M2 - Trigonometria nos Triângulos

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1 M - Trigonometria nos Triângulos (Vunesp-S) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade rumo a uma cidade ao Norte, distante 60 quilômetros de. or um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao este. o perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 0) à direita em um ponto, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproimadamente, um triângulo retângulo, como mostra a figura. om base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de até cegar a é: a) 0 d) 80 b) 0 e) 90 X c) 60 Temos a figura: 0) (este) (Norte) 60 0) (este) ssim, sen 60 ) Ι Ι tg 60 ) Ι Ι (Norte) (UM-R) Um balão parado no céu é observado sob um ângulo de. fastando-se metros, o observador passa a vê-lo sob um ângulo tal que tg. ntão, a altura do balão multiplicada por ( 6 ) é: Substituindo em, vem: ( ) Θ ( ) ( ) m No triângulo, temos: tg 60 ) Θ No triângulo, temos: tg Θ ( ) ( ) ortanto, 6 ( ) ( 6 ) 99 Θ 99 m (M-S) Quantos degraus de 9 cm de altura são necessários para substituir uma rampa de 9, m de etensão com inclinação de 0)? Fazendo a figura, vem: 0) 9, m sen 0 ) Θ 9, 9,, m Logo, o número de degraus é:, N 09, N degraus (UFMG) No triângulo, o ângulo j é reto, 6 e cos ( ). onsiderando esses dados, calcule o comprimento do cateto. Representando o triângulo, temos: 6 0 ( 6 ) Θ 00 cos ( ) Θ Θ Substituindo em, temos: 9 00 Θ Θ ortanto: 9 Θ

2 (UFJF-MG) Um topógrafo foi camado para obter a altura de um edifício. ara fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 00 metros do edifício e mediu um ângulo de 0), como indicado na figura abaio. Sabendo que a luneta do teodolito está a, metro do solo, pode-se concluir que, dentre os valores abaio, o que melor aproima a altura do edifício, em metros, é: a) b) c) d) 0 e) X elos dados, temos: Use os valores: sen 0) 0, cos 0) 0,866 tg 0) 0, 0) X (UF) Se a medida do ângulo é igual a, e 0, então a área do triângulo da figura vale: a) 0 d) 0 b) e) c) Usando a figura, temos: 0) 0) 0 sen 0 ) Θ Θ 0 ssim, cos 0 ) Θ Θ 0 área do triângulo é: b S Θ S 0, 0) 00,, 00 No triângulo retângulo, temos: tg 0 ) Θ 0, 00 00, m Logo: 0, Θ, 0, 6,9 m ortanto, a altura do edifício é aproimadamente m. 6 (USal-) autora alegrava-se em conseguir estimar o comprimento de objetos inacessíveis como, por eemplo, a altura da torre mostrada na figura abaio. 8 (UM-R) No problema a seguir, considere que qualquer trajetória do ciclista é feita em lina reta e com velocidade constante e igual a 0 m/s. uas rodovias, H e R, cruzam-se em um ponto, segundo um ângulo de. Um ciclista parte do ponto pela rodovia H e, após um terço de ora, atinge um ponto, de onde é possível seguir para a rodovia R, percorrendo o menor camino, atingindo-a no ponto. ara retornar de ao ponto de origem, pela rodovia R, a distância que o ciclista deve percorrer, em quilômetros, é: elos dados do problema, temos: Rodovia R 0 m partir do conecimento de relações trigonométricas e sabendo que sen 0,68 e cos 0,660, ela podia encontrar que, em metros, era aproimadamente igual a: a) 6 Xb) c) 8 d) 9 e) 0 Rodovia H ciclista tem velocidade constante de 0 m/s e demorou de até ora minutos. Logo, ele percorreu Θ 000 m km. ortanto: cos 60 ) Θ Θ 6 km bservando a figura, temos: tg 0 Mas, tg sen tg cos Θ 0, 68 0, 660 tg Λ 0,8 Substituindo em, vem: 08, Θ 68, m 0 ortanto, a altura da torre era aproimadamente m.

3 9 (UFMT) Um rebite é produzido com as dimensões indicadas na figura. alcule o valor, em cm, da dimensão. (URJ) Um barco navega na direção, próimo a um farol, conforme a figura abaio. 90) cm cm cm ) F No #F, temos: F tg ) Θ Θ Θcm ortanto: 0 Θ 0 Θ cm No #, temos: tg ) Θ Θ Θ cm Logo: 9 Θ cm a figura, temos: 0) 000 m (daptado de NGIVNNI, Vincenzo et alii. e Vida. São aulo: Ática, 990.) No ponto, o navegador verifica que a reta, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 0) com a direção. pós a embarcação percorrer 000 m, no ponto, o navegador verifica que a reta, da embarcação ao farol, forma um ângulo de com a mesma direção. Seguindo sempre a direção, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: a) 00 X b) 00 c) 000 d) (M-S) elas etremidades e de um segmento i, traçam-se perpendiculares, e sobre elas tomam-se os segmentos cm e cm. m i toma-se o ponto tal que os ângulos z e z sejam congruentes. alcule os comprimentos dos segmentos e &, sabendo-se que 0 cm. elos dados do problema, temos: 0 No triângulo, temos tg No triângulo, temos tg 0 Logo: 0 Θ ortanto, cm e 6 cm. 0 0) 000 m menor distância é. tg 0 ) etg60 ) e e, vem: e, vem: 00 Θ 00 m Logo: Θ 00 m

4 (Unicamp-S) s pontos e estão, ambos, localizados na superfície terrestre a de latitude norte; o ponto está a )δ de longitude leste e o ponto a 6)δ de longitude oeste. a) ado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede 6 00 km, qual é o raio do paralelo de? b) Qual é a menor distância entre os pontos e, medida ao longo do paralelo de? Use como aproimação para π. a) o enunciado, temos: r r 0) 6 00 δ s pontos e δ são, respectivamente, os centros do paralelo e da Terra, e r é a medida do raio do paralelo. No triângulo retângulo δ, temos: r r sen 0 ) Θ r 00 km b) Temos que d * 0 ( d )δ 0 6)δ Θ d ) Logo, a distância pedida é igual a: ângulo distância πr Θ 60 ) π r ) ) πr πr Λ 0,86 km (UFMT) onsidere que os ponteiros menor e maior de um relógio medem, respectivamente, 0 cm e 80 cm. alcule a distância entre suas etremidades quando o relógio estiver marcando. Fazendo a figura, vem: δ * )δ ( 6)δ (Vunesp-S) o cegar de viagem, uma pessoa tomou um tái no aeroporto para se dirigir ao otel. percurso feito pelo tái, representado pelos segmentos,,, F e FH, está esboçado na figura, onde o ponto indica o aeroporto, o ponto H indica o otel, F é um triângulo retângulo com o ângulo reto em, o ângulo no vértice mede e é paralelo a. km km km a) o enunciado, temos a figura: F, km ssumindo o valor, e sabendo-se que km, km, km e FH, km, determine: a) as medidas dos segmentos e F em quilômetros b) o preço que a pessoa pagou pela corrida (em reais), sabendo-se que o valor da corrida do tái é dado pela função 0 0,8, sendo a distância percorrida em quilômetros e o valor da corrida em reais No triângulo retângulo F, temos: cos 60 ) Ι F 6 F No triângulo retângulo F, temos: F tg 60 ) Ι F, Θ, km cos 60 ) Ι F F omo F F, vem: 6 Ι Θ km b) distância percorrida é: 0 0 0, 0, ntão, 0 0,8 9 Ι,60 Θ R$,60 F, H H 80 0 plicando a lei dos cossenos, temos: (0) 0 (80) cos cm

5 (Unemat-MT) rampa de acesso a um estacionamento de automóveis faz um ângulo de 0) com o solo e, ao subi-la, um carro desloca-se orizontalmente 8 m de distância, conforme o deseno. 0) 8 m Sobre os dados, julgue os itens:. altura da rampa, representada por, no deseno, é de 8 m.. comprimento da rampa inclinada, por onde sobem os carros, é o dobro da altura.. Na mesma rampa, se o ângulo formado com o solo fosse de, ou seja, o dobro de, então a altura também seria o dobro. o enunciado, temos: 0) 8. No triângulo retângulo, temos: sen 0 ) tg 0 ) Θ 8 cos 0 ) m (verdadeira). No triângulo retângulo, temos: sen 0 ) Θ (verdadeira). δ δ δ ados: sen 0) cos 0) No triângulo retângulo δδδ, temos: tg 60 ) δ Θ δ 8 8 δ8 m sen 60 ) δ 8 δ Θ δ δ 6 m (falsa) 6 (URJ) etremidade de uma planta aquática encontra-se 0 cm acima da superfície da água de um lago (figura ). Quando a brisa a faz balançar, essa etremidade toca a superfície da água no ponto, situado a 0 cm do local em que sua projeção ortogonal, sobre a água, se encontrava inicialmente (figura ). onsidere 8, ) e p segmentos de retas e o arco d uma trajetória do movimento da planta. 0 cm 0 cm Figura Figura etermine: a) a profundidade do lago no ponto em que se encontra a raiz da planta b) o comprimento, em cm, do arco d a) b) aí, 0 j 0 80) Θ ) # é eqüilátero. ( 0 0 ) ( 0 ) cm omo 8 ) (raio), o # é isósceles (ou seja, j). No #, temos: tg 0 Θ tg 0 j arco d está contido em uma circunferência de centro e raio R 8 ) 0 cm. 0 π 0 π med ( d ) 9 π R 9π 90 Θ cm 6 6 δ 8 δ 6

6 (Fuvest-S) Na figura, M é o ponto médio da corda c da circunferência e Q 8. segmento W é perpendicular a c e RM. alcule: a) o raio da circunferência b) a medida do ângulo Q, onde é o centro da circunferência R R M Q 9 (UFU-MG) No instante do impacto com a torre sul do World Trade enter, o avião da United irlines foi fotografado simultaneamente por três fotógrafos, cujos tripés estão representados na figura abaio pelos pontos, e. s três fotógrafos tinam suas máquinas fotográficas colocadas sobre esses tripés de,0 m de altura cada um. Sabendo-se que as inclinações das máquinas fotográficas, em relação ao solo, nos tripés e eram de ) e que cos, determine a altura em que o avião estava naquele momento. M Q θ r r 00 m a) No triângulo retângulo MQ, tem-se: ) M r, MQ, Q r e (Q) (M) 0 (MQ) ssim sendo, r r 0 r 8 ) sen θ r 8 Υθ 60 ) b) medida do ângulo Q é 9 θ 0) elos dados, temos: ) m 00 ) 8 (UM) m um triângulo de vértices, e, i 6 cm, p 0 m e o ângulo interno formado pelos lados i e p mede. medida do cosseno do ângulo interno formado pelos lados o e p é: a) X c) e) b) d) 9 9 Fazendo a figura, vem: 6 triângulo é isósceles, logo. triângulo é isósceles, logo. plicando itágoras no triângulo retângulo, temos: () () 0 () Θ () (00) 0 (00) () m plicando a lei dos cossenos no triângulo, temos: () () 0 () 9 () 9 () 9 cos m omo as máquinas fotográficas estavam sobre tripés de altura de,0 m, temos: 0 0,0,0 Θ,0 m 0 plicando a lei dos cossenos, temos: () () 0 () () 9 () 9 cos Υ Υ 6 Υ 9 plicando novamente a lei dos cossenos, vem: () () 0 () () 9 () 9 cos ( 9 ) Υ cos cos 0 Υcos Υcos 0 9 9

7 m questões como a 0, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 0 (UFR) m um triângulo, a medida do lado é, a do ângulo é ), e a do ângulo é ). ois pontos, e, pertencem ao lado i. Sabe-se que a distância é e que o segmento I é perpendicular a i. Nessas condições, é correto afirmar: (0) medida do ângulo é igual a. (0). (0) 6 (08) 0. 0 z 0 j 80) Θ ) 0 ) 0 j 80) Θ j (verdadeira) 0. sen ) Θ Θ cos ) Θ Θ (falsa) 0. No triângulo retângulo, temos: sen 60 ) Θ Θ 6 (verdadeira) 08. Usando a lei dos cossenos no triângulo, temos: () () 0 () cos ) ( ) 0 ( ) () () (verdadeira) ortanto: ) ) partir desses dados, calcule, em metros: a) o comprimento dos seguimentos MS e S b) quanto o arame deveria medir para que tivesse o mesmo tamano do segmento M a) álculo de MS MR MR: cos 0 ) MR 0 cos 0 ) 0 0 NT RS: cos 60 ) NT 0 cos ) 0 NT RS RS 0 MS: MS MR 0 RS álculo de S T T: sen T 0 sen 60 ) NR TS: sen 0 NR 0 sen NR TS TS Ι S T 0 TS b) bservando que M é a ipotenusa do triângulo retângulo MS, podese usar: (M) (MN) 0 (N) 9 (MN) 9 (N) 9 cos (MN) (M) cos 0) ( M) M (UM) onsidere um triângulo inscrito numa circunferência de raio unitário cujos lados medem a, b e c. etermine a soma 0 j 0 k, onde, j e k são ângulos internos desse triângulo. esenando o triângulo, vem: c b r (UFRN) o se tentar fiar as etremidades de um pedaço de arame reto, de 0 m de comprimento, entre os pontos M e de um plano, o arame, por ser maior do que o esperado, entortou, como mostra a figura abaio. 0 a plicando a lei dos senos, temos: a b c R Θ 9 0 sen sen j sen k sen sen j sen k Logo: Θ sen sen Θ 60 ) Θ sen j sen j Θ j 0 ) Θ sen k Θ k 90) sen k ortanto: 0 j 0 k ) 0 90) 00) M N 0 0) R S 8

8 (Vunesp-S) inco cidades,,,, e, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. Nessas condições, podemos dizer que a tração no cabo puado pelo omem em relação ao ponto é de: a) 0 8 N c) 680 N X e) 80 N b) 0 N d) 00 N rodovia tem 0 km, a rodovia tem 0 km, os ângulos, entre e, e, entre e, são tais que sen e sen. eseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades e que, dada a disposição destas cidades, será paralela a. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia. b) Sabendo que tem 0 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia. a) Sendo 0 km, 0 km, sen e sen, pela lei dos senos, temos: Υ sen sen 0 Θ 0 km N ) 0) 8) T T sen 8 ) sen ) 0, 88 0, 0 Θ T T T Λ 80,8 N ou T 80 (UFMT) ara determinar a altura de um morro, um topógrafo adotou o seguinte procedimento: scoleu dois pontos, e, situados no mesmo plano vertical que passa por. Mediu a distância, encontrando 6 m. om auílio de um teodolito mediu os ângulos, ψ e ι, encontrando, respectivamente,, 90) e 0). figura ilustra o procedimento descrito. b) Sendo // p, temos # Κ # e, portanto: 0 Υ Υ Θ km 0 0 ι ψ orizontal Qual a altura do morro (), em metros, encontrada pelo topógrafo? a figura, temos: (Unic-MT) urante a descarga de um automóvel de peso 0 kn, o guindaste que suporta o carro precisa do auílio de um cabo puado por um estivador para colocá-lo na posição correta. deseno abaio mostra a situação. (ados: sen ) 0,0, sen 8) 0,88, cos ) 0,999, cos 8) 0,9, sen 0) 0,866 e cos 0) 0,00) ) 0) ) 0) T T 8) 0) 90) orizontal 6 m 0) Usando a lei dos senos no #, temos: sen 0 ) sen 60 ) Θ 6 6 Θ m No #, temos: sen 60 ) Θ Θ 8 Θ 8 m 9

9 X 6 (Furb-S) Florianópolis, uritiba e elo Horizonte, respectivamente, capitais de Santa atarina, araná e Minas Gerais, estão localizadas conforme a figura ao lado. partir dos dados fornecidos, qual a distância entre Florianópolis e elo Horizonte? a) 00 km b) 9 km c) 9 km d) 00 km e) 90 km a figura, temos: sen 0 ) sen ) d 00 uritiba 00 09, 00, Θ Θ d 9 km d 00 elo Horizonte 0) ) d Florianópolis (MK-S) Supondo,, a área do triângulo da figura vale: a), ) b), c),0 d), 0) e), X ados: cos 0) 0, sen 0) 0,9 cos ) 0,9 sen ) 0,0 8 (Unicamp-S) Um omem, de,80 m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 0), conforme mostra a figura. No ponto está um poste vertical de m de altura, com uma lâmpada no ponto. ede-se para: a) calcular o comprimento da sombra do omem depois que ele subiu m ladeira acima b) calcular a área do triângulo Sendo o comprimento da sombra do omem, em metros, depois que ele subiu m ladeira acima, e S a área, em metros quadrados, do triângulo, tem-se: sombra,80 m 0) m,80 m a) s triângulos e são semelantes. ssim : Π 0 80, Π Π 0 6 Π 6 6 Π Π, sen 60 ) b) S S 9 ( 0, ) 9 S 6 0) m H ) 0) ) a figura, temos: No #H: H H sen 0 ) Ι Ι H H H cos 0 ) Ι Ι H No #H: H H Ι H. área do # é: 9 ( )( H) 9( H 0H) 9 ( H) 9( 0) 9 Fazendo-se,, a área é,,ouseja,,. 0