SE18 - Matemática. LMAT5C3 - Cônicas. Questão 1

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1 SE18 - Matemática LMAT5C3 - Cônicas Questão 1 (Enem 2013) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: I. é a circunferência de equação x 2 + y 2 = 9; II. é a parábola de equação y = x 2 1, com x variando de 1 a 1; III. é o quadrado formado pelos vértices ( 2, 1), ( 1, 1), ( 1, 2) e ( 2, 2); IV. é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V. é o ponto (0, 0). A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? a)

2 b) d)

3 e) Questão 2 (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x 2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a a) b) d) e) Questão 3 (Uema 2014) Uma família da cidade de Cajapió MA comprou uma antena parabólica e o técnico a instalou acima do telhado. A antena projetou uma sombra na parede do vizinho, que está reproduzida abaixo, coberta com uma folha quadriculada.

4 Note que a figura projetada na parede é uma cônica. Considerando as medidas mostradas e o sistema cartesiano contido na folha quadriculada, a equação que representa a cônica será a) b) d) e) Questão 4 (Uftm 2012) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x 2 + 7x 1, e a origem do sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de PQ. Sendo assim, P e Q são pontos que estão na reta

5 a) b) d) e) Questão 5 (Ufg 2007) A região do plano cartesiano, destacada na figura a seguir, é determinada por uma parábola, com vértice na origem, e duas retas. Esta região pode ser descrita como o conjunto dos pares ordenados (x, y) IR IR, satisfazendo a) e b) e e d) e

6 e) e Questão 6 (Uel 2007) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola de equação y = x 2 são dados por: a) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/4); Reta diretriz y = -1/4 b) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/2); Reta diretriz y = -1/2 Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz y = -1 d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, -1); Reta diretriz y = 1 e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz y = -2 Questão 7 (Ufrgs 2013) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por f(x) = x 2 + x - 2 e g(x) = 6 - x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaixo. A distância entre os pontos A e B é a) b)

7 d) e) f) Não sei Questão 8 (Uece 2007) Se a reta r, tangente à circunferência x 2 + y 2 = 1 no ponto parábola y = x nos pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ), então x 1 + x 2 é igual a, intercepta a a) -2 b) -1 d) e) Não sei Questão 9 (Uel 2017) Leia o texto a seguir. A biometria é utilizada para a identificação pessoal e apresenta as seguintes características: universalidade, imutabilidade, facilidade de coleta e aceitação pública. A utilização das impressões digitais para reconhecimento biométrico oferece segurança e eficácia, podendo substituir os cartões e as senhas que se usa no dia a dia. Adaptado de: MAZI, R. C.; PINO JUNIOR, A. Identificação biométrica através da impressão digital usando redes neurais artificiais. Anais do XIV Encita Suponha que esse processo seja constituído de duas etapas: na primeira, o usuário tem seu polegar digitalizado e a imagem gerada é transformada em um padrão matemático; na segunda, esse padrão é comparado em um banco de dados de usuários para se determinar a quem pertence a imagem digitalizada. Suponha também que o padrão matemático armazenado seja a equação da elipse central presente no polegar direito e que o banco de dados de usuários contenha as entradas a seguir.

8 Um desses usuários teve o polegar direito digitalizado e as propriedades da elipse central E (ilustrada na figura) são as seguintes: - A elipse E passa pelo ponto (1, 0); - A elipse E não intercepta o eixo y; - A elipse E intercepta o eixo x em apenas um ponto. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o usuário a quem pertence a digital. a) Bento Alves. b) Egbert. Macabéa. d) Marius. e) Olímpico. f) Não sei. Questão 10 (Mackenzie 2016) Com relação às equações das elipses 25x y x + 256y = 0 e 16x y 2-96x - 200y = 0, podemos afirmar que a) as elipses têm centros coincidentes. b) as elipses têm a mesma distância focal. as elipses têm a mesma excentricidade. d) as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas. e) o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo menor da outra.

9 . Questão 11 (Unesp 2008) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação, com x e y em milhões de quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede π/4. A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é: a) b) d) e) f) Não sei Questão 12 (Unesp 2010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943; II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).

10 Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dado: 0, ,889 e 0,333 a) 35 b) d) 20 e) 15 f) Não sei Questão 13 (Ufpb 2011) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central. Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F 1 e F 2, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de: a) 68 m

11 b) 72 m 76 m d) 80 m e) 84 m f) Não sei Questão 14 (Ufrn 2013) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo. O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) 3 m b) 4 m 5 m d) 6 m e) Não sei Questão 15 (Uel 2007) Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por

12 toda a extensão da corda. Observe a figura e responda a questão a seguir. Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo retangular? a) 10 m. b) 15 m. 20 m. d) 25 m. e) 30 m.. Questão 16 (Udesc 2009) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) A equação x 2-2x + y 2 + 2y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas. ( ) A elipse de equação 9x 2 + 4y 2 = 36 intercepta a hipérbole de equação x 2-4y 2 = 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole. ( ) O semieixo maior da elipse 9x 2 + 4y 2 = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x 2-4y 2 = 4. Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo. a) V - V - V b) V - V - F F - V - F d) F - F - V

13 e) V - F - F Questão 17 (Uel 2009) Considere o círculo x 2 + y 2 - r 2 = 0 de raio r e a hipérbole x 2 - y 2 = 1. Nesse caso, pode-se afirmar que: a) Se, então as curvas se intersectam em quatro pontos. b) Se, então as curvas tem quatro pontos em comum. Se, as curvas se intersectam em (0,1) e (0,-1) d) Se, então as curvas se intersectam apenas nos pontos e e) Se, então as curvas se intersectam em quatro pontos. f) Não sei. (Unb 2012) Questão 18 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O vento solar é uma emissão contínua, em todas as direções, de partículas carregadas que têm origem na coroa solar. As partículas emitidas podem ser elétrons, prótons ou neutrinos. A velocidade dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s. Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do sistema solar. Esse plasma de partículas carregadas é comumente denominado mar de prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da Terra, esses íons sofrem alterações em suas trajetórias devido à presença do campo magnético terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, a densidade desse plasma é de aproximadamente 10 partículas por centímetro cúbico. O bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento solar tem efeitos profundos, uma vez que as partículas e a radiação solar interagem com os gases presentes na atmosfera, tais como H 2, N 2, O 2, CO 2, CO, NO 2, N 2 O, SO 2. planeta distância média do Sol, em 10 6 km Mercúrio 57,9 Vênus 108 Terra 150 Marte 228 Júpiter 778

14 Saturno 1430 Urano 2870 Netuno 4500 Plutão 5900 A figura acima ilustra a situação em que um cometa (C) percorre uma órbita elíptica de centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xoy. Nessa órbita elíptica, o Sol (S) aparece em um dos focos. Considere que a elipse seja representada pela equação, em que a > b > 0, tenha excentricidade igual a 0,96. Nesse caso, se a distância mínima desse cometa ao Sol for igual a 0,58 UA (unidade astronômica), em que 1 UA = km é a distância média da Terra ao Sol, então a distância máxima do cometa ao Sol, em milhões de km, será a) inferior a b) superior a e inferior a superior a e inferior a d) superior a e) não sei Questão 19 (Uepb 2012) Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular de dimensões x metros e y metros, com x > y, de perímetro 300 m e área 5000 m 2, conforme nos mostra a figura.

15 Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse, F 1 e F 2, local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, concluímos que a distância em metros entre as torres é a) b) d) e) Questão 20 (Udesc 2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é é dada por A = abπ. Então, a área da região situada entre as elipses de equações 16x y 2 = 400 e 16x 2 + 9y 2 = 144 é: a) 12π u.a. b) 20π u.a. 8π u.a. d) 256π u.a. e) π u.a.