Capítulo V Drivação 5. Noção d drivada Sja uma unção ral d variávl ral. Dinição: Sja a D dinida numa vizinhança do ponto a. Diz-s qu é drivávl ou dirnciávl m ( ) ( a) a a a s ist é inito o it Est it (quando ist) diz-s a drivada ou dirncial d m -s por: ( ) ( a) ( a + h) ( a) '( a) a a h. h a rprsnta- Uma unção diz-s drivávl ou dirnciávl s or dirnciávl m todos os pontos do su domínio. Emplo:. Calcul a partir da dinição, a drivada da unção ( ) Rsolução: Sja 9. a D IR. Not-s qu stá smpr dinida numa vizinhança d qualqur ponto do domínio portanto az sntido calcular ( ) ( a). a a Assim, tm-s qu: ( ) ( a) a ( a)( + a) ( a) ( + a) a a a a a a a a Logo ( ) D '.
Capítulo IV: Drivação 3. Considr a unção dinida por ( ) Rsolução:. Mostr qu é dirnciávl. + 5 Para mostrar qu é dirnciávl tmos qu provar qu é dirnciávl m qualqur ponto do D IR \ { 5}. Considrmos um ponto a D. A unção stá smpr dinida à dirita a squrda d qualqur ponto do domínio, plo qu az sntido dtrminar ( ) ( a). a a ( a) a ( ) ( a) a + 5 a + 5 a a a a + 5 ( + 5)( a + 5) ( ) Como ( a) ist é inita para qualqur D IR \ { 5} dirnciávl. a, concluímos qu é 5. Intrprtação gométrica da drivada Tangnt ao gráico da unção (ou à curva d quação y () ) D acordo com a igura sguint a tangnt no ponto A ( a, ( a) ) it da rcta scant AX azndo o ponto (, ( ) ) quando a., obtém-s considrando o X aproimar-s d A, ou sja, A quação da rcta AX é dtrminada plo ponto A plo su dcliv qu é ( ) ( a). a Então, quação da rcta tangnt é dtrminada plo ponto A o su dcliv é (caso ista) ( ) ( a). Podmos dinir dsta orma a quação da rcta tangnt a m a, caso a a sja drivávl m a.
Capítulo IV: Drivação 3 Dinição: Sja uma unção dirnciávl m a com drivada ( a). A quação da rcta tangnt ao gráico d no ponto (, ( a) ) a é: y ( a) ( a)( a). Nota: S ( a) ntão a rcta tangnt ao gráico d é uma rcta horizontal. Não istm unçõs dirnciávis cuja rcta tangnt sja vrtical (porquê?! a razão é óbvia porqu o dcliv das rctas vrticais é uma unção dirnciávl tm drivada inita m cada ponto do su domínio.) A rcta tangnt ao gráico d uma unção num ponto pod intrsctar o gráico dssa unção mais qu uma vz. Pod até acontcr coincidir com a rcta tangnt noutro ponto como é ilustrado na igura abaio: a rcta tangnt m P coincid com a rcta tangnt m Q. Noção d vlocidad Chama-s taa d variação média d uma unção ntr os pontos a b ao quocint: ( b) ( a) b a Gomtricamnt, a taa d variação média d uma unção ntr os pontos a b, é o dcliv da rcta dinida por ( a, ( a) ) (, ( b) ) b.
Capítulo IV: Drivação 3 Suponhamos qu um automóvl s dsloca ao longo d um dtrminado trajcto qu s prtnd sabr a vlocidad instantâna num instant P. Idia: Considrar um instant Q dirnt d P. À mdida qu o ponto Q s aproima d P, a taa d variação média torna-s cada vz mais próimo da vlocidad instantâna no instant P. Nst caso particular, a taa d variação média dá-nos a vlocidad média ( v m ) do vículo ntr os instants Q P : s v m t spaço prcorrido tmpo gasto Rcorrndo à dinição d it é possívl dinir o concito d vlocidad instantâna, ( v i ), rigorosamnt: s Q v i P t A vlocidad instantâna no instant P corrspond ao dcliv da rcta tangnt m à unção no ponto (, ( P) ) P. 5.3 Drivadas latrais. Intrprtação gométrica Como a drivada d uma unção num ponto também az sntido calcular drivadas latrais: a é um caso particular d um it, ntão
Capítulo IV: Drivação 33 ( a ( a + ) ) a a+ ( ) ( a) a ( ) ( a) a quando tais its istm, ls são, dnominados rspctivamnt, por drivada latral d à squrda d a drivada latral d à dirita d a. Nota: S as drivadas latrais m a são iguais ntão ist drivada m a tm-s qu ( a ) a ( a + ) ( ) S as drivadas latrais m a são distintas ntão não ist drivada m a. Intrprtação gométrica das drivadas latrais: A drivada à squrda no ponto a idntiica-s com o dcliv da smi-tangnt à squrda d no ponto a, ( t ) A drivada à dirita no ponto a idntiica-s com o dcliv da smi-tangnt à dirita d no ponto a, ( t ) Uma unção tm drivada num ponto s as smi-tangnts nss ponto stivram no prolongamnto uma da outra, isto é, ormarm uma rcta. Na igura acima as smi-tangnts ( t ) ( ) plo qu não ist drivada no ponto a. t não stão contidas numa msma rcta Emplo: A unção ( ) não é dirnciávl m. y O gráico d ( ) stá na igura ao lado. D acto, tm-s qu:
Capítulo IV: Drivação 34 () ( ) ( ) ( - para < ) (+ ) + ( ) ( ) + + ( para > ) Como ( ) ( + ), não ist '( ). Logo a unção não é dirnciávl (pois ist plo mnos um ponto do domínio ond não ist drivada) apsar d sr contínua m todo o su domínio. Nota: O domínio da drivada d uma unção stá smpr contido no domínio dssa unção, isto é, D Por mplo: D. ntão ' D D ( ) ( ) ( ) D IR \ { } IR D Uma unção dscontínua não pod sr dirnciávl (porquê?!) No ntanto, o rcíproco é smpr vrdadiro: Torma S é uma unção drivávl m (ou quivalntmnt, s é dscontínua m a ntão é contínua m a a ntão não ist drivada m a ). Emplo: Vriicar s ist ( ) ond ( ) Rsolução: ( ) ln s. s < Not qu só az sntido vriicar s uma unção é drivávl num ponto s la or contínua nss ponto. Mas a unção é dscontínua m pois os its latrais são distintos: ( ) ln( ) ( ) plo qu não ist drivada m. + +
Capítulo IV: Drivação 35 Nota: A unção drivada não é ncssariamnt contínua. Pod vntualmnt nm istir como acontc no mplo antrior m. No mplo sguint a unção tm drivada m todos os pontos mas não é contínua m. A unção : IR IR dinida por ( ) admit drivada m todos os pontos: sn s s ' ( ) sn cos mas como s vriica acilmnt não ist '( ) s s, portanto ' não é contínua. Atnção!!! Para calcular '( ) é ncssário rcorrr à dinição d drivada num ponto: sn(/ ) sn(/ ) qu, plo torma do ncai dos its, val. 5.4 Rgras d drivação. Propridads da drivação. Notação ( d Libniz) para drivadas: Dado ( ) y para além da notação ' ou '( ) dy, usámos ou d d quisrmos spciicar o valor num crto ponto a, além d ( a) d d. a d d ou ( ) d d d ', usamos ( a). S ou Emplos: d ( 3 + ) d d d 3; ; (3).3 6. d d
Capítulo IV: Drivação 36 Rgras d drivação Calcular a drivada d uma unção ou a unção drivada a partir da sua dinição pod sr bastant trabalhoso. Por ssa razão, partindo da dinição d drivada podmos dduzir várias rgras d drivação qu adiant indicarmos. Torma: Sjam g duas unçõs drivávis, ntão g + é drivávl tm-s ( + g )' ' + g' g é drivávl tm-s ( g )' ' g + g' c é drivávl tm-s ( c )' c ', c IR s g ( ), g é drivávl tm-s g, ' g g'. g Drivadas d unçõs lmntars:. unção constant c IR ( ) c '( ). unção linar c IR ( ) c '( ) c 3. potência: ( ) n '( ) n n 4. unção ponncial a > : ( ) a '( ) a ln( a) 5. unção sn ( ) sn( ) '( ) cos( ) 6. unção cos ( ) cos( ) '( ) sn( ) 7. unção tg ( ) tg( ) '( ) sc ( ) cos ( ) 8. unção cotg ( ) cotg( ) '( ) cos c ( ) sn ( ) Ercícios: Calcular as drivadas das sguints unçõs: a. ( ) b. ( ) / n c. ( ) ( ), n IN. ( ), n IN n d. ( )
Capítulo IV: Drivação 37 5.5 Drivada da unção composta (ou Rgra da cadia). Torma (Drivada da unção composta ou Rgra da Cadia): Sjam g unçõs drivávis nos rspctivos domínios sja ( g) ( ) ( g( ) ) ntão ( g) '( ) '( g( ) ) g' ( ). Na notação d Libniz, s u g() ntão ( g( )) ( u), tmos d d d du.. du d Ercícios: Calcul a drivada das sguints unçõs: a. c. ( ) b. 3 ( ) ln d. ( ) 3 ( ) log 3. ( ). ( ) sn(5 ) g. ( ) tg( ) Rsolução.: Podmos vr como ln ( ) ln. Assim, ln ln ( )' ( ln ) ' [( )'ln + (ln )' ] ln ln ( ln + ) ( ln + ) ln + ln D orma análoga, podmos dduzir a drivada d uma unção da orma unçõs qu dpndm d uma variávl, por mplo : v ' v v ( u ) v '. u.ln u + v. u. u' como ponncial como polinomial v u, ond u v são
Capítulo IV: Drivação 38 Corolário (drivada da unção invrsa): Sja uma unção dirnciávl injctiva dinida num intrvalo I IR. Sja I tal qu '( ), ntão é drivávl m y ) ' ( ) ( ( y ) '(. ) Ercício: Dtrmin a drivada d () arcsn para ], [. Rsolução: A unção arcsn é invrsa da unção sn na rstrição π π, unção dirnciávl injctiva m π π,. y sn ntão o corolário antrior irma qu Sja ( ) arcsn ' ( ( y )) Pla órmula undamntal da trigonomtria tmos (not qu como sn ' ( sn( )) ( ) cos ( ) + cos ( ) cos( ) sn ( ) y. Ora ( ) sn é uma π π,, cos( ) é positivo nunca s anula) portanto ( arcsn( ) )'. Ercícios: Dtrmin a. ( ))' arccos( para ], [ c. ( ( ) ) ' b. ( arctg ())' para IR arccotg para IR d. ( log a ( ) )' para + IR ( a > ) Tmos portanto as sguints órmulas 9. unção logaritmo a > : ( ) log a '( ) ln( a). unção arcsn ( ) arcsn( ) ' ( ). unção arccos ( ) arccos( ) '( ). unção arctg ( ) arctg( ) '( ) + 3. unção arccotg ( ) arccotg( ) '( ) +
Capítulo IV: Drivação 39 Tablas d Drivadas Tndo m conta a drivada das unçõs lmntars atrás rridas a drivada da unção composta, podmos scrvr as sguints órmulas d drivação: Sjam u v unçõs drivávis, k a > a constants:. ( u + v) ' u' + v' 9. ( sn ( u) )' u'cos( u). ( uv )' u' v + uv'. ( cos( u) )' u' sn( u) 3., u v u' v uv' v. ( tg ( u) )' u'sc ( u) 4. ( ku )' ku'. ( cot g( u) )' u'cosc ( u) k k u 3. ( arcsn( u) )' 5. ( u )' ku ' ' 4. ( arccos( u) )' u u 6. ( a ) u' a ln a u' u u' u v, v v 7. ( u ) v'. u.ln u + v. u. u' u' arctg( u) ' + u 5. ( ) u' u ln a 8. ( log a u) ' 6. ( arc cot g( u) )' u' + u 5.6 Drivadas d ordm suprior Dada uma unção, ral d variávl ral, dirnciávl, ntão é também uma unção ral d variávl ral. Assim podmos alar na unção drivada d, ou sja na sgunda drivada d. Em trmos práticos obtém-s d drivando sta duas vzs, ou sja, ''( ) ( '( ) )' Notação: S y () : primira drivada d : ou, na notação d Libniz, d d dy ou ; d sgunda drivada d : ou, na notação d Libniz, d d ou d y ; d
Capítulo IV: Drivação 4 trcira drivada d : ou, na notação d Libniz, d 3 d 3 ou 3 d y ; 3 d quarta drivada d : n-ésima drivada d : (4) ou, na notação d Libniz, (n) ou, na notação d Libniz, d 4 d d 4 n d n ou ou 4 d y ; 4 d d n d y n, n IN. Ercício: Calcul as três primiras drivadas da unção ( ) ln( ). 5.7 Tormas undamntais sobr drivação Torma d Roll: Sja : [ a,b] IR uma unção contínua no intrvalo chado [ a,b] drivávl no intrvalo ] a,b[. S ( a) ( b) ntão ist plo mnos um ] a,b[ ( c) c :. Intrprtação gométrica: O torma d Roll airma qu ntr dois pontos d uma unção (contínua dirnciávl) com a msma imagm ist plo mnos um ponto do gráico d ond a rcta tangnt é horizontal. S alguma das condiçõs do torma alhar a conclusão do torma pod não s vriicar, por mplo:
Capítulo IV: Drivação 4. Considrmos uma unção cuja rprsntação gráica é: não é contínua m b. Não ist nnhum ponto do intrvalo [,b] rcta tangnt sja horizontal. a cuja é ssncial a continuidad no intrvalo a,b chado [ ]. Sja ( ), [ 4,4]. A rprsntação gráica d é: não admit drivada m Não ist nnhum ponto do intrvalo [ 4,4] rcta tangnt sja horizontal. cuja é ssncial a drivabilidad no intrvalo abrto a,b. ] [ Corolário : Sja : [ a,b] IR uma unção contínua no intrvalo chado [,b] drivada no intrvalo ] a,b[. c a,b : c. S a b são dois zros d ntão ist plo mnos um ] [ ( ) a com Intrprtação gométrica: O corolário airma qu ntr dois zros d uma unção (contínua drivávl) ist plo mnos um zro da drivada. S alguma das condiçõs do torma alhar a conclusão do torma pod não s vriicar. (Ercício: ncontrar mplos )
Capítulo IV: Drivação 4 Corolário : Sja : I IR uma unção drivávl [ a,b] I. S a b são dois zros d, ntão tm no máimo um zro ntr a b. Intrprtação gométrica: não tm zros. tm um único zros. S a hipóts da drivabilidad alhar no intrvalo [ a,b] ntão a conclusão do corolário pod diar d sr válida. Por mplo: a b são dois zros conscutivos da drivada mas ntr a b ist dois zros da unção. é ssncial a drivabilidad no intrvalo chado [ a,b] Ercício: A quação + admit como solução. Mostr qu sta quação não pod tr mais nnhuma solução ral. Rsolução: Em primiro lugar, há qu obsrvar qu é ctivamnt uma solução da quação dada: + (proposição vrdadira).
Capítulo IV: Drivação 43 Dina-s ( ). Vamos supor qu tm outro zro: a. Então plo primiro corolário do torma d Roll, ist um ponto ntr a (clusiv) tal qu a drivada é nula. Mas ( ) ( ) absurdo pois o torma d Roll airma a istência d um zro da drivada ntr a (clusiv). O absurdo rsultou d supor qu admitia mais do qu um zro. Logo tm um único zro portanto a quação dada tm uma única raiz. Torma d Darbou: Sja : [ a,b] IR [ a,b] drivávl no intrvalo [ b] uma unção contínua no intrvalo chado a,. Então '( ) toma todos os valors ntr ( a) '( b). Emplo: A unção '( ), <, não pod sr a drivada d nnhuma outra unção, pois no intrvalo [, ] '( ), '() '( ) não toma valors ntr -., Torma do valor médio ou d Lagrang: Sja : [ a,b] IR intrvalo chado [ a,b] drivávl no intrvalo ] b[ Então ist c ] a,b[ tal qu ( c) ( b) ( a). b a uma unção contínua no a,. Intrprtação gométrica: O torma d Lagrang airma qu ist um ponto no gráico d cujo dcliv da rcta tangnt é igual ao da rcta qu passa nos pontos ( a, ( a) ) (, ( b) ) b.
Capítulo IV: Drivação 44 ( c) ( b) ( a) b a Corolário: Sja : I IR uma unção contínua (I um intrvalo) c I. S tm drivada m I \ { c} s istm são iguais '( ) L '( ) ntão ist (c) '( c) L. + c c Emplo: A unção g ( ) arctg( ), >, é contínua ( vriiqu qu é contínua m ), tmos qu para g '( ) é, > g '( )., < + Como g é contínua g' ( ) g' ( ) ntão plo corolário antrior + ist g '( ) m, g '().
Capítulo IV: Drivação 45 Aplicação ao cálculo dos its nas indtrminaçõs. O cálculo d its por vzs não é simpls. Utilizando drivação há um rsultado, qu m crtas condiçõs, nos acilita muito ss cálculo: Proposição (Rgra d Cauchy): Sjam g duas unçõs dinidas m ] a,b[ c [ a,b] qu: g são drivávis m ] a, b[ \ { c} g ( ), ' ] a, b[ \ { c}, tal ( ) c g( ) ou Então '( ) ist ou é c g'( ) (*) ( ) '( ). c g( ) c g'( ) Obsrvação: latrais, A rgra d Cauchy também s aplica para its no ininito, c ±, para its c b ou + c a. Rpar qu (*) não s trata da drivada do quocint!!! Por vzs sta rgra é também dsignada por rgra d L Hospital (ou L Hôpital), mas sta não é tão gral só é ormulada para aplicar à indtrminação. Ercícios: Calcul os sguints its:. o sn( ) rsolução: tmos uma indtrminação o sn( ) o cos( )., aplicando a rgra d Cauchy,. ln( +) o
Capítulo IV: Drivação 46 rsolução: tmos uma indtrminação o ln( + ) + o., aplicando a rgra d Cauchy, 3. n IN n + rsolução: tmos uma indtrminação, aplicando a rgra d Cauchy (n vzs), +. + n n +! 4. rsolução: tmos uma indtrminação., aplicando a rgra d Cauchy, 5. 6. + ln( ) rsolução: tmos uma indtrminação ln( ) + + ln( + ). +, aplicando a rgra d Cauchy, 7. sn ( ) (é ncssário aplicar a Rgra d Cauchy duas vzs) sn( ) 8. (é ncssário aplicar a Rgra d Cauchy duas vzs) sn( ) Nota: Quando tmos indtrminaçõs da orma. ou por vzs, podmos transormá-las m indtrminaçõs da orma ou para podrmos aplicar a rgra d Cauchy, como podmos vr nos mplos sguints:
Capítulo IV: Drivação 47 9. rsolução: tmos uma indtrminação., não podmos aplicar a rgra d Cauchy dirctamnt, mas como icamos com uma indtrminação agora podmos aplicar a rgra d Cauchy.. [ ln( 3 ) ] + rsolução: tmos uma indtrminação Cauchy dirctamnt, mas como +, não podmos aplicar a rgra d [ ln( 3 ) ] [ ln ln( 3 ) ] + ln + 3 ln + 3 pois ln ( ) é contínua icámos com uma indtrminação agora podmos aplicar a rgra d Cauchy...
Capítulo IV: Drivação 48 Outras indtrminaçõs: No cálculo d its da orma ( ) indtrminaçõs: a g( ) por vzs somos conduzidos às sguints Estas indtrminaçõs lvantam-s rcorrndo à sguint igualdad: a g ( ) ( ) g( ) ln ( ) a ond ( ) >, D a IR {, + } Prova: S ist é positivo, ( ) g ( ) a ntão a ( ) g( ) A ln a g ( ) ln[ ( ) ] a A a g( ( g ( ) ).ln ) ( ) A A ( pois ln( ) ( pois ln( ) ) é contínua ) ( propridads da unção ln) Nota: + ± k k k IR Ercícios: Calcul os sguints its:. + rsolução: tmos uma indtrminação indtrminação., azndo, azndo + podmos aplicar a rgra d Cauchy: + + ln( ) + + [ ln( )] tmos uma tmos uma indtrminação ln( ) ( ) + + + +.
Capítulo IV: Drivação 49. 3. tg( ) tg( π ) sn( ) cos( ) 4. ( + + ) 5. ( + 3 ) 6. π ( + cos( )) sn( ) 7. + Rsolução: cos( ) Rpar qu não ist sn( ). + sn( ) sn( ) Mas, como, ntão + + + torma d ncai d its). (vr o 5.8 Aplicaçõs da drivada ao studo das unçõs 5.8. Pontos críticos intrvalos d monotonia Dinição: Sja uma unção c. Diz-s qu ( c) D é um trmo rlativo d s m c ocorr um máimo ou um mínimo. Por mplo, a unção rprsntada ao lado tm: máimos m mínimos m c' c' ' d', d' ' d'' '. Not qu os dois últimos pontos assinalados no gráico da unção são simultanamnt máimos mínimos.
Capítulo IV: Drivação 5 Torma: Sja uma unção qu tm um trmo rlativo m ou um mínimo local) ntão ou '( c) ou não ist ( c) c D (i.., ( c) é um máimo '. Como consquência do torma antrior rsulta qu os pontos candidatos a trmos rlativos d uma unção ncontram-s ntr os zros da unção drivada /ou os pontos do domínio d qu não admitm drivada. A sts pontos chamamos pontos críticos. Nota: ' ( c ) signiica qu a tangnt ao gráico d m c é horizontal, situação qu ocorr m d', c' c' '; ' ( c ) não istir signiica qu as smi-tangnts ao gráico d m c têm dclivs distintos, como acontc m d' ' d'' '. O rcíproco dst torma é also, isto é, plo acto d '( c) não s pod concluir qu (c) sja um trmo. Por mplo, ( ) 3 tm drivada '( ) 3, '(), no ntanto () não é máimo nm mínimo d. Conclusão: nm todo o ponto crítico é um trmo.
Capítulo IV: Drivação 5 Corolário do torma d Lagrang Monotonia: Sja uma unção drivávl no intrvalo ] a, b[, ntão: s '( ) > para todo ] a, b[ s '( ) < para todo ] a, b[ s '( ) para todo ] a, b[, ntão é stritamnt crscnt;, ntão é stritamnt dcrscnt;, ntão é constant. Como dcidir s um ponto crítico é máimo ou mínimo rlativo? Critério da ª drivada para classiicação d trmos: Sja uma unção contínua m c ] a, b[ drivávl m ],b[\{ c } crítico d ' passa d positiva para ngativa m ' passa d ngativa para positiva m ' ( ) > ou ' ( ) < para todo ] a,b[, ntão ( c) a. S c é um ponto c, ntão ( c) é máimo rlativo; c, ntão ( c) é mínimo rlativo; não é trmo rlativo. Critério da ª drivada para classiicação d trmos: Sja uma unção drivávl m ] a, b[, com c ] a, b[, '( c) : s ''( c) < ntão tm um máimo rlativo m c s ''( c) > ntão tm um mínimo rlativo m c ( ( c) ( ( c) é máimo rlativo) é mínimo rlativo). Est pod sr comprndido quando analisarmos a concavidad da unção, d qu alarmos m sguida.
Capítulo IV: Drivação 5 Ercício: Dtrmin os trmos rlativos indiqu os intrvalos d monotonia das sguints unçõs: a. ( ) log( + ), s, s < b. g( ) 3 / 3 c. h( ) ( 8 ) Rsolução d c.: D h IR h é contínua, pois é o produto d unçõs contínuas ( 3 é uma unção irracional 8 é uma unção polinomial) Not qu s istir algum ponto ond a unção sja dscontínua ntão l dv sr considrado como ponto crítico. Cálculo da primira drivada: 3 3 3 ' ( ) ; 8 h ( ) 3 3 8 3 3 8 4 3 3 3 Pontos críticos: porqu Dh mas Dh' pois h '( ) + Sinal d h ' + n.d. + - h n.d. não dinida Etrmos rlativos: Máimos rlativos: h ( ) ; Mínimos rlativos: não tm; Not qu ( ) h não é um trmo pois à volta d, h ' não muda d sinal;
Capítulo IV: Drivação 53 altrnativamnt, podmos utilizar o tst da ª drivada para concluir qu m ocorr um máimo pois: h'' ( ) h' h'' ( ) 4 9 ( + 4) ( ) 5 3 < h ( ) é um máimo Intrvalos d monotonia: h é crscnt s ],[ ; h é dcrscnt s ],+ [. Quais os pontos qu s dvm considrar na laboração do quadro para o studo da monotonia d uma unção? Dvm sr considrados os sguints pontos: pontos críticos, i.. pontos tais qu '( ) ou pontos ond não ist ( ) ' ; pontos d dscontinuidads d no caso do domínio sr um intrvalo ou união d intrvalos há qu considrar os trmos qu prtncm ao domínio. 5.8. Pontos d inlão concavidads Vimos qu o sinal d dá-nos inormação sobr a monotonia da unção. Analogamnt, podmos studar o sinal d para dtrminar a monotonia d. Assim, s é duas vzs drivávl no intrvalo ] a, b[ s ''( ) para todo ] a, b[ s ''( ) para todo ] a, b[, ntão é crscnt;, ntão é dcrscnt.
Capítulo IV: Drivação 54 Ora, gomtricamnt, sr crscnt signiica qu à mdida qu crsc o dcliv da rcta tangnt a aumnta qu o gráico da unção (à volta do ponto ) ica acima d cada tangnt (vr igura ao lado). D orma análoga, sr dcrscnt signiica qu à mdida qu crsc o dcliv da rcta tangnt a diminui qu o gráico da unção (à volta d ) ica abaio d cada tangnt (vr igura ao lado). Dinição: Sja uma unção, diz-s qu à volta d c. c D é um ponto d inlão s muda a concavidad Torma: Sja uma unção qu tm um ponto d inlão m c [ a, b] ntão ou ''( c) não ist '( c) '. ou Como consquência do torma antrior rsulta qu os pontos candidatos a pontos d inlão d uma unção ncontram-s ntr os zros da sgunda drivada da unção /ou os pontos do domínio d qu não admitm sgunda drivada. O rcíproco dst torma é also, isto é, plo acto d ''( c) não s pod concluir qu c é um ponto d inlão. Por mplo, 4 ( ) tm sgunda drivada '' ( ), ''(), no ntanto não é ponto d inlão (porqu à volta d, não muda a concavidad) conorm s pod vr na igura ao lado.
Capítulo IV: Drivação 55 Torma (tst da concavidad) Sja uma unção duas vzs drivávl m ] a, b[. S ''( ) > para todo ] a, b[ S ''( ) < para todo ] a, b[, ntão tm concavidad voltada para cima;, ntão tm concavidad voltada para baio. Podmos agora comprndr o Critério da ª drivada para classiicação dos trmos atrás nunciado: s tmos ( ) s ( ) > c (a tangnt m c é horizontal), c (a concavidad é voltada para cima) ntão ( c) é um mínimo (vr igura ao lado). s tmos ( ) s ( ) < c (a tangnt m c é horizontal), c (a concavidad é voltada para baio) ntão ( c) é um máimo (vr igura ao lado). Ercício: Dtrmin os pontos d inlão a concavidad das sguints unçõs: a. 3 ( ) / (5 + ) b. 3 ( ) + 3 + 3 c. 4 3 g ( ) 3 4 + 7 d. h ( ) ( + )( ) Rsolução da alína a.:
Capítulo IV: Drivação 56 D IR é contínua pois é o produto d unçõs contínuas ( 3 é uma unção irracional 5 + é uma unção polinomial) Not qu s istir algum ponto ond a unção sja dscontínua ntão l dv sr considrado como ponto crítico. Cálculo da primira drivada: ' ( ) ( 5 + ) 3 3 + 3 + 5 3 3 Embora não sja pdido no nunciado do rcício, vamos azr o studo dos pontos críticos, trmos rlativos intrvalos d monotonia. Pontos críticos: porqu D mas D ' pois '( ) Sinal d - + ' + - n.d + n.d. não dinida Etrmos rlativos: Máimos rlativos: ( ) ; Mínimos rlativos: ( ). Atnção!!! Apsar d não istir drivada m, é contínua m muda d sinal m torno d portanto plo critério da ª drivada para classiicação d trmos podmos concluir qu ( ) é um mínimo rlativo. Muita atnção!!! s não oss contínua m mas D tr-s-ia qu analisar os its latrais para podr concluir s istia ou não trmo nss ponto.
Capítulo IV: Drivação 57 Intrvalos d Monotonia: stritamnt crscnt: s ],[ s ],+ [ stritamnt dcrscnt: ],[ Cálculo da sgunda drivada: ''( ) 4 / 9 3 Candidatos a pontos d inlão:. porqu D mas D ' Sinal d ' pois '( ) + '' - n.d. - + Pontos d inlão: (not qu: o ponto d inlão é o valor da abcissa ao contrário dos trmos qu s rrm ao valor da ordnada.) Atnção!!! Apsar d não sr zro da ª drivada podria sr ponto d inlão, bastaria qu à sua volta o sinal d mudass. Sntido da concavidad: tm concavidad voltada para baio: s ],[ tm concavidad voltada para cima: s ],+ [. Quais os pontos qu s dvm considrar na laboração do quadro para o studo das concavidads d uma unção? Dvm sr considrados os sguints pontos: pontos candidatos a pontos d inlão, i.. pontos tais qu ''( ) ist '( ) ' ; ou pontos ond não pontos d dscontinuidads d no caso do domínio sr um intrvalo ou união d intrvalos há qu considrar os trmos qu prtncm ao domínio.
Capítulo IV: Drivação 58 5.8.3 Assímptotas Sja uma unção ral d variávl ral. Idia intuitiva d assímptota: Uma rcta é uma assímptota d uma unção s o su gráico s aproima indinidamnt dssa rcta no it conund-s com a própria rcta. Considrmos a unção dinida por ( ) rprsntação gráica é: +, cuja Esta unção não stá dinida m. O qu é qu acontc quando s aproima d zro? À mdida qu s aproima d zro, qur pla dirita qur pla squrda, os corrspondnts valors d ( ) plodm, isto é, crscm sm it. Podmos ntão scrvr: ( ) s + s + Nst caso, dizmos qu a rcta é uma assímptota vrtical do gráico d. Como dtrminar as quaçõs das assímptotas vrticais do gráico d uma unção? Para idntiicar os pontos ond vntualmnt o gráico admit uma assímptota dtrmina-s: D ; os pontos a D ond a unção é dscontínua; no caso do domínio sr um intrvalo ou união d intrvalos dvm-s considrar os pontos trmos tais qu ( ) ( ) a + a a D ; quando azm sntido.
Capítulo IV: Drivação 59 S algum dsts its or ±, a rcta a diz-s uma assímptota vrtical do gráico d (unilatral ou bilatral conorm ista um ou dois its latrais ininitos, rspctivamnt). Ercício: Dtrmin, caso istam, as assímptotas vrticais dos gráicos das sguints unçõs: a. ( ) Rsolução: { IR : > } ], [ ] + [ D, é continua porqu é quocint ntr uma unção polinomial uma unção irracional. Pontos ond podm istir assímptotas vrticais:. ( ) ( ) + + são duas assímptotas vrticais do gráico d.. b. ( ) Rsolução: { } D IR\. é contínua porqu é dirnça quocint d unçõs contínuas (ponncial, constant polinomial). Pontos ond podm istir assímptotas vrticais: ( ) (pla Rgra d Cauchy) não é assímptota vrtical do gráico d. o gráico d não tm assímptotas vrticais. c. ( ) ln Rsolução: ( 4 ) s s <
Capítulo IV: Drivação 6 D { IR : ( 4 > ) ( < ) } { IR : ( < < ) ( < ) } { IR : < < } ],[ é continua m todo o su domínio cpto m : Para >, é continua porqu é composta d unçõs contínuas (logarítmica com polinomial). Para <, é continua porqu é uma unção racional. Para, ( ) ln( + 4) ln( 4) + dscontinua m. + Pontos ond podm istir assímptotas vrticais:. (Ercício ) ( ), logo é Assímptotas não vrticais: Considrmos as unçõs rprsntadas graicamnt: ( ) g( ) + Quando + o gráico da unção aproima-s da rcta y. Quando o gráico da unção aproima-s da rcta y. Dizmos qu a rcta y é uma assímptota horizontal (bilatral). No caso da unção g, quando ± o gráico da unção g aproima-s da rcta y. Not-s qu g ( ) quando ±
Capítulo IV: Drivação 6 A istência d assímptotas não vrticais (horizontais oblíquas) dpnd do comportamnto da unção quando + quando. S a rcta y m + b é uma assímptota não vrtical do gráico da unção, quando +, é porqu o gráico da unção s aproima cada vz mais da rcta quando +. (D modo intiramnt análogo s diría quando ). Suponhamos qu +. Tmos qu + [ ( ) ( m + b) ] Dsta prssão vamos dtrminar as constants m b.. Dtrminação d m: [ ( ) ( m + b) ] + Dividindo por vm: + Logo, ( ) ( m + b) ( ) m + ( ) + + ( ) m + m m ( ) b Dtrminação d b: + [ ( ) ( m + b) ] ( ( ) m) b b ( ( ) m) Logo, b ( ( ) m) +. + + + Em gral é mais ácil dtrminar as assímptotas horizontais do qu as oblíquas, plo qu há vantagm m comçar por vriicar s uma unção tm assímptotas horizontais. Para isso, basta calcular ( ), caso st sja inito igual a b, ntão y b é + assímptota horizontal (quando + ), já não ist assímptota oblíqua (quando + ). Para analisar o comportamnto da unção quando, procd-s do modo análogo.
Capítulo IV: Drivação 6 Notas: A istência d assímptotas não vrticais (horizontais ou oblíquas) prssupõ qu as prssõs ( ) ( ) + contnha um intrvalo iitado do tipo ],a[ ou ],+ [ S m ntão a assímptota, a istir, é horizontal. S tnham sntido, isto é, qu o domínio da unção a. m ntão o gráico da unção não tm assímptotas oblíquas (nm horizontais, claro!) S uma unção tm uma assímptota horizontal quando + ntão não pod tr simultanamnt uma oblíqua quando +. Porquê? Uma unção pod tr uma assímptota horizontal outra oblíqua dsd qu uma sja quando + outra quando. O gráico d uma unção pod intrsctar no máimo uma vz uma assímptota vrtical (caso m qu a unção é dscontinua num ponto mas stá dinida nss ponto). O gráico d uma unção pod intrsctar mais do qu uma vz uma assímptota não vrtical. Por mplo, considrmos a unção dinida por ( ) 5 sn ( ) + s s cuja rprsntação gráica é: (rcício: Vriiqu qu a rcta y é uma assímptota oblíqua ao gráico d ). Ercício: Dtrmin, caso istam, as assímptotas não vrticais dos gráicos das sguints unçõs: a. ( )
Capítulo IV: Drivação 63 Rsolução: ], [ ] + [ D,. Assímptotas horizontais: + + Not qu nos dois its antriors não s consgu rsolvr as indtrminaçõs aplicando a Rgra d Cauchy (primnt!). y é uma assímptota horizontal do gráico d quando + y é uma assímptota horizontal do gráico d quando. b. ( ) Rsolução: { } D IR\. Assímptotas horizontais: + + + (R gra d Cauchy) y é uma assímptota horizontal do gráico d quando o gráico d não tm assímptotas horizontais quando +. Assimptotas oblíquas: m ( ) + + + + + o gráico d não admit assímptotas oblíquas quando +. c. ( ) ln Rsolução: ( 4 ) s s <
Capítulo IV: Drivação 64 ] [ D,. Nst caso não az sntido vriicar s a unção tm assímptotas oblíquas quando +. Assímptotas horizontais quando ( ) : y é uma assímptotas horizontal do gráico d. 5.8.4 Esboço d gráicos Para sboçar o gráico d uma unção dv-s smpr qu possívl sguir as sguints tapas: Indicar o domínio; Dtrminar os zros (caso istam); Estudar a paridad; Estudar a continuidad; Idntiicar as assímptotas; Estudar a monotonia indicar os trmos rlativos; Dtrminar o sntido das concavidads do gráico indicar os pontos d inlão. Dpois dstas tapas cumpridas tnta-s sboçar o gráico, indicando por último o contradomínio. Ercício: Considr a unção dinida por: ( ) + + s s. Faça o studo da unção rrindo os sguints aspctos: a. Domínio. Etrmos rlativos b. Paridad g. Intrvalos d monotonia c. Continuidad h. Pontos d inlão d. Assímptotas i. Concavidads. Pontos críticos
Capítulo IV: Drivação 65. Faça um sboço do gráico d. 3. Indiqu o contradomínio d. Rsolução:. a. Domínio: IR b. Paridad: ( ) + ( ) ( ) + ( ) Portanto, não é par nm ímpar. c. Continuidad S, é continua porqu é soma d uma unção polinomial + com a unção. sndo qu sta é a composta da unção ponncial com uma unção racional, S ntão + + + + + + +. +, é dscontínua m. Como ( ) ( ) + Conclusão: é contínua m \ { } d. Assímptotas: Assímptotas vrticais: IR. Pontos ond pod istir assímptotas vrticais:. Já vimos qu: + + + + ; + + + + é uma assímptota vrtical (unilatral) do gráico d. Assímptotas horizontais: + + ± + ± ± o gráico d não admit assímptotas horizontais. Assímptotas oblíquas: m ± ( ) + + ± + + ±
Capítulo IV: Drivação 66 b ± ± y é uma assímptota oblíqua bilatral. + + ( ( ) ) m + + ± º drivada: é dscontínua m plo qu nst ponto não stá dinida a drivada. S +, ( ) +. Pontos críticos pois D mas D ' Não ist outro pontos críticos porqu a unção drivada não tm zros: ( ) + + impossívl (A drivada nunca s anula pois > ). Etrmos rlativos: Sinal d (n.d. não dinida) + ' + n.d. + Como é dscontínua m é ncssário vr o qu acontc as imagns m torno dst ponto: ( ) para > para < é ácil vr qu ( ) + + > já vimos qu ( ) + ist uma vizinhança m torno d portanto ( ) é um mínimo rlativo. Nota: apsar d ( ) ond ( ) é a mnor imagm sr um mínimo, a primira drivada m torno d não muda d sinal, mas isto não contradiz o critério da ª drivada para classiicação d trmos pois nst critério ig-s qu a unção sja contínua o qu não acontc (a unção dada é dscontinua m ).
Capítulo IV: Drivação 67 g. Intrvalos d monotonia: é stritamnt crscnt s ],[ s ],+ [. (nota: é incorrcto airmar qu a unção é stritamnt crscnt m todo o su domínio, basta analisar o qu s passa à volta d ). º drivada: S, ( ) ( ) Pontos candidatos a pontos d inlão: pois não stá dinida a sgunda drivada mas D pois h. Pontos d inlão: 4 + ' + n.d. + - n.d. não dinida Portanto é um ponto d inlão. i. Concavidads: Voltada para cima s ],[ s, Voltada para baio s,+. Esboço do gráico Apsar da unção tr dois zros, não é ácil dtrminar um dls pois implica a rsolução da quação +. 3. Contradomínio: CD IR.
Capítulo IV: Drivação 68 5.8.5 Etrmos absolutos Já sabmos, plo torma d Wirstrass, qu uma unção dinida num intrvalo chado[ a, b] ating um máimo um mínimo Como procdr para ncontrar os trmos d uma unção dinida num intrvalo chado [ a, b]?. Dtrminar os pontos críticos d no intrvalo ] a, b[.. Calcular a imagm d cada um dos pontos críticos obtido m. 3. Calcular as imagns dos trmos ( a) ( b). 4. Os valors máimo mínimo d m [ a, b], caso istam, são o maior o mnor valors da unção calculados m 3. Ercício: Considr a unção dinida por ( ) 3 ond [ 3,5] Calcul os trmos absolutos d.. Rsolução: D [ 3,5] porqu [ 3,5]. é contínua pois é polinomial. ( ) 3 A drivada stá dinida m todos os pontos, plos qu os pontos críticos s istirm trão qu anular a drivada. Pontos críticos: ( ) 3 4 Para dtrminar os trmos absolutos basta calcular as imagns dos pontos críticos dos trmos do domínio da unção compará-las. O valor da maior imagm srá o máimo absoluto o valor da mnor imagm srá o mínimo absoluto. Como ( 3 ) 9 ; ( ) 6 ; ( ) 4 ( 5 ) 65 absoluto 4 é o mínimo absoluto. rsulta qu 65 o máimo
Capítulo IV: Drivação 69 Ercício: 4 Calcul os trmos absolutos, caso istam, da unção dinida por ( ) para [,]. 4 Rsolução: D [,] pois [,] ; é contínua pois é polinomial. 3 ( ) 8 8 ( ) 8( ) Pontos críticos:,. Como ( ) 6 ; ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) 6 máimo absoluto 6 é o mínimo absoluto. rsulta qu é o 4 Nota: quando considramos ( ) acilmnt pla anális do quadro da monotonia da unção: 4 dinida m IR podmos vriicar - + Sinal d + - + - qu a unção dinida m IR tm um máimo absoluto ( ) ( ) mas não tm mínimo absoluto: ( ) é um mínimo mas não é absoluto.
Capítulo IV: Drivação 7 5.8.6 Problmas d optimização Etapas da rsolução d um problma d optimização: Lr atntamnt o problma undamntal! Idntiicar as incógnitas. Fazr um squma do problma rprsntando as incógnitas as quantidads conhcidas. Encontrar as possívis condiçõs a qu stão sujitas as incógnitas. Eprimir a unção a optimizar m unção d uma única incógnita. Encontrar os pontos críticos trmos da unção antriormnt obtida. Dar rsposta ao problma. Problma: Dtrmin dois númros positivos cujo produto sja máimo a sua soma sja 4. Rsolução: Idntiicar as variávis Sjam y os númros procurados. Rstriçõs das variávis: Sab-s qu: o >, y > o + y 4 ( y 4 ) Função a maimizar: Função produto: y ( 4 ) Dina-s ( ) ( 4 ) Dtrminar pontos críticos d : ] [ D,+ (not-s qu > ) é continua no su domínio porqu é polinomial. ( ) ( 4 ) ( ) 4 Pontos críticos: : ( ) 4
Capítulo IV: Drivação 7 + Sinal d + - n.d. n.d. não dinida Logo m ocorr um máimo rlativo Como a unção não stá dinida nos trmos do máimo absoluto. Rsposta do problma: Os númros procurados são: y 4 4. D, o máimo ncontrado é o Nota: o nunciado pd os númros qu maimizam o produto não o produto máimo qu sria ( ) ( 4 ) 4. Problma: Rsolução: Qual o ponto prtncnt à hipérbol d quação y, d abcissa positiva, qu stá mais próimo da origm. Idntiicar as variávis Sja (, y) o ponto da hipérbol procurado. Rstriçõs das variávis: Sab-s qu: o > o y y Esquma do problma: Idia: coloca-s um ponto sobr o ramo da hipérbol cujas abcissas são positivas para cada um dsts pontos dtrmina-s o comprimnto do sgmnto qu un o ponto (, y) à origm st procsso sugr qual dv sr a unção a optimizar. Função a minimizar: Prtnd-s minimizar o comprimnto do sgmnto qu un os pontos (,) ( y) ( ) + ( y ) + y +, :
Capítulo IV: Drivação 7 d + Dina-s ( ) Nota: O mínimo da unção d, caso ista, é atingido no msmo ponto qu o mínimo da unção d. Por simplicidad dos cálculos vamos trabalhar com a unção dinida por: ( ) + Dtrminar pontos críticos d : ] [ D,+ (not-s qu > ) é continua no su domínio porqu é soma d unçõs racionais ( ) + ( ) 3 Pontos críticos: : ( ) 3 4 ( )( + ) ( ) Not qu D plo qu não é ponto crítico. 3 + Sinal d - + n.d. n.d. não dinida Logo m ocorr um mínimo rlativo. Como a unção não stá dinida nos trmos do mínimo absoluto. D, o mínimo ncontrado é o Rsposta do problma: O ponto procurado da hipérbol tm coordnadas (,) pois y. Nota: o nunciado pd o ponto da hipérbol d abcissa positiva qu stá mais próimo da d. origm não a distância da origm à hipérbol qu sria ( ) +
Capítulo IV: Drivação 73 5.9 Ercícios. Dtrmin, utilizando a dinição, a drivada das sguints unçõs: + 5 a. ( ) para a, a IR \ { 5} b. ( ) ; + s > + para ; s c. ( ) + + 3 para.. Dtrmin as primiras drivadas das sguints unçõs, utilizando as rgras d drivação: a. ( ) 3 6 + 7 b. ( ) + 3 + c. ( ) d. ( ). ( ) log +. ( ) cos( 4 + 3) g. ( ) ( ) tg d y 3. Calcul para: d a. y sn ; b. arctg ( ) c. y ; y vriiqu qu satisaz y + y. y 4. Dtrmin as sguints drivadas, utilizando a rgra da cadia: ds dt a. ( ) dz b. dt sabndo qu 3 3 s r r + r t + t + ; sabndo qu arcsn( t) z y + log y y. 5. Dtrmin a quação da rcta tangnt da rcta normal às sguints curvas, nos rspctivos pontos indicados: a. 3 + 4 3 y no ponto (,5) 3 b. y + y para ; ; c. y nos pontos d intrscção com a rcta y.
Capítulo IV: Drivação 74 6. Considr a unção dinida por ( ) rcta d quação. A rcta tangnt ao gráico d paralla à 3 y + tm d quação: 4 + y a. y b. c. y + d. y + 7. Qual das sguints unçõs admit a rcta d quação y como rcta tangnt nalgum ponto? a. ( ) sn ( ) b. ( ) cos ( ) c. ( ) d. ( ) ln ( ) 8. Sja g a unção ral d variávl ral dinida por g( ) sn ( ) gráico d g, no ponto d abcissa zro passa plo ponto d coordnadas: a. ( ;ln ) ; b. ( ; ln ). A tangnt ao ln ; c. ( ln ;ln ) ; d. ( ; ln ) + ; 9. Diga justiicando s são vrdadiras ou alsas as sguints airmaçõs: a. Sja :RR dinida por: cos( π ), < ( ), ( ), > b. Sndo a unção da alína antrior, ],[, ],[ c, tal qu (c) ; c, tal qu (c) -;. Mostr qu a quação: sn( ) cos( ), tm duas só duas soluçõs para π,π. [ ]. Dtrmin os sguints its utilizando a rgra d Cauchy (ou d L Hôpital): sn( ) a. + d. /( ) /(+ ln( )) g. + b. +. ( ) h. c. sn + / +. ( 3 + 9) + + sn ( ) + ln i. +. Indiqu o valor lógico das sguints airmaçõs, justiicando a sua rsposta:
Capítulo IV: Drivação 75.. S é dscontínua para a ntão tm plo mnos um assimptota vrtical;.. S g ntão g ;.3. S é contínua ntão ist ;.4. S é drivávl ntão é contínua; 3. Sja uma unção d domínio IR, sja g a unção dinida por g ( ) ( +) rcta d quação y + 4 é a única assímptota do gráico d. Qual das sguints é a única assímptota do gráico d g? a. y 4 ; b. y 6 ; c. y + 6 ; d. y + 4 ;. A 4. O gráico da unção h, dinida por h ( ) + : a. Não tm assimptotas vrticais. b. Tm actamnt duas assimptotas, uma vrtical uma oblíqua. c. Tm três assimptotas, duas vrticais E uma horizontal. d. Tm três assimptotas, duas vrticais uma oblíqua. 5. Na igura ncontra-s rprsntada part do gráico d uma unção h, d domínio [,5[ ] 5,+ [ h.. As rctas d quaçõs 5 y3 são as únicas assímptotas do gráico d Qual o valor d h( ) + 3 + a. + ; b. ; c. ; d. 5; 6. Considr-s uma unção g, d domínio [,+ [, contínua m todo o su domínio. Sab-s qu: - O gráico d g tm uma única assimptota; - g( ) + ;
Capítulo IV: Drivação 76 Quais dos sguints gráicos podrão rprsntar part do gráico da unção g, a tracjado, a sua assimptota? 7. Na igura sguint stá rprsntada part do gráico d uma unção d domínio R, contínua m todo o su domínio. A bissctriz dos quadrants pars a bissctriz dos quadrants ímpars são assimptotas do gráico d. Indiqu dos gráicos sguints podrá rprsntar part do gráico da unção g, dinida ( ) por g( ).
Capítulo IV: Drivação 77 8. Considr uma unção g, ral d variávl ral, tal qu: - 3 g '( ) g ''( ) - + n.d. + - Qual das sguints rprsntaçõs gráicas podrá rprsntar a unção g? a. b. c. d. 9. Sja, uma unção d domínio R. Sab-s qu a primira a sgunda drivada d são ngativas m R. Quais dos sguints gráicos podrá rprsntar part do gráico d?
Capítulo IV: Drivação 78. Sja uma unção polinomial dinida por ( ) + a + b + c, qu tm um ponto d inlão para 3, um trmo rlativo para um zro igual a. Quais os valors das constants a, b c? a. a 9 ; b 5 ; c b. a 9 ; b 5 ; c 7 c. a 9 ; b 5 ; c 7 d. a 9 ; b 5 ; c 3. D uma unção sab-s qu: é par; ( ) + ; ( ) ; ( ). Então, pod sr dinida por: a. b. sn( ) ( )
Capítulo IV: Drivação 79 c. +, ( ) d., + ( ), >,, <. Considr a unção dinida dirnciávl m R cujo quadro d variação é o sguint: - - - 3 + () - Qual o númro d soluçõs da quação ( )? a.. b. 3. c. No mínimo no máimo 3. d. No máimo. 3. Qual dos sguints gráicos podrá sr o da primira drivada da unção do rcício? a. b. c. d. 4. D uma unção g, dirnciávl m R, sab-s qu é crscnt qu g ''( ) g '( ), para todo R. Indiqu qual dos gráicos sguints rprsnta a unção g.
Capítulo IV: Drivação 8 a. b. c. d. 5. Considr o conjunto ], [ ], + [ A sjam : A R : A R duas unçõs dirnciávis. Tndo m conta a tabla sguint, indiqu qual dos gráicos rprsnta a unção? '' - + '' a. b. c. d.
Capítulo IV: Drivação 8 6. Sja F : ( )( a) com a >. Vriiqu s alguma das rprsntaçõs gráicas abaio indicadas é a rprsntação da unção F, m caso airmativo indiqu qual. a. b. c. d. 7. Sja g : IR IR uma unção tal qu: g( ), g( ) +, g ( ) + a unção g é dirnciávl m IR. A rprsntação gráica d g pod sr: a. b.
Capítulo IV: Drivação 8 c. d. 8. Considr a unção ral d variávl ral cuja rprsntação gráica é: Qual dos sguints gráicos rprsnta ''( )? a. b. c. d.
Capítulo IV: Drivação 83 9. Sabndo qu o gráico da unção drivada é: Qual dos gráicos sguints podrá rprsntar a unção? a. b. c. d. 3. Sja g uma unção cujo gráico tm um ponto d inlão d abcissa. Indiqu qual dos sguints gráicos pod rprsntar a sgunda drivada d g, g ''. a. 3 b. - 3-3 - - c. d. 4 3 - - 3 - - - 3 -
Capítulo IV: Drivação 84 3. Considr a unção, ral d variávl ral dinida por: -/, < (., a. Faça o studo da unção, indicando: Domínio, zros, assimptotas, pontos críticos, intrvalos d monotonia, pontos d inlão concavidads; b. Faça um sboço da unção. 3. Considr a unção dinida por ( ) para. a. Dtrmin os pontos críticos os intrvalos d monotonia da unção. b. Dtrmin as concavidads os pontos d inlão da unção. 33. Sjam g duas unçõs rais d variávl ral, com domínio [,]. Sab-s qu '( ) g '( ), [, ] Em qual das iguras podm star rprsntados os gráicos d g? 34. Sja uma unção ral d variávl ral, dinida contínua m, por π + s ( ) π k arccos s < π Qual das sguints quaçõs é uma quação da rcta tangnt ao gráico d no ponto d abcissa. a. y + b. y + c. y ( + ) d. y
Capítulo IV: Drivação 85 35. Considr a unção g dinida por g( ) k.,, a. Estud as assímptotas do gráico d g. b. Dtrmin o valor d k d modo qu g sja contínua à squrda m. c. Analis a istência d g '(). d. Mostr qu ( ) g''( ). 4 ( ). Estud g quanto ao sntido das concavidads do su gráico à istência d pontos d inlão. 36. Considr a unção g dinida por g ( ) ln( ). a. Mostr qu o domínio d g é ], [ b. Mostr qu g ''( ). ( ) ln. c. Estud o sntido da concavidad do gráico d g. d. Invstigu qu assímptotas istm para o gráico d g. 37. A igura sguint é part da rprsntação gráica da unção arctg ( ). Sja k IR, considr a unção dinida por a. Mostr qu é contínua m \ { } IR. arctg, ( ). k, b. Dtrmin o valor d k d modo qu sja contínua à dirita m. c. Analis a istência d '(). + ( + ) d. Mostr qu '( ) ''( ), para.. Dtrmin as assímptotas ao gráico d '( ).. Dtrmin a quação da rcta tangnt ao gráico d no ponto d abcissa. g. Considr k π. Sobr o gráico d dtrmin: intrvalos d monotonia; trmos rlativos; sntido das concavidads pontos d inlão.
Capítulo IV: Drivação 86 38. Considr a unção ral d variávl ral: ( ) a. Estud a continuidad d. ( + ) ln( + ) + 5+ 6 s s > b. Avrigú s é dirnciávl m. c. Mostr qu o Torma d Roll s aplica à unção no intrvalo [, 3] dtrmin o ponto c ], 3[ tal qu '( c). 39. Considr a unção ral d variávl ral: ( ) ( + ) ln( + ) + 5+ 6 a. Estud a dirnciabilidad d no ponto ; s s > b. Not qu ( ) (). O Torma d Roll prmit assgurar a istência d plo mnos um zro no intrvalo ],[? Justiiqu. 4. Sja k IR, uma constant, considr a unção ral d variávl ral dinida por a. Mostr qu ( ) ( ) sn k s s, justiicando dtalhadamnt. b. Dtrmin o valor d k para o qual é contínua. c. Calcul ( ) d. Dtrmin '( ) ', para IR \ {}... Comnt a airmação: Toda a unção drivávl tm drivada contínua.. Considr a unção g dinida por ( ) g ( ),, \ {} 3. π π i) Dtrmin a imagm, ou contradomínio, da unção g, isto é, D' g. ii) Caractriz g ( ), indicando o su domínio, contradomínio prssão analítica.
Capítulo IV: Drivação 87 4. Indiqu o valor lógico das sguints airmaçõs justiicando dvidamnt a sua opção. a. Sja uma unção contínua no intrvalo [, ] [, ] c tal qu '( c)., tal qu ( ) ( ), ntão ist b. Sjam a, b IR, s é uma unção contínua com domínio IR ' ', ntão podmos concluir qu '( a) b. a ( ) ( ) b + a ( ) c. S uma unção vriica ntão tm uma assímptota horizontal. + d. Toda a unção drivávl tm drivada contínua.. A drivada da unção ( ) sn( )ln( ) [,π ]. g admit plo mnos um zro no intrvalo. Sja :[ a, b] IR uma unção não constant, contínua drivávl. S ( a) ( b) ntão tm plo mnos um trmo. g. S '( ) m todo o su domínio, ntão não tm trmos. h. Uma unção contínua não pod tr assímptotas vrticais. i. Sjam g duas unçõs cujos gráicos stão rprsntados na igura sguint, ntão podmos concluir qu o conjunto solução d '( ) g'( ) < é ], [. Problmas d optimização: 4. Sja a um númro positivo sjam y númros positivos qu vriicam a condição: + y a. Prov qu d ntr todos os númros y qu vriicam a condição dada, a sua soma é máima quando y. 43. Prtnd-s cortar um aram d 4 cm d comprimnto m duas parts, com uma dlas construir um quadrado com a outra dlas construir uma circunrência, d modo qu a soma das áras das suprícis itadas por cada uma das duas iguras sja máima. Como dv sr cortado o aram?
Capítulo IV: Drivação 88 44. Considr a Elips d quação d quação: + y. a. Prov qu a ára dos rctângulos inscritos na Elips, com os lados parallos aos ios d simtria da lips é dada por A( ) 4, sndo a abcissa do vértic do rctângulo qu prtnc ao º quadrant. b. D ntr a amília d rctângulos mncionados na alína antrior, dtrmin as dimnsõs dos rctângulos qu têm ára máima 45. Dtrmin o raio da bas a altura d um cilindro d volum máimo qu pod sr inscrito numa supríci sérica d raio cm. 46. Uma olha d papl contém 4 cm d tto imprsso. Sab-s, ainda, qu as margns inriors latrais mdm cm cada a margm suprior md 3 cm. Dtrmin as dimnsõs da olha qu lvam a uma conomia d papl. 47. Prtnd cortar-s uma placa laminar rctangular d um tronco d madira d scção circular d raio m. Quais as dimnsõs da placa d orma a qu a sua ára sja máima? 48. Qual o ponto prtncnt à hipérbol d quação y, d abcissa positiva, qu stá mais próimo da origm? 49. Formul matmaticamnt o sguint problma, idntiicando: as variávis, a unção a optimizar, pliqu como obtr a localização do ponto C, sm rsolvr intgralmnt o problma. D acordo com a igura sguint, prtnd-s construir um gasoduto d um local A para um local B qu s ncontram m margns opostas d um rio.
Capítulo IV: Drivação 89 O gasoduto irá passar por baio do rio, ligando o ponto A (numa margm. ao ponto C (na margm oposta., sguirá pla margm do rio ligando C a B, tal como é ilustrado na igura. S o custo da construção do gasoduto é 5 vzs mais caro quando passa por baio do rio, dtrmin a localização do ponto C d modo a minimizar os custos d construção do canal. 5. A sguint igura rprsnta uma supríci constituída por um rctângulo [ABCD] dois smi-círculos d diâmtro [AD] [BC]. Sabndo qu a ára do rctângulo é d o prímtro mínimo qu a igura pod tr. m, dtrmin 5. Considr um campo abrto, d orma rctangular, qu na part nort stá ladado por um muro (vja a igura). O dono dss campo tm 5 mtros d aram com ss aram prtnd construir uma vdação rctangular. Sndo o muro um dos lados da vdação, qual é a ára máima qu l consgu vdar? 5. Prtnd-s construir um dpósito, com a orma d um parallipipdo d bas quadrada, com capacidad para 3 5 m, d modo qu o su custo sja mínimo. O prço, por mtro quadrado, da bas do topo do dpósito é d 5, nquanto qu o das pards é d 35. Qu dimnsõs dvrá tr o dpósito. 53. Prtnd-s vdar um trrno rctangular. Em dois lados opostos (d comprimnto a mtros) srá usada uma vdação com custo d 4 /mtro a vdação a usar nos outros dois lados (d comprimnto b mtros) custa 3 /mtro (d acordo com a igura). Quais srão as dimnsõs do trrno d maior ára qu s consguirá vdar gastando-s. b a a b