Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada na formulação do método dos elementos finitos.

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1 CAPÍUO 6 ESADO PAO DE ESÃO ete cítulo é decrit co orenor forulção de eleento finito detindo à dicretizção de roble de nálie de etrutur que e enqudr no co rticulr deigndo "Etdo Plno de enão" [6.]. Areent-e e rieiro lugr o co do eleento finito qudrdo de dienõe fi eguindo-e o eleento finito rectngulr e or últio o co i gerl de geoetri rbitrári. A forulção qui decrit bei-e no étodo do delocento e n dicretizção do doínio e eleento finito de n nó reentndo lgu eelhnç co o que foi decrito no Cítulo Sibologi Areent-e e rieiro lugr u reuo d ibologi dotd n forulção do étodo do eleento finito. bel 6. - Sibologi reltiv o étodo do eleento finito. n u h Dienão do eleento finito úero de nó do eleento finito Coordend crtein Co de delocento Delocento nodl Eeur do eleento finito linr Coordend crtein de u nó de u eleento finito úero de direcçõe coniderd (no etdo lno de tenão: ) Função interoldor ou função de for 8

2 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo c Coeficiente de u tero de u olinóio úero de gru de liberdde do eleento finito ( n ) ε γ q V σ τ S E Etenão Ditorção Oerdor diferencil úero de coonente do vector ε e do vector σ Mtriz de deforção Volue do eleento finito linr enão norl enão tngencil Acção eterior ditribuíd or unidde de coriento Suerfície do eleento finito linr Módulo de elticidde ou ódulo de Young Coeficiente de Poion D Mtriz de elticidde ( σ D ε ) K F V J E h Mtriz de rigidez do eleento finito no referencil gerl Forç nodi equivlente à cção eterior no gru de liberdde do eleento finito no referencil gerl Coordend locl (curvilíne) Coordend locl de u nó de u eleento finito Vector d funçõe interoldor ou funçõe de for Jcobino d trnforção Módulo de elticidde nu nó do eleento finito Coeficiente de Poion nu nó do eleento finito Eeur do eleento finito nu nó 8

3 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo P W Poição de u onto de Gu ou onto de otrge Peo (weight) ocido u onto de Gu ou onto de otrge n GPi J úero de onto de Gu ocido à direcção i Vlor do integrl clculdo de cordo co qudrtur de Gu 6. - Funçõe interoldor ou funçõe de for Figur 6. encontr-e rereentdo u eleento finito qudrdo co qutro nó e co dienõe. u ( ) u ( ) h ( ) Fig Eleento finito qudrdo de qutro nó. A coordend do nó ão rzend n triz cujoeleentogenérico correonde à coordend crtein do nó i egundo direcção j. ij () De cordo co ibologi trá reentd triz te dienõe n. A eeur do eleento finito linr rereentdo n Figur 6. é deignd or h que ode tbé er u função de ede. 85

4 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo A função u ( ) correonde o co de delocento verificndo-e o eguinte Cd u d coonente de u ( ) ( ) ( ) u u ( ) () u é interold erdente co be e funçõe de for i ( ) e no delocento do nó (ver Figur 6.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u () () E () e () be coo n Figur 6. ij correonde o delocento do nó i egundo direcção j. ote-e que o núero de funçõe de for i coincide co o núero de nó do eleento finito (n). A coniderçõe que e egue erão en efectud co coonente u do co de delocento. A u etenão à coonente u eri trivil. A função u ( ) deve uir no nó o vlore nodi do co de delocento. Atendendo à coordend do nó indicd e () retende-e que u u u u ( ) ( ) ( ) ( ) (5) Pr que condiçõe ere e (5) ej reeitd funçõe de for utilizr e () deve ouir crcterític indicd n bel

5 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo bel 6. - Crcterític d funçõe i ( ). ó ( ) (- -) ( -) ( ) (- ) ( ) ( ) ( ) ( ) A eguinte funçõe olinoii reeit condiçõe indicd n bel 6. que conite no fcto d função i ter de uir u vlor unitário no nó i euvlor nulo no retnte nó. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (6) A função ( ) ode tor eguinte for ( ) (7) U olinóio de egundo gru coleto te eguinte ereão genéric ( ) c c c c c c f (8) 5 Corndo (7) co (8) verific-e que função de for ( ) é u olinóio de egundo gru incoleto orque lhe flt o tero que e (8) e encontr ublinhdo. Coniderçõe idêntic oderi er feit e relção à retnte funçõe de for. 87

6 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 88 Arzenndo o delocento nodi d eguinte for (9) te-e tendendo () e () u u () que e notção tricil e reduz ( ) ( ) ( ) u () endo n (no co d Figur 6. 8). Atriz é () O gráfico d funçõe i ( ) definid e (6) encontr-e rereentdo n Figur 6. (ver tbé Figur 6.). o co do eleento finito rectngulr de dienõe rereentdo n Figur 6. funçõe de for eri

7 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 89 ( ) ( ) ( ) ( ) () Fig Gráfico d funçõe i ( ) r u eleento de dienõe.

8 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo u ( ) u ( ) h ( ) Fig Eleento finito rectngulr de qutro nó Co de deforçõe O co de deforçõe nu etdo lno de tenão é definido do eguinte odo [6.] ε ε γ u u () ou de u odo i cocto ε u ( q ) ( q ) ( ) (5) E (5) q é o núero de coonente do vector ε que ão nete co trê e éo eguinte oerdor diferencil (6) 9

9 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 9 Subtituindo () e (5) te-e ( ) ( ) ( ) ( ) q q ε (7) Deignndo or o roduto ( ) ( ) ( ) q q (8) ereão (7) ( ) ( ) ( ) q q ε (9) endo de cordo co (8) (6) e () () () o co do eleento co dienõe triz é contituíd el derivd de (6) de cordo co () () o co do eleento de dienõe triz é contituíd el derivd de () de cordo co ()

10 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 9 () 6. - Princíio do trblho virtui Conidere-e u etdo lno de tenão contituído or u eleento finito foruldo de cordo co o que foi eoto n ecçõe nteriore. Suondo que en eite cçõe ditribuíd or unidde de coriento n eriferi do eleento finito do Princíio do rblho Virtui (PV) que foi eoto no Cítulo reult eguinte equção V d u V d δ σ ε δ () et ereão o vector ε δ reent coonente e correondênci co o vector ε definido e () e (5). O vector σ é o eguinte τ σ σ σ (5) Mtriz de rigidez e vector olicitção Co be no rincíio do trblho virtui referido n ecção nterior vi-e e eguid roceder à dedução d ereõe d triz de rigidez e do vector olicitção que ão utilizdo no étodo do delocento licdo à nálie de u etdo lno de tenão. Deignndo or h eeur do eleento finito te-e e () d S h V d (6)

11 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 9 e que ds rereent o eleento de uerfície. A equção (9) referid à deforção virtul é eguinte δ ε δ (7) que é equivlente δ ε δ (8) A relção entre tenõe e deforçõe é r u etdo lno de tenão e no co do terii iotróico [6.] ( ) γ ε ε τ σ σ E E E E E (9) ou de u odo i cocto ε σ D () endo triz de elticidde D eguinte ( ) E E E E E D () A triz de elticidde D deende do ódulo de Young (E) e do coeficiente de Poion (). Subtituindo (9) e () te-e D σ () A equção () referid à deforção virtul é eguinte

12 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo δ u δ () que é equivlente δ δ () u Subtituindo tod et equçõe e () ter-e o PV ereo or δ D h d S S δ d (5) U vez que ds d d e o delocento nodi não deende d vriávei e o vectore δ e ode r r for do integrl δ D h d S S δ d (6) De cordo co o PV equção (6) é verddeir r qulquer conjunto de delocento virtui concluindo-e i que D h d S d (7) S Corndo et equção co relção de rigidez que é utilizd no étodo do delocento K F (8) te-enocodoetdolnodetenão K D h d S (9) S F d () O vector encontr-e definido e (9). ereõe (7)-() dite-e que eguinte grndez ode não er contnte no doínio de integrção: ódulo de Young (E) coeficiente de Poion () eeur (h) e crg ditribuíd ( ). 9

13 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo o co do eleento finito rectngulr rereentdo n Figur 6. ereão d triz de rigidez (9) er K D h d d () A triz correonde à ereão () e no co do terii iotróico triz D é dd or (). U vez que h é u eclr dienõe d triz K coincide co do roduto D K D () ( ) ( q) ( q q) ( q ) o co do eleento finito de qutro nó te-e K D ( 8 8) ( 8 ) ( ) ( 8) () Atendendo () dienõe do vector olicitção F coincide co do roduto F ( ) ( ) ( ) () o co do eleento finito de qutro nó te-e F ( 8 ) ( 8 ) ( ) (5) Cálculo de u eleento d triz de rigidez Areent-e e eguid o cálculo do eleento K 58 d triz de rigidez do eleento finito rereentdo n Figur 6. co E MP eh.. De cordo co () te-e 95

14 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo K D h d d (6) O cálculo de D ode er efectudo co be no otório correondente o roduto tricii q q ( D ) ij k ki D k j (7) endo q. Pr clculr K 58 é uficiente deenvolver o otório r o co: i 5;j 8 ( D ) D (8) 58 k k 5 k 8 ( k 5 Dk 8 k 5 Dk 8 k 5 Dk 8 ) (9) k D D D D D D D D D (5) Conultndo trize () e D () co verific-e fcilente que nete eelo ó o últio onóio de (5) é não nulo. Ai te-e ( D ) 58 E 5 D 8 (5) Atendendo () e () e o fcto de er E cheg-e ( ) D 58 (5) ( ) D 6 5 ( )( ) (5) 58 Atendendo (6) e o fcto de er h.te-e 96

15 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo ( D ) K58 h d d 58 (5) K ( )( ) d d (55) K 7 5. M (56) Cálculo do vector olicitção correondente u crg ditribuíd Figur 6. encontr-e rereentdo o eleento finito d Figur6. ujeito u crg ditribuíd no bordo -. M/ 9M/ d M/ M/ Fig Eleento finito ujeito u crg ditribuíd. A forç nodi equivlente à cção ditribuíd no bordo clcul-e co ereão () que qui e reroduz F d (57) endo triz () e o eguinte vector (58) 97

16 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 98 ete eelo d coincide co d e todo o onto do doínio de integrção reent coordend. Ai o integrl de linh (57) er d F (59) e no eleento d triz que ão funçõe de for (6) deve-e ubtituir or obtendo-e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) Atendendo () e (58) o roduto que figur e (59) é o eguinte (6) Pr o vlore d cçõe indicdo n Figur 6. ão eguinte ereõe d funçõe e ( ) ( ) 6 (6) Co be e (6) (6) e (6) te-e

17 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 99 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 (6) reultndo de (59) F F F F F F F F F (6) E (6) F ij rereent coonente de F que etá ocid o nó i e que ctu n direcção j. o nó e ão nul coonente d forç nodl equivlente à crg ditribuíd no bordo -. ete eelo ile o vlore indicdo e (6) coincide co recçõe que e obteri nu vig ileente oid crregd co crg trezoidi d Figur Co gerl co ubtituição de vriávei O etudo reentdo n ecçõe nteriore e que e encontr liitdo u eleento qudrdo de dienõe ode er fcilente etendido eleento rectngulre de dienõe. od u forulção eri u etenão trivil do que foi trá

18 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo reentdo. et ecção é deenvolvido u eleento finito qudrilátero de geoetri rbitrári detindo à dicretizção de etdo lno de tenão (ver Figur 6.5). u ( ) u ( ) h ( ) Fig Eleento finito qudrilátero de qutro nó co geoetri rbitrári. A coordend do nó ão rzend n triz cujo eleento genérico correonde à coordend crtein do nó i egundo direcção j. ij (65) De cordo co ibologi reentd n Secção 6. triz te dienõe n. A eeur do eleento finito linr rereentdo n Figur 6.5 é deignd or h que ode tbé er u função de ede. A deterinção d triz de rigidez do eleento finito co ereão (9) requer nete co o cálculo de u integrl dulo co u doínio de integrção S que correonde u qudrilátero irregulr de geoetri definid elo qutro nó do eleento. endo e vit itetizção dete roceo de odo fcilitr u rogrção e coutdor revel-e uito vntjoo efectur eguinte ubtituição d vriávei e.

19 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo ( ) ( ) (66) Figur 6.6 encontr-e rereentdo o novo doínio de integrção que correonde o intervlo [- ] quer r vriável quer r. Fig Subtituição d vriávei e. O vlore nodi d coordend e ão o eguinte (67) De cordo co (66) cd onto ( ) correonde u onto ( ). A ge do ite de coordend r o ite de coordend é efectud co u interolção eelhnte à que foi efectud n Secção 6. r o co de delocento. De cordo co () e () te-e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (68) (69) o ite de coordend funçõe de for coincide co que for decrit n Secção 6. btndo ubtituir e (6) or e or reultndo

20 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (7) l coo no co do co de delocento o tribuir ( ) o vlore nodi indicdo e (67) obtê-e e (68) e (69) coordend do nó (65). Por eelo r ( ) ( ) função vle u e retnte ão nul obtendo-e e (68) ( ) e e (69) ( ). A equçõe (68) e (69) ode er colocd e for tricil do eguinte odo (7) ou ( ) ( ) ( ) n V n (7) endo (7) V (7) E (7) étrizn definid e (65). Aó ubtituição de vriávei indicd e (66) o integrl (9) er

21 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo d d J D h K (75) et ereão J é o deterinnte Jcobino que correonde o deterinnte d triz JcobinJ. A triz Jcobin correondente à trnforção (66) é definid d eguinte for [6.] J (76) J J (77) Pr eritir o cálculo do integrl (75) todo o coonente d função integrnd tê de deender de e. Se triz D () não for contnte é oível utilizr o eo tio de interolção r definir E e e função de e. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E E E E (78) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (79) et ereão i E e i ão o vlore no nó i do ódulo de Young e do coeficiente de Poion. generlidde do co rático E e ão coniderdo contnte o nível de cd eleento finito. Qundo u etrutur reent i do que u tio de teril fronteir entre zon correondente cd teril deve coincidir co trnição entre eleento finito. Se eeur do eleento não for contnte ode er interold de u odo eelhnte ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h h h (8)

22 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo et ereão i h é o vlor d eeur no nó i. O eleento d triz Jcobin (76) obtê-e or derivção de (68) e (69) reultndo (8) (8) (8) (8) A equçõe (8)-(8) ão equivlente à eguinte equção tricil (85) De u odo i cocto te-e ( ) ( ) ( ) n n J (86) endo

23 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 5 (87) A ereõe do eleento d triz (87) obtê-e or derivção de (7) e orde e. reultndo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (88) Subtituindo ereõe (88) e (85) obtê-e o eleento d triz Jcobin e função de e. ot: o eleento d triz ão coordend crtein do nó endo ortnto contnte de vlor conhecido. endo e vit o cálculo do integrl (75) encontr-e já definido e função de e todo o coonente d função integrnd co eceção d triz. Areent-e e eguid o rocediento r u obtenção. o co do eleento finito qudrilátero de qutro nó e de geoetri rbitrári equçõe (9)-() ernece válid (ver Secçõe 6. e 6.). A equçõe () e () ão e eguid reroduzid. u u (89)

24 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 6 ( ) ( ) ( ) u (9) o co do eleento de geoetri rbitrári funçõe de for deende d vriávei e. ete co interolção do delocento (89) é efectud de u odo coincidente co o que foi utilizdo r interolr coordend crtein do nó (68) e (69). Qundo o étodo de interolção do delocento nodi e d coordend crtein do nó coincide diz-e que forulção do eleento finito é iorétric. O co de deforçõe obté-e de u odo eelhnte o que foi decrito n Secção 6. reroduzindo-e e eguid equçõe i ignifictiv. ( ) ( ) ( ) q q u ε (9) Por ubtituição de (9) e (9) cheg-e ( ) ( ) ( ) ( ) q q ε (9) ( ) ( ) ( ) q q (9) ( ) ( ) ( ) q q ε (9) (95) (96)

25 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo 7 Atriz deende d derivd d funçõe de for e orde j ( ) i j.de odo er oível clculr o integrl (75) é neceário obter ereõe de i j e função de e. Conidere-e u d funçõe de for ( i ) deendendo de e que or u vez deende de e. ( ) ( ) ( ) i i (97) Pel regr d cdei te-e i i i i i i (98) que e ode ecrever d eguinte for e notção tricil i i i i (99) Atribuindo o índice i o vlore e grundo o qutro co n eguinte trize cheg-e () que de u odo i cocto e ode ecrever J ()

26 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo endo J triz Jcobin definid e (76) e e (86). Multilicndo bo o ebro de () à direit or J obté-e J ( n ) ( n ) ( ) () Atriz foi definid e (87) e (88) endo o eu eleento funçõe de e. E (86) ode verificr-e que o eleento d triz J ão tbé funçõe de e. O eleento d eguinte triz que deende de e () ão deoi elhdo n triz de cordo co (96). Dete odo e lcnçou o objectivo de clculr o eleento d triz coo endo funçõe de e. U vez que todo o coonente d função integrnd de (75) e encontr definido e função de e é gor oível roceder o cálculo d triz de rigidez do eleento finito. O fcto de e trtr de u integrl de difícil reolução e de o liite de integrção ere - e ugere o recuro à técnic de integrção nuéric que e encontr decrit no Cítulo Algorito de cálculo d triz de rigidez de u eleento iorétrico U integrl dulo cujo liite de integrção ej - e r b vriávei ode er clculdo el qudrtur de Gu endo o reultdo obtido e gerl u vlor roido. De cordo co o que foi eoto no Cítulo 5 correondente ereão é eguinte 8

27 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo n GP n GP ( ) d d Wi W j f ( Pi Pj ) f i j () et ereão n GP é o núero de onto de Gu ocido à direcção e n GP éo núero correondente à direcção. O râetro W i e W j ão o eo ocido à direcçõe e. A função f deve er vlid no onto de Gu cuj coordend ão ( ) ( ) P i P j (5) De qui e dinte o egundo ebro de () er deigndo or J. Ai no co de er n GP en GP d enão do otório e () reult eguinte ereão r J J n GP ( Wi W f ( Pi P ) Wi W f ( Pi P )) i (6) J W W W W f f ( P P ) W W f ( P P ) ( P P ) W W f ( P P ) (7) De cordo co o que foi eoto no Cítulo 5 o vlore do eo W i oiçõe P i é nete co e d W W P P (8) ndo J er vlido do eguinte odo J f f f f (9) O vlor roido do integrl dulo () deende do reultdo d vlição d função f ( ) e qutro onto de Gu cuj loclizção e encontr n Figur

28 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo Ponto de Gu Fig oclizção do qutro onto de Gu no ite de coordend ( ). De cordo co (7) r clculr o vlor roido do integrl (75) recorrendo à qudrtur de Gu co onto rocede-e do eguinte odo: vli-e u função integrnd no qutro onto de Gu; ultilic-e o reultdo correondente cd onto de Gu elo reectivo eo (que nete co ão unitário); e o-e qutro rcel. Coo e ode verificr e (75) função integrnd é u roduto de trize de funçõe que é e eguid ultilicdo or funçõe eclre. Atendendo à crcterític d qudrtur de Gu é oível vlir todo o eleento de cd triz e cd onto de Gu e ó e eguid fzer o roduto tricil be coo o roduto el funçõe eclre vlid tbé nee onto de Gu. Dete odo o roduto tricii ão efectudo co vlore nuérico e vez de funçõe fcilitndo i rogrção dete lgorito e coutdor. Areent-e e eguid equênci de oerçõe que tê de er efectud r clculr triz de rigidez de u eleento finito qudrilátero recorrendo à qudrtur de Gu co onto. Ddo: coordend crtein do nó ( ij ); eeur do eleento finito e cd nó ( h i );

29 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo ódulo de Young (E - contnte e todo o eleento finito); coeficiente de Poion ( - contnte e todo o eleento finito). Algorito: Inicilizr triz co coordend crtein do nó do eleento finito (65) Inicilizr o vector h co eeur do eleento finito no nó Inicilizr u tbel co o eo ocido cd onto de Gu P. de Gu W i W j Inicilizr u tbel co coordend de cd onto de Gu (ver Figur 6.7) P. de Gu P i P j Clculr o eleento d triz D recorrendo () Inicilizr co vlor nulo todo o eleento d triz de rigidez K cuj dienão é 88 Pr cd onto de Gu ( )(P i P j ): Avlir funçõe de for i no onto (P i P j ) recorrendo (7) Clculr eeur h no onto (P i P j ) recorrendo (8) Clculr o eleento d triz no onto (P i P j ) recorrendo (88) Clculr o eleento d triz Jcobin ( J ) no onto (P i P j ) recorrendo (85) Clculr o deterinnte d triz Jcobin ( J ) Clculr inver d triz Jcobin ( J ) Clculr triz no onto (P i P j ) recorrendo ()

30 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo Elhr o eleento d triz co (96) () n triz de cordo Clculr D h J que conite nu roduto de trize e eclre vlido no onto (P i P j ) (75) do qul reult u triz co dienõe d triz de rigidez K que e deign or K Multilicr todo o eleento de K elo eo W i W j correondente o onto de Gu corrente Adicionr W i W j K à triz de rigidez do eleento finito ( K ). Fi do ciclo etendido o onto de Gu Cálculo d tenõe e deforçõe fini Deoi de reolvido o ite de equçõe K F cok e F referente à totlidde do gru de liberdde d etrutur é oível clculr o etdo de tenão e deforção e qulquer onto de qulquer eleento. Aer de forulção eritir o cálculo de tenõe e etenõe e qulquer onto verific-e que eite u uito ior recião e o onto elecciondo coincidire co o onto de Gu correondente à qudrtur de Gu co onto [6.]. Ete fcto é indeendente do núero de onto de Gu que foi utilizdo no cálculo do coonente de K e F. Ai deve-e roceder do eguinte odo r clculr deforçõe e tenõe nu onto de u eleento finito: eleccionr o eleento finito que vi er lvo do etudo; nee eleento eleccionr o onto de Gu e que e retende conhecer o etdo de tenão; clculr triz no onto elecciondo cuj coordend ão () ( ) ± ± co be no vector que conté todo o delocento etrir r u vector de oito coonente o delocento do nó do eleento que etá er etuddo ( ); clculr o vector deforção ( ε ) co ereão (9);

31 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo clculr triz de elticidde ( D ) co ereão (); clculr o vector tenão ( σ ) co ereão (); Deoi de obtido o vlore de σ e ε no onto de Gu () é oível fzer u interolção ou etrolção r outro onto do eleento noedente r o eu nó [6.]. Det for e obtê reultdo i recio do que quele que e obteri co vlição direct d tenõe no onto retendido Coniderçõe fini ete cítulo foi reentdo o odo de obter triz de rigidez de u eleento finito qudrilátero de geoetri rbitrári detindo à dicretizção de etdo lno de tenão. Foi reentdo co detlhe o co do eleento de qutro nó e d qudrtur de Gu co onto. Algun ecto iortnte ão deido r outro cítulo ti coo eblge d triz de rigidez globl o deenvolviento de eleento co i do que qutro nó influênci do núero de onto de Gu n qulidde do reultdo o cálculo de cçõe nodi equivlente cçõe concentrd ditribuid e de volue etc. IIOGRAFIA [6.] - Azevedo A. F. M. - Mecânic do Sólido Fculdde de Engenhri d Univeridde do Porto 996. [6.] - Kreyzig E. - Advnced Engineering Mthetic Sith Edition John Wiley & Son Inc [6.] - Zienkiewicz O. C.; ylor R.. - he Finite Eleent Method Fourth Edition McGrw-Hill 988. [6.] - Cook R. D.; Mlku D. S.; Pleh M. E.; Witt R. J. - Concet nd Aliction of Finite Eleent Anlyi Fourth Edition John Wiley & Son Inc..

32 Etdo Plno de enão - Álvro F. M. Azevedo