Eam m 7 d Jairo d 007 Cálculo ATENÇÃO: FOLHAS DE EXAE NÃO IDENTIFICADAS NÃO SERÃO COTADAS Cálculo / Eam fial ª Época 7 Jairo d 007 Duração: horas 0 miutos Rsolva os grupos do am m folhas sparadas O uso d máquias d calcular tlmóvis ão é prmitido Não srão fitos sclarcimtos idividuais sobr qustõs durat a prova Não s squça qu tudo é para justificar Os cálculos são para simplificar ao máimo NOTAS AFIXADAS d Jairo, às 00 CONSULTA PEDAGÓGICA ÚNICA d Jairo, às 700 d 9
Eam m 7 d Jairo d 007 Cálculo Grupo ( valors) Comt um máimo d 5 lihas (SE ESCREVER AIS RISCAOS!!) as sguits proposiçõs: ( valor) O facto d uma crta fução f () ão sr cotiua um poto 0 pod ão impdir a sua aproimação por um poliómio d Taylor d ordm ss poto D facto a fórmula ( ) f ( ) f ( 0 ) + f '( 0 )( 0 ) + f ''( 0 )( 0) + f ( 0 )( 0 )!! o valor d f ) pod sr cocrtizado, dsd qu ista ( 0 ( valor) Uma sucssão divrgt oscilat tm d tr todos os sus lmtos difrts D outra forma ão aprsta subits Grupo ( valors) Cosidr a sucssão cujo trmo gral é: U d a) ( valor) Rprst graficamt U U quato itgrais dtrmi os sus valors b) (075 valors) ostr qu o trmo gral da sucssão é dado por: U c) (05 valors) Calcul U d) (075 valors) Rsolva a iquação m : U < Grupo ( valors) A AE-FEUNL lvou a cabo um studo qu prmitiu formular a sguit rlação implícita tr as msadas aufridas plos aluos o cosumo d Tabaco, T, (m crtas uidads): T l O comportamto dos aluos stá m quilíbrio o poto Cosidr qu T f ( ) g(t ) istm uma vizihaça do poto d quilíbrio a) ( valor) Calcul a prssão gérica d T ' f '( ) b) ( valor) Calcul a prssão gérica d ' g' ( T ) c) ( valor) Dtrmi os valors das drivadas para o poto d quilíbrio usado as prssõs cotradas a alía a) b) Vrifiqu qu os valors cotrados são o ivrso aritmético um do outro É isso uma surprsa? d 9
Eam m 7 d Jairo d 007 Cálculo Grupo 4 ( valors) Dtrmi as sguits primitivas: a) ( valor) P + l b) ( valors) P + Grupo 5 (45 valors) Cosidr os cojutos assim dfiidos { R : 4} 4 { > } A B R : ( 05) a) (5 valor) Dtrmi o cojuto A B rprst-o m liguagm d itrvalos b) (5 valor) Sja o cojuto D ( A Z ) ( B Q) ; dtrmi o itrior, a frotira, o trior, a adrêcia o cojuto drivado d D Diga aida s D é abrto ou fchado 6 c) (5 valor) ostr qu a fução f ( ) tm actamt dois zros o cojuto A Grupo 6 (5 valors) Cosidr a fução f ( ) + si Dtrmi os sguits its: a) (075 valors) f ( ) Grupo 7 ( valors) + b) (075 valors) ( f ( ) ) O iistro das Fiaças ruiu os sus coslhiros mais próimos fz-lhs o sguit brifig : Os valors do PIB português são dados por uma fução f () m qu é o ao Sobr sta fução só tmos uma iformação muito parcial O valor do PIB português foi m 006 d 8 mil milhõs d EUR Sabmos qu f '(006 ) 0 Sabmos aida qu f ''(006) 0 E o iistro cocluiu: si qu plo mos os aluos da FEUNL são capazs d aprstar um abrir fchar d olhos uma aproimação ao valor para o PIB d 007 icorporado toda sta iformação a) ( valors) Por favor ão os di ficar mal Calcul um abrir fchar d olhos o valor aproimado d f (007) b) ( valor) Supoha qu sabia aida qu '''( ) < 0 valor aprstado m a) + f ] 006,007[ / ; calcul o rro máimo para o d 9
Eam m 7 d Jairo d 007 Cálculo Grupo ( valors) Falso S uma fução ão é cotiua ão é difrciávl Pod vtualmt tr um valor para f ) mas o qu ão tm d crtza srão os valors d f ( ), f '( ), tc ' 0 ' 0 ( 0 U qu tm duas sub sucssõs com its cujos trmos são apas d dois tipos, Ofrta: o qu a sucssão ão tm são potos d acumulação! Falso Ps a sucssão ( ) Grupo ( valors) a) -4 - - 0 4 - - [ ] U d d a 0 a 8 6 4-4 - - 0 4 - U b) U d d a a d d [ ] a 0 a [ ] a ; 4 d 9
Eam m 7 d Jairo d 007 Cálculo c) U 0 ; é o ivrso d um ifiitamt grad, tddo pois para zro d) U < qu por dfiição < < Ou sja, o valor umérico d Grupo ( valors) > : sta dsigualdad é smpr vrificada dado U é smpr ifrior ao ivrso da ordm a) Para calcular T ' f '( ) vamos cosidrar a fução T f ( ) dfiida implicitamt drivar a prssão dada tdo m liha d cota qu T é fução d : + T l T l T ' T ' l T b) Para calcular ' g' ( T ) vamos cosidrar a fução g(t ) prssão dada tdo m liha d cota qu é fução d T: ' ' l + T dfiida implicitamt drivar a l T l ' T c) Primiro há qu dtrmiar o poto d quilíbrio S T Em ( T, ) (, ) vm tão Pla alía a) T ' f '( ) Pla alía b) ' g' () Não, ão é uma surprsa É sabido qu tria d sr g '() f '( ) Grupo 4 ( valors) a) ( ) ( ) ( + ) + P + + C + C P P + + b) 5 d 9
Eam m 7 d Jairo d 007 Cálculo ( l ) + l l P P P l P + P + + Como P l + C P P l l l l + P + Logo P + l l P + P + l l l + C ( ) C Grupo 5 (45 valors) a) Sobr A Sobr B dod 4 A,, dod [ ] [ ] B, 4 ( 05) > 4 + > + 4 > < A B,, Etão [ ] b) Por palavras: D é o cojuto Etão: itiros d [, ] [, ] (ou sja {,,, } ruido com racioais d, ) Itrior d D : Frotira d D :, { } Etrior d D :, ], + [ 6 d 9
Eam m 7 d Jairo d 007 Cálculo Adrêcia d D: Drivado d D:,, { } O cojuto D ão é abrto (pois ão coicid com o su itrior) m fchado (pois ão coicid com a sua adrêcia) 6 c) A fução f ( ) tm o sguit comportamto o cojuto A Em [, ] f ( ) > 0 f ( ) < 0 dod plo corolário do Torma d Bolzao, trá plo mos um zro m [, ] cotíua pois a fução é Em [,] f ( ) < 0 f ( ) > 0 dod plo corolário do Torma d Bolzao, trá plo mos um zro m [,] pois a fução é cotíua A uicidad das raízs m cada itrvalo coclui-s plo studo da mootoia da fução os itrvalos através da drivada f '( ) 5 Zros d f ' : 5 0 0 Vê-s facilmt qu f é dcrsct até crsct a partir d, dod a impossibilidad d istirm outras raízs além das dtctadas plo rfrido corolário A título complmtar ofrc-s o gráfico 7 d 9
Eam m 7 d Jairo d 007 Cálculo 0 5 0 5-4 - 0 4 A título mais do qu complmtar ofrcm-s as famigradas raízs ± + 4 5 + 4 5 + 4 + 4 5 Esta prssão, iatigívl para o comum dos mortais, mostra o podr do corolário: ão sabmos dtrmiar uma raiz mas sabmos qu la lá stá podmos partir à sua procura por métodos mais sofisticados!!! 6 Caso o futuro aprofud studos od aparçam quaçõs como 0, ot qu sta quação tm aida 4 raízs complas D momto ão s procup 8 d 9
Eam m 7 d Jairo d 007 Cálculo Grupo 6 (5 valors) a) ( ) ( + si ) ( + si ) + + f + + / / f + + qu é uma idtrmiação Sgudo o padrão, dvmos 0 b) ( ( )) ( si ) + + calcular o logaritmo do it / / l + l ( + si ) l( + si ) l( + si ) + + + + idtrmiação a lvatar pla rgra d Cauchy ( si ), uma ova + cos l( + si ) R C + si + + um ifiitamt grad + cos + + si 0 pois é o quocit tr uma fução itada Portato + 0 ( + si ) Grupo 7 ( valors) a) f ( 007) f (006) + f '(006)() + f f ( 007) 8 + 0 + 0 87 b) O rsto d Lagrag, úico qu studámos, é R ''(006)() ( a) ( + ) + ( + ) ( ) f ( c) qu st caso s! cocrtiza assim, já com o cssário módulo para cotrar o majorat: ( ) () f ( ) < ( )! 6 0 0 R (007) c 9 d 9