Revist Brsileir de Recursos Hídricos Versão On-line ou impress ISSN 38-033 RBRH vol. 0 n o. Porto Alegre jn./mr. 05 p. 9-05 Estudo numérico d propgção de onds em pris plns utilizndo os modelos Lgrngino sem mlhs e Eulerino Numericl study of the propgtion of wves on flt eches using Lgrngrin meshless nd Eulerin models Crlos Alerto Dutr Frg Filho, Fio Pvn Piccoli, Dnilo de Almeid Bros 3 e Julio Tomás Aquije Chcltn 4 Universidde do Federl do Espírito Snto, Centro Tecnológico Lortório de Simulção de Escomentos com Superfície Livre, 9075-90 Instituto Federl de Educção, Ciênci e Tecnologi do Espírito Snto IFES Vitóri ES cdff@gmil.com Universidde do Federl do Espírito Snto, Centro Tecnológico Lortório de Simulção de Escomentos com Superfície Livre, 9075-90 Grupo de Pesquiss Costeirs NS Amientl (NvierSt Meio Amiente Ltd) Vitóri ES nvierst@gmil.com; fio_p_p@hotmil.com 3, 4 Universidde do Federl do Espírito Snto, Centro Tecnológico Lortório de Simulção de Escomentos com Superfície Livre (LABESUL) 9075-90 Vitóri ES dnilofisico@yhoo.com.r; juliotc@gmil.com Receido: 7/0/4 - Revisdo: 8/04/4 - Aceito: 9//4 RESUMO O presente estudo present um comprção entre plicção de um modelo Lgrngino sem mlhs e de um modelo Eulerino, com emprego de mlhs, pr o estudo d propgção de onds em regiões costeirs. O modelo numérico eulerino se fundment ns equções não-lineres de onds do tipo Boussinesq e o modelo numérico Lgrngino sem mlhs empreg o método Smoothed Prticle Hydrodynmics. Os resultdos ds simulções numérics mostrrm concordânci dos modelos no comportmento d superfície livre. A mior discrepânci ocorreu n região de rreentção d ond, durnte quer, e no run-up. Plvrs Chve: Equções não-lineres de onds do tipo Boussinesq. Modelo Lgrngino sem mlhs. Smoothed Prticle Hydrodynmics, zon costeir. Zon de surfe ABSTRACT This study presents comprison etween the ppliction of Lgrngin meshless model nd n Eulerin model tht uses meshes to study the propgtion of wves in costl regions. The Eulerin numericl model is sed on Boussinesq-type nonliner wve equtions nd the Lgrngin meshless model employs the Smoothed Prticle Hydrodynmics (SPH) method. The results of numericl simultions showed n greement of oth models for free surfce ehvior. The lrgest discrepncy occurred in the surf zone, during the reking, nd in the run-up. Keywords: Boussinesq-type nonliner wve equtions. Lgrngin meshless method. Smoothed Prticle Hydrodynmics. Costl region. Surf zone
RBRH vol. 0 n o. Porto Alegre jn./mr. 05 p. 9-05 INTRODUÇÃO Historicmente, visão eulerin é mis utilizd n modelgem dos prolems físicos que envolvem fluidos e sólidos. Est modelgem requer o uso de métodos numéricos método ds diferençs finits (MDF), método dos volumes finitos (MVF) e método dos elementos finitos (MEF) que empregm grdes ou mlhs pr solução ds formulções diferenciis ou integris (LIU; LIU, 00). Os métodos numéricos sedos em um mlh dequdmente pré-definid convertem s equções governntes em um conjunto de equções lgérics. Gerlmente, s incógnits ds vriáveis de cmpo são vlids em pontos nodis. Porém, queles presentm limitções em plicções de prolems de geometri complexs e n modelgem de processos físicos, mos ssocidos à resolução d escl espcil. Em métodos lgrnginos com mlhs, como o MEF, gerção ds mesms mostr-se como um significtivo esforço computcionl. O remlhmento, necessário em prolems com grndes deformções, é um processo difícil, demordo e cro, lém d possiilidde de conduzir imprecisões nos resultdos. O uso d mlh pode levr váris dificulddes o trtr prolems de escomentos de fluidos que presentem superfície livre, interfces móveis, geometris complexs ou mudnçs topológics. Cso ests crcterístics existm, gerção d mlh e o remlhmento são necessários, trzendo consigo tods s dificulddes presentds nteriormente. Um ds miores dificulddes do uso de mlhs está em grntir-se consistênci d equção lgéric ser usd n solução do prolem físico. Recentemente, modelgem lgrngin sem uso de mlhs (meshless) tem-se mostrdo como um o opção pr solução de prolems de pequens e grndes escls espciis e pr o entendimento de processos físicos. No método lgrngino de prtículs, o domínio físico do prolem é dividido em pequens prcels de mtéri que intergem ums com s outrs. Nesse procedimento, o volume do domínio fluido é dividido em um conjunto discreto de volumes de msss definids (prtículs ou elementos lgrnginos). N dificuldde ds prcels mteriis enxergrem o volume dos vizinhos, mss d prtícul é compnhd por um ponto mteril que recee s coordends que definem su posição no espço. Dess form, s proprieddes físics de cd elemento lgrngino são mpeds no domínio fluido, pr cd instnte de tempo, pelo compnhmento d propriedde, devido o deslocmento de cd elemento lgrngino no interior do fluido. O modelo lgrngino de prtículs sem mlhs é um lterntiv usd ns pesquiss de métodos computcionis mis eficzes pr solução de prolems mis complexos, resultndo em soluções numérics estáveis e curds pr s equções integris ou equções diferenciis prciis. A vntgem do emprego d modelgem lgrngin de prtículs sem mlhs, em relção às modelgens que utilizm mlhs é simplicidde em trtr geometris complexs e processos físicos. Tmém, podem ser menciondos não necessidde d crição e tulizção de mlhs (remlhmento), não produção de oscilções numérics e o trtmento simples ds superfícies livres. A visulizção gráfic dos resultdos otidos pelo método lgrngino permite o melhor entendimento d evolução espço-temporl do escomento. PROCESSO DE QUEBRA DA ONDA O processo de quer d ond em regiões costeirs está principlmente relciondo à morfologi do fundo mrinho e às crcterístics d ond incidente (período, ltur, comprimento e ângulo de incidênci). A ond, que se propg prtir de águs profunds em direção à cost, é influencid pelo grdiente de profundidde, que direcion e ocsion um grdtivo umento de su ltur. Um vez propgndo-se em águs mis rss, su energi cinétic é reduzid, sendo lnced pelo umento d energi potencil, o que promove o umento de su ltur. Esse gnho em ltur tinge certo limite, té que ond se torne instável e crist dese sore cv, resultndo no processo de quer. Segundo Hoefel (998), podem ser delimitds três zons d ção d quer ds onds em um pri: zon de rreentção (reking zone), zon de surfe (surf zone) e zon de esprimento (swsh zone). A zon de rreentção é quel porção do perfil pril crcterizd pel ocorrênci do processo de quer, que represent o modo de dissipção energétic d ond. A zon de surfe compreende quel região em que ond se propg pós quer. No cso de pris de ix declividde, ond sofre um decimento exponencil de ltur, té tingir linh de pri. Em pris que predominntemente refletem energi de onds incidentes, ou sej, em pris muito íngremes, zon de surfe tende ser domind por movimentos de frequênci suhrmônics, de período igul o doro d ond incidente. N linh de cost, onde está loclizd fce d pri, o movimento d ond é pr frente, suindo pri (run-up), e pr trás, descendo quel (run-down), delimitndo zon de esprimento (swsh zone) (PEREGRINE, 998). A ção d quer ds onds e do run-up result em um movimento ltmente complexo, compreendendo movimentos médios, oritis e flutuções (turulênci) que têm, té gor, desfido s precisões ds medids e modelgem numéric de processos costeiros. A zon de trnsição d quer ds onds é muito importnte n previsão de correntes induzids pels mesms e trnsporte de sedimentos n zon de surfe (NWO- GU, 996). Neste trlho, form utilizds dus modelgens pr o estudo d propgção d ond n região costeir. Dois códigos numéricos ertos (SPHysics, implementdo com os fundmentos do método lgrngino de prtículs Smoothed Prticle Hydrodynmics, e FUNWAVE, sedo n modelgem eulerin de onds não-lineres do tipo Boussinesq) form empregdos ns simulções numérics. N modelgem eulerin, foi diciondo um termo de difusão de momentum às equções do tipo Boussinesq, com difusividde loclizd n fce frontl d ond que está querndo, conforme proposto por Kennedy et l. (000). N modelgem lgrngin, s equções de conservção d mss e do momentum form resolvids sem nenhum lterção, tendo 9
Frg Filho et l.: Estudo numérico d propgção de onds em pris plns utilizndo os modelos Lgrngino sem mlhs e Eulerino sido, no entnto, implementdo o método ds grndes escls (LES) pr modelgem d turulênci. O presente trlho present os resultdos otidos pel plicção de ms s modelgens à propgção d ond em um pri pln, com discussões o finl. MODELAGEM MATEMÁTICA A evolução dos cmpos de velociddes, do trnsporte de mss e d energi o longo do espço e tempo é relizd pels equções diferenciis que compnhm mtéri e que governm s leis físics de conservção d mss, de conservção do momentum, d conservção d energi e d conservção d sustânci. Método Lgrngino sem Mlhs: Smoothed Prticle Hydrodynmics O método Smoothed Prticle Hydrodynmics (SPH) foi desenvolvido no finl d décd de 70 do século XX pr modelgem de fenômenos strofísicos tridimensionis (GIN- GOLD; MONAGHAN, 977; LUCY, 977). Com o pssr do tempo, su plicção estendeu-se às áres d mecânic dos sólidos e dos fluidos em vst gm de plicções, devido à su hilidde de incorporr complexidde dos prolems físicos. Especilmente devido às complexs geometris envolvids, em prolems com superfícies livres e com interções fluido-estrutur, o método tem trído cd vez um mior número de pesquiss. Significtivs plicções do método SPH n áre dos recursos hídricos são presentds seguir. As primeirs simulções pr escomentos de fluidos compressíveis com superfícies livres form relizds por Monghn (994) pr o prolem de rompimento de rrgem. Neste trlho, o utor empregou s equções de conservção (mss, momentum e energi), num domínio discretizdo por prtículs, juntmente com um equção de estdo pr previsão d pressão e condições de contornos repulsivs (em um nlogi às forçs moleculres de Lennrd-Jones) pr oter resultdos numéricos concordntes com experimentis. Lo e Sho (00) simulrm onds mecânics solitáris próxims à cost, utilizndo um método SPH pr fluidos incompressíveis, juntmente com previsão d pressão relizd pel equção de Poisson e modelgem d turulênci pelo LES (Simulção ds Grndes Escls). O trtmento dos contornos utilizou prtículs-espelho fixs ns predes ssocids prtículs virtuis, em posições exteriores o domínio. A identificção ds prtículs n superfície livre foi relizd prtir de sus msss específics. N superfície livre, est propriedde present diminuição, pois não existem outrs prtículs sore s que estão formndo quel região do domínio. Pr identificção ds prtículs n superfície livre, em cd um ds iterções numérics, os utores empregrm um critério relciondo à flutução d mss específic. Cso um prtícul presentsse um flutução em su mss específic mior que % em relção às sofrids pels prtículs no interior do fluido, qundo comprdos os resultdos de dus iterções sucessivs, quel er identificd como pertencente à superfície livre e er-lhe triuíd condição de contorno de Dirichlet (pressão nul n superfície livre). O modelo empregdo pr quer, run-up e run-down ds onds solitáris foi vliddo medinte o concordânci presentd entre os resultdos numéricos, otidos, e os experimentis, tomdos como referênci. Clery e Prksh (004) mostrrm o potencil de plicção do método SPH em três dimensões. Form relizds simulções de um inundção cusd pel ruptur de um rrgem, d gerção de um ond de tsunmi por um tedor de onds e consequente inundção d linh de cost pel mesm, do escomento de lv de um vulcão e de um deslizmento de terr, prtir do pico de um montnh. Os utores pontrm pr s vntgens do método de prtículs sem mlhs e lgums possíveis plicções. Gomez-Gesteir e Dlrymple (004) empregrm um método SPH tridimensionl no estudo do impcto ds onds sore um estrutur. Os utores nlisrm propgção de um ond long e forç por el exercid sore um estrutur sólid verticl. A geometri estudd consistiu em um tnque com um estrutur sólid loclizd em seu interior, onde um rompimento de rrgem foi ojeto de experimentos de lortório e simulções numérics. Velociddes e forçs form otids numericmente e mostrrm o concordânci com medições em lortório, mostrndo que o método SPH pode ser utilizdo com êxito pr estudr prolems de onds tridimensionis, como s relcionds com colisão entre onds e estruturs. O emprego de códigos numéricos prlelos foi sugerido pelos utores como form de se oter um execução computcionl mis rápid. Sho e Gotoh (004) desenvolverm um modelo SPH -LES (SPH-Lrge eddy simultion) pr investigção d interção ds onds com um quer-mr flutunte do tipo curtin-wll, instldo com o ojetivo de reduzir ltur d ond incidente e proteger linh de cost. A modelgem mtemátic foi relizd trvés ds equções de Nvier-Stokes. Prtículs móveis form empregds pr simulr o quer-mr, que se movimentou prtir d ção ds onds, o mesmo tempo em que prtículs fixs form utilizds n simulção do leito, evitndo penetrção do fluido no contorno inferior. Os perfis de ond e s forçs hidrodinâmics otidos como resultdos mostrrm o concordânci com os reltdos n litertur. Iglesis, Rojs e Rodriguez (004) empregrm o SPH pr projetr tnques de estilizção pr nvios de pesc. Um tnque de estilizção é um ds forms de mortecimento do movimento de rolmento de um nvio sore onds que pode ser representdo por um sistem virtório mecânico equivlente. O líquido no interior do tnque sofre o fenômeno do sloshing e escolh de um método sem mlhs pr o estudo do prolem se deve à grnde deformção sofrid pel superfície livre. As equções de Nvier Stokes form empregds n modelgem do fluido. Um modelo de colisão inelástic foi implementdo pr os choques entre o fluido e s predes do tnque. Os resultdos ds simulções form vliddos com testes experimentis e mostrrm-se promissores, pesr de que, segundo os utores, um mis profund investigção científic necessite ser relizd, no que se refere às condições de contorno plicds, condição de incompressiilidde do fluido e o emprego d 93
RBRH vol. 0 n o. Porto Alegre jn./mr. 05 p. 9-05 viscosidde rtificil. Sho (006) estudou quer e overtopping d ond, pr um fluido incompressível, sore um prede inclind, medinte solução ds equções de mss e momentum. Form empregds equção de Poisson e modelgem d turulênci pelo modelo dus equções (k-epsilon), qul sej, k representndo energi cinétic turulent e epsilon tx de dissipção d energi cinétic turulent ( descrição complet do modelo pode ser encontrd no trlho de Mohmmdi e Pironneu, 994). O rstremento ds prtículs n superfície livre foi efetudo prtir d nálise d flutução ds msss específics. No que diz respeito os contornos sólidos, form fixds prtículs no leito e n prede inclind, que impedirm que s prtículs de fluido ultrpssssem s fronteirs. Um forç de repulsão entre s prtículs de contornos e de fluido - pr ção e reção, segundo proposto por Monghn (004) foi implementd. Os resultdos numéricos lcnçdos ns simulções form vliddos prtir de ddos numéricos e experimentis e um o concordânci foi encontrd. Bui, Sko e Fukgw (007) implementrm um modelo numérico pr interção entre o solo e águ. Est foi modeld como um fluido viscoso e compressível e o solo como um mteril elsto-plástico perfeito. Form relizds simulções de escvção do solo seco e sturdo por um jto de águ. Os resultdos demonstrrm que grnde deformção sofrid e s descontinuiddes do solo podem ser trtds pelo SPH sem dificulddes. O efeito d pressão d águ nos poros e forç de infiltrção podem tmém ser simuldos trvés do SPH. Os resultdos numéricos não form vliddos com ddos experimentis, porém os resultdos são encorjdores. As vntgens presentds que justificm o uso do método no estudo form roustez, simplicidde conceitul, fcilidde de incorporr novos conceitos físicos e, principlmente, o potencil pr lidr com grndes deformções e flhs. Ghzli e Kmsin (008) relizrm um modelgem de risco de inundção com simulção em tempo rel. O prolem d inundção é um dos principis sofridos pelos mlsinos, dí importânci e motivção do estudo relizdo. Os utores simulrm inundção ocorrid em Kul Lumpur (cpitl d Mlási), em Junho de 007, em 3 dimensões. Um ds limitções encontrds foi o consumo de memóri computcionl, o que os fez restringir um áre possível de ser simuld utilizndo doze mil (000) prtículs máximo número empregdo ns simulções. Conclui-se plicilidde do SPH o prolem d inundção sendo, porém, necessário o emprego de um hrdwre cpz de simulr miores áres. Violeu et l. (007) estudrm o derrmmento e o esplhmento do óleo e su contenção (com o ojetivo de proteger s áres costeirs d poluição por meio d utilizção de óis flutuntes). Um modelo numérico pr um fluido multifásico e turulento foi implementdo. Um dispositivo experimentl foi utilizdo pr otenção de ddos empregdos n vlidção do código computcionl. Dois tipos de escomentos turulentos form estuddos, quis sejm: estcionário em cnl erto e onds regulres em um clh. Pr mos os métodos, o risco de vzmento foi mensurdo. Os resultdos numéricos do escomento turulento em regime estcionário presentrm o concordânci com os experimentis; porém, um mior quntidde de testes deve ser efetud pr um estimtiv mis precis de prâmetros como velocidde crític e o efeito d profundidde d águ no vzmento do óleo. Aind devem ser investigdos o efeito d implementção de um modelo de fechmento d turulênci, como o k-epsilon, ção ds onds e correntes, em como ser relizd modelgem d tensão superficil. Pr o segundo tipo de escomento turulento, não foi possível vlidção dos resultdos. Vsco, Mciel e Minussi (0) presentrm o método (fundmentos, condições de contorno e testes de vlidção pr o rompimento de rrgem, gerção de onds e impcto hidrodinâmico) e concluírm que o SPH é promissor e digno de um melhor investigção, principlmente no que refere à solução de prolems não-lineres e/ou descontínuos, ou que presentem deformilidde excessiv do domínio. Os mesmos utores, em 03, empregrm o SPH pr simulção de onds solitáris, reproduzindo numericmente os perfis deste tipo de onds oservdos em experimentos. Os resultdos numéricos encontrdos superestimrm s energis e lturs ds onds gerds, necessitndo de correção ser efetud medinte o emprego de um função de comptiilizção. Nrynswmy et l. (00) implementrm o coplmento do método lgrngino SPH com o método eulerino de onds não-lineres do tipo Boussinesq foi efetudo por. Empregndo os códigos ertos SPHysics e FUNWAVE, os utores simulrm propgção de um ond solitári em um tnque de profundidde constnte. A ond foi gerd n primeir região do tnque pelo FUNWAVE e se propgou té tingir o centro dquele, onde se iniciou o emprego do SPHYSICS. Após reflexão n prede lterl, ond se deslocou em sentido inverso, retornndo à região de plicção d modelgem eulerin (FUNWAVE). Apesr dos ons resultdos encontrdos pr o coplmento, não form discutidos os resultdos encontrdos por cd um dos métodos individulmente pr propgção d ond n. Fundmentos Mtemáticos O SPH é fundmentdo n identidde mtemátic válid pr um função esclr f ( X ) definid e contínu, conforme equção (): ( ) = ( )( ) f X f X ' X X ' dx ', () f ( X ) é função esclr no ponto fixo, n posição; δ ( X X ') é função delt de Dirc. δ ( X X '), _ se _ X = X ', = 0, _ se _ X X ', Ao sustituir-se função delt de Dirc pel função de suvizção ou kernel, otém-se proximção pr função n posição X, resultndo n equção (3): () 94
Frg Filho et l.: Estudo numérico d propgção de onds em pris plns utilizndo os modelos Lgrngino sem mlhs e Eulerino ( ) = ( ) ( ) f X f X ' W X X ',h dx ', (3) W( X X ', h) é função de suvizção ou kernel, h é o rio de suporte; X= ( xy, ) é um ponto fixo, no sistem de coordends crtesins; dx ' = dx ' dy ' é um elemento infinitesiml de áre. A essênci do método SPH consiste em discretizr o domínio W em um número finito de prtículs e nests oter os vlores ds grndezs de interesse, prtir de interpolções ponderds dos vlores ds grndezs ns prtículs d vizinhnç. A Figur present disposição ds prtículs dentro do domínio de influênci. uscs (pens s prtículs dentro d região somred serão ojeto d procur). No método SPH, diferentes kernels podem ser usdos pr distriuição dos pesos usdos pr interpolção, os quis devem stisfzer s proprieddes de suvidde, positividde, simetri, convergênci, suporte compcto e normlizção dentro do domínio de influênci (LIU et l., 003; KELAGER, 006). As proprieddes de convergênci, suporte compcto e normlizção dentro do domínio de influênci Ω, são presentds ns equções (4) (6), escrits no sistem de coordends polres. - Normlizção: W( r r', h) =, (4) W - Suporte Compcto: Se r r' > kh, então, - Convergênci: W( r r', h) = 0, (5) Figur - () Representção gráfic do domínio de influênci. A prtícul de referênci tem como vizinhs tods s demis dentro do domínio de influênci (prtículs ). O kernel (w) grnte mior contriuição ds prtículs vizinhs mis próxims pr o vlor d grndez físic n prtícul de referênci Apens s prtículs vizinhs, quels que se encontrm dentro do domínio de influênci ( um distânci máxim definid d prtícul considerd, k h, onde k é um ftor de escl dependente do kernel empregdo), contriuirão pr o comportmento dest. A usc de prtículs vizinhs pode ser relizd de mneir diret ou com o uxílio de grids, que conduzem um menor número de operções mtemátics e reduzem o custo computcionl (GESTEIRA et l., 00; LIU; LIU, 003). A Figur mostr usc diret (todos os pres de prtículs do domínio terão s distâncis clculds e comprds com o vlor de k h ) e o emprego de um grid, que diminui o número de Figur - Busc ds prtículs vizinhs. () De form diret. () Com o emprego de um grid ( região em zul mostr s céluls do grid onde ocorrerá usc) lim W ( r r ',h) dr = δ ( r r'), (6) h 0 onde r é direção rdil. O kernel spline cúico, proposto por Gomez-Gesteir et l. (00), foi utilizdo neste trlho, conforme equção (7). Est função de suvizção present um comportmento mtemático desejável, em como sus derivds, pr representção ds proprieddes físics estudds. 5 W( r r',h)_ =. 7π h 3 3 Q 3 Q +,_ se _ 0 Q h h 4 h 3 Q -, _ se _ h Q h 4 h 0, _ nos_ demis_ csos. Q = r r' é distânci entre um ponto fixo e um vriável. Outros kernels podem ser empregdos no método SPH, tis como: quártico, proposto por Lucy (977); quíntico, presentdo por Gesteir et l. (00); spline quíntico, proposto por Morris, Fox e Zhu (997); novo quártico, presentdo por Liu e Liu (003), entre outros. A Figur 3 present o kernel empregdo por Lucy em seu trlho pioneiro (977) e su derivd, e o spline cúico (e derivd), deste trlho. Pr que s soluções encontrds sejm representtivs do domínio do prolem, o número de prtículs vizinhs dentro do domínio de influênci, deve ser de 5, e 57 em csos D, D e 3D, respectivmente, nos prolems estuddos (LIU; LIU, (7) 95
RBRH vol. 0 n o. Porto Alegre jn./mr. 05 p. 9-05 Figur 3 - Kernels e sus derivds de primeir ordem. () Empregdo no trlho pioneiro de Lucy (977) e () Spline cúico, deste trlho 003). Testes numéricos form relizdos pelos utores deste trlho e comprovrm que queles são os números mínimos de prtículs no citdo domínio que grntem que s proprieddes do kernel estão sendo respeitds, como normlizção, por exemplo. O método SPH fornece um proximção de ª ordem pr os vlores ds proprieddes físics num escomento de fluido ou num sólido. A equção (8) é um expressão gerl, comumente usd no método pr proximção, otid por interpolção, pr propriedde físic, n prtícul de referênci. j (8) A A = m W( r - r, h), ρ = onde o suscrito indic o vetor e o sorescrito refere-se à prtícul; A é grndez esclr que está sendo proximd e diz respeito à prtícul fix; A é o vlor d grndez em cd um ds prtículs, vizinhs d prtícul fix; j é o número de prtículs vizinhs d prtícul fix, dentro do domínio de influênci ; m é mss d prtícul vizinh ; r é direção rdil no sistem de coordends polres; r é posição d prtícul fix (coordends polres); r é posição d prtícul vizinh ; ρ é mss específic d prtícul vizinh ; Pr o divergente de um grndez físic vetoril, equção (9) pode ser empregd: j (9). A = m ( A A ). W( r - r, h ), A e ρ = A são s grndezs vetoriis referentes às prtículs fix e vizinh, respectivmente; ρ é mss específic d prtícul de referênci ; é o operdor nl. Pr o grdiente de um esclr (form simétric), tem-se form presentd pel equção (0): ρ A = j A A m + W r r = ( ρ ) ( ρ ) ( -,h), (0) Conforme demonstrdo por Petronetto et l. (00), expressão pr o lplcino de um grndez esclr pode ser otid prtir d expnsão d série de Tylor em torno d posição d prtícul de referênci. A expressão do lplcino é presentd n equção (): onde r j (,h) A m W r = ( A A ), ρ r r r r = é distânci entre s prtículs. () No método SPH, crido pr simulção de fluidos compressíveis, pressão é um função explícit d mss específic locl do fluido. Em csos dinâmicos, o fluido compressível é proximdo um fluido incompressível por meio de um fluido quse-compressível e pressão é clculd trvés de um equção de estdo. Neste trlho, foi empregd conhecid equção de Tit, sugerid por Btchelor (000), conforme equção (): P γ ρ = B, 0 ρ () P é pressão d prtícul ; 0 ρ é mss específic de repouso do fluido; γ = 7; B é o termo relciondo às flutuções de mss específic do fluido, possuindo um vlor específico pr cd prolem. A modelgem do escomento de fluidos e trnsporte de energi é efetud pels equções de conservção d mss, do momentum e d energi. A evolução do cmpo de msss específics, de velociddes e de energi o longo do tempo é definid pels equções (B.) (B.3) d Tel. N Tel, encontrm-se s equções de conservção e s respectivs proximções por SPH, escrits no sistem de coordends crtesins, pr um fluido viscoso e compressível. Gesteir et l. (00) presentm tod formulção SPH implementd no softwre SPHysics, empregdo neste trlho. As condições de contorno empregds no código nu- 96
Frg Filho et l.: Estudo numérico d propgção de onds em pris plns utilizndo os modelos Lgrngino sem mlhs e Eulerino Tel Equções de conservção e respectivs proximções SPH. Mss: Momentum: Equções diferenciis de conservção (contínuo) d.v dt dv P v g dt f i ext i Aproximções SPH (domínio discretizdo por prtículs) d dt k m v v. W( x x,h) (B.) k dv P P m W (,h) x x dt n m Wr (, h) (v v ) r r r (B.) g f ext Energi: de P.v v dt. q q k de v g é celerção d grvidde; é viscosidde cinemátic do fluido; P é pressão; fext são s forçs externs gindo sore prtícul fix; e é energi específic; v é o termo de dissipção de energi por unidde de volume; q é o fluxo de clor por condução; H qh é o clor gerdo por outrs fontes por unidde de volume. O termo.q é modeldo pel lei de Fourier. dt P m W x q q (B.3) v. ( x,h) v. H mérico erto suprmenciondo são repulsivs ou dinâmics. As condições de contorno repulsivs, desenvolvids por Monghn (994), seim-se n dinâmic moleculr e dissiptiv ds prtículs. O impedimento de penetrção ds prtículs móveis se deve um forç de repulsão plicd sore ests pels prtículs de contorno, clculds de form nálog às forçs moleculres de Lennrd-Jones. A utilizção de um linh estátic de prtículs virtuis (do tipo I) loclizds sore o contorno sólido produzindo repulsão, é de form gerl mneir plicd em SPH pr implementr s condições de contorno; hvendo, porém, situções, em que s prtículs em linh podem ter movimentos, pr simulrem tedores de ond, por exemplo. Prtículs virtuis (do tipo II) podem tmém ser locds for do contorno, conforme mostr Figur 4 (LIU; LIU, 003). Um segund mneir de trtmento dos contornos ocorre com utilizção ds condições dinâmics, onde s prtículs nos contornos, que podem ser fixs ou móveis (simulndo Figur 4 - Ilustrção esquemátic d região do contorno sólido. Disposição ds prtículs virtuis em linh (tipo I). Além do contorno, estão s prtículs virtuis do tipo II. Adptd de Liu e Liu (003) movimentos de tedores de onds, comports e outros), stisfzem às mesms equções de conservção (mss, momentum e energi) plicds às prtículs de fluido. Qundo ests se proximm dos contornos, mss específic e pressão ds prtículs posicionds nos contornos umentm. Isto result 97
RBRH vol. 0 n o. Porto Alegre jn./mr. 05 p. 9-05 em um umento d mgnitude d forç de repulsão exercid sore o fluido, resultndo n su mnutenção no interior do domínio estuddo (GOMEZ-GESTEIRA et l., 0). No cso de escomentos de fluidos com superfícies livres, o método SPH present lgums técnics pr o trtmento ds mesms sem necessidde de remlhmento cd iterção d simulção numéric - o que dificult o emprego dos métodos trdicionis de mlhs pr este tipo de prolem. Est é um de sus clrs vntgens. Forçs plicds à superfície livre do fluido normlmente não são trtds pels leis de conservção, pois são considerds condições de contorno. N superfície livre, s forçs estão deslnceds devido à ção ds forçs de tensão superficil. A forç resultnte em cd um ds prtículs ge n direção norml à superfície livre do fluido, pontndo pr o centro, tendendo minimizr curvtur e áre dquel, conforme mostr Figur 5. Pr definição d superfície livre, é empregdo um cmpo de grndez dicionl conhecido como color field (ou cmpo de cor) que permite o cálculo d forç que tu sore cd prtícul pertencente àquel (KELAGER, 006; MULLER; CHARIPAR; GROSS, 003). mis ordendo ds prtículs. É computd velocidde médi ds prtículs vizinhs pr o cálculo d velocidde d prtícul de referênci, conforme mostr equção (3): v ε = v + j m ρ + ρ = ( v v ) W ( x x, h), (3) v é velocidde d prtícul no sistem de coordends crtesins; x é posição d prtícul no sistem de coordends crtesins; = (, ) ; ε é um prâmetro que vri entre 0 e,0, sendo comumente usdo como 0,5 (GOMEZ-GESTEIRA et l., 00; VASCO; MACIEL; MINUSSI, 0). Pr evitr instiliddes numérics devido oscilções no cmpo de velociddes, empregou- viscosidde rtificil, conforme presentd pel equção (4): σµ c,_ ( v v ).( x x ) < 0, π = ρ + ρ 0, ( v v ).( x x ) 0, ( ) ( x x ) h v v. µ = x x + 0, 0h, (4) (5) Figur 5 - A tução ds forçs de tensão superficil (sets pontndo pr o interior do fluido) sore s prtículs d superfície livre (tom zul mis clro). Extríd de Kelger (006) Simulções numérics O modelo numérico lgrngino SPHysics foi empregdo pr simulção de um tedor de onds. Trt-se de um código computcionl erto, desenvolvido n lingugem FORTRAN, sedo no método Smoothed Prticle Hydrodynmics (SPH), pr o estudo de escomentos com superfícies livres, n form de um colorção de pesquisdores d Johns Hopkins University (Estdos Unidos), Universidde de Vigo (Espnh) e Universidde de Mnchester (Reino Unido). Atrvés de métodos de integrção numéric foi efetud tulizção ds proprieddes ds prtículs no tempo (posição, velocidde, energi e outrs). Dentro os métodos possíveis de ser empregdos n integrção temporl estão Runge-Kutt de ª ordem (Euler), Lep-Frog e lgoritmos mis elordos como o preditor-corretor, Verlet, sympletic ou Beemn, conforme presentdos por Gomez-Gesteir et l. (00). Nest pesquis, o sympletic foi o empregdo. A fim de evitr interpenetrção ds prtículs e melhorr estilidde numéric, um correção pr velocidde de cd prtícul foi relizd, usndo o método conhecido como XSPH (PAIVA et l., 009). Este método mntém um movimento π é viscosidde rtificil; c é velocidde do som; σ é um prâmetro de superfície livre que vri de cordo com o prolem estuddo (GOMEZ-GESTEIRA et l., 00). Após dição do termo referente à viscosidde rtificil à equção do momentum, otém-se equção (6), empregd pr otenção d celerção d prtícul: dv dt onde t é o tempo. j dv = mπ W( x x, h), (6) dt = Ns simulções numérics relizds, o rio de suporte h mnteve-se constnte. Contudo, pr simulr choques ou impctos, onde há vrição súit d mss específic loclmente, é preciso vrir h, de tl form que o número de prtículs vizinhs se mntenh próximo de um vlor constnte, isto ocorre, por exemplo, n simulção de rompimento de rrgem (LIU; LIU, 003; VASCO, MACIEL & MINUSSI, 0). A estilidde ds simulções do método depende d escolh dequd do psso de tempo. O critério de estilidde numéric CFL (condição de Cournt-Friedrich-Lewy) foi plicdo pr grnti d convergênci dos resultdos (COURANT; FRIEDRICHS; LEWY, 967). 98
Frg Filho et l.: Estudo numérico d propgção de onds em pris plns utilizndo os modelos Lgrngino sem mlhs e Eulerino Figur 6 - Fluxogrm do lgoritmo computcionl (SPH) O trtmento d turulênci foi efetudo pel plicção do método d simulção ds grndes escls de turulênci - Lrge Eddy Simultion, ou LES. Pr s pequens escls, utilizou-se um modelo de turulênci SGS, Su-Grid Scle (GOMEZ-GES- TEIRA et l., 00). A Figur 6 mostr o fluxogrm do lgoritmo computcionl do método Lgrngino SPH, desenvolvido n lingugem Fortrn. A seguir será presentd um reve explicção do citdo fluxogrm. As posições iniciis, velociddes, msss específics, temperturs, rio de suporte e demis proprieddes físics ds prtículs do fluido são definids pr o início d simulção. As condições de contorno são definids (repulsivs ou dinâmics). As prtículs dos contornos têm sus proprieddes definids. A usc de prtículs vizinhs de um determind prtícul de referênci pode vrir com o tempo e deve ser efetud cd iterção numéric. Antes de clculr proximção pr s forçs interns gindo ns prtículs do fluido, torn-se necessário tulizr o cmpo de pressões nquels prtículs, medinte o emprego de um equção de estdo. Neste trlho, plicou-se equção (), equção de Tit. O kernel empregdo ns interpolções ds proprieddes ds prtículs deve ser definido. O cálculo d mss específic de cd prtícul é relizdo prtir d solução d equção (B.), presentd no Anexo B, conservção d mss. São numericmente otids proximções pr s forçs interns, dois primeiros termos do ldo direito d equção (B.), forçs de pressão e viscoss, respectivmente. As forçs externs devem ser plicds às prtículs de fluido. Nest ctegori se enqudrm forç grvitcionl, 3º termo do ldo direito d equção (B.), s forçs repulsivs exercids pels prtículs dos contornos sore s de fluido, em como s forçs de superfície livre. O último termo do ldo direito d equção (B.) englo esss últims dus forçs presentds. Em seguid, equção d conservção d energi é soluciond. Possuindo resultdos proximdos pr mos os tipos de forçs (interns e externs), celerção de cd ums ds prtículs de fluido é otid prtir d solução d equção do momentum. A integrção temporl, próximo psso d simulção computcionl, prevê s proprieddes ds prtículs pr o instnte de tempo posterior. O critério de estilidde de Cournt-Friedrichs-Lewy (CFL) é plicdo n definição do psso de tempo que grnt convergênci dos resultdos (COURANT; FRIEDRICHS; LEWY, 967). Arquivos de síd são otidos o finl de cd iterção, prtir dos quis serão gerds s representções gráfics pr s proprieddes físics do fluido. Verific-se, por último, se precisão desejd foi lcnçd ou se o tempo será incrementdo pr próxim iterção. Método eulerino: Modelo de onds do tipo Boussinesq totlmente não-liner O modelo numérico eulerino FUNWAVED é um softwre não comercil, produzido pelo Center for Applied Costl Reserch (CACR), n lingugem Fortrn, é cpz de simulr onds de superfície em regiões costeirs incluindo zons de surfe extern e intern. O princípio fundmentl do modelo é sedo ns equções do tipo Boussinesq pr segund ordem de dispersão. Após integrção n verticl ds equções de conservção d mss e do momentum em dus dimensões no plno horizontl, são otids s equções (7) e (8) (WEI et l.,995). Conservção d mss: η + ( d + η ) u + t ( d + η) z ( d dη + ( η) ) ( u) + 6 ( d + η) z + ( d η) ( ( du) ) = 0, (7) 99
RBRH vol. 0 n o. Porto Alegre jn./mr. 05 p. 9-05 Conservção do momentum: u + ( u ) u + g η + t u u z z d t + t + ( z η )( u )( u ) + + + ( d ) + η u u ( z η )( u ) ( ( du )) + u u = 0, η η + d t t (8) A profundidde de referênci z pr o cálculo ds velociddes u é dd pel equção (9): z 0, 53 d, (9) η é elevção d superfície; d é profundidde referente o nível d águ em repouso; t é o tempo. Segundo Wei et l. (995) escolh do esquem numérico pr s Equções (7) e (8) é determind por dois ftores principis. Primeiro, é que em qulquer sistem de equção de Boussinesq, diferenç finit de segund ordem de precisão pr os termos com s derivds de primeir ordem deixm ordem dos termos do erro de truncmento mtemticmente n mesm form dos termos dispersivos que precem no modelo. Dess form, s diferençs finits dos termos dispersivos são somente pr segund ordem de precisão, levndo erros de ( x ) O reltivo os tuis termos dispersivos. Finlizndo, o sistem de equções é escrito em um form mis conveniente pr plicção de um procedimento de psso de tempo de mis lt ordem, que é o esquem previsor-corretor de Adms-Bshforth-Moulton pr qurt ordem (esquem ABM) usdo por Wei et l. (995). O segundo ftor é o trtmento não implícito dos termos dispersivos n equção do momentum. Dess form, s equções (7) e (8) podem ser reescrits n form unidimensionl como ns equções (0) e (): η = E t ( η u ),, u U u = F u t t ( ) η,,, onde U é definido como n equção (): U = u + d + ( du ) u, (0) () () que é trtdo como um simples vriável no esquem ABM. As quntiddes E e F são definids pels equções (3) e (4) ( d + η ) u + 3 u E= + d ( du ) + d (3) As constntes,, e são definids pels equções (5), (5), (5c) e (5d): β = (5) 6 = β + (5) β = (5c) = β (5d) onde β foi definido no trlho de Nwogu (993) como β = z d = 0,53. u d η+ η( d η ) 6 d Um vez que o ldo direito ds equções (0) e () é clculdo nos pssos de tempo n, n e n, é possível estimr s quntiddes de η e U no próximo psso de tempo n + plicndo o esquem explícito de Adms-Bshforth com 3ª ordem no estágio previsor conforme indicdo pels equções (6) e (7): η ( du ) η η( d+ η) ( z η ) ( z η ) ( du ) η u F = g u u t = η + 3E 6E + 5 E, n n n n n i i i i i n+ n t n n n Ui = Ui + 3Fi 6Fi + 5 Fi, (6) (7) onde t é o psso de tempo, o suscrito i indic o ponto de cálculo d grde eulerin e o sorescrito n indic o número do psso de tempo d integrção. ( du ), u + η + ( du ) u η + η t t u u, (4) 00
Frg Filho et l.: Estudo numérico d propgção de onds em pris plns utilizndo os modelos Lgrngino sem mlhs e Eulerino No modelo, s velociddes são clculds n fce d célul eulerin e os vlores esclres são clculdos no centro d célul. n η + i Os vlores de são simples de serem otidos. Já vlição ds velociddes horizontis no novo nível de tempo n u + i, entretnto, requer simultnemente solução de um sistem de mtrizes tridigonis. Após o cálculo dos vlores previstos n de η + n i e u + i, é possível determinr s quntiddes do ldo direito ds Equções (7) e (8) no psso previsor ficndo n com E + n i e F + i. Em seguid, plic-se o método implícito corretor Adms-Moulton de qurt ordem, como indicdo pels equções (8) e (9): η t = η + 9E + 9E 5 E + E, 4 n n n n n n i i i i i i n n t n n n n U + i = Ui + 9F + i + 9Fi 5 F i + F i, 4 (8) (9) No método previsor-corretor, discretizção espcil pr s derivds de primeir ordem utilizou o método de diferençs centrds de cinco pontos com qurt ordem de precisão e pr s derivds de segund ordem usou-se o método de diferençs centrds de segund ordem de precisão com três pontos. Pr s derivds de primeir ordem de f, que pode ssumir s quntiddes η, u ou hu, é propost equção (30): f pr 3 i m. i = ( fi 8fi + 8 fi+ fi+ ), x (30) As diferencições de primeir ordem nos pontos i =, i =, i = m e i = m são, respectivmente, definids pels equções (3), (3), (3c) e (3d): f f i= i= = + + x i= m ( 5 f 48 f 36 f 6 f 3 f ) 3 4 5 = + + x ( 3 f 0 f 8 f 6 f f ) 3 4 5 f = + + x f i= m (3) (3) ( 3 f 0 f 8 f 6 f f ) (3c) m m m m 3 m 4 = + + x i ( 5 f 48 f 36 f 6 f 3 f ) (3d) m m m m 3 m 4 Pr s derivds de segund ordem dos termos f = u ou f = hu, tem-se equção (3): (3) f = ( fi fi + fi+ ), x pr i m. A diferencição de segund ordem nos pontos i = e i = m são, respectivmente, definidos n seguinte form d equção (33) e (33): f f = ( f 5f + 4 f3 f4), x i= = ( fm 5fm + 4 fm fm 3). x i= m (33) (33) Figur 7 - Fluxogrm do softwre FUNWAVED 0
RBRH vol. 0 n o. Porto Alegre jn./mr. 05 p. 9-05 Um descrição detlhd do modelo const no Mnul do FUNWAVED.0 (KIRBY et l., 005 ou ). A figur 7 present esquemticmente o fluxogrm do lgoritmo computcionl e, seguir, um reve explicção. O psso inicil pr se relizrem os cálculos dos componentes d ond no domínio físico no referencil eulerino consiste em informr s condições iniciis d simulção, que consistem ns dimensões do domínio, crcterístics ds onds (mplitude e período), elevção do nível do leito e nível de referênci d águ. No instnte inicil, águ é considerd em repouso, s velociddes e elevção são nuls. Após ser inicido o sistem, é clculdo o comprimento de ond prtir do método de Newton-Rphson. Com s definições iniciis d ond clculds, s informções pr o gerdor de onds são triuíds o lgoritmo. Os coeficientes do gerdor de onds são clculdos e incorpordos ns equções de conservção d mss e do momentum. Um tempo de mortecimento de no mínimo T s (onde T s é o período d ond) é utilizdo pr permitir um gerção de onds mis suve e, ssim, evitr instiliddes numérics. Assim como pr o gerdor de onds, os prâmetros de quer são clculdos prtir ds crcterístics d ond e dos coeficientes de quer. Em seguid, o processo de cálculo computcionl é inicido trvés d integrção temporl ds equções de conservção. Após o início d integrção temporl, s forçs d gerção d ond, s forçs devido à dissipção de energi d ond (fricção com o fundo e quer) e os prâmetros d cmd de sorção são incorpordos n equção do momentum e d conservção d mss. Se necessário, o filtro numérico é plicdo em um determindo intervlo de cálculo pr suvizr os ruídos gerdos pelos cálculos numéricos. Dess form, integrção no tempo é inicid com o psso de tempo ( t ) clculdo em função do prâmetro de estilidde numéric de Cournt-Friedrichs-Lewy, definido como t < 0,5 x gd, onde x é o espçmento d grde no referencil eulerino. Os prâmetros d ond são clculdos no psso previsor, método de Adms-Bshforth, e reclculdos dentro de um erro soluto de iterção de, proximdmente, 0-5 no psso corretor (método de Adms-Moulton). Assim, os vlores ds componentes d velocidde e elevção d superfície são tulizdos pr o próximo psso de tempo, finlizndo o ciclo de cálculo do modelo de onds. ESTUDO DE CASO Ojetivndo comprr os resultdos otidos com o emprego do método lgrngino de prtículs SPH com o método eulerino é presentdo o estudo d gerção e propgção de onds em um pri pln. Foi simuldo um domínio de pri com,75m de extensão n região inclind, ângulo de inclinção de 4,364, mplitude e período d ond de 0,0 m e,4s, respectivmente, e nível d águ de 0,8m. Pr gerção de onds foi empregdo um tedor de onds. N simulção eulerin, foi utilizdo um domínio com mlh com dimensões de 56 pontos n direção horizontl e pontos n direção verticl. O espçmento entre os pontos n horizontl foi de 0,05m totlizndo um distânci horizontl de 7,75m. N verticl, os espçmentos vrirm com profundidde totl, qul é dd por H = d + η, definindo um mlh do tipo sigm. Como o método de gerção de ond empreg um função fonte-gerdor, o modelo necessit de um região de profundidde constnte e fstdo de ostáculos. Devido isso, fonte gerdor foi locd no ponto 4 d mlh, n coordend horizontl -,00m. Pr fins gráficos, o zero horizontl do domínio eulerino corresponde o zero do domínio lgrngino. A dimensão do domínio eulerino vriv de -4,00m 3,75m. O período de simulção eulerin foi de 30,00s, com um incremento de tempo de 0,00s durnte simulção. N simulção lgrngin form empregds 4 prtículs com um espçmento de 0,0m entre els. A dimensão do domínio lgrngino vriou de 0 3,75m. O rio de suporte (h) foi definido como 0,03m (,30 vezes o espçmento inicil entre s prtículs). Qutrocentos e dezoito (48) prtículs virtuis definirm o contorno, sendo 387 fixs no leito e 3 móveis (simulndo o movimento do tedor do tipo flp, loclizdo n posição 0,3m do domínio). Foi empregdo o kernel spline cúico. O período de simulção foi de 30,00s e o psso de tempo foi de 4,5.0-5 s, com número de Cournt-Friedrichs-Lewy no vlor de 0,0. Em ms s simulções, integrção utilizou o método preditor-corretor e mplitude d ond gerd foi de 0,0m. RESULTADOS E DISCUSSÃO A elevção d ond foi otid pr diferentes tempos de simulção. A Figur 8 present os resultdos otidos, utilizndo os dois modelos numéricos nteriormente descritos, nos tempos 8,0, 8,7 e 9,4s. As simulções dos modelos lgrngino e eulerino mostrrm de form dequd e comptível o comportmento d ond propgndo-se em um pri pln. Houve um excelente concordânci entre os resultdos dos dois modelos ns regiões d pri com leito sem inclinção. No modelo eulerino, quer d ond é trtd por um formulção de viscosidde turulent rtificil, que pode promover um descrição mis relístic do início e do finl d quer em termos quntittivos (em termos d energi dissipd), ver Chen et l. (000), Chen et l. (003) e Kennedy et l. (000). Porém, o formto d quer d ond não present um descrição qulittivmente em definid. O modelo lgrngino, que empregou modelgem ds grndes escls (LES) pr o trtmento d turulênci, present vntgem de representr o colpso d ond em águs rss de form em representtiv visulmente, onde o formto d ond em su quer é visível ns simulções trvés do movimento ds prtículs de águ. A figur 9 mostr o resultdo no instnte 8,00 s pr os dois modelos empregdos. Oserv-se que mos estão em concordânci n região for d zon de rreentção e presentm cert discrepânci no tlude próximo d cost. 0
Frg Filho et l.: Estudo numérico d propgção de onds em pris plns utilizndo os modelos Lgrngino sem mlhs e Eulerino 8,0s 8,7s 9,4s Figur 8 - Resultdos ds simulções de onds em pri pln. À esquerd, os resultdos do modelo SPHysics e, à direit, os resultdos do modelo FUNWAVED Figur 9 - Comprção gráfic dos resultdos numéricos encontrdos pelos modelos SPHysics e FUNWAVED no tempo 8,00s CONCLUSÕES Os resultdos numéricos encontrdos por mos os modelos mostrrm concordânci no que se refere o comportmento d elevção d superfície livre o longo de todo o domínio de pri. A diferenç entre os resultdos se restringe à zon de rreentção, onde o modelo eulerino us um proximção pr considerr quer d ond, o psso que o modelo lgrngino trt tmém este fenômeno segundo s equções de conservção e trnsporte de energi, com o emprego d modelgem LES pr turulênci. Apesr dos resultdos encontrdos pelo modelo lgrngino serem os mis coerentes com físic do prolem em todo o domínio estuddo, estes devem ser confrontdos com ddos medidos ou provenientes de soluções nlítics pr melhor vlição d solução numéric otid. REFERÊNCIAS BATCHELOR, G. K. An Introduction to Fluid Dynmics. 3rd ed. Cmridge: Cmridge University Press, 000. BUI, H. H.; SAKO, K.; FUKAGAWA, R. Numericl simultion of soil-wter interction using smoothed prticle hydrodynmics (SPH) method. Journl Terrmechnics, v. 44, n. 5, p. 339-346, Nov. 007. CHEN, Q.; KIRBY, J. T.; DALRYMPLE, R. A.; KENNEDY, A. B.; CHAWLA, A. Boussinesq Modeling of Wve Trnsformtion, Breking, nd Runup. II: D. Journl of Wterwy, Port, Costl, nd Ocen Engineering, v. 6, n., Jn. 000. CHEN, Q.; KIRBY, J. T.; DALRYMPLE, R. A.; WEI, F.; 03
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