UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DEFLEXÕES EM PLACAS RETANGULARES FINAS ADILSON MOREIRA SOARES ORIENTADOR: PROF Dr PAULO SHIGUEME IDE CO-ORIENTADOR: PROF Dr WLAMIR CARLOS DE OLIVEIRA Dissertção presentd o Progr de Pós-Grdução e Engenhri Mecânic pr otenção do título de Mestre e Engenhri Mecânic n Áre de Projeto e Fricção Itjuá-MG 00

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DEFLEXÕES EM PLACAS RETANGULARES FINAS ADILSON MOREIRA SOARES Meros d Bnc Eindor: Crlos Brreir Mrtinez - UFMG Pulo Roerto Leglini - UNIFEI Pulo Shiguee Ide Orientdor - UNIFEI Wlir Crlos de Oliveir Co-orientdor - UNIFEI Itjuá-MG 00

3 i ÍNDICE DE ASSUNTOS Dedictóri vi Agrdecientos vii Frse sái viii Siologi i Índice de Figurs i Índice de Tels iii Resuo vi Astrctvii CAPÍTULO -INTRODUÇÃO -Te -Ojetivo, Recursos e Métodos 3-Plno d Dissertção CAPÍTULO -EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE EQUILÍBRIO 3 -Introdução 3 -Tipos de plcs -Plc fin co pequenos deslocentos -Plc fin co grndes deslocentos 5 3-Plc espess 5 3-Estudo ds plcs fins co pequenos deslocentos 5 -Deslocento nu ponto qulquer d plc (u,v,) 6 -Relções entre deslocentos e deforções 8 -Tensões e u ponto P (,,z) 9 3-Esforços por unidde de copriento 0 3-Cálculo dos oentos fletores M e M 3-Cálculo dooento de torção M 3 33-Cálculo dos esforços cortntes

4 ii 5-Equções Diferenciis 5 5-Equilírio de forçs n verticl (z) 5 5-Equilírio de oentos e torno de 6 6-Deterinção d Equção de Sophie-Gerin-Lgrnge 6 7-Relção entre esforços e deslocentos 8 8-Distriuição ds tensões noris 8 9-Distriuição ds tensões tngenciis 9 9-Distriuição ds tensões tngenciis devido o oento torçor 9 9-Distriuição ds tensões tngenciis devido o cortnte 0 0-Condições de Contorno 0-Plc poid nos qutro ldos 0-Plc engstd nos qutro ldos 3 03-Plc e lnço CAPÍTULO 3-ANÁLISE DAS DEFLEXÕES E ESFORÇOS EM PLACAS5 3-Introdução5 3-Solução de Nvier pr plcs retngulres siplesente poids 5 33-Plc retngulr poid nos qutro ldos sujeit u forç concentrd33 3-Solução de Lév pr plc siplesente poid co crg uniforeente distriuíd36 35-Solução de Lév pr siplesente poid, so crg concentrd 35-Moentos fletores e u plc retngulr siplesente poid co crg concentrd

5 iii 36-Plc retngulr co dus ords oposts siplesente poid e s outrs dus engstds 6 36-Crg uniforeente distriuíd 6 36-Forç concentrd 5 37-Plc retngulr co todos os ldos engstdos, crregd uniforeente 5 CAPÍTULO -EXEMPLOS NUMÉRICOS 6 -Introdução 6 -Eeplos63 3-Eeplo-Plc retngulr, co relção entre ldos igul (dois),siplesente poid e seus ldos, crregd uniforeente co crg q ( ( ν ) 0, 3) 6 -Eeplo -Plc retngulr, co relção entre ldos igul (dois),siplesente poid e seus ldos, crregd uniforeente co crg q ( ν ) Eeplo 3-Plc retngulr, co relção entre ldos igul (dois),siplesente poid e seus ldos, crregd no ponto centrl co forç P( ν 0,3) 68 5 Eeplo 3 Plc retngulr co relção entre ldos igul (dois), siplesente poid, crregd no ponto centrl co forç concentrd P ( ν 0,3) 68 5 Eeplo 3 Plc retngulr co relção entre ldos igul (dois), siplesente poid, crregd co forç P distriuíd uniforeente e u pequen áre uv0,0, ( ν 0,3) Eeplo -Plc retngulr, co relção entre ldos igul (dois),siplesente poid nos ldos enores e engstd nos ldos iores, crregd uniforeente co crg q ( ν ) 0,3 7

6 7- Eeplo 5-Plc retngulr, co relção entre ldos igul,siplesente poid nos ldos enores e engstd nos ldos iores, crregd uniforeente co crg q ( ν ) Eeplo 6-Plc retngulr, co relção entre ldos igul (dois),siplesente poid nos ldos iores e engstd nos ldos enores, crregd uniforeente co crg q ( ν ) 0,37 9- Eeplo 7-Plc retngulr, co relção entre ldos igul (dois),siplesente poid nos ldos iores e engstd nos ldos enores, crregd uniforeente co crg q ( ν ) Eeplo 8-Plc retngulr, co relção entre ldos igul (dois),siplesente poid nos ldos iores e engstd nos ldos enores, crregd no ponto centrl co forç concentrd P ( ν ) 0,377 - Eeplo 9-Plc retngulr, co relção entre ldos igul, engstd nos qutro ldos, crregd uniforeente co crg q ( ν ) 0,379 -Eeplo 0- Plc retngulr, co relção entre ldos igul (dois), engstd nos qutro ldos, crregd no ponto centrl co forç concentrd P ( ν ) 0,3 80 iv CAPÍTULO 5-CONCLUSÕES E PROPOSTAS83 5 Conclusões83 5 Proposts pr trlhos futuros8

7 v APÊNDICE A Tel Constntes, β, γ, δ, n pr u plc siplesente poid e crregd uniforeente86 Tel Constnte pr defleão de u plc crregd cocrg concentrd centrl86 Tel 3 Constntes γ e γ 86 Tel Constntes,, β, β, γ pr u plc retngulr co dois ldos siplesente poidos e os outros dois engstdos, crregd uniforeente87 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS85

8 vi DEDICATÓRIA Por inúers rzões, s quis seri difíceis de citr, eu dedico este trlho à inh espos Mri de Lourdes, pel inicitiv e estíulo, e etensivente tod inh fíli, que tnto e incentivou, privndo-se d inh presenç e prndo-e nos oentos de frquez

9 vii AGRADECIMENTOS Ao igo Pulo Shiguee ns hors de incentivo e firez e o Prof Dr Pulo Shiguee nos oentos de orientção e elucidções de dúvids Ao Prof Dr Wlir pel jud inestiável d su enore copetênci A Gildne, Edrs, José Wilson, Fino, Thgo, Thiguinho e todos os outros colegs que durnte o período de convivênci e socorrer ns dificulddes A todos os eperientes professores que e orientr nos oentos confusos A inh fíli itjuense Afonso, Nilson e Mrcel A José Edurdo Tnnús Reis, que criou o erião que hoje result neste trlho A inh ãe e eu pi (in eorin), pelos ensinentos, cuiddos e eeplos de vid E finlente Deus, pel possiilidde de viver co súde, pz, felicidde e persevernç

10 viii Frse sái N vid, coeçr é u opção; cr pens fz prte d seqüênci (Luiz Sores)

11 SIMBOLOGIA i Letrs Rons Miúsculs D Módulo de rigidez à fleão de plcs E Módulo de elsticidde longitudinl do teril G Módulo de elsticidde trnsversl do teril L Menor diensão d superfície d plc M, M Moentos fletores por unidde de copriento ns seções de plc, fletindo os eios e, respectivente M, M Moentos torsores por unidde de copriento ns seções de plc, perpendiculres os eios e, respectivente P Forç concentrd Q, Q Esforços cortntes por unidde de copriento ns seções de plc, ns direções e, respectivente,, z Eios crtesinos Letrs Rons Minúsculs, Diensões d superfície d plc d, d, dz Eleentos infinitesiis de seções de plc ns direções,, z h Espessur d plc i Índices de prcels d sotóri, n, Índices de prcels d sotóri q Crg uniforeente distriuíd n superfície d plc u, v, Deslocentos dos pontos do plno édio d plc, ns direções,, z d plc respectivente

12 Letrs Gregs Minúsculs, β, β,β, γ, γ,γ, δ Ftores nuéricos pr cálculo de defleões e esforços ns seções d plc γ, γ z, γ z Ângulos de distorção ds seções d plc ε, ε, ε z Deforções lineres ns direções,, e z, respectivente θ, θ, θ Rotção de seções d plc ns direções,, e z, respectivente z ν σ, σ, σ z τ, τ, τ z, τ z, τ z, τ z Coeficiente de Poisson do teril Tensões noris ns direções,, z Tensões tngenciis e coordends retngulres

13 ÍNDICE DE FIGURAS i Figur - Plc 3 Figur - Chp Figur 3- Vist Lterl Defleão e rotção 5 Figur - Superfície édi ou neutr 6 Figur 5- Plnos de corte S e S 6 Figur 6- Deslocento de u ponto P 7 Figur 7- Loclizção do ponto P 9 Figur 8- Tensões no ponto P 9 Figur 9- Ponto P so os esforços Figur 0- Tensões noris e tngenciis no ponto P Figur - Ponto P sujeito à ção de oentos torçores Figur - Eleento de u plc sujeito à ção de esforços 5 Figur 3- Distriuição ds tensões noris 8 Figur - Distriuição ds tensões tngenciis devido o oento torçor 0 Figur 5- Tensões tngenciis e noris plicds no ponto P 0 Figur 6- Distriuição ds tensões tngenciis Figur 7- Vrição ds tensões tngenciis Figur 8- Plc siplesente poid nos qutro ldos 3 Figur 9- Plc engstd nos qutro ldos Figur 0- Plc e lnço, engstd e u ldo Figur 3- Plc siplesente poid so crg senoidl 5 Figur 3- Crg P distriuíd uniforeente sore áre cd 33 Figur 33- Plc uniforeente crregd 38 Figur 3- Plc so crg concentrd Figur 35- Plc poid (ldos enores) e engstd (ldos iores) co crg uniforeente distriuíd 6 Figur 36- Plc poid (ldos enores) e engstd (ldos iores) co forç concentrd 5

14 Figur 37- Plc qutro ldos engstdos, crg unifore 53 ii Figur - Plc siplesente poid 6 - Crregento unifore6 c- Reções ns quins 65 Figur - Plc siplesente poid 67 - Crregento unifore67 Figur 3- Plc siplesente poid 69 Figur 3- Crregento concentrdo 69 Figur 3- Plc siplesente poid 70 Figur 3- Crregento co P distriuído 70 Figur - Plc engstd ldos iores e poid ldos enores7 -Crregento unifore7 Figur 5- Plc engstd ldos iores e poid ldos enores73 - Crregento unifore73 c- Moentos M e M 7 Figur 6- Plc engstd ldos enores e poid ldos iores7 -Crregento unifore 7 Figur 7- Plc engstd ldos enores e poid ldos iores76 - Crregento unifore 76 Figur 8- Plc engstd ldos enores e poid ldos iores77 - Crg concentrd77 Figur 9- Plc engstd79 - Crregento unifore79 Figur 0- Plc engstd8 - Crg concentrd8

15 iii ÍNDICE DE TABELAS Tel Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid co crg q unifore ν 0, 3 65 Tel Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid co crg q unifore, ν 0, 3 66 Tel 3 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid co crg q unifore, ν 0 67 Tel Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid co crg q unifore, ν 0 68 Tel 5 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid co crg concentrd P, ν 0, 3 69 Tel 6 Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid co crg concentrd P, ν 0, 3 70 Tel 7 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid co crg P distriuíd e u pequen áre ν 0, 3 70 Tel 8 Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid co crg P distriuíd e u pequen áre, ν 0, 3 7 Tel 9 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos enores e engstd nos ldos iores co crg q distriuíd, ν 0, 3 7 Tel 0 Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos enores e engstd nos ldos iores co crg q distriuíd, ν 0, 3 7 Tel Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos enores e engstd nos ldos iores co crg q distriuíd, ν 0 73 Tel Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos enores e engstd nos ldos iores co crg q distriuíd, ν 0 73

16 Tel 3 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos iores e engstd nos ldos enores co crg q distriuíd, ν 0, 3 75 iv Tel Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos iores e engstd nos ldos enores co crg q distriuíd, ν 0, 3 7 Tel 5 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos iores e engstd nos ldos enores co crg q distriuíd, ν 0 76 Tel 6 Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos iores e engstd nos ldos enores co crg q distriuíd, ν 0 77 Tel 7 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos iores e engstd nos ldos enores co crg P concentrd, ν 0, 3 78 Tel 8 Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos iores, e engstd nos ldos enores co crg P concentrd, ν 0, 3 78 Tel 9 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos iores e engstd nos ldos enores co crg P distriuíd e u pequen áre, ν 0, 3 78 Tel 0 Desvios percentuis pr u plc retngulr siplesente poid e seus ldos iores e engstd nos ldos enores co crg P distriuíd e u pequen áre, ν 0, 379 Tel Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr engstd e seus ldos, co crg q distriuíd, ν 0, 3 80 Tel Desvios percentuis pr u plc retngulr engstd e seus ldos, co crg q distriuíd, ν 0, 3 80 Tel 3 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr

17 engstd e seus ldos, co crg P concentrd, ν 0, 3 8 Tel Desvios percentuis pr u plc retngulr engstd e seus ldos, co crg P concentrd, ν 0, 3 8 Tel 5 Resultdos de esforços e defleões pr u plc retngulr engstd e seus ldos, co crg P distriuíd e u pequen áre, ν 0, 3 8 Tel 6 Desvios percentuis pr u plc retngulr engstd e seus ldos, co crg P distriuíd e u pequen áre, ν 0, 3 8 v

18 vi RESUMO O te deste trlho é nálise de esforços e defleões que tu e plcs retngulres fins, so diverss condições de crregento e de contorno, co coportento liner No projeto de plcs estruturis, norlente são utilizdos vários processos pr deterinção dos esforços e defleões Dentre esses processos teos o Método de Czern, o Método de Mrcus, o Processo de Lév, o Processo de Nvier e Métodos Nuéricos Os Métodos de Mrcus e Czern são sei-epíricos e os resultdos for otidos por eio de conhecids tels Nos Processos de Lév e Nvier os resultdos for otidos nliticente pr os csos e que s soluções fechds for possíveis No cso dos Métodos Nuéricos, desenvolveu-se u softre utilizndo-se o Método dos Eleentos Finitos pr otenção dos resultdos O ojetivo dest dissertção é de se efetur coprção dos vários esforços e defleões, otidos pelos vários processos e étodos, de plcs retngulres fins so diverss condições de crregento e de contorno, prtir dos quis se oté s diverss conclusões

19 vii ABSTRACT This ork dels ith the nlsis of forces nd deflections tht ctute in thin rectngulr pltes under different lod nd oundr conditions, ith liner ehvior In the project of structurl pltes, norll severl process re used in order to deterine the forces nd deflections, for instnce, the Czern Method, the Mrcus Method, the Lev Process, the Nvier Process nd Nuericl Methods The Mrcus nd Czern Methods re sei-epiricl nd the results ere otined the use of stndrdized tles In the Lev nd Czern processes the resultes ere nlticl processed closed solutions under possile conditions In the cse of Nuericl Methods, softre sed in the Finite Eleents Method ere developed in order to get the results The i of this ork is to copre the ehvior of different forces nd deflections of thin rectngulr pltes under different lods nd oundr conditions using different processes nd ethods of nlsis The conclusions of the ork ere sed on odeling of the results otined

20 CAPÍTULO INTRODUÇÃO Te As plcs são estruturs diferencids e relção às vigs, tendo esforços de fleão e dus direções ortogonis, sendo que há interferênci de u e relção à outr, e são suetids crregentos perpendiculres à superfície As plcs pode ter diverss configurções geoétrics e possue u espessur constnte ou vriável de diensão uito enor que s deis A presente dissertção destin-se coprr resultdos de esforços e defleões e plcs retngulres delgds de coportento liner, so diverss condições de crregento e de contorno No projeto de plcs estruturis, norlente são utilizdos vários processos pr deterinção de esforços e defleões Neste trlho nlisreos os esforços e defleões trvés de processos nlíticos pel Teori d Elsticidde, pelo Método dos Eleentos Finitos e por tels presentds e diverss referêncis iliográfics Ojetivos, Recursos e Métodos O ojetivo deste trlho é estelecer coprções entre resultdos de esforços e defleões otidos por processos nlíticos, nuéricos e sei-epíricos O estudo se plicrá à plcs retngulres fins de coportento liner so crregento uniforeente distriuído e concentrdo, so diverss condições de contorno Pr isso utilizr-se-ão cálculos nlíticos d Teori d Elsticidde, progrs coputcionis por eleentos finitos e processos sei-epíricos Os cálculos nlíticos utilizdos d Teori d Elsticidde escolhidos for os étodos de Nvier e de Lév Dentro dos processos coputcionis, epregou-se progrs desenvolvidos

21 neste trlho, usndo o Método dos Eleentos Finitos E relção o processo sei-epírico utilizou-se os étodos de Mrcus e Czern 3 Plno d dissertção No cpítulo, será presentd forulção do prole pr oter s equções diferenciis de equilírio de plcs fins de coportento liner, ou sej, esforços, relções entre deslocentos e deforções, tensões e equção de Sophie-Gerin-Lgrnge, ssi coo serão presentds s diverss condições de contorno eistentes e plcs O cpítulo 3, present s soluções de plcs retngulres so crg uniforeente distriuíd e crg concentrd co diverss condições de contorno, trvés ds soluções nlítics de Nvier e de Lév, otendo-se ssi os esforços e defleões Apresent-se no cpítulo o estudo de cso utilizdo pr nálise coprtiv e plcs retngulres so diverss condições de crregento e de contorno Utiliz-se s soluções nlítics de Nvier e Lév, e coo s soluções de Mrcus e Czern, juntndo-se els os resultdos encontrdos pels soluções do Método dos Eleentos Finitos Alé disso são feits coprções entre os étodos pr oter s conclusões finis No cpítulo 5, são presentds s conclusões e lgus sugestões de proposts pr trlhos futuros

22 CAPÍTULO 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE EQUILÍBRIO DE PLACAS Introdução Apresent-se neste cpítulo forulção teátic do prole de equilírio ds plcs fins de coportento geoetricente e fisicente liner Plcs são corpos liitdos por superfícies, que pode ser prlels ou não, seprds por u distânci h, cujo vlor pode ser constnte ou não; poré sendo uito inferior que o enor vlor ds diensões d superfície Defíne-se coo plc de coportento geoetricente liner qundo s rotções de sus seções são inferiores 0-3 rd e de coportento fisicente liner qundo segue lei de Hooke Os crregentos e plcs são perpendiculres à superfície, confore figur () Figur () Eeplo de plc so crregento

23 Qundo os crregentos são prlelos à superfície édi, estrutur se coport coo u chp e se te outrs forulções teátics Figur () Chp Tipos de Plcs As plcs pode ser de diferentes fortos, so vários tipos de crregentos e de condições de contorno, presentndo pequenos ou grndes deslocentos lineres e ngulres Plcs Fins co Pequenos Deslocentos U plc é considerd fin co pequenos deslocentos, qundo s seguintes hipóteses fore ditids: ) A relção entre espessur h d plc e enor diensão d superfície for inferior 5%, ou sej, (h/l)< /0; ) A relção entre defleão verticl e espessur h d plc é inferior 0%, ou sej, (/h)< /5 c) As rotções θ, são d orde de 0-3 rdinos

24 5 Figur (3) Vist lterl-defleão e Rotção Plcs Fins co Grndes Deslocentos U plc é considerd fin co grndes deslocentos qundo s seguintes hipóteses fore ditids ) A relção entre espessur h d plc e enor diensão dos ldos for inferior 5%, ou sej, (h/l)< /0; ) A relção entre defleão e espessur h d plc é superior 0%, ou sej, (/h) > /5; c) As rotções θ, são d orde de 0-3 rdinos 3 Plcs Espesss U plc é considerd espess qundo sus diensões são d es orde de grndez 3 Estudo ds Plcs Fins co Pequenos Deslocentos Considerr-se-á no presente trlho que plc é fin e co pequenos deslocentos qundo presentr hipóteses de Kirchhoff, quis sej: ) O teril d plc é hoogêneo e isotrópico, e oedece lei de Hooke; ) A plc é fin; ou sej (h/l)< /0; c) A defleão ái verticl é inferior 0% do vlor d espessur e s rotções são d orde de 0-3 rdinos; d) As tensões noris à superfície édi são desprezíveis qundo coprds co s deis tensões; e) Não há deforções n superfície édi de plc, el é inetensível Nel tensões de trção e de copressão, são nuls;

25 6 f) A superfície édi d plc(,) constitui o plno neutro g) As noris à superfície neutr ntes d deforção se conserv noris à superfície pós à deforção, não hvendo vrição n espessur h d plc Figur () Superfície édi ou neutr Deslocentos nu Ponto qulquer d Plc (u, v, ) As coponentes de deslocentos u,v e de u ponto qulquer d plc, respectivente ns direções, e z, serão clculds e função ds coordends do ponto e ds tensões que nele tu A figur (5) ostr os cortes S e S ns direções e respectivente Figur (5) Plnos de corte S e S Pels hipóteses considerds, superfície neutr (édi) é inetensível e s deforções o longo de z, n ltur h, serão nuls Pode-se, portnto epriir s coponentes; u, v e de u ponto qulquer d plc e função ds coponentes dos deslocentos d superfície édi

26 7 Fig (6) Deslocento de u ponto P A figur (6) ostr que o deslocento verticl do ponto P depende pens de e, já que e z não há deforções, podendo ser escrit equção d superfície édi deford n for: (,) () Os deslocentos u e v depende ds três direções, ou sej: uu(,,z) () vv(,,z) (3) D figur podeos escrever que: u tg θ - z () Coo o ângulo θ é pequeno te-se:

27 θ - u z (rotção e torno do eio ) (5) 8 Dí conclui-se que: u z (6) Anlogente te-se que: v z (7) Relções entre Deslocentos e Deforções As coponentes de deforções pode ser otids prtir de sus relções co os deslocentos, ou sej: u ε z (8) v ε z (9) u γ v z z z γ z (0) Não hvendo vrição n espessur, ve que: ε z 0 () z Os ângulos de distorção nos plnos z e z serão encontrdos d es for que equção (0):

28 u γ z 0 z () 9 v v γ z 0 z z Tensões e u Ponto P(,,z) (3) As tensões correspondentes no ponto P (figur 7) pode ser otids prtir de sus relções co s deforções, decorrentes d Lei de Hooke (hipótese ) e do fto de σ z 0 (hipótese d): Figur (7) Loclizção do ponto P Figur (8) Tensões no ponto P ε [ σ ν ( σ σ )] Ε z () Ε [ ] ε σ ν ( σ σ ) z (5) ε z [ σ ν ( σ σ )] Ε z (6) Ε σ ( ) ν ε ε (7) Anlogente, te-se que:

29 0 σ ( ) ε νε ν Ε (8) Ds equções (8) e (9) ve que: Ε Ε z z z ν ν ν ν σ ou Ε z ν ν σ (9) Assi coo: Ε z ν ν σ (0) e z Ε ν τ () As equções (9), (0) e () ostr que tods s tensões nu ponto genérico d plc fic deterinds pelo conheciento d função (,) 3 Esforços por Unidde de Copriento Os oentos fletores, oentos torçores e esforços cortntes e plcs serão otidos por unidde de copriento

30 Figur (9) Ponto P so os esforços A figur (9) ostr os esforços plicdos sore u ponto P considerndo que: M oento fletindo direção, sendo positivo o trcionr firs inferiores M oento fletindo direção, sendo positivo o trcionr firs inferiores Q esforço cortnte vrindo n direção Q esforço cortnte vrindo n direção M oento torçor girndo fce z e torno de, sendo positivo o concordr co o eio M oento torçor girndo fce z e torno de, sendo positivo o concordr co o eio 3 Cálculo dos oentos fletores M e M Isoldo o ponto P fz-se coposição dos oentos fletores trvés ds tensões noris

31 Figur (0) Tensões noris e tngenciis no ponto P Inicindo co o oento M por unidde de copriento provocdo pel tensão σ, decorre: ( ) / / h h z d d z M σ () Coo os esforços solicitntes serão por unidde de copriento, te-se que: h h dz z M σ (3) Coo: Ε z ν ν σ teos: M ( ) Ε / / h h dz z z ν ν () Integrndo-se:

32 3 M h / 3 3 Εz Ε ( ) ν h ν ν ( ν ) 3 h / Ou M 3 h ν ( ν ) Ε (5) Onde: D 3 Εh ν ( ) (6) é definido coo ódulo de rigidez á fleão d plc Assi: ν M D (7) Anlogente, te-se que: ν M D (8) 3 Cálculo do oento de torção M

33 Figur () Ponto P sujeito à ção de oentos torçores A figur ostr o ponto P sujeito á ção de oentos torsores, ssi o oento M de torção por unidde de copriento gerdo pel tensão de cislhento τ produz: M h / τ z dz (9) h / D equção () ve que: M h / Ε z h / dz ( ν ) (30) ou D ν (3) M ( ) Deve-se oservr que hver equilírio M -M 33 Cálculo dos esforços cortntes D figur (0) podeos escrever:

34 5 e que: h / Q τ dz (3) z h / h / Q τ dz (33) z h / As epressões (7),(8), (3), (3) e (33) ostr té que os esforços solicitntes e u ponto genérico fic inteirente deterindos pelo conheciento d função (,) 5 Equções Diferenciis de Equilírio Pr deterinção d função, st gor ipor s condições de equilírio Indicndo co Q e Q s forçs cortntes por unidde de copriento, por M, M, M ; os oentos de fleão e torção e por q(,) o crregento suposto distriuído, tereos: Figur () Eleento de u plc sujeito ção de esforços 5 Equilírio de Forçs n Verticl (z)

35 6 Q X Siplificndo, result: Q X Q Q X dd Q X d QY d d QY d q(, ) dd 0 Q Y q(, ) 0 (3) 5 Equilírio de Moentos e torno de M d M M d d Q Qd dd Q Q d d d Q d d M d M d d M d qdd 0 Desprezndo os teros de orde superior e fzendo M M tereos: M M Q (35) Anlogente ch-se que: M M Q (36) 6 Deterinção d Equção de Sophie-Gerin-Lgrnge As relções (35) e (36) perite oter Q e Q u vez conhecidos M, M e M, e, portnto, prtir do conheciento de (,) A prtir de (35) teos:

36 7 M M Q XY X X (37) e de (36): M M Q YX Y Y (38) De (37) e (38) e (3) ve que: 0 ), ( q M M M M (39) Dí te-se: ), ( q M M M (0) Co s epressões (7), (8) e (3) oteos: D M ν () D M ν () ( ) D M ν (3) Sustituindo s equções (), () e (3) e (0), ve: D q ), ( ()

37 8 Representndo de outr for, ve que: q(, ) (5) D Est é equção de Sophie-Gerin-Lgrnge, relção fundentl de teori ds plcs elástics delgds 7 Relções entre Esforços e Deslocentos Ds epressões (7), (8), (3), (35) e (36), podeos escrever: e Q M M Q M M D ( D ( ) ) 8 Distriuição ds Tensões Noris As tensões noris σ e σ devids os oentos fletores M e M vri linerente co z, confore ostrdo n figur seguir Figur (3) Distriuição ds tensões noris

38 9 Coo: e σ Ε z ν ν ν M D M z σ (6) 3 h Anlogente, σ M z 3 h (7) 9 Distriuição ds Tensões Tngenciis As tensões de cislhento são originds por dois esforços, oentos torçores e esforços cortntes 9 Distriuição ds tensões tngenciis devido o oento torsor

39 0 Fig () Distriuição ds tensões tngenciis, devido o oento torçor De for seelhnte à fleão ve: τ M z 3 h (8) 9 Distriuição ds Tensões Tngenciis devido o Esforço Cortnte Figur (5) Tensões tngenciis e noris plicds no ponto P

40 Atrvés do equilírio de forçs n direção, oté-se: σ τ τ z z 0 (9) Derivndo-se s epressões (6) e (8) e sustituindo-se n epressão nterior teos: z M h z M 3 h τ z z M 3 h M τ z z z 3 0 (50) Coo: Q M M ve que: Q τ z z (5) 3 h z Integrndo-se: Q z Q z τ z dz 6 f (, ) (5) 3 3 h h h Usndo s condições de contorno pr z ±, te-se que: τ 0 (53) z e 3 Q f (, ) (5) h Portnto: 3 Q z τ z (55) h h

41 3 Q z Anlogente te-se: τ z (56) h h Figur (6) Distriuição ds tensões tngenciis Figur (7) Vrição ds tensões tngenciis 0 Condições de Contorno Mostr-se qui lgus condições de contorno, e os vlores de esforços, defleões e rotções ipostos por els 0 Plc Apoid nos Qutro Ldos Sendo os ldos d plc siplesente poidos, superfície édi deford deve neles presentr deslocento verticl nulo, e deve ind girr livreente e torno dos esos, o que signific que os oentos fletores são nulos nos ldos Se o ldo for ddo por, s condições são: () 0

42 e 3 ν M D 0 Figur (8) Plc siplesente poid nos qutro ldos 0 Plc Engstd nos Qutro Ldos Sendo plc engstd e todos os ldos, superfície édi deford deve presentr deslocento verticl nulo e rotção nul e todo contorno Se por eeplo, o ldo for ddo por, s condições são s seguintes: e () 0 0

43 Figur (9) Plc engstd nos qutro ldos 03 Plc e lnço Sendo u ldo livre, no eso deve-se ter oento fletor nulo, forç cortnte nul e oento de torção nulo Se o ldo livre for ddo por, teos: Figur (0) Plc engstd e livre

44 5 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DAS DEFLEXÕES E ESFORÇOS EM PLACAS 3 Introdução Neste cpítulo nlisreos s plcs retngulres so diverss condições de crregento e de contorno, trvés dos étodos de Nvier e M Lév 3 Solução de Nvier pr Plcs Retngulres Siplesente Apoids Apresentos nálise de plcs retngulres siplesente poids no contorno e suetids crregentos distriuídos sore superfície édi, n for senoidl Figur (3) Plc siplesente poid so crg senoidl Suponhos que crg q(,) senoidl plicd n superfície édi d plc sej dd pel seguinte equção:

45 6 q(, ) qo sen sen (57) onde q 0 é intensidde do crregento no centro d plc A equção diferencil dest plc pode ser escrit n for: q(, ) qo sen sen (58) D D A solução d equção diferencil ci deve stisfzer s seguintes condições de contorno: Pr 0, 0 e M 0 Pr, 0 e M 0 Pr 0, 0 e M 0 Pr, 0 e M 0 X X Y Y Pode-se verificr que s condições de contorno são stisfeits pel solução: C sen sen (59) onde constnte C é escolhid de odo que solução (59) té stisfç equção diferencil (58) Assi: e C( )sen sen C sen sen Sustituindo n equção (58) ve:

46 7 D q C 0 (60) Logo: D q sen sen 0 (6) Clculndo-se os oentos M, M e M pels epressões (7), (8) e (3), oteos: M q ν sen sen 0 (6) M q ν sen sen 0 (63) M ( ) q ν cos cos 0 (6) A defleão ái e os oentos fletores áios ocorre no centro d plc e pr / e /, te-se: 0 D q á (65)

47 8 M X á q0 ν (66) M á q0 ν (67) Ao fzer s ess sustituições e M fcilente te-se que o seu vlor será nulo, por conseguinte: M 0 No cso prticulr de plcs qudrds, ( ) te-se que; q0 (68) D á M á q ( ) 0 Má (69) ν Ds equções (35) e (36), te-se que os vlores dos cortntes são: q0 Q sen cos (70) q0 Q sen cos (7) Se distriuição d crg tundo segundo norl à superfície édi for dd pel epressão

48 9 n q qo sen sen, (7) onde e n são núeros inteiros, por u procediento nálogo o visto nteriorente tereos: q D o n sen sen n (73) Coo equção diferencil (58) é liner podeos superpor soluções do tipo (73) Assi, se plc estiver sujeit o crregento do tipo q(, ) n q n n sen sen (7) tereos coo solução pr os pontos d superfície édi d plc D n q n n sen sen n (75) Pr se deterinr os coeficientes q n deveos ultiplicr os os eros d série (7) por ' n' sen sen dd e integrr e relção e, ou sej: ' n' ' n n' q(, ) sen sen dd qn dd sen sen sen sen 0 0 n 0 0 (76) Devido ortogonlidde ds funções seno, teos: 0 ' sen sen d 0 pr ' (77)

49 30 e 0 ' sen sen d / pr ' (78) ssi coo: e 0 0 ' sen sen d 0 ' sen sen d / pr pr ' (79) ' (80) Conseqüenteente, Assi: q n n q dd (, )sen sen 0 0 (8) D n q, n n sen sen n (8) Se plc estiver sujeit u crg uniforeente distriuíd q o, utilizndo-se s epressões (7) e (8), tereos: onde: n q0 qn sen sen n (83) q n q0 n sen sen dd 0 0

50 3 ou q q0 n [ cos ][ cosn ] Pr e n pres teos q n 0 e pr e n ípres teos 6q0 (8) n q n Sustituindo esse vlor de q n n série (8), result: 6qo 6 D n n sen sen n n (85) onde,n, 3, 5, Introduzindo solução (85) ns epressões ν M D ν M D M XY D ( ν ) oteos:

51 3 0 sen sen 6 n n n n n q M ν (86) 0 sen sen 6 n n n n n q M ν (87) ( ) 0 cos cos 6 n n n q M ν (88) Ds equções ci, podeos verificr que defleão e os oentos M e M são nulos pr 0 e, ssi coo pr 0 e e lcnç vlores áios no centro d plc D es for o oento torçor é nulo nos plnos de sietri, e (centro d plc) e será diferente de zero nos ldos poidos No cso de u plc qudrd, de teril 3 0, ν e o considerr e n, ou sej pens o prieiro tero d série (85), o vlor d defleão ái será (Tioshenko,W- Krieger,Theor Pltes nd Shells,pg0): D q á 0 0,006 (89) A convergênci rápid d série (85) pode ser verificd retendo-se os qutro prieiros teros d série(, n,3; 3, n,3) Nesse cso o resultdo será (ess págin e referênci ci) D q MÁX 0 0,0006 (90)

52 33 Os oentos fletores áios no centro d plc, considerndo-se pens o prieiro tero ds séries (86) e (87), serão: ( M ) ( M ) 0,053q (9) á á 0 Considerndo os qutro prieiros teros, ve: ( M ) ( M ) 0,069q (9) á Y á 0 Os resultdos ci ostr que s séries dos oentos não possue u convergênci tão rápid qunto à série ds defleões As tensões áis, otids pels epressões (5) e (6), são dds por: ( σ ) á ( σ ) á 0,8q 0 (93) h 33 Plc Retngulr Apoid nos Qutro Ldos sujeit u Forç Concentrd Utilizndo-se u plc siplesente poid sujeit u crg P uniforeente distriuíd sore áre cd pode-se desenvolver o seguinte equcionento Figur (3) Crg P distriuíd uniforeente sore áre cd

53 3 Sustituindo n epressão (8) P q(, ) (9) cd e integrndo-se ve: Logo: q n c d P n sen sen dd cd c d (95) q P n c nd sen sen sen sen (96) ncd Fzendo-se:,, c, d, epressão ci se torn: 6 P (97) n q n Sustituindo-se q n ddo por (96) n série (75) teos defleão d superfície édi d plc Aind, epressão (96) pode ser escrit n for: q n c nd sen sen P n sen sen ( ) (98) c n d Se fizeros c e d tender zero result: P n sen sen (99) q n ( ) Sustituindo esse resultdo n série (8), tereos:

54 P D n sen n n sen sen sen n (00) O princípio d superposição de efeitos pode ser utilizdo pr se oter defleão de plcs siplesente poids sujeits vários tipos de crregentos 35 Se o crregento P estiver plicdo no centro d plc,,, série se reduz : P D onde, n,3, 5, n ( ) n sen sen n n (0) Qundo plc for qudrd o vlor d defleão ái será: MÁX P D n ( n ) (0) Retendo-se os nove prieiros teros d série, oteos: 0,0P (03) D MÁX

55 3 Solução de M Lév pr Plc Siplesente Apoid co Crg Uniforeente Distriuíd 36 A necessidde de u processo lterntivo e relção à resolução de Nvier, é justificd pelo fto ds séries que represent os vlores dos oentos fletores não convergire de odo rápido pr u resultdo de precisão stisftóri O processo de M Lév result e convergêncis is rápids, chegndo co precisão ceitável, às vezes co pens o uso do o tero d série O étodo de M Lév é plicável à fleão de plcs retngulres co condições de contorno siplesente poids e dois ldos opostos(0 e ) e condições de contorno ritráris nos outros ldos( ± / ) A solução coplet é so d solução h d equção diferencil () tornd hoogêne co u solução prticulr escolheos: p d equção diferencil de () Coo solução d equção diferencil hoogêne, h Y ( )sen (0) onde Y é função de soente e será deterind de odo stisfzer s condições de contorno nos ldos ± / Coo notos, solução (0) stisfz s condições dos ldos 0 e sere siplesente poids Sustituindo solução (0) n equção 0, oteos: Y sen 0 IV Y Y,,3 (05) Pr que sotóri ci sej verddeir pr qulquer vlor de, o prieiro tero deve ser sepre nulo n sotóri: Y IV Y Y 0 (06) A solução gerl dess equção diferencil é:

56 37 D C B A Y cosh senh cosh senh (07) Portnto solução hoogêne será: sen cosh senh cosh senh h D C B A (08) onde A B, C e D são constntes sere deterinds Coo solução prticulr, d equção diferencil (5), vos escolher série: )sen ( p k (09) Desenvolvendo o crregento q(,) n série siples q q )sen ( ), ( (0) onde: d q q 0 )sen, ( ) ( () e sustituindo n equção () oteos: D q k k k iv '' ) ( ) ( () A deterinção de u solução prticulr d equção () nos peritirá oter p ddo n série (08)

57 38 Figur (33)-Plc uniforeente crregd No cso d plc d figur ci co q(,)q o, utilizndo epressão (), teos,3,5, q, pr q 0 Sustituindo esse vlor n equção (), result: k iv '' q0 ( ) k ( ) k D cuj solução prticulr é dd por: q0 5 D k 5 e conseqüenteente pel série (09), te-se: p q 5 D,35 sen 5 (3)

58 39 A condição d plc ser siétric e relção o eio conduz A D 0 n equção (08) Assi, sondo s soluções (08) e (09), oteos: C B D q sen senh cosh,3, () Est equção stisfz equção diferencil (5) e s condições de contorno nos ldos 0 e Ipondo gor s condições de contorno 0, 0 pr ± : 0 senh cosh D q C B 0 senh )cosh ( C C B onde A solução desse siste nos fornece cosh tnh D q q B

59 0 C 3 q0 D cosh ( ) e conseqüenteente, solução () pode ser escrit coo: q 5 D tgh cosh ( ) cosh ( ) cosh( ) senh sen 5,3,5 (5) A defleão ái ocorre no centro d plc e é ddo por: á q 5 D,3,5 ( ) 5 tgh cosh (6) Sustituindo ness epressão,3,5 ( ) oteos: 5q q ( ) tgh( ) ( ) (7) D D cosh O prieiro tero dess série represent defleão de u fi siplesente poid e os outros teros represent u série que é rpidente convergente No cso de u plc qudrd, defleão é dd por: 5q q q [ 0,6856 0,0005 ] 0, D D D A defleão ái e os oentos áios pode ser escritos n for: δ q, D ( M ) á δ q0, ( M ) á δ 3q0, pr / e 0 (8)

60 Onde os vlores de δ, δ e δ 3 pode ser teldos pr vários vlores de /Estes vlores são ddos pel tel (Apêndice A) etríd de Tioshenko, Woinosk-Krieger (Theor of Pltes nd Shells) 35 Solução de M Lév pr Plc Siplesente Apoid, so Forç Concentrd Representndo equção de Nvier de u neir odificd e dependente de u série siples, te-se: Figur (3) Plc so crg concentrd 3 P ξ S sen sen (9) onde S é u coeficiente ddo por: S n nξ n sen sen Introduzindo notção n (0)

61 S n n ( η) cos n () e S n n ( η) cos n () podeos escrever epressão (0) n for S S S (3) Pr clculr s sotóris () e () podeos usr série n cos( nz) n ( z( z) ) cosh senh( z) () pr 0 z, e sendo S u função de, diferencindo o prieiro ero de (), te-se: ( ) S cos( nz) ( n n ) (5) Se derivr o segundo ero (3) ve n cosnz ( n ) ( z) cosh( ) cosh senh ( ) cosh( z) ( z) senh ( z) S 3 senh senh (6) Pr oter os vlores ds epressões () e () escreveos

62 3 z ( ξ ) (7) z ( ξ ) (8) onde Assi te-se seguinte epressão pr defleão d plc: P β β β coth( β ) coth 3 D β η β ξ senh senh sen sen 3 senh β β η β η coth (9) e que β,, e η Dí, o considerros /, /, /, / e fzendo:

63 β, (30) defleão ái no centro; será: P 3 D 3 P tgh( ) cosh ( ) D (3) A tel (Apêndice A) ostr que qunto is relção / vi crescendo, o coeficiente vi rpidente se proindo do vlor 0,0695 que corresponde u plc de copriento infinito Deste odo s plcs retngulres co / > te o seu coportento próio ds plcs lrgs e estreits 35 Moentos fletores e u plc retngulr siplesente poid co crg concentrd Pr se encontrr os oentos fletores tuntes o longo do eio, deriv-se epressão 9 otendo: 0 P D ξ sen tnh,3,5 sen cosh (3) 0 P D ξ sen tnh,3,5 sen cosh (33) Sustituindo ests derivds ns epressões: M D ν (7)

64 5 M D ν (8) te-se que: ξ sen P ( ) ν tnh sen 0,3,5 cosh ( M ) ( ν ) (3) ξ sen ( ) ν tnh sen 0,3,5 cosh P ( M ) ( ν ) (35) Nesss equções tnh proi-se d unidde e o vlor do cosh torn-se uito lto, qundo cresce Dess for s equções dos oentos fletores M e M, loclizdos no eio, e próios do ponto de plicção d crg concentrd P, pode ser representdos d seguinte for; M ( ν ) P ξ P ( ν ) sen sen γ ξ sen P log r,3,5 P γ (36) ξ sen ( ν ) P ξ P ( ν ) P M sen sen γ log γ,3,5 r P (37) Os vlores de γ e γ são ftores nuéricos dependentes d relção / e d posição d crg concentrd no eio A tel 3( Apêndice A) fornece lguns desses vlores Dest neir distriuição ds tensões ns proiiddes do ponto de plicção d crg é ξ sicente es de u plc circulr de rio sen A superposição dos oentos fletores d plc circulr co os oentos d fleão unifore fornece os oentos M e M no centro, pr u crg P uniforeente distriuíd e u áre circulr de pequeno rio c Dí teos que:

65 6 ξ sen P ( ν ) log P M γ (38) c M ξ sen P ( ν ) log P ( ν γ ) (39) c 36 Plc Retngulr co dus Bords Oposts Siplesente Apoids e s outrs dus Engstds A defleão de u plc so crregento qulquer pode ser resolvid pel coinção de vários crregentos e condições de contorno, resolvido individulente Dest for uitos proles pode ser soluciondos usndo os resultdos prciis e coinção A seguir present-se s soluções pr diversos proles 36 Crg uniforeente distriuíd No presente cso pegreos inicilente u plc retngulr co crg uniforeente distriuíd e siplesente poid e sus ords ou etreiddes Figur(35) Plc poid (ldos enores), engstd (ldos iores) co crg uniforeente distriuíd

66 7 A defleão encontrd nteriorente pel epressão (5) é: sen q tgh cosh senh 5 5 D cosh cosh A rotção ngulr ns ords ± é deterind o se derivr epressão ci e relção 3 q D,3,5, sen [ tgh ( tgh )] (0) Pr eliinr est defleão ngulr, que n relidde é nul e tender s condições de contorno, necessit-se d colorção de u oento uniforeente distriuído, fzendo u tendênci ngulr igul e contrári, o longo dos eios: ± : O oento pode ser representdo pel série: M ±,3,5 E sen () O cálculo do coeficiente E deve oedecer condição de contorno n qul: Finl 0 () A epressão pr defleão e plcs retngulres siplesente poids e crregds co oentos o longo d ord é: D,3,5, sen cosh E tgh cosh senh (3)

67 8 A defleão ngulr provocd pelo oento será deterind pel derivção de (3) e relção W Y D,3,5 sen [ tgh ( tgh ) ] E () Se igulr (0) e (), cheg-se que: E M q 3 3 tgh tgh ( tgh ) ( tgh ) (5) Conseqüenteente, de (5) e () te-se: M ±,3,5, q 3 3 tgh tgh ( tgh ) sen ( tgh ) (6) Pr o cálculo d defleão ω devido o oento, st sustituir E n epressão (3) sen q ( ) tgh tgh 5 5 D,3,5, cosh tgh ( tgh ) (7) tgh cosh senh Pr / e

68 9 0, defleão será no centro d plc, logo: á q 5 D,3,5, ( ) tgh tgh ( tgh ) 5 cosh tgh ( tgh ) (8) Pr encontrr equção d defleão d superfície deford de u plc retngulr, uniforeente crregd co dois eios opostos siplesente poidos e dois eios engstdos, sendo estes eios coincidentes co s ords, deve-se sutrir de, que é defleão pr plcs siplesente poids e tods s etreiddes e crregds uniforeente, o vlor de Relerndo equção (5), ostrd io q 5 D,3,5, 5 tgh cosh senh sen cosh cosh (5) Logo, teos que: - (9) Conclui-se dí que:

69 q 5 D,3,5, tgh sen cosh [ cosh 5 cosh tgh cosh tgh tgh ( tgh ) ( tgh ) cosh senh ] senh cosh (50) 50 Est é u série de convergênci rápid e pr pequenos pssos, cheg-se u resultdo stnte precisoa equção (50) dá pr:, 0, (plc qudrd), defleão ái no centro d plc q 0, 009 (5) D Assi coo ds deduções nteriores te-se que defleão será u função de seu coeficiente ( no cso igul 0,009 ) que depende d relção Pr os oentos: e M D ν (7) M D ν, (8) es ordge será utilizd e M β q e M β q Os vlores de oentos fletores M e M, pr plcs qudrds co o contorno e estudo, serão:

70 5 M 0,0q (5) e M 0,033q (53) Os vlores dos coeficientes, β, β são ddos pel tel 3 (Apêndice A), etríd de Tioshenko, Woinosk-Krieger (Theor of Pltes nd Shells) (pg87) Not-se que os oentos (5) e (53) são enores que M M 0,079q (5) oentos áios no centro de plcs qudrds siplesente poids Ms, os oentos fletores (Apêndice A) iores que M n prte édi dos eios engstdos são, coo ostr tel 0,079q devido à restrição ngulr ipost pelo engstento, conseqüenteente, s tensões áis terão seus vlores uentdos 36 Forç concentrd Neste cso solução ve d seguinte superposição de efeitos, defleão de u plc retngulr siplesente poid co crg concentrd e defleão de u plc retngulr co dois eios opostos nos quis são distriuídos uniforeente os oentos fletores A figur 36 present u desenho esqueático dest configurção

71 5 Fig (36) Plc poid (ldos enores), engstd (ldos iores) co forç concentrd Fzendo o cso de u crg concentrd e u plc no seu ponto centrl e sus ords que se locliz e: ±, estej engstds, oté-se epressão d defleão no ponto de tução de crg: á P 3 D,3,5, 3 tgh cosh tgh senh cosh,3,5, (55) 37 Plc Retngulr co todos os Ldos Engstdos, crregd Uniforeente Pr u ior fcilidde no equcionento e devido à sietri nos ldos, opt-se por orientr os eios e prtir do centro d plc Pr resolução desse prole foi utilizd coinção de csos individuis Deve-se coinr u plc siplesente poid e tods s etreiddes co defleão de u plc crregd co distriuição unifore de oentos o longo dos seus ldos A figur 37 present u esque dess configurção

72 53 Fig(37) Plc qutro ldos engstdos, crg unifore Os oentos deverão ser justdos pr stisfzer condição: 0 n, pr plcs engstds totlente O étodo se plic pr qulquer tipo de crregento A defleão de u plc siplesente poid co crg uniforeente distriuíd é representd (levndo e cont trnslção dos eios e ) por: ( ) tgh D q senh cosh cos cosh cos,3,5, 5 5 (56) A defleão ngulr ( rotção ) no ldo d plc é deterind pel derivção d epressão (56) e relção ( ) ( ) [ ],3,5, 3 cos tgh tgh D q ( ),3,5, 3 cosh cos tgh D q (57)

73 5 Anlisr-se-ão s defleões d plc cusds pelos oentos distriuídos o longo dos seus eios ± Por considerções de sietri( positivo ou negtivo, siétricos, cos sepre iguis) cheg-se à conclusão que os referidos oentos pode ser representdos pel série io ( ) E M Y cos,3,5, ± (58) A defleão correspondente estes oentos é otid d epressão (3):,3,5, senh cos cosh sen tgh E D Se sustituir por ( trnslção de eios ) te-se: ( ) tgh E D cosh senh cos cosh,3,5, (59) A rotção do eio correspondente est defleão é deterind pel derivção d epressão (59) e relção é: ( ) tgh E D,3,5, cosh cos (60) A rotção do eio / correspondente est defleão é deterind pel derivção d epressão (59) e relção é:

74 55 tgh E D cosh senh cosh,,3,5 E D senh cosh cos senh cosh,3,5, (6) A epressão entre prênteses é u função de s quis desprece pr: ± Dest neir função pode ser representd pel série:,,3,5 cos i i Ai (6) n qul os coeficientes Ai são clculdos pel fórul: i Ai cos senh cosh cosh senh (63) Resolvendo integrl, te-se que: ( ) i i i Ai cosh 6 (6) Sustituindo epressão (6) e (6) e lnçndo o resultdo e (6), oté-se: ( ),3,5,,,3,5 3 cos i i i i i E D (65)

75 56 Pode-se té deterinr s rotções nos ldos onde os oentos uniforeente distriuídos M tu, ou sej: ± Anlogente à M, X M pode ser definido por: ( ) F M X cos,3,5, ± (66) Pelo uso idêntico ds equções (59) e (6) te-se: ( ) tgh F D β β β,3,5, cosh cos (67) onde: β e: ( ),3,5,,3,5, 3,3,5, 3 cos i i i i i i F F D (68) Qundo s tuções dos dois oentos são siultânes, defleão ngulr provocd por eles é otid pel so ds defleões individuis Te se que, pr:

76 57 ( ) ( ),3,5,,,3,5 3,3,5, cos cosh cos i i i i i F D tgh E D (69) Tondo epressão (65) que represent rotção n direção provocd pel crg uniforeente distriuíd n plc siplesente poid e sondo co (69), que represent defleão ngulr devido os dois oentos de engste tundo siultneente; te-se que rotção finl será nul, que é u ds condições de contorno ser oedecid Dí; pode-se clculr s constntes, E e F trvés ds epressões (70) e (7) pr colocr-se ns séries (58) e (66) que represent os oentos de engste Pr: ± 0 (70) Anlogente, pr: ± ve que: 0 (7)

77 58 Ao sustituir (57) e (69) e (70), grupr os teros que conté os cossenos: i, (7) coloc-los e evidênci, e ser que (69) é verdde pr qulquer vlor de, deduz-se que os oeficientes que ultiplic os cossenos serão nulos pr qulquer vlor de Oté-se ssi, u siste liner de infinits equções pr cálculo de Ei e Fi coo io se represent: q 3 8i i E tgh i i cosh i i F 0 3 i,3,5, i i tgh i cosh i (73) Anlogente, são otids equções de Ei e Fi, pr rotção e, ficndo co dois () sistes de equções Pelo processo de proição sucessivs pode ser clculdos os coeficientes Ei e Fi Pr ilustrr este étodo to-se pr siplificção u plc qudrd, onde Ei Fi e fzse pens sotóri de qutro () vlores de i A equção torn o seguinte forto;: E i i i 8i E q i tgh i tgh 3 3 i (7) cosh i,3,5, i i cosh i Se-se que: i i

78 Sustituindo os vlores nuéricos dos coeficientes nests equções e considerndo soente os prieiros vlores d sotóri, oté-se que: 59,8033 E 0,076 E 3 0,088 E 5 0,007 E 7 0,6677 k 0,076 E 0,05 E 3 0,0330 E 5 0,059 E 7 0,03 k 0,088 E 0,0303 E 3 0,55 E 5 0,063 E 7 0,0060 k 0,007 E 0,059 E 3 0,063 E 5 0,588 E 7 0,000 k onde: K q (75) 3 Vê-se que os vlores dos coeficientes serão n digonl príncipl, iores que os seus correspondentes ns outrs equções Se considerr pens o ldo esquerdo d digonl e clculros E, te-se: E 0, 3700k Ao lnçr E no frcionento d equção tir-se: E3 0, 0395k Colocndo E,3700k e E 0, 0395k 0 3

79 60 n 3ª equção prcil, ve que E5 0, 080k Finlente co os três vlores clculdos, ch-se n ª e totl equção que: E k Dí, o considerr o ldo direito d digonl e colocr-se vlores clculdos n ª proição, te-se: E 0 37k E k E k E k Ao repetir estes cálculos, uent-se cd vez is precisão Ao sustituir os vlores de E n série (5), oté-se os vlores dos oentos o longo dos ldos d plc engstd, E3, E5 e E7 Por eeplo; de equções o vlor do oento é: M ( E E E E ) 0,057q Y 3 5 7, o (76) Que é o oento áio no eio do ldo de plc qudrdsustituindo os vlores E E,, n, 3 E5 epressão (59), te-se defleão d plc produzid pelos oentos distriuídos o longo dos ldos: ±

80 necessitndo dorr o vlor encontrdo pelo fto de ter dois oentos siultâneos ( M e M) tundo Ao coinr este resultdo co o d plc siplesente poid, te-se defleão d plc qudrd co ldos engstdos crregd co u crg uniforeente distriuíd 6

81 6 CAPÍTULO EXEMPLOS NUMÉRICOS Introdução As coprções feits, segue lgus considerções que serão eplnds gor Os étodos escolhidos for os processos nlíticos de Nvier e Lev, o processo nuérico trvés do Método dos Eleentos Finitos, e s tels de Mrcus e Czern Ests tels, for elords co os seguintes princípios: ) Princípio de Mrcus N su prieir teori, uscou integrção ds equções diferenciis d Teori d Elsticidde e epregou o étodo ds diferençs finits; originndo equções coples e crretndo grnde eigênci de tepo pr resolve-ls, o que tornou inviável no uso prático Co segund teori, optou-se pel plicção de u coeficiente n fórul do oento fletor, clculdo pel teori ds grelhs Pr teori de Mrcus, considerreos o coeficiente de Poisson igul 0,3 ) Princípio de Czern Os resultdos encontrdos são sedos n Teori Mteátic d Elsticidde de u neir prátic, considerndo o coeficiente de Poisson igul zero São resultdos is precisos que os de Mrcus Denoinreos os étodos d seguinte for: Método de Nvier Método de Lév Método dos Eleentos Finitos (MEF) Método de Czern Método de Mrcus

82 63 EXEMPLOS NUMÉRICOS Ddos dos eeplos e considerções: Todos os eeplos serão de u plc co ldo ior igul, e ldo enor igul A espessur d plc será de 30 O teril será ço co coeficiente de Poisson ( ν 0 3) e ódulo de elsticidde 9 E 00 N/ 0GP Crregento uniforeente distriuído q000p Pr s coprções co vlores clculdos por Czern, consider-se ν 0 Módulo de rigidez à fleão de plcs D 59,30 3 N Ns tels onde houver o trcejdo, eplic-se pelo fto de lguns étodos não presentre resultdos pr queles itens específicos, ou s seções onde se clcul os esforços não sere s ess Pr s coprções sucessivs que serão feits, optou-se por u vlor(deslocentos, tensões, oentos, esforços cortntes) clculdo por u ds teoris e uso Assi, por eeplo, tods s defleões serão coprds co pens u escolhid coo referencil, e não tods entre si A usc pel teori que is se dequsse esse tipo de coportento e tivesse seus vlores stnte precisos e confiáveis levou escolh se inclinr pelo étodo de Lév O étodo de Lév, sedo n Teori Mteátic d Elsticidde, te os seus vlores clculdos n for de séries, já que u integrção nlític seri inviável A convergênci presentd pel teori de Lév é stnte precis e rápid, tendo lé disso, estudos sore váris condições de contorno, o que já não ocorre co processo de Nvier Devido à su etidão, fcilidde de convergênci (essencil no cso do desenvolviento e séries) e rngênci à váris condições de contorno, toreos os vlores deterindos por Lév coo prâetros pr os desvios percentuis sere clculdos Deste odo todos os oentos fletores, esforços cortntes e defleões, deterindos nos outros processos serão coprdos os vlores respectivos clculdos por Lév

83 6 O Método dos Eleentos Finitos, desenvolvido pr os eeplos nuéricos, us u discretizção e quinhentos e doze (5) eleentos, sendo dezesseis (6) divisões n direção do eio e trint e dus (3) divisões n direção do eio Co isso, o totl de nós é de quinhentos e sessent e u (56) 3 Eeplo Plc retngulr co relção entre ldos igul (dois), siplesente poid, crregd uniforeente co crg q Coeficiente de Poisson ν 0 3 q000n/ Figur () Plc siplesente poid () Crregento unifore

84 65 (c) Reções ns quins Coprções té são feits entre vlores de reções ns quins (Figur c) clculdos pelos processos de Lév e Eleentos Finitos Os resultdos dos oentos fletores M e M, reções ns quins e ds defleões clculdos no centro d plc e dos esforços Q e Q deterindos no eio dos ldos d plc são ostrdos n Tel Tel Resultdos de esforços e defleões Métodos M Centro M Centro Q Meio do ldo Q Meio do ldo Defleão Centro () Reções ns quins Lév 83N 370N 860N 376N 0, N Nvier 80N 36N 63N 7N 0, MEF 8N 370N - - 0, N Mrcus 756N

85 66 A Tel ostr os desvios percentuis dos esforços e defleões clculdos e relção os vlores deterindos pel teori de Lév Tel Desvios percentuis Métodos Pr M Centro Pr M Centro Pr Q Centro Pr Q Centro Pr Defleão Centro () Reções ns quins Nvier -,50% -,0% -,0 % -7,0 % -0,6 % - MEF 0,3 % 0,00 % ,6 % -0,679% Mrcus -7,0 % Coentários: Pel tel, o M clculdo pelo processo de Mrcus, é enor que o vlor encontrdo pelos processos nlíticos de Nvier, Lév e pelo Método dos Eleentos Finitos Já o M não é otido pelo processo de Mrcus e os resultdos encontrdos pelos processos de Nvier, Lév e Eleentos Finitos se ostr próios coo present tel E relção os esforços cortntes ns dus direções, o processo de Lév fornece vlores pouco superiores os de Nvier, pelo fto d convergênci ds séries ser elhor e Lév Pr s defleões verticis os vlores encontrdos ostr desvios e pequenos As reções ns quins pelos processos de Lév e Eleentos Finitos são próis Eeplo Plc retngulr co relção entre ldos igul (dois), siplesente poid, crregd uniforeente co crg q Coeficiente de Poisson ν 0 q000 N/