Avaliando a Qualidade dos Estimadores de Variogramas (Variograma Experimental) em presença de normalidade e Outliers.

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1 Avalando a Qualdade dos Estmadores de Varogramas (Varograma Expermental) em presença de normaldade e Outlers. Suel Aparecda Mngot PD em Estatístca Profa. Ajunta do Dep. de Estatístca/ UFMG suel@est.ufmg.br Glmar Rosa Doutorando em Computação Aplcada IPE Mestre em Estatístca/UFMG glmar@dp.npe.br Resumo este artgo são analsadas as propredades de robustez dos estmadores de varogramas mas amplamente utlzados bem como novos estmadores que recentemente tem surgdo na lteratura alguns dos quas com característcas robustas em relação a outlers. Os resultados mostraram uma boa performance dos estmadores com característcas robustas na presença de outlers mas estes mesmos estmadores não apresentaram bons resultados na ausênca de outlers. Este trabalo é uma extensão nos estudos apresentados por Genton (988) em seu artgo Hgly Robust Varogram Estmaton. Introdução. Mutos dos estmadores de varogramas propostos na lteratura não são robustos em relação a outlers. Genton 998 propôs em seu artgo um novo estmador de varograma fundamentado nas déas de estmação robusta apresentadas em Rousseeuw & Croux (993) sendo um estmador de escala da classe M (Hampel e outros 986). o entanto suas smulações restrngram-se apenas ao modelo teórco de varograma esférco e aos estmadores clásscos de Materon (96) e o proposto por Cresse & Hawkns(980). Este trabalo extendeu o trabalo de Genton aos varogramas teórcos exponencal e senodas consderando além dos estmadores de varogramas robusto (Cresse & Hawkns 980) e clássco de Materon (963) também os estmadores das dferenças (Haslett997) e o das medanas (Cresse 993). Varogramas Teórcos A metodologa de geoestatístca é aplcada na análse de varáves regonalzadas entendendose como tas varáves cujos valores são relaconados de algum modo com a posção que ocupam no espaço (Clés & Delfner 999). Bascamente para analsar-se o comportamento da varável Z ( ) duas suposções são necessáras: a estaconaredade ntrínseca e a sotropa do processo { Z( x) x D }. Estas suposções são defndas como: () E [ Z( x) ] =µ x D e () Var { Z ( x ) Z ( x k )} = γ ( x x k ) x xk D onde denota a dstânca Eucldana. este caso a varânca das dferenças ( ( x ) Z( )) função apenas da dstânca Z é uma x k x x entre as localzações não dependendo da dreção das k = localzações. Este é o conceto de sotropa. 3 Estmadores de Varogramas Expermentas

2 O estmador clássco de varograma proposto por Materon (963) fundamentado no método dos momentos (Cresse 993) é dado por: d γ ( ) = ( Z ( x ) Z ( xk ) ) R ( ) onde ( ) = { ( x xk ): x xk = x xk } e é a cardnaldade de ( ). Cresse & Hawkns (980) propuseram um estmador tecncamente menos sensível à presença de outlers denomnado de varograma robusto sendo dado por: 4 Z ( x ) Z ( xk ) ( ) d ( ) γ = R onde: C ( ) = ( x x ) de ( ) Z( ) { k : x xk = } x xk sendo o denomnador tem dstrbução normal. C 0494 = e é a cardnaldade C um fator de correção para o víco do estmador de γ ( ) quando Um outro estmador proposto por Cresse (993) denomnado das Medanas é defndo como: 4 med Z ( x ) Z ( xk ) : x xk = ~ ( ) γ = x x onde med { } denota a medana da k B( ) seqüênca { } e B ( ) a correção para o víco de ~γ ( ) assumndo normaldade para a varável Z ( ). Assntotcamente B ( ) =0457. O estmador altamente robusto proposto por Genton (998) é defndo como: ( ) ( ) = γ onde Q = 9 V ( ) V ( ) ; < j sendo V ( ) z( x + ) z( x) Q { j } ( k ) [ / ] a k -ésma estatístca de ordem das dferenças ( V ( ) V j( ) ) e [ / ] = e + k = denota a parte ntera de ( / ). O fator de 9 é uma correção para o víco do estmador de γ ( ) quando Z( ) tem dstrbução normal. O estmador proposto por Haslett (997) denomnado varograma expermental das dferenças ~γ = d d onde d = ( Z( x ) Z( xk ) ) é defndo como: ( ) ( ) ( ) ( x x ) ( ) { : x x = x x } = e k k k 4 Smulação de Monte Carlo e Métodos de Avalação é a cardnaldade de ( ). Dentre a classe dos modelos de séres temporas estaconáros nteressa-nos nesta dssertação a classe ARMA(pq) sendo que as amostras orundas destes modelos estão estretamente relaconadas com os modelos de varogramas teórcos dscutdos no Capítulo. Serão abordados os modelos

3 ARMA(0) ou MA() ARMA (0) ou AR() ARMA (0) ou AR() e ARMA(). Algumas referêncas sobre estes modelos são Box & Jenkns (976) e Brockwell & Davs (99). A geração de amostras fo efetuada de acordo com a sugestão de Sarp (98). A geração de varogramas teórcos derva-se da relação: γ ; θ ) = σ ( ρ ) ( onde as autocorrelações ρ em R são obtdas pelas relações de recursvdade dos modelos de séres temporas do tpo ARMA e θ é o vetor de parâmetros do varograma teórco do processo estocástco gerador dos dados amostras. Em todas os casos a varânca fxa e gual a 5. Os modelos de varogramas teórcos smulados e os respectvos parâmetros estão apresentados na Tabela a segur As Fguras 5.. à 5..8 mostram exemplos de varogramas teórcos gerados neste trabalo. Tabela : Modelos de Varogramas Teórcos e respectvos parâmetros. Percentagem de outlers nas Amostras Modelo Teórco 0% 5% 0% 5% Esférco = 0 9 = 0 9 = 0 9 = 0 9 Exponencal Senóde = 09 θ = 03 = 7 = 0 9 = 09 θ = 03 = 7 = 0 9 = 09 θ = 03 = 7 = 0 9 = 09 θ = 03 = 7 = Resultados a análse dos estmadores de varogramas com 0% de contamnação e consderando-se os modelos teórcos esfércos e exponencas verfcou-se que os estmadores que produzram melores resultados foram: das dferenças Clássco de Materon de Genton o Robusto de Cresse & Hawkns e o das Medanas na ordem respectva de desempeno. Em nossas smulações as estmatvas produzdas forneceram valores sstematcamente maores em relação ao teórco conclundo-se que os estmadores superestmam os verdaderos valores dos varogramas teórcos resultado smlar ao observado no artgo de Genton (998). o caso de amostras consderando-se o modelo teórco esférco com 5 0 e 5% de outlers verfcamos que o estmador que apresentou melor desempeno fo o das Medanas segudo pelo estmador de Genton e o Robusto de Cresse & Hawkns e os que apresentaram pores desempenos foram o das Dferenças e o Clássco. Para o modelo sotrópco exponencal tem-se em lnas geras as mesmas conclusões que para o caso do modelo sotrópco esférco. De uma manera geral a nserção de maor quantdade de outlers apenas aumenta o valor das estmatvas para os estmadores da classe robusta (Medanas Genton e Robusto de Cresse & Hawkns). De certa forma estes estmadores conseguem retratar a forma geométrca dos sotrópcos esférco e exponencal algo que os estmadores clássco de Materon e das Dferenças não conseguram. o caso do modelo senodal os estmadores conseguram retratar a forma geométrca do modelo teórco. Os estmadores da classe robusta apresentam melores resultados nos lags ncas lag= e 3 em relação aos estmadores não robustos. o geral os estmadores da classe não robusta especalmente o Clássco fornecem as melores estmatvas em relação ao erro quadrátco médo.

4 Varogramas Médos - Esférco Varogramas Médos - Exponencal Varogramas Médos - Senóde Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Varogramas Médos VClassco VMedanas VDferenças Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Gráfco : varogramas esfércos médos A lna Contínua é o varograma teórco. Varogramas Médos - Esférco Gráfco : Varogramas exponencas médos A lna Contínua é o varograma teórco. Varogramas Médos - Exponencal Gráfco 3: Varogramas senodas Médos A lna Contínua é o varograma teórco. Varogramas Médos - Senóde Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Gráfco 4: Varogramas Médos 5% outlers- A lna contnua é o varograma teórco. Gráfco 5: Varogramas Médos 5% outlers- A lna contnua é o varograma Exponencal Gráfco 6: Varogramas Médos 5% outlers- A lna - Contnua é o varograma Senóde.

5 Varogramas Médos - Esférco Varogramas Médos - Exponencal Varogramas Médos - Senóde Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Gráfco 7: Varogramas Médos 0% outlers- A lna contnua é o varograma teórco. Varogramas Médos - Esférco Gráfco 8: Varogramas Médos 0% outlers- A lna contnua é o varograma Exponencal Varogramas Médos - Exponencal Gráfco 9: Varogramas Médos 0% outlers- A lna Contnua é o varograma Senóde. Varogramas Médos - Senóde Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Varogramas Medos VClassco VMedanas VDferenças Gráfco 0: Varogramas Médos 5% outlers- A lna contnua é o varograma teórco. Gráfco : Varogramas Médos 5% outlers- A lna contnua é o varograma Exponencal. Gráfco : Varogramas Médos 5% outlers- A lna contnua é o varograma teórco.

6 6 Conclusão Verfca-se que os estmadores de varograma da classe consderados robusta fornecem bons resultados nas stuações em que á presença de outlers. Em stuações nas quas os "outlers" não estão presentes nos dados os estmadores da classe não robusta são preferíves sto é os estmadores Clássco de Materon (963) e das Dferenças de Hanslett (997). O estmador proposto por Genton (998) é uma boa alternatva consderando os estmadores da classe robusta pos os estudos mostraram que o estmador é robusto em relação a outlers. as smulações sem a presença de outlers e dentre os estmadores da classe robusta fo o que apresentou melor desempeno. 7 Referêncas [] BOX G. E. P. JEKIS G. M. Tme seres analyss: Forecastng and Control nd ed. Holden- Day San Francsco 976. [] CHERRY S. BAFIELD J. QUIMBY W. F. An evaluaton of non-parametrc metod of estmatng sem-varograms of sotropc spatal process. Journal of Appled Statstcs [3] CHILÉS J-P DEFIER P. Geostatstcs: modellng spatal uncertanty. ew York: Jon Wley p. [4] CRESSIE. Statstcs for spatal data. ew York: Jon Wley & Sons 993. [5] CRESSIE.; HAWKIS M. Robust estmaton of te varogram:i. Matematcal Geology (): [6] DELAY F. MARSILY G. Te ntegral of te semvarogram: a powerful metod for adjustng te semvarogram n geostatstcs Matematcal Geology [7] GETO M. G. GORSICH D. J. onparametrc varogram and covarogram estmaton UIT Fourer-Bessel matrces. Computaconal Statstcs & Data Analyss [8] GETO M. G. Hgly robust varogram estmaton. Matematcal Geology [9] HAMPEL F. R. ROCHETTI E. M. ROUSSEEUW P. J. STAHEL W. A. Robust statstcs te approac based on nfluence functons: ew York: Jon Wley & Sons 986. [0] HASLETT J. On te sample varogram and te sample autocovarance for non-estaconary tme seres Te Statstcan v.46 pp [] JOUREL A.G. HUIJBREGTSC.J. Mnng geostatstcs. ew York Academc. Press 978. [] LAMOREY G. JACOBSO E. Estmaton of semvarogram parameters and evaluaton of te effects of data sparsty. Matematcal Geology [3] KITAIDIS P. K. "Mnmum-varance unbased quadratc estmaton of covarances of regonalzed varables "Matematcal Geology 7() [4] KRIGE D. G. A statstcal approac to some basc mne valuaton problems on te Wtwatersrand. Journal of Cemcal Metallurgcal and Mnng Socety of Sout Afrca [5] MATHERO G. Prncples of geostatstcs. Economc Geololy [6] MCBRATEY A. B. WEBSTER R. Coosng functons for semvarograms of sol propertes and fttng tem to samplng estmates. Journal of Sol Scence [7] OMRE H. HALVORSE K. B. Te Bayesan brdge between smple and unversal krgng. Matematcal Geology

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