Escol Secundári/3 d Sé-Lmego Fich de Trblho de Mtemátic Ano Lectivo 2003/04 D duplicção do qudrdo à redução de Hipócrtes 10.º Ano Nome: N.º: Turm: Introdução o Trblho Dos três fmosos problems clássicos d mtemátic greg - duplicção do cubo, trissecção do ângulo e qudrtur do círculo - etremmente importntes no desenvolvimento d geometri, duplicção do cubo foi tlvez o mis fmoso, n Antiguidde. A duplicção do cubo é um problem de enuncido muito simples e tlvez por esse motivo tenh despertdo o interesse de mtemáticos, e não só, o longo dos tempos. Ms primeir questão que se coloc o escrever sobre este problem é: como terá surgido o problem d duplicção do cubo? Eutócio [1] reproduz crt de Ertóstenes [2] o rei Ptolomeu III Everget do Egipto [3], qul contém dus lends sobre o precimento do problem d duplicção do cubo. Cont ssim: "«Ertóstenes Ptolomeu, súde! «Cont-se que um dos ntigos poets trágicos fêz precer Mino [4] em scen, no cto de mndr construir um túmulo Gluco; e que Mino, verificndo que este tinh de cd ldo cem pés de comprimento, disse: «pequeno espço n verdde concedeste o sepulcro de um rei; duplic-o, conservndo-lhe sempre form cúbic, ficrão imeditmente duplicdos todos os ldos do sepulcro». Or, é clro que êle se engnv. De fcto duplicndo-se os ldos dum figur pln, est fic qudruplicd, e um figur sólid ficrá octuplicd. «Então foi gitd entre geómetrs questão de sber como se podi duplicr um dd figur sólid qulquer, conservndo-lhe form. E êste problem foi chmdo duplicção do cubo. Todos ficrm duvidosos, durnte muito tempo, té que Hipócrtes de Chios [5] chou que, «se entre dus linhs rects, ds quis mior sej dupl d menor, se inscreverem dus médis em proporção contínu, o cubo ficrá duplicdo»; trnsmudndo-se, ssim, um dificuldde noutr não menor. «Nrr-se tmbém que, mis trde, os Délios, levdos pelo oráculo [6] dobrr um certo ltr, círm no mesmo embrço. E lguns embidores vierm procurr os geómetrs que convivim com Pltão n Acdemi [7], pr os ecitr descobrir o que lhes er eigido. Êstes ocuprm-se do ssunto com diligênci, e diz-se que, tendo procurdo inserir dus meis entre dus rects, Arquits Trentino [8] o resolveu com o semi-cilindro, e Eudóio [9] medinte certs linhs curvs. «A êstes geómetrs seguirm-se outros, que conseguirm tornr mis perfeits s demonstrções, ms não construção e su eequibilidde prátic, eceptundo tlvez Menecmo [10], e com grnde trblho»." A utenticidde dest crt é post em cus por lguns historidores. O intelectul lemão U. von Wilmowitz- Moellendorff (1848-1931) defendeu que crt não pode ser genuín. Apesr de poder não ter sido escrit por Ertóstenes, o desconhecido utor deu um grnde contributo pr históri d mtemátic o ter incluído um importnte e verddeiro documento histórico - um epigrm de Ertóstenes, constnte de um plc fi no templo de Ptolomeu, em Alendri. Retirdo de Duplicção do Cubo, Históri do Problem; José Miguel Sous (http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/cpitulo2.htm#s1) 1
Tem Segundo Eutócio, Hipócrtes de Quios terá observdo que resolução do problem d duplicção dum ddo cubo é equivlente à resolução do problem d inserção de dois meios proporcionis entre o segmento de rect que é rest do cubo e o segmento de rect duplo desse. Trtou-se dum descobert muito importnte, porque reduziu o problem inicil um outro, brindo deste modo um nov frente de investigção que hveri de se revelr frutífer. [A] Trblho Not: As Sugestões pens estão disponíveis no documento HTML correspondente est Fich de Trblho, em: http://www.prof2000.pt/users/mm/f18/t5/ft-4.htm A nov form que Hipócrtes deu o problem d duplicção do cubo tem certs nlogis com questão d duplicção do qudrdo que, por est rzão, lhe pode ter servido de inspirção. O problem d duplicção do qudrdo consiste n construção (do ldo) dum qudrdo de áre dupl d dum qudrdo ddo. O diálogo Menon, de Pltão, escrito nos princípios do século IV.C., tom ptente que este problem não presentv dificulddes pr os gregos cultos do tempo: digonl dum qudrdo é o ldo do qudrdo de áre dupl. [A] A. Ddo um qudrdo, mostr que su digonl é o ldo do qudrdo de áre dupl. Sugestão A Ms questão d duplicção do qudrdo pode ser bordd de outro modo. Justpondo dois eemplres do qudrdo ddo, obtém-se um rectângulo em que um dos ldos é duplo do outro. O problem em cus é qudrtur deste rectângulo, o que se resolve construindo o meio proporcionl entre os respectivos ldos: se o ldo do qudrdo inicilmente ddo for designdo por l, o rectângulo terá de ldos l e 2l e áre igul à dum qudrdo cujo ldo stisfz relção: [A] l 2l B. A qudrtur de um rectângulo pode ser feit considerndo proposição 14, do Livro II dos Elementos de Euclides: F G Apresentndo figur o ldo, em que [ABCD] é um rectângulo; BE é igul BC e, construíd semicircunferênci de diâmetro [AE] e determindo F, prolongndo [BC] té à circunferênci, Euclides firm que o qudrdo [FBHG] tem mesm áre que o rectângulo [ABCD]. A O B E H Prov vercidde d proposição de Euclides. D C Sugestão B 2
C. Como foi referido n nterior ci de teto, questão d duplicção do qudrdo pode ser bordd de outro modo. Justpondo dois eemplres do qudrdo ddo, obtém-se um rectângulo em que um dos ldos é duplo do outro. O problem em cus é qudrtur deste rectângulo. F G A figur o ldo mostr construção reltiv ess qudrtur. Descreve construção dess qudrtur e conclui que se verific l relção, isto é, que o ldo do qudrdo [BFGH] é meio 2l proporcionl entre os ldos do rectângulo [ABCD]. A l D l O A' D' l B C E H Sugestão C Embor não hj nenhum testemunho directo desse fcto, lguns historidores creditm que Hipócrtes começou por reflectir n questão d duplicção do qudrdo e, de seguid, procurou generlizá-l. Assim, terá observdo que, pr duplicr um cubo de rest, bstri encontrr dois segmentos de rect e stisfzendo s relções 2 Com efeito, rzão entre os volumes dos cubos de rests e é: 3 3 Portnto, o cubo de rest tem volume duplo do do cubo de rest. [A] 2 1 2 D. Reltivmente o problem d duplicção do cubo, é possível que Hipócrtes tenh efectudo um percurso nálogo o seguinte rciocínio: [B] 1. Consideremos um cubo de rest ; juntndo dois desses cubos obtemos um prlelepípedo de rests 2,, e, cujo volume é duplo do volume do cubo inicil. 2 2. Suponhmos, gor, que pretendemos trnsformr o prlelepípedo noutro com o mesmo volume, mesm ltur, ms com um ds rests d bse. Tendo em tenção que o volume terá de se mnter o mesmo, outr rest d bse terá de se lterr, designemo-l por. 3
3. Finlmente vmos trnsformr o prlelepípedo d figur nterior num cubo, mntendo o volume, ms de rest. Usndo este rciocínio, mostr que podemos deduzir, como pretendímos, que. 2 Sugestão D1 Sugestão D2 Sugestão D3 Sugestão D4 Não temos registos de que Hipócrtes tenh sido cpz de construir os dois meios proporcionis que se refere n su redução do problem d duplicção do cubo o problem dos dois meios proporcionis; liás, será que ele procurou tl construção? Mis trde os geómetrs reconhecim clrmente que um redução não é el própri equivlente um solução do problem proposto. Ms será que Hipócrtes já fzi est distinção no seu trtmento do problem d duplicção do cubo? Depois de Hipócrtes ter descoberto que o problem d duplicção do cubo se podi reduzir o problem de encontrr dois meios proporcionis entre rest do cubo ddo e o dobro dest, prece que todo o esforço subsequente foi no sentido de encontrr um construção pr os dois meios proporcionis em cus. Ests buscs form muito frutífers no desenvolvimento d mtemátic, sendo um eemplo de tl fcto " (...) descobert (ou, pelo menos, estudo tento) ds secções cónics." É provável que Hipócrtes tenh efectivmente provdo su redução; cso contrário, seri de estrnhr o fcto de Arquits, como prece, ter prtido logo pr procur dos dois meios proporcionis como tenttiv de solução pr o problem d duplicção do cubo, tomndo como cert equivlênci entre os dois problems. Arquits de Trento, geómetr do séc. IV.C., é o utor d mis ntig solução pr o problem d duplicção do cubo, d qul temos conhecimento trvés de um pssgem de Eudémio de Rodes reproduzid nos escritos de Eutócio. Pensmos que notoriedde dest solução, de etrem belez e bsolutmente rigoros, não lhe dvém só pelo fcto de ser primeir ms, principlmente, por ser um construção engenhos três dimensões (e não no plno). Est construção envolve procur de um certo ponto, obtido pel intersecção de três superfícies de revolução - um cone recto, um cilindro e um toro. A intersecção do cilindro com o toro é um curv e o ponto pretendido obtém-se pel intersecção dest curv com o cone. A solução propost por Arquits, lém de ser um solução de etrem belez geométric, revel um ecelente inovção por prte deste mtemático, nomedmente por utilizr movimentos mecânicos n solução de um problem geométrico. É mis notável de tods, especilmente qundo é considerd su dt (primeir metde do século qurto.c.), porque não é um construção pln ms um construção corjos três dimensões, determinndo um certo ponto como intersecção de três superfícies de revolução. [B] Visulizção d construção de Arquits: http://www.prof2000.pt/users/miguel/histmt/f18/rquits/sup2.htm Vídeo com construção de Arquits: http://www.prof2000.pt/users/miguel/histmt/f18/rquits/videorquits.htm 4
E. Arquits deve ter tido um verddeir inspirção divin qundo encontrou su construção. A figur que Arquits imgin em su mente e qul pretende construir é, evidentemente, o triângulo rectângulo [ABC] com s dus perpendiculres [CD] e [DE]. Mostr que é válid proporção: AE AD AC. AD AC AB C Assim, se AB 2 AE, temos que [AD] é rest procurd, AD AC pois proporção nterior pode escrever-se:. AD AC 2 E A Então, questão er situr correctmente o ponto C de tl B D modo que [ABC] fosse um triângulo rectângulo, onde o construir os segmentos [CD] e [DE] se obtivesse AB 2 AE. E, como vimos, solução propost por Arquits pr encontrr o ponto C foi intersectr três superfícies, um cilindro, um cone e um toro. Tl como contece com trissecção do ângulo e qudrtur do círculo, hoje sbe-se que duplicção do cubo não pode ser levd cbo com o eclusivo recurso à régu e o compsso. É no entnto notável o desenvolvimento mtemático provocdo pels tenttivs infrutífers de resolver estes três problems d Gréci Antig, durnte mis de dois milénios. Eplor nimção seguinte: http://www.prof2000.pt/users/mm/f18/t5/d_cubo.htm Sugestão E FIM O Professor [1] (480-540 d.c.) Mtemático e comentdor romno nscido em Asclon, hoje Ashqelon, Plestin, importnte pesquisdor d obr de Arquimedes e de Apolônio. Embor não tenh feito qulquer trblho originl, su obr, como s de outros comentrists, são fundmentis n históri d mtemátic e muitos escritos importntes só sobreviverm devido o trblho desses comentrists. Seus comentários são, portnto, inestimáveis do ponto de vist d nturez de informção históric que, em cso contrário, ests informções originis estrim completmente perdids. [2] (276-194.C.) Mtemático, strónomo, geógrfo, historidor, poet e tlet grego nscido em Cirene, hoje Shhht, Líbi, conhecido por ter sido o primeiro estimr o comprimento d circunferênci terrestre e trtr, com mior ou menor profundidde, tods s ciêncis de seu tempo. [3] Governou o Egipto (246-222. C.) e ficou conhecido como o Benfeitor. Tornou-se rei com morte do pi, invdiu Síri e Índi e conquistou pris do Helesponto e costs d Tráci. No seu governo o Egipto lcnçou o máimo de prosperidde e o mis etenso domínio. [4] Minos, rei lendário de Cret (pi de Gluco), filho de Zeus e de Europ. Derrotou os Atenienses, obrigndo-os depois o scrifício nul de 14 jovens pr psto do Minoturo (monstro com cbeç de touro e corpo de homem, filho de Psífe, espos de Minos, e do touro envido por Posídon o rei de Cret). [5] (470-410. C.) Mtemático geómetr grego de Chios, um ds ilhs do rquipélgo de Dodecneso, n Gréci ctul, próim e oeste de Esmirn, n Turqui. Antes um próspero comercinte em su terr ntl, foi morr em Atens (430. C.) e perdeu repentinmente su fortun. Em consequênci disso voltou-se pr o estudo d geometri, tornndo-se um dos responsáveis por mudnçs fundmentis n mtemátic do século quinto ntes de Cristo. [6] N Antiguidde, respost que supostmente os deuses dvm por intermédio dos seus intérpretes (scerdotes e pitoniss). 5
[7] Akdemi ou Hekdemei er originlmente um prque público, perto de Atens, com lmeds e bels árvores, dornd com estátus, templos e sepulcros de homens ilustres onde hvim sido plntds oliveirs, onde o filósofo e mtemático grego Pltão (cerc de 385.C.) fundou Acdemi, um locl de estudo e de ensino de filosofi e ciênci, que já tem sido considerdo primeir universidde do mundo. [8] (428-365. C) Mtemático, strónomo, músico e político grego de Trento, cidde colonil greg no sul d Itáli, ns costs do Mediterrâneo, legítimo representnte d escol pitgóric e de crácter pltónico, foi um dos responsáveis por mudnçs fundmentis n mtemátic do quinto século ntes de Cristo e, de cert form, tmbém de trnsição n er pltónic. [9] (408-347. C) O mis célebre mtemático, strónomo e importnte utor grego d Acdemi de Pltão, citdo enfticmente ns obrs de Euclides, Arquimedes e Aristóteles. Foi o descobridor d brilhnte teori ds proporções (360. C.) entre grndezs de mesm espécie, descrit no Livro V de os Elementos de Euclides. [10] (c 380-320. C) Mtemático grego que terá sido o primeiro representr curvs por meio de equções, no entnto de um modo um pouco primitivo. Tmbém é o primeiro responsável pelo estudo ds cónics, utilizndo s secções de cones n tenttiv de resolver o problem d duplicção do cubo. [A] Adptdo de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, Mri Fernnd Estrd, Crlos Correi de Sá, João Filipe Queiró, Mri do Céu Silv e Mri José Cost, Universidde Abert, 2000 (Pág. 309-311) [B] Adptdo de Duplicção do Cubo, José Miguel Sous (http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/cpitulo2.htm) 6