Revisão de Férias MATEMÁTICA IV SETOR SISTEMA DE ENSINO VETOR 1

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1 Revisão de Férias MATEMÁTICA IV SETOR 73. (Insper) A figura a seguir representa a vista superior de um curral retangular, de y metros por 8 metros, localizado em terreno plano. Em um dos vértices do retângulo, está amarrada uma corda de x metros de comprimento. Sabe-se que y x (G - cftmg) Considere um hexágono regular ABCDEF. A partir dos pontos médios dos lados traça-se um novo hexágono A 'B'C'D'E'F'. Um animal, amarrado na outra extremidade da corda, foi deixado pastando na parte externa do curral. Se a área máxima de alcance do animal para pastar é de 76π m, então x é igual a a) 9,8. b) 9,6. c) 0,0. d) 0,4. e) 9,0.. (G - cftmg) No triângulo AEF da figura abaixo, temos que med(ab) = med(bc), BC // DE e CD // EF.. A medida do ângulo a) 0. b) 30. c) 40. d) 60. ˆ BA 'B', em graus, é 4. (G - cftmg) No trator da figura, o raio PS da maior circunferência determinada pelo pneu traseiro é 80 cm, o raio QR da maior circunferência determinada pelo pneu dianteiro é 56 cm e as distâncias entre os centros P e Q dessas circunferências é de 40 cm. O valor de θ escrito em função de α e β é a) θ = α + β b) θ = β α 80 + α+ β c) θ = 80 α β d) θ = Considerando π = 3, a distância entre os pontos S e R, em que os pneus tocam o solo plano é a) igual ao comprimento da circunferência de raio PS. b) maior que o comprimento da circunferência de raio PS. c) um valor entre as medidas dos comprimentos das circunferências de raios PS e QR. SISTEMA DE ENSINO VETOR

2 d) maior que o módulo da diferença entre os comprimentos das circunferências de raios PS e QR. 5. (Puccamp) Quando a dimensão da tela de uma TV é indicada em polegadas, tal valor se refere à medida da diagonal do retângulo que representa a tela. Considere uma TV retangular de 6 polegadas e outra de polegadas. Se as telas das duas TVs são retângulos semelhantes, então, a área da maior tela supera a da menor em, aproximadamente, a) 36%. b) 3%. c) 7%. d) 76%. e) 4%. b) 5 cm c) 3,75 cm d) 4 cm e) 3,5 cm 8. (Unifesp) Em um tapete retangular decorado com círculos idênticos, o círculo de centro C tangencia as laterais do tapete em P e Q. O ponto R pertence à circunferência desse círculo e está à distância de 8 cm e de 5 cm das laterais do tapete, como mostra a figura. 6. (Unicamp) A figura abaixo exibe um triângulo com lados de comprimentos a, b e c e ângulos internos θ,θ e β. a) Supondo que o triângulo seja isósceles, determine todos os valores possíveis para o ângulo θ. b) Prove que, se c = a, então β = (Udesc) Na figura abaixa sem escala, o raio da circunferência de centro O é r 5 cm. = 3 cm e o segmento OP mede a) Calcule a distância de R até o canto superior do tapete, indicado por S. Deixe a resposta indicada com raiz quadrada. b) Calcule o raio dos círculos que compõem a decoração do tapete. 9. (Mackenzie) Em um triângulo retângulo ABC, reto em B, as medidas de seus lados AB, BC e AC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 3. Então, das alternativas abaixo, as medidas de AB, BC e AC são, respectivamente, a) 3, 6 e 9 b) 6, 9 e c) 9, e 5 d), 5 e 8 e) 5, 8 e 0. (G - cftmg) Sabendo que o segmento PQ tangencia a circunferência no ponto T, pode-se dizer que o segmento OQ mede: a),5 cm SISTEMA DE ENSINO VETOR

3 . (Fac. Albert Einstein - Medicin) Uma circunferência tangencia o lado BC de um triângulo ABC no ponto F e intersecta os lados AB e AC desse triângulo, nos pontos E e D respectivamente, conforme mostra a figura. O triângulo ABV está inscrito em uma circunferência de centro C e o segmento VD tangencia a circunferência em V, como representado na figura a seguir. Sabendo que a med(avd) ˆ = 30 e que a medida do raio da circunferência é igual a em cm, é π a) 3 5. b) π 3 5. π c) 6 5. d) π. 5 cm, o comprimento do arco VEF,. (G - epcar (Cpcar)) Considere a figura e os dados a seguir: Sabendo que essa circunferência passa pelo ponto A, a distância entre os pontos D e E, em cm, é igual a a) 0,5. b) 0,9. c),3. d),7. 3. (G - cftmg) O TANGRAM é um quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos retângulos isósceles, um paralelogramo e um quadrado que, ao serem colocadas lado a lado, sem sobreposição, formam um quadrado ABCD, conforme mostra a figura 0. DADOS: - O é o circuncentro do triângulo ABC - med(acd) ˆ = 50 - BEC ˆ e BDC ˆ são retos - FG é o diâmetro da circunferência de centro O Com as peças desse TANGRAM, pode-se formar uma casinha, como a representada na figura 0. A medida do ângulo a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 ˆ AFG, em graus, é igual a SISTEMA DE ENSINO VETOR 3

4 Suponha que as superfícies I, II, III e IV serão revestidas com pedaços de isopor que foram comprados em quadrados de área igual a 45 mm. Se o quadrado ABCD tem lado igual a 3 cm, a quantidade mínima inteira de pedaços de isopor necessária para cobrir toda a superfície desejada é a) 853. b) 854. c).37. d) (Ufrgs) No retângulo ABCD a seguir, estão marcados os pontos E, F e G de forma que o lado AB está dividido em 4 partes iguais e P é um ponto qualquer sobre o lado DC. a) 3 +. b) +. c) 3. d). 6. (Famerp) As tomografias computadorizadas envolvem sobreposição de imagens e, em algumas situações, é necessário conhecer a área da região de intersecção das imagens sobrepostas. Na figura, um triângulo equilátero ABC se sobrepõe a um círculo de centro N e raio NB = NC = NM, com M e N sendo pontos médios, respectivamente, de AB e BC. A razão entre a área do triângulo PFG e a área do retângulo ABCD é a) 8 b) 6 c) 4 d) e) 5. (Unicamp) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão a b é igual a Sendo a área de triângulo equilátero de lado igual a 3 e a área de círculo de raio r igual a π r, se o lado 4 do triângulo ABC medir 4 cm, então, a área de intersecção entre o triângulo e o círculo, em a) π π b) c) π + 3 d) π e) π + 3 cm, será igual a 7. (Ufrgs) Considere um triângulo equilátero circunscrito a um círculo. Se a distância de cada vértice do triângulo ao centro do círculo é cm, a área da região do triângulo não ocupada pelo círculo, em a) 4 3 π. b) 3 3 π. c) 3 + π. d) π. cm, é 4 SISTEMA DE ENSINO VETOR

5 e) 3. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O trapézio retângulo ABCD da figura representa a superfície de um reservatório de água. Na figura, tem-se que: a) b) AB = 0 m; CD = 5 m; AD = m; o ângulo DAB ˆ é reto. 8. (G - cps) Se, por uma questão de segurança, o reservatório precisa ser cercado, então o comprimento dessa cerca será, em metros, de a) 60. b) 59. c) 58. d) 57. e) (Unicamp) Considere o quadrado de lado a 0 exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que associa a cada 0 x a a área da região indicada pela cor cinza. c) d) 0. (Epcar (Afa)) No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função real f definida por f(x) = x x + e o polígono ABCDE. O gráfico da função y por = A(x) no plano cartesiano é dado Considere que: - o ponto C é vértice da função f. - os pontos B e D possuem ordenadas iguais. - as abscissas dos pontos A e E são raízes da função f. Pode-se afirmar que a área do polígono ABCDE, em SISTEMA DE ENSINO VETOR 5

6 unidades de área, é a) 8 6 b) 4 8 c) 4 4 d) 8 6 SISTEMA DE ENSINO VETOR

7 Gabarito: Resposta da questão : [C] Considere a figura. Nesse sentido, sabendo que o ângulo B mede 0 tem-se que os outros dois ângulos possuem a mesma medida e assim: A ' = 30 A ' + B' + 0 = 80 B' = 30 Resposta da questão 4: [D] Note o quadrilátero PQRS da seguinte forma: A área máxima de pastagem corresponde à soma de 3 4 da área do círculo de centro em A e raio x com a área do quadrante de centro em B e raio x 8, ou seja, 3 π x + π (x 8) = 76π 4x 6x + 64 = (x ) = 64 Resposta da questão : [D] Observe que: x = 0. Do fato de CD // EF, temos que F = α Do fato de med(ab) Do fato de BC // DE, temos E = θ+ β = med(bc), temos que ACB = θ Como a soma dos ângulos internos de um triangulo é 80, temos: 80 α β θ + α + θ + β = 80 θ = Resposta da questão 3: [B] Como um hexágono regular possui como soma dos ângulos internos 70 e cada ângulo mede 0 logo o ângulo B mede 0 e como o novo hexágono é traçado nos pontos médios temos que A'B = BB' e assim o triangulo A 'B'B é isósceles. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo PQQ' temos: hip = cat + cat 40 = 4 + x x = 5704 x 38,8 Note que as circunferências possuem os seguintes comprimentos: CPS = πr = 3 80 = 480cm C = πr = 3 56 = 336cm QR Logo, o valor procurado é maior que o módulo da diferença entre os comprimentos das circunferências de raios PS e QR. Observe que: = 44. Resposta da questão 5: [C] Sendo x e y as dimensões da TV menor, pode-se calcular: SISTEMA DE ENSINO VETOR 7

8 6 = x + y = kx + ky = k x + y = k 6 k = 6 A = xy ( ) ( ) ( ) A = k xy = A A =,73 A 7% de acréscimo 6 Resposta da questão 6: a) O triângulo é isósceles se = ou =. Logo, no primeiro caso, temos 4 = 80, o que implica em = 45. Já no segundo caso, temos 5 = 80, o que implica em = 36. b) Considere a figura, em que P é o pé da bissetriz do ângulo ABC. a) Calculando: RS = RS = 949 b) Calculando: ( ) ( ) r = r 5 + r 8 r = r 50r r 36r + 34 r = 3 (não convém, pois r 5) 0 = r 86r ou r = 73 Sendo os ângulos MBP e MAP congruentes, podemos concluir que o triângulo ABP é isósceles de base AB. Ademais, se M é o ponto médio de AB, então a BM = = a e MP AB. Daí, como BC = a, BP é lado comum e MBP CBP, segue que os triângulos MBP e CBP são congruentes por LAL. Portanto, temos = 90. Resposta da questão 7: [C] Tem-se que OT = 3cm e OP = 5cm implicam de imediato em PT = 4cm. Logo, vem 5 OP = PT PQ 5 = 4 PQ PQ = cm. 4 Em consequência, temos 5 OQ OP = OT PQ OQ 5 = 3 OQ = 3,75cm. 4 Resposta da questão 8: Conforme enunciado: Resposta da questão 9: [C] Para resolver a questão pode-se testar cada um dos conjuntos de valores utilizando o Teorema de Pitágoras. Outra solução seria verificar quais dos conjuntos de valores são proporcionais aos triângulos pitagóricos, como o 3, 4 e 5. Nesse caso, percebe-se facilmente que os valores 9, e 5 formam um triângulo semelhante ao pitagórico: 3 3 = = 5 3 = 5 Resposta da questão 0: [B] VEF Sabendo que o arco é dado por: Ĉ =. Sabendo que R todo triângulo inscrito na semicircunferência é retângulo, temos que o triangulo ABV possuirá ângulos: Aˆ = 90, Vˆ = 60 e ˆB = 30. Observe que o ângulo ˆV = 60 é dado devido a med(avd) ˆ = 30. Dessa maneira, temos que o ângulo Â ou CAB ˆ será igual a 30, pois AC = CB e assim temos que o ângulo ACB ˆ = ECV ˆ = 0. Aplicando a fórmula acima: 8 SISTEMA DE ENSINO VETOR

9 VEF VEF π Ĉ = 0 = VEF = 5 R 5 3 Resposta da questão : [A] Se o ângulo BDC é reto, então também é o ângulo CDA. Se o ângulo CDA é reto e o ângulo ACD é igual a 50, então o ângulo DAC é igual a 40 (pois a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre igual a 80 ). Se o ângulo BEC é reto, então também é o ângulo BEA. Se o ângulo BEA é reto e o ângulo DAC é igual a 40, então o ângulo ABF é igual a 50. Se o ângulo ABF mede 50, então a corda FA mede 00. Se GF é o diâmetro da circunferência então a corda que vai de F até G, passando pelo ponto A, mede 80. Se a corda FA mede 00 e a corda que vai de F até G, passando pelo ponto A, mede 80, então a corda que vai de A até G mede 80. Assim, seu respectivo ângulo, AFG, medirá 40. Resposta da questão 3: [B] Observe que as áreas são dadas pela metade do quadrado menos a área VII, ou seja, a área do triangulo BCD menos a área VII. Note que do fato do lado do quadrado valer 3 sua diagonal valerá 3, via Teorema de Pitágoras (uma das principais propriedades do quadrado). Observe que a diagonal BD divide-se em quatro, e uma dessas quatro partes representam o lado do quadrado, no caso, da área VII. Sendo assim, dividindo o valor da diagonal por quatro obtendo o lado do quadrado, logo: 3 = 8 4 Como a área procurada é a área do triângulo BCD menos a área VII, temos: 3 3 ABCD AVII = ( 8 8 ) = 5 8 = = 384 cm ou milímetros quadrados. Dividindo pelos quadrados de isopor temos: = 853,3 45 Logo, o mínimo devera ser de 854 peças. Resposta da questão 4: [A] Resposta da questão : [A] Calculando: S PFG : área do triângulo PFG CD CA = CF 4 ( 4 + AD) = 6 AD = 5 S ABCD : área do retângulo ABCD BE BA = BF 4 ( 4 + AE) = 8 AE = S xy PFG = 4 47 BC = BA + CA BA CA cos Â 4 = S 9 cos Â cos Â = = ABCD 4xy S PFG ED = AE + AD AE AD cos Â x = = x = x = = 0,5 SABCD SISTEMA DE ENSINO VETOR 9

10 Resposta da questão 5: [B] Se as áreas são iguais e o ângulo central é, então (a + b) θ a θ a θ = (a + b) a = 0 (a + b a) (a + b + a) = 0 a ( ) = b a = +. b Resposta da questão 6: [D] A área de intersecção será igual a área de dois triângulos equiláteros de lado somado com a área de um setor circular de 60, conforme a figura a seguir. Calculando: 3 Striângulo = = 3 4 πr π 4π Ssetor = = = π π Sint er sec ção = Striângulo + Ssetor = 3 + = 6 3 Resposta da questão 7: [B] Do enunciado, temos: S: área da região do triângulo não ocupada pelo círculo S : área do triângulo ABC ABC S círculo : área do círculo No triângulo AOT, temos: r sen 30 = r = a cos 30 = a = 3 S = SABC Scírculo S = a a sen 60 πr ( ) ( π) 3 S = 4 3 π S = 3 3 cm Resposta da questão 8: [A] Calculando: CB = + (0 5) CB = CB = 69 CB P = = 60 m Resposta da questão 9: [D] Calculando: a ( a x) A(x) = a = a a + ax A(x) = ax O único gráfico que apresenta uma função linear é o mostrado na alternativa [D]. Resposta da questão 0: [B] 0 SISTEMA DE ENSINO VETOR

11 b ( ) xv = = xv = a ( ) 9 C, 9 4 yv = y v + = 4 x = f(x) = x x + A, 0 e E, 0 x = ( ) ( ) ( ) = + = ( ) D 0, y f(0) 0 0 D 0, D ( ) = + ( + ) = ( ) B x, x x x x 0 B, B,5 + 0,5 0,5 0,5 S = + S = 4 8 SISTEMA DE ENSINO VETOR

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