4 Instabilidade de Placas Retangulares sob Compressão

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1 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão Este cpítulo present u revisão d instilidde de plcs retngulres so copressão, estudndo s equções de equilírio crítico, su solução nlític, coportento pós-crítico e estdo de tensões Plc Siplesente Apoid nos Qutro Bordos Consider-se inicilente u plc retngulr siplesente poid nos qutro ordos, de ldos e, so copressão e seu plno édio por forçs uniforeente distriuíds N, o longo dos ldos 0 e (Figur 4.1). Figur 4.1 Plc retngulr co ordos x0, e 0, siplesente poidos, so copressão. Neste cso, eq. (.16c) to for: 4 w D w N (4.1) Est equção represent condição de equilírio neutro ou crítico (existênci de u estdo de equilírio djcente). O correspondente vlor crítico d crg copressiv pode ser encontrdo pel integrção d eq. (4.1). O eso resultdo pode té ser otido pel iniizção d energi do siste. A deflexão d plc fld pode ser representd, neste cso, pel dupl série trigonoétric:

2 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão n n x n sen sen q w (4.) sendo n q plitude odl. Cd tero dest série stisfz s condições de contorno cineátics w0 nos qutro ordos, e té s condições de contorno estátics 0 M e x0, e 0 x M e 0,. Sustituindo eq. (4.) n eq. (4.1), oté-se: n n x n sen sen D N n n q (4.3) Pr que se tenh u solução não trivil, isto é, pr que est equção sej stisfeit pr todo o x e diferente de zero, é necessário que, pr o enos u tero d so, expressão entre colchetes sej nul (enqunto n q pode ser zero pr todos os outros teros). Te-se, então, fíli de utovlores: n D N (4.4) Neste cso, energi potencil é dd por: n n N n D q U (4.5) A crg crític corresponde o enor utovlor. Pr todos os vlores de e, o enor utovlor é ddo pr n1, s não necessriente pr 1. Assuindo α, eq. (4.4), torn-se: α α D N cr (4.6) A crg crític cr N e função de α te sepre u curvtur positiv e o vlor ínio de cr N ocorre qundo (d cr N /d α )0. Est condição lev α. Te-se então que o vlor ínio d crg crític é ddo por: 4 D N cr (pr α ) (4.7)

3 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 53 Sendo 1,,3..., te-se que plc tinge este vlor sepre que rzão / for u inteiro. Pr vlores diferentes de α, te-se que: onde: N cr k D (4.8) α k (4.9) α N Figur 4. é ilustrd vrição de k n eq. (4.9) coo u função de α pr vlores especificdos de. Te-se ssi s curvs que represent os diversos odos de ifurcção e que perite deterinr, pr cd geoetri, o odo ssocido o utovlor ínio (odo crítico). Pr certs geoetris (pontos de interseção ds curvs), te-se dois odos distintos de ifurcção que estão ssocidos à es crg de ifurcção k α Figur 4. Vrição do prâetro k e relção α. A trnsição do odo crítico de pr 1 eis-onds ocorre qundo s curvs sucessivs tê vlores iguis de k. A fórul gerl de k pr plcs siplesente poids é dd pel eq. (4.9). Sustituindo n eq. (4.9) por 1, e igulndo s expressões, oté-se: α α 1 α α 1 (4.10)

4 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 54 De onde se oté que, α ( 1) α ( 1) (4.11) Isso ostr que interseção entre s curvs 1 e ocorre qundo α 1.41, e entre s curvs e 3 qundo α e ssi por dinte. Qundo α <, crg crític ocorre pr n 1, ou sej, plc perde estilidde e u odo co ei-ond senoidl e cd direção. Por outro ldo, qundo < α < 6 crg crític ocorre qundo e n 1. Então, os odos críticos são otidos trvés ds nálises dos intervlos entre os pontos de interseção ds curvs. Estes pontos de interseção corresponde áxios locis do vlor d crg crític. Entretnto oserv-se que edid que α cresce, vrição no vlor d crg crític tende diinuir e tende ssintoticente o vlor ínio ddo pel eq. (4.7) que corresponde k4 n Figur 4.. Pr o cálculo d tensão crític, te-se que: N cr σ.h (4.1) cr Igulndo eq. (4.1) à eq. (4.8), te-se: k D σ cr (4.13) h Sustituindo eq. (.8) n eq. (4.1), te-se: k E h σ cr (4.14) 1( 1 ν ) que é expressão d tensão de copressão crític n direção do crregento e teros dos prâetros físicos e geoétricos d plc.

5 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão Coportento Crítico e Pós-Crítico Ns Figurs 4.3 à 4.7 são presentdos os cinco prieiros odos de flge de plcs retngulres so copressão e siplesente poids nos qutro ordos (x0, e 0,) pr lguns vlores de α, co seus respectivos ftores de crg λ otidos usndo-se o ABAQUS. Aqui λ é relção entre crg plicd e crg totl especificd no rquivo de entrd, que neste trlho foi de 1000kN e cd ordo crregdo, tnto pr plcs isolds coo pr plcs dords. Todos os resultdos encontrdos nuericente, tnto pr s crgs qunto pr os odos de ifurcção, concord co os vlores teóricos presentdos neste cpítulo, confirndo qulidde d odelge coputcionl. λ 0,36133 λ 0,56419 λ 1,0000 λ 1,4430 λ 1,670 Figur 4.3 Cinco prieiros odos de ifurcção e os respectivos vlores de λ pr u plc retngulr siplesente poid so copressão xil e α 1.0. λ 0,3903 λ 0,4413 λ 0,56437 λ 0,83540 λ 1,1960 Figur 4.4 Cinco prieiros odos de ifurcção e os respectivos vlores de λ pr u plc retngulr siplesente poid so copressão xil e α 1.5. λ 0,36136 λ 0,4407 λ 0,56470 λ 0,56473 λ 0,76055 Figur 4.5 Cinco prieiros odos de ifurcção e os respectivos vlores de λ pr u plc retngulr siplesente poid so copressão xil e α.0.

6 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 56 λ 0,37353 λ 0,37968 λ 0,44741 λ 0,56537 λ 0,71905 Figur 4.6 Cinco prieiros odos de ifurcção e os respectivos vlores de λ pr u plc retngulr siplesente poid so copressão xil e α.5. λ 0,36140 λ 0,395 λ 0,4414 λ 0,46475 λ 0,56641 Figur 4.7 Cinco prieiros odos de ifurcção e os respectivos vlores de λ pr u plc retngulr siplesente poid so copressão xil e α 3.0. Pr todos os vlores de estuddos, oteve-se, usndo o ABAQUS, o correspondente cinho pós-crítico de equilírio, seguindo etodologi descrit no cpítulo nterior. Estes resultdos são ostrdos n Figur 4.8 onde se present vrição do prâetro de crg e função d deflexão áxi d plc norlizd co relção à espessur, h. Verific-se que todos os cinhos de equilírio exie u ifurcção siétric estável co elevd rigidez pós-crític,concordndo co os resultdos d litertur (Chi, 1980), coo presentdo n Tel 4.1. Tel 4.1 λ nuérico e teórico pr s cinco prieirs crgs de flge de u plc isold co pens os ordos crregdos poidos, pr cd α estuddo. α 1.0 α 1. 5 α. 0 α. 5 α 3. 0 λ Nuérico Teórico Nuérico Teórico Nuérico Teórico Nuérico Teórico Nuérico Teórico 1ª 0,361 0,36 0,39 0,39 0,361 0,36 0,374 0,374 0,361 0,36 ª 0,561 0,565 0,44 0,44 0,44 0,44 0,380 0,380 0,39 0,39 3ª 1,00 1,004 0,564 0,565 0,565 0,565 0,447 0,447 0,44 0,44 4ª 1,443 1,633 0,835 0,836 0,565 0,565 0,565 0,565 0,465 0,464 5ª 1,67,444 1,19 1,193 0,761 0,760 0,719 0,760 0,566 1,004

7 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão λ α 1.0 α 1.5 α.0 α.5 α w / h Figur 4.8 Cinhos pós-críticos de equilírio pr vlores seleciondos de α - Plc retngulr co todos os ordos siplesente poidos so copressão xil Evolução do Estdo de Tensões Pr o estudo d evolução do estdo de tensões n plc o longo do cinho pré- e pós-critico de equilírio, dotou-se coo exeplo u plc retngulr so copressão xil co α 1. 0 e outr co α 3. 0, confore presentdo ns figurs seguintes. Estes resultdos for otidos por interédio do progr ABAQUS. Coo explicdo nteriorente no Cpítulo 3, pr se oter o cinho não-liner de equilírio usndo este progr, deve-se dotr u pequen perturção. Pr est perturção toou-se u iperfeição n for do odo crítico co u pequen plitude (1% d espessur). Est iperfeição é responsável pels pequens vrições oservds nos vlores ds tensões pr vlores de λ enores que o vlor crítico. Teoricente té o vlor crítico (cinho fundentl de equilírio) tensão deveri ser unifore e tod plc. Ns Figurs 4.9 e 4.10 te-se distriuição ds tensões ns fces positiv e negtiv ( z ±h / ) de u plc qudrd ( α 1. 0 ), respectivente, pr vlores crescentes de crregento. Mostr-se e cd cso o correspondente vlor do prâetro λ / λ cr. Neste cso, λ cr 0, Ns Figurs 4.11 e 4.1, te-se distriuição ds tensões ns fces positiv e negtiv d plc ( z ±h / ) ei-ltur d plc (/), pr lgus

8 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 58 relções de λ / λ cr, sendo estes vlores iguis os considerdos ns Figurs 4.9 e Not-se que, té se tingir crg crític, distriuição de tensões é, coo esperdo, prticente unifore. Ao se ultrpssr crg crític, e função dos efeitos d flexo-copressão (efeitos de segund orde), s tensões pss presentr u grnde vrição o longo d lrgur d plc, podendo inclusive ocorrer tensões de trção no centro d plc, região onde o oento de segund orde te ior influênci. Nest região té ocorre s iores tensões de copressão, coo ostr Figur 4.1. A tensão áxi ocorre no centro d fce negtiv, onde se inici o processo de plstificção. Verific-se té que s dus fixs junto os ordos verticis são s responsáveis pel ior prte d rigidez pós-crític d plc. E função do créscio centudo ds tensões no regie pós-crítico, eso que flge ocorr no regie elástico, o que gerlente contece e plcs eselts copriids, plc pss presentr u coportento elstoplástico, tingindo finlente o colpso. Ns Figurs 4.13 e 4.14, te-se distriuição ds tensões ns fces positiv e negtiv d plc ( z ±h / ) junto o ordo d plc (0), pr lgus relções de λ / λ cr. E tods s figurs deste trlho, s tensões são dds e kn/. Ns Figurs 4.15 e 4.16 te-se distriuição ds tensões ns fces positiv e negtiv ( z ±h / ) de u plc retngulr co α 3. 0, respectivente, pr vlores crescentes de crregento. Mostr-se e cd cso o correspondente vlor do prâetro λ / λ cr. Neste cso, λ cr 0,36140.

9 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 59 λ / λ cr 0,69 λ / λ cr 0,83 λ / λ cr 0,97 λ / λ cr 1,11 λ / λ cr 1,5 Figur 4.9 Distriuição ds tensões, n fce positiv de u plc retngulr so copressão xil co α 1 pr vlores crescentes de λ.

10 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 60 λ / λ cr 0,69 λ / λ cr 0,83 λ / λ cr 0,97 λ / λ cr 1,11 λ / λ cr 1,5 Figur 4.10 Distriuição ds tensões n fce negtiv de u plc retngulr so copressão xil co α 1 pr vlores crescentes de λ.

11 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão σ (kn / ) λ / λ cr L rgu r d p lc ( ) Figur 4.11 Distriuição ds tensões no centro ( /) d fce positiv ( z h / ) de u plc retngulr co α 1.0 pr lgus relções de λ / λ cr σ (kn / ) λ / λ cr L rg u r d p l c ( ) Figur 4.1 Distriuição ds tensões no centro ( /) d fce negtiv ( z h / ) de u plc retngulr co α 1.0 pr lgus relções de λ / λ cr.

12 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão λ / λ cr σ (kn / ) L rg u r d p l c ( ) Figur 4.13 Distriuição ds tensões no ordo d plc ( 0). Fce positiv σ (kn / ) λ / λ cr L rg u r d p l c ( ) Figur 4.14 Distriuição ds tensões no ordo d plc ( 0). Fce negtiv.

13 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 63 λ / λ cr 0,69 λ / λ cr 0,83 λ / λ cr 0,97 λ / λ cr 1,11 λ / λ cr 1,5 Figur 4.15 Distriuição ds tensões, n fce positiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3. λ / λ cr 0,69 λ / λ cr 0,83 λ / λ cr 0,97 λ / λ cr 1,11 λ / λ cr 1,5 Figur 4.16 Distriuição ds tensões n fce negtiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3.

14 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 64 Ns Figurs 4.17 e 4.18, te-se distriuição ds tensões ns fces positiv e negtiv d plc ( z ±h / ) ei-ltur d plc (/), pr lgus relções de λ / λ cr, sendo estes vlores iguis os ds Figurs 4.15 e σ (kn / ) λ / λ cr L rgu r d p lc ( ) Figur 4.17 Distriuição ds tensões no centro / d fce positiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3.0 pr lgus relções de λ / λ cr σ (kn / ) λ / λ cr L rg u r d p l c ( ) Figur 4.18 Distriuição ds tensões no centro / d fce negtiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3.0 pr lgus relções de λ / λ cr.

15 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 65 Ns Figurs 4.19 e 4.0, te-se distriuição ds tensões ns fces positiv e negtiv d plc ( z ±h / ) no ordo 0, pr lgus relções de λ / λ cr, sendo estes vlores iguis os ds Figurs 4.15 e λ / λ cr σ (kn / ) L rg u r d pl c ( ) Figur 4.19 Distriuição ds tensões no ordo 0 d fce positiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3.0 pr lgus relções de λ / λ cr σ (kn / ) λ / λ cr L rg u r d pl c ( ) Figur 4.0 Distriuição ds tensões no ordo 0 d fce negtiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3.0 pr lgus relções de λ / λ cr.

16 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 66 Coo no cso nterior ( α 1. 0 ), qundo s tensões de copressão são enores que tensão crític, distriuição de tensões é unifore o longo d lrgur d plc. Pr tensões de copressão iores que tensão crític, s tensões perto dos ordos x0, são enores que no centro, pois sofre influênci dos poios. E tis csos distriuição de tensões é não-unifore, coo pode ser oservdo ns Figurs 4.11 à 4.14 e ns Figurs 4.17 e 4.0, presentndo u coportento siilr o d plc isold. Co se ns distriuições de tensões, pode-se derivr critérios práticos e recoendções de nors que perit o diensionento seguro d estrutur. A diferenç entre σ u, tensão de colpso d plc (ordend do ponto B n Figur 4.1) e σ, tensão de escoento do teril (ordend do ponto A n Figur 4.1) é chd de reserv de resistênci elsto-plástic d plc. E gerl su deterinção envolve u esforço coputcionl considerável. Coo ess diferenç não é, e gerl, iportnte, é prátic corrente desprezá-l, o que signific ditir que o colpso d plc corresponde o escoento d prieir fir d plc (i.e., to-se processo de cálculo. σ u σ ), o que siplific stnte o Figur 4.1 Coportento pós-crítico de plcs retngulres copriids xilente (Reis & Coti, 001). Qunto à influênci d presenç ds iperfeições geoétrics ( ε 0, onde ε é o prâetro de iperfeições) no coportento d plc, Figur 4.1 ostr té que su presenç fz diinuir os vlores de σ e σ u (ordend dos pontos A e B n Figur 4.1).

17 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 67 A presenç de iperfeições geoétrics fz co que trjetóri fundentl d estrutur deixe de ser constituíd por configurções de equilírio neutro. Por este otivo, s estruturs reis não present ifurcção de equilírio, sendo o seu coportento crcterizdo por u cinho de equilírio cuj não-lineridde se centu ns proxiiddes d crg crític. Cso ocorr plstificção, hverá ocorrênci de u ponto liite, o qul está ssocido o vlor do ftor de crg λ que corresponde à trnsição entre s configurções de equilírio estáveis e instáveis (Reis & Coti, 001). A Figur 4. present os cinhos pós-críticos de equilírio de u plc co α 1.0 e co diferentes níveis de iperfeição, so copressão xil. Oservse que, edid que gnitude d iperfeição uent, cresce nãolineridde d respost co o conseqüente uento ds deflexões lteris pr u eso nível de crregento. Coo neste trlho não se consider o processo de plstificção d plc, não se pode oservr os pontos liite ilustrdos n Figur λ Iperfeição (% de h) w / h Figur 4. Cinhos não-lineres de equilírio de u plc retngulr so copressão xil co α 1.0 e co diferentes níveis de iperfeição. Pr o diensionento de estruturs etálics, verificção d resistênci à flge é feit trvés d utilizção do conceito de lrgur efetiv, foruldo inicilente por vón Kárán no contexto de plcs siplesente poids e uniforeente copriids, co se n oservção de ensios experientis. Consider-se que áxi tensão nos ordos ge

18 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 68 uniforeente sore dus fixs d plc, e que região centrl não é tensiond. Vón Kárán propôs que s fixs deve ser considerds junts coo u plc retngulr de lrgur e. Pel Figur 4.3, se lrgur de cd fix de ordo é e /, e se o colpso ocorre qundo tensão no ordo tinge σ onde:, então: e. σ. σ x (4.15) k E h σ (4.16) 1( 1 ν ) e e tensão crític d plc coplet é dd pel eq. (4.13). Coprndo eq. (4.13) e eq. (4.16), tê-se que: e σ σ Finlente, ds eqs. (4.15) e (4.17): cr (4.17) σ x σ σ σ cr (4.18) e, portnto, σ (4.19) x σcr.σ 1 e 1 e σ σ x σ cr Figur 4.3 Cálculo d lrgur efetiv. 0 Ocsionlente, crg de flge inicil é usd coo u estitiv conservdor d resistênci últi d plc. Se o escoento do teril d plc ocorrer ntes d plc flr, crg áxi que plc pode suportr é enor que o vlor ddo pel nálise d estilidde elástic.

19 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão Plc co Condições de Contorno Aritráris A for siples d eq. (4.) não é proprid pr outrs condições de contorno. Coo u exeplo is gerl e de interesse pr o presente estudo, considere u plc retngulr uniforeente copriid e siplesente poid nos ordos x0,, s co outrs condições de contorno nos ordos 0,. A enor crg crític pr tis condições de contorno evidenteente corresponde os ordos livres e x0, (Figur 4.4). Tl plc é siplesente u colun cuj rigidez à flexão EI é sustituído por D e é conhecid por wide colun (Brush & Alroth,1975). Figur 4.4 Plc retngulr so copressão xil co x0, livres e 0, poidos. Neste cso te-se pr s crgs de ifurcção: N if D (4.0) O enor utovlor corresponde sepre 1, independente d geoetri d plc. Logo: N cr D (4.1) A tensão de copressão crític é dd por: D E h σ cr σ cr (4.) h 1(1 ν ) Agor, consider-se o cso is gerl de u plc retngulr uniforeente copriid e siplesente poid o longo dos ordos 0, e co diferentes condições de contorno o longo dos ordos x0,.

20 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 70 As condições de contorno e 0, são stisfeits por soluções d for: 1 n sen q x ) f( w (4.3) Sustituindo eq. (4.3) n eq. (4.1), tê-se pr f(x) seguinte equção diferencil de qurt orde: f D N dx f d dx f d (4.4) Est equção pode ser resolvid fcilente qundo N é constnte. Então, ssuios que ) / ( D) / N ( >, solução gerl te for: x Dcos x C cosh x Bsen x Asenh x ) ( f β ϕ β ϕ (4.5) onde ϕ e β são s rízes d equção crcterístic ssocid à (4.5): β ϕ D N D N (4.6) Pr o ordo x0 livre e o ordo x siplesente poido, coo ostr Figur 4.5, tê-se s seguintes condições de contorno: Pr x 0 w 0 x w (4.7) Pr x 0 0 ν w x w ν x w ) ( x w (4.8) Figur 4.5 Plc retngulr so copressão xil co x0 livre e x e 0, poidos.

21 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 71 Pels eqs. (4.7), conclui-se que C D 0 e s eqs. (4.8) fornece dus equções lgérics pr A e B: 0 β ν β ϕ ν ϕ B sen A senh 0 β ν β β ϕ ν ϕ ϕ B cosh ) ( A cosh ) ( (4.9) Pr que o siste hoogêneo d eq. (4.9) tenh solução não-trivil é necessário que o deterinnte d triz dos coeficientes sej igul zero,isto é: tn tnh β ν β ϕ ϕ ν ϕ β (4.30) A eq. (4.30) pode ser usd pr clculr o vlor crítico de N se s diensões d plc e s constntes elástics do teril são conhecids. Estes cálculos ostr que o enor vlor de N é otido pr 1, ou sej, plc o perder estilidde present soente ei-ond n direção. A crg crític e respectiv tensão pode ser encontrds por: D k N cr (4.31) ) (1 1 h E k h D k cr cr ν σ σ (4.3) N litertur técnic, encontr-se soluções nlítics pr diverss condições de contorno e geoetris siples. Gerlente pr proles de plcs co fors coplexs são usdos étodos nuéricos.

22 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão Coportento Crítico e Pós-Crítico Pr plc so copressão xil e co os ordos x0, livres e 0, poidos (Figur 4.4), são presentdos ns Figurs de 4.6 à Figur 4.30 os cinco prieiros odos de ifurcção de plcs retngulres pr lguns vlores de α, co seus respectivos ftores de crg λ, otidos usndo-se o ABAQUS. Not-se que, pr este cso, ior crg crític entre os α estuddos, ocorre pr α 1.0 e que est decresce onotonicente edid que α uent, concordndo co solução nlític (4.1). λ 0,08604 λ 0,4117 λ 0,35144 λ 0,50579 λ 0,7965 Figur 4.6 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α 1.0. λ 0,03767 λ 0,15451 λ 0,194 λ 0,30964 λ 0,35161 Figur 4.7 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α 1.5. λ 0,0099 λ 0,08605 λ 0,17540 λ 0,19634 λ 0,4119 Figur 4.8 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α.0.

23 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 73 λ 0,01335 λ 0,0546 λ 0,1477 λ 0,16733 λ 0,0958 Figur 4.9 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α.5. λ 0,0094 λ 0,03767 λ 0,08609 λ 0,15473 λ 0,1636 Figur 4.30 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α 3.0. Oserv-se que o odo crítico present-se co o núero de eisonds igul 1 pr todos os vlores de α estuddos, e concordânci co solução nlític. Pr todos os estuddos, os cinhos de equilírio present-se estáveis coo deonstrdo n Figur Entretnto oserv-se que rigidez pós-crític decresce edid que α uent, sendo que, pr plcs longs, rigidez pós-crític inicil é prticente nul. U coportento seelhnte à colun de Euler, coo pode ser oservdo n Tel 4.. Tel 4. λ nuérico e teórico pr s cinco prieirs crgs de flge de u plc isold co pens os ordos crregdos poidos, pr cd α estuddo. α 1.0 α 1. 5 α. 0 α. 5 α 3. 0 λ Nuérico Teórico Nuérico Teórico Nuérico Teórico Nuérico Teórico Nuérico Teórico 1ª 0,086 0,090 0,038 0,040 0,01 0,03 0,013 0,014 0,009 0,010 ª 0,41 0,361 0,154 0,161 0,086 0,090 0,055 0,058 0,038 0,040 3ª 0,351 0,813 0,19 0,361 0,175 0,03 0,15 0,130 0,086 0,090 4ª 0,506 1,446 0,310 0,643 0,196 0,361 0,167 0,31 0,155 0,161 5ª 0,796,60 0,35 1,004 0,41 0,565 0,10 0,36 0,163 0,51

24 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão α 1.0 α 1.5 α.0 α.5 α λ w / h Figur 4.31 Cinhos de Equilírio pr vlores seleciondos de α pr plc retngulr so copressão xil co x0, livres e 0, poidos. Consider-se gor o cso d plc so copressão co o ordo x0 livre e os ordos x e 0, siplesente poidos (Figur 4.5). As Figurs 4.3 à 4.36 ostr os cinco prieiros odos de ifurcção pr lguns vlores de α e os respectivos ftores de crg λ. Not-se que, pr este cso, ior crg crític entre os α estuddos, ocorre novente pr α 1.0 e decresce edid que α uent. Mis u vez os resultdos nuéricos concord co solução nlític presentd nteriorente. λ 0,1659 λ 0,3930 λ 0,71380 λ 0,80760 λ 0,83874 Figur 4.3 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α 1.0. λ 0,07747 λ 0,19560 λ 0,39337 λ 0,67110 λ 0,68333 Figur 4.33 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α 1.5.

25 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 75 λ 0,06034 λ 0,1661 λ 0,3764 λ 0,39371 λ 0,5959 Figur 4.34 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α.0. λ 0,0544 λ 0,09475 λ 0,16568 λ 0,6543 λ 0,39134 Figur 4.35 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α.5. λ 0,04815 λ 0,07748 λ 0,1665 λ 0,19583 λ 0,855 Figur 4.36 Cinco prieiros odos de ifurcção pr plc retngulr so copressão xil e α 3.0. Pr todos os α estuddos, os cinhos de equilírio present-se estáveis coo deonstrdo n Figur Oserv-se que neste cso plc present u centud rigidez pós-crític.

26 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão λ α 1.0 α 1.5 α.0 α.5 α w / h Figur 4.37 Cinhos de pós-críticos de equilírio vlores seleciondos de α pr plc retngulr so copressão xil co x0 livre e x e 0, poidos 4... Evolução do Estdo de Tensões As Figurs 4.38 e 4.39 present o estudo d evolução do estdo de tensões d plc retngulr so copressão xil co x0, livres e 0, poidos e α 3. 0, o longo do cinho pós-critico de equilírio. Pr este cso λ cr 0,0094.

27 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 77 λ / λ cr 0,54 λ / λ cr 0,97 λ / λ cr 1,01 λ / λ cr 1,04 λ / λ cr 1,07 Figur 4.38 Distriuição ds tensões, n fce positiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3. λ / λ cr 0,54 λ / λ cr 0,97 λ / λ cr 1,01 λ / λ cr 1,04 λ / λ cr 1,07 Figur 4.39 Distriuição ds tensões, n fce negtiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3.

28 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 78 Ns Figurs 4.40 e 4.41, te-se distriuição ds tensões ns fces positiv e negtiv d plc ( z ±h / ) ei-ltur d plc (/), pr lgus relções de λ / λ cr, sendo estes vlores concordntes co os oservdos ns Figurs 4.38 e λ / λ cr σ (kn / ) L rg u r d p l c ( ) Figur 4.40 Distriuição ds tensões no centro / d fce positiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3.0 e x0, livres e 0, poidos pr lgus relções de λ / λ cr σ (kn / ) λ / λ cr L rg u r d pl c ( ) Figur 4.41 Distriuição ds tensões no centro / d fce negtiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3.0 e x0, livres e 0, poidos pr lgus relções de λ / λ cr.

29 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 79 λ / λ cr 0,83 λ / λ cr 0,93 λ / λ cr 1,00 λ / λ cr 1,0 λ / λ cr 1,04 Figur 4.4 Distriuição ds tensões, n fce positiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3. λ / λ cr 0,83 λ / λ cr 0,93 λ / λ cr 1,00 λ / λ cr 1,0 λ / λ cr 1,04 Figur 4.43 Distriuição ds tensões, n fce negtiv de u plc retngulr so copressão xil co α 3.

30 Cpítulo 4 Instilidde de Plcs Retngulres so Copressão 80 Oserv-se ns Figurs 4.44 e 4.45, o estudo d evolução do estdo de tensões n plc o longo do cinho pós-crítico de equilírio, pr u plc retngulr so copressão xil co α 3. 0, tendo x0 livre e x e 0, poidos. Pr este cso λ cr 0, λ / λ cr σ (kn / ) Lrgur d plc () Figur 4.44 Distriuição ds tensões no centro d plc ( /), n fce positiv, pr lgus relções de λ / λ cr. Plc retngulr so copressão xil co α 3.0 e x0 livre e x e 0, poidos σ (kn / ) λ / λ cr Lrgur d plc () Figur 4.45 Distriuição ds tensões no centro d plc ( /), n fce negtiv, pr lgus relções de λ / λ cr. Plc retngulr so copressão xil co α 3.0 e x0 livre e x e 0, poidos.