BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 07 GABARITO COMENTADO 1) Se o resto d divisão de 47 por x é 7, então x divide 47 7 = 40 D mesm mneir, x divide 15 = 1 O mior vlor possível de x é o máximo divisor comum (MDC) de 40 e 1. 40 = 4.. 5 1 = ³.. 1 MDC (40, 1) = ³. = 4 Do mesmo modo, y divide 167 5 = 16 e 1 = 10 16 =. 4 10 =.. 5. 7 MDC (16, 10) =. = 6 O mior vlor de x + y será 4 + 6 = 0 ) Um número que o mesmo tempo divisível por 5 e por 9, é divisível tmbém por 5. 9, ou sej, é divisível por 45. O número 61577 seri divisível por 45 se o resto d divisão fosse igul zero, como não é, o que precismos fzer então é subtrir de 61577 este resto, pr que ele se torne um número divisível por 45. Você poderi ter interpretdo o enuncido deste exercício como sendo: Qul é o resto d divisão de 61577 por 45? 61577 dividido por 45 é igul 168, com um resto de 17. Logo: Devemos subtrir 17 de 61577 pr que diferenç sej divisível o mesmo tempo por 5 e por 9. ) 4 17 44 1768. = = 104 17 4) 7 : 6 resto 1 7² : 6 resto 1 7³ 6 resto 1 e ssim por dinte 7 1 : 6 resto 1 Logo 7 1 = 6q + 1 se continurmos divisão, então: Temos que dividir o resto por seis, isto é, 1/6 = 1,1666... Logo temos um Dízim Periódic Compost. 5) Como som dos números é 8, que é ímpr, um deles é ímpr. Sendo únic potênci de ímpr igul 1, o menor número é 1. 6) Se firmção fls fosse de Cernldo ou de Dernldo, significri que Arnldo e Bernldo fizerm firmções verddeirs. Ms se Bernldo tivesse tods s crts vermelhs, só hveri números disponíveis pr Arnldo pegr. Então, firmção fls só pode ser de Arnldo ou de Bernldo.
Se firmção fls foi de Arnldo, Bernldo deve ter s 5 crts vermelhs, então sobrm s 5 crts verdes pr Cernldo. Ms ssim não há como Dernldo possuir crts de um mesmo número. A firmção fls não pode ser de Arnldo. Se firmção fls foi de Bernldo, então podemos montr seguinte tbel de crts e ssinlr inicil de quem possui cd um: Assim, só Bernldo pode ter feito firmção fls. 7) A som vle 7/ e o produto vle /, portnto rzão entre som e o produto vle: 7 = 7 x = 7 8) Como p e q são rízes, temos: p + q = b/ = 7/ como p q = 1/, montmos o seguinte sistem: p q = 1/ p + q = 7/, somndo um equção outr temos: 4p = 4 p = 1 substituindo o vlor de p n equção temos: (1) 7.(1) + m = 0 7 + m = 0 5 + m = 0 m = 8 m = 4 OPÇÃO E 9) Chmemos primeir equção de x + bx + c = 0. A segund será dx + bx + c = 0. Pr um função de segundo gru temos que: b S b = = P c c Portnto pr mbs s equções rzão entre som e o produto ds rízes não se lterou. N segund, como s rízes são e, temos que: S + = = 5, o que vle tmbém pr primeir equção. P. 6 A terceir equção pode ser escrit como x + bx + c = 0. Como som ds rízes é definid por b, est será igul pr primeir e terceir equção. Como são dds s rízes d terceir equção, temos que: S = + ( 7) = 5. Portnto, como S = 5, temos que o produto P ds P 6 rízes é igul 6. Portnto, sendo som 5 e o produto 6, s rízes serão 6 e 1. 1 ( 6) = 7. 10) Como p não pode ser zero, podemos dividir primeir equção por p e obter 1 1 +. Isto nos diz que p p s rízes d primeir equção são os inversos ds rízes d segund equção. Como pq 1., p é igul o inverso
d outr ríz d segund equção que é diferente de q, ou sej, equção é igul. Substituindo n expressão procurd: 1 p = q pois som ds rízes d segund pq + p + 1 q 1+ + q = = = = 1 q q+ q q+ q 11) Pr que s soluções sejm inteirs, o discriminnte d equção do segundo gru deve ser o qudrdo de um inteiro positivo, digmos ( ) r + s 4rs 4 010 = t ( ) r s t = 4 010 (( r s) + t) (( r s) t) t. Assim = 010 Como os números (( r s) + t) e (( r s) t) + + possuem mesm pridde e 010 é inteiro, concluímos que os 010 termos no produto nterior são inteiros. A cd pr de divisores do tipo d, do número 010, temos um d solução pr t e r s n últim equção. Como 010 possui 16 divisores, o número de soluções é 8 OPÇÃO E 1) x² mx + m 1 = 0 1) Rízes, b x b = m 1 + b = m ( + b)² = m² ² + b + b² = m² ² + b² = m² b ² + b² = m² x (m 1) ² + b² = m² m + Vértice dest prábol : m = ( )/ x 1 m = 1 A quntidde finl de cd é R$ 50,00, então x + 1 = 50, então E com isso, Edurdo tinh inicilmente R$,00. ( x = 1 e y = 1 ) x y = 0 x = y x = y x y + x y = 0 ou x y = 0 y y = 0 ( y = 1 ou y = ) ( x = 4 e y = ) 14) Pr x e y reis: ( ) ( )
4 15) k²x - kx = k² k 8 + 1x k²x kx 1x = k² k 8 x (k² k 1) = (k 4). (k + ) x (k 4). (k + ) = (k 4). (k + ) x = ( k 4).( k + ) ( k 4).( k + ) k 4 0 K + = 0 k = ( ) ( ) 16) m³ + n³ = b/ b/. c b bc. bc b m³ + n³ = + = m³. n³ = (m. n)³ = c Tod equção pode ser escrit como x² - Sx + P = 0 x bc b ( ) c x + = 0 ³x² b(c + b²)x + c³ = 0 17) Vej que α + β = 1 e α α α αα α α α = = ( + 1) = + = + 1, 4 α α α α α α α α = = ( + 1) = + = +, 5 4 α α α α α α α α = = ( + ) = + = 5 +. Anlogmente, 7 4 β β β β β β β β = = (5 + )( + 1) = 5 + 8 + = 1 + 8. 5 7 Portnto, 1α + 5β = 1(5α + ) + 5(1β + 8) = 65( α + β) + 79 = 65 + 79 = 144. 18) Ambs s equções tem 1 como riz. As outrs rízes são 1/007 e 007, cujo produto é 1. 19) É fácil ver que ( x )( x ) + ( x )( x+ 1) + ( x+ 1)( x ) = ( x α)( x β). Fzendo x = 1, e, nest iguldde, temos que, 4 ( α + 1)( β + 1) = 4, ( α )( β ) = 1, ( α )( β ) =. 1 1 1 1 Com isso, + + = 1+ = 0. ( α + 1)( β + 1) ( α )( β ) ( α )( β ) 4 4 0) y = 497x² + 1988x 1987 S = - B A S = 1988 497 P = C A P = - 1987 497
5 B Xv = = A 1988 994 = Y V = 497()² + 1988. 1987 Y V = 995 I) Flso; o vlor máximo é 995 II) Verddeiro; pois o produto é positivo e isso só é possível qundo os sinis ds rízes são iguis. III) Flso. Um vez que o eixo de simetri d prábol pss pelo ponto, distânci do ponto té o ponto 107(105 uniddes) deve ser mesm do ponto té o ponto 10(1 uniddes) IV) Verddeiro; interseção com o eixo ds ordends é o vlor de c = 1987. 1) Considerndo: O = centro d circunferênci, R = medid do rio, M = ponto médio de AB e N = ponto médio de AD Temos: PD = 6 4 PD = 1 ( 6+ 4) AM = = 5 ( 1 + ) OM = = 5 Logo, R = 5 + 5 R = 5. OPÇÃO E ) Como o rco ACB é igul 90, medid do ângulo x ssinldo, vle metde do replemento do rco ACB. Ou sej: x = 60-90 = 15 ) Trce um linh do ponto B pr C. Triângulo ABC é um triângulo isóscele AC = BC, então CAB = CBA. BCE = α. No triângulo ABE se AEB é x então EBF é ângulo externo, então α = α + x = BCE AEB = α então α = α +α = α
6 4) Como o qudrilátero AO BC é inscritível, podemos firmr que medid do ângulo AO B = 10. O ângulo x que é inscrito, vle metde do rco AB do circulo menor (10/) = 65 5) Desde que AB // EM e E é o ponto médio de AD, segue-se que EM é bse médi do triângulo ABD. Assim, temos EM = AB 1 =. Aplicndo o Teorem de Pitágors no triângulo DEM, vem 1 DM = EM + DE DM = 1 + 5 DM =. Por conseguinte, ddo que DH é um rco de circunferênci com centro em M, encontrmos EH = HM EM = 1+ 5. 6) Considere figur. Sejm e x, respectivmente, os ldos dos qudrdos ABCD e EFGH. Sbendo que OC = OG = cm, vem = OC = = 4cm. 4 Além disso, temos que MO = = = cm triângulo retângulo GON, encontrmos x NG + ON = OG + (x + ) = ( ) 5x + 16x 16 = 0 7) O ângulo α = + b. x = 0,8. e MN = FG = NG. Portnto, plicndo o Teorem de Pitágors no Observe que os triângulos AOE e CDE são isósceles e o triângulo CDO é retângulo. Logo, + b = 90. Dí, + b = 45 = α
7 8) DBE = 180 BDE BED = 180 1/ (180 A) 1/ (180 C) = 180 90 + 1/ A 90 + 1/ C = 1/ ( A + C) = 1/ (180 ABC) = 1/ (180 90 ) = 45 9) OA = R, QA = r Áre de ΔBCD = r(r + R) = QA.QB = QE.QF = () (8) = 4 0) Observe que OE = OF = e AE = AF = 4. AC = 4 então AO =. se HO = x e FH =, em seguid, 4 = ( + x) + OH = x =