211 12 Trnformd de Lplce AM3D Delt de Dirc A função lto u c (t) = H(t c) preent um decontinuidde no ponto c, pelo que não erá certmente diferenciável nee ponto. N verdde, nenhum grndez d Fíic cláic é decontínu. Por exemplo, um decontinuidde d energi de um ddo item implicri um potênci infinit. Um decontinuidde n poição de um ponto mteril, um velocidde infinit...etc. Aim, função lto pen repreent vrição de um quntidde que é muito úbit e violent. Aceitndo imbolicmente que e trt de lgo decontínuo, fri entido definir derivd de u c d eguinte form: e t c; u c(t) = δ c (t) = + e t = c. Note-e que não e trt de modo lgum de um função no entido próprio do termo. É poível definir mtemticmente ete objecto, conhecido por delt de Dirc, com recuro um teori denomind teori d ditribuiçõe. Et teori etá totlmente for do âmbito dete curo. Aim, pen trblhremo formlmente com δ c, tendo empre preente que diferente mnipulçõe, que podem precer buiv, podem er jutificd utilizndo Mtemátic um pouco mi vnçd. Qundo c =, denot-e implemente δ = δ. Tem-e im δ c (t) = δ(t c) e H (t) = δ(t). 1
Propriedde 1 Pr c, L(δ c (t))() = e c. Prov: Bt obervr que L(δ c (t))() = L(u c(t))() = (L(u c (t))() u c ()) = e c = e c. Propriedde 2 Pr c, δ c (t)dt = 1. Prov: Pel propriedde nterior, L(δ c (t))() = e t δ c (t)dt = e c. Note-e gor que pr t c, δ c (t) =. Aim, podemo ecrever e t δ c (t) = e c δ c (t), poi qundo t c, mbo o ldo d iguldde ão nulo. Finlmente, e t δ c (t)dt = e t e c δ c (t)dt = e c e c δ c (t)dt = e c δ c (t)dt = 1. Obervção: Pel mem ordem de idei, dd um função f contínu em [; + [, f(t)δ c (t)dt = f(c)δ c (t)dt = f(c) δ c (t)dt = f(c). 2
Produto de Convolução Definição 1 Dd du funçõe f e g eccionlmente contínu no intervlo [; + [, definee o produto de convolução f g por t, f g(t) = f(r)g(t r)dr. Exemplo Tomndo f(t) = co(t) e g(t) = t, f g(t) = co(r)(t r)dr = t co(r)dr r co(r)dr = t [in(r)] t [r in(r)]t + in(t)dt = t in(t) t in(t) + ( co(t) + 1) = 1 co(t). A noção de produto de convolução etá profundmente ligd à trnformção de Lplce: Propriedde 3 Tem-e L(f g(t))() = L(f(t))()L(g(t))(). Prov L(f g(t))() = e t f g(t)dt = e t ( ) f(r)g(t r)dr dt = Invertendo ordem de integrção, L(f g(t))() = e t f(r)g(t r)drdt. ( Fzendo gor mudnç de vriável t = t r, r ) e t f(r)g(t r)dt dr. 3
L(f g(t))() = ( e (t +r) f(r)g(t )dt ) dr = ( ) e r f(r) e t g(t )dt dr = e r f(r)l(g(t))()dr = L(f(t))()L(g(t))(). Podemo ilutrr et propriedde retomndo o exemplo nterior. Por um ldo, f g(t) = 1 co(t), pelo que Por outro ldo, L(f g(t))() = L(1)() L(co(t))() = 1 2 + 1 = 1 ( 2 + 1). L(f(t))()L(g(t))() = L(co(t))()L(t)() = 1 2 + 1 2 = 1 ( 2 + 1). Terminmo com lgum propriedde reltivmente imedit d trnformd de Lplce. Pr f, g e h eccionlmente contínu em [; + [ e λ R, f g = g f; (comuttividde) f (λg + h) = λf g + f h; (lineridde) (f g) h = f (g h); (ocitividde). δ f = f (δ é elemento neutro do produto de convolução). Contruir um tbel de trnformd de Lplce Exitem qutro propriedde fundmenti d trnformd de Lplce, já etudd, que devemo conhecer em tod circuntânci. Note-e que prov det propriedde é btnte imple, reumindo-e empre um únic linh de cálculo. 4
. Efeito d multiplicção por um exponencil L(e αt f)() = L(f)( α). b. Efeito d multiplicção por t L(tf)() = d d L(f)(). c. Efeito d derivção L(f )() = L(f)() f(). d. Efeito d multiplicção por um função lto L(u c f)() = e c L(f(t + c))(). É ind conveniente conhecer expreão d eguinte trnformd de Lplce: f(t) L(f)() in(t) 2 + 2 co(t) 2 + 2 t n n! n+1 Apen com et trê expreõe e com Propriedde. podemo deduzir o eguinte: 1 e αx coh(t) inh(t) e αt co(t) e αt in(t) e αt t n e αt coh(t) e αt inh(t) 1 1 α ( fzer n = n expreão de t n ) ( fzer f = 1 e utilizr ) 2 2 (Definição de coh e epreão de e αt ) 2 2 (Definição de inh e epreão de e αt ) α ( α) 2 + 2 (utilizr ) ( α) 2 + 2 (utilizr ) n! ( α) n+1 (utilizr ) α ( α) 2 2 (utilizr ) ( α) 2 2 (utilizr ) 5
A Propriedde d. fornece ind e Propriedde c. fornece f(t) L(f)() u c (t) e c f(t) L(f)() δ c (t) e c. (fzer f = 1) 6