Aula 06 Trasformadas
Trasformadas Na aálise de sistemas cotíuos por vees é mais vatajoso o uso da frequêcia complexa s. No caso de sistemas discretos, uma ferrameta bastate comum usada para passar um sial o domíio do tempo para o domíio da frequêcia é a Trasformada. A Trasformada também fa o uso de uma frequêcia complexa que este caso é. Portato, as Trasformada são uma espécie de Trasformadas de Laplace para sistemas discretos.
Trasformadas As Trasformadas são baseadas em séries de potêcias, as Séries de Lauret, publicadas em 84 pelo matemático fracês Pierre Alphose Lauret (8-854). Mas, tudo idica que, embora ão tivessem sido publicadas ateriormete, estas séries já tiham sido desevolvidas dois aos ates, em 84, por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (85-897), um matemático alemão que frequetemete é citado como sedo o pai da aálise modera. As séries de Lauret são uma represetação de um sial por séries de potêcias, geeraliado a cohecida expasão em séries de Taylor para casos em que esta ão pode ser aplicada. As séries de Taylor tiham sido criadas pelo matemático iglês Brook Taylor (685-7). As Trasformadas têm grade importâcia os métodos actuais de aálise de sistemas de cotrolo discreto, em processos de amostragem, o processameto de siais digitais, etc.
Trasformadas Brook Taylor (685 7) Karl Weierstrass (85 897) Pierre Alphose Lauret (8 854)
Trasformadas Da expasão em série de Taylor sabemos os seguites resultados clássicos: e ν 0 ν!, ν eq. (6.) log(+ ν) ( ) + ν, ν <, ν eq. (6.) resultados que serão utiliados mais adiate. Como trataremos de séries de potêcia ifiitas, será útil relembrar aqui esta itrodução a cohecida fórmula do limite da soma de progressões geométricas (P.G.) de raão q 0.
Trasformadas Isto é, se x { a : a : a : : a : } { a : a q : a q : a q : }, ou seja, a + a q,,,, ; ou, equivaletemete a a q -,,,, A soma S dos primeiros termos da P.G. é dada por: S a + a q + L+ a q S k 0 a a k (q ) (q ) eq. (6.)
Trasformadas equato que, se a P.G. for ilimitada (ou ifiita) e a raão q satisfa < q <, etão, a soma S de todos os termos é dada por: S a + a q + a q + a q + L a 0, isto é a ( q) S eq. (6.4) Outro resultado cohecido é o limite da série ifiita abaixo: < α <, 4 α + α + α + 4α + + 0 α L eq. (6.5) α ( α)
Trasformadas Trasformadas defiição { x[] } ou X() + { } x[] X() x[] 0 eq. (6.6) Trasformada uilateral (para 0)
Trasformadas Exemplo 6.: x[ ] 5 u [ + ] + u [ ] u [ ] + 4 u 0 [ Note que o termo com valor 5, para desaparece pois está à esquerda da origem. o o x[] o 5,,, 4, 0, se se se se outro 0 valor de ] X() + 4
Trasformadas Trasformadas da expoecial discreta Sial x[] a u [] (expoecial discreto) x[] a u[] Usado a defiição eq. (6.6) vemos que a Trasformada deste sial é: X() 0 a u[] (a 0 ) a X() ( a ) { u [] } eq. (6.7) ou { u [] } a X() ( a) eq. (6.8)
Trasformadas Trasformadas do degrau discreto Sial x[] u [] (degrau uitário discreto) x[] u [] caso particular de a o sial aterior (expoecial) Logo, do resultado obtido o sial aterior, obtemos que a Trasformada do degrau uitário discreto u [] é: ou u X() ( ) { [] } { [] } u X() ( ) eq. (6.9)
[] u [] u 5 [] x Trasformadas Exemplo 6.: A Trasformada deste sial é: { } + + + 0 0 5 [] u [] u 5 [] u [] u 5 X() x[]
Trasformadas Etão, usado eq. (6.4) para cada uma destas somas, temos: 5 X() eq. (6.0) + 0 0 Note que e são somas de progressões geométricas e que as mesmas têm a (primeiro elemeto) e q (raão) respectivamete iguais a a q a q e
Trasformadas Usado as equações eq. (6.7) para a ½ e a /, descobre-se que: [] u e que [] u e logo, o resultado obtido a eq. (6.0) acima sigifica que: [] u [] u 5 [] u [] u 5
Trasformadas Este resultado obtido se dá devido à propriedade da liearidade da Trasformada, à semelhaça das Trasformadas de Laplace o capitulo 5, e será visto mais adiate a seção 6.9 (Propriedades da Trasformada ). Agora, cotiuado os cálculos a partir da eq. (6.0) temos que: { x[] } que também equivale a: { x[] } eq. (6.)
Trasformadas Exemplo 6.: Cosidere a Trasformada do sial expoecial x[] a u [] já vista as eq. (6.7) e eq. (6.8), ou seja, X(). eq. (6.) a a Faedo a divisão de por ( a) temos que:
Trasformadas Logo, X() a + a + a +L Comparado com eq. (6.6), a defiição de Trasformada, temos e portato, x[] a u [] 0,, a, x[] a, a, para para para para M < para que de facto correspode ao sial x[] que tem como Trasformada este X() da eq. (6.). 0 0 0
Trasformadas Pólos discretos Coforme visto o capítulo aterior [a seção 5.8, eq. (5.0) ], uma fração racioal é uma fração em que ambos o umerador e o deomiador são poliómios: p(s) q(s) ou p() q() As raíes do poliómio do deomiador [ q(s) ou q() ] são chamados de pólos. A Trasformada do sial x[] do Exemplo 6., dada pela eq. (6.), é uma fração racioal cujos pólos são: As Trasformadas dos siais x[] a u [] e x[] u [], dadas pelas eq. (6.8) e eq. (6.9), são frações racioais cujo úico pólo é: o caso eq. (6.8), e o caso eq. (6.9). a e
Trasformadas Exemplo 6.4: Cosidere o sial discreto da expoecial trucada x[] a, 0, que ecotra-se esboçado a figura abaixo: 0 N, < 0, 0 < a < N 0 < a <
Trasformadas A Trasformada deste sial é: ( ) 0 0 0 N N a a a X() + e portato X() é a soma S N dos N primeiros termos da progressão geométrica com o primeiro termo a e a raão ( ) a q Logo, usado a eq. (6.) tem-se que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N N N N a a a a a a X()
Trasformadas Em pricipio esta Trasformada parece ter um pólo em a e (N ) pólos em 0 (ou seja, pólos múltiplos a origem). Etretato, aalisado agora o umerador desta Trasformada N a N 0 ou seja N a N que os dá a seguite solução: a e j k N π, k 0,,,..., N que são N potos igualmete espaçados o círculo de raio a, e são as raíes (ou eros) do umerador desta Trasformada. Portato, para k 0 a equação eq. (6.) acima temos que: a. Ou seja, a é um pólo e um ero do umerador ao mesmo tempo. Logo eles se cacelam e esta Trasformada só tem (N ) pólos em 0.
Trasformadas Sial x[] u [] (rampa uitária discreta) x[] u [] u [] tem a seguite Trasformada : X() + 0 0 + + + +L que é uma série ifiita do tipo da eq. (6.5) com α. Logo, usado a eq. (6.5) temos que: ou X() { u []} { u [] } ( ) ( )
Trasformadas Sial x[] u o [] (impulso uitário discreto) x[] u o [], 0, 0 0 tem a seguite Trasformada : 0 { u []} X() u [] o + 0 o ou seja, { u o []} que é um resultado aálogo ao obtido com as Trasformadas de Laplace o capítulo aterior: L { u o (t) } X(s)
Trasformadas Exemplo 6.5: Cosidere o sial discreto x[], x[] uo[ ] que é o impulso uitário discreto trasladado (i.e., com um shift ) de uma uidade de tempo para a direita. A Trasformada deste sial é: + X() 0 u o [ ] ou seja, { u [ ] } eq. (6.4) o Este resultado também pode ser obtido pela propriedade da traslação (shift) da Trasformada que será visto mais adiate a seção 6.9 (Propriedades da Trasformada ).
Trasformadas Exemplo 6.6: Cosidere o sial discreto x[], x[] u o[ m], m 0 que é o impulso uitário discreto trasladado (i.e., com um shift ) de m uidades de tempo para a direita. A Trasformada deste sial é: X() + 0 u o [ m] m m ou seja, m { u o [ m] } m eq. (6.5) Note que a eq. (6.5) só é válida para m 0 pois a Trasformada adoptada aqui é a uilateral [eq. (6.6)].
Trasformadas A expressão ecotrada o Exemplo 6. x[ ] 5 u [ + ] + u [ ] u [ ] + 4 u 0 [ o o o ] X() + 4 poderia ser obtida usado a Trasformada do impulso u o [] e o resultado dos exemplo 6.5 e 6.6, dados as equações eq. (6.4) e eq. (6.5), ou seja, { u o []} m { u [ m] }, m 0 o { u o [ + ] } 0
Trasformadas Exemplo 6.7: (expoecial multiplicada por um seo) Cosidere o sial discreto: [] u 4 se [] x π Usado a equação de Euler temos: [] u j [] u j [] x 4 j 4 j π π e e A Trasformada deste sial é: { } π π π + π + π π + 4 j 4 j 4 j o 4 j 4 j 4 j j j j j [] u j [] u j X() x[] o e e e e e e
Trasformadas π π 4 j 4 j X() e e Note que os dois pólos desta Trasformada são: 4 j π ± e ou seja,
Trasformadas A exemplo da Trasformada do degrau discreto, visto acima, em que primeiramete apresetamo-lo multiplicado pela expoecial discreta a, também aqui vamos iicialmete apresetar a Trasformada para os casos de seo e co-seo multiplicados por expoeciais discretas a.
Trasformadas Sial seo discreto multiplicado pela expoecial x[] a se(ω o )u [] tem a seguite Trasformada : { } a se( ωo ) a se( ωo) u[] X() eq. (6.7) a cos( ωo ) + a que equivale a { } o a se( ωo) u[] X() a se( ω a cos( ω ) o ) + a eq. (6.9)
Trasformadas Sial co-seo discreto multiplicado pela expoecial x[] a cos(ω o )u [] tem a seguite Trasformada : { } a cos( ωo ) a cos( ωo) u[] X() eq. (6.8) a cos( ωo ) + a que equivale a [ a cos( ωo )] { a cos( ωo) u[] } X() eq. (6.0) a cos( ωo ) + a
Note agora que o sial que tiha sido visto o exemplo 6.7 é Trasformadas x[] a se(ω o )u [] com a π ω 4 o eq. (6.) e a Trasformadas ecotrada aquele exemplo, dada pela eq. (6.6), pode ser reescrita como: 9 X() 4 j 4 j 4 j 4 j + + + + π π π π e e e e eq. (6.)
Trasformadas que, usado as equações de Euler e substituido ( π / 4) / se a eq. (6.) se tora em X() π se 4 π cos 4 + que correspode à eq. (6.9) com a e ω o dados em eq. (6.).
Trasformadas Sial seo discreto x[] se(ω o )u [] tem a seguite Trasformada : se( ω ) eq. (6.) o { se( ωo) u[] } cos( ω o ) + que equivale a { se( ω ) u [] } o se( ωo ) cos( ω o ) + eq. (6.5)
Trasformadas Sial co-seo discreto y[] cos(ω o )u [] tem a seguite Trasformada : o { cos( ωo) u[] } cos( ω cos( ω o ) ) + eq. (6.4) que equivale a { cos( ω ) u [] } o [ cos( ω o cos( ω o )] ) + eq. (6.6)
Trasformadas Exemplo 6.8: Cosidere o sial x[] ou seja, ( λ) x[] u[ ] x[] ( ) + 0, λ,,,, L 0,,, L Pela defiição de Trasformada, eq. (6.6), tem-se que: { } x[] X() ( ) + λ
Trasformadas e da expasão em série de Taylor, eq. (6.), obtém-se que a Trasformada deste sial é: X() log ( + λ ), > a eq. (6.7) As Trasformadas itroduidas aqui dos siais u o [], u o [-m], u [], u [], u [], se(ω o ), cos(ω o ), a se(ω o ), a cos(ω o estão a Tabela das Trasformadas as pág. e do Capítulo 6 das Notas de Aula.
Trasformadas Na pág. e do Capítulo 6 das Notas de Aula tem uma Tabela das Trasformadas dos siais que precisaremos. Tabela 6.
Trasformadas Na pág. e do Capítulo 6 das Notas de Aula tem uma Tabela das Trasformadas dos siais que precisaremos. Tabela 6. (cotiuação)
Trasformadas Na pág. e do Capítulo 6 das Notas de Aula tem uma Tabela das Trasformadas dos siais que precisaremos. Tabela 6. (cotiuação) Tabela 6. (cotiuação)
Trasformadas Homogeeidade ( homogeeity ) Propriedades da Trasformada k x k x k X() eq. (6.8) Aditividade ( additivity ) { x [] + x []} { x []} + { x []} X () + X () eq. (6.9) Liearidade ( liearity ) Como já vimos em ateriormete, a liearidade é a propriedade da aditividade, eq. (6.9), e da homogeeidade eq. (6.8) jutas: { α x [] + β x []} α { x []} + β { x []} α X () + β X () eq. (6.0) ode α, β Csão costates e x [], x [] são dois siais discretos com Trasformadas dadas por X () e X () respectivamete.
Trasformadas Coforme já mecioado ateriormete (o Exemplo 6.), a propriedade da liearidade da Trasformada permite escrever 5 5 [] u [] u 5 [] u [] u 5 que correspode à equação eq. (6.0)
Trasformadas Traslação ( time shiftig ): Se x[] é um sial discreto defiido apeas para 0,,,, ou seja x[] 0, < 0, e com Trasformada dada por X(), uma traslação de m (shift de uidade para direita): { x[ ] } X() + x[ ] Para m (shift de para direita): eq. (6.) { x[ ] } X() + x[ ] + x[ ] eq. (6.) e o caso geral, m,,, (shift de m > 0 para direita) { x[ m] } m X() + x[ m] + + x[ m + ] x[ m + ] + L + x[ ] m+ + + x[ ] m+ eq. (6.) Os termos x[ ], x[ ] -, x[ ], x[ m+] -, etc. correspodem aos resíduos a propriedade da derivada em Trasformadas de Laplace.
M M Trasformadas M Estes M termos aparecem pois estamos cosiderado a Trasformada uilateral, coforme a defiição a eq. (6.6), assim como o capítulo 5 cosideramos a Trasformadas de Laplace uilateral. Note que se x[] tem codições iiciais ulas (x[] 0, < 0), isto é, se x[]0, x[]0, x[]0,, etc. eq. (6.4) etão estes termos residuais são todos ulos e uma traslação de m > 0 (shift de m para direita) equivale a multiplicar por m (o domíio, da frequêcia). Isto é, o caso de codições iiciais ulas [eq. (6.4)], temos que os termos residuais desaparecem e as eq. (6.), eq. (6.) e eq. (6.) se trasformam a forma bem mais simplificada, resumidas a eq. (6.5). { x[ ] } X() X() { x [ ] } X() X() M m m { x [ m] } X() X() eq. (6.5)
Trasformadas As traslações ( time shiftig ) acima, x[ ]. x[ ], x[ m], m > 0, shift para direita, são também chamadas de atraso o tempo ( time delay ). No caso de shift para esquerda, x[ + ]. x[ + ], x[ + m], m > 0, são também chamadas de avaço o tempo ( time advace ). Temos etão que a traslação (shift) de uidade para esquerda: { x[ + ] } X() x[0] eq. (6.6) e a traslação (shift) de uidades para esquerda: { x[ + ] } X() x[] x[0] eq. (6.7) e o caso geral, a traslação (shift) de m uidades para esquerda): { x[ + m] } m X() x[m ] x[m ] L x[] x[m ] m + x[0] m eq. (6.8)
Trasformadas Mudaça de escala o domíio ( -domai scalig ): α { } α x[] X ode α C é uma costate e x[] é um sial discreto com Trasformada dada por X(). Portato, a mudaça de escala o domíio equivale à multiplicação por α o domíio do tempo. Em particular, se α e jω, etão, como e jω, ω, e jω x[] X e jω
Trasformadas Expasão o tempo ( time scalig ): Para um sial discreto x[] cosidere o sial expadido x (k) [] defiido abaixo. x ) [] k x[ / k], 0, se é múltiplo de k ( se ão é múltiplo de k o qual está ilustrado a figura abaixo para k e x[],,, Estes siais expadidos x (k) [] satisfaem a seguite propriedade { } ( k x X ) ) [] ( k
Trasformadas Cojugado ( cojugate ) { } ( x [] X ) ode x[] é um sial discreto com Trasformada dada por X(). Note que, se x[] for um sial real (x[] R) etão: X() X*(*) logo, se X() tem um pólo em a também terá em a *. Covolução ( covolutio ) Semelhatemete às trasformadas de Laplace, também a Trasformada temos que a trasformada da covolução é o produto das Trasformadas : { []* x []} X ( ) X () eq. (6.9) x
Trasformadas Derivada do domíio de ( -domai derivative ) { x[] } dx( ) d ode x[] é um sial discreto com Trasformada dada por X(). Portato a derivada do domíio de equivale à multiplicação por o domíio do tempo. Esta propriedade permite geeraliar algus siais da tabela Tab 6. das Trasformadas. Por exemplo, essa tabela pode-se ver as Trasformadas dos siais: x[] u [], x[] u [] e x[] u [] e com esta propriedade pode-se geeraliar para os siais: x[] u [], x[] 4 u [],, etc. Nessa mesma tabela também se ecotram as Trasformadas dos siais: x[] a u [], x[] a u [] e x[] a u [] e com esta propriedade pode-se geeraliar para os siais: x[] a u [], x[] a 4 u [],, etc.
Trasformadas Teorema Valor Iicial (TVI) e Teorema Valor Fial (TVF) A exemplo dos teoremas TVI e TVF para Trasformadas de Laplace, estes teoremas para Trasformadas permitem que se descubra o valor iicial x[0] e o valor fial x[ ] de um sial x[] cujo X(), a Trasformada, seja cohecida. Teorema do valor iicial (TVI): x[0] ( ) lim X Teorema do valor fial (TVF): x[ ] lim ( ) X( )
Trasformadas Exemplo 6.9: Cosidere o sial discreto do exemplo 6., x 5 + u cuja Trasformada de Laplace é dada pela eq. (6.). Aplicado-se os teoremas TVI e TVF obtemos: x 0 lim! # X lim! # $ e x lim! X lim! $ 0 que estão de acordo com o esperado pois que como temos x[], claro, sabemos que este caso são de facto x[0] e x[ ] 0.
Trasformadas Exemplo 6.0: Se tomarmos o sial degrau uitário discreto x u cuja Trasformadas é dada por (tabela Tab 6. da secção 6.8) X &, etão, aplicado-se os teoremas TVI e TVF para Trasformada, obtemos: e x 0 ' lim! # X lim! # & x lim! X lim! & que ovamete estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o degrau uitário discreto x 0 e x. Por outro lado, se tomarmos o sial rampa uitária discreta x u $ cuja Trasformadas é dada por (tabela Tab 6.) X $, etão, aplicadose os teoremas TVI e TVF para Trasformada, obtemos: x 0 ' lim! # X lim! # $ 0
Trasformadas e x lim! X lim! $ lim! que ovamete estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para a rampa uitária discreta x 0 0 e x. Fialmete, se tomarmos o sial impulso uitário discreto x u ( cuja Trasformadas é dada por (tabela Tab 6.) X, etão, aplicado-se os teoremas TVI e TVF para Trasformada, obtemos: e x 0 ' lim! # X lim! # x lim! X lim! 0 que ovamete estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o impulso uitário discreto x 0 e x 0.
Trasformadas Trasformada iversa As Trasformadas dos pricipais siais de iteresse para sistemas lieares ivariates o tempo (SLIT) vêm em forma de uma fração racioal, ou seja, uma fração do tipo: eq. (6.40) ode p() e q() são poliómios em. Coforme podemos observar a tabela das Trasformadas ou etc.
Trasformadas De forma semelhate a que é feita para se achar a Trasformadas iversas de Laplace, aqui também, para se achar a Trasformadas iversa é ecessário desmembrar o X() a forma de frações meores, ou seja, é preciso se faer a expasão de X() em frações parciais. Assim como as Trasformadas iversas de Laplace, vamos apresetar aqui, através de exemplos, três casos de expasão em frações parciais para Trasformadas iversa: o pólos reais e distitos, o pólos complexos e o pólos múltiplos.
Trasformadas Caso Pólos reais e distitos 8 8 X() 6 5 + que, separado-se em duas frações temos: X() facilmete calculamos que A A 6 ( 9 4) ( / )( / ) + B e B, logo eq. (6.4) - ( / ) u [] e podemos escrever a Trasformada iversa de X() - ( / ) u [] x[] u[] + u[] eq. (6.4)
Trasformadas Alterativamete pode-se calcular este x[] reescrevedo X() a forma: 4 X() + B A () X A e B que, separado-se em duas frações temos: [] u [] u [] x + e chegamos ao mesmo resultado:
Trasformadas Caso Pólos complexos cojugados X() (ρ cos θ) + ρ eq. (6.4) ode ρ > 0 0 < θ < π e eq. (6.44) X() tem pólos complexos cojugados: ρ ± e jθ ρ(cos θ ± jseθ) Para calcular x[] [X()] reescreve-se X() a forma, ( ρseθ) X() ( ρseθ) (ρcosθ) + ρ
Trasformadas e, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas e a eq. (6.6) x[] ( ρse θ) { + ρ se[( + ) θ] } u [ + ] ρ se[( + ) θ] u se θ [ + ] que este caso equivale a ρ se[( + ) θ] x[] u[] se θ eq. (6.45) pois para, se (+) se(0) 0, etão x[ ] 0.
Trasformadas Alterativamete pode-se calcular este x[] reescrevedo X() a forma: X() (ρcos θ) + ρ que pode ser colocado a forma: ( se ) X() ρ θ ( ρ seθ) (ρ cos θ) + ρ e, ovamete, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas, podemos escrever a Trasformada iversa de X() obtedo x[] e chegado ao mesmo resultado. ρ se[( + ) θ] x[] u[] eq. (6.45) se θ
Trasformadas Esta solução da Trasformada iversa de X()da eq. (6.4) egloba a família de trasformadas X() do tipo eq. (6.40) cujo deomiador satisfa q() b + c b < 4c eq. (6.46) ou seja, tal que o poliómio q() tem raíes complexas cojugadas. Uma fração racioal do tipo q() b + c b + c ode a codição eq. (6.46) é satisfeita, pode sempre ser reescrita a forma da eq. (6.4) X() eq. (6.4) com ρ > 0 e 0 < θ < π. (ρ cos θ) + ρ
Trasformadas Exemplo 6.: Aqui o poliómio do deomiador e portato, Logo, usado eq. (6.45) com ρ e θ,8 rad, x[], a Trasformada iversa de X(), é X () + 4 ρ c 4 ρ cos θ b + 4 q() b + c + 4 ρ cos θ θ arccos,8 rad 75,5º 4 se[( + ),8] x[] u[] se (,8) que está a forma da eq. (6.4) 4 b e c 4
Trasformadas Exemplo 6.: X() + 5 + 0 + 5 + 0 que está a forma da eq. (6.4) Aqui o poliómio do deomiador q() b + c + 5 + 0 b 5 e c 0 ρ c 0 ρ cos θ b 5 cos ρ 0 5 θ 0,79 0 e portato, θ arccos( 0,79),48 rad 4,º Logo, usado eq. (6.45) com iversa de X(), é ρ 0 e θ 0,79 rad, x[], a Trasformada (,6) se[( + ),48] x[] u[] se (,48)
Trasformadas Caso Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) Se a eq. (6.4) cosiderarmos agora os casos i) θ 0 cos θ ρ > 0, ou ii) θ π cos θ ρ < 0, que ão estavam icluídos a eq. (6.44), etão a eq. (6.4) pode ser reescrita como: X() ρ + ρ ( ρ ) eq. (6.47) Observe que, i) θ 0 cos θ ρ > 0, ou ii) θ π cos θ ρ < 0. Além disso, será cosiderado também o caso ρ 0, iii) ρ 0 que também ão estava cotemplado a eq. (6.44). Note que ρ é o próprio pólo duplo ( ρ) que pode ser positivo ou egativo e até mesmo ero (ρ 0).
Trasformadas Pólos múltiplos a origem: Começamos com este último caso (iii), ρ 0, ou seja pólos duplos a origem (i.e., pólos duplos em 0). A equação eq. (6.47) X() eq. (6.47) ( ρ) com ρ 0, os forece X () ( 0) ou seja, X(), e logo, x[] é o impulso uitário x[] u o []
Trasformadas No caso de pólos triplos a origem (em 0), por exemplo, X() terá a expressão: X() ( 0) e a Trasformadas fica: x[] uo[ ] No caso de pólos quádruplos em 0, X() terá a expressão: X () 4 ( 0) e a Trasformadas fica: e assim por diate. x[] uo[ ]
Trasformadas Pólos múltiplos fora da origem: Agora vamos cosiderar o caso de ρ 0. Ou seja, casos (i) e (ii) Reescrevedo eq. (6.47) como i) ρ > 0, ou ii) ρ < 0. X() ρ ρ ( ρ) e, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas, pode-se obter x[], a Trasformadas iversa de X(), que este caso equivale a + x[] ρ u [] ρ u [] ρ x[] ( + ) ρ u[] eq. (6.49) pois u [] u [].
Trasformadas Alterativamete pode-se calcular este x[] reescrevedo X() a forma: X() ρ ( ρ ρ ) e, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas, obtém-se x[], a Trasformadas iversa de X() x[] ( + ) ρ u[] eq. (6.50) o mesmo resultado já obtido, isto é, x[] da eq. (6.49).
Trasformadas Esta solução da Trasformada iversa de X() egloba uma família de X() do tipo ode q() b + c b 4c eq. (6.5) ou seja, tal que o poliómio q() tem raíes duplas ρ b/
Trasformadas Exemplo 6.4: X() + 6 + 9 + 6 + 9 ( + ) Aqui o poliómio do deomiador é dado por q() b + c + 6 + 9 b 6 e c 9 Além disso, ρ 6/ Logo, x[], Trasformada iversa de X(), com ρ, é dada por: x[] ( + ) ( ) u[]
Trasformadas Exemplo 6.5: X() 8 5 + 6 5 8 + 6 5 ( 4) Aqui o poliómio do deomiador é dado por q() b + c + 8 + 6 b 8 e c 6 Além disso, ρ ( 8)/ 4 Logo, x[], Trasformada iversa de X(), com ρ 4, é dada por: x[] 5 ( + ) 4 u[]
Trasformadas Exemplo 6.6: + 4 + 4 + X() 4 + + 4 4 + 4 + 4 ( + ) Aqui o poliómio do deomiador é dado por q() b + c + 4 + 4 b 4 e c 4 Além disso, ρ ( 4)/. Logo, reescrevemos X() a forma que equivale a X() ( + ) 4 ( + ) X() ( ) ( + ) ( ) ( + )
Trasformadas Logo, x[], a Trasformada iversa de X(), com ρ, é facilmete obtida usado as propriedade da Trasformada (liearidade, traslação/time shift, etc.) x[] - ( ) ( + ) + - ( ) ( + ) - ( ) ( + ) - ( ) ( + ) ou seja, x[] ( ) u[] ( ) ( ) u[ ]
Trasformadas Solução de equações de difereças usado Trasformadas
Trasformadas Exemplo 6.7: Cosidere a equação de difereças de ª ordem y [] + y[ ] x[] com codição iicial ula, y[ ] 0. Faedo-se a Trasformada termo a termo, Y[] + Y() X() isto é, e logo, Y[] ( + ) X() Y[] X() X() + + e o problema de achar a solução y[] da equação de difereça se coverte o problema de achar a Trasformada iversa de Y() y[] { Y() }
Trasformadas Se x[] u o [] (impulso uitário discreto), por exemplo, etão X() y[] - { Y[] } - + ou seja, y[] ( ) u[] que é a solução da equação de difereças com codição iicial ula, i.e., y[ ] 0 e etrada x[] u o [] (impulso uitário discreto). Pode-se facilmete verificar que y[] ( ) u[] de facto satisfa a equação de difereças com x[] u o [] e que y[ ] 0.
Trasformadas Se etretato x[] u [] (degrau uitário discreto), etão portato y[] - { Y[] } X() /( ) - e facilmete se calcula que A ¾ y[] - 4 - A B + ( + ) ( ) ( + ) ( ) e B ¼, logo + ( + ) ( ) y[] ( ) + u[] 4 4 4 e agora, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas assim como a propriedade da liearidade obtém-se: que é a solução da equação de difereças com codição iicial ula, i.e., y[ ] 0 e etrada x[] u [] (degrau uitário discreto). Pode-se facilmete verificar que y[] de facto satisfa a equação de difereças com x[] u [] e que a codição iicial, y[ ] 0, se verifica.
Trasformadas Exemplo 6.8: Cosidere agora a mesma equação de difereças do exemplo aterior (exemplo 6.7), ou seja, y [] + y[ ] com codição iicial y[ ]. x[] Y() + y[ ] + Y() X() Y() [ + ] + X() Y() + ( + ) ( + ) X() ero iput respose ero state respose
Trasformadas Cosideremos agora que a etrada x[] é o sial: Logo, e portato Y() 8 X() ( ) ( + ) x[] 8u [] 8 ( ) ( + 8 )( + ) ( + ) + ( 8 + )( ) o que permite acharmos a solução y[] da equação de difereça através da sua Trasformada iversa Y() ( + ) + ( ) y[] { Y() }
Trasformadas y[] ( ) u [ + ] + u [ + ] [ ( ) + ] u [ + ] que é a solução da equação de difereças com codição iicial, i.e., y[ ]. e etrada x[] 8u [] (degrau de amplitude 8 discreto). Note que, como a equação de difereças é de ª ordem e y[ ] 0, foi ecessário recuar uma uidade de tempo, o que correspode de u [] para u [+]. Pode-se facilmete verificar que y[] de facto satisfa a equação de difereças com x[] 8u [] e que a codição iicial, y[ ], se verifica.
Trasformadas Exemplo 6.9: Cosidere a equação às difereças de ª ordem y[] y[ ] x[] x[ ] com codição iicial ula y[ ] 0, ode a etrada x[] é + Y[] x[] u [] degrau uitário discreto ( y[ ] + Y() ) X() + x[ ] 0 0 ( + X() ) Note também X() /( - ) e que x[ ] u [ ] 0. Logo, Y[] + X() +
Trasformadas e portato, Y[] + + ( ) e mais uma ve pode-se achar a solução y[] da equação de difereças achado-se a Trasformada iversa de Y(), ou seja, y[] { Y() } Y[],5 +,5 ( /) ( )
Trasformadas y[],5 +,5 u [] que é a solução da equação de difereças com codição iicial ula, i.e., y[ ] 0 e etrada x[] u [] (degrau uitário discreto). Pode-se facilmete verificar que y[] de facto satisfa a equação de difereças com x[] u [] e que a codição iicial, y[ ] 0, se verifica.
Obrigado! Felippe de Soua felippe@ubi.pt