UM ALGORITMO ILS PARA MELHORIA DE EFICIÊNCIA DA ESTRATIFICAÇÃO ESTATÍSTICA

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1 UM ALGORITMO ILS PARA MELHORIA DE EFICIÊNCIA DA ESTRATIFICAÇÃO ESTATÍSTICA José André de Moura Brto IBGE Insttuto Braslero de Geografa e Estatístca - Dretora de Pesqusas DPE/COMEQ Av. Cle, número 500, 0º Andar, Centro Ro de Janero RJ. e-mal: jose.m.brto@bge.gov.br Flávo Marcelo Tavares Montenegro IBGE Insttuto Braslero de Geografa e Estatístca - Dretora de Pesqusas DPE/COMEQ Av. Cle, número 500, 0º Andar, Centro Ro de Janero RJ. e-mal: flavo.montenegro@bge.gov.br Luz Satoru Oc Insttuto de Computação - Unversdade Federal Flumnense Rua Passo da Pátra 56 - Bloco E - 3º andar, São Domngos Nteró - RJ e-mal:satoru@c.uff.br RESUMO Em dversas pesqusas amostras, a questão de se produzr estmatvas mas precsas está dretamente assocada à resolução do problema de estratfcação estatístca, que consste em determnar L estratos (agrupamentos) populaconas de forma que os elementos da população mas omogêneos entre s, de acordo com uma varável de estratfcação, sejam alocados a um mesmo estrato. Em mutas aplcações prátcas, a construção desses estratos é efetuada utlzando um algortmo de agrupamento não erárquco, como o k-médas. Esperando-se produzr estratos mas omogêneos e, em conseqüênca, estmatvas mas precsas, propõe-se no presente trabalo um novo algortmo de estratfcação que usa os concetos báscos da metaeurístca ILS e, dferentemente das abordagens tradconas do problema, consdera como função objetvo a própra expressão de varânca correspondente ao plano amostral adotado. Resultados computaconas, obtdos a partr de smulações com dados reas do censo demográfco braslero, são apresentados e dscutdos. PALAVRAS CHAVE. Amostragem. Análse de Agrupamentos. Metaeurístcas. MH. ABSTRACT In a number of samplng surveys, te producton of more precse statstcs s an ssue tat relates drectly to solvng te statstcal stratfcaton problem, wc conssts n determnng a number L of populaton strata (clusters) n suc a way tat elements wc are more omogeneous among temselves, accordng to a stratfcaton varable, be allocated to te same stratum. In many practcal applcatons, te constructon of suc strata s performed by non-erarccal algortms, lke k-means. In order to produce even more omogeneous strata and, consequently, more precse estmates, ts paper proposes a new stratfcaton algortm tat uses te basc concepts of te ILS metaeurstcs and, unlke te tradtonal approaces to ts problem, consder as objectve functon te expresson of varance tself adopted by te samplng desgn. Computatonal results obtaned troug smulatons usng real data from Brazlan demograpc census are presented and dscussed. KEYWORDS. Samplng. Clusterng Analyss. Metaeurstcs. MH.. Introdução O IBGE está sento de qualquer responsabldade pelas opnões, nformações, dados e concetos emtdos neste artgo, que são de exclusva responsabldade dos autores. XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 233

2 A estratfcação estatístca desempena um papel mportante em mutas das pesqusas por amostragem, realzadas em dversas áreas e, especalmente, nos órgãos estatístcos, por permtr que, mesmo com uma amostra às vezes bastante lmtada, se possam obter estatístcas com um bom grau de precsão, através da exploração adequada das omogenedades freqüentemente observadas entre elementos da população de estudo. Assm, espera-se que a reunão dos elementos em grupos, ou estratos, mas omogêneos, possa resultar na produção de estmatvas com um maor nível de precsão, ou seja, com um menor erro padrão assocado. A aplcação de uma estratfcação estatístca pode ser traduzda em se resolver o segunte problema: dvdr uma população com N elementos (undade elementares) em L subpopulações, ou estratos, de forma que os elementos da população mas omogêneos entre s sejam alocados a um mesmo estrato. A construção dos estratos é efetuada levando em conta uma varável de estratfcação Y, cujos valores são dsponíves para todos os elementos da população. Em aplcações prátcas, é muto comum o uso de um algortmo de agrupamento não erárquco, como o das k-médas (Mngot, 2007), ndependentemente do plano amostral adotado (Bolfarne e Bussab, 2005). Com o objetvo de produzr estratos anda mas omogêneos, quando comparados aos estratos produzdos pelo algortmo das k-médas, propõe-se no presente trabalo um novo algortmo de estratfcação que utlza os concetos báscos da metaeurístca ILS (Iterated Local Searc; ver Glover e Kocenberger, 2002), agregando, como função objetvo, a expressão de varânca correspondente ao plano amostral adotado. Este trabalo está dvddo da segunte forma: Na seção segunte, são apresentados de forma resumda os prncpas concetos de amostragem. Na seção 3, temos uma descrção detalada do problema de estratfcação abordado neste estudo. Na seção 4, apresenta-se o novo algortmo de estratfcação. Como conclusão do trabalo, tem-se um conjunto de resultados e análses obtdos a partr de smulações efetuadas com os dados do unverso do Censo Demográfco de Concetos Báscos sobre Amostragem Probablístca Atualmente, os levantamentos por amostragem vêm sendo amplamente utlzados em pesqusas para os mas varados fns, nclundo a tomada de decsão governamental, saúde públca, economa, pesqusas eletoras, etc. Mutas destas pesqusas seram nváves caso se buscasse entrevstar todos os elementos da população de nteresse (efetuar um censo), tendo em vsta a lmtação de tempo e os altos custos operaconas envolvdos para sua realzação. O levantamento por amostragem permte a obtenção de nformações a respeto de valores populaconas desconecdos, medante a observação de apenas parte da população, denomnada amostra. Ou seja, a partr da amostra, é possível produzr, por exemplo, estmatvas de total e/ou da méda para um conjunto de p varáves de nteresse. Tas estmatvas consttuem valores aproxmados do que seram os valores reas, caso todos os elementos da população (unverso) fossem nvestgados. Introduzndo a nomenclatura de amostragem, temos que os elementos de uma população são as undades elementares de nteresse (Bolfarne e Bussab, 2005). Matematcamente, a população consste de todas as undades elementares de nteresse, sendo defnda pelo conjunto U = {,2,..., N}, onde N é o tamano da população. O termo elemento populaconal é usado para denotar qualquer elemento U, também conecdo por undade elementar. Consderando uma pesqusa que envolva p varáves de nteresse, a j-ésma varável de nteresse da pesqusa é, então, um vetor de nformações assocado aos elementos da população e defndo por j j j j j Y = ( Y, Y2,..., Y,..., YN ). A amostra é defnda pelo conjunto S = {,2,..., n}, tal que S U. Exemplfcando, consderemos uma pesqusa que vse estmar o saláro médo de 5000 funconáros de uma compana. Ao nvés de se nvestgar toda a população, selecona-se uma amostra de 500 funconáros, e anotam-se os seus saláros. Neste caso, a varável Y (característca de nteresse) a ser observada é o saláro. XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 234

3 Ao estudar a dstrbução dos saláros dos funconáros na amostra e calcular o saláro médo, espera-se que esta reflta a dstrbução dos saláros da população e o saláro médo da população de 5000 funconáros, desde que a amostra tena sdo escolda levando em conta os concetos de amostragem probablístca (vde Bolfarne e Bussab, 2005). A partr deste ponto, podemos defnr os concetos de estmador e de estmatva. O estmador corresponde a qualquer expressão (totas, médas, razões, etc) aplcada em cada undade de uma amostra, consderando uma partcular varável, e a estmatva é o valor assumdo pelo estmador. ^ Para este exemplo, temos que Y = Y é um estmador da méda populaconal e o valor n S observado para ^ Y corresponderá a uma estmatva da méda populaconal (utlza-se símbolo ^ para representar uma estmatva). Ao se defnr um plano amostral, váras questões devem ser consderadas, dentre as quas destacamos: as restrções de orçamento, a melora dos estmadores, a precsão das estmatvas (menor erro-padrão possível assocado), a seleção dos nstrumentos de coleta e as característcas que serão nvestgadas na população. A avalação de tas questões é de vtal mportânca para a determnação do esquema de amostragem que será adotado. A segur, apresentamos os esquemas de amostragem que foram estudados no presente trabalo (Cocran, 977): Amostragem Estratfcada. Consste na dvsão de uma população em grupos, camados de estratos, segundo alguma(s) característcas(s) conecda(s) na população sob estudo (Bolfarne e Bussab, 2005). Uma das prncpas razões para se realzar uma estratfcação é a melora da precsão das estmatvas. Na amostragem estratfcada, uma população U com N undades é dvdda em L subpopulações (estratos) com N, N,..., 2 N,..., N L undades. Essas subpopulações não se superpõem e, juntas, abrangem a totaldade da população. Depos de defndos os estratos, a partr do conecmento de uma ou mas característcas da população, selecona-se uma amostra em cada um deles, sendo as seleções fetas de manera ndependente em cada um dos estratos, consderando algum esquema de amostragem probablístca (amostragem aleatóra smples, amostragem com probabldade proporconal ao tamano, etc). Amostragem de Conglomerados. Neste esquema, os elementos da população são reundos em grupos, os quas, por sua vez, são sorteados para compor a amostra. Um exemplo smples a ser consderado é a seleção de uma amostra composta por 500 estudantes. Ao nvés de sortear os estudantes (elementos) dretamente de uma lstagem de todos os alunos, pode-se sortear algumas escolas e consderar todos os alunos dessas escolas para compor a amostra. A amostragem por conglomerados ntroduz uma economa na construção do cadastro, dspensando a necessdade de lstar o total de elementos que compõe a população. Além dsso, o custo de locomoção e acesso aos elementos da amostra para obtenção da nformação desejada pode ser reduzdo de forma sgnfcatva. Amostragem com Probabldade Proporconal ao Tamano. É um esquema de amostragem no qual a probabldade de seleção não é a mesma para todas as undades amostras, e sm, proporconal ao tamano de cada undade. Para fns de exemplfcação, supona que tenamos um cadastro (unverso) com um conjunto de fazendas e suas respectvas áreas em ectares. As fazendas com maores áreas devem ter maor probabldade de serem seleconadas para amostra, o que mplca em que a varável área seja utlzada como a varável de tamano para o processo de seleção da amostra. XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 235

4 3. Descrção do Problema O plano amostral estudado neste trabalo consdera a aplcação da amostragem de conglomerados com estratfcação e seleção com probabldade proporconal ao tamano. Incalmente, são defndos L estratos populaconas, consttuídos por um conjunto de M conglomerados ( =,..., L) representados pelos setores censtáros do unverso (undades de coleta do Censo Demográfco Braslero). Os setores censtáros são defndos pelo IBGE obedecendo a crtéros de operaconalzação da coleta de dados, de tal manera que abranjam uma área que possa ser percorrda por um únco recenseador em um mês e que possua em torno de 250 a 350 domcílos (em áreas urbanas). Tas setores serão as undades elementares da população. A construção dos estratos populaconas, sto é, a defnção dos grupos de conglomerados, é feta levando em conta os valores de uma varável Y (varável de estratfcação), conecda para todos os conglomerados do unverso, sendo desejável que os conglomerados mas omogêneos entre s, segundo os valores de Y, sejam alocados a um mesmo estrato. Em seguda, com a fnaldade de produzr estmatvas com um bom nível de precsão para a varável Y e para outras varáves X que sejam correlaconadas com Y, selecona-se, em cada um dos estratos, uma amostra de m ( =,..., L) conglomerados, com probabldade de seleção proporconal a uma varável de tamano cuja nformação esteja dsponível para cada um dos conglomerados. A fgura lustra a aplcação deste plano amostral consderando uma população (retângulo) que fo dvdda, consderando-se a varável Y, em 3 estratos omogêneos, compostos, respectvamente, por ses, três e quatro conglomerados (retângulos menores). Ou seja, fo realzada uma estratfcação estatístca. Os retângulos em cnza representam os conglomerados que foram, então, seleconados para compor a amostra. Estrato Estrato 2 Estrato 3 Conglomerados Seleconados Fgura Plano Amostral Combnando Estratfcação e Conglomeração É fato conecdo que a adoção deste tpo construção pode cooperar em muto para se obter estmatvas precsas, ressaltando-se que o nível de precsão será tanto melor quanto mas omogêneos forem os estratos produzdos e, caso sejam desejadas estmatvas para uma varável X, quanto maor for a correlação entre as varáves Y, de estratfcação, e X. Normalmente, os estratos são construídos medante a aplcação de um algortmo de agrupamento não erárquco, tal como o algortmo das k-médas (Mngot, 2007 e Hartgan e Wong, 979), que é provavelmente um dos mas conecdos e mas utlzados em problemas reas. Na aplcação deste algortmo, busca-se teratvamente alocar cada elemento àquele grupo cujo centróde (vetor de méda(s) da(s) varável(es) Y ) é o mas próxmo do vetor de valores Y observados para o respectvo elemento. O processo completo é composto bascamente por quatro passos: () Escola dos centródes, para ncalzar o processo de agrupamento. (2) Cada elemento do conjunto de dados é comparado com cada centróde ncal, através de uma medda de dstânca, e o elemento é alocado ao grupo cujo centróde está a uma dstânca menor. (3) Recalculam-se os valores dos centródes para cada novo grupo formado e repete-se o passo (2), XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 236

5 consderando os centródes destes novos grupos. (4) Os passos (2) e (3) são repetdos até que a dferença entre os centródes em duas terações consecutvas seja não sgnfcatva. Em geral, este algortmo tende a convergr rapdamente para um mínmo local que pode estar dstante do ótmo global do problema, que normalmente é muto dfícl de ser encontrado, devdo à alta complexdade computaconal decorrente de seu aspecto combnatóro. Caso seja aplcado um processo de busca exaustva para garantr a obtenção da solução global, será necessáro enumerar todas as soluções, ou seja, todas as possbldades de combnação dos n objetos em k grupos. O número de possbldades, neste caso, está assocado ao número de Strlng de segundo k k j k n tpo (ver Jonson e Wcern, 2002), dado por ( ) j. k! j = 0 j Entretanto, é comumente possível encontrar soluções de melor qualdade do que as obtdas pelo algortmo das k-médas, utlzando-se de métodos de computação mas ntensva (embora não exaustva), dsponíves na lteratura, às custas de um maor tempo de processamento. Uma dessas possbldades é de aplcação de uma metaeurístca. As metaeurístcas (Resende e Sousa, 2004 e Glover e Kocenberger, 2002) vêm sendo desenvolvdas pelo menos desde os anos 80, sendo tal termo utlzado por Glover (986). Enquanto as eurístcas tradconas param, em geral, no prmero ponto ótmo local encontrado, as eurístcas que utlzam os paradgmas das metaeurístcas possuem mecansmos que possbltam escapar desses pontos, usualmente ótmos locas pobres, cujos valores assocados estão normalmente muto dstantes do valor da solução ótma. Em face destas consderações, e na expectatva de se produzr extratos mas omogêneos do que os obtdos pelo método das k-médas, uma possível alternatva é construr os estratos através de um algortmo de mnmzação que tena, como função objetvo, a expressão de varânca do plano amostral de conglomerados com estratfcação. Apresenta-se, a segur, a notação e as fórmulas assocadas ao plano amostral que fo objeto de estudo deste trabalo e que motvou a mplementação do novo algortmo de estratfcação. 3. Notação Utlzada na Amostragem de Conglomerados com Estratfcação Incalmente, suponamos que os M conglomerados são agrupados em L estratos E, E 2,..., E L, tendo-se assocado a cada conglomerado o total da característca Y. Denotando por E um estrato genérco ( =,2,..., L), podemos defnr: Y - Valor de Y no -ésmo conglomerado do -ésmo estrato do unverso. M - O número de conglomerados (setores) no estrato do unverso. m - O número de conglomerados (setores) da amostra no estrato. N - Número de domcílos da população no -ésmo estrato do unverso. N - Número de domcílos da população no -ésmo conglomerado do - ésmo estrato. Y = L Y = M Y = Y p = = N N Total da característca Y no unverso () Total da característca Y no -ésmo estrato do unverso (2) Tamano relatvo do -ésmo conglomerado do -ésmo estrato, que defne a probabldade seleção deste conglomerado no sorteo para compor a amostra Agora, seleconando-se em cada um dos L estratos uma amostra de conglomerados com probabldade de seleção proporconal a uma varável tamano, podemos estmar os valores Y a partr da aplcação das seguntes fórmulas: ' Valor de Y Y no -ésmo conglomerado seleconado no (4) -ésmo estrato para compor a amostra (3) XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 237

6 ' p m ' Y = ' m = p L Y = Yˆ = Tamano relatvo do -ésmo conglomerado do -ésmo estrato, que defne a probabldade de seleção deste conglomerado na amostra Y ˆ Estmatva do total da característca Y no -ésmo estrato (6) ˆ Estmatva do total da característca Y (7) Os estratos populaconas são construídos levando-se em conta a expressão de varânca (equação 8) (combnação das varâncas dos estratos) ou o coefcente de varação (cv), que corresponde a uma medda de precsão relatva (equação 9). Observe-se que quanto menor o valor de (8) ou (9), mas omogêneos serão os estratos populaconas. V ( Yˆ) = L = ( m M = Y 2 p Y 2 ) (5) (8) CV ( Yˆ) = 00. V ( Yˆ) / Y (9) No caso de uma partcular amostra, seleconada a partr dos estratos populaconas, segundo o plano amostral prevamente descrto, pode-se avalar a precsão da estmatva de Y ou de uma varável X a partr do cálculo da varânca amostral ou de seu coefcente de varação assocado (equações 0 e ). 2 M ' L Y = 2 v( Yˆ) ( Yˆ ' ) m.( m ) p (0) = cv( Yˆ) = 00. v( Yˆ) / Yˆ () 4. Algortmo de Estratfcação 4. Metaeurístca ILS A metaeurstca ILS (Iterated Local Searc) (Glover e Kocenberger, 2002), consste, essencalmente, na aplcação teratva de um procedmento de busca local em uma solução ncal o s, que é prevamente obtda a partr da utlzação de um procedmento aleatóro de construção ou consderando uma eurístca de construção. O procedmento de busca local tem por fnaldade melorar a solução ncal e também aquelas produzdas após perturbações de soluções ótmas locas. O êxto desta metaeurístca está dretamente assocado à escola do procedmento de busca local, ao procedmento de perturbação aplcado sobre a solução corrente e ao crtéro de acetação das soluções. Observamos que a mplementação destes procedmentos, bem como do crtéro de acetação, está ntrnsecamente assocada ao problema que será resolvdo. O pseudo-códgo abaxo mostra os passos báscos desta metaeurístca: No passo () o constró-se uma solução ncal s, aplcando sobre solução uma busca local (passo 2), que produz uma solução s *. Com a fnaldade de obter soluções de melor qualdade, aplca-se consecutvamente, a partr de s*, um procedmento de perturbação e uma nova busca local, o que resulta em um nova solução s a ser comparada com a solução s*. Se a nova solução s satsfaz um crtéro de acetação baseado em s*, então atrbu-se s a s*, caso contráro, a solução s* é mantda. Os passos (3), (4) e (5) são então aplcados durante m terações, obtendo-se no fnal a melor solução assocada a s*. Procedmento Iterated Local Searc. s o =Gerar_Solução_Incal; 2. s * =Busca_Local(s o ); Repta 3. s =Perturbação(s*); 4. s =Busca_Local(s ) ; 5. s*=crtéro_acetação(s*,s ); Até (Sejam efetuadas m terações); = XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 238

7 Fm-Procedmento Fgura 2 - Pseudo-Códgo da Metaeurístca ILS 4.2 Algortmo Proposto O algortmo ILS proposto neste trabalo consste em um procedmento de geração da solução ncal, dos procedmentos de perturbação, dos procedmentos de busca local e um procedmento de acetação, quas sejam: Geração da Solução Incal: São geradas 0 soluções, defnndo-se como a solução ncal ( o s ) aquela com o menor valor da varânca segundo a equação (8). Uma solução é representada por um vetor de N posções (número de setores na população) preencdas com um valor aleatóro entre e L (número de estratos), ndcando o estrato ao qual cada setor será alocado. Perturbação Tpo : Consste na troca de m setores entre dos estratos, com m assumndo um valor aleatóro entre dos e cnco. Incalmente, são sorteados dos valores entre e L, que corresponderão aos índces dos estratos E e E entre os quas será efetuada a troca, observando que m = mínmo( m, E, E j ). Em seguda, são sorteados m setores em cada um destes estratos, efetuando-se a sua troca. Perturbação Tpo 2: Sortea-se, respectvamente, um estrato E (observando que E > L ) dentre os L estratos e ( L ) setores deste estrato a serem alocados aos ( L ) estratos restantes. Busca Local Tpo : Incalmente, são efetuadas r trocas de setores entre dos estratos, e E j, seleconados aleatoramente. Ou seja, em cada troca aloca-se um setor E j e um setor o j E j ao estrato E, sendo o e j E o E ao estrato o j também seleconados aleatoramente. Em seguda, anda consderando os estratos E e E j, são efetuadas r re-alocações de m setores do estrato E para o estrato E j ou vce-versa. Para cada re-alocação, atrbu-se a m um valor aleatóro entre e 4. Sortea-se, também, um número real ρ (0,). Se ρ > 0. 5 o estrato E será o doador dos m setores e o estrato doador e E será o receptor. E será o receptor, caso contráro, o j E j será o Após as r trocas e as r re-alocações, avendo uma redução no valor da varânca em relação à melor varânca atual, atualza-se a solução. Caso contráro, retorna-se à melor solução obtda até o momento e seleconam-se dos novos estratos, aplcando-se novamente os dos tpos de movmentos. Busca Local Tpo 2: Utlza um procedmento de busca em vznanças, consderando a combnação de todos os estratos, tomados dos a dos. Para cada dos estratos E e E j ( < j,, j [,2,..., L]) selecona-se, aleatoramente, q setores (com q varando entre e 4), efetuando-se r trocas de q setores entre E e E j. Após as r trocas, avendo redução da varânca, contnua-se na mesma vznança, seleconando-se q novos setores a serem trocados entre E e E j. Em caso contráro, ncrementa-se a vznança de um, buscando-se a troca de ( q + ) setores entre os estratos. Quando a vznança máxma é atngda, novos estratos são defndos, aplcando-se, novamente, as r trocas de q setores entre E e E j. Observamos que nos dos procedmentos de busca local o valor do parâmetro r fo fxado em 800. Acetação: Por ordem de aplcação, consste dos seguntes testes: () Se f(s )<f(s*) => Substtur s* (melor solução até o momento) por s (solução advnda da busca local). (2) f(s*)-f(s ) /f(s*) є => Armazenar s*, caso esta seja a melor solução encontrada até o momento, e substtur s* por s (solução advnda da busca local). XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 239

8 Caso nenum dos testes seja satsfeto, a solução s* é mantda. O prmero procedmento de perturbação fo aplcado nas terações de número ímpar do algortmo e o segundo nas terações de número par. A busca local do tpo fo aplcada no passo 2 do algortmo (fgura 2), logo após o procedmento de construção e a busca local do tpo 2 fo aplcada em todas terações do algortmo (passo 4 do algortmo). 5. Resultados Computaconas A avalação do algortmo de estratfcação (ILS), mplementado em lnguagem R ( fo efetuada medante a realzação de um conjunto de expermentos computaconas com os dados do Censo Demográfco de 2000, produzdo pelo IBGE. Todos os expermentos foram realzados em um computador Pentum com 2Gb de memóra RAM e dotado de um processador de 3.0 Gz (Core 2 Duo). A base de dados utlzada no presente expermento consttu-se dos setores censtáros do unverso do Censo Demográfco de 2000 (dados de uso públco), assocados a algumas das undades da federação. Cada setor censtáro correspondeu a um conglomerado, sendo o total do rendmento dos responsáves pelos domcílos e o total de anos de estudo dos responsáves pelos domcílos, respectvamente, a varável de estratfcação e a varável de estudo. 5. Aplcação do Algortmo ILS e Smulações A prmera fase do expermento consstu da aplcação dos algortmos ILS e k-médas, de forma a construr os estratos populaconas formados pelos conglomerados, consderando um conjunto de 5 undades da federação. A função objetvo utlzada correspondeu à varânca expressa na equação (8) e o número de estratos fo fxado entre três e oto, o que mplcou, por sua vez, em doze possíves estratfcações da população (ses do ILS e ses do algortmo das k-médas) para cada uma das 5 undades da federação. Para a execução do algortmo ILS, o número de terações defndo a pror fo de 50, o número de trocas e atrbuções efetuadas pelos procedmentos de busca local fo gual a 800 e o valor do fator de tolerânca ε fo de 0,. A partr dos estratos populaconas construídos pelos dos algortmos, foram seleconadas 400 amostras de conglomerados (setores) com a probabldade de seleção de cada setor proporconal ao número de domcílos (varável de tamano) no setor. Para compor cada uma das amostras, foram seleconados 20% dos setores em cada um dos estratos populaconas Em seguda, calculou-se, a partr de cada uma das amostras, a estmatva de total (equação 7) da varável Y e da varável X e o coefcente de varação destas estmatvas (equação ). Fnalmente, consderando as 400 estmatvas e os seus respectvos coefcentes de varação, calculou-se a méda dos desvos relatvos (equação 2) das estmatvas de Y e X, em relação aos valores conecdos do censo para as varáves Y e X, e a méda dos coefcentes de varação (equação 3). 400 ρ = ( 00 x Yˆ Y / Yˆ ) / 400 µ = 400 = cv( Yˆ ) / 400 Y ˆ = Estmatva de Y obtda na -ésma amostra cv( Y ˆ ) = Coefcente de varação = assocado à -ésma estmatva Na tabela e no gráfco, temos uma sumarzação dos resultados relatvos às estratfcações produzdas pelos dos algortmos. A prmera coluna desta tabela contém, para cada uma das 5 undades da federação, o nome da undade, o número de setores do unverso nesta undade e o coefcente de correlação entre X e Y (Bussab e Morettn, 2003). A coluna dos ndca o número de estratos consderado. As colunas três e quatro trazem, respectvamente, os coefcentes de varação assocados ao total populaconal (equação 9) consderando os estratos contruídos pelo algortmo das k-médas (CV ) e pelo algortmo ILS (CV 2 ). Em seguda, temos, nas colunas cnco e ses, a méda dos desvos relatvos (equação 2) ρ e ρ 2 consderando as 400 estmatvas produzdas a partr das amostras (2) (3) XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 240

9 seleconadas dos estratos construídos pelos dos algortmos. As colunas sete e oto trazem o coefcentes de varação médos µ e µ 2 para as 400 amostras seleconadas. De manera análoga, nas colunas de nove a dezesses, temos os respectvos resultados para a varável X. Para o gráfco, cada box plot em cnza claro contém as nformações dos cv s da varável de estratfcação renda, obtdos a partr da aplcação do algortmo ILS em cada uma das qunze UFs, com número de estratos varando entre 3 e 8. Igualmente, cada box plot em cnza escuro contém os CV s do algortmo das k-médas. Tas CV s foram calculados medante aplcação da equação 9. Incalmente, analsando os valores dos coefcentes de varação apresentados na colunas 3 e 4 da tabela, é possível observar que o algortmo ILS produzu estratos mas omogêneos que aqueles produzdos pelo algortmo das k-médas. Para algumas UFs, a dferença entre os CV s do ILS e os CV s do k-médas cega a ser de quase 00%. Pode-se observar, também, que as estmatvas de total da varável de estratfcação renda, produzdas a partr das 400 amostras seleconadas nos estratos defndos pelo ILS são mas acuradas (vde méda dos desvos relatvos colunas 5 e 6) do que as estmatvas produzdas a partr das amostras sorteadas nos estratos defndos pelo algortmo k-médas. Ou seja, tas estmatvas estão mas próxmas do valor real de Y. Por sua vez, o coefcente de varação médo (colunas 7 e 8) calculado a partr da estmatva dos cv s de cada amostra apresenta valores bem próxmos ao CV geral (colunas e 2), o que ndca a robustez dos estratos produzdos, ou seja, que a precsão fo mantda ndependentemente da amostra seleconada. Destaca-se, também, que foram obtdos maores ganos de precsão para varável anos de estudo medante a utlzação dos estratos do algortmo ILS. Tal observação está fundamentada tanto em relação aos valores dos CV s assocados à função objetvo (colunas 9 e 0) quanto ao valor da méda dos desvos relatvos (colunas e 2). Tal fato é mportante, tendo em vsta que nas pesqusas que utlzam planos amostras são fetas estmatvas para um conjunto de varáves assocadas à varável de estratfcação. Provavelmente, tas ganos de precsão foram favorecdos pela razoável correlação entre X e Y, pos, na maora das UFs, o coefcente de correlação lnear (Bussab e Morettn, 2003) é da ordem de 0.8. Fnalmente, a análse do gráfco volta a reforçar a observação de que o algortmo ILS tende a produzr estratos mas omogêneos do que os produzdos pelo algortmo das k-médas. Além dsso, os maores ganos de precsão (maor redução da função objetvo) foram obtdos com número de estratos entre 3 e 6. Ressalte-se que esta dferença de performance se deve prncpalmente ao uso de algortmos que resultam em processos de computação mas ntensva, permtndo-se explorar uma quantdade bem maor de soluções. O custo desta melora pode ser expresso pela dferença nos tempos computaconas exgdos pelos algortmos, os quas foram da ordem de mnutos para o algortmo das k-médas e da ordem de oras (com um máxmo de cerca de dez oras) para os algortmos propostos neste trabalo. Uma vez, entretanto, que a qualdade das soluções obtdas fo sgnfcatvamente melor, o que pode ocasonar uma redução nos custos, devdo à necessdade de uma amostra menor, e/ou um aumento da precsão das estmatvas, o uso de tas métodos ntensvos de computação pode vr a ser bastante vantajoso. Em trabalos futuros, pretende-se avalar a efcênca do algortmo ILS consderando novas varáves X e outros planos de amostragem, o que mplca, por sua vez, em mnmzar outras expressões de varânca. Também serão mplementados procedmentos de perturbação e busca local mas sofstcados, objetvando ganos de precsão (redução da função objetvo) anda maores que os obtdos neste estudo. Além dsso, objetvando uma redução no tempo de processamento, em comparação com o algortmo mplementado em R (uma lnguagem nterpretada), espera-se mplementar em futuros trabalos novas versões dos algortmos também em lnguagem complada como C++ ou uma lnguagem íbrda como o JAVA (Furger, 2008), ou seja, complada e nterpretada. XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 24

10 Tabela Resultados da Estratfcação U F L C V y CVy2 ρ y ρ y 2 µ c v y µ c v y2 C V x C V x 2 ρ x ρ x 2 µ c v x µ c v x2 3 3,03 2,0 2,3,58 2,99 2,0,92,67,59,35,92,66 R o n d ô n a 4 2,82,67 2,40,32 2,77,65,92,57,56,27,93,57 S e t o r e s ,73,56 2,4,29 2,67,55,87,56,49,24,86,57 6 2,70,4 2,5,4 2,66,40,87,53,52,2,88,53 r=0,84 7 2,54,25 2,04 0,99 2,52,24,87,52,55,9,86,52 8 2,56,22 2,03 0,94 2,55,2,88,50,50,0,87,50 3 2,74 2,54 2,22 2,03 2,70 2,53,4,39,2,06,4,39 A m a z o n a s 4 2,49 2,43 2,05 2,02 2,46 2,42,35,26, 0,96,35,26 S e t o r e s ,27,98,78,53 2,24,97,20,3 0,94 0,90,9,4 6 2,22,98,80,68 2,20,97,9, 0,98 0,88,8, r=0,73 7 2,5,78,60,35 2,0,76,4,08 0,9 0,88,4,08 8 2,2,74,67,48 2,07,72,4,07 0,9 0,87,4,07 3,99,68,6,35,97,67,26,2 0,96 0,94,26,2 P a r á 4,9,50,54,9,89,49,22,3 0,98 0,93,22,3 S e t o r e s ,70,36,44,5,69,35,9,09 0,90 0,86,9,09 6,62,27,46,00,63,26,7,07 0,95 0,82,7,07 r=0,76 7,63,29,33,04,60,29,8,07 0,98 0,84,8,07 8,58,30,26,06,53,29,7,05 0,92 0,83,7,05 3 3,64 3,09 2,7 2,55 3,59 3,08 2,26 2,9,75,73 2,25 2,20 T o c a n t n s 4 3,0 2,73 2,27 2,07 3,00 2,73 2,00,98,6,55,99,96 S e t o r e s ,97 2,34 2,20,88 2,95 2,35 2,03,97,58,52 2,02,97 6 2,73 2,24 2,24,80 2,64 2,23,97,92,59,57,96,9 r=0,84 7 2,68,89 2,0,47 2,62,89,9,85,59,4,90,85 8 2,64,69 2,0,34 2,60,67,88,78,5,45,87,77 3 2,39 2,27,9,90 2,35 2,28,3,08 0,90 0,87,3,07 E s p í r t o S a n t o 4 2,2,92,78,45 2,20,9,06,0 0,86 0,77,05,0 S e t o r e s ,99,86,59,52,99,86,02 0,99 0,82 0,78,02 0,99 6,86,30,50,03,82,29 0,95 0,87 0,74 0,67 0,95 0,86 r=0,83 7,85,48,55,9,8,47 0,94 0,88 0,76 0,68 0,93 0,88 8,72 0,97,32 0,72,7 0,96 0,92 0,84 0,78 0,67 0,92 0,84 3,28,4,03 0,9,28,4 0,56 0,55 0,45 0,42 0,56 0,55 P a r a n á 4,8 0,99 0,98 0,76,8 0,99 0,54 0,48 0,42 0,40 0,54 0,48 S e t o r e s ,09 0,9 0,92 0,7,08 0,9 0,5 0,45 0,4 0,35 0,5 0,45 6,03 0,87 0,83 0,66,03 0,87 0,49 0,44 0,42 0,33 0,49 0,44 r=0,8 7,02 0,83 0,8 0,66,02 0,83 0,49 0,42 0,43 0,33 0,49 0,42 8,0 0,77 0,82 0,62,00 0,77 0,48 0,40 0,39 0,3 0,48 0,40 3,53,22,22 0,99,52,2 0,69 0,66 0,58 0,5 0,69 0,66 S a n t a C a t a r n a 4,39,08,5 0,88,38,07 0,65 0,6 0,50 0,49 0,65 0,6 S e t o r e s ,34 0,95,04 0,79,32 0,95 0,65 0,57 0,5 0,45 0,65 0,57 6,30 0,92,04 0,72,27 0,90 0,62 0,55 0,49 0,42 0,62 0,55 r=0,83 7,26 0,85,03 0,7,26 0,84 0,62 0,54 0,50 0,44 0,62 0,54 8,26 0,77 0,94 0,59,24 0,78 0,6 0,53 0,47 0,43 0,6 0,53 () Algortmo das k-médas (2) Algortmo ILS XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 242

11 Tabela Resultados da Estratfcação (contnuação) U F L C V y CVy2 ρ y ρ y 2 µ c v y µ c v y2 C V x C V x 2 ρ x ρ x 2 µ c v x µ c v x2 3,08 0,86 0,89 0,64,08 0,85 0,47 0,43 0,35 0,32 0,47 0,43 Ro G. Sul 4 0,98 0,75 0,77 0,57 0,98 0,75 0,45 0,39 0,35 0,3 0,45 0,39 Setores ,92 0,68 0,75 0,56 0,92 0,68 0,43 0,37 0,35 0,3 0,43 0,37 6 0,89 0,62 0,69 0,52 0,89 0,62 0,42 0,35 0,32 0,27 0,42 0,35 r=0,83 7 0,87 0,58 0,68 0,46 0,87 0,58 0,42 0,34 0,32 0,26 0,42 0,34 8 0,85 0,53 0,66 0,42 0,85 0,53 0,4 0,33 0,33 0,28 0,4 0,33 3 3,6,84 2,40,4 3,5,83,48,23,7,03,48,23 M a t o G r o s s o 4 3,05,56 2,38,26 3,0,56,48,6,25 0,9,47,6 S e t o r e s ,90,40 2,34,5 2,87,4,45,3,6 0,93,44,3 6 2,97,24 2,56 0,99 2,9,24,46,,8 0,85,45,0 r=0,78 7 2,93,6 2,32 0,94 2,9,6,45,08,23 0,85,45,09 8 2,72 0,94 2,20 0,75 2,7 0,94,43,08, 0,86,43,08 3,93,67,52,3,93,66 0,86 0,82 0,67 0,63 0,86 0,8 G o á s 4,72,44,37,2,7,43 0,8 0,77 0,63 0,58 0,8 0,77 S e t o r e s ,70,32,35,05,68,32 0,78 0,73 0,64 0,58 0,78 0,73 6,65,24,37,02,66,24 0,78 0,7 0,63 0,56 0,78 0,7 r=0,77 7,54,4,20 0,9,52,3 0,75 0,68 0,63 0,53 0,75 0,68 8,48,05,7 0,82,48,05 0,75 0,65 0,59 0,5 0,75 0,65 3 2,72 2,23 2,24,69 2,68 2,2,6,58,26,24,60,58 M a r a n ã o 4 2,22 2,02,65,60 2,20 2,02,52,45,25,6,52, ,5,89,73,46 2,3,88,5,4,25,07,5,4 6 2,2,78,69,38 2,0,77,50,35,6,06,50,35 r=0,77 7 2,06,72,59,36 2,03,72,49,33,4,09,49,32 8 2,02,66,65,3 2,00,66,46,30,7,07,46,3 3 2,9 2,80 2,34 2,4 2,87 2,78,83,78,47,35,82,76 P a u í 4 2,54 2,47 2,02 2,0 2,5 2,47,78,74,39,33,77,74 S e t o r e s ,45,88,9,49 2,4,87,6,55,9,4,6,55 6 2,35 2,07,82,65 2,30 2,06,56,5,23,6,56,5 r=0,79 7 2,09,92,64,55 2,07,92,55,45,3,20,55,45 8 2,08,50,67,9 2,0,49,54,35,30,0,54,35 3 2,8 2,04,69,60 2,6 2,02,33,8,06 0,98,33,8 C e a r á 4 2,03,97,6,57 2,03,97,4,00 0,94 0,82,4,00 S e t o r e s ,86,82,54,46,84,82,2 0,92 0,84 0,73, 0,92 6,74,52,56,2,73,52,05 0,82 0,90 0,67,05 0,82 r = 0, 7 8 7,69,43,34,6,68,43,03 0,79 0,80 0,6,03 0,79 8,69,46,38,5,69,46,02 0,80 0,8 0,6,02 0,80 3 2,97 2,58 2,36,94 2,98 2,58,77,58,44,25,77,58 R o G. N o r t e 4 2,84 2,47 2,35,94 2,82 2,45,56,43,22,4,55,43 S e t o r e s ,56 2,23 2,07,74 2,58 2,22,43,3,8 0,99,43,30 6 2,54 2,05 2,,70 2,52 2,05,37,24,,00,37,24 r = 0, ,49,83,99,40 2,44,83,38,3,08 0,89,38,3 8 2,35,8,85,35 2,28,78,36,0,09 0,89,35,09 3,64,49,28,6,63,49 0,92 0,90 0,75 0,68 0,93 0,9 Baa 4,52,40,5,07,5,39 0,86 0,8 0,66 0,63 0,86 0,8 Setores 528 5,45,05,4 0,8,45,05 0,83 0,68 0,67 0,56 0,83 0,68 6,4,,09 0,88,40, 0,8 0,69 0,62 0,56 0,8 0,69 r=0,78 7,36,05,04 0,83,36,05 0,79 0,66 0,63 0,5 0,79 0,66 8,36,05,02 0,82,35,04 0,79 0,65 0,60 0,52 0,79 0,65 () Algortmo das k-médas (2) Algortmo ILS XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 243

12 Gráfco Box Plots relatvos aos cv s dos algortmos ILS e k-médas por número de estratos Coefcentes de Varação das 5 UFs: Mn Q Medana Q3 Max Alg. k-médas Alg. ILS Número de Estratos entre 3 e 8 Bblografa Bolfarne, H. e Bussab, Wlton O. (2005). Elementos de Amostragem. ABE Projeto Fser. Edtora Edgard Blücer. Bussab, Wlton O. e Morettn P.A. (2003). Estatístca Básca. Edtora Sarava. Cocran, Wllan G. (977). Samplng Tecnques. Trd Edton New York, Jon Wley. Furger, Sérgo (2008). Java 6 - Ensno Ddátco Desenvolvendo e Implementando Aplcações. Edtora Érca. Glover, F. (986). Future pats for nteger programmng and lnks to artfcal ntellgence. Comput. Operatonal 3: Glover, F. e Kocenberger, G. A. (2002). Handbook of Metaeurstc, Frst Edton Norwell: Kuwer Academc Publsers. Hartgan, J.A. e Wong, M.A. (979). A k-means clusterng algortm, Appled Statstcs 28, Jonson A.R. e Wcern D.W. (2002). Appled Multvarate Statstcal Analyss. Prentce Hall. Fft Edton. Mngot, S.A (2007). Análse de Dados Através de Métodos de Estatístca Multvarada Uma Abordagem Aplcada. Edtora UFMG. Resende, M.G.C e Sousa, J.P (2004). Metaeurstcs : Computer Decson-Makng. Kluwer Academc Publsers. Agradecmentos: Aos pesqusadores André Wallace Nery da Costa, Dens Paulo dos Santos, Sona Alber e Antono José Rbero Das, da COMEQ/IBGE, pelas sugestões e comentáros. À FAPERJ pelo fnancamento parcal deste estudo. XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conecmento Pág. 244