Vectores Complexos Todos sem que se podem representr vectores reis do espço ordinário (tridimensionl) por sets Porém, qul será representção geométric de um vector complexo? Mis do que um questão retóric trt-se de um questão centrl em electromgnetismo: polrizção de um vector complexo é um prolem prático d mior importânci Prof Crlos R Piv
Vectores Complexos Um vector rel, hrmónico no tempo, é um vector A t função do tempo t, que stisfz seguinte equção diferencil d A dt 0 A A solução gerl dest equção pode ser escrit n form t t t vector rel A cos sin em que são vectores reis e constntes Note-se que se pode definir o período T, deste movimento hrmónio como sendo ( f T é frequênci, com f ) período T f já que Ao vector rel e vriável no tempo constnte se se fizer com t T t A A A t corresponde um único vector complexo i t t e A em que A e T 0 4 vector complexo i A Introduzindo, então, os vectores c c infere-se que t sin t t cos t c A c A
Crlos R Piv donde se tir que 4 elipse c A t c A t Est é equção de um elipse que se encontr sore o plno correspondente o ivector Conclusão: Enqunto que o vector rel A t se represent por um set, o vector complexo deve representr-se, no cso gerl, por um elipse orientd (ie, onde se definiu um sentido de percurso) O sentido de rotção, sore elipse, corresponde à orientção do ivector Comentário: A elipse do vector complexo corresponde à polrizção do vector rel A t que evolui, o longo do tempo, no plno do ivector Em termos d álger geométric (de Clifford) podemos dizer que t C (sendo, est últim, complexificção d álger A C enqunto que C ) Ovimente que existem, sicmente, dois tipos de polrizção: (i) PL (polrizção liner), que corresponde ter-se 0; (ii) PE (polrizção elíptic), que corresponde ter-se 0 Note-se que PL corresponde um ds seguintes situções: (i) ; (ii) 0 ou 0 O cso especil d PC (polrizção circulr) corresponde um cso prticulr d PE Com efeito, n PC deve ser constnte A t, ie, d dt t 0 A Ms então, como se tem t cos t sin t A, infere-se que d dt t 0 sin t cos t A
Vectores Complexos Logo, fzendo t 0, otém-se 0 Por outro ldo, como 0, infere-se que, ou sej, 0 Polrizção Condição PL 0 PE 0 0, PC Exemplos: Os vectores complexos PCD Rˆ e ie R t e cos t e sin t PCE Lˆ e ie Lt e cos t e sin t correspondem, respectivmente, um PCD (polrizção circulr direit) e um PCE (polrizção coirculr esquerd) pr propgção o longo de e e e Fez-se, como é óvio, ˆ it, ˆ it t e t e R R L L Note-se que ˆ ˆ ˆ ˆ RR LL e ˆ ˆ ˆ RL R L ˆ 0 ms que R ˆ R ˆ L ˆ L ˆ 0 e RL ˆ ˆ Os vectores complexos ˆR e ˆL são unitários no sentido em que ˆ ˆ ˆ R R R e ˆ ˆ ˆ L LL Sej, e e um se ortonormd do espço liner correspondente o plno d elipse Então t xt yt A e e tendo-se
4 Crlos R Piv onde se considerou que Logo, vem cos sin cos sin x t x t x t y t y t y t x e y e xe ye c e e c e e com x x y y x x y y Assim, otém-se onde se introduziu t xt y t t xt y t c A c A x y x y A equção d elipse pode gor escrever-se n form onde Qx, y é form qudrátic Qx, y, Q x y x y x y Fçmos, pr conveniênci de cálculo, de modo que A B C A C x Qx, y Ax C x y B y x y C B y
Vectores Complexos 5 Um form de simplificr equção d elipse seri escrevê-l nos seus eixos principis Isso corresponderi digonlizr mtriz M tl que A C M C B Porém, não é isso que se irá fzer qui Comecemos por definir um novo vector complexo tl que i e cos sin i i i cos sin sin cos Note-se, pr já, que o vector rel correspondente será i t t e B t cos t sin t B Porém, elipse correspondente o vector complexo é mesm que do vector complexo Com efeito, Portnto, como it i it t e e e cos t sin t B Bt A t, pens fse n origem do tempo sofre um lterção: nem form d elipse nem o seu sentido de rotção são lterdos Podemos, gor, determinr o ângulo pr o qul se tem, ie, em que 0, de form que e correspondm os eixos principis d elipse otendo-se, ssim, su representção xil Ms Logo cos sin
6 Crlos R Piv 0 tn No cso prticulr em que, é pens ou sej 4, vindo então Se contecer que 0, é 0 (ie, e ) Assim, no cso gerl, fixdos os vectores reis x e y e x e y e x y x y e e st clculr o ângulo tl que Os vectores procurdos serão então tn x x y y x y x y x e y e x e y e x y x y e e com x x cos x sin y y cos y sin x x sin x cos y y sin y cos x y x y x y x y de modo que se tem ivector d elipse Ns dus figurs nexs representm-se, respectivmente, s dus elipses correspondentes os vectores complexos i e i pr os seguintes vlores: x x, y y ; x x, y y
Vectores Complexos 7 Atendendo que i i e, e vem, tendo-se ind
8 Crlos R Piv Porém, notndo que i i infere-se que Ms então, como, vem, Ns dus figurs nexs present-se um interpretção geométric dests relções sin sin
Vectores Complexos 9 Anlogmente, vem i Ms como, por outro ldo, se tem tir-se que e i No cso d PC é e, portnto, emor se tenh PC 0 PC 0 Polrizção Condição PL 0 PE 0 PC 0 É possível definir polrizção de um vector complexo trvés de um vector rel p ortogonl o plno do ivector e tl que polrizção p p p i O vector complexo conjugdo i corresponde à mesm elipse de i ms com sentido de rotção contrário dí que p p 0 ; (ii) n PC é p Fzendo, por definição, p p p 0 p Note-se que: (i) n PL é
0 Crlos R Piv Polrizção Condição PL p e 0 PE p e, PC p e Note-se que, sendo qulquer ângulo do qudrilátero cujs digonis são os dois eixos principis d elipse, vem sucessivmente tn p p p p tn p p sin tn A áre d elipse é dd por, com p p N figur nex mostr-se relção entre elipse (orientd) do vector (complexo) e o seu correspondente vector (rel) de polrizção p p
Vectores Complexos Exemplos: Consideremos, novmente, os dois exemplos já nteriormente considerdos PCD PCE Rˆ e ie Lˆ e ie Nestes dois csos, vem então (como R ˆ R ˆ L ˆ L ˆ ) e e e ˆ ˆ R R ie p Rˆ e ˆ ˆ LL ie p Lˆ e Define-se, por fim, elipticidde e d elipse (ie, o quociente entre o eixo menor e o eixo mior) tl que (com 0e ) p e sin e e p cos e tn sin 4 N figur nex represent-se elipticidde e em função de p p
Crlos R Piv Os vectores reis e ortogonis seguinte form lterntiv: e tmém se podem oter trvés d Com efeito, tl como se viu nteriormente, é pelo que e i i i e cos tn sin e e z z e i i i z e z provndo-se, deste modo, que de cordo com expressão presentd tmém e correspondem à mesm elipse orientd Por outro ldo, como se tem i 0 isto signific que, efectivmente, vem i i i i 0 tl como deveri contecer pr os eixos principis d elipse, ie,
Vectores Complexos Not: Um outr form de clculr o ângulo, é seguinte: tn cos tn Comentário importnte: Este processo de clculr o vector complexo i prtir do vector complexo i grnte dus coiss: (i) que 0; (ii) que 0, ie, que se tem Deste modo podemos firmr que semi-eixo mior d elipse semi-eixo menor d elipse Nem todos os vectores complexos correspondem, fisicmente, vectores reis hrmónicos no tempo É o cso, eg, do vector de ond Pr um ond não uniforme propgr-se no r, deve ter-se em que Assim, vem, 0 0 i i i i 0 c 0 0 o que signific que os vectores e são ortogonis (os plnos de fse constnte são ortogonis os plnos de mplitude constnte) e, ind, que Podemos, portnto, escrever n form prmétric
4 Crlos R Piv Pr um ond pln e monocromátic otém-se Logo, fzendo ˆ coshi ˆ sinh 0 0 i t i E r, t E r e, E r E e i i exp r exp r exp r ˆ ˆ 0 cosh r rcos sinh ˆ ˆ r rsin 0 r vem então i r i i r r exp exp exp exp cos exp sin cos cosh cos i ir r 0 exp exp exp sin sinh sin 0 r A equção é equção de um hipérole tl como se indic n figur nex A 0 direcção longitudinl de propgção é, portnto, o eixo com um constnte de propgção longitudinl cosh 0 ; o eixo, ortogonl, é direcção de tenução trnsversl sinh 0 Ao longo d direcção ˆr de oservção, constnte de propgção é e
Vectores Complexos 5 constnte de tenução é Os plnos de fse constnte, que são prlelos o ivector ˆ F ˆ e, são F e, e os plnos de mplitude constnte, que são prlelos o ivector mutumente ortogonis (ver figur nex) Note-se que direcção d velocidde de fse é ˆ, tendo-se ˆ ˆ c v ˆ p 0cosh cosh plno 0 r r r ˆ r sin ˆ ˆ r cos Apesr de o vector complexo não corresponder qulquer grndez rel hrmónic no tempo podemos representr este vector por um elipse O semi-eixo mior dest elipse é cosh ( constnte de propgção longitudinl) e o semi-eixo menor é sinh 0 0 ( constnte de tenução trnsversl) tl como se indic n figur nex i sinh 0 cosh 0
6 Crlos R Piv A nterior decomposição só é possível qundo o vector r se encontr no plno do ivector ˆ ˆ Em gerl, porém, deve escrever-se (em coordends esférics) ˆ ˆ ˆ ˆ rˆ cos cos sin sin r cos ˆ r cos r cos cos r sin ˆ r cos r cos sin i r i expi cos cos r exp cos sin r exp exp cos exp cos cos cos cosh cos cos i ir r 0 exp exp exp cos sin sinh cos sin 0 r Assim, qundo 0, recuper-se situção já nlisd Porém, qundo, é rˆ ˆ ˆ e, consequentemente, 0 : ond pln não uniforme comport-se, nest direcção ortogonl o ivector ˆ ˆ, como um ond de mplitude constnte e, simultnemente, de fse (tmém) constnte Um ond não uniforme pode ocorrer num situção de reflexão intern totl num interfce pln entre dois meios dieléctricos sem perds: um meio, de índice refrcção n, e um meio, de índice de refrcção n (com n n) A lei de Snell mostr que n sin n sin Então, reflexão intern totl ocorre pr c, em que o ângulo crítico c é tl que n sin c n Pr c lei de Snell revel que, com, 0 i Com efeito, vem sucessivmente n sin n sin n sin i n cos i n cosh n
Vectores Complexos 7 sendo 0 pens qundo c Note-se ind que, no meio, constnte de propgção é efectivmente d form i Tem-se β n sin ˆ n sin ˆ h n cos qˆ c 0 0 0 q ncos qˆ 0 tl como se ilustr n figur nex em que i hβ, h β e r t qβ ˆq n sin 0 n t q n cos 0 n β β ˆ h i r n cos 0 n 0 sin n 0 sin ˆ ˆ β n 0 sin ˆ ˆ n 0 sin n 0 sin i n 0 cosh h n cos qˆ c 0 ˆ q n 0 cos ˆ q n 0 cos i q n 0 sin i qˆ i n ˆ 0 sinh q
8 Crlos R Piv Portnto, no meio e pr c, é (com q ˆ ˆ 0) i c t ncoshˆ 0 nsinhqˆ 0 sendo, ind, n 0, 0 c