ELE-31 Princípios de Telecomunicações

ELE-31 Princípios de Telecomunicações Prof. Manish Sharma Augus 26, 215 2 Sinais e Especro O objeivo dese capíulo é relembrar algumas ferramenas necessárias para a análise de sinais no domínio do empo e de frequência. Alguns conceios novos ambém são apresenados. 2.1 Especro de Linha e Série de Fourier Uma onda senoidal pode ser descria pela seguine equação: v() = A cos(2πf o + φ) (1) onde A é a ampliude, φ é a fase da onda, f é a frequência em Herz (Hz). A relação enre a frequência e velocidade angular (em radianos por segundo) é f o ω 2π. A equação implica em periodicidade infinia mas pode ser uilizada para analisar sinais reais finios (no empo). Represenação equivalene: fasor. Represenação fasorial é derivada da represenação da equação anerior como uma soma de exponenciais complexas: onde j 1. Desa forma emos que a pare real de uma exponencial complexa é: exp(±jθ) = cos(θ) ± jsin(θ) (2) R {Aexp [j (2πf o + φ)]} = A cos(2πf o + φ) (3) Esa represenação se chama fasorial pois o inerior das chaves pode ser viso como um veor no plano complexo com ampliude A cenrado na origem que gira com o empo com a velocidade indicada. A pare real é a projeção dese veor no eixo real, como mosra a figura abaixo: Um fasor é enão definido por 3 elemenos: Ampliude A Fase φ Frequência f o O mesmo fasor pode ser descrio graficamene no domínio de frequência (variável independene f) se eses parâmeros forem apresenados, o que exige dois gráficos: um de ampliude e um de fase. 1

Ampliude Fase I f A φ R Figure 1: Fasor A φ f f f f Figure 2: Diagrama fasorial de ampliude e de fase Resumidamene podemos chamar ese diagrama (ou ouros com informações similares) como especro pois nos permie ver o que o sinal represena no domínio de frequências. Convenções: Variável independene é a frequência f e não a velocidade angular ω. Fases são relaivas ao cosseno, iso é, a fase de um cosseno é zero. A relação enre seno e cosseno é: 2

Ampliude Fase sin(2πf) = cos(2πf 9 o ). Ampliude é sempre posiiva. Ampliudes negaivas são compensadas pela fase para orná-las posiivas. Iso é, cos(2πf ) = cos(2πf + 18 o ) Fases de ±18 são iguais. Fases são apresenadas em graus, com o símbolo o, ou em radianos, dependendo do conexo.. Exemplo: w() = 7 1cos(4π 6 o )+4sin(12π) = 7cos(π)+1cos(2pi2+12 o )+4cos(2π6 9 o ). Ese sinal em o diagrama fasorial da figura 3. 1 7 4 12 o f 2 4 6 2 4 6 f -9 o Figure 3: Diagrama fasorial de w() Eses diagramas são unilaerais e represenam frequências posiivas Uma represenação bilaeral pode ser úil para represenar sinais uilizados na práica. Ela pode ser obida aravés da idenidade: ou seja: R{z} = z + z 2 (4) R {Aexp [jφ] exp [j (2πf o )]} = A 2 [exp( jφ)exp( 2πf oj) + exp(jφ)exp(2πf o j)] (5) Os ermos individuais da equação anerior não são necessariamene reais, mas a soma necessariamene é. Podemos desenhar o diagrama fasorial bilaeral a parir da equação anerior, resulando, para o exemplo anerior, na figura 4 Para sinais reais, o gráfico bilaeral de ampliude em simeria par e o gráfico bilaeral de fase em simeria ímpar 3

Fase Ampliude 5 5 2 7 2 f f -6-4 -2 2 4 6 12 o 9 o f -6-4 -2 2 4 6 f -12 o -9 o Figure 4: Diagrama fasorial bilaeral de w() Comparando os dois diagramas, o bilaeral possui meade do valor das ampliudes, exceo na origem (f = ). 1 A vanagem de uilizar o especro bilaeral é porque ele permie a represenação de sinais complexos, que serão úeis fuuramene. Uma única linha represena enão: Uma senoide no especro unilaeral Uma exponencial complexa no espero bilaeral Tano as frequências posiivas como as frequências negaivas (absração maemáica) devem ser consideradas ao desenhar o especro bilaeral. O especro de ampliude é normalmene mais uilizado pois coném informação sobre quais frequências esão presenes e quano elas são fores, o que só veremos formalmene depois. 2.1.1 Sinais periódicos e poência média Um sinal v() é periódico se v( ± nt ) = v(), para < < e qualquer m ineiro. Na equação anerior, o menor valor de T que saisfaz a igualdade é o período fundamenal do sinal. Podemos aproximar, com consequências, sinais reais como sinais periódicos. A represenação que uilizaremos poseriormene necessia que a poência média dese sinal seja finia, o que definiremos a seguir. O valor médio no empo de uma função v() qualquer é < v() >, calculada via: 1 Cabe ao aluno verificar as afirmações sempre que o símbolo aparecer. 4

Quando v() é periódica com período T esa equação fica: T 1 2 < v() >= lim v()d (6) T T T 2 < v() >= 1 T 1+T 1 v()d = 1 T T v()d (7) Para deerminar a poência de um sinal, é preciso saber qual grandeza ele represena. Por convenção, assumimos que o sinal v() é ou uma correne ou uma ensão aplicada sobre uma resisência de 1Ω, de forma que a poência média dese sinal é, pela Lei de Ohm: P v =< v() 2 >= 1 T T v() 2 d (8) onde uilizamos o módulo pois v() pode ser complexo 2 Quando < P v <, o sinal v() é chamado de sinal de poência periódico. Para sinais senoidais com ampliude A, a poência é P = A2 2 2.1.2 Série de Fourier (S.F.) Permie represenar sinais periódicos como soma de exponenciais complexas Seja v() um sinal de poência periódico com período fundamenal T = 1/f. O valor de f é a frequência fundamenal. Ese sinal pode ser escrio como : v() = n= para n =, 1, 2,...,, com coeficienes dados por: c n exp(j2πnf ) (9) c n = 1 T T v() exp( j2πf o )d = c n exp(j arg(c n )) (1) onde arg(c n ) reorna a fase do número complexo c n A equação se enconra na forma exponencial. Poderia ser dividia na forma senoidal separando o somaório em somas de cossenos e senos, eses úlimos muliplicados pela consane j. Comparando com a definição de valor médio, o valor de c n pode ser inerpreado como o valor médio do que esá sendo inegrado. Ese, por sua vez, pode ser viso como o produo inerno de v() com a exponencial complexa. O somaório ambém pode ser inerpreado como uma soma de fasores com frequência múlipla ineira da frequência fundamenal do sinal v(), iso é,, ±f, ±2f,... Logo, V (f), o especro de linha bilaeral de v() é definido pelos valores de c n, de al forma que V (nf ) = c n Propriedades do especro de sinais periódicos: Todas as frequências presenes são harmônicos (múliplos ineiros) da frequência fundamenal f = 1/T, i.e., linhas são uniformemene espaçadas. 2 Nese caso a poência que esamos calculando é equivalene a poência aparene 5

Valor em f = (normalmene chamado de D.C.) é o valor médio do sinal: Para sinais reais: iso é, ampliudes em simeria par e fases em simeria ímpar c = 1 T T v()d =< v() > (11) c n = c n = c n exp( jarg(c n )) (12) A úlima propriedade permie reagrupar elemenos da série, dois a dois, exceo c, ou que nos permie escrever: v() = c + n=1 2c n cos(2πnf + arg(c n )) ou v() = c + 2 n=1 [a (13) ncos(2πnf ) + b n sin(2πnf )] a n = R{c n }, b n = I{c n } As funções seno e cosseno da equação anerior formam uma base de funções orogonais em T Duas funções v n () e v m () são orogonais em um inervalo 1 a 2 se: { 2, se n m v n ()v m ()d = 1 K, consane, se n = m (14) Assim, a Série de Fourier pode ser visa como a descrição de um sinal aravés da combinação linear das bases do espaço de sinais. O cálculo de c n nada mais é do que o cálculo da projeção do sinal na base correspondene, assim como é feio em Álgebra Linear. Formas orogonais são uilizadas em um ipo de modulação (QAM) Muias vezes para calcular c n emos que resolver uma inegral do seguine ipo: 1 T/2 1 exp(j2πf )d = T T/2 j2πft exp(j2πf) T/2 T/2 = 1 sin(πft ) (15) πft que é o valor médio de um fasor com frequência f qualquer avaliado durane um inervalo que não é necessariamene o seu período Como esa função aparece muio, damos o nome de sinc(λ) = sin(πλ)/πλ, onde λ é adimensional. O seu formao aproximado é dado pela figura 5: Propriedades de sinc(λ) A ampliude (envolória) decai com 1/λ. A simeria é par. O seu valor é 1 quando λ =, e vale quando λ = ±1, ±2,... Exemplo: rem de pulsos reangulares (figura 2.1.2) v() não é definido nas desconinuidades, aproximação de caso real. O inervalo de inegração é um período T, de T /2 aé T /2 Nese inervalo v() = A para, /2 e caso conrário 6

sinc( ) 1.8.6.4.2 -.2 -.4-4 -3-2 -1 1 2 3 4 Figure 5: Formao de sinc(λ) = sin(λx) λx Logo: c n = 1 T/2 v() exp( j2πf o )d T T /2 = 1 /2 A exp( j2πf o )d T /2 = A T (j2πf n)exp( j2πf n) /2 /2 = A T sin(πf n) πf n = A T sinc(f n) Para visualizar o especro de ampliude e fase consideramos os valores numéricos de /T = f = 1/4: Há zeros em ±4f, ±8f, pois neses ponos a função sinc vale ; O valor em f = é o valor D.C, pode ser obido por inpeçã?ao, é igual a /T Os valores de c n são reais e as vezes negaivos. Quando posiivos, a fase é, quando negaivo a fase é ±18 o. Nese caso, escolhemos o sinal de forma a maner a simeria necessária. Recomposição de v() via somaório: v() = A 2A 4 + π cos(2πf ) + A 2A π cos(4πf ) + 3π cos(6πf ) + (17) Aproximação pode ser feia considerando um número finio de ermos dese somaório, como mosra a figura abaixo. Enão, o somaório acima converge para v() nese caso quando o número de ermos uilizados ende para infinio (16) 7

...... -T = T.25.2.15 c n.1.5-15 -1-5 5 1 15 n 2.1.3 Condições para convergência e fenômeno de Gibbs Nem sempre uma série converge. Condições de Dirichle para convergência(suficienes mas não esriamene necessários): Número finio de máximos e mínimos por período v() é absoluamene inegrável por período Condição alernaiva: v() 2 em média finia por período, o que é equivalene a dizer que é um sinal de poência. Assim, sendo v N (T ) = N n= N c n exp(j2πnf ), emos; Fenômeno de Gibbs lim N v() v N () d = T (18) Nos ponos de desconinuidade a soma parcial v N () converge para o pono médio de desconinuidade. Além disso, em cada uma das exremidades há oscilações com período de T /2N e pico de aproximadamene 9% do degrau. Em sinais reais ese fenômeno não exise pois eles são conínuos. Por ouro lado, sinais sineizados pela soma de um número finio de ermos de uma Série de Fourier de um sinal com desconinuidades podem apresenar ese comporameno. Fenômeno implica em cuidados ao usar filros reais aproximados como ideais. 2.1.4 Teorema de Parseval Relação enre poência de um sinal periódico v() e seus coeficienes c n é: P v = 1 T T v() 2 d = 1 T T v()v ()d (19) 8

Como v () = c nexp( j2πnf o ), emos que, subsiuindo na equação anerior: n= P v = 1 v() c T T nexp( j2πnf o )d = = = 1 T n= n= n= c n c n c n 2 n= [ ] v()exp( j2πnf o ) c nd T (2) Logo, a poência média de um sinal periódico é igual a soma dos coeficienes de sua série de Fourier. Ese cálculo não envolve o especro de fases A poência oal de um sinal periódico é igual a soma das poências de cada um dos componenes da série. Ese resulado ambém pode ser derivado levando em consideração que as funções cos(2πnf ) e cos(2πmf ) são orogonais no inervalo T, para n m ineiros. 2.2 Transformada de Fourier e Especro conínuo Sinais não periódicos com energia finia podem ser analisados com a Transforada de Fourier (TF). Em condições semelhanes às aneriores, um sinal v() não periódico é um sinal de energia se: é finia. E v v() 2 d (21) 9

A TF pode ser visa como um limie da série de Fourier quano T ou f. O somaório da Série de Fourier se ransforma em uma inegral: v() = [ ] v()exp( j2πf )d exp(j2πf )df (22) A ransformada de Fourier de um sinal v() é uma função V (f) obida aravés de: V (f) F{v()} A ransformada de Fourier inversa (IFT) é definida como: v() F 1 {V (F )} Assim como a série de Fourier, F 1 {V (F )} converge para v(). Circularmene, v() = F 1 {F{v()}}, mas ainda provaremos iso. Comparando com a série de Fourier, V (F ) é o especro conínuo de v() Propriedades: v() exp( j2πf )d (23) V (f) exp(j2πf)df (24) V (f) é uma função poencialmene complexa, no senido de er ermos reais e imaginários. V (f = ) é a área de v(), iso é, V () = v()d Se v() é real, V ( f) = V (f). Consequenemene: V ( f) = V (f) a ampliude possui simeria par arg[v ( f)] = arg[v (f)] a fase possui simeria ímpar Funções que obedecem ambas esas simerias são funções com simeria Hermiiana Exemplo: pulso reangular Definimos um pulso reangular genérico como: Π ( ) { 1, < 2, cc. A função que desejamos ransformar é v() = AΠ ( ) Logo: (25) V (f) = v() exp( j2πf)d = /2 /2 A exp( j2πf) = Asinc(f) (26) Da figura concluímos que: Grande pare da energia esá enre 1/ e 1/ Quano mais curo o pulso, maior o espalhameno especral, pois diminui e 1/ aumena. 1

] 2.2.1 Sinais siméricos Sinais com algum ipo de simeria possuem TF simplificadas. Insane = pode denro de alguns limies ser escolhido livremene mas insane f = não pode pois há significado físico no seu valor Usando a idenidade de Euler, podemos escrever uma TF como: onde : V (f) = V e (f) + jv o (f) (27) V e (f) V o (f) v()cos(2πf )d v()sin(2πf )d (28) A priori não há nenhum ipo de simeria nesas funções. Se v() é real, R{V (f)} = V e (f) e I{V (f)} = V o (f). ( Mosre que iso não é verdade quando v() não é real, mas que uma afirmação semelhane pode ser feia para quando v() é um sinal imaginário) Para uma função genérica w() que pode represenar ano v()cos(2πf ) ou v()sin(2πf )d, emos : w()d = w()d + Quando v() em simeria par, v() = v( ): v()cos(2πf ) em simeria par v()sin(2πf ) em simeria impar 2 w()d, se w() é par w()d =, se w() é impar (29) 11

Logo V (f) = V e (f) = 2 V o (f) = v()cos(2πf )d (3) Quando v() em simeria ímpar, v() = v( ): v()cos(2πf ) em simeria impar v()sin(2πf ) em simeria par Logo V (f) = jv o (f) = 2 V e (f) = v()sin(2πf )d (31) Conclusão: especro de um sinal real com simeria par é real. O especro de um sinal real com simeria ímpar é imaginário. 2.2.2 Sinais causais Sinais causais são aqueles que dependem somene do passado e do presene, nunca do fuuro. Assim, um eveno no presene só pode alerar o fuuro Sinais do mundo real, pelo nosso conhecimeno, são causais Um modelo que pode ser uilizado para ese ipo de sinal é dizer que v() = para <, i.e., o sinal começa em ou depois de =. Uma consequência dese modelo é que não há nenhum ipo de simeria no sinal. Logo, o especro erá ermos reais e complexos A TF adquire o formao de: V (f) = v()exp( j2πf )d (32) que é equivalene à ransformada de Laplace (TL) limiada ao círculo complexo uniário, definida como: L{v()} v()exp( s)d (33) s=j2πf Logo, se v() é um sinal causal de energia não periódico, pode-se ober a TF a parir a TL Exemplo: v() = { Aexp( b), >, cc. L{v()} A = s=j2πf b + j2πf = A b j2πf b 2 + (2πf) 2 V e (f) = R{V (f)} = Ab b 2 + (2πf) 2 V o (f) = I{V (f)} = A2πf b 2 + (2πf) 2 (34) 12

Poderíamos exrair o módulo e a fase da TF aravés de: Modulo = Ve 2 (f) ( + Vo 2 )(f) F ase = an 1 Vo (f) V e (f) (35) 2.2.3 Teorema de Energia de Rayleigh Semelhane ao eorema de Parseval para poências: E = V (f)v (f)df = O valor V (f) 2 indica a disribuição de energia no espaço de frequências V (f) 2 df (36) Para sinais a serem projeados, iso implica que a maior pare da energia deve esar denro da banda desejada/permiida 2.2.4 Teorema de dualidade Se F{v()} = V (f) e exise z() al que z() = V (f = ) enão F{z()} = v( f) (37) iso é, a TF de uma função z() pode ser calculada aravés da IFT, com uma roca de variáveis e de sinal, desde que z() enha o formao de uma função cuja IFT conhecemos. Esa propriedade é úil por exemplo quando v() é real e possui simeria par, pois V (f) ambém será. Nese caso podemos ignorar a roca de sinais.. Exemplo z() = Asinc(2W ), onde W represena a banda do sinal (onde esá a maior pare da energia) Sabemos que para v() = BΠ( ) V (f) = Bsinc(f) Reescrevendo z()emos: z() = A 2W sinc(2w ) (38) 2W e as variáveis se relacionam como: Logo Z(f) = A 2W = B 2W = = f A ( ) f 2W Π 2W O sinal sinc no empo é limiado em banda e infinio no empo, enquano que o sinal Π() é finio no empo e infinio em banda. 2.2.5 Considerações práicas sobre a TF 1 a opção: abelas de ransformadas ou combinações de ransformadas 2 a opção: Propriedade da dualidade 3 a opção: Transformada de Laplace, quando houver 4 a opção: aproximações.caso z() z(), z() z() é pequeno, Z(f) = F{z()} e Z(f) = F{ z()}, enão: Z(f) Z(f) 2 df = z() z() 2 d (41) devido ao eorema de Rayleigh. Iso é, o erro acumulado no empo se manerá em frequência. (39) (4) 13

2.3 Propriedades da Transformada de Fourier Ajudam a analisar/calcular alguns ipos de sinais. 2.3.1 Superposição Se v() = a 1 v 1 () + a 2 v 2 () enão F{v()} = a 1 V 1 (f) + a 2 V 2 (f), ou, genericamene: { } F v k () = V k (f) (42) k k onde F{v k ()} = V k (f). 2.3.2 Deslocameno no empo Dada uma função v() ela pode ser arasada em d ao escrevermos v () = v( d ). Nese caso: F{v ()} = Com uma ransformação de variáveis = d e = + d chegamos e: v( d )exp( j2πf)d (43) F{v ()} = v( )exp[ j2πf( + d )]d = exp( j2πf d ) = exp( j2πf d )V (f) v( )exp[ j2πf()]d (44) 2.3.3 Mudança de escala Quando desejamos mudar a escala de empo, muliplicamos a variável empo por uma consane, iso é, = α. O sinal resulane é v(α). Com α < 1 o sinal é comprimido no empo e com α > 1 o empo é esendido. Com α < há reversão emporal. Uilizando = α, emos que d d = α. Asim, a TF fica: F{v(α)} = v( )exp = 1 α V (f ) = 1 ( ) f α V α ( j2πf α onde f = f α. A razão para uilizarmos o módulo de α é que, quando α <, os limies de inegração acabam sendo rocados. Para permanecer com os mesmos limies, muliplicamos a inegral por menos um. Esa muliplicação resula em α. ) d α Exemplo: Sendo v() = A Π ( ), emos um sinal za () = v( d ) v( ( d + T )) que é composo de dois pulsos reangulares, como mosra a figura 6. Assim: (45) V (f) = A(sinc(f) Z a (f) = V (f)exp( j2πf d ) V (f)exp( j2π( d + T )) = V (f)[exp( j2πf d ) exp( j2π( d + T ))] (46) 14

... d +T/2... d +T d Figure 6: Dois pulsos reangulares Podemos escrever a seguine idenidade: exp(j2θ 1 ) ± exp(j2θ 2 ) = { [exp(j(θ 1 θ 2 )) ± exp( j(θ 1 θ 2 ))]exp(j(θ 1 + θ 2 ) 2cos(θ 1 θ 2 )exp(j(θ 1 + θ 2 ) = j2sin(θ 1 θ 2 )exp(j(θ 1 + θ 2 ) (47) No caso dese exemplo, θ 1 = πf d e θ 2 = πf( d + T ). Definindo = d + T/2(o pono cenral enre os dois pulsos) emos que θ 1 θ 2 = πft ) e θ 1 + θ 2 = 2πf, resulando em: Z a (f) = [Asinc(f][j2sin(jπfT )][exp(j2πf )] (48) Definindo arbirariamene que = eliminamos a úlima exponencial. O formao de z b () = z a () fica com simeria ímpar e o valor de sua TF é: Z b (f) = Asinc(f)(j2sin(πf)) = A(j2πf sinc 2 (f)), ( ) πf πf iso é, o especro é puramene imaginário pois a função z b () em simeria ímpar 2.3.4 Translação em frequência e Modulação Seja v() com uma TF V (f). A muliplicação no empo de v() por uma exponencial complexa causa a ranslação em frequência, iso é: iso é, o especro fica cenrado em f = (49) F{v() exp(j2πf )} = V (f f ) (5) Assim, se v() em coneúdo de energia enre ±W (sendo real), o seu especro pode ser represenado genericamene pela figura??çãocap2 m odulação(a). 15

(a) f= f=w (b) f= f=f c -W f=f c f=f c +W (c) f=-f c f= f=f c Figure 7: Transformadas de Fourier de: (a) v(); (b) v() exp(j2πf ); (c) v() cos(j2πf ). Há uma redução de ampliude no erceiro especro por um faor de 2. Podemos fazer ese sinal ocupar a faixa de f c ± W muliplicando v() pela exponencial complexa apropriada. O especro resulane ocupa uma banda de 2W exclusivamene de bandas posiivas (sendo f c > W ) e consequenemene não possui simeria em orno de f =. Logo, o sinal resulane no empo é complexo, o que pode ser um problema para o raameno de sinais reais. Solução: muliplicar v() por um seno ou cosseno, resulando no eorema de modulação: v()cos(2πf c + φ) V (f f c ) exp(jφ) 2 + exp( jφ) V (f + f c ) (51) 2 iso é, muliplicar um sinal por ondas senoidais equivale a ransladar o especro para ±f c, dividindo a cada uma das cópias por dois. Sendo o sinal original real, o especro do produo final será Hermiiano. Exemplo: pulso de rádio frequência, uilizado frequenemene em radares. Senoide finia com f c na faixa de rádio frequência: ( ) z() = AΠ cos(2πf c ) (52) Ese sinal pode ser viso como o produo de um pulso reangular com largura e um cosseno com frequência f c, como mosra a figura 8 A TF do pulso reangular é Asinc(f). Logo, a TF de z() será, uilizando o eorema da modulação: Z(f) = A 2 [sinc((f f c)) + sinc((f + f c ))] (53) O especro resulane em o seguine formao da figura 9 16

Z(f) z() 1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1 -3-2 -1 1 2 3 Figure 8: Pulso de rádio frequência para f c = 2. 1.2 1.8.6.4.2 -.2 -.4-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 f Figure 9: Especro de Z(f)(módulo), para f c = 2. 17

Embora a senoide enha frequência igual a f c, ela é finia no empo. Por ese moivo há energia fora de f c Caso a senoide fosse infinia, poderíamos uilizar um especro de linha represenado uma série de Fourier ou um o limie da ransformada, que veremos depois. 2.3.5 Diferenciação Uilizando a IFT, podemos escrever: d d v() = d [ ] V (f) exp(j2πf)df d (54) Como a exponencial denro da inegral é a única coisa que depende do empo, reescrevemos: d d v() = = V (f) d (exp(j2πf)) df d V (f)j2π f exp(j2πf)df (55) Como a equação acima ainda é uma ransformada de Fourier inversa, aquilo que não faz pare da exponencial faz pare da Transformada de Fourier de d dv(). Logo: { } d F d v() = V (f)j2πf (56) ou genericamene, chegamos no eorema de diferenciação: { } d n F d n v() = V (f)(j2πf) n (57) 2.3.6 Inegração Seja z() = v(λ)dλ, onde λ é uma variável dummy. Se V () = v(λ)dλ =, garanimos que z() convergirá para quando. Uilizando o caminho conrário ao da derivada, chegamos no eorema da inegração: { } F v(λ)dλ = 1 V (f) (58) j2πf Os principais resulados desas úlimas duas seções são: Ao derivar um sinal, as suas frequências mais alas serão amplificadas e as mais baixas reduzidas, devido ao faor f muliplicando a TF resulane. Ao inegrar um sinal, as suas frequências mais baixas serão amplificadas e as mais alas reduzidas, devido ao faor f muliplicando a TF resulane. Exemplo: Pulso riangular. O sinal z b () = AΠ ( + 2 ) AΠ ( ) 2 em média zero. Logo, podemos ober um novo sinal baseado na inegral de z b () e ese sinal erá uma ransformada de Fourier. Assim: w() = 1 { ( ) A 1, < z b (λ)dλ =, > (59) 18

F ) $! = "* () 1.8.6.4.2-3 -2-1 1 2 3 1.8.6.4.2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 f Figure 1: Sinal Λ() e seu especro. Aplicando o eorema de inegração emos que : W (f) = 1 1 j2πf Z b(f) = A j2πf j2πf sinc2 (f) = Asinc 2 (f) (6) Em comparação com o pulso reangular, o pulso riangular em menos energia em alas frequências. Iso aconece porque não há desconinuidades nese sinal. A sua duração é 2, enquano que o pulso reangular dura somene. Noação: Λ ( ) { 1, <, > F { Λ ( )} = Asinc 2 (f) A figura 1 mosra o pulso riangular no empo e o módulo do seu especro, para = 1. Para comparação, o módulo do pulso quadrado com largura = 1 ambém esá desenhado na linha racejada. 2.4 Convolução Muios sinais reais são obidos aravés da convolução de ouros dois sinais. (61) A inegral da convolução é: onde a variável independene é v() w() v(λ)w( λ)dλ (62) A inegral ambém pode ser visa como a superposição de várias resposas de um sisema a impulsos aplicados a ele, como por exemplo a reverberação numa sala ou o eco de uma caverna Uma das funções da inegral normalmene é limiada no empo, o que facilia o seu cálculo. 19

Exemplo: As funções a serem convoluídas são: v() = A exp( ) < < w() w( λ) = T = λ T = λ T < < T < λ < T T < λ < Em função de λ, w() deve sofrer reversão e deslocameno da origem para o insane =. Quando < há v(λ) w( λ) = para qualquer valor de λ. Logo, nesa siuação, v() w() =. Quando < < T, a superposição é parcial e a inegral fica: ( ) λ v() w() = Aexp( λ) dλ T = A (64) T [ 1 + exp( )] Quando T <, a superposição é complea e a inegral fica: ( ) λ v() w() = Aexp( λ) dλ T T = A (65) T [T 1 + exp( T )]exp[ T )] (63) 2.4.1 Teoremas de Convolução A convolução é comuaiva: v() w() = w() v() associaiva: v() (w() (z()) = (v() w()) (z() disribuiva: v() (w() + (z()) = v() w() + v() z() O eorema de convolução diz que: v() w() V (f) W (f) (66) iso é: a convolução no domínio do empo equivale ao produo no domínio da frequência. Também: v()cdow() V (f) W (f) (67) iso é: a convolução no domínio da frequência equivale ao produo no domínio do empo. Prova da primeira pare: F{v() w()} = = = [ v(λ) = W (f)v (f) ] v(λ) w( λ)dλ exp( j2πf )d [ ] w( λ)exp( j2πf )d dλ v(λ) [W (f)] exp( j2πfλ)dλ (68) onde uilizamos os faos de que v(λ) não depende de, a propriedade de descolameno no empo da TF, que W (f) não depende de λ e que na úlima inegral a variável λ esá fazendo o papel de na ransformada de Fourier. 2

v()*w() 1-2 = 1 + 2 Figure 11: Resulado da convolução de dois pulsos reangulares com largura diferene Exemplo: pulso rapezoidal Um pulso rapezoidal pode ser obido com a convolução de dois pulsos reangulares com larguras diferenes: ( ) v() = A 1 Π ( 1 ) w() = A 2 Π (69) 2 1 > 2 Assim, v() w() em o seguine formao da figura 11 A sua TF será enão: V (f)w (f) = [A 1 1 sinc(f 1 )][A 2 2 sinc(f 2 )] (7) Quando 1 = 2 = o pulso rapezoidal se reduz a um riangular com largura 2 e ampliude A = A 1 A 2, resulando na TF já conhecida de um pulso riangular. 2.5 Impulsos e limies da Transformada de Fourier Há sinais com componenes periódico e não periódicos ao mesmo empo. Como podemos analisá-los? Solução maemáica: permiir impulsos no domínio de frequência Limies da TF ambém permiem criar uma represenação especral de impulsos no empo 2.5.1 Propriedades do Impulso Uniário Impulsos uniários ou dela de Dirac δ() em a seguine propriedade: { 2 v(), 1 < < 2 v()δ()d = 1, c.c (71) quando v() é conínua em = 21

δ() = Figure 12: Represenação gráfica do impulso A mesma propriedade é válida em frequência, i.e., subsiuindo por f. Se v() = 1, com ɛ arbirariamene pequeno. δ()d = ɛ ɛ δ()d = 1 (72) Assim, δ() em área uniária concenrada em =, e δ() = para. Represenação gráfica na figura 12 Fisicamene um sinal dese ipo não pode exisir, mas muias funções exisenes endem ao impulso. Em paricular, a função δ ɛ () é definida de al forma que se: lim v()δ ɛ ()d = v() (73) ɛ enão: lim δ ɛ() = δ() (74) ɛ Duas funções que saisfazem eses limie são: ) δ ɛ () = 1 ɛ Π ( ɛ ) (75) δ ɛ () = 1 ɛ sinc ( ɛ Três propriedades de δ(): Replicação: v() δ( d ) = v( d ) 22

2 Amosragem: v()δ( d )d = v( d ). Assim: v() δ( d ) = v( d ) δ( d ) 1 Mudança de escala: δ(α) = 1 α δ() 2.5.2 Impulsos em Frequência Represenam fasores ou consanes Por exemplo, quando v() = A (uma consane), v() em energia infinia. A princípio, não há TF de fao, mas no limie: v() = lim W F{v()} = lim W A sinc(2w ) = A ( ) A f 2W Π = Aδ(f) 2W (76) Assim, A Aδ(f), iso é, a TF de uma consane é um impulso Inuiivamene ese resulado faz senido pois uma consane não varia no empo e oda sua energia deve esar em f = Alernaivamene, poderíamos er feio como abaixo para chegar no mesmo resulado: ( ) v() = lim A Π e chegaríamos a: (77) V (f) = lim Asinc(f) = Aδ(f) (78) Uilizando a propriedade da TF de ranslação em frequência podemos escrever genericamene: A exp(j2πf c ) δ(f f c ) A cos(2πf c + φ) A 2 [exp(jφ)δ(f f c) + exp( jφ)δ(f + f c )] iso é, o especro conínuo de um fasor é um impulso em f c e o especro de uma onda senoidal são dois impulsos: Assim, para um sinal periódico com série de Fourier v() = c(nf )exp(j2πnf ), a sua TF conínua será V (f) = F { n= c(nf )exp(j2πnf ) } n= = n= (79) c(nf )δ(f nf ) (8) Qualquer especro de linha pode dessa forma ser ransformado em um especro conínuo A diferença enre os dois é que, para chegar no sinal original, o especro de linha se soma enquano que o especro conínuo deve ser inegrado. Exemplo: Impulsos e especro conínuo: Um sinal no empo é definido como v() = Acos(2πf c ) AΠ( )cos(2πf c) + AΠ( )cos(4πf c). O seu formao no empo para f c = 1 e = 2 é aproximadamene mosrado na figura 13-(a) ( Podemos calcular o especro dos ermos que apresenam produos no empo aravés da convolução em frequência. O especro resulane em a função abaixo, e mosrado na figura 12-(b). V (f) = A 2 [δ(f f c)+δ(f+f c )] A 2 [sinc(f f c)+sinc(f+f c )]+ A 2 [sinc(f 2f c)+sinc(f+2f c )] (81) 23

V(f) v() 1.5 -.5-1 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5.8.6.4.2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 f Figure 13: Sinal no empo e em frequência do exemplo, para f c = 1 e = 2 2.5.3 Função degrau e sinal A função degrau (sep) é u() { 1, >, < (82) Esa função é de ineresse pois pode ser uilizada para modelar um sinal causal aravés do produo da função degrau com uma função não causal Por não ser simérica em orno da origem há complicações maemáicas para se calcular a sua TF Para resolver ese problema usamos a função sinal (signum), definida como: { 1, > sgn() = 1, < (83) que pode ser escria como um limie: v() = exp( b)u() z() = lim b [v() v( )] (84) Uilizando o resulado do exemplo da seção 2.2.2 para uma exponencial causal e que a função sgn() em simeria ímpar, chegamos em: No limie quando b emos: Z(f) = j2v (f) = j4πf b 2 + (2πf) 2 (85) j4πf F{sgn()} = lim b b 2 + (2πf) 2 = j πf = 1 jπf (86) 24

Podemos escrever a função degrau como :u() = (sgn() + 1)/2. Uilizando a propriedade da linearidade da TF e que a TF de uma consane é um impulso, emos: F{u()} = δ(f) 2 + 1 j2πf (87) A TF de sgn() não em um impulso em f = pois a sua média é zero. A TF de u() em um valor médio igual a 1/2, logo exise um impulso em f =. Ese impulso ambém aparece ao aplicarmos o eorema da inegração sobre uma função que em área líquida : v() u() = v(λ)u( λ)dλ = v(λ)dλ, pois u() = se λ > [ δ(f) F{v() u()} = V (f) + 1 ] (88) 2 j2πf Logo : v(λ))dλ V () 2 [ ] 1 + V (f) j2πf (89) 2.5.4 Impulsos no empo Temos que A Π ( ) Asinc ( f ). No limie quando, Aδ() A Iso é, impulsos no empo coném odas as frequências com a mesma ampliude. Mesmo resulado pode ser obido uilizando a propriedade da dualidade sobre A Aδ(f). Eses resulados podem ser inerpreados da seguine forma: Sinal com duração zero em largura especral infinia. Sinal com duração infina (consane) em largura especral zero Ao deslocarmos no empo emos: Aδ( d ) A exp( j2πf d ) (9) Como, por definição F 1 {A exp( j2πf d )} = Aδ( d ), emos que, para maner consisência: Esa definição e consequência permie mosrar que: exp(j2πf( d )df = δ( d ) (91) F 1 {V (f)} = [ ] v(λ)exp( j2πf)dλ exp(j2πf)df = [ ] v(λ) exp(j2πf( λ))df dλ = v(λ)δ( λ)dλ = v() δ() (92) O impulso ambém em relação com a função degrau pois: { 1, > d δ( d )d =, < d = u( d ) (93) 25

Logo: δ( d ) = d d u( d) (94) Esa propriedade permie analisar alumas funções da seguine forma: sendo v() uma função conínua e dn 1 d v() a primeira derivada de v() em que há desconinuidades, enão a derivada de ordem n possui n 1 impulsos. Logo, podemos escrever a derivada de ordem n da seguine forma: v d () = dn d n v() = w() + k A k δ( k ) (95) Na equação anerior, w() represena a pare da função v d () sem impulsos. O somaório presene é a soma de impulsos localizados nos insanes k, com ampliude A k, devido às desconinuidades (degraus) em dn 1 d n 1 v() cujas derivadas resulam nos impulsos de v d () Pelo eorema da derivação, se v d () = dn d n v(), enão: F{v d ()} = V d (f) = V (f) (j2πf) n V d (f)(j2πf) n = V (f) (96) Logo: v d () = dn d n v() (j2πf)n V (f) = W (f) + k A k exp( j2πf k ) (97) Se soubermos o formao de W (f) e os valores de A k e k, podemos escrever: V (f) = W (f) (j2πf) n + 1 (j2πf) n A k exp( j2πf k ) (98) Além disso, se W (f) quando f, o comporameno de V (f) para alas frequências será proporcional a f n. Iso aconece porque, nesas condições, o ermo dominane de V (f) é o somaório, cujos ermos em como módulo A k. O somaório esá sendo muliplicado por 1 (j2πf), resulando na n proporcionalidade mencionada. Dizemos que ese especro erá enão roll-off de ordem n. Se n é grande, há pouca energia em alas frequências. Se n é pequeno, há mais energia em alas frequências. Um pulso reangular, por exemplo, em desconinuidades já na sua primeira derivada. Por isso, o roll-off de seu especro (sinc) em roll off de ordem 1 (iso é, decaimeno de 1/n) Exemplo: Pulso cosseno levanado (diferene de filro raiz de cosseno levanado) k Muio uilizado na práica para limiar a banda de um sinal ransmiido O sinal base e suas primeiras rês derivadas são: v() = A ( ( )) ( ) π 1 + cos Π 2 2 dv() ( π ) ( ( )) ( ) A π = sin Π d 2 2 d 2 v() ( π ) ( ( )) ( ) 2 A π d 2 = cos Π 2 2 d 3 v() ( π ) 2 A ( π ) 3 A d 3 = 2 [δ( + ) δ( )] + 2 ( sin ( )) ( ) π Π 2 (99) 26

v() dv() d 2 1.5 4 2 1.5-2 -2-1.5-1 -.5.5 1 1.5 2-4 -2-1.5-1 -.5.5 1 1.5 2 1 1 5 5 d 2 v() d 2-5 d 3 v() d 3-5 -1-2 -1.5-1 -.5.5 1 1.5 2-1 -2-1.5-1 -.5.5 1 1.5 2 Figure 14: Cosseno levanado e rês primeiras derivadas O úlimo ermo da erceira derivada pode ser escrio como π especro: 2 dv d, permiindo chegar no seguine { d 3 } v() ( π ) 2 A F d 3 = (j2πf) 3 V (f) = 2 [exp(j2πf) exp( j2πf)] π 2 (j2πf)v (f) (1) { } dv() onde uilizamos ambém o fao de que F = (j2πf)v (f) d Isolando V (f) e usando a idenidade de Euler chegamos a: V (f) = A sinc(2f) 1 (2f) 2 (11) que decai aproximadamene com f 3, muio mais rápido do que a sinc. A comparação do especro do pulso cosseno levanado, do pulso reangular e do pulso riangular esão na figura 15, para f >. Na comparação, odos os pulsos em a mesma duração de 1 segundo e energia de 1J. Transmissões que uilizam ese pulso coném melhor a energia denro de uma banda do que a sinc. 2.5.5 Transformada de Fourier no empo discreo e Transformada Discrea de Fourier Leiura para o laboraório. Presene na 5a. edição. 2.5.6 Exercícios Todas as 11 quesões conceiuais do capíulo 2. Problemas: 2.1.1 2.1.2 2.1.5 2.1.8 2.1.9 2.1.12 2.1.13 2.2.1 2.2.4 2.2.12 2.2.14 2.3.1 2.3.6 2.3.8 2.4.1 2.4.5 2.4.6 2.4.8 2.5.2 2.5.4 2.5.1 2.5.13 2.5.14 27

log 1 ( V(f) ) 1 1-1 Pulso quadrado Pulso riangular Pulso Cosseno levanado 1-2 1-3 1-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 f Figure 15: Comparação dos especros dos rês pulsos esudados nese capíulo. Tene recriar esa figura, com a resrição que os rês pulsos devem er a mesma duração e a mesma energia. 28