Revisão de Férias MATEMÁTICA I SETOR SISTEMA DE ENSINO VETOR 1

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1 Revisão de Férias MATEMÁTICA I SETOR 70. (Puccamp) Paulo está deitado na cama e assistindo à TV. Na figura, C representa um ponto sobre a cama a partir do qual o controle remoto da TV foi acionado na direção do receptor de sinal indicado por R. A medida do ângulo entre a linha que representa o sinal transmitido e a cama é igual a α. e) 7.. (G - cftmg) O Hindu Bhaskara, ao demonstrar o Teorema da Pitágoras, utilizou uma figura em que ABCD e EFGH são quadrados, conforme mostrado abaixo. Dados: α,,,, 78, sen α 0,96 0,99 0,0 0, 0,980 cos α 0,98 0,980 0,978 0,977 0,99 tg α 0,00 0,0 0, 0,0,9 Sabe-se, ainda, que: - R está a, m do chão; - a altura da cama em relação ao chão é de 0 cm; - C está a metros de distância da parede em que a TV está fixada; - a espessura da TV é desprezível. Nas condições descritas e consultando a tabela, α é igual a a) 78, b), c), d), e), Se este quadrado ABCD tem lado de medida cm e o ângulo ACH ˆ mede 60, então, a área de EFGH, em cm, é a). b). c). d).. (Ufrgs) Se a e b são ângulos agudos e complementares, o valor da expressão sen (a + b) cos (a + b) é a) 0. b). c). d). e). 6. (Fuvest). (Ita) Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB = cm, BC = 7 cm e CA = 8 cm. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento do segmento NK, em cm, é a). b). c). d). SISTEMA DE ENSINO VETOR

2 Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função f(x) = sen (x) e que a linha contínua represente o gráfico da função g(x) = αsen ( βx), segue que a) 0 α e 0 β. b) α e 0 β. c) α = e β. d) 0 α e β. e) 0 α e β =. 7. (Ufrgs) Um ponto A, que se movimenta sobre uma circunferência, tem sua posição p(t), considerada na vertical, no instante t, descrita pela relação p(t) = 00 0 sen (t), para t 0. Nesse caso, a medida do diâmetro dessa circunferência é a) 0. b) 0. c) 0. d) 80. e) (Mackenzie) Se cos x =, x, então o valor de tgx é igual a a) b) c) d) e) em centímetros, sejam (9, 0), a senoide apresentará a seguinte configuração: a) Calcule o comprimento da senoide indicada no gráfico, do ponto A até o ponto B. b) Determine a expressão da função cujo gráfico no sistema de coordenadas é a senoide de A até B. Determine o domínio, a imagem e o período dessa função. 0. (Acafe) Analise as alternativas a seguir e assinale a correta. a) Sabendo que x R; x e que sen (x) = 0,8, o valor de y = sec (x) + tg (x) é y =. 9 b) Se sen (x) cos (x) = k, então, o valor de y para que y = sen (x) cos (x) é y = 8k +. c) O maior valor possível para y, sabendo que y = sen (x) cos (x) é y =. d) sen sen (). (Epcar (Afa)) No círculo de centro O a seguir, OA = m, M é o ponto médio de OP e a área y do triângulo retângulo ONM é dada em função do comprimento x do arco AP, com 0 x. 9. (Unifesp) Uma chapa retangular metálica, de área igual a 8, m, passa por uma máquina que a transforma, sem nenhuma perda de material, em uma telha ondulada. A figura mostra a telha em perspectiva. Assim sendo, é correto afirmar que y a) é decrescente se x,. b) assume valor máximo 0, m. A curva que liga os pontos A e B, na borda da telha, é uma senoide. Considerando um sistema de coordenadas ortogonais com origem em A, e de forma que as coordenadas de B, c) pode assumir valor igual a m. d) é sempre um número racional. SISTEMA DE ENSINO VETOR

3 . (Unicamp) Seja x um número real tal que sen x + cos x = 0,. Logo, sen x cos x é igual a a) 0,. b) 0,8. c),. d),.. (Espcex (Aman)) Considere o triângulo com ângulos internos x, e 0. O valor de tg (x) é igual a a). b) 7. c) 7. d). e).. (Unicamp) Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados: Pressão mínima 78 Pressão máxima 0 Número de batimentos cardíacos por minuto 90 A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi a) P(t) = 99 + cos(t) b) P(t) = 78 + cos(t) c) P(t) = 99 + cos(t) d) P(t) = 99 + cos(t) e) P(t) = 78 + cos(t) 7. (Fuvest) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB =, BC = e BF =. a) cm. b) cm. c) cm. d) 6 cm.. (Acafe) Se + sen θ + (sen θ) + (sen θ) + (sen θ) + = 0, com 0 θ, então, cos ( θ ) é igual a: a) 7. b). c) 9. d) (Enem) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e k são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas. O seno do ângulo HAF é igual a a) b) c) 0 d) e) 0 8. (Acafe) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa que contém todas as corretas. I. Uma sequência numérica é determinada conforme a lei an = n +. Essa sequência é uma progressão aritmética de razão. II. Ronei contratou, durante trinta dias, um jardineiro para fazer um serviço em sua casa por 00 reais. Contudo, ao negociarem a forma de pagamento o jardineiro propôs o seguinte: em vez de R$ 00,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$,00 no primeiro dia, R$,00 no segundo dia, R$,00 no terceiro dia, SISTEMA DE ENSINO VETOR

4 e assim por diante, recebendo sempre a cada dia, R$,00 a mais que no dia anterior. Então, ao aceitar a proposta Ronei terá um prejuízo de 6 reais. III. 0. (Ita) Sejam a, b, c, d. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b, c, d 0 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d b é a) 0. b) 0. c) 0. d) 0. e) 0. A Onça e a libra são unidades de massa do sistema inglês. Sabe-se que 6 onças equivalem a uma libra. Considerando uma libra igual a,60 gramas, então, 8 onças equivalem a menos que kg. IV. Um comerciante, visando aumentar as vendas de seu estabelecimento, fez uma promoção para determinado produto. Na compra de unidades desse produto o cliente leva unidades para casa. Então quando um cliente compra de oito unidades desse produto, e consequentemente leva 0 unidades para casa, estará recebendo um desconto equivalente a % do preço sem a promoção. a) I - II b) II - IV c) II - III d) II - III IV 9. (Ufrgs) Quadrados iguais de lado são justapostos, segundo padrão representado nas figuras das etapas abaixo. Mantido esse padrão de construção, o número de quadrados de lado, existentes na figura da etapa 00, é a).. b).00. c).00. d).00. e).. SISTEMA DE ENSINO VETOR

5 Gabarito: Resposta da questão : [E] Calculando: ( ) RC = 0,8 + RC =,08 0,8 sen α = = 0,96 α =,,08 Resposta da questão : [A] Do enunciado, temos: Para obter a área em questão basta calcularmos a área do quadrado ABCD menos quatro vezes a área do triangulo ACH e assim temos: AABCD = b h = = Sabendo que o ângulo ACH ˆ mede 60, então o ângulo CAH ˆ = 0 pois o ângulo CHA ˆ = 90 e assim basta aplicarmos a relação de seno e cosseno no triangulo em questão e assim: AH AH sen(60 ) = = = AH = AC CH CH cos(60 ) = = CH = AC Calculando a área do triangulo temos: A ACH b h = = = 8 Obtendo a área procurada temos: AEHFG = AABCD AACH = = 8 M é ponto de tangência entre a circunferência e o lado BC. Sendo AK = x, AK = AN = x BN = BM = x CK = CM = 8 x Como BC = 7 e BC = BM + MC, 7 = x + 8 x x = Sendo BAC ˆ = α, temos: 7 = cosα cosα = Sendo NK = y, temos: y = + cosα y = + y = cm NK = cm Resposta da questão : [D] Resposta da questão : [B] Como a e b são ângulos agudos e complementares, a + b = 90. Daí, sen a + b cos a + b = sen 90 cos 90 ( ) ( ) ( ) ( ) sen a + b cos a + b = 0 ( ) ( ) sen a + b cos a + b = Resposta da questão 6: [A] Vamos supor que α e β sejam reais positivos. Sabendo que Im f = [, ] e Pf =, dos gráficos, temos Im g = [ αα, ], com 0 α e Pg =. Assim, vem 0 β =. Resposta da questão 7: [B] De p( t) = 00 0sen t, t 0, temos o gráfico abaixo: SISTEMA DE ENSINO VETOR

6 Resposta da questão 0: [A] Se x, com x, e senx, 9 co co. 6 6 Daí, vem e, portanto, temos 9 y = sec x + tg x = + tg x 6 = + 9 = então O diâmetro (d) da circunferência é dado pela diferença entre o máximo e mínimo da função, logo, d = 0 80 d = 0 Resposta da questão 8: [B] Se x, então x é um ângulo entre 70 e 60 graus, com tangente negativa. Calculando: sen x + cos x = sen x = sen x = 9 tgx = = Resposta da questão 9: a) Se a chapa possui área igual 8, m, então o comprimento da senoide será: Área = x 8, = x x =,0m b) Calculando: f = 6 9 T = 6 A = f(x) = A sen (kx) 9 = k = 6 k 6 x f(x) = sen 6 D(f) = x 0 x 9 Im(f) = y y =. 9 Lembrando que sen φ+ cos φ = e sen φ = senφ cos φ, vem y = sen x cos x = (sen x + cos x)(sen x cos x) = sen x cos x = sen x = (sen x cos x) = 8k. Sabendo que o valor máximo de sen γ é, qualquer que seja γ, e que y = sen x cos x = + sen x, podemos concluir que o maior valor possível para y é + =. Desde que a função seno é decrescente no intervalo, e que, temos sen sen. Resposta da questão : ANULADA Questão anulada no gabarito oficial. Se M é o ponto médio de OP e OA = m, então OM = m. Logo, sendo x = α OA = α e ON = cos α, temos 6 SISTEMA DE ENSINO VETOR

7 y = OM ON senα = cos α sen α = sen α = sen x, com 0 x. [A] Falsa. A função seno é crescente no primeiro quadrante. [B] Falsa. Desde que 0 sen x, com 0 x, temos 0 y. Portanto, y não possui valor má- ximo. [C] Falsa. Conforme (b), pois [D] Falsa. Se x =, então um número racional. Resposta da questão : [D]. y =. Porém, 8 8 não é Tem-se que (sen x + cos x) = 0, + sen x cos x = 0,0 Logo, sabendo que senxcos x = 0,96. y = y, para todo y, vem sen x cos x = (sen x cos x) = sen xcos x. Em consequência, encontramos senx cos x = + 0,96 senx cos x =,96 Resposta da questão : [C] Do enunciado, x = 80 x = 60 ( ) tgx = tg 60 tg60 tg tgx = + tg60 tg tgx = + senx cos x =, ( ) ( ) Resposta da questão : [C] Se o lado do quadrado ABCD mede cm, então sua diagonal mede cm. Daí, como C é ponto médio de AE, vem CE = cm. Ademais, sendo ACD ˆ =, temos DCE ˆ = e, portanto, pela Lei dos Cossenos, encontramos DE = + ( ) cos DE = Resposta da questão : [D] DE = cm. A expressão dada trata-se de PG infinita de razão igual a sen. θ Assim, pode-se escrever: a S = 0 = 0 0senθ= senθ= q senθ ( senθ) + ( cosθ) = ( cos ) cos + θ = θ = cos( θ) = ( cosθ) ( senθ) = = = Resposta da questão 6: [A] Calculando: SISTEMA DE ENSINO VETOR 7

8 P(t) = A + Bcos(kt) A + B cos(kt) = 0 A = 98 A = 99 A B cos(kt) = 78 Pmáx cos(kt) = 99 + B = 0 B = 90 batimentos 6 = T = s = s 60 segundos T 9 k = = = T Assim : P(t) = 99 + cos(t) Resposta da questão 7: [E] = R$ 6,00. Portanto, ele teve um prejuízo de 6 00 = 6 reais. [III] Verdadeira. Com efeito, pois 8 onças equivalem a 8 0,6,688kg. 6 = [IV] Falsa. O desconto corresponde a Resposta da questão 9: [E] 00% 0%. 0 = Na etapa temos: (+ ) quadrados. Na etapa temos: (+ + ) quadrados. Na etapa temos: (+ + + ) quadrados. Na etapa 00 temos: (+ 0) = =. quadrados. ABF y = + y = 0 y = EHF z = + z = 0 z = EHA x = + x = 8 x = Lei dos Cossenos : a = a b = aq z = x + y xy cosa 0 = cosa PG a, b, c, d c = aq 8 0 cosa = 8 cosa = d = aq 0 b c PA a,,, ( d 0) 9 sen a + cos a = sen a + = sen a = = sen a = Resposta da questão 8: [C] Resposta da questão 0: [D] Calculando: Da PA, tem-se: b c c = a + b = a + [I] Falsa. Desde que an+ a n = (n + ) + n = n +, podemos concluir que a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer da sequência depende de n. Logo, não se trata de uma progressão aritmética. Na verdade, a é uma progressão aritmética de segunda ordem. n [II] Verdadeira. De fato, o valor total pago por Ronei foi Substituindo os valores de b e c: aq aq = a + q q + = 0 q = Da PA, tem-se: c b aq aq = + (d 0) = + aq 0 a = a + 8a b = aq = 0 d b = 0 d = aq = 60 8 SISTEMA DE ENSINO VETOR

9 SISTEMA DE ENSINO VETOR 9