S) n Lg, centr 7. (R) De de fat, 6 S (1/2) depnd e três 3. triânguls a regiã iguais S em em 4 seu menres. triânguls ssim, regiões, (S) entrn, menres. 1 um 3 triângul ssim, 2 7. indicad (S) menr 1 na 3 n figura 2 centr 7. a de lad. S e O três triângul triânguls central iguais tem área em seu 1 e s Cnsentemente, entrn, utrs a área três, ttal indicad têm Finalmente, destacada área 2, figura pis btems amarel sã a a lad. metade é (S) igual O triângul 7. de a De um fat, paralelgram central depnd tem área frmad a 1 regiã e s pr S 4 em 4 Cnsentemente, a área ttal destacada em amarel é igual a 2 (Q) (R) (S) 2 (Q) (R) utrs (S) triânguls (2 três, regiões, 2) têm menres. 3 área um 7 triângul 2, 14. ssim, pis sã (S) menr a metade 1 n 3 centr 2 de um 7. de paralelgram S e três triânguls frmad iguais pr 4 em seu (2 2) triânguls entrn, menres. ssim, indicad (S) 1 na 3 figura 2 a 7. lad. O triângul central tem área 1 e s utrs Cnsentemente, três, têm área 2, a pis área sã ttal a destacada metade em um amarel paralelgram é igual frmad a 2 (Q) pr (R) 4 (S) (2 Cnsentemente, 2) triânguls E 3 7 menres. 14. a ssim, área ttal (S) destacada em 7. amarel é igual a 2 (Q) (R) (S) (2 Depis 2) E 3 de 7 9 puls 14. Luciana retrnará à psiçã marcada númer 1, cnfrme 11 Depis de indicad 9 puls, na Luciana sequência Cnsentemente, retrnará seguinte: a área ttal destacada em amarel é igual a 2 (Q) (R) (S) à psiçã marcada númer 1, cnfrme indicad na sequência seguinte: (2 112) 3 E Depis E de 9 puls Luciana retrnará à psiçã marcada númer 1, cnfrme indicad Depis 1 na de sequência puls seguinte: Luciana 4 retrnará 8 3 à psiçã 7 2marcada 6 1. númer 1, cnfrme indicad na sequência seguinte: E Cm 999 Cm , 111 cncluíms 9, cncluíms Depis de depis 9 puls depis Luciana 999 de 999 puls retrnará puls Luciana Luciana à psiçã estará estará na marcada na psiçã psiçã marcada marcada númer 1, cnfrme númer 1; cnsentemente, númer depis indicad 1; de cnsentemente, 1pular na sequência vezes, 9 seguinte: ela depis 4 estará de 8 na pular psiçã seguinte, vezes 2 ela a qual estará 6 está 1na marcada. psiçã númer 5.. marcada Cm númer , cncluíms depis de 999 puls Luciana estará na psiçã marcada Cm 999 númer 111 9, 1; cncluíms cnsentemente, 1 5 9depis 4depis 999 8de puls pular 3Luciana estará vezes 2 na ela psiçã 6estará 1marcada 12. na psiçã númer 1; cnsentemente, depis de pular 1000 vezes ela estará na psiçã marcada E númer 5. marcada Cm 999 númer , cncluíms depis de 999 puls Luciana estará na psiçã marcada Seja α uma letra qualr de até Z. O númer de códigs d tip α é númer 1; cnsentemente, depis de pular 1000 vezes ela estará na psiçã O númer de códigs d tip αα é e númer de códigs d tip ααα marcada 12 E númer 5. é Seja E α uma Se letra últim qualr livr cdificad de até Z. na O rdem númer, de,..., códigs,... d tip é α é 26. D, entã O númer ele Seja fi α registrad de uma códigs 12 letra depis qualr d tip de αα de cdificads é até 26 Z. 26 tds O númer 676 livrs e de ds númer códigs códigs de d códigs αα, tip αα, α d é tip 26. ααα Cαα e O mais númer é 26 livr de 26 de códigs d E D. tip Se Lg, αα últim é sua 26 rdem livr 26 cdificad 676 numérica e númer na classificaçã rdem códigs,,..., é d 676 tip,... ααα é 676 é Seja α uma Se letra últim qualr livr de cdificad até Z. na O rdem númer, de códigs,..., d,... tip α é é 26.

5 Sluçã da prva da 1ª Fase OMEP 2016 Nível E Seja α, β e γ letras quaisr de até Z. O númer de códigs d tip α é 26. O númer de códigs d tip αβ é e númer de códigs d tip αβγ é Se últim livr cdificad na rdem,,...,,... é D, entã ele fi registrad depis de cdificads tds livrs ds códigs αβ, αβ, Cαβ e mais livr de Sluçã mais detalhada: O livr recebeu códig D depis de tds s demais códig D. Lg, sua rdem numérica na classificaçã é livrs, receberam s códigs : Sluçã mais detalhada: i) iniciam O livr a recebeu letra, a códig saber: D depis de tds s demais livrs, receberam s códigs : i) iniciam a letra,, a saber:, até Z, num ttal de 26 livrs;,, até, Z,, num até ttal Z, de livrs; livrs;,, até... Z, 26 livrs; Z, Z,...,ZZ, 26 livrs.... té este pnt fram cdificads livrs. Z, Z,...,ZZ, 26 livrs. ii) iniciam a letra, ist é,,,..., Z,,..., Z,..,Z, Z,... ZZ, té este num pnt ttal fram de 26 cdificads livrs livrs. ii) iniciam iii) a letra iniciam, ist é,, a letra,..., C, de Z, frma,..., análga, Z,..,Z, num ttal Z,... de 676 ZZ, livrs num ttal de livrs. iii) iniciam e, a finalmente, letra C, de frma análga, num ttal de 676 livrs. iv) iniciam finalmente iv) iniciam a letra a letra D, ttalizand D, ttalizand smente smente dis livrs: dis D livrs: e D D ( e últim). D ( últim). Prtant, númer Prtant, de livrs númer da bibliteca de livrs é 3 da 676 bibliteca é Sejam M e N s dis númers, send M númer a se retirar últim algarism ( qual indicarems pr b) resulta n númer N. D enunciad pdems cncluir Sejam M e N s M dis N númers, 1357 e M send 10N M númer b. Prtant, a se retirar últim algarism ( qual indicarems pr b) resulta n númer N. D enunciad, pdems cncluir M N 1357 e M 10N b. Prtant, 10N b N 1357 > 11N b N b N 1357, u seja, 11N b 1357 Cm 1357 deia Cm rest na deia divisã rest pr 11, 4 na tems divisã pr 11N 11, b tems N Lg, b Lg 11N b. Prtant, 4 b 4 é múltipl de Cm 123 b é um 11N algarism,. Prtant, b só b pde 4 é ser múltipl igual a de Cm b é um algarism, b só pde ser igual a C C área d quadriláter CDF é a sma das áreas ds triânguls CD e área d quadriláter CDF é a sma das áreas ds triânguls CD e DF. O triângul CD DF. O triângul CD tem base CD 2 e altura 10 relativa à base tem base CD 2 e altura 10 relativa à base CD, enquant triângul DF tem base F CD, enquant triângul DF tem base F 6 e altura DE 7 6 e altura DE relativa 7 relativa à base à base F. F. Lg Lg, a área d d triângul triângul CD CD é (2 é (2 10) 10) e a 10 área e a d triângul DF área é d (6 triângul 7) DF Smand é (6 essas 7) 2 áreas, 21. btems Smand essas quadriláter áreas, btems CDF tem área 31. quadriláter CDF tem área D N1Q18 16 Cnsiderems n um númer inteir psitiv e, seguind padrã indicad pelas flechas, vams apanhar preenchiment das n primeiras casas da tabela. Observems n será um quadrad perfeit smente n cas em a tabela frmada pelas casas preenchidas fr quadrada. Iss crre apenas quand a

6 Sluçã mais detalhada: O livr recebeu códig D depis de tds s demais livrs, receberam s códigs : i) iniciam a letra, a saber:,, até Z, num ttal de 26 livrs; Sluçã da prva da 1ª Fase,, até Z, 26 livrs; 6 OMEP 2016 Nível 2... Z, Z,...,ZZ, 26 livrs. 15 té este pnt fram cdificads livrs. ii) Diniciam a letra, ist é,,,..., Z,,..., Z,..,Z, Z,... ZZ, num ttal de livrs. Cm númer ttal de blas em cinc caias cnsecutivas é sempre mesm, a quantidade de blas da primeira até a iii) iniciam a letra C, de frma análga, num ttal de 676 livrs quinta caia deve ser igual à quantidade de blas da segunda até a seta caia: e, finalmente, (n de blas na Caia iv) iniciam 1) a letra ( n de D, blas ttalizand na Caia smente 5) dis livrs: D e D ( últim). Prtant, númer (n de de blas livrs na Caia da bibliteca 5) (n de é 3 blas 676 na Caia ) Lg, (n de blas na Caia 1) (n de blas na Caia 6). Pel mesm mtiv, eçand da segunda caia e depis na terceira caia, (n de blas na Caia 5) (n de blas na Caia 6) 9 1 (n de blas Sejam na Caia M e 5) N s (ndis de blas númers, na Caia send 6) M (n de númer blas na Caia a se 7). retirar últim algarism ( qual indicarems pr b) resulta n númer N. D enunciad pdems cncluir Lg, númer de M blas N na 1357 Caia e M 7 é 5. 10N b. Prtant, De md análg, vems númer de blas da Caia 8 é 9, númer de blas na Caia 9 é 1, a Caia 10 pssui mesm númer de blas da Caia 510N e a Caia b N 11, 1357 mesm > númer 11N b de blas 1357 da Caia 6, qual é igual a númer de blas na Caia 1, vims acima. s quantidades de blas repetem-se a cada cinc caias. Cm 1357 deia rest 4 na divisã pr 11, tems 11N b Lg b 4 Na ilustraçã há a infrmaçã de as caias cntend 3 e 7 blas sã vizinhas; para ist crra, a Caia 1 deve N. Prtant, b 4 é múltipl de 11. Cm b é um algarism, b só pde cnter 7 blas e as caias 5 e 6 devem cnter, respectivamente, 3 e 7 blas. ssim, s cnteúds das caias frmam a ser igual a 4. sequência 7, 5, 9, 1, 3, 7, 5, 9, 1, 3... De fat, nã pde crrer 14 a primeira caia cntenha 3 blas, pis ist geraria a sequência 3, 5, 9, 1, 7, 3, 5, 9, 1, 7,... e a rdem entre 3 e 7 seria inpatível C aparece na ilustraçã n enunciad. área d quadriláter CDF é a sma das áreas ds triânguls CD e Para descbrir cnteúd da Caia 2016, fazems a divisã de 2016 pr 5; rest é 1 e ist ns diz cnteúd da DF. O triângul CD tem base CD 2 e altura 10 relativa à base Caia 2016 é mesm da Caia 1, u seja, a Caia 2016 cntém 7 blas. CD, enquant triângul DF tem base F 6 e altura DE 7 Sluçã 2: (utilizand relativa Álgebra) à base F. Lg a área d triângul CD é (2 10) 2 10 e a Sejam 1, 2, 3, área 4, d 5 e triângul 6 s númers DF de é (6 blas 7) distribuídas em Smand seis caias essas cnsecutivas, áreas, btems respectivamente. Cm númer ttal de blas em quadriláter cincs caias CDF cnsecutivas tem área é 31. sempre mesm, segue e, cnsentemente, 1 6. ssim, caias cujs númers diferem pr cinc unidades cntêm mesm númer de blas. Cm em duas caias 15 cnsecutivas aparecem 3 e 7 blas, cncluíms s cnteúds das caias frmam a sequência 7, 5, 9, 1, 3, 7, 5, 9, 1, 3..., D pis a utra pssibilidade, 3, 5, 9, 1, 7, 3, 5, 9, 1, 7..., é inpatível a infrmaçã da ilustraçã. ssim, a caia de númer 2016 cntém a mesma quantidade de blas a Caia 1, a saber, 7 blas. N1Q Cnsiderems n um númer Cnsiderems inteir psitiv n e, um seguind númer padrã inteir indicad psitiv pelas e, flechas, vams apanhar seguind preenchiment padrã indicad das n primeiras pelas casas flechas, da tabela. vams Observems apanhar n será um quadrad preenchiment perfeit smente das n n cas primeiras em casas a tabela da frmada pelas casas tabela. preenchidas Observems fr quadrada. n será Iss crre um quadrad apenas quand perfeit a última casa preenchida smente estiver n cas na primeira em cluna a tabela (quand frmada n fr pelas par) u casas na primeira linha (quand preenchidas n fr ímpar). fr Cm quadrada Iss 2025 crre 9 45apenas 2 9, bservams quand a 2016 aparecerá última na 45ª casa cluna preenchida e 10ª linha, estiver uma vez na primeira 2025 cluna 45 2 estará (quand na 1ª linha e 2016 estará nve linhas abai.

7 respectivamente. Cm númer ttal de blas em cincs caias cnsecutivas é sempre mesm, segue e, cnsentemente, 1 6. ssim, caias cujs númers diferem pr cinc unidades cntêm mesm númer de blas. Cm em duas caias cnsecutivas aparecem 3 e 7 blas, cncluíms Sluçã da s prva cnteúds da 1ª das Fase caias frmam a sequência 7, 5, 9, 1, 3, 7, 5, 9, 1, 3..., pis a utra pssibilidade, OMEP , Nível 5, 9, 2 1, 7, 3, 5, 9, 1, 7..., é inpatível a infrmaçã da ilustraçã. ssim, a caia de númer 2016 cntém a mesma quantidade de blas a Caia 1, a saber, 7 blas C C 1ª sluçã: 1ª O sluçã: perímetr d O retângul perímetr mair d CD retângul é igual mair a perímetr CD da é igual figura em a frma de cruz perímetr frmada da pels figura cinc em retânguls frma de (s cruz frmada pssuem pels númers cinc marcads retânguls em seu interir (destacads e retângul em cinza), vermelh, na na ilustraçã a lad. a lad). O perímetr O perímetr dessa figura dessa é igual à sma figura das medidas é igual de à sma tds s das lads medidas ds quatr de retânguls tds eterns, lads ds mens quatr as de cada um retânguls de seus lads eterns, cincidem mens as s de lads cada d retângul um de cinza. seus lads sma das medidas de cincidem tds s lads desses s lads quatr d retânguls eterns cinza. é sma das 26 medidas de e perímetr tds da figura s lads em frma desses cruz quatr é 54, retânguls pis ele é igual eterns a perímetr é 16 d 18 retângul 26 CD. Lg, 14 perímetr 74 e perímetr d retângul da cinza figura é 74 em 54 frma 20 de cm. cruz é 54, pis ele é igual a perímetr d retângul CD. Lg, perímetr d D C 2ª sluçã (eige alguns retângul cinza 2ª sluçã cnheciments é 74 (eige alguns de Álgebra): 2ª cm. sluçã cnheciments (eige alguns de cnheciments Álgebra): de Álgebra): 2ª sluçã (eige alguns cnheciments de Álgebra): 2ª s sluçã letras de (eige a até alguns f na s figura cnheciments letras sã de as a até medidas de f Álgebra): na figura ds lads sã as medidas ds lads s ds letras retânguls de a até menres. f na ds figura retânguls Calculand sã as medidas menres. s perímetr letras de ds Calculand lads de a cada até f na figura sã as medidas ds lads s letras de a até f na figura ds retânguls perímetr menres. de cada Calculand perímetr de cada um ds 2retânguls b ds sã 2 retânguls as medidas d 16 menres. ds lads Calculand perímetr de cada ds retânguls menres. Calculand menres, perímetr tems: 2bde 2dcada 16 2b2d 16 2a2e 182b2d 216 a2e 18 2a2e 18 um ds retânguls menres, um ds retânguls tems: 2c menres, 2e 142tems: a2e 218 c 2e um ds retânguls menres, 14 tems: 2c 2e 14 um ds retânguls menres, 2btems: 2f 262c 2e 214 b2f 26 2b2f 26 2b2 e? 2b2f 26 b2 e? 2b2 e? 2b2 e? O perímetr d retângul O perímetr mair CD d retângul é O perímetr mair d CD retângul é mair CD é 2abcO 2perímetr d e2 fa d b2 retângul ac 2b2 2 dmair c e2 dcd f 2e2 aé 2f2 b54. 2c 2d 2e2f 54. O perímetr d retângul mair CD é 2abc 2d ef 2a2b2c2 d 2e2f 54. Smand s 2perímetrs absmand c ds 2dquatr s eperímetrs fretânguls 2a2ds ba 2quatr redr c2dd retânguls 2retângul e2f 54. a central redr cujas d retângul central cujas Smand medidas sã s perímetrs dadas, tems: ds quatr retânguls Smand a redr s d perímetrs retângul central ds quatr cujas retânguls medidas sã a dadas, redr tems: d retângul central c Smand medidas s perímetrs sã dadas, ds medidas quatr tems: sã retânguls dadas, a tems: redr d retângul central cujas 2b2medidas d 2a2b2sã e2ddadas, 2 c 2ba2 e tems: 2de2 b 2ac2 f 2 e2 a 2cb2 b 2ef2 c 2 ba2 d 2fb2 e 2ac2 f 2bd2 b 2ce2 e. 2df 2 be 2 e 2b f 2b2e. perímetr 2d 2d aretângul 2eperímetr mair 2cd retângul 2e2mair b2f 2a2b2c2d 2e2f 2b2 perímetr d retângul mair 2b2d 2a2e2c2e2b2f 2a2b2c2d 2e2f 2bperímetr 2e. d retângul mair ssim, ssim b18 2e b2 54 e 74 2b54 2e20 perímetr 2. bprtant, d 2e retângul 74 mair perímetr ssim b2e 54 2b Prtant, e perímetr 20. Prtant, pe d retângul Prtant, perímetr ssim cinza 16 é d d retângul cm. 14 cinza 26 cinza é 54 d 20 é retângul 20 2bcm. 2e cinza 2b é 2e 20 cm Prtant, perímetr d retângul cinza é 20 cm E E 20 E Sluçã 1: Uma sequência 20 Sluçã 1: três Uma númers sequência é btida após E três númers a aplicaçã é btida de dis após prcediments a aplicaçã de dis prcediments Sluçã a partir d 1: primeir Uma sequência númer, a partir finalizand E primeir três númers n Sluçã númer, terceir é 1: btida númer Uma finalizand após sequência igual n a a aplicaçã terceir 1. Vams três númer de fazer númers dis igual a prcediments cntagem é btida após a 1. Vams fazer a a partir aplicaçã a cntagem d primeir de dis prc númer, das sequências Sluçã finalizand a partir 1: n das Uma terceir quantidade sequência sequências númer de a igual partir algarisms a partir três a da 1. d númers quantidade Vams primeir d númer é btida fazer númer, de inicial. após algarisms a cntagem finalizand a aplicaçã d das númer sequências n terceir de dis prcediments númer inicial. a partir igual da quantidade a 1. Vams de fazer a algarisms númer a partir d númer inicial d primeir inicial. 3 númer, númer algarisms: finalizand das sequências inicial nesse n cas terceir a 3 algarisms: partir únic númer da prcediment quantidade igual a 1. de nesse cas usad Vams algarisms únic fi fazer prcediment de d a númer cntagem inicial. das sequências a partir da quantidade usad fi de apagar algarism das númer inicial 3 apagar unidades algarisms: algarism (duas de vezes, númer algarisms nesse cas das unidades cnsecutivamente). inicial d númer 3 algarisms: inicial. únic prcediment (duas vezes, Nesta usad cnsecutivamente). situaçã, nesse cas únic prcediment usad númer inicial 3 algarisms: fi de apagar Nesta algarism situaçã, das númer inicial é impar unidades (duas vezes, cnsecutivamente). númer (5 pssibilidades apagar nesse inicial é impar para Nesta (5 algarism algarism cas situaçã, pssibilidades das das únic unidades), unidades prcediment (duas númer para inicial algarism vezes, usad fi cnsecutivamente). de Nesta apagar algarism das unidades é ímpar das (5 unidades), pssibilidades para algarisms das dezenas algarisms também ímpar das dezenas (também númer (duas também 5 pssibilidades inicial vezes, é cnsecutivamente). impar ímpar (também para (5 pssibilidades Nesta 5 algarism para situaçã, algarism das unidade pssibilidades para algarism das algarism dezenas), das númer e unidades), inicial é impar algarisms (5 pssibilidades das dezenas também ímpar (também 5 pssibilidades para das algarism dezenas), das e centenas algarisms algarism igual das para dezenas algarism a das 1 (acima também das centenas de 199, ímpar unidades), igual nã (também 5 pssibilidades para a 1 (acima de 199, nã algarism btems das algarisms 1 dezenas), das terceir e algarism também das centenas igual a 1 (acima de 199, nã btems btems númer 1 aplicand das dezenas), ímpar (também terceir apenas númer 2 e prcediments). 5 pssibilidades algarism aplicand apenas ssim, das para centenas algarism igual a 1 (acima de das dezenas), e algarism das centenas igual a 1 (acima 2 prcediments). de 199, nã ssim, terceir eistem númer 5 5 aplicand 1 25 apenas 2 prcediments). ssim, eistem númers de três algarisms eistem númers 5 de 5 três btems 1 algarisms 1 25 númers de geram terceir três algarisms uma númer sequência aplicand apenas 2 prcediment btems 1 terceir númer aplicand apenas 2 prcediments). geram ssim, uma sequência frmada geram pr uma três sequência númers. frmada pr três eistem númers númers de três algarisms geram uma eistem 5 frmada 5 1 pr três 25 númers. de três algarisms geram uma sequência númer inicial 2 númer algarisms: inicial necessariamente frmada pr três 2 algarisms: usams númers. necessariamente dis prcediments frmada pr três númers. usams diferentes dis prcediments para frmá-la: apagams diferentes para s algarisms frmá-la: diferentes apagams das unidades para frmá-la: algarisms númer inicial (se iniciar apagams pr das um unidades 2 ímpar) algarisms (se algarisms: u dividims iniciar das pr necessariamente unidades pr um usams dis prc númer inicial 2 algarisms: necessariamente usams dis prcediments 2 (se (se iniciar iniciar pr pr um um par), nessa ímpar) rdem u dividims u vice-versa. pr ímpar) 2 (se iniciar u dividims pr um diferentes pr par), 2 (se nessa para iniciar rdem frmá-la: pr u um vice apagams par), e nessa versa. algarisms das unidades (se inici diferentes para frmá-la: apagams algarisms das unidades rdem (se iniciar u vice pr e um versa. Se primeir númer Se primeir númer fr Se ímpar, fr ímpar, primeir algarism ímpar) u algarism númer fr das dividims das ímpar, dezenas pr dezenas algarism é 2 (pis (se iniciar é 2 (pis das deve pr deve dezenas ser um par), nessa rdem u vice e ve ímpar) u dividims pr 2 (se iniciar pr um par), nessa rdem u vice ser e versa. é resultad 2 (pis deve btid ser após resultad btid após apagar seu algarism resultad apagar das unidades). btid seu algarism Se primeir Nesse após cas, apagar das unidades). númer fr tems seu 5 pssibilidades. algarism Nesse ímpar, das cas, algarism das dezenas é 2 (pis d Se primeir númer fr ímpar, algarism das dezenas é 2 (pis unidades). deve ser Nesse cas, tems 5 pssibilidades. resultad btid após apagar seu algarism das unidades). Ne resultad tems btid 5 após pssibilidades. apagar seu algarism das unidades). Nesse cas, Se primeir númer Se fr par, primeir segund tems númer é fr a 5 sua pssibilidades. par, metade. segund Nesse é a cas, sua metade. tems 5 pssibilidades. Nesse cas, segund term deve ser segund ímpar term (para deve usarms Se primeir ser ímpar prcediment númer fr (para usarms de apagar par, segund prcediment é a sua metade. Ness Se primeir númer fr par, segund é a sua metade. Nesse cas, de apagar algarism das unidades). algarism Cm, após das unidades). apagar segund as Cm, unidades, term deve após devems ser ímpar apagar as bter unidades, 1, (para usarms prcediment de segund term deve ser ímpar (para usarms prcediment de devems apagar bter 1, númer btid é ímpar númer entre btid 10 e é 20. algarism ímpar Nesse das entre cas, unidades). 10 também Cm, e 20. Nesse tems após cas, 5 apagar as unidades, devems também tems 5 7

8 Sluçã da prva da 1ª Fase OMEP 2016 Nível 2 8 Se primeir númer fr par, segund é a sua metade. Nesse cas, segund term deve ser ímpar (para usarms, em cntinuaçã, prcediment de apagar algarism das unidades). Cm, após apagar as unidades, devems bter 1, númer btid n estági intermediári é ímpar entre 10 e 20. Nesse cas, também tems 5 pssibilidades. ssim, eistem númers de dis algarisms geram uma sequência frmada pr três númers. númer inicial 1 algarism: tems duas sequências, uma númer inicial igual a 4 e utra iniciand pr 3. Lg, númer de sequências frmadas pr três númers é tabela abai mstra as pssíveis sequências frmadas pr três númers. Para iss, usams as letras u e d, para representar, respectivamente, algarism das unidades e das dezenas d númer inicial. Númer inicial Observaçã 1º prcediment Númer intermediári 2º prcediment Quantidade de sequências 1du d e u ímpares apaga unidade 1d apaga unidade u u ímpar apaga unidade 2 divide pr 2 5 du u par divide pr 2 ímpar entre 10 e 20 apaga unidade 5 u4 divide pr 2 2 divide pr 2 1 u3 sma 1 e divide pr 2 2 divide pr 2 1 ttal de sequências 37 Sluçã 2: s sequências descritas n enunciad eçam númers de apenas um algarism sã: 2 1, 3 2 1, 4 2 1, , , e e Destas, smente duas têm três terms: a eça 3 e a eça 4. Há apenas as seguintes sequências dis terms: 2 1, 11 1, 13 1, 15 1, 17 1 e Utilizand-as, há dis prcediments para se bter sequências três terms: 1) Clcand-se primeir term da sequência dbr ds númers iniciais das sequências dis terms eibidas acima: 4 2 1, , , , e Observe já havia sid cntada antes e, prtant, n ttal, até agra, tems sete sequências de três terms. 2) Clcand-se primeir term da sequência númers iniciads 2 (u seja, 2 na casa das dezenas) u 11, 13, 15, 17 u 19 (u seja, 1 na casa das centenas e um algarism ímpar na casa das dezenas) e terminads um númer ímpar na casa das unidades: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ssim, a td tems sequências de três terms.

9 Sluçã da prva da 1ª Fase OMEP 2016 Nível D O prblema pede encntrems dis númers cnsecutivs cujas smas de seus algarisms seja um múltipl de 5. Ist implica a diferença entre as smas ds algarisms ds númers cnsecutivs deve ser um múltipl de 5. Se a unidade de um númer fr diferente de 9, tems a diferença entre as smas de seus algarisms a sma ds algarisms de seu sucessr é sempre 1; pr eempl, smand s algarisms de 24 btems e, smand s algarisms de 25, btems Ist crre, pis a unidade é acrescida de 1 quand tmams sucessr e s utrs algarisms nã se alteram. Ist restringe nss trabalh em encntrar númers cnsecutivs terminem, respectivamente, em 9 e 0 e atendam as eigências d enunciad. Se a unidade de um númer fr 9, mas sua dezena fr diferente de 9, a diferença entre as smas ds algarisms ds númers cnsecutivs será 8, pis, a cnsiderarms a alteraçã crre quand passams de um númer terminad em 9 para seu cnsecutiv, vems a unidade 9 se transfrma em 0 e crre aument de 1 na dezena; pr eempl, 29 tem 11 sma de seus algarisms e seu sucessr, 30, tem 3 sma de seus algarisms. Neste cas, a diferença entre as smas ds algarisms ds númers cnsecutivs é igual a 8 e, prtant, esses númers nã atendem enunciad. Se a unidade e a dezena de um númer frem iguais a 9, mas a centena fr diferente de 9, mesm racicíni, a diferença entre as smas ds algarisms ds cnsecutivs será de 17, pis, a cnsiderarms a alteraçã crre, passams de um númer deste tip, terminad em 99 centena diferente de 9, para seu cnsecutiv, vems s dis algarisms 9 finais viram 0 e a centena é acrescida de 1; pr eempl, 399 tem sma de seus dígits igual a 21 e 400 tem sma de seus algarisms igual a 4. Neste cas, também, a diferença entre as smas ds algarisms ds númers cnsecutivs nã é múltipl de 5 e esses númers nã servem. D mesm md, para um númer três nves n final, mas algarism da casa de milhar diferente de 9, terems uma diferença entre as smas ds algarisms ds númers cnsecutivs igual a (também nã servem), mas, quatr nves n final e dezena de milhar diferente de 9, essa diferença é , a qual, felizmente, é múltipl de 5. Só ns resta encntrar menr númer desse tip atenda as eigências d enunciad. Este númer deve terminar 9999 e a sma de seus dígits deve ser múltipl de 5. Cm , devems prcurar menr númer, smad a 36, resulte em um múltipl de 5. Este númer é 4 e, prtant, menr númer as prpriedades especificadas n enunciad é ssim, e sã penúltim e últim númers da lista de Juliana. Prtant, a sma ds algarisms d penúltim númer da lista de Juliana é

10 Sluçã da prva da 1ª Fase OMEP 2016 Nível C Vams primeir cntar quants pactes distints é pssível fazer qualr númer de figurinhas, incluind pacte sem nenhuma figurinha. Para fazer um pacte, run pde, pr eempl, esclher primeiramente quantas figurinhas da lemanha, depis quantas d rasil e finalmente quantas da Clômbia ele deseja clcar n pacte. Pel princípi multiplicativ, iss pde ser feit de maneiras diferentes; bservems fatr 6 nessa epressã crrespnde a fat de run tem 6 esclhas (a saber, 0, 1, 2, 3, 4, 5) para númer de figurinhas da lemanha; já fatr 7 é númer de esclhas para númer figurinhas d rasil e 5 é númer de esclhas para númer de figurinhas da Clômbia ele pde clcar n pacte. Pr utr lad, númer de pactes mens três figurinhas é 10, vems na tabela abai (na segunda cluna, usams letras, e C para dentar lemanha, rasil e Clômbia, respectivamente): Quantidade de figurinhas esclhidas para clcar n pacte O fica dentr d pacte Quantidade de pactes 0 figurinha nada 1 1 figurinha u u C 3 2 figurinhas u u CC u u C u C 6 Ttal Segue, entã, númer de pactes distints pel mens três figurinhas é Outra sluçã: Um pacte pel mens três figurinhas pderá cnter figurinhas as três bandeiras diferentes, u figurinhas smente duas das bandeiras u ainda figurinhas apenas uma das bandeiras. Vams fazer a cntagem d númer de pactes distints pdem ser feits em cada um desses cass, atençã para sempre s pactes cntenham, n mínim, três figurinhas. 1. Pactes de figurinhas as três bandeiras diferentes run tem 5 pssibilidades para númer de figurinhas a bandeira da lemanha pderá clcar em um pacte:,,,,. Da mesma frma, terá 6 pssibilidades para númer de figurinhas a bandeira d rasil e 4 para figurinhas a bandeira da Clômbia. O númer de pactes distints run pderá frmar pel mens três figurinhas as três bandeiras diferentes será Pactes de figurinhas tdas as figurinhas a mesma bandeira O númer de pactes distints run pderá frmar pel mens três figurinhas e tdas as figurinhas n pacte a mesma bandeira é (,,,,,,, CCC e CCCC). 3. Pactes de figurinhas bandeiras de eatamente dis países Se s países frem, pr eempl, lemanha e rasil, terems pssibilidades, já s pactes devem cnter pel mens três figurinhas, e precisams descnsiderar pacte tem apenas uma figurinha a bandeira da lemanha e uma d rasil. mesma cntagem para as utras duplas (lemanha-clômbia e rasil-clômbia) ns dará, neste cas, númer de pactes prcurad: (5 6 1) (5 4 1) (6 4-1) Smand s valres btids nas três cntagens parciais, terems pactes distints.

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