PROJETO APROVAÇÃO POLÍCIA FEDERAL ESTATÍSTICA DESCRITIVA Prof. Ronilton Loyola

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2 CAPÍTULO I: CONCEITOS INICIAIS 1. Conceito de Estatística É uma técnica científica, uma metodologia adotada para se trabalhar com dados, com elementos de pesquisa. Um processo estatístico constitui-se nas seguintes fases: coleta dos dados, organização, apresentação, análise e tomada de decisão. 2. Classificação A Estatística é dividida em dois grandes blocos. Estatística Descritiva ou Dedutiva: encarregada dos primeiros passos do processo estatístico, quais sejam, a coleta, a organização e a descrição (ou apresentação) dos dados. Dizemos que a Estatística Descritiva é responsável pela síntese dos dados. Estatística Indutiva ou Inferencial: é a parte que trata das etapas finais do processo estatístico, quais sejam: a análise dos dados e a tomada de decisões. CAIU NA PROVA! QUESTÃO 01 (CESPE/TC-DF) Julgue o item seguinte. Por Estatística Descritiva entende-se um conjunto de ferramentas, tais como gráficos e tabelas, cujo objetivo é apresentar, de forma resumida, um conjunto de observações. ( ) 3. População É o conjunto do qual desejamos extrair a informação. Importante lembrar que todos os elementos desse conjunto devem ter pelo menos uma característica comum. A População também pode ser chamada de Conjunto Universo. Observação: O conceito estatístico de população difere do conceito geográfico. Em Estatística, todos os elementos da população devem ser objeto de pesquisa, e devem ter pelo menos uma característica em comum. Por exemplo, se a população for o conjunto de alunos de uma sala, onde pesquisamos, por exemplo, a média de idade da turma, a característica comum é serem alunos da mesma turma. 4. Censo É o tipo de estudo estatístico que abrange todos os elementos da população. 5. Amostragem É um tipo de estudo estatístico que se contrapõe ao censo. Na amostragem se utiliza uma amostra, uma parte da população (um subconjunto) que representa o todo. 2

3 Vejamos algumas razões para a adoção da amostragem: Quando a população é muito grande. O resultado da pesquisa deve ser em curto espaço de tempo. Redução do custo financeiro. CAIU NA PROVA! QUESTÃO 02 (CESPE/PF) Acerca de conhecimentos de Estatística, jugue os itens seguintes. Um censo consiste no estudo de todos os indivíduos da população considerada. ( ) Como a realização de um censo tipicamente é muito onerosa e/ou demorada, muitas vezes é conveniente estudar um subconjunto próprio da população, denominado amostra. ( ) CAIU NA PROVA! QUESTÃO 03 (CESPE/TCU) Assinale a alternativa que está de acordo com os conceitos relacionados à Estatística. (A) Estatística Inferencial corresponde a um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados numéricos. (B) O processo utilizado para se medir as características de todos os membros de uma dada população recebe o nome de censo. (C) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre uma população com base na observação de uma amostra. (D) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus componentes. (E) A Estatística Indutiva trabalha com a síntese dos dados. CAIU NA PROVA! QUESTÃO 04 (CESPE/DEPEN) O diretor de um sistema penitenciário, com o propósito de estimar o percentual de detentos que possuem filhos, entregou a um analista um cadastro com os nomes de 500 detentos da instituição para que esse profissional realizasse entrevistas com os indivíduos selecionados. A partir dessa situação hipotética e dos múltiplos aspectos a ela relacionados, julgue o item, referente a técnicas de amostragem. 3

4 A diferença entre um censo e uma amostra consiste no fato de esta última exigir a realização de um número maior de entrevistas. ( ) CAIU NA PROVA! QUESTÃO 05 (CESPE/FTE/SEFAZ AL) Julgue o seguinte item. Um censo consiste no estudo de todos os indivíduos da população considerada. ( ) 6. Experimentos Aleatórios Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados que não podem ser previstos com certeza. Mesmo não sabendo qual resultado vai ocorrer num experimento aleatório, podemos mostrar o conjunto de todos os resultados possíveis. Alguns exemplos de experimentos aleatórios: a) A observação do resultado no lançamento de um dado não-tendencioso. b) Lançar uma moeda e observar a face de cima. c) Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas. 7. Espaço Amostral Chamamos de espaço amostral ao conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. Vamos representar esse conjunto por S. Assim, nos exemplos do item anterior, temos os seguintes espaços amostrais: a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) S = {K, C}, onde K representa cara e C representa coroa. c) S = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} Vejamos outros exemplos. Dê o espaço amostral de cada experimento seguinte: a) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE. O espaço amostral é dado por S = {P, R, O, B, A, I, L, D, E}. b) Uma urna contém bolas vermelhas (V), bolas brancas (B) e bolas azuis (A). Uma bola é retirada e observada a sua cor. O espaço amostral é S = {V, B, A}. c) Uma urna tem 50 bolinhas numeradas de 1 até 50. Uma bolinha é extraída e observado o seu número. 4

5 O espaço amostral é S = {1, 2, 3,..., 49, 50}. e) Um casal planeja ter 3 filhos. Observa-se a sequência de sexos dos 3 filhos. O espaço amostral é S = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F), (F, M, M), (F, M, F), (F, F, M), (F, F, F)}. 8. Evento Consideremos um experimento aleatório. Chamaremos de evento, simbolizado por E, a qualquer subconjunto do espaço amostral S. Por exemplo, lançamos um dado e observamos o número da face de cima. O espaço amostral é dado por S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Eis alguns eventos: Ocorrência de um número ímpar: E = { 1, 3, 5 }. Ocorrência de um número múltiplo de 2: E = { 2, 4, 6 }. ocorrência de um número entre 3 e 6: E = { 4, 5 }. Outro exemplo é quando uma moeda é lançada 3 vezes e observa-se a sequência de caras (K) e coroas (C). O espaço amostral é S = {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (K, C, C), (C, K, K), (C K, C), (C, C, K), (C, C, C)}. Eis alguns eventos: Ocorrência de exatamente uma coroa: E = {(K, K, C), (K, C, K), (C, K, K)}. Ocorrência de pelo menos duas caras: E = {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (C, K, K)}; Ocorrência de três coroas: E = { (C, C, C) }. Observações: a) Cabe saber os seguintes nomes: Evento Certo: possui os mesmos elementos do espaço amostral. Evento Impossível: é igual ao conjunto vazio. b) Se o número de elementos do espaço amostral é igual a n, então o espaço amostral terá 2 n subconjuntos e, portanto, 2 n eventos. Por exemplo, se o espaço amostral é o conjunto S = {a,b}, onde n = 2 elementos, o conjunto dos eventos tem 2² = 4 elementos, quais sejam: {{a}, {b}, {a,b}, Ø}. Repare que, entre esses elementos, sempre teremos o vento certo {a,b} (mesmos elementos do espaço amostral) e o evento impossível Ø (conjunto vazio). 9. Variável É o objeto da pesquisa, exatamente aquilo que estamos investigando. Por exemplo, se perguntamos as idades de um grupo de pessoas, a variável é a idade. 5

6 10. Classificação das Variáveis As variáveis estatísticas podem ser de dois tipos: quantitativas ou qualitativas. Variáveis Quantitativas: são aquelas onde se atribui um valor numérico, ou seja, a resposta fornecida à pesquisa é expressa por um número. Exemplo: Quando o objeto da pesquisa (a variável) é a idade das pessoas. Variáveis Qualitativas: são aquelas onde não se atribui um valor numérico. Exemplo: Quando o objeto da pesquisa é a cor preferida por um grupo de pessoas. Ainda podemos classificar as variáveis da seguinte forma: Variáveis Quantitativas Descontínuas (ou Discretas): não podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo de resultados possíveis. Exemplo: Se o objeto da pesquisa for o número de membros de uma família, jamais poderão existir resultados como 2,3, 2,9, etc. Outros exemplos: número de carros nas garagens dos brasileiros, número de livros em uma estante, número de óbitos em uma cidade, etc. As respostas não podem assumir todos os valores de um intervalo de resultados possíveis. Dizemos que as respostas possíveis são descontínuas, existindo um vácuo, uma descontinuidade entre uma resposta possível e outra. Variáveis Quantitativas Contínuas: é aquela que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo de resultados possíveis. Exemplo: Se o objeto da pesquisa é massa de um grupo de pessoas, podem aparecer valores como 45,34 kg, 87,46 kg, etc. Outros exemplos: altura, tempo, temperatura, etc. Observação: Podemos dizer que as variáveis discretas (descontínuas) nós contamos, e que as variáveis contínuas nós medimos. Variáveis Qualitativas Ordinais: são aquelas onde podemos estabelecer uma ordem, uma hierarquia entre as respostas obtidas. Exemplo: quando o objeto da pesquisa é o nível de escolaridade das pessoas de uma cidade. Variáveis Qualitativas Nominal: é quando não podemos verificar uma ordem, uma hierarquia. Exemplo: quando o objeto de pesquisa é a religião de um grupo de pessoas. Mais exemplos: Nos itens que se seguem, indique se a variável é Quantitativa Discreta (D), Quantitativa Contínua (C), Qualitativa Nominal (N) ou Qualitativa Ordinal (O). 6

7 . O número de carros em determinado estacionamento. ( ). O tipo de sangue de uma pessoa. ( ). As temperaturas registradas em uma cidade. ( ). O número de nascimentos em um país. ( ). Estado civil de um grupo de pessoas. ( ). Altura das pessoa de uma cidade. ( ). Religião de um povo. ( ). Notas obtidas por uma turma de alunas. ( ). Tempo de duração de um fenômeno. ( ). Classe social. ( ). CEP de uma residência. ( ) CAIU NA PROVA! QUESTÃO 06 (CESPE/TCE PB) Número diário de denúncias registradas (X) A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável x, que representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. A variável X é do tipo qualitativo nominal. ( ) Frequência relativa 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3 total 1,0 CAIU NA PROVA! QUESTÃO 07 (CESPE/TELEBRAS) 7

8 Uma empresa coletou e armazenou em um banco de dados diversas informações sobre seus clientes, entre as quais estavam o valor da última fatura vencida e o pagamento ou não dessa fatura. Analisando essas informações, a empresa concluiu que 15% de seus clientes estavam inadimplentes. A empresa recolheu ainda dados como a unidade da Federação (UF) e o CEP da localidade em que estão os clientes. Do conjunto de todos os clientes, uma amostra aleatória simples constituída por indivíduos prestou também informações sobre sua renda domiciliar mensal, o que gerou o histograma apresentado. Com base nessas informações e no histograma, julgue o item a seguir. O CEP da localidade dos clientes e o valor da última fatura vencida são variáveis quantitativas. ( ) CAIU NA PROVA! QUESTÃO 08 (CESPE/TRE-ES) A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de eleitores que não votaram no segundo turno da eleição para Presidente da República, bem como os números de municípios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue o item seguinte, relativo à análise exploratória de dados. Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a variável em questão é contínua. ( ) 8

9 11. Dados Brutos e Rol Dados brutos são aqueles obtidos diretamente da pesquisa, desordenados. Rol é uma forma de organizar os dados brutos em ordem crescente ou decrescente. 12. Séries Estatísticas São tabelas que representam o resultado de um estudo estatístico. Nessas tabelas devemos identificar três elementos: o objeto do estudo, o local e a época da pesquisa. Dependendo dos elementos que permanecem constantes ou sofrem variação, podemos classificar as séries estatísticas em: Históricas, Geográficas, Específicas ou Distribuição de Frequências. Séries Históricas: é quando o elemento que sofre variação é a época, permanecendo constantes o local e a descrição do fato (o objeto de pesquisa). Exemplo: PRODUÇÃO DE MILHO (BRASIL) Anos Quantidade (ton.) Observação: As Séries Históricas também são chamadas de Séries Cronológicas, Temporais ou de Marcha. Séries Geográficas: o elemento que sofre variação é o local, permanecendo constantes o objeto de pesquisa e o tempo. Exemplo: DENSIDADE DEMOGRÁFICA/2010 Municípios Hab/km² Avental 12 Paissandu 11 Vila Real 17 Observação: As Séries Geográficas são também chamadas de Séries Espaciais, Territoriais ou de Localização. Séries Específicas: é quando o objeto de pesquisa sofre variação, permanecendo constantes o local e o tempo. Exemplo: NÚMERO DE ALUNOS COLÉGIO SÃO PEDRO 2012 Séries Total de alunos 1º ano 300 2º ano 400 3º ano 600 9

10 Observação: As Séries Específicas também são chamadas de Séries Especificativas ou Categóricas. Distribuição de Frequências: quando os dados são ordenados em classes ou intervalos, permanecendo constantes o objeto de pesquisa, o local e o tempo. Exemplo: Séries Conjugadas, Mistas ou Compostas: é a combinação de pelo menos duas das séries vistas anteriormente. Exemplo: ALTURA DOS EMPREGADOS EMPRESA LOYOLA LTDA Alturas (m) Nº de empregados 1,50 1, ,60 1, ,70 1, ,80 1,90 28 GASTOS DA EMPRESA LOYOLA Anos Gastos (R$) Material Pessoal CAIU NA PROVA! QUESTÃO 09 (CESPE/TCDF) Considerando a tabela seguinte, concluímos que seus dados mostram uma série: Produto Quant. (ton.) (A) Específica ou Especificativa; (B) Geográfica; (C) Temporal; (D) Distribuição de Frequência. soja arroz milho

11 CAIU NA PROVA! QUESTÃO 10 (CESPE/TCDF) Assinale a opção correta. (A) Em Estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas. (B) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo. (C) Um experimento aleatório tem resultados previsíveis. (D) A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo. (E) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo. CAIU NA PROVA! QUESTÃO 11 (CESPE/AUFC) Uma agência de desenvolvimento urbano divulgou os dados apresentados na tabela a seguir, acerca dos números de imóveis ofertados (X) e vendidos (Y) em determinado município, nos anos de 2005 a Considerando as informações do texto, julgue o item seguinte. A variável X forma uma série estatística denominada série temporal. ( ) CAIU NA PROVA! QUESTÃO 12 (CESPE/ANTAQ) Ano Granel sólido Granel líquido (excluindo petróleo) Carga geral total

12 Brasil. IBGE, administração do porto de São Francisco. Considerando a tabela acima, que apresenta a movimentação anual de cargas no porto de São Francisco do Sul, em toneladas/ano, julgue o item seguinte. As séries estatísticas apresentadas na tabela não são séries temporais, porque há lacunas referentes a vários anos, como, por exemplo, os anos de 2001 a ( ) 13. Conceito de Tabela É um quadro que sintetiza um conjunto de informações uniformizadas e racionalizadas. A tabela deve fornecer o máximo de informações com o mínimo de espaço possível. 14. Elementos Fundamentais de uma Tabela São os seguintes: Título: é a indicação contida na parte superior da tabela, onde deve estar definido o fato observado. Corpo: é constituído por linhas e colunas, que fornecem o conteúdo das informações. Cabeçalho: é a parte que apresenta o conteúdo das colunas. Coluna Indicadora: determina o que contém as linhas. Exemplo: DENSIDADE DEMOGRÁFICA Municípios Hab/km² Avental 12 Paissandu 11 Vila Real Elementos Complementares de uma Tabela São os seguintes: Fonte: designa a entidade que forneceu os dados estatísticos. Notas: quaisquer esclarecimentos. 12

13 Chamadas: esclarecimentos específicos. Observação: Preferencialmente as notas e chamadas devem ser colocadas no rodapé da tabela. 16. Aspecto Formal de uma Tabela São as seguintes as recomendações acerca da construção de uma tabela estatística: A tabela não deverá ser fechada lateralmente. As Células não deverão ficar em branco, apresentando sempre um número ou sinal convencional. 17. Sinais Convencionais de uma Tabela Quanto ao aspecto formal de uma tabela, também adotamos os sinais convencionais a seguir. Três pontos (...): quando o dado existe, mas não o conhecemos, não dispomos dele. Ponto de interrogação (?): quando há dúvida na exatidão de determinado dado. Traço horizontal (-): quando o valor é zero. O número zero (0): quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade adotada. A letra Z : quando o valor for rigorosamente zero. 18. Tipos de Tabela A seguir os tipos de tabela: Tabela Simples ou Unidimensional: é aquela que apresenta dados ou informações relativas a uma única variável. Exemplo: DENSIDADE DEMOGRÁFICA Municípios Hab/km² Avental 12 Paissandu 11 Vila Real 17 Tabela de Dupla Entrada, Cruzada ou Bidimensional: apresenta dados ou informações relativas a mais de uma variável. Exemplo: 13

14 QUESTÃO 13 GASTOS DA EMPRESA LOYOLA Anos Gastos (R$) Material Pessoal Acerca de conhecimentos de Estatística, julgue os itens que se seguem em certo (C) ou errado (E) Estatística Inferencial ou Indutiva trata da descrição ou apresentação dos dados. ( ) Censo é o nome dado ao processo estatístico onde se abrange todos os elementos da população. ( ) Faz-se um levantamento estatístico por amostragem quando se pesquisa parte da população, e essa parte representa o todo. ( ) A decisão entre os tipos de levantamento a serem realizados, censo ou amostragem, depende de prazo para a realização da pesquisa e recursos financeiros disponíveis, entre outras variáveis que possam implicar em vantagens ou desvantagens do censo e da amostragem. ( ) Num experimento aleatório podem ocorrer resultados distintos, mesmo que o experimento seja repetido em condições idênticas. ( ) Espaço amostral é o conjunto que reúne todos os elementos de um experimento aleatório. ( ) Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral, podendo coincidir com o próprio espaço amostral ou mesmo ser um conjunto vazio. ( ) 14

15 1. Introdução CAPÍTULO II: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Vimos que, na Distribuição de Frequências, os dados são ordenados em intervalos (classes), permanecendo fixos o objeto da pesquisa (variável), o local e a época. Exemplo: Observação: A maioria das questões de provas traz apenas a tabela com as classes e frequências, não especificando local nem data. Então, basta identificarmos que os dados estão agrupados em classes, para saber que se trata de uma Distribuição de Frequências. 2. Elementos de uma Distribuição de Frequências São os seguintes os elementos envolvidos em uma Distribuição de Frequências: Classes: são os intervalos, definidos por dois limites, o inferior e o superior. No exemplo do item anterior, temos quatro classes. Intervalo de Classe: é qualquer um dos elementos de classe. O pequeno traço vertical indica intervalo fechado; a ausência dele indica intervalo aberto. Exemplo: ALTURA DOS ALUNOS TURMA B DO COLÉGIO RIO Alturas (m) Frequências 1,50 l 1,60 8 1,60 l 1,70 5 1,70 l 1,80 4 1,80 l 1,90 3 Total: 20 No intervalo 1,70 l 1,80 do exemplo anterior, fechado à esquerda e aberto à direita, podemos afirmar que um aluno de 1,70 m pertence à terceira classe, um aluno de 1,73 m pertence à terceira classe, um aluno de 1,79 m também pertence a essa terceira classe, e assim por diante. Já um aluno de 1,80 m pertence à classe seguinte (quarta classe). Limites de uma Classe: são os seus extremos, chamados de limite inferior e limite superior. No exemplo anterior, o limite inferior é 1,70 m e o limite superior é 1,80 m. Ponto Médio de um Intervalo de Classe (PM): é o elemento que está no meio do intervalo, dividindo-o em duas partes iguais. 15

16 É calculado somando o Limite Inferior com o Limite Superior e dividindo essa soma por 2: PM = (Linferior + Lsuperior)/2 Por exemplo, o ponto médio do intervalo 1,70 l 1,80 é dado por: PM = (1,70 + 1,80)/2 = 1,75. Amplitude (h): é a diferença entre o limite Superior e o limite Inferior, ou seja: h = Lsuperior Linferior Por exemplo, a amplitude do intervalo 1,70 l 1,80 é h = 1,80 1,70 = 0,10. Observações: a) Para qualquer distribuição de frequências, cujos intervalos de classe tenham a mesma amplitude, a diferença entre dois pontos médios consecutivos será sempre igual à amplitude. b) Não é obrigatório que todos os intervalos tenham a mesma amplitude. c) As duas partes iguais que o ponto médio divide o intervalo são exatamente h/2. QUESTÃO 14 (QUESTÃO INÉDITA) Acerca de conhecimentos de Estatística Básica, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Se os pontos médios de uma distribuição de frequências dos pesos dos estudantes de uma classe são: 64, 70, 76, 82, 88 e 94, então os limites da quarta classe são 79 e 85, considerando que as classes possuem a mesma amplitude. ( ) 3. Colunas de Frequência Veremos aqui os diferentes tipos de frequência: Frequência Absoluta Simples (f), Frequência Relativa Simples (f ), Frequência Absoluta Acumulada (F) e Frequência Relativa Acumulada (F ). Frequência Absoluta Simples (f): indica o número de elementos que faz parte da classe correspondente. Observação: A frequência absoluta simples é a mais importante das frequências. Precisamos conhecer seus valores para resolver quase todas as questões de uma prova. Frequência Relativa Simples (f ): indica o percentual de elementos. 16

17 Frequência Absoluta Acumulada (F): indica o número de elementos do conjunto que tem valor abaixo do limite superior da própria classe. Frequência Relativa Acumulada (F ): indica o percentual de elementos do conjunto que tem valor abaixo do limite superior da própria classe. QUESTÃO 15 (QUESTÃO INÉDITA) Considere a distribuição de frequências a seguir, onde f representa a frequência absoluta simples, f representa a frequência relativa simples, F representa a frequência absoluta acumulada e F a frequência relativa acumulada, e julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). Pesos (em kg) f F f F O limite superior da segunda classe 60 kg. ( ) O limite inferior da terceira classe é 60 kg. ( ) A amplitude das classes é maior que 10 kg. ( ) O ponto médio da segunda classe é 45 kg. ( ) A amplitude total é 10 kg. ( ) O número de pessoas que possuem massa entre 50 kg e 60 kg é 18. ( ) O número de pessoas que possuem massa entre 60 kg e 80 kg é 10. ( ) O número de pessoas com massa inferior a 60 kg é 15. ( ) O número de pessoas que têm massa até 70 kg é 5. ( ) O número de pessoas que têm massa acima de 50 kg é 18. ( ) A porcentagem de pessoas com massa até 60 kg é 30%. ( ) QUESTÃO 16 (ESAF/AFRF/Adaptado) Considere a tabela abaixo, e julgue os itens seguintes. 17

18 Classes de Salário Frequências Acumuladas (3 ; 6] 12 (6 ; 9] 30 (9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68 Mais de 18 pessoas estão no intervalo de salário entre (9 ; 12]. ( ) O número de pessoas envolvidas na pesquisa foi 68. ( ) QUESTÃO 17 (ESAF/AFRF/Adaptado) Considere a tabela abaixo, onde 200 objetos foram examinados, e julgue os itens seguintes. Classes P (%) % % % % % % % 40% do total está no intervalo até 130. ( ) A frequência absoluta simples correspondente ao intervalo é maior que 10. ( ) CAIU NA PROVA! QUESTÃO 18 (CESPE/EBC) 18

19 Com base nos dados do quadro acima, em que se demonstra a distribuição de frequências das receitas de todas as empresas de uma cidade, julgue o item a seguir. A frequência acumulada relativa das empresas que estão nas classes de 1 a 3 é de 85%. ( ) 4. Simetria em Distribuição de Frequências Distribuição com um número ímpar de classes: Classes Frequências classe intermediária Distribuição com um número par de classes: Classes Frequências classe intermediária classe intermediária Histograma É a representação gráfica de uma distribuição de frequências. No eixo das abscissas (horizontal) ficam dispostos os elementos do conjunto, agrupados em classe. No eixo das ordenadas (vertical) ficam as frequências absolutas (ou relativas) simples. As classes são representadas por retângulos, onde a base é determinada pelos limites do intervalo de classe, e altura determinada pela frequência. Exemplos: 19

20 (Distribuição de Frequências Simétrica) (Distribuição de Frequências Assimétrica) 6. Interpolação Linear da Ogiva Utilizamos quando queremos estimar valores. Vamos esclarecer esse método através dos seguintes exemplos: a) Na distribuição de frequências a seguir, determine a estimativa de elementos do conjunto apresentam massa abaixo de 12 quilos, utilizando a interpolação linear da ogiva. Massa (kg) Frequência b) Considerando a distribuição de frequências a seguir, determine a estimativa da porcentagem de elementos do conjunto que apresentam peso acima de 28 kg, usando a interpolação linear da ogiva. Massa (kg) Frequência c) Considerando a distribuição de frequências a seguir, determine qual o valor da variável X (massa) que não é superado por cerca de 70% das observações. 20

21 Massa (kg) Frequência QUESTÃO 19 (ESAF/AFRF/Adaptado) Utilize a tabela que se segue. Freq. Acum. de Salários Anuais em Milhares de Reais da Cia. Alfa Classes Freq. Acum. (3 ; 6] 12 (6 ; 9] 30 (9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68 Supondo que a tabela de frequências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Utilizando interpolação linear da ogiva, estima-se que a frequência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia alfa é 160. ( ) QUESTÃO 20 (ESAF/AFRF/Adaptado) Em um ensaio pra o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P(%)

22 Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E) A estimativa da frequência relativa de observações de X menores ou iguais a 145 é maior que 60%. ( ) QUESTÃO 21 (ESAF/AFRF/Adaptado) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte: Classes Frequência (f) 29,5 39,5 4 39,5 49,5 8 49,5 59, ,5 69, ,5 79, ,5 89, ,5 99,5 10 Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E) A estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5 é maior que 800. ( ) QUESTÃO 22 (ESAF/AFRF/Adaptado) Considere a tabela de frequências correspondente a uma amostra da variável x. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freq. Acum Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E) A estimativa do valor da distribuição amostral de x que não é superado por cerca de 80% das observações é superior a ( ) 22

23 QUESTÃO 23 (ESAF/AFRF/Adaptado) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freq. Acum. 129,5 139, ,5 149, ,5 159, ,5 169, ,5 179, ,5 189, ,5 199,5 100 Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). A estimativa, via interpolação da ogiva, do número de observações menores ou iguais ao valor 164 é maior que 30. ( ) QUESTÃO 24 (ESAF/FTE-PA/Adaptado) A tabela abaixo representa frequências acumuladas correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 39,5 2 39,5 49,5 6 49,5 59, ,5 69, ,5 79, ,5 89, ,5 99,5 50 Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). O valor obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y é 83,9. ( ) 23

24 QUESTÃO 25 (ESAF/FTE-PI/Adaptado) A tabela abaixo mostra a distribuição de frequência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As frequências são do tipo acumuladas. Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). A estimativa, via interpolação da ogiva, do nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população é R$ ,00. ( ) QUESTÃO 26 Classes Frequências (ESAF/TJ CE) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa x. Note que a coluna Classes referese a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da frequência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P Assinale a opção que corresponde à aproximação de frequência relativa de observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. (A) 65% (B) 50% (C) 80% (D) 60% (E) 70% 24

25 QUESTÃO 27 (ESAF/Aud. Tes. Mun. Recife) O quadro seguinte apresenta a distribuição de frequências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x tal que a frequência relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%. Classes (R$) Frequências (A) 530 (B) 560 (C) 590 (D) 578 (E) 575 QUESTÃO 28 (FCC/IPEA) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências relativas da variável tempo, em segundos, requerido para completar uma operação de montagem. Sabendo-se que nessa tabela todas as classes têm mesma amplitude e que 22 segundos é o tempo que é exercido por 75% das montagens, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). O valor do limite inferior a é 16. ( ) QUESTÃO 29 Tempo (seg.) Frequência Relativa a b 0,25 b c 0,25 c d 0,25 d 40 0,25 (FCC/ANS) O histograma abaixo representa a distribuição das idades dos pacientes atendidos no ano de 2000 em uma clínica infantil, expressa em anos. 25

26 40% 25% 18% 17% A idade que separa os 30% mais jovens é: (A) 3,5 (B) 4,2 (C) 4,4 (D) 4,6 (E) 5,0 QUESTÃO 30 (FCC/MPU) Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados, e realizou um levantamento por um período de 36 meses. As informações apuradas estão na tabela a seguir: Nº de emp. acid. Nº de meses A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados acidentados é de aproximadamente: (A) 50% (B) 45% (C) 35% (D) 33% (E) 30% QUESTÃO 31 (FCC/IPEA) O histograma seguinte representa a distribuição dos salários (X) dos 500 funcionários da firma A, no mês de agosto de 2004, expressos em números de salários mínimos (SM). 26

27 40% 25% 18% 17% O valor de X que separa os 35% dos funcionários que ganham menos é: (A) 3,5 SM (B) 4,0 SM (C) 4,2 SM (D) 4,5 SM (E) 4,8 SM 27

28 1. Introdução CAPÍTULO III: MEDIDAS DE POSIÇÃO As medidas de posição são as medidas de tendência central (média, moda, mediana) e as medidas separatrizes (mediana, quartis, decis, centis). Vejamos, a seguir, cada delas, começando pelas medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana. 2. Média Aritmética (X) Primeiramente, é bom saber que quando falarmos simplesmente em Média, estaremos nos referindo à Média Aritmética, já que existem outras espécies de Média, que estudaremos oportunamente Média Aritmética Simples de um Rol É a soma de todos os elementos do conjunto, dividido pelo número de elementos desse conjunto. Em símbolos, temos: X: média aritmética simples; X = x/n x: é o somatório de todos os elementos do conjunto; n: é o número de elementos do conjunto. Exemplo: Um candidato obteve as seguintes notas num concurso: 8 em Português, 6 em Matemática, 3 em Informática e 7 em Direito. Qual a média desse candidato no concurso? QUESTÃO 32 (QUESTÃO INÉDITA) Acerca do cálculo de médias, julgue o itens seguintes em certo (C) ou errado (E). A média aritmética de 4 números é igual a 7. Sabendo que três desses números são 2, 8 e 10, conclui-se o 4º número é igual a 8. ( ) A média aritmética de 11 números é 12. Retirando-se um dos 11 números, a média aritmética dos 10 números restantes é 12,4. O número retirado foi o 8. ( ) O salário médio de 4 pessoas é de R$ ,00. Se incluirmos uma 5ª pessoa que ganha um salário de R$ , a nova média salarial será R$ ,00. ( ) 28

29 2.2. Média Aritmética Ponderada Considere uma sequência de números x1, x2, x3,..., xn cujos pesos são p1, p2, p3,..., pn, respectivamente. A média aritmética ponderada é definida por: X = px / p Exemplo: No exemplo anterior, se considerarmos que Português, Matemática, Informática e Direito tem pesos, respectivamente, iguais a 4, 3, 2 e 1, qual a média aritmética ponderada do candidato no concurso? QUESTÃO 33 (ESAF/Fiscal de Tributos-MG) Um candidato obteve, nas diversas provas de um concurso, as seguintes notas com os respectivos pesos: Matéria Nota Peso Português 66 3 Contabilidade 63 3 Estatística x 2 Direito 79 2 A média aritmética ponderada, obtida pelo candidato, foi 69,3. A nota que o candidato obteve em Estatística foi: (A) 66 (B) 68 (C) 70 (D) 72 (E) 74 QUESTÃO 34 (UFSC/FTE-SC) Uma empresa possui dois técnicos em Informática recebendo salários mensais de R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 4.500,00 cada um por mês, um diretor de RH com salário mensal de R$ 7.000,00, e três outros profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por mês. A média mensal desses salários é: (A) R$ 5.830,00 (B) R$ 6.830,00 (C) R$ 2.830,00 (D) R$ 3.830,00 (E) R$ 4.830, Média Aritmética de Dados Tabulados A fórmula para se calcular a média aritmética de um conjunto apresentado na forma de dados tabulados é a seguinte: X = fx/n 29

30 Onde f é a frequência absoluta simples de cada elemento do conjunto. Exemplo: Dado o rol {1, 1, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 10}, apresente esse conjunto em forma de tabela (dados tabulados) e determine a média aritmética. QUESTÃO 35 (CESGRANRIO/BNDES/Adaptado) A tabela a seguir mostra o número de gols marcados pela equipe X nas partidas do último torneio que disputou. Gols marcados Nº de partidas Com base nessas informações, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). O número médio de gols, por partida, marcados por essa equipe foi 1,50. ( ) 2.4. Média Aritmética de uma Distribuição de Frequências Para uma distribuição de frequências, a média aritmética é dada por: X = f.pm/n, Onde PM é o ponto médio do intervalo da classe. Exemplos: A distribuição de frequências a seguir representa as massas de um grupo de alunos. Qual o peso médio desse conjunto? (kg) f Propriedades da Média Aritmética Vejamos as propriedades relacionadas à média aritmética: 30

31 Propriedade da Adição e Subtração: Adicionando-se (ou subtraindo-se) todos os elementos do conjunto a uma constante, a média do novo conjunto será igual à média do conjunto original somada (ou subtraída) com a mesma constante. Propriedade da Multiplicação e Divisão: Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova média será igual à média anterior multiplicada (ou dividida) pela mesma constante. Observação: Resumindo, podemos afirmar que a Média é influenciada pela quatro operações. A soma de todos os desvios em torno da média aritmética de um conjunto numérico qualquer é sempre zero. A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média aritmética é um valor mínimo. Sempre que a distribuição de frequências for simétrica, a média aritmética será igual à média dos limites extremos do conjunto. QUESTÃO 36 Acerca das propriedades das médias, julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). Em uma empresa, o salário médio era de R$ 9.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O salário médio passou a ser R$ 9.900,00. ( ) Considerando a equação n i=1 (xi a) = 0 sempre verdadeira, podemos afirmar que o valor de a é a média dos valores de x. ( ) 2.6. Método da Variável Transformada Constitui um método alternativo para se determinar a média aritmética de uma distribuição de frequências, quando todos os intervalos de classe têm mesma amplitude. Exemplos: Na distribuição de frequências a seguir, determine a média aritmética pelo método da variável transformada. (kg) f Calcule a média da distribuição de frequências abaixo, pelo método da variável transformada. 31

32 Classes f 29,5 39,5 4 39,5 49,5 8 49,5 59, ,5 69, ,5 79, ,5 89, ,5 99,5 10 QUESTÃO 37 (FCC/Aud.Fisc. BA/Adaptado) Uma administradora de alocação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua região, procedeu às seguintes operações: I. Multiplicou por 2 os valores de todos os aluguéis de sua carteira. II. Subtraiu de cada valor encontrado no item I. III. Dividiu por cada valor encontrado no item II. IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. Se o valor encontrado no item IV foi 3/10, então a média aritmética dos valores dos aluguéis, em reais, é 750. ( ) QUESTÃO 38 (ESAF/AFTN/Adaptado) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna das classes representa intervalos de valores de X em reais, e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes F(%)

33 Com base nessas informações julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). O valor médio amostral de X é 138. ( ) QUESTÃO 39 (ESAF/AFTN/Adaptado) Considere os dados da tabela de distribuição de frequências, e julgue os itens subsequentes em certo (C) ou errado (E). DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/01/2000 Anos f PM y=(pm 37)/5 f.y 19,5 24, ,5 29, ,5 34, ,5 39, ,5 44, ,5 49, ,5 54, A média das idades dos funcionários em 1º/01/2000 foi 37,8 anos. ( ) A média das idades dos funcionários em 1º/01/2006 foi 43,8 anos. ( ) 2.7. Cálculo da Média das Médias Considere um conjunto A com na elementos de média XA, e um conjunto B com nb elementos de média XB. A média do conjunto maior, formada pela reunião de todos os elementos dos conjuntos menores A e B, é dada por: X = (na.xa + nb.xb)/(na + nb) Exemplo: Em uma empresa, com 200 funcionários, o salário médio das 90 mulheres é R$ 800,00, e o salário médio dos 110 homens é R$1.200,00. Determine o salário médio dos funcionários dessa empresa. QUESTÃO 40 (QUESTÃO INÉDITA) Acerca do cálculo de médias, julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). 33

34 Se as médias aritméticas de dois conjuntos de números, o primeiro com 30 elementos e o segundo com 20 elementos, forem 4 e 5, respectivamente, então a média aritmética do conjunto de todos os números será 4,3. ( ) A estatura média dos sócios de um clube é 165 cm, sendo a dos homens 172 cm, e a das mulheres 162 cm. Daí, é verdade que a porcentagem de mulheres no clube é 70 %. ( ) Num departamento existem 24 pessoas. Uma delas é dispensada e é substituída por outra de 20 anos. Com essa alteração, a média aritmética das idades dessas pessoas diminui de 2 anos. A idade da pessoa que foi dispensada corresponde a 68 anos. ( ) 3. Moda (Mo) É a nossa segunda medida de tendência central. É o elemento que mais vezes aparece no conjunto, ou seja, é aquele de maior frequência Moda para o Rol Para se determinar a moda em um conjunto expresso sob a forma de um rol, basta verificar o elemento que mais se repete. Exemplos: Qual a moda nos conjuntos seguintes: a) {1, 1, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6}; b) {1, 6, 7, 9, 11}; c) {2, 2, 2, 5, 6, 7, 7, 7} d) {4, 4, 4, 5, 5, 5, 9, 9, 10, 12, 12, 12}. Observe que um conjunto pode ser amodal, unimodal, bimodal ou multimodal. QUESTÃO 41 (ESAF/Fiscal de Tributos-MG/Adaptado) Dados os conjuntos de valores: A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10} B = {6, 7, 8, 9, 10,11, 12} C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9,10} Em relação à moda, julgue os itens seguintes. A é unimodal e a moda é 8. ( ) 34

35 B é unimodal e a moda é 9. ( ) C é bimodal e as modas são 4 e 9. ( ) QUESTÃO 42 (ESAF/AFTN) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. {4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23} Com base nesses dados, julgue o item seguinte. O preço modal é 8. ( ) 3.2. Moda para Dados Tabulados Basta verificar o elemento de maior frequência absoluta simples, aquele que mais aparece. Exemplo: Dado o rol {1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 10}, apresente esse conjunto em forma de tabela (dados tabulados) e determine a moda Moda para Distribuição de Frequências Vamos determinar através de dois métodos: Método de Czuber e Método de King. Se a questão não especificar qual das fórmulas devemos usar, devemos trabalhar com a fórmula de Czuber. Só empregamos a fórmula de King se for solicitado expressamente pelo enunciado. Vejamos as fórmulas: Moda pelo Método de Czuber: é dada pela fórmula a seguir. Onde: Mo = Linferior + [ a/( a + p)].h Linferior = limite inferior da classe modal; a=diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a frequência absoluta simples da classe anterior a ela; p=diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a frequência absoluta simples da classe posterior a ela; 35

36 h = amplitude da classe modal. Exemplo: Determine a moda da distribuição de frequências a seguir, pelo método de Czuber. Classes f QUESTÃO 43 (ESAF/TJ-CE/Adaptado) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do atributo salário mensal medido em quantidades de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a coluna classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos, e que a coluna P refere-se ao percentual da frequência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. O salário modal no conceito de Czuber é 10. ( ) QUESTÃO 44 Classes P (ESAF/ANEEL/Adaptado) Considere a distribuição de frequências a seguir associada ao atributo de interesse X. Não existem observações que coincidam com os extremos das classes. Classes Freq. Simples

37 Com bases nessas informações, julgue o item seguinte. A moda no conceito de Czuber é 8. ( ) QUESTÃO 45 (ESAF/FTE-PA/Adaptado) A tabela abaixo apresenta as frequências acumuladas correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 39,5 2 39,5 49,5 6 49,5 59, ,5 69, ,5 79, ,5 89, ,5 99,5 50 Com base nessas informações, julgue o item seguinte. O salário modal anual estimado para o departamento de fiscalização da Cia X, no conceito de Czuber é 73,78. ( ) Moda pelo Método de King: é dada pela fórmula a seguir. Onde: Linferior = limite inferior da classe modal; fpost = frequência absoluta simples da classe posterior à classe modal; fant = frequência absoluta simples da classe anterior à classe modal; h = amplitude da classe modal. Exemplo: Mo = Linferior + [fpost/(fpost+fant)].h Determine a moda da distribuição de frequências a seguir, pelo método de King. Classes f

38 Observação: Numa distribuição de frequências simétrica, o valor da moda pelo método de Czuber é exatamente igual ao valor da moda pelo método de King, que também é igual ao valor da média aritmética. Nesse caso, a média aritmética é igual à média dos limites extremos do conjunto. Exemplo: Na distribuição a seguir, determine a moda pelo método de Czuber e pelo método de King, determine a média, e depois compare os resultados Propriedades da Moda Classes f Vejamos as propriedades relacionadas à moda: Propriedade da Adição e Subtração: Somando-se (ou subtraindo-se) todos os elementos do conjunto a uma mesma constante, a nova moda será a anterior somada (ou diminuída) àquela constante. Propriedade do Multiplicação e Divisão: Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova moda será igual à moda anterior multiplicada (ou dividida) pela mesma constante. Observação: Resumindo, podemos afirmar que a Moda, assim como a Média, também é influenciada pela quatro operações. Também é importante observar que, diferentemente da Média, a Moda não é influenciada por valores extremos. Exemplos: a) No conjunto {1, 2, 2, 3} a moda é 2. Se multiplicarmos todos os elementos por 10, o conjunto passa a ser {10, 20, 20, 30}. Veja que a moda agora é 20, ou seja, também ficou multiplicada por 10. No rol {1, 2, 2, 3} veja que a moda é 2. Se trocarmos o elemento 3 por 400, teremos o conjunto {1, 2, 2, 400} e a moda continuará sendo 2, não sendo, portanto, influenciada por valores extremos, diferentemente da média. Observação: Se a frequência anterior for maior que a frequência posterior, a moda estará à esquerda do ponto médio da classe modal. Se a frequência posterior for maior que a frequência anterior, a moda estará à direita do ponto médio da classe modal. Se 38

39 a frequência anterior for igual à frequência posterior, a moda será igual ao ponto médio da classe modal. QUESTÃO 46 (QUESTÃO INÉDITA) Considerando a tabela de Distribuição de Frequências, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Classes f A moda da distribuição de frequências é menor que 25. ( ) QUESTÃO 47 (QUESTÃO INÉDITA) Sobre a moda de uma variável, julgue os itens seguintes: Para toda variável existe uma e apenas uma moda. ( ) A moda é uma medida de dispersão relativa. ( ) A moda é uma medida não afetada por valores extremos. ( ) O valor da moda encontra-se entre o valor da média e o da mediana. ( ) A moda sempre existe em um rol. ( ) 4. Mediana (Md) É o elemento que separa o conjunto em duas partes iguais, em duas metades. Por isso também é considerada uma medida separatriz., além de uma medida de tendência central. Exemplos: No conjunto {1, 2, 3, 7, 10}, a mediana é Md = Mediana para o Rol Para determinar a mediana de um rol, devemos identificar o elemento que ocupa a posição central do conjunto. 39

40 Exemplos: No conjunto {2, 7, 8, 9, 22, 65, 89} a mediana é Md = 9. No conjunto {4, 7, 9, 6, 8, 10} a mediana é Md = (9 + 6)/2 = 7,5. Resumindo, temos: Se o número de elementos (n) do conjunto é ímpar, só existe uma posição central, dada pela fórmula: (n+1)/2. Por exemplo, se conjunto tem 19 elementos, a posição central é a (19+1)/2 = 10ª posição. Se n é par, existem duas posições centrais. A primeira delas é determinada pela fórmula: n/2; a segunda posição central é a que sucede essa primeira. Por exemplo, se o conjunto tem n = 20 elementos, a primeira posição central é a 20/2 = 10ª posição, e a segunda posição central é a 11ª. Achando a posição central para n ímpar, a mediana será o elemento que ocupa essa posição central. Para n par, a mediana será a média aritmética dos dois elementos que ocupam a posições centrais. QUESTÃO 48 (QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Em uma fila, oito pessoas esperam, em minutos, os seguintes tempos para serem atendidas: 8, 11, 5, 14, 16, 11, 8 e 11. O tempo mediano de espera, em minutos, é 14. ( ) QUESTÃO 49 (ESAF/SEFAZ-CE) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: (A) 3, 6 e 5 (B) 3, 4 e 5 (C) 10, 6 e 5 (D) 5, 4 e 3 (E) 3, 6 e 10 QUESTÃO 50 (FCC/TRF-2ªR) Assinale a alternativa correta, considerando a série 8, 5, 14, 10, 8 e 15. (A) A média aritmética é 10 e a mediana é 12. (B) A amplitude total é 7 e a moda é 8. 40