Módulo de Mtrzes e Sstems Lneres Operções com Mtrzes
Mtrzes e Sstems Lneres Operções com Mtrzes 1 Exercícos Introdutóros Exercíco 1. Encontre o vlor de () 2 A. 1/2 A. 3 A. Exercíco 2. Determne ) A + B. b) A B c) A B. Exercíco 3. A A 4 2 6 4 Consdere s mtrzes 2 2 e B Consdere s mtrzes A B C 3 3 4 2 3, 2 2 7 4 5 6 3 Determne o vlor de A + B + C. Exercíco 4. determne o vlor de 10 2 3 1 4 5, 0 A 0 I + A + A 2 + A 3 +... + A 100. Exercíco 5. () Exercíco 6. Determne os produtos de mtrzes: 3 3 3 4 2 2 2 4 2 2 3 3 4 2 4 2 4 5 3 5 () Determne A 2. Determne A 3 0 0 A Determne A n, pr n N Exercíco 7. Exercíco 8. Determne, b, c e d ts que 2 2 c A b d 5 7 2 2 Determne x e y de modo que s mtrzes 3 1 4 x stsfçm AB BA., B 2 Exercícos de Fxção y 1/2 2 3/2 Exercíco 9. Consdere s mtrzes qudrds A ( j ) 3 3 e B (b j ) 3 3 que stsfzem j 2 + j 2 e b j 2j. Determne som dos elementos d dgonl prncpl de A + B. http://mtemtc.obmep.org.br/ 1 mtemtc@obmep.org.br
Exercíco 10. Exercíco 11. Determne x e y de modo que 1 3x + 0 2y y 0 x 4 Determne x e y de modo que x 3 4 y 3 7 4 8 3 4 Exercíco 12. Encontre um mtrz A ( j ) 2 2, com coefcentes res, tl que Exercíco 13. 11 12 1 21 22 2 4 5 As mtrzes A ( j ) 3 3 e B (b j ) 3 3 stsfzem j j e b j j. Determne mtrz C A B. Exercíco 14. Determne A 4. 0 0 A Exercíco 15. A ( j ) 2 2 é um mtrz tl que A 2 0, determne o 11 + 22. Exercíco 16. Determne o vlor de bcd se s mtrzes são gus. + b b c + d c d e 5 3 3 1 3 Exercícos de Aprofundmento e de Exmes Exercíco 18. Prove que se A e B são mtrzes qudrds de mesm ordem com AB BA então () (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2. A 2 B 2 (A + B)(A B). (A + B) n n 0 (n )A B n. Exercíco 19. Determne tods s mtrzes com coefcentes res que comutm com Exercíco 20. K Prove que A c b d,, stsfz equção x 2 ( + d)x + (d bc) 0. Exercíco 21. Dd mtrz A 0 1, e o polnômo p(x) x 2016 + x 2017, determn os elementos d mtrz p(a). Exercíco 22. Consdere sequênc de Fboncc defnd por: F 0 F 1 0 e F n+1 F n + F n 1. A mostre que se n N, então A n F n+1 F n, F n F n 1. Exercíco 17. A cos α sen α sen α cos α, determne A n, pr n N. http://mtemtc.obmep.org.br/ 2 mtemtc@obmep.org.br
1. () 2. Temos ) A + B b) A B c) 3. Temos 5 1 14 10 A + B + C 4. Perceb que Resposts e Soluções. A 4 1 2 0 2 5 6 4. A A. 12 18 8 4 12 8 3 2 6 12 1 + 4 + 10 2 + 5 + 2 3 + 6 + 3 2 + 1 + 1 2 + 2 + 4 7 + 3 + 5 15 9 12 4 4 15 0 A 2 e Portnto, 5. () 6. () A 3 I + A + A 2 + A 3 +... + A 100 I + A + A 2 1 0 0 1 4 22 6 5 4 13 14 4 6 4 4 4 12 22 10 23 34 A 2 A 3 A 2 A 1 3 http://mtemtc.obmep.org.br/ 3 mtemtc@obmep.org.br
Suponh que pr k N, tenhmos Então Portnto, A k A k+1 A k A 1 k 1 k A n 1 k + 1 1 n, Anlogmente, temos BA 3y 2 y x/2 0 2 + 3x/2. Pr que ocorr guldde, devemos ter 4y 2x 0 e y x/2 0. Esss equções são equvlentes e ssm pr qulquer pr (x, y) com x 2y occorre guldde. 9. c j denot s entrds d mtrz som, temos Portnto, c j 2 + j 2 + 2j ( + j) 2. c 11 + c 22 + c 33 2 2 + 4 2 + 6 2 56. 10. A som ds mtrzes é gul 1 3x + 2y x + y 4. pr todo n N 7. A multplcção ds dus prmers mtrzes produz + 2c 2 2c b + 2d 2b 2d Portnto, precsmos resolver o sstem: + 2c 5 b + 2d 7 2 2c 2 2b 2d 2. Resolvendo o sstem nteror, encontrmos 1, b 1, c 2 e d 3. 8. Temos AB 3 1 y 1/2 4 x 2 3/2 3y 2 0 4y 2x 2 + 3x/2 Pr que ocorr guldde, devemos ter 3x + 2y 8 x + y 3 Resolvendo o sstem nteror, obtemos x 2 e y 1. 11. O produto ds dus prmers mtrzes é Queremos que 2x + y 3x + 4y 2x + y 3. 3x + 4y 7 A solução desse sstem é (x, y) (1, 1). 12. O produto ds dus prmers mtrzes é Queremos que 11 + 2 12 21 + 2 22. 11 + 2 12 4 21 + 2 22 5 http://mtemtc.obmep.org.br/ 4 mtemtc@obmep.org.br
Um solução do sstem nteror é 11 4 e 21 5. A solução gerl é com t e k res. ( 11, 12, 21, 22 ) (4 2t, t, 5 2k, k), 13. c j são s entrds d mtrz C, então Portnto, C 3A. c j 1 b 1j + 2 b 2j + 3 b 3j j + j + j 3j 3 j 14. Podemos encontrr s potêncs de A recursvmente A 2 A 3 A 2 A A 4 A 3 A 0 0 15. c j denotm s entrds d mtrz A 2, então 0 0 c 11 c 22 1 2 22 Portnto, 11 ± 22. 11 22, então 11 + 22 0. Consderemos gor o cso 11 22 com 11 0. Anlsndo s entrds c 12 e c 21, obtemos 0 c 12 2 11 21 e 0 c 21 2 11 12 Como 11 0, então 12 21 0. Logo, A 2 é um mtrz dgonl de entrds 1 e 2 22 1. Isso mplc que 11 0 e temos um bsurdo. Consequentemente, 11 + 22 0. 16. Como s mmtrzes são gus, podemos construr o sstem + b 5 c + d 3. b 3 c d 1 Resolvendo o sstem nteror, obtemos 4, b 1, c 1 e d 2. Assm, bcd 8. 17. Suponh que ddo k N tenhmos Dí, A k A k+1 A k A Portnto, pr todo n N 18. cos kα sen kα cos kα sen kα sen kα cos kα. sen kα cos α cos kα sen α cos(k + 1)α sen(k + 1)α sen(k + 1)α cos(k + 1)α A n cos nα sen nα sen nα cos nα.. sen α cos α () Pel propredde de dstrbutvdde e d relção AB BA, temos (A + B)(A + B) A 2 + AB + BA + B 2 A 2 + 2AB + B 2. http://mtemtc.obmep.org.br/ 5 mtemtc@obmep.org.br
Pel propredde de dstrbutvdde e d relção AB BA, temos (A + B)(A B) A 2 + BA AB B 2 A 2 B 2. Suponh que pr k N tenhmos (A + B) k k 0 ( ) k A B k Portnto, pel propredde de dstrbutvdde, temos (A + B) k+1 (A + B) ( k 0 ( ) k k 0 A +1 B k + ( ) k A B k ) k 0 ( ) k BA B k Como AB BA, segue que BA B k A B k+1. Além dsso, pel relção de Stfel, ( ) ( ) ( ) k k k + 1 + l 1 l l Assm, o somtóro nteror pode ser reorgnzdo, fzendo l 1, como ( ) k + 1 A l B k+1 l k+1 l0 l Isso mostr que fórmul dd tmbém serve pr k + 1. gue que vlerá pr todo n N. 19. Suponh que comut com K, então c + b c + d T c b d TK KT, + c c b + d Um condção necessár e sufcente pr que els comutem é que + c + b b + d c + d d d Portnto c 0 e d. Dí, s mtrzes que comutm com K são s mtrzes d form com e b res. 20. b 0, A 2 ( + d)a + (d bc)i 2 + bc b + bd 2 + d b + bd c + dc bc + d 2 c + cd d + d 2 d bc + d bc + d bc d bc 21. Clculemos nclmente s prmers potêncs de A: Dí, Assm A 2 A 3 A 2 A 1 1 1 1 1 1 1 0 I 0 1 p(a) A 2016 + A 2017 (A 3 ) 672 + (A 3 ) 672 A ( I) 672 + ( I) 672 A I + A 0 1 http://mtemtc.obmep.org.br/ 6 mtemtc@obmep.org.br
22. Clculemos nclmente s prmers potêncs de A: Dí, A 2 A 3 A 2 A I 3 2 Suponh que pr k N A k +1 1. Então A k+1 A k A +1 1 +1 + +1 + 1 +2 +1 +1 1 Portnto frmção vle pr todo n N. Produzdo por Arqumedes Curso de Ensno contto@cursorqumedes.com http://mtemtc.obmep.org.br/ 7 mtemtc@obmep.org.br