ÁLGEBRA MATRICIAL Teorem Sejm A um mtriz k x m e B um mtriz m x n Então (AB) T = B T A T Demonstrção Pr isso precismos d definição de mtriz trnspost Definição Mtriz trnspost (AB) T = (AB) ji i j = A jh B hi h ( = A T ) ( h j B T ) ih h = h ( B T ) ( ih A T ) h j Portnto, = ( B T A T ) i j (AB) T = B T A T TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES Problems especiis utilizm tipos especiis de mtrizes Nest seção descreveremos lgums importntes clsses de mtrizes k x n que surgem n nálise econômic Mtriz qudrd: k = n, número de linhs igul o número de coluns Mtriz colun: n = Mtriz linh: k = Mtriz digonl: k = n, i j i j = 0 Mtriz tringulr superior: i j ( = 0 se ) i > j (gerlmente qudrd) n qul cd entrd b bixo d digonl principl é 0 0 d 0 Mtriz tringulr inferior: i j = 0 se i < j c d Mtriz simétric: A T = A, i j = ji i, j Esss mtrizes são necessrimente qudrds Mtriz idempotente: Um mtriz qudrd B tl que BB = B Mtriz de permutção: Um mtriz qudrd de entrds 0 e, n qul cd linh e 0 cd colun contêm extmente Ex: 0 Mtriz não-singulr: Um mtriz qudrd cujo posto é igul o número de linhs (coluns)
MATRIZES ELEMENTARES Recorde que s três operções elementres sobre linhs são utilizds pr trzer um mtriz à form esclond por linhs: permutção de linhs, som de um múltiplo de um linh um outr linh, e 3 multiplicção de um linh por um esclr não-nulo Esss operções podem ser efetuds em um mtriz A pel multiplicção à esquerd por certs mtrizes especiis denominds mtrizes elementres Por exemplo, o seguinte teorem ilustr como permutr s linhs i e j de um dd mtriz A Teorem Forme mtriz de permutção E i j pel permut d i-ésim com j-ésim linh d mtriz identidde I Então, multiplicção à esquerd de um mtriz A por E i j tem efeito de permutr i-ésim com j-ésim linh de A Demonstrção Pr verificr isso, denotremos por e hk um entrd qulquer de E i j : e i j = e ji = 0 e ii = e j j = 0 e hh = se h i, j e kk = 0 cso contrário O elemento n linh k e colun n de E i j A é e km mn = m jn in kn k = i k = j k i, j () por () Portnto, E i j A é simplismente A com s linhs i e j trocds entre si Exemplo Suponh um mtriz A de tmnho 3 x 3, temos: 0 0 3 3 E (5)A = 0 5 0 3 = 5 5 5 3 0 0 3 3 33 3 3 33 E i j (r) é som r vezes linh i pel linh j d mtriz I E 3 (5)A = 0 0 0 0 0 5 3 3 3 3 33 = 3 3 5 + 3 5 + 3 5 3 + 33 Definição As Mtrizes E i j, E i j (r) e E i (r), que form obtids executndo s operções elementres sobre linhs n mtriz identidde, são denominds mtrizes elementres Teorem Sej E um mtriz elementr n x n obitid executndo-se um dd operção elementr sobre linhs n mtriz identidde n x n Se A é um mtriz n x n qulquer, então EA é mtriz obtid executndo quel mesm operção elementr sobre linhs em A Teorem Dd qulquer mtriz A de tmnho k x n, existem mtrizes elementres E, E,E m tis que o produto mtricil E m E m A = U, onde U está em form esclond (reduzid) por linhs
3 ÁLGEBRA DE MATRIZES QUADRADAS Usmos notção M n pr clsse de mtrizes qudrds do tipo n x n Definição Sej A um mtriz em M n Um mtriz B em M n é um invers pr A se AB = BA = I Se existir mtriz B, dizemos que A é invertível Teorem Um mtriz A de tmnho n x n pode ter, no máximo, um únic invers Demonstrção Suponh que B e C sejm inverss de A Então, C = CI = C(AB) = (CA)B = IB = B Definição Sej A um mtriz de tmnho k x n, mtriz B de tmnho n x k é um invers à direit de A se AB = I A Mtriz C de tmnho n x k é um invers à esquerd de A se CA = I Lem Se um mtriz A tem um invers à direit B e um invers à esquerd C, então A é invertível e B = C = A A Prov é nálog do teorem 85 Teorem Se um mtriz A de tmnho n x n é invertível, então A é não-singulr e únic solução do sistem de equções lineres Ax = b é x = A b Demonstrção Desejmos mostrr que se A é invertivel, então podemos resolver qulquer sistem de equções do tipo Ax = b Multiplique cd ldo deste sistem por A pr resolver em x como segue: Ax = b A (Ax) = A b (A A)x = A b Ix = A b x = A b Teorem Se um mtriz A de tmnho n x n é não-singulr, então A é invertivel Demonstrção Suponh que A é não-singulr Denotmos e i i-ésim colun de I Sendo A não-singulr equção AX = e i tem um únic solução X = c i Sej C mtriz cujs n coluns são s respectivs soluções c,,c n Como multiplicmos cd linh de A pel j-ésim colun de C pr obter j-ésim colun de AC, podemos escrever AC = A[c,,c n ] 3
= [Ac,,Ac n ] = [e,,e n ] = I () Assim C é um invers direit de A Pr ver que A tmbém possui um invers esquerd, use o teorem 84 pr escrever EA = U, onde E é um produto de mtrizes elementres e U é form esclond reduzid por linhs de A Como A é não-singlr U não tem linh de zero e cd colun contém extmente, U = I Portnto, E é um invers esquerd de A Como A tem um invers à direit e um invers à esquerd, A é invertível Podemos ser mis eficientes glutinndo tods esss informções em um mtriz umentd gigntesc (A e,,e n ) = (A I) e executr eliminção de Guss-Jordn somente um únic vez em vez de n vezes Nesse processo, mtriz umentd se reduz ( I A ) Exemplo 84 b A = c d b 0 (A I) = c d 0 (3) Se = c = 0, A é singulr Vmos supor que 0 primeiro sommos c/ vezes linh à linh, pr obter form esclond por linhs b 0 0 c (4) Se 0, A é não-singulr se, e somente se, d bc 0 Multiplique primeir linh por / e segund linh por /(d bc) b 0 0 c Some b/ vezes linh d ( 0 d A = 0 c d bc b ) ( d ) b c (5) Teorem A mtriz rbitrári A de tmnho x dd por (3) é não-singulr ( e portnto invertível) se, e somente se, d bc 0 Su invers é mtriz (5) Teorem Pr qulquer mtriz qudrd A, são equivlentes s seguintes informções: () (b) A é invertível A tem um invers à direit 4
(c) A tem um invers à esquerd (d) O sistem Ax = b tem pelo menos um solução pr cd b (e) O sistem Ax = b tem no máximo um solução pr b ( f ) A é não-singulr (g) A tem posto máximo Demonstrção N seção 74 vimos equivlênci ds firmções d) g) Os enuncidos e s provs dos teorems 86 e 87 grntem que s firmções ) d) são equivlentes Teorem Sejm A e B mtrizes qudrds invertíveis Então, () (b) (c) (A ) = A (A T ) = (A ) T AB é invertível e (AB) = B A Teorem Se A é invertível: () (b) A m é invertível pr qulquer inteiro m e (A m ) = (A )A m Pr quisquer inteiros r e s, A r A s = A r+s, e (c) pr qulquer esclr r 0, ra é invertível e (ra) = (/r)a Teorem Qulquer mtriz pode ser escrit como um produto A = F,,F m U no qul s F i são mtrizes elementres e U está n form esclond reduzid por linhs Qundo A é nãosigunlr U = I e A = F,,F m Lem Sejm L e M dus mtrizes tringulres inferiores n x n Então o protudo mtricil LM é tringlr inferior Se L e M têm somente em sus digonis, então o mesmo ocorre com LM Demonstrção A (i, j) ésim entrd do produto LM é o produto d i ésim linh de L com j ésim colun de M Usndo hipótese que l ik = 0 pr k > i e m h j = 0 pr h < j, escrevemos esse produto como: (LM) i j = (l i,,l i,i,l ii,00) 0 0 m j j m j+, j Se i < j, cd um ds i possivelmente não-nulos entrds no começo d i èsim linh de L será multiplicd pels i entrds zero do começo d j ésim colun de M O resultdo é um entrd zero em LM Portnto LM é tringulr inferior A prtir de (6) (i,i) ésim entrd n digonl de LM é l ii = m ii = Teorem Sej A um mtriz rbitrári k x n suponh que não é necessário efetur permut de linhs pr reduzir A à su form esclond por linhs Então A pode ser escrit como um produto LU, onde L é um mtriz tringulr inferior k x k com entrds n digonl e U é um mtriz tringulr superior k x n 5 m n j (6)
4 DECOMPOSIÇÃO LU Vmos resolver o sistem Ax = b d form LUx = b Primeiro tome Ux = Z e LZ = b e então resolv UX = Z 4 0 4 6 3 6 0 0 = L 0 0 0 3 U 4 0 0 3 0 0 3 x x x 3 = b 6 LZ = b UX = Z 0 0 0 3 4 0 0 3 0 0 3 z z z 3 x x x 3 = = 6 3 3 z z z 3 x x x 3 = = 3 3 0 PRODUTO DE KRONECKER Sej A mx p e B nx q então PROPRIEDADES B B p B A B = m B m B mp B A 3 3 x3 0 I = 0 x 3 0 0 0 I A = 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 A I = 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 3 () (A B) = A B () (A B)(C D) = AC BD 6
(3) A (B +C) = A B + A C (4) (A +C) A = B A +C A (5) A (B B) = (A B) B Implic que A e B são qudrds e não-singulres (5) e () implic que (A B)(A B ) = AA BB = I mm xi nn = I mnx mn 3 VETORIZAÇÃO DE MATRIZES Sej A mxn então V EC(A) = ( 6 Exemplo A 3 5 m m n mn ) V EC(A) = 6 3 5 7